0: С градиентами перемещений и соотношение 6 соотношений алгебраических закона гука лямбда, тетта дельта и жи + 2 мю эпсилон и жи.
1: Вот эти 15 уравнений выполнены в области тела x принадлежит в. Вот мы рисуем это тело в часть границы сигма, у часть сигма сигма на.
2: Части сигма у заданы перемещения, как функции координат, а на части сигма сигма заданы векторы усилий.
3: Или вектор напряжения как функция координат?
4: Ну, мы, значит, помним, что тензор деформации у нас разбивается на девиаторной часть и шаровую 1 треть дельта и жи тета это 1 вариант.
5: Тензера деформации также и напряжение сигма и жи разбиваются на девиатор и шаровую часть сигма и жи сигма среднее напряжение.
6: Жение 1 треть сигма. Как
7: И напомним, что закон гука вот эта 3 строчка в системе можно записать отдельно для девиаторных частей с yi zhi, равно 2 мю.
8: Е и жи, и отдельно для шаровых частей сигма равно к большое тета. Вот заодно вспомним, что такое к модуль объёмного расширения сжатия ям.
9: + 2/3, мю, вот, значит, эти 15 уравнений, плюс граничные условия составляют начально.
10: Составляют краевую задачу квазистатической теории упругости, и её можно свести к каким-то постановкам с помощью редукции уравнений. Вот 1 из таких постановок это была постановка в перемещениях
11: Установка в перемещениях.
12: Значит, это мы получали 3 уравнения ламе равновесия относительно 3 компонент вектора перемещений. Кроме того, граничные условия тоже можно свести только к перемещению.
13: На части сигмы у они уже заданы в перемещениях, а на части сигма сигма нужно напряжение выразить через перемещение. Тоже понятно как из основной системы уравнений.
14: Вот, значит, мы сегодня поговорим. Это вот я так на анонсирую, на будущее постановка в напряжениях есть ещё?
15: Напряжения, то есть относительно компонент тензора напряжений. Надо вывести систему, но предварительно вот о чем вспомним. Вы можете спросить, а как же так в основную систему
16: Уравнение не попали уравнения совместности.
17: Которые у нас были в 1 семестре, значит, уравнения совместности, помните, были уравнения совместности деформаций.
18: Значит, они записывались по разному, их записывают через символы левиче виты. Ну вот, самым простым и понятным образом сигма альфа альфа по бета бета плюс.
19: Sigma, бета бета по альфа альфа равно 2, эпсилон альфа бета по альфа бетта это 1 тройка уравнений альфа бетта обязательно разные индексы и 2 тройка альфа альфа по.
20: Бета гамма плюс эпсилон бета гамма по альфа альфа равно эпсилон бета альфа по альфа гамма плюс эпсилон гамма альфа по альфа бета.
21: Значит деформация обязана удовлетворять вот этим уравнениям, то есть они должны быть тождественными, поэтому их ещё называют тождества сен венана тождество сен венана если epsilon действительно.
22: Творят как тождество.
23: Ну вот, значит, их 6 в случае, когда трёхмерная у нас задача. И сколько, напомните, если она 1, если двумерная плоская задача?
24: Значит, здесь альфа, бета, 1, 2, 2, 3, 3, 1, а здесь альфа, бета гамма, тройка, ну, например, достаточно чётная. 1, 2, 3, 2, 3, 1, 3, 1, 2. Все остальное симметрия, которые не дают нового, ничего, значит,
25: 3 + 3 это 6 уравнений в трёхмерном случае, а из них нетривиальным в плоском случае сколько остаётся.
26: В плоском случае от 3 ничего не зависит, и все, что с индексом 3 у эпсилон равно нулю.
27: Из 2 группы остаётся что-нибудь? Нет, потому что обязательно 1 из индексов 3 равен альфа бета гамма 3 индекса ничего не остаётся, а из верхнего остаётся только 1 когда альфа равно единице бета.
28: Равно 2. Значит, в двумерном случае 1 уравнение совместности независимое в трёхмерном 6, ну а дальше с Ростом размерности уже там более сложная задача уже это друга.
29: Теория так вот почему у нас вдруг мы забыли об уравнениях совместности, а хотим определить 15 функций отсюда каких 15 функций у и epsilon жи и сигма и жи.
