0: Мы приветствуем наших слушателей, мы приступаем к изучению важнейшего раздела математического анализа, называемого рядами, где имеется ввиду числовые ряды функционал.

1: Ряды смысл и польза изучения рядов заключается несколько, огрубляя в том, что многие исследуемые величины, функции, сложно определяемые, сложно устроены.

2: Простых слагаемых с помощью

3: Допускают представление в виде сумм сравнительно, причём, как правило, этих слагаемых бывает бесконечно много в этом случае математики обычно говорят о представлении величин функций.

4: Допускают представление в виде сумм сравнительно простых слагаемых. Причём, как правило, этих слагаемых бывает бесконечно много. В этом случае математики обычно говорят о представлении величин функций с помощью

5: Числа слагаемых.

6: То есть сумм бесконечного.

7: То есть сумм бесконечного числа слагаемых.

8: Мы начинаем с того, что определяем точно сумма бесконечного и далее в соответствии с этим понятием изучаем основные свойства. Итак, числовые ряды, лекция.

9: Понятие суммы ряда, то есть числа слагаемых числовых рядов, номер.

10: Мы начинаем с того, что определяем точно понятие суммы ряда, то есть сумма бесконечного числа слагаемых и далее в соответствии с этим понятием изучаем основные свойства числовых рядов. Итак, числовые ряды, лекция, номер.

11: 22.

12: Итак, ряды.

13: Числовые ряды, параграф 1, основные понятия и простейшие свойства.

14: Итак, числовые ряды, параграф, 1, ряды, основные понятия и простейшие свойства.

15: Пусть задана числовая последовательность а. N. То есть подробные записи a1, a2, a3 и так далее до бесконечности, значит, номер н пробегает все значения от единицы до.

16: Бесконечности сумму конечного числа членов этой последовательности, начиная с номера п и кончая номером ку, будем записывать для удобства в компактной форме с помощью знака суммирования.

17: Sigma большое итак, сигма.

18: Это значит, суммируются слагаемые, а с номером м, где м изменяется в пределах от п до ку. Ну, это, по видимому, обозначение вам знакомо. Так вот.

19: Не попытаемся продолжить суммирование до бесконечности, начиная с номера 1 с этой целью составим формальную сумму, a1 плюс, a2 плюс.

20: 3 плюс и так далее плюс, а там с произвольным номером n плюс и так далее до бесконечности формальная сумма это нечто вроде символа или, короче, с помощью знака суммир.

21: Мы можем этот символ записать таким образом, сумма это сигма при н, изменяющемся от единицы до бесконечности, а

22: Так вот, эту формальную сумму называют рядом или, если нужно уточнить, подчеркнуть, что число членов последовательности бесконечно бесконечно.

23: Рядом при этом энный член последовательности, то есть число а с номером n называется энным членом ряда.

24: Мы собираемся приписать, ввести понятие суммы бесконечного числа слагаемых, то есть мы сейчас будем аккуратно определять

25: Понятие суммы ряда. Ну, делать это мы будем естественным образом, а именно мы будем последовательно складывать члены нашего ряда и

26: Так, грубо говоря, то, что у нас будет получаться в пределе. При таком суммировании мы и будем считать суммой ряда, если, конечно, соответствующий предел существует, ну, чуть

27: Аккуратнее с заданным рядом сумма а н н изменяется от единицы до бесконечности можно связать числовую последовательность с 1 с 2 и так далее с н и так далее, до бесконечности образованную.

28: По закону с с номером n есть ничто иное, как сумма первых n членов данного ряда a1 плюс, a2 и так далее плюс r n или кратко сумма а с номером м.

29: Где м. Номер м пробегает, изменяется в пределах от единицы до n. Ещё раз это сумма первых n членов нашего ряда.

30: При изменении н значение частичной суммы ссн, конечно, меняется каким-то образом, да, и я, кажется, забыл сказать, что вот это число сн как раз и называется энной частичной.

31: Сумма ряда иногда говорят, частная сумма ряда.

32: Так вот, мы будем теперь неограниченно увеличивать н и будем следить за поведением этих самых частичных сумм.

33: В Надежде, что в пределе, когда н. Будет неограниченно возрастать, эти частичные суммы выдадут нам что-то вроде суммы всего ряда, точнее.

34: Если последовательность частичных сумм ряда имеет предел, равный с предел снн равно с, то с называется суммой ряда. При этом, если с число

35: То есть, если указанный предел конечен, то мы скажем, что ряд сходится, а. С. Является его суммой. Если же последовательность с 1 с. 2 и так далее сн. Последовательность частичных сумм не имеет конечного.

36: Предела, то ряд называется расходящимся. Ну, естественно, мы нашему ряду в этом случае никакой суммы не приписываем. То есть говорим, что ряд суммы не имеет.

37: Рассмотрим несколько простых примеров. 1 пример совершенно тривиальный. Предположим, что имеется ряд, каждый член которого равен единице, а с номером н равно единице для любого номера н стало быть.

38: В развёрнутой форме ряд выглядит так 1 + 1, + 1 и так далее. До бесконечности в компактной форме это сигма, то есть сумма единиц.

39: Pre н, изменяющемся от единицы до бесконечности. Ну, здесь все максимально просто частичная сумма это сумма первых n членов. То есть n единиц. Эта сумма равна n просто напросто рас.

40: Рассматриваем предел последовательности частичных сумм. Предел сн это просто напросто предел н когда н стремится к бесконечности. Ну и, естественно, предел равен плюс бесконечности. Значит, предел существует, но

41: Бесконечен. Значит, мы в таком случае должны сказать данный ряд расходится, но сумму имеет, и его сумма равна бесконечности. Пример 2. Давайте несколько усложним.

42: Предыдущий пример, а именно поменяем знак у каждого 2 члена предыдущего ряда получим так называемый знакочередующийся ряд из единиц 1 - 1, + 1, - 1, + 1, - 1.

43: И так далее до бесконечности.

44: Вот вопрос, является ли этот ряд сходящимся? То есть имеет ли он сумму или он сумма является расходящимся, суммы не имеет, этот ряд скрывает.

45: Некоторые скрывает в себе некоторые парадоксы. Ну, вкратце, я попытаюсь сейчас показать их. Вот представьте себе, что мы начали группировку членов.

46: Нашего ряда группируем. Члены ряда. Так последовательно и попарно. 1 - 1 это 1 группа, 1 - 1 2 группа, ну и так далее. В каждой паре сумма равна нулю, значит, суммирование членов нашего

47: В общем то, вроде бы сводится к суммированию одних нулей 0 + 0 и так далее до бесконечности. То есть и мы можем сделать заключение, что ряд сходится и сумма его равна нулю. Давайте чуть чуть изменим наше

48: Обсуждение. Вот давайте мы 1 член, то есть единицу поставим, так сказать, отдельно особняком, а следующие члены будем группировать попарно, последовательно. -1 + 1, -1 + 1. И так

49: Далее. Так вот, в этих парах сумма слагаемых равна нулю. Вот, но у нас есть 1 член, который равен единице, так что вроде бы сумма всех членов равна единица + 0, + 0 и так далее. Плюс

50: То есть единица так, парадокс. С 1 стороны, сумма равна нулю, а с другой стороны, равна единице. Вот как разрешается этот парадокс. Ну, очень просто надо

51: Действовать в соответствии с нашим определением нужно рассмотреть последовательность частичных сумм этого ряда и проследить за поведением последовательности этих частичных сумм.

52: Ну, давайте попробуем это сделать. 1 частичная сумма это просто 1 член с 1 равно единице. 2 частичная сумма с 2. Это сумма первых 2 членов. 1 - 1 0.

53: С 3 сумма первых 3 членов единица, с 4 там опять-таки 0 и так далее. Мы поняли, что последовательность частичных сумм представляет собой колеблющуюся

54: Последовательность.

55: Её члены равны оо либо единице, либо нулю. Последовательно. Конечно, такая последовательность колеблется и предела не имеет. Это значит, что мы должны сказать, что наш ряд расходится и су

56: Не имеет. Ну так, забегая далеко вперёд, скажу, что в некотором смысле ряд, сумму, в смысле эйлера, этот ряд. Все

57: Имеет сумму и по эйлеру сумма этого ряда, как ни странно, равна 1. 2. Ну, с этим мы, может быть, встретимся в следующих лекциях.