30: Почему же вот эта шестёрка, эпсилон проигнорирована, что она должна удовлетворять? Может, её включить нужно туда.
31: Ну, это не случайно она проигнорирована, а законно каким образом тут надо рассуждать. Вот, значит, почему эти уравнения будут выполняться автоматически, если, если
32: Эпсилон сигма и у удовлетворяют системе этих 15 уравнений.
33: Их можно включить, конечно, но толку от этого нового ничего не будет.
34: Почему будет автоматическое удовлетворение этом? Давайте это ещё раз вопрос повторим и проверим просто руками.
35: Вот у нас это было в 1 семестре. Я вот, и причём целую лекцию мы этому посвятили. Я не хочу возвращаться опять. Значит, вот 6 уравнений относительно 6 Неизвестных. Какое общее?
36: Решение вот это тот редкий частный случай системы в частных производных, когда существует общее решение этой системы.
37: Обычно общее решение записывается для обыкновенных дифуров, а тут в частных производных, да ещё вот такая она не совсем симметричная, но можно написать, что эпсилон равно чему.
38: Значит, решение этой системы эпсилон равно деформатор. Ну, некоторого поля. Давайте, а его назовём.
39: Если epsilon удовлетворяет уравнением совместности, это обязательно должен быть деформатор, то есть эпсилон Ижи равно вот этому и в обратную сторону, верно, если.
40: Epsilon деформатор то он обязательно удовлетворяет этой системе ну давайте вот 2 мы сейчас проверим, это более легко сделать и быстро значит, 1 основное утверждение если epsilon решение, то обязательно должен быть деформатор, обязательно должен.
41: Вот симметричная часть какого-то градиента векторного поля.
42: А поскольку мы уже включили это требование в систему, значит, эти уравнения будут автоматически выполняться. Ну, проверим, значит, вот я даже так напишу проверка, пусть эпсилон.
43: Удовлетворяет уравнениям соотношение каши. Если на них посмотреть, как на уравнение относительно y, почему удовлетворяются эти уравнения, проверим эпсилон альфа альфа. Это что такое вот я
44: Подставляю теперь сюда, у альфа запятая альфа.
45: Да ещё бета бета, да плюс у бета бета альфа альфа. Вот надо проверить, почему это равно 2 эпсилон альфа бета a2.
46: Альфа бетта двойку переносим сюда у альфа по бета плюс у бета по альфа запятая альфа бетта.
47: Ну а это видно, что это верно.
48: Правильно, вот это сокращается с этим, а вот это сокращается с этим.
49: Так, теперь это 1 и 2. Давайте вот сюда теперь подставим в эту группу уравнений. У альфа по альфа запятая бета гамма плюс.
50: Epsilon бета гамма + 1, 2 у бета по гамма плюс у гамма по бета запятая альфа альфа почему это равно?
51: 1, 2 у бета по альфа плюс у альфа по бета запятая альфа гамма + 1, 2 у гамма по альфа плюс.
52: У альфа погамма запятая альфа бета.
53: Ну, надо внимательно посмотреть, что здесь все сокращается. Ну вот, значит, вот это у альфа альфа сокращается вот с этими 2 одними, вторыми, да?
54: Так, теперь 1, 2 у бета сокращается вот с этим. Ну и у гамма сокращается вот с этим.
55: Значит, деформатор удовлетворяет уравнением совместности деформации, на то он и называется деформатор название терминологии не случайно.
56: Значит, это вот мы такое сделали замечание, объяснили, почему не обязательно эти уравнения вбрасывать в общую корзинку, они и так удовлетворятся.
57: И, значит, их нет. Естественно, в постановке, в перемещениях. Почему? Потому что постановка в перемещениях нам даёт на выходе вектор перемещения, решение задачи перемещения. А если
58: Такой вектор есть, то по нему строятся деформации по этим соотношениям, а все, значит, удовлетворяется уравнение совместности. Значит, в постановку в перемещениях мы тоже включаем.
59: Только уравнение ламе, 3 уравнения, и никаких больше совместностей не заботимся.
60: Существование вектора перемещения обеспечивает нам совместность деформаций, если помните, физический смысл уравнения, совместности деформаций как раз и был в том, чтобы существовало перемещение.