58: 3 пример, ну, такой довольно стандартный пример, но уже, может быть, не совсем тривиальный. Значит, энным членом этого ряда является дробь единица разделить на н.

59: N + 1 произведение 2 последовательных натуральных чисел n. И n + 1 ну, в развёрнутой форме ряд выглядит так при n равном единице, a1 это 1, 2.

60: При n. Равном единицу, делённую на 2, умножить на 3, то есть на 6 1 6, при n равном 3 1, значит, попытаемся.

61: 2 мы получаем 12, ну и так далее, и так далее. Найти.

62: При n равном 2 мы получаем единицу, делённую на 2, умножить на 3, то есть на 6 1 6, при n равном 3, 1, 12, ну и так далее, и так далее, значит, попытаемся найти.

63: Чтобы понять, сходится этот ряд или расходится, попытаемся найти, ну, такое простое выражение для частичной суммы.

64: Энной этого ряда давайте.

65: Чтобы понять, сходится этот ряд или расходится, попытаемся найти, ну, такое простое выражение для энной частичной суммы этого ряда. Давайте

66: Напишем такое вот тождество единица, делённая на икс икс + 1 равно разности единица делить на икс минус, единица, делить на икс + 1.

67: Дробей.

68: Напишем такое вот тождество единица, делённая на икс икс + 1 равно разности дробей единица делить на икс минус, единица, делить на икс + 1.

69: Ну и оно легко проверяется. И, кроме того, оно легко выводится с такими вещами. Вы встречались при интегрировании, скажем, разложение рациональной функции. Сумма, прости.

70: Рациональных функций.

71: Ну и оно легко проверяется. И, кроме того, оно легко выводится с такими вещами. Вы встречались при интегрировании, скажем, рациональных функций. Разложение рациональной функции, сумма, прости.

72: Дробей, я не буду возвращаться к этому. Вот. Ну и далее возьмём энную частичную сумму нашего ряда. Значит, сумма по, м, от единицы до n, вот этих вот

73: Дробей единица делить на м м + 1 значит, в силу предыдущего тождества вот эту дробь единица на м м + 1 мы можем писать в виде разности 2 дробей, простейших единица, разделить на м минус единица, разделить на m + 1.

74: Вот. И вот при суммировании здесь происходит нечто вроде как все замечательно. Далее получается, давайте

75: Фокуса. Смотрите какой запишем.

76: Вот. И вот при суммировании здесь происходит нечто вроде фокуса. Смотрите какой как все замечательно. Далее получается давайте запишем.

77: Эту сумму, ну, в развёрнутой форме напишем несколько явным образом несколько первых слагаемых в этой сумме. Ну и последнее. Значит, приём равным единицами в скобках. 1 член получается единица минус.

78: 1, 2 плюс 2, при м равном 2 2 слагаемое в нашей сумме 1, 2 - 1, 3, при м равном 3 3 слагаемое в нашей сумме 1, 3, - 1, 4 плюс и так далее. Ну и

79: Наконец, последнее энное слагаемое это единица на минус, единица разделить на n + 1 ну, теперь давайте вот что, ну хотя бы мысленно раскроем эти скобки и пронаблюдаем.

80: Вот этот самый фокус, о котором я говорил. Смотрите, все внутренние члены вот без скобок. Представьте себе картину. Все внутренние члены взаимно уничтожаются. Смотрите, - 1, 2 + 1 2.

81: - 1, 3 + 1, 3, - 1, 4. Ну и там далее будет стоять + 1, 4 и так далее. Последние скобки. Единица на н, уничтожится с предыдущей минус дроби минус единица делить на н.

82: И останутся от этой суммы только 2 Крайних члена единица, 1 и последняя дробь, минус единица, делить на n + 1 значит, вот смотрите, мы получили замечательные простоты выражения для энной частичной сумм.

83: Единица, минус. Единица делить на n, плюс теперь исследуем поведение этой последовательности. Возьмём предел. Ну, это не что иное, как предел разности. Единица минус, единица на n + 1 дробь единица.

84: 1 сн. Сн.

85: Единица, минус, единица делить на n + 1. Теперь исследуем поведение этой последовательности. Сн. Возьмём предел сн. Ну, это не что иное, как предел разности единица минус, единица на n + 1 дробь единица.

86: + 1 стремится к нулю, и в пределе у нас остаётся последовательности частичных, и мы, стало быть, должны сказать, что данный ряд сходит.

87: Единица. Итак, предел сумм конечен.

88: + 1 стремится к нулю, и в пределе у нас остаётся единица итак, предел последовательности частичных сумм конечен, и мы, стало быть, должны сказать, что данный ряд сходит.

89: Его сумма равна

90: Единице. Ну, компактно это можно так записать. Сигма изменяется от единицы до бесконечности. Вот этих вот сумма дробей, единица на n + 1 равна единице. Ну, для

91: Его сумма равна единице. Ну, компактно это можно так записать. Сигма изменяется от единицы до бесконечности. Вот этих вот сумма дробей, единица на n + 1 равна единице. Ну, для

92: Удобства числа.

93: Стоит, наверное, отметить, что для дальнейшего, что нумерация членов ряда в принципе может начинаться с любого целого, вовсе не обязательно с единицы.

94: Удобства стоит, наверное, отметить, что для дальнейшего, что нумерация членов ряда в принципе может начинаться с любого целого числа, вовсе не обязательно с единицы.

95: Например, часто встречается нумерация с начинаемая с нулевого члена а 0 + 1 плюс, a2 и так далее. Ну там ещё пример с номера 3 a3 плюс.

96: 4 + 5 иногда, особенно в теории переменной, нумера может начинаться и с отрицательных, и даже распространяться до минус.

97: И так далее. Функции комплексной номеров.

98: 4 + 5 и так далее. Иногда, особенно в теории функции комплексной переменной нумера может начинаться и с отрицательных номеров, и даже распространяться до минус бесконечности. Так?

99: Слишком много говорил, надо покороче.

100: Давайте сделаем следующее возьмём данный, отбросим, ну, мысленно отбросим н первых членов этого ряда.

101: Ряд. Вот и

102: Давайте сделаем следующее возьмём данный ряд, вот и отбросим, ну, мысленно отбросим н первых членов этого ряда.

103: Тогда мы получим ряд сумма а с номером м, где номер м изменяется от n плюс единица до бесконечности, этот ряд называется энным остатком данного.

104: Исходного ряда.

105: Ну, остаток иногда называют хвостом данного ряда. Так образно. Ну, легко понять, что остаток, будучи рядом,

106: Сходится только если сходится исходный ряд, и более того, если исходный ряд, сумма r n от единицы до бесконечности сходится и р н а в этом случае все остатки.

107: Этого ряда тоже сходятся, имеют суммы и р. Н. Это сумма энного остатка ряда, то последовательность р н.

108: Стремится к нулю, то есть предел р. Н. При стремящемся к бесконечности равен нулю это то есть словесная формулировка, то, наверное, должна быть такой anna, остаток сходя.

109: Ряда стремится к нулю при n, стремящемся к бесконечности ну, это довольно просто объяснить вот строкой ниже.

110: Имеется некоторое пояснение значит, итак, весь ряд суммы с разбиваем на 2 куска 1 кусок 1 плюс, a2 и так далее. Плюс r n. Это ничто иное, как энная частичная сумма этого ряда плюс.

111: 2 кусок хвост ряда или and и остаток так вот, в сумме они дают как раз всю сумму нашего ряда с n плюс r n равно с. Ну и поскольку с н. По условию стремится к с.

112: Ряд то наш сходится, то р н. Неизбежно должно стремиться к нулю.

113: Ну, для полтонны, для полноты картины сформулируем ещё критерий сходимости ряда критерий каши. На самом деле это переформулировка критерия каши. Сходим.

114: Последовательности числовой. Ну, получается вот что ряд

115: Сумма r n от единицы до бесконечности сходится тогда и только тогда, когда для любого положительного эпсилон можно найти такой номер n, определяемый в зависимости от epsilon что?

116: Сумма членов этого ряда, взятая в пределах от п до q, где p и q, лежат за н. За границей.