61: Так, чтоб по деформации можно было построить перемещение.
62: А если мы уже решили задачу и предъявили решение в перемещениях, то, очевидно, это выполнено.
63: Вот это важно в преддверии 2 пункта. Постановка в напряжениях, к которой мы сейчас с вами и переходим. Вот это такой важный теоретический раздел постановка задачи теории.
64: Упругости напряжения.
65: А, нет, мы сейчас, мы сейчас не будем говорить, что любое решение это деформатор, это я сейчас опускаю это.
66: Была посвящена целая лекция в 1 семестре. Сейчас мы просто проверили более лёгкую стрелочку в эту сторону. Что если это деформатор, то это удовлетворяется, а нам именно это сейчас нужно
67: Так, постановка задачи теории упругости в напряжениях ну вот из самого названия, значит, хочется из этой системы 15 уравнений редуцировать её таким образом, чтобы в неё входи.
68: Только напряжение ни деформации, ни перемещения, что в неё не входили.
69: Ну смотрим, 1 уравнение подходит уравнение равновесия. Там уже одни напряжения и массовые силы. Берём сигма и жи пожи плюс ро ф и равно нулю.
70: Ну, если посмотреть на 3 строчку, там тоже есть напряжение, но они зацепляют ещё и 6 деформаций.
71: То есть, если я включу их сюда, то получится ещё и 6 деформаций. Надо искать нежелательно. Ну а в 3, в средней строчке вообще нет напряжения. Это связь перемещений и деформаций, значит, из
72: Этих 15 мы можем отобрать только 3 пока, а Неизвестных сколько, если мы хотим в напряжениях искать 6 3 уравнения относительно 6 Неизвестных не хва.
73: Уравнение явно.
74: Но есть условия деформаций теперь то нет соотношений каши в нашей системе.
75: Значит, нужно учесть вот эти уравнения в деформациях, но они в деформациях.
76: Я их не могу взять и написать систему, они в деформации. Что делать?
77: Нужно выразить деформации через напряжение, с помощью чего? Обратного закона гука. Вот давайте его как раз кстати, вот здесь и вспомним.
78: Epsilon и жи равно единице на е - 3 ню сигма дельта и жи плюс единица плюс ню сигма и жи.
79: Итак, нужно добавить уравнение совместности. Ну вот я вот это вот, вот эти уравнения, я так буду записывать некий тензер этой
80: Его назовём зависящие от эпсилон равно нулю. Вот на самом деле это можно показать, что это компоненты некоторого тензера. Будут все компоненты тензера. Это этот тензер называется тензер несовместности.
81: Кронера.
82: Вот тот факт, что все компоненты этого тензора равны нулю, равносильны выполнению 6 уравнений совместности можно точно выписать, что это за тензор значит.
83: Там будут входить свёртки Левичев, это только сейчас затуманит мозги, значит,
84: Я должен написать, что это от epsilon, которая по обратному закону гука зависит от sigma, равно нулю.
85: Вот уравнение совместности, куда подставлено вместо деформации напряжение по обратному закону гука. Вот они так условно записаны. Можно вопрос, да, как у нас ещё? Ну вот я могу написать, но
86: Значит, могу написать так факультативно, но сейчас доказывать это не буду это и жии равно a i k l на э жи м н эпсилон.
87: Car н запятая эль м.
88: Прошу любить и жаловать туда входят вторые производные деформации свёртки идут по cc н l m. Если вы все аккуратно запишите честно, то получите, что это этот симметричный тензор будет, конечно.
89: Симметричный, и он равносилен его равенство нулю равносильно вот этим 6 уравнениям.
90: Значит, получается система такая в области тела нужно решить, сколько уравнений теперь.
91: Было 3 мало, потому что 6 компонент добавили сколько?
92: 6 добавили, 3 + 6 9 стало относительно 6 компонентов переборщили, значит, хочется теперь какую-то тройку убрать.
93: Такое желание, естественно, есть, но вот не всегда бывает, кстати, что число уравнений, если оно не совпадает с числом Неизвестных, это что-то не то бывает, что это неравенство.
94: Ни к чему плохому не приводит, что решение может быть вполне единственным.