117: То есть не меньше, чем, н, будучи любыми. Так вот, сумма этих членов ряда с номерами доку по модулю меньше эпсилон.

118: Вот, ну, это утверждение принимаем без доказательства. На практике оно довольно редко используется, главным образом в теоретических вопросах. Вот, а вот следующее утверждение даже

119: Его выделяем как теорему необходимое условие сходимости ряда. Ну, оно иногда бывает полезным при исследовании ряда на сходимость. Утверждение такое, если ряд сумма

120: А н сходится то.

121: Энный член этого ряда при стремящемся к бесконечности стремится к нулю. Если сходится, то энный член ряда стремится к нулю. Ну, сразу стоит сформулировать так.

122: Серьёзное предупреждение это условие далеко не является достаточным для сходимости ряда имеется много рядов, энный член которых при стремящимся.

123: Стремится к нулю, но ряды являются расходящимися.

124: Вот, ну, в качестве логического следствия из этой теоремы получается вот что, если предела член, я бесконечности не существует.

125: Ну, я немножко неаккуратно говорю предел последовательности образованной н ряда, значит, если предела Элена не существует или существует, но отлично от нуля, то ряд

126: Расходится иногда это следствие позволяет быстро увидеть, что ряд является расходящимся и особого интереса, возможно, не представляет пример совсем простой, пусть энным членом ряда.

127: Является дробь, в числителе которой стоит 2 and - 1, в знаменателе 3 n + 5.

128: Ну, посмотрим на энный член, видим, что предел а n при n, стремящемся к бесконечности, равен отношению коэффициентов при старших членах.

129: То есть pre н 2/3, значит, йены член стремится к 2 3. 2/3. Отлично. От нуля, значит, ряд расходится. Ну, это понятно, без всякой науки, а именно энный член этого ряда при достаточно больших

130: Просто близок к числу 2/3. Ну, если мы суммируем числа, близкие к 2 третьям, ясно, что мы получим на выходе просто бесконечность, да, и все. То есть ряд заведомо расходится чуть чуть.

131: Давайте изменим предыдущий пример, а именно снабдим члены этого ряда так поочерёдно знаками плюс минус, плюс минус. Вот. То есть анн выглядит так.

132: Единица в степени n это знак если n чётное, то знак плюс если n нечётное, то - 2 н -1 / 3 n + 5 в этом случае предел.

133: А, and при вовсе не существует. И таким образом ряд расходится. Кстати, почему не существует? Потому что при больших значениях n члены этого ряда, ну так по

134: Переменно, поочерёдно близки то к 2 третьям, то к минусу, 2 третьям. То есть наблюдается нечто вроде колебания членов этого ряда и предел существовать не может. Ну,

135: Для практики полезно знать следующее сходящиеся ряды можно почленно складывать и умножать на числа, то есть если ряд, сумма n и сумма бэ н сходится, то ряд, энным членом который является.

136: R n плюс бэ н, то есть сумма энных членов этих рядов тоже сходится, и его сумма равна сумме заданных рядов ну так 2, там постоянные, но.

137: Можно так сформулировать, можно выносить за знак суммы, за знак ряда, что ли, можно так сказать, при условии сходимости ещё раз повторяю заданных рядов сумма n и сумма б. Н.

138: Так медленно. Ну, чертним пусть будет.

139: Так, продолжаем. Параграф 2. Геометрическая прогрессия как ряд. Ну, геометрическая прогрессия представляет собой специальный сорт числовых рядов и

140: Следует, наверное, отметить, что геометрическая прогрессия довольно часто встречается как в теоретических, так сказать, работах, так и на практике. Итак, пусть

141: Ку, некоторое число, ряд.

142: Единица плюс q, плюс q во 2 плюс q в 3 степени плюс и так далее, плюс q в степени n плюс так далее до бесконечности, то есть ряд сумма ку в степени n, где n изменяется от нуля обращаю внимание от нуля до.

143: Бесконечности называется геометрической прогрессией со знаменателем ку. Ну это что-то близкое к школьному определению. Значит, каждый член ряда получается из предыдущего умно

144: На постоянное число q.

145: Вот, ну и давайте-ка сразу выясним, когда геометрическая прогрессия имеет сумму, то есть сходится

146: Совсем простое именно геометрическая прогрессия q в степени нн изменяется от нуля до бесконечности сходится только если число ku такое маленькое, достаточно маленькое, то есть если точнее, если модуль cu меньше строгой единицы.

147: В случае сходимости, то есть если q по модулю меньше единицы, сумма геометрической прогрессии равна единице разделить на единицу минус ку это полезная формула, её стоит.

148: Даже, наверное, помнит вот доказательство этой теоремы предлагается в качестве довольно простого упражнения.

149: Ну и простой пример. Требуется вычислить сумму бесконечное число слагаемых, то есть сумму ряда единица - 2/3 + 4/9, - 8 27.

150: Плюс и так далее, до бесконечности. Ну, присмотревшись к этому ряду, мы, наверное, догадаемся. Должны, по крайней мере, понять, что перед нами геометрическая прогрессия с

151: Знаменателем - 2/3 каждый член нашего ряда получается из предыдущего умножением на одно и то же число q равное - 2 3 действуем по нашей формуле.

152: Сумма этой прогрессии равна дроби в числителе единица, в знаменателе единица минус ку, то есть единица минус, - 2/3, ну и получаем ответ 3/5, 3/5.

153: Переходим к следующему параграфу параграф 3 ряды с неотрицательными членами ряды, все члены которых неотрицательны или неотрицательны, хотя бы начиная с некоторого номера.

154: Поддаются исследованию, ну, заметно проще, чем ряды общего вида.

155: И обычно стараются исследование любого ряда, по крайней мере, первоначальная попытка такова, может быть, свести к исследованию ряда с положительными членами пункт 1 о.

156: Общие критерии сходимости.

157: Теорема пусть, а. Н не отрицательная, то есть пусть все члены ряда неотрицательные, ну, можно говорить положительные ряд с такими членами а. Н. Сходится только в том случае, когда последовательность

158: Его частичных сумм ограничена, то есть любая частичная сумма с n не превосходит некоторые постоянные ц.

159: Для любого номера н. Это объясняется просто, а именно тем, что последовательность, последовательность частичных сумм с н. Является неубывающей, ну или возрастающей, можно сказать.

160: Почему? Потому что каждая частичная сумма получается из предыдущей добавлением, ну, следующего члена, который не отрицателен. Поэтому сле.

161: Следующая частичная сумма, она уж никак не меньше предыдущей. Ну а раз эта после возрастает, то либо она имеет конечный предел, тогда все эти частичные суммы не превосходят.

162: Этого предела либо она неограничена, тогда её предел равен бесконечности.

163: Стало быть, мы можем сказать и давайте это подчеркнём ряд с неотрицательными членами обязательно имеет сумму конечную.

164: Это означает он сходится или бесконечную, он расходится.

165: Пример важный пример, пример в этом примере мы рассмотрим такой специальный красивый ряд, называемый обычно гармоническим гармонический ряд энным членом этого ряда является

166: Величина обратная к натуральному числу n. Значит, ряд выглядит так сумма при изменяющемся от единственной бесконечности дробей единица делить на н.

167: Вот, может быть, стоит сказать, пояснить, почему ряд называется гармоническим. Ну, не только потому, что он просто напросто красив, а потому что каждый член этого

168: Начиная со является средним гармоническим своих соседей. Я вот мы тут выше пояснили, что называется, средним гармоническим

169: 2, ну.

170: Начиная со 2, является средним гармоническим своих соседей. Ну, я вот мы тут выше пояснили, что называется, средним гармоническим.

171: 2 ряд, так сказать.

172: Положительных чисел. Вот это вы можете посмотреть самостоятельно и заодно самостоятельно проверьте, что гармонический название гармоничес

173: 2 положительных чисел. Вот это вы можете посмотреть самостоятельно и заодно самостоятельно проверьте, что гармонический ряд, так сказать, название гармоничес.

174: Этого ряда оправдывается вот как раз этим свойством.

175: Вот сейчас, сейчас я попробую объяснить, почему этот гармонический ряд является расходящимся.

176: Мы.

177: Вот сейчас мы сейчас, я попробую объяснить, почему этот гармонический ряд является расходящимся.

178: Вот. Ну, здесь я некую хитрость попробую применить, хотя можно было бы и искусственного приёма рассмотреть. Итак, возьмём дробь.

179: Без здесь все это вот.

180: Вот, ну здесь я некую хитрость попробую применить, хотя можно было бы и без искусственного приёма здесь все это рассмотреть. Вот. Итак, возьмём дробь.

181: Делить на м м натуральное число. Давайте. Здесь неожиданным образом появляется интеграл. Так вот, давайте эту дробь запишем как интеграл по промежутку от м до м + 1. Вот это.

182: Самые дроби единица делить на м.

183: Дело в том, что интеграл от м до м + 1 просто напросто равен единице, и дробь как постоянную мы внесли под знак этого интеграла, который равен единице, так теперь подинтегральной.

184: Функции. Она у нас постоянная единица на м, выполним такую вот оценку снизу дробь единица на м строго больше, чем дробь единица, делённая на икс, привяжем оценку.

185: К x переменной дело в том, что у нас x изменяется от м до м + 1, поэтому x уж никак не меньше, чем, ну и равно только в точке m во всех остальных точках x больше, чем and, а значит дробь единица на x.

186: Икс м.

187: К x переменной икс дело в том, что у нас x изменяется от м до м + 1, поэтому x уж никак не меньше, чем м. Ну и равно только в точке m во всех остальных точках x больше, чем and, а значит дробь единица на x.

188: Меньше, чем дробь единица, делённая на м.

189: В силу чего, значит, выполняется вот это неравенство. Далее перейдём к частичной сумме гармонического ряда сн. Ну давайте я распишу её, так сказать, почле.

190: Это сумма, единица + 1, 2 + 1, 3 плюс и так далее, плюс единица, делённая на n. Так вот, теперь воспользуемся оценкой вышеприведённой значит, каждую из этих дробей оце.

191: Снизу, ну, то есть с меньшей, с помощью интеграла, значит, соответствующего, ну, там, скажем, единица больше, чем интеграл, от единицы до 2, 1, 2 больше, чем интеграл, от единицы до 2/3. И так

192: Стороны. Далее послед.

193: Снизу. Ну, то есть, с меньшей стороны, с помощью интеграла, значит, соответствующего, ну, там, скажем, единица больше, чем интеграл, от единицы до 2, 1, 2 больше, чем интеграл. От единицы до 2/3 и так далее. Послед.

194: Дробь единица на н больше, чем интеграл от единицы, от n до n + 1 от, а функция то у всех этих интегралов 1 и та же под интегральная единица делить на икс значит, сумма интегралов в силу одитинг свойства.

195: Интеграла определённого равна интегралу по промежутку большому от единицы до n, плюс от функции подинтегральной единице делить на икс. Ну и этот интеграл.

196: 1.

197: Интеграла определённого равна интегралу по промежутку большому от единицы до n + 1 от функции подинтегральной единице делить на икс. Ну и этот интеграл.

198: Легко вычисляется он равен логарифму натуральному от n плюс единица значит, что же у нас получается? Получается, что у нас на частичная сумма c and больше, чем логарифм натуральный от n плюс единицы лога?

199: Rhythm и от n плюс единица есть последовательность, ну, или функция от n, если угодно, неограниченно возрастающая, ну тем более неограниченно возрастающей является последовательность с н.

200: Это означает, что

201: Гармонический ряд расходится и имеет сумму, равную бесконечности. Ну, обычно

202: В соответствующем, когда исследуется гармонический ряд, ещё такую произнести многозначительную фразу, он расходится, но очень медленно в действительности.

203: Месте можно

204: В соответствующем месте, когда исследуется гармонический ряд, ещё можно такую произнести многозначительную фразу он расходится, но очень медленно в действительности.

205: Сумма гармонического ряда, ну так равна логарифму натуральному. Н плюс там некоторая константа, постоянная эйлера, ну и плюс, так сказать,

206: Величину, ограниченную по отношению к последнему члену, единица на там, вот, ну и так, запомните, гармонический ряд, расходится, расходимость очень медленная, очень медленная.

207: Пункт 2 теоремы сравнения для рядов с положительными членами это теоремы такого свойства. С помощью этих рядов можно исследовать ряды на сходимость, значит

208: Имея там, скажем, ряд, поведение которого нам известно, то есть, допустим, сходящийся там ряд, с помощью сравнения с ним, мы можем исследовать сходимость, ну, некоторого другого я

209: Сходимость которого там, скажем сразу, неочевидна. Итак, ну вот сформулируем 3 теоремы очень простых теорема сравнения. Итак, пусть есть

210: 2 ряда с неотрицательными членами, ряд с членами а. Н и ряд с членами б. Н. 1 теорема предположим, что члены ряда, а не превосходят членов ряда.

211: Б. Я так буду условно говорить ряд а и ряд б, ну, начиная хотя бы с некоторого номера, тогда, если ряд б, то есть ряд с большими членами, сходится, то и ряд а с меньшими членами.

212: Тоже сходится, очевидно, ряда а

213: Ну, это практически 2 теорема сравнения. Ну, иногда говорят, предельная теорема сравнения. Предположим, что существует предел отношения энного члена к энному члену ряда б.

214: Тоже сходится. Ну, это практически очевидно. 2 теорема сравнения. Ну, иногда говорят, предельная теорема сравнения. Предположим, что существует предел отношения энного члена ряда, а к энному члену ряда б.

215: И предел это этот лежит, ну, скажем, для начала строго между нулём и бесконечностью тогда ряды а и б сходятся или расходятся одновременно.

216: То есть ведут себя одинаково.

217: Ну и 3 теорема, пусть, начиная с некоторого номера.

218: Отношение значит, предполагаем, что члены рядов наших положительно строго, начиная с некоторого номера, пусть отношение n плюс 1 члена ряда, а к энному члену не превосходит отношение n плюс 1.

219: Члена ряда б к энному же члену. Ну, заключение такое. Если ряд б сходится, то и ряд, а также сходится в качестве упражнения. Предлагаю

220: Доказать это утверждение. В действительности это утверждение легко сводится к теореме 1. Вот имеется указание, где предлагается

221: Перемножить предполагаемые неравенства. Вот, и там в итоге получится, что r n не превосходит, там некоторые константы умножить на б н и мы сводим

222: Дело к теореме 1.

223: Примеры значит, 1 пример. Вот нам уже встречался ряд, члены которого, энный член которого равен дроби единица делить на and н плюс.

224: 1 мы видели, что он сходится, его сумма равна единице. Если умножим члены этого ряда на 2, получится опять-таки сходящийся ряд с суммой, равной 2 вот теперь заметим такую вот вещь.

225: Рассмотрим ряд, энным членом которого является единица, делённая на n квадрат, ну, что-то похожее на гармонический ряд только в знаменателе не r n квадрат, поскольку выполняется неравенство.

226: Единица на н. Квадрат не превосходит 2 разделить на n n + 1.

227: И ряд вот с такими членами 2 на n n + 1 сходится, то по теореме сравнения 1 и ряд с членами единица на н. Квадрат тоже сходится ну, далее мы.

228: Получим гораздо более общий результат. 2 пример, пусть энным членом ряда явля, а больше нуля это параметр. И энным членом ряда является дробь единица разделить на

229: Единица плюс, а в степени n. Вот, ну, здесь стоит, конечно, присмотреться, потому что понятно, что руководящую роль здесь исполняет, играет, а

230: Степени н. И. Мы должны понять, что если а маленькое положительное число маленькое, то, а в степени n совсем мало, и наша знаменатель близок к единице, и члены нашего ряда

231: Просто напросто близки к единице. Такой ряд, конечно, сходиться не может. Вот. Ну, а если довольно большое число положительное, то руководит знаменателем. А все.

232: Н. И. Это довольно большая величина. То есть знаменатель, вроде бы большой числитель, маленький дроби, ну, маленькие единицы, но дроби сами члены этого ряда малы. И есть Надежда, что

233: Этот ряд сходится вот, ну вот эти грубые соображения аккуратно оформляются вот таким образом. Значит, если они превосходят единицы, то энный член ряда единицу разделить на единицу плюс, а в степени не меньше, чем 1 2.