95: Пока вот, значит, 9 уравнений относительно 6 компонент напряжений.
96: Так, и предположим, вот очень неприятно, если есть часть границы сигмы, у, тогда надо перемещение выражать через напряжение, а это происходит, значит, с помощью контурных интегралов, поэтому
97: Обычно задачу в напряжениях ставят тогда, когда вся граница это сигма, сигма, когда на всей границе заданы нагрузки. Вот, предположим, пусть
98: Вся граница сигма это сигма, сигма, кинематическая часть равна нулю, и тогда, при x, принадлежащем сигма, сигма и жи на н жи равно п.
99: И с нолик.
100: Ограниченных условий получается 3, и никуда, никаких больше никуда не денешься, ниоткуда их не возьмёшь, значит, относительно 6 компонент тензора напряжений.
101: Мы получили 9 уравнений в области перебор, но недобор на границе, 3 уравнения граничных условий вообще то желательно, чтобы было 6 относительно 6 компонентов 9.
102: 6 3.
103: Такой Люфт. Ну вот, тем не менее, давайте продолжим рассуждать.
104: Пока отметим, что такой Люфт есть этих 3 цифр. 9, 6, 3. Значит, вот я теперь хочу эти уравнения совместности в напряжениях немножко по другому записать, не просто подставить в эту шестёрку обратный
105: Закон гука, а ещё ещё учесть, что в эту же систему входит уравнение равновесия.
106: То есть преобразовать это так, чтобы ещё учесть уравнение равновесия.
107: И вот эти уравнения совместности в напряжениях, которые мы сегодня выведем, они будут рассматриваться в совокупности с уравнениями равновесия.
108: Вот по разному их можно выводить. Можно действительно вот подставить сейчас в эти 6 уравнений совместности обратный закон гука и вот ещё использовать где-то уравнение равновесия. Ну я более такой, ну
109: Мой взгляд изящный способ, предложу он тоже есть в литературе, в учебниках, вот в чем он заключается.
110: Значит, вот мы сейчас хотим эти уравнения в напряжениях, в равновесии, уравнения, совместности в напряжениях, вывести из вот этих уравнений и уравнений равновесия.
111: Давайте возьмём уравнение ламе от них будем плясать лямда плюс мю у жи плюс у жи по жи и плюс мю у и по жи жи.
112: Плюс ро ф и равно нулю.
113: Уравнение ламе, мы их вывели, они существуют истинные, да, и вот что сделаем. Сначала продифференцируем эти
114: Уравнение по по к давайте я так напишу ниже я напишу лямда плюс мю у жи запятая жи к вместо и к напишу плюс мю у и жи жи к
115: Ро фк равно нулю, что тоже несомненно верно.
116: Теперь возьму вот эти уравнения, продифференцирую по x к. Вот эти по x и y сложим.
117: И сложим.
118: Ну посмотрим, что будет у по жи ужи по жи и к плюс ужи по жи ки одно и то же.
119: Можно уточнить лишний индекс там? Сейчас, сейчас, сейчас, сейчас, да, минутку. Да, да, да, да, да. Это че то я не то написал у к ogg, правильно?
120: Правильно, да.
121: Значит, это по x к. Это по x и y сложим.
122: Получится уже тензорное уравнение. 2 индекса будут свободны у получившейся суммы у 1 слагаемого. Структура такая, что вот у будет одно и то же ужи по жи и к а здесь ужи по жи ки, значит, я
123: Могу вынести за скобку будет двойка 00 плюс мю ужи, пожи, это есть тета.
124: Запятая и к плюс.
125: Мю и по к жижи, плюс мю к по и жижи это 2 эпсилон и к по жижи плюс ро ф и по к.
126: Равно нулю. Вот проверьте, пожалуйста.
127: Theta это вот эпсилон к к. Оно же есть у к по к.
128: Значит, тем самым мы вывели уравнение, в которое входят только деформации. От перемещения ушли.
129: Так.
130: Ну, теперь нужно выразить тета и epsilon через сигма и подставить в эти уравнения и дальше преобразовывать.
131: Давайте это сделаем. Значит, тета это есть сигма, делённая на к или на лямда. + 2/3 мю. Я так и буду писать 2 лямда, плюс мю делённое на лямда, + 2/3 мю.