234: Значит, наш ряд расходится, энный член ряда вовсе не стремится к нулю, а вот если а больше единицы, то энный член ряда ну, меньше единицы.

235: Делить на в степени n. Вот смотрите, мы знаменателя отбросили единицу.

236: Уменьшили знаменатель, а дробь стала больше, значит, то есть не нашего ряда, не превосходит дробь единица делить на степени н, то есть величины единицы на в степени n рассмотр.

237: Ряд с такими членами единица делить на все в степени n это геометрическая прогрессия с знаменателем ку, равным единице на а поскольку а больше единицы.

238: Знаменатель меньше единицы, и этот ряд сходится, следовательно, по теореме сравнения исходный ряд, члены которого меньше и подавно сходятся.

239: Пойдём дальше.

240: Пункт 3 признаки каши с радикалом даламбера Раабе для исследования сходимости, расходимости рядов.

241: С неотрицательными регулярные признаки, с помощью которых можно иногда довольно часто.

242: Членами имеются некоторые

243: С неотрицательными членами имеются некоторые регулярные признаки, с помощью которых можно иногда довольно часто выяснить.

244: Сходится или расходится заданный ряд.

245: Итак, пусть имеется ряд сумма а. Н. С неотрицательными членами сформулируем 2 признака довольно простых.

246: Признаки коши и даламбера. Пусть существует предел Корня энной степени из энного ряда, из а и равен.

247: Члена н. L.

248: Признаки коши и даламбера пусть существует предел Корня энной степени из энного члена ряда из а н и равен l.

249: Это или энному члену даламбера.

250: Предположение признаки каши существует, предел отношения плюс 1 члена к ряда равен это в признаки, тогда ряд

251: Это предположение признаки каши или существует предел отношения плюс 1 члена к энному члену ряда равен это в признаки даламбера, тогда ряд.

252: Исследуемые сумма а and сходятся, если эль меньше единицы, расходится, если эль больше единицы.

253: Вот, ну, может быть, сразу стоит сказать, что это довольно грубые признаки. В действительности они выполняют автоматическое сравнение исследуемого.

254: Ряда с геометрическими прогрессиями, а геометрическая прогрессия сходится, ну так, образно говоря, довольно грубо. То есть если она сходится, то очень быстро.

255: Если расходятся, то расходятся очень быстро, так вот, с этими быстро сходящимися, быстро расходящимися рядами и сравнивают испытуемый ряд вот эти признаки каши даламбера.

256: Вот пример. Вот имеется такой несколько странный, на 1 взгляд ряд. Сумма от единицы до бесконечности. Энни, член ряда, выглядит так в степени эн квадрат стоит разность, единица минус, единица, делённая на

257: Ну, попробуем применить признак какой-нибудь из признаков кашели даламбера. Ну, более менее понятно, что признак даламбера, применение его приведёт нас к

258: Таким неприятным выражением и вряд ли стоит и пытаться его здесь применить. Вот признак каши здесь, по видимому, сработает.

259: Сейчас, ну это.

260: Таким неприятным выражением и вряд ли стоит и пытаться его здесь применить. Вот признак каши здесь, по видимому, сработает.

261: Итак, каши нам предлагает извлечь корень степени n. Из энного извлекаем удачно извлекается показатель н квадрат делится на показатель, и остаётся энная степень ра.

262: Члена ряда Корня н.

263: Итак, каши нам предлагает извлечь корень степени n из энного члена ряда извлекаем удачно извлекается показатель н квадрат делится на показатель Корня н и остаётся энная степень ра.

264: Единица, минус единица делить на n. Далее каши предлагает нам вычислить предел, найти предел при бесконечности вот этого вот выражения Корня ой степени.

265: Ну, тут.

266: Все конкретно предел, единица, минус, единица на н в степени.

267: Ну, тут все конкретно предел единица минус, единица на н в степени n.

268: Значит, представляет собой некую неопределённость вида е в степени бесконечность. Ну, раскрываем и получаем е в степени - 1, то есть.

269: Вот её с помощью каких-нибудь Приёмов.

270: Значит, представляет собой некую неопределённость вида е в степени бесконечность. Вот, ну, раскрываем её с помощью каких-нибудь Приёмов и получаем е в степени - 1, то есть

271: Единица, делённая на, э, ну, это число, это и есть число эль. Вот в признаке это число меньше единицы. Следовательно, этот ряд сходится. 2 пример.

272: Каши, значит?

273: Единица, делённая на, э, ну, это число, это и есть число эль. Вот в признаке каши, значит, это число меньше единицы. Следовательно, этот ряд сходится. 2 пример.

274: Значит, энным членом ряда является н. Факториал умножить на икс, на энную степень дроби икс, делить на n. Ну, при положительных x.

275: Член этого ряда положительно. Значит, можно попытаться применить какой-нибудь из этих признаков признак оши можно пытаться применить, но корень энной степени из

276: Факториал извлекать не совсем просто. Значит, надо, скажем, знать формулу там стирлинга или ещё что-то. В этом Роде, наверное, удобнее попытаться использовать признак даламбера. Вот.

277: Итак, берём член ряда n, это эн факториал умножить на икс, делить на n в степени n.

278: А с номером n + 1 получается из а н замены просто прямое, непосредственное н на n + 1, значит, это даёт нам n + 1 факториал x разделить на n + 1 все в степени n + 1.

279: Значит, делим это на н выполняем, по возможности тут преобразование, ну там факториалы сокращаем. Н + 1 икс в степени n сокра, ну и в итоге.

280: Вращаем, прощаем.

281: Значит делим это на н выполняем по возможности тут преобразование, ну там факториалы сокращаем, н + 1 сокращаем x в степени n, там сокращаем ну и в итоге это можете.

282: Проделать самостоятельно в итоге приходим к дроби, удачно записанной в числителе стоит икс, в знаменателе единица плюс единица на н. Все в степени n. Найдём предел этой дроби, то есть найдём предел отношения.

283: Plus 1 члена ряда к энному предел находим быстро икс в числителе это постоянное, а предел знаменателя есть ничто иное, как 2 замечательный предел.

284: Вот.

285: Plus 1 члена ряда к энному предел находим быстро икс в числителе это постоянное, а вот предел знаменателя есть ничто иное, как 2 замечательный предел.

286: И в пределе мы имеем её эль. Это предел. Даламберовский предел в нашем случае равен числу икс разделить на её. Ну и наше заключение таково должно быть, если

287: Итак, даламбера.

288: И в пределе мы имеем её. Итак, эль, это предел даламбера. Даламберовский предел в нашем случае равен числу икс разделить на её. Ну и наше заключение таково должно быть, если

289: Этот предел, то есть если x на your меньше единицы, то есть если xx меньше её, то ряд сходится. Если же этот предел икс делить на её больше единицы, то есть если x больше её, то ряд расходится, если

290: Же икс равен её имеем.

291: Имеем 1 к а and имеем n.

292: Ну давайте просто напросто икс равно её подставим в выражение для отношения r n плюс дробь её разделить на единицу плюс единица в степени.

293: Имеем. Ну давайте просто напросто икс равно её подставим в выражение для отношения r n + 1 к а and имеем дробь её разделить на единицу плюс единица в степени n.

294: Эта дробь больше единицы. Ну, чтобы это, так сказать, обосновать. Давайте вспомним, что последовательность единица плюс единица на н. Все в степени n сходится к числу.

295: Е монотонно возрастая, то есть при каждом значении знаменатель нашей дроби меньше числителя, сама больше. Ну, это означает, что

296: N. А стало быть, дробь единицы.

297: Е. Монотонно возрастая, то есть при каждом значении n знаменатель нашей дроби меньше числителя, а стало быть, дробь сама больше единицы. Ну, это означает, что

298: Числитель больше знаменателя, то есть а с номером n + 1 больше, чем а с номером.

299: Н.

300: Числитель больше знаменателя, то есть а с номером n + 1 больше, чем а с номером н.

301: Это даёт нам такую вот ситуацию. Значит, члены нашего ряда монотонно возрастают. Каждый следующий больше предыдущего. Такой ряд, конечно, сходиться не может. Наш ряд.

302: Расходится, ну, сформулируем ещё 1 признак, более сильный, чем признаки каши и даламбера.

303: Ну, разумеется, не максимально, так сказать, сильный, максимально сильных признаков не существует, но тем не менее. Итак, у Рааб предположение такое пусть существует предел при стремящимся бесконечности.

304: Такого вот произведения умножить на разность разность берётся вот какая из отношения энного члена ккк н плюс 1 вычитается.

305: Н единица. Так вот пусть.

306: Такого вот произведения н. Умножить на разность разность берётся вот какая из отношения энного члена ккк н плюс 1 вычитается единица так вот пусть.

307: Пусть существует этот предел, обозначим его через р. Заключение у раб таково если р больше единицы, ряд исследуемый сходится, если рр меньше единицы.

308: То расходится, значит, обратите внимание по сравнению с признаками каши даламбера здесь заключение как бы в некотором смысле противоположное р. Больше больше единицы, сходится меньше единицы расходится.

309: Ну и полезное упражнение. Рекомендуем слушателям его попробовать выполнить с помощью вот этого самого признака. Рабы исследуете предлагаемый вам ряд, энным членом ряда которого явля,

310: Дробь в числителе факториал в знаменателе икс + 1 умножить на икс + 2 и так далее умножить на икс плюс and н слагаемых вида x plus ка где-ка это любое число?

311: Единицы до n. Ну и икс больше нуля. Вот, значит, в этой ситуации признак раба должен

312: Так эффективно сработать 4. Пункт интегральный признак. Признак каши. Значит, признак каши с радикалом нам уже встречался иногда его так громко именно

313: Радикальным признаком коши. Ну это на самом деле он никакой не радикальный.

314: Вот он довольно слабый, но тем не менее, значит. Итак, интегральный признак в этом признаке участвует интеграл несобственный. Значит, предположим, что функция ф от икс, определённая при

315: На промежутке от единицы до плюс бесконечности является непрерывной раз положительная 2 и убывающей 3 интегральный признак можно сформулировать следующим образом.

316: Ряд сумма n от единицы до бесконечности ф. От and, значит, смотрим на этот ряд мы видим, что энным членом этого ряда является значение функции f в.

317: Натуральные точки н. То есть это ряд, ну, достаточно специального вида, так вот, такой ряд сходится, только если сходится несобственный интеграл по промежутку от единицы до плюс бесконечности от fun.

318: Функция f, ну функция положительна, там непрерывная, это сходится не собственно интеграл. Просто означает, что интеграл имеет конечное значение.

319: Ну, это довольно удобный признак, правда, он, может быть, может применяться только в такой специальной ситуации в случае специаль рядов специального вида. Значит, тут должна участвовать.

320: Некая функция достаточно хорошая.

321: Ну, работает на практике этот признак очень просто. Вот дан ряд, мы находим функцию ф, составляем интеграл от этой функции.

322: Обычно интеграл или вычисляется, ну, в таких нормальных случаях или оценивается легко и делаем заключение относительно самого ряда.

323: Ну вот там мы предлагаем попробовать доказать этот самый признак интегральный в качестве указания.

324: Можно использовать.

325: Доказательства можно основывать на таком двойном неравенстве. Интеграл от как + 1 от нашей функции заключён. Значение его заключено в границах от

326: Меньше границы ф Отт-ка + 1 до большей границы. Ну и вот суммирование таких неравенств, оно может привести вас к доказательству.

327: Эф от-ка.

328: Меньше границы ф Отт-ка + 1 до большей границы эф от-ка. Ну и вот суммирование таких неравенств, оно может привести вас к доказательству.

329: Рассмотрим 2 примера применения интегрального признака 1 пример ряд, энным членом которого является дробь единица делить на ноги.

330: Натуральный н ну x. Мы.

331: Заменив здесь n на выпишем функцию ф от икс, она определяется равенством эф от икс равно един.

332: Натуральный н ну, заменив здесь n на x, мы выпишем функцию ф от икс, она определяется равенством эф от икс равно един.

333: Разделить на икс логарифм икс рассматривается эта функция при x на промежутке от 2 до бесконечности ну это значения не имеет. Там вот теперь вместо ряда мы

334: Берём интеграл несобственный от 2 до бесконечности вот нашей функции единица на x логарифм так вот, если с рядом как-то довольно сложно обходиться.

335: Икс д икс было.

336: Берём интеграл несобственный от 2 до бесконечности вот нашей функции единица на x логарифм, икс д икс. Так вот, если с рядом как-то довольно сложно было обходиться.

337: Члены довольно сложно выглядят и непонятно что с ними делать можно было.

338: Так вот, в отличие от этого, с функцией, подинтегральной, с под интегральным выражением, так сказать, обращаться можно довольно просто, а именно дробь единица на x это производная от логарифма икс можно.

339: Выполнить подведение логарифма под знак дифференциала, значит, под интегральное выражение превратится в д логарифм икс разделить на, ну, фактически, давайте мысленно логарифм икс считать новые переменные. Ну так.

340: Логарифм икс. Вот.

341: Выполнить подведение логарифма под знак дифференциала. Значит, под интегральное выражение превратится в д логарифм икс разделить на логарифм икс. Вот, ну, фактически, давайте мысленно логарифм икс считать новые переменные. Ну так.

342: Т. Скажем так, в уме, значит, подинтегральное выражение д. Т разделить на t это табличный интеграл логарифм т. Но в качестве тэ у нас фигурирует логарифм икс, значит, мы получаем так называемый логарифм логарифм икс, так называемый.

343: Повторный логарифм.

344: И взять его нужно в пределах от 2 до плюс бесконечности ну, разумеется, эта подстановка даёт нам плюс бесконечность, поскольку логарифм логарифма икс есть функция неограниченно возрастающая.

345: Значит, не собственный интеграл имеет бесконечное значение. То есть интеграл расходится, следовательно, и наш ряд тоже расходится. То есть его сумма, а это ряд с положительными членами. Его сумма равна бесконечности. 2 пример.

346: Важны, важны в этом примере мы рассматриваем стандартные ряды, которые чаще всего используются при сравнении испытуемых при исследовании испытуемых.

347: Исследуемых при исследовании рядов, заданных на сходимость, значит простейшие ряды дирихле энном Членова положительное число.

348: Пусть п.

349: Исследуемых при исследовании рядов, заданных на сходимость, значит простейшие ряды дирихле энном Членова, пусть п положительное число ном.

350: Членом ряда дирихле является дробь единица делить на n в степени п.

351: Вот обратите внимание, если п равно единице получается ряд вида, сумма единицы делить на н. Это гармонический ряд. Мы знаем, что он расходится, а скажем, при п равном 2 получается.

352: Ряд, энным членом, который является дробь единица, разделить на н. Квадрат. Этот ряд нам встречался выше, и мы видели, что он сходится. Значит, среди рядов дреле есть как сходящиеся, так и

353: И расходящаяся, ну, сходимость ряда директе исследуется очень просто с помощью как раз интегрального признака. Значит, соответствующая функция выглядит так. Единица разделить на икс в степени п.

354: Соответствующий несобственный интеграл от единицы до бесконечности, от функции единица делить на икс в степени п. Д икс при п. Отличном от единицы это интеграл, от степенной функции берётся максималь.

355: Просто.

356: Получается икс в степени минус пэ + 1 разделить на минус п + 1 и значит его в пределах от единицы до бесконечности. И предел на бесконечности существенным образом зависит от знака показателя у

357: X. От знака числа если этот знак положительный, то есть если число минус п + 1 предел x в этой степени.

358: Минус п + 1 положительно то.

359: X от знака числа минус п + 1 если этот знак положительный, то есть если число минус п + 1 положительно, то предел x в этой степени.

360: Равен бесконечности, а это случится, если pp. А если показатель икс стоит в отрицательной и собственно интеграл имеет

361: Меньше единицы. Вот отрицательный степени, то предел равен нулю.

362: Равен бесконечности, а это случится если pp меньше единицы. Вот. А если показатель отрицательный икс стоит в отрицательной степени, то предел равен нулю и собственно интеграл имеет

363: Конечное значение единица разделить на п. - 1 это случится, если п. Больше единицы. Ну, ещё раз ещё вспомним, что при п. Равном единице мы получаем расходящиеся интегралы, расходящиеся гармонические.

364: Ряд. И таким образом, заключение наше таково ряд дирихле с показателем сходится, если показатель п больше единицы и расходится.