132: Sigma, запятая и к.
133: А, мю ещё правильно? Да, спасибо. Да. 2 мю, эпсилон, все правильно.
134: Двойка, понятно откуда. Да идёт здесь.
135: Потому что у и по к плюс у к по и это 2 эпсилона-ка. И здесь двойка, и там двойка.
136: Значит 2 мю а epsilon и к так напишем это е и к плюс.
137: 1 треть тета дельта и к запятая по жи жи плюс ро.
138: Ф, и по, к, плюс ф, к, по и.
139: Равно нулю. Сейчас мы вот эту дробь выразим через коэффициент пуассона, а пока я вот сюда.
140: Подставлю напряжение 2 лямда плюс мю делённое на лямда, + 2/3 мю сигма запятая и к
141: А + 2 мю е и к. Это что такое у нас?
142: Просто с и к с и к. Запятая жи жи + 1 треть сигма делённая.
143: На лямда + 2/3 мю тета дельта и к
144: По жижи.
145: Так.
146: Плюс ро ф и по к плюс ф к ai равно нулю.
147: Вот, собственно, уже уравнение совместности в напряжениях получено, потому что стоят только напряжения сигма, девиатор напряжений сигма стоит.
148: Ну их давайте мы приведём покрасивее. Ну, во первых, вот эти отношения. Так, только вот здесь мю, ещё я пропустил, да, 2 мю, вот здесь. Ага.
149: Вот эти отношения безразмерные, вот это и вот это надо выразить через коэффициент пуассон выразим коэффициент пуассона ню равен лямда, делённое на 2.
150: Плюс мью.
151: Значит, получается, мю на лямда равно единица на 2 ню - 1.
152: Я переворачиваю или единица - 2 ню на 2 ню.
153: Теперь вот эту берём, это вот это выражение двойка. Значит, тройка идёт сразу сюда. Будет 2 лямда. Плюс миу, делённое на лямда, + 2/3.
154: Во первых, это равно 6 лямбда плюс мю на 3 лямбда, + 2 мю.
155: Делим на лямда. Числитель и знаменатель. 6 единица плюс мю на лямда на 3, + 2 мю на лямда и
156: Ставляем коэффициент. Посол 6 единица плюс единица, - 2 ню на 2 ню, делённое на 3 плюс.
157: 2 на единицу, - 2 ню на 2 ню.
158: Умножаем на 2 ню.
159: И что мы получим?
160: Здесь получим единичку.
161: А здесь что 6 nu - 4 ню это 2 ню + 2 2 на единицу плюс ню.
162: Или 3 на единицу + 0.
163: Значит, вот эта вот дробь с двойкой равна 3 на единицу. Плюс не
164: 3 на единице плюс ню сигма запятая и к
165: Плюс с и к по жи жи.
166: Плюс теперь вот с этим разделываемся. 2 мю натрий лямда + 2/3 мю 2 мю натри.
167: Дини 3 и лямда + 2/3 ми, да, значит это будет 2 мю на 3 лямбда + 2 мю.
168: Делим на лямда 2 мю на ляда на 3 + 2 мю ноля.
169: И подставляем коэффициент полосу 2, умноженное на единица - 2 ню, на 2 ню.
170: Делённое на 3 + 2 на единица, - 2 new на 2 new.
171: Таак равно.
172: Значит, 2 на единицу, - 2 ню, делённое на 6 nю.
173: - 4 ню это 2 ню, 2 на единице плюс ню.
174: Единица. - 2. Ню на единица плюс.
175: Проверяйте, чтоб где нигде не ошибся, значит, получается единица - 2 new.
176: На единица плюс ню сигма запятая жи жи дельта и к плюс ро.
177: Ф и пока плюс ф к по и.
178: Равно нулю.
179: Опять мы не остановимся на этом.
180: Потому что это можно упростить.
181: Значит, вот если внимательно посмотреть, то можно оператор лапласа от среднего напряжения выразить исключительно через массовые силы и потом сюда подставить.
182: Оператор лапласа от среднего напряжения, сигма запятая жи жи. Что для этого надо сделать, чтобы эту связь получить? Пока это тензорное равенство? 2 индекса свободны и и к
183: Что хочется сразу сделать, свёртку-ка положить равным и просуммировать.