365: П строго.

366: Ряд и таким образом, заключение наше таково ряд дирихле с показателем п. Сходится, если показатель п больше единицы строго и расходится, если показатель

367: Не превосходит единицы. В частности, если п получается расходящийся гармонический, так идём дальше. Параграф.

368: Равно единице, ряд 3. Сходя

369: Не превосходит единицы, в частности, если п равно единице получается расходящийся гармонический ряд. Так идём дальше. Параграф 3 сходя.

370: Произвольных, ну, произвольные ряды это ряды, члены которых могут совершенно произвольные, то есть члены ряда могут быть как положительными, так и отрицательными.

371: Рядов, иметь знаки. Ну и

372: Произвольных рядов, ну, произвольные ряды это ряды, члены которых могут иметь совершенно произвольные знаки. То есть члены ряда могут быть как положительными, так и отрицательными. Ну и

373: Может быть, интерес представляет случай, когда как положительных, так и отрицательных ряд имеет бесконечно много пункт 1, абсолютная, говорят, что ряд сумма.

374: Членов сходимость.

375: Может быть, интерес представляет случай, когда как положительных, так и отрицательных членов ряд имеет бесконечно много пункт 1, абсолютная сходимость говорят, что ряд сумма.

376: Сходится абсолютно, если сходится ряд.

377: Составленный из модулей членов из данного ряда, если сходится ряд, энным членом которого является модуль энного члена данного ряда. Ну понятно, что если ряд схо,

378: Сходится абсолютно, то он сходится, и при этом его модуль суммы этого ряда не превосходит суммы модулей членов.

379: Сумма.

380: Сходится абсолютно, то он сходится, и при этом его сумма, модуль суммы этого ряда не превосходит суммы модулей членов.

381: Этого ряда, то есть модуль суммы не превосходит сумму модулей для конечного числа слагаемых. Это свойство нам хорошо известно, но, оказывается, оно распространяется. Вот, и на случай, когда число

382: Бесконечно.

383: Пример, пример, вот.

384: Ну, рассмотрим вот такой знакопеременный ряд н изменяется от единицы до бесконечности. Энный член ряда выглядит так это дробь в числителе синус.

385: Пример, пример. Ну, рассмотрим вот такой вот знакопеременный ряд. Н изменяется от единицы до бесконечности. Энный член ряда выглядит так, это дробь в числителе синус.

386: And x в знаменателе н. Квадрат x здесь может быть любым.

387: Так утверждается, что этот ряд сходится, причём абсолютно, чтобы в этом убедиться, составим ряд из модулей членов этого. Тогда энный член

388: Ряда.

389: Так, утверждается, что этот ряд сходится, причём абсолютно, чтобы в этом убедиться, составим ряд из модулей членов этого ряда, тогда энный член

390: Из модулей это модуль дроби синус н икс разделить на эн квадрат, что не превосходит в силу того, что синус любого аргумента не превосходит единицы, не превосходит дроби единица разделить на н квадрат.

391: Ряд единиц на ряд с положительными членами, как мы хорошо знаем, сходится, значит, сходится по теореме сравнения ряд из модулей исследуемого, ну а стало быть, и исходный ряд тоже сходится.

392: Н квадрат ряда.

393: Ряд единиц на н. Квадрат, ряд с положительными членами, как мы хорошо знаем, сходится, значит, сходится по теореме сравнения ряд из модулей исследуемого ряда, ну а стало быть, и исходный ряд тоже сходится.

394: И мы можем ещё даже добавить. Сходится абсолютно пункт 2. Условная сходимость. Значит, бывают такие ситуации, когда ряд из модулей

395: Исследуемого ряда или данного ряда расходится ряд из модулей, расходится это ряд с положительными членами, расходится, а сам ряд тем не менее сходится.

396: Такая ситуация бывает. Ну, в этом случае, данном данном ряде сумма, говорят, что он сходится. Условная сходимость. Вещь довольно тонкая.

397: Об условно.

398: Такая ситуация бывает. Ну, в этом случае об данном данном ряде сумма, говорят, что он сходится условно. Условная сходимость. Вещь довольно тонкая.

399: И условная сходимость в некотором смысле объясняется взаимным погашением при суммировании положительных и отрицательных членов этого ряда.

400: И условная сходимость в некотором смысле объясняется взаимным погашением при суммировании положительных и отрицательных членов этого ряда, при этом порядок.

401: Расположение членов ряда играет существенную роль.

402: Имеется теорема римана об условно сходящихся рядах, говорит о том, что если ряд сходится условно и задано произвольно,

403: Она числовой.

404: Имеется теорема римана об условно сходящихся рядах она говорит о том, что если ряд сходится условно числовой и задано произвольно,

405: Число то члены ряда можно так переставить, поставить в таком порядке, что он будет сходиться и иметь суммой вот это наперёд заданное число или даже там бесконечность.

406: Вот, поэтому с условно сходящимися рядами нужно обращаться очень осторожно. Пункт 3 признак лейбница сходимости знака чередующегося ряда. Ну, пожалуй, это практически

407: Более важный признак, используемый при исследовании знака переменных рядов ряд вида а 0, - 1 плюс, a2 минус a3.

408: Значит.

409: Более важный признак, используемый при исследовании знака переменных рядов, значит ряд вида а 0 - 1 плюс, a2 минус a3.

410: Плюс a4 минус a5 плюс и так далее плюс минус единица в степени n, r, n плюс так далее до бесконечности, где все числа а, а, 0, a1 и так далее положительны.

411: Называется знакочередующимся в самом деле, знаки членов этого ряда по порядку чередуются, а 0 положителен, 2 член - 1 отрица.

412: Плюс a2 положительный член минус, a3 отрицательный.

413: И так далее.

414: Плюс, a2 положительный член минус, a3 отрицательный и так далее.

415: Имеется.

416: Сильный признак лейбница.

417: Относящийся к знакочередующимся рядам, он утверждает следующее если последовательность а. N. Монотонно убывая, это важно, монотонно убывая, стремится к нулю, то соответствующие.

418: Знакочередующийся ряд сходится.

419: Сходятся.

420: Вот, ну, доказательство этого признака довольно даже можно наметить схему. Ну, 1, что надо заметить при доказательстве.

421: Такое простое доказательства, значит.

422: Вот, ну, доказательство этого признака довольно такое простое. Даже можно наметить схему доказательства. Значит, ну, 1, что надо заметить при доказательстве,

423: Это то, что последовательности частичных сумм с чётными и нечётными номерами изменяются, являются монотонными последовательность частичных сумм с чётными номерами убывает.

424: Последовательность частичных сумм с нечётными номерами возрастает. 2 легко объясняется, что эти последовательности ограничены, это означает, отсюда вытекает, что существуют конечные пределы этих последовательностей.

425: Ну и значит.

426: С со звёздочкой и с снизу внизу, и с со звёздочкой вверху, сверху, после частичных.

427: С со звёздочкой и с снизу внизу, и с со звёздочкой вверху сверху, ну и значит, после частичных

428: Сумм с чётными номерами сходятся к какому-то своему пределу по частичных сумм с нечётными номерами, какому-то своему пределу. Но на самом деле эти пределы совпадают, ну, за счёт того, что член

429: Ряда вот эти а с номером n, монотонно убывая, стремятся к нулю.

430: Ну, отсюда вытекает, что существует предел вообще последовательности частичных сумм. И это означает как раз, что ряд сходится.

431: Ну вот самый простой. Возьмём гармонический, и у каждого 2 члена поменяем знак. Получится ряд 1 - 1, 2 + 1, 3, - 1, 4 и так далее.

432: Пример ряд, значит, ну.

433: Ну вот пример самый простой. Возьмём гармонический ряд, и у каждого 2 члена поменяем знак. Получится ряд 1 - 1, 2 + 1, 3, - 1 4 и так далее. Значит, ну,

434: Компактно это можно записать в форме по n от единицы до бесконечности минус единица в степени n - 1 единица делить на n. Вот, значит, это знак, чередующийся ряд раз. А.

435: Сумма это знак.

436: Компактно это можно записать в форме сумма по n от единицы до бесконечности минус единица в степени n - 1 это знак единица делить на n. Вот, значит, это знак, чередующийся ряд раз. А.

437: Anna, которая равна единице на н. Монотонно убывая, стремится к нулю, следовательно этот ряд сходится.

438: Пункт 4 оценка остатка ряда лейбницевского типа. Ну, рядом лейбницевского типа мы называем знак.

439: Ряд, который удовлетворяет признака ли, то есть, а бывает, стремится. Вот. Итак, пусть с это

440: Условиям н. Монотонно к нулю.

441: Ряд, который удовлетворяет условиям признака ли, то есть, а. Н. Монотонно бывает, стремится к нулю. Вот. Итак, пусть с это

442: Сумма представим виде слагаемых.

443: Ряда левисовского типа эту сумму в суммы 2 суммы с н и.

444: Сумма ряда левисовского типа. Представим эту сумму в виде суммы 2 слагаемых суммы с н и.

445: R n s n. Это сумма первых n + 1 членов ряда, ну, мы сохранили обозначение cc н и плюс р н р н. Это.

446: Сумма остатка. Ну, будем говорить, что это остаток, энный остаток ряда. Так вот, поскольку при доказательстве признака

447: Было выяснено, что сумма с при любом нн лежит между s n и s n + 1 то.

448: Остаток р н ну помо остаток р н равное с минус c and ну будем брать это по модулю меньше, чем разность n и n.

449: Plus 1 частичной суммы ну, представьте себе картину геометрически на числовой оси точки с н н + 1 и с а с n + 1.

450: И сн отличаются всего навсего н плюс 1 членом, а с номером n + 1 ну его модуль, независимо от того, какой там знак стоит плюс или минус это r n + 1 таким.

451: Образом модуль энного остатка ряда лесовского типа меньше строго чем а с номером n + 1 ну, обычно о члене а n + 1 там или о числе там.

452: Ну, иногда со знаком говорят, что это 1 отбрасываемый член. То есть ситуация такая. Мы будем считать, что приближённо с равно

453: С н. С погрешностью, с ошибкой. Р. Н. Вот. И это выглядит так, как будто бы мы при вычислении с отбрасываем все члены, начиная с номера н.

454: + 1 там вот и r n + 1 это, ну ещё раз говорю, 1 отбрасываемый член. Можно такую терминологию использовать, значит пример вычислим.

455: Сумму ряда лесовского типа, где энный член, ну, модуль, где r n. Можно так сказать, это величина единица, делённая на 2 в степени n n.

456: С заданной наперёд точностью в 1 1000

457: Ну, давайте воспроизведём ещё раз картинку, которая была нарисована у нас в общем виде выше. То есть с представим в виде суммы 2 слагаемых с and уже

458: С нашим конкретным рядом и r n конкретным остатком.

459: Модуль остатка r and меньше, чем ну вот модуль этой дроби единица эн плюс 1 члена единица делить на 2 n плюс.

460: 1 n + 1 факториал так сделаем следующее подберём номер н так, чтобы вот эта дробь оказалась меньше чем 10 минус 3 степени, тогда и r n по модулю.

461: Будет меньше чем 10 в минус 3 степени, и если мы будем считать, что с приближённо равно с н, то при этом мы получим ошибку.

462: Которая меньше заведомо, чем 10 в минус 3 степени. Итак, подбираем. Н, оказывается, что годится. Н, равное 4. Посмотрите. Ну и тогда для вычисления

463: С требуемой точностью достаточно нам взять сколько там 5/1 членов нашего ряда.

464: 1 - 1, 2 + 1 8, - 1 48 + 1 384. Вычисляем, ну, с некоторым запасом там. Вот. Ну и получаем результат 0 60 68.

465: Ну, уместно, наверное, сделать замечание в действительности эту сумму можно точно записать, используя число е. Значит, когда мы познакомимся со степенными.

466: Рядами мы узнаем, что число с равно е в степени - 1, 2.

467: То есть единица разделить на корень квадратный из x.

468: Пункт 5 признак дирихле это довольно сильный признак. Он в принципе относится, может использоваться для исследования.

469: Переменных рядов довольно общего вида.

470: Вот формулируется он. Так вот, предположим, что есть ряд сумма бэ, н, ну, такого общего вида члены этого ряда могут быть

471: Иметь произвольный знак. Вот и неизвестно, сходится или расходится этот ряд. Сумма бэ н вот, но известно, что последовательность частичных сумм этого ряда

472: Ограничена, то есть сумма б. Н малая малая, где малое изменяется от единицы до n большого по модулю, не превосходит некоторые константы общее для всех номеров н большое.

473: Вот, в принципе, отсюда не вытекает, что ряд, сумма б сходится. Ну так вот, оказывается, что если члены этого ряда умножить на члены последовательности из положительных чисел,

474: Последовательности, которая стремится к нулю, монотонно убывая, то получится уже заведомо сходящийся ряд.

475: Вот это и есть признак дирихле. Ну, аккуратную формулировку вы можете посмотреть в записи, вот в отдельной строке, ну и

476: Мер пример использования этого признака. Значит, тут надо сразу сказать, что никакие предыдущие признаки здесь не работают и не сработают. В принципе, значит, ряд такой

477: Это дробь синус н икс разделить на n в степени пэ пэ положительное число а x любое x любое вот ну итак, в качестве чисел а and они долж.

478: Образовывать последовательность, монотонно убывающую, стремящуюся к нулю, возьмём единица делить на в степени п. В качестве б. Ну, мы просто вынуждены взять синус н. X.

479: Значит, если мы посмотрим на ряд из бэ эних, то это будет ряд из синусов н x почти никогда не было бы странно, если бы он сходился.

480: Такой ряд сходится. Вот.

481: Значит, если мы посмотрим на ряд из бэ эних, то это будет ряд из синусов н x. Такой ряд почти никогда не сходится. Было бы странно, если бы он сходился. Вот.

482: Тем не менее, он обладает хорошим свойством, а именно все частичные суммы ряда из синусов н. С членами синус оказываются ограниченными. Ну, здесь мы вот воспользовались формулой для

483: X н. X.

484: Тем не менее он обладает хорошим свойством, а именно все частичные суммы ряда из синусов н. X с членами синус н x оказываются ограниченными ну, здесь мы вот воспользовались формулой для.

485: Суммы синусов.

486: Икс пи формула.

487: Она работает, если пополам некратно посмотрите, какая это. Ну и из этой формулы мы можем, получаем оценку для модуля.

488: Она работает, если икс пополам некратно. Пи, посмотрите, какая это формула. Ну и из этой формулы мы можем получаем оценку для модуля.

489: Синус икс. Это делается просто в числителе. Модуль числителя дроби не превосходит 2, поскольку каждый, каждый из косинусов не превосходит 2 по

490: Модулю, независимо от того,

491: Синус икс это делается просто в числителе модуль числителя дроби не превосходит 2, поскольку каждый, каждый из косинусов не превосходит 2 по модулю, независимо от того,

492: Какой там аргумент на 2 можно сократить. Ну и получается оценка, что это частичная превосходит дробь единица разделить на синус икс пополам.

493: Сумма.

494: Какой там аргумент на 2 можно сократить? Ну и получается оценка, что это частичная сумма превосходит дробь единица разделить на синус икс пополам.

495: Ну, при фиксированном икс, если синус икс отлично от нуля, значит, эта оценка от н большого не зависит. Это значит, что работает признак Дерех и ряд рассматри.

496: Сходится.

497: Ну правда сходится при любом x, при котором синус икс пополам не равен нулю, ну, если синус икс пополам равен нулю, то x это величина кратная 2 ка пи.

498: Тогда числители всех дробей, ну, выражения для энного члена, они равны нулю и ряд, так что наше утверждение таково этот сходится при любом x.

499: Тоже сходится ряд.

500: Тогда числители всех дробей, ну, выражения для энного члена, они равны нулю, и ряд тоже сходится, так что наше утверждение таково этот ряд сходится при любом x.

501: Благодарим слушателей за внимание, рекомендуем при необходимости обращаться к тексту этой лекции.

502: Мы надеемся, что материал, касающийся числовых рядов, здесь изложен достаточно понятно, доступно и вполне может использоваться на пра.

503: Ну, желаю вам успехов.

504: До встреч.

505: В нашем курсе.

506: Математического анализа.

507: В нашем курсе математического анализа.