184: Действительно, что мы тогда получим с вами?
185: Положим, кк равно и и суммируем.
186: Значит, здесь будет 3 делить на единицы. Плюс ню сигма запятая как
187: Дальше, если в 9 напряжений положить кк, равно и то, что будет.
188: След девиатора равен нулю, от этого ничего не будет, а здесь, если кк равно и положить, что будет.
189: Сколько тройка? Тройка будет сигма кк равно 3 + 3 на единицу - 2 ню деле.
190: На единице плюс ю сигма, давайте я тоже напишу как индекс немой, чтобы был так же как в 1 слагаемом жи жи кк все равно + 2 raw ф к.
191: А пока равно нулю.
192: Действительно, можно выразить, получается.
193: Можно выразить.
194: Тут мы нигде не ошиблись. 6, так?
195: Так, значит, что здесь получается сигма какая, если за скобку вынести, то будет вот эта сумма?
196: У них общий знаменатель, значит, будет 6 - 6 nю.
197: 6 - 6 nu с двойкой я сразу сокращу будет 3 3 на единица минус ню, делённое на единицы плюс ню сигма к кк равно.
198: Минус ро уже без двойки ф к по к.
199: Значит, оператор лапласа сигма равен минус единица, плюс ню на 3 единица, минус ню ро, ф, к.
200: Пока вот действительно оператор лапласа от среднего напряжения однозначно выражается в теории упругости через массовые силы, через дивергенцию массовых сил тут.
201: Попутно такое любопытное утверждение показали.
202: Если задаёте массовые силы, сразу получаете неоднородное эллиптическое уравнение относительно sigma.
203: Ну, это значит, можно подставить его вот сюда.
204: Так, теперь я вот здесь сотру вверху все вот эти вычисления коэффициента пуассона. Подставим и перерыв сделаем.
205: 3 делить на единица плюс new сигма, запятая и к.
206: Теперь вместо с и к я напишу сигма и к по жи жи - 1 минус сигма на.
207: Минус сигма на дельта и к.
208: Здесь тоже пожижи.
209: Так это вот это есть с и. К. Ogg.
210: Теперь плюс единица, - 2, ню на единица, плюс ню сигма запятая, жи жи, а это у нас вот эта вещь минус будет.
211: Единица. Плюс ню, делённая на 3 единица. Минус ню ро ф. Ну тут надо другую букву, не к к к будет свободный индекс.
212: Допустим, м по м, так на дельта и к.
213: Сейчас только, да, все правильно.
214: Все правильно. И плюс ро ф и по к плюс ф, к по и.
215: Равно.
216: Ну, сейчас перерыв сделаем в перерыве. Проверьте, что на данный момент пока все правильно.
217: Последнее мы подставили вместо сигма запятая жи жи. Это оператор лапласа. Подставили вот выведенное, чему он равен. Но ещё надо вот сюда подставить его.
218: Что положили и вот здесь и равно, да.
219: Да, да.
220: Все, все сделали, да, вот мы сюда положили и равно к так, значит мы сейчас выводим окончательное уравнение совместности в напряжениях и в какой стадии вот сюда теперь нужно опять подставить
221: Вот это соотношение значит будет 3 на единице. Плюс ю сигма запятая и к плюс сигма и к по жи жи дальше минус сигма по жи жи это.
222: Есть единица плюс ню.
223: На 111 минус нью.
224: Raw ф м по м. Индекс поменяем на дельта и к минус. Ну а здесь вот можно единица плюс le сократить единица минус.
225: 2 ню на 3 единица минус ню ро ф м, по м дельта и к плюс ро ф, и по к плюс ф к по равно.
226: Вот эти 2 слагаемых подобны, у них даже знаменатели здесь одинаковые. Надо просто вычесть единица плюс ню, минус единица плюс.
227: 2 ню, да сколько это будет?
228: Вот давайте я все, что касается напряжения, оставлю вот здесь сигма и к по жи жи напишу + 3 сигма запятая и к на единице плюс ню, а все остальное туда перенесём.
229: Значит, будет единица, плюс ню минус единица, + 2 ню, 3 ню.
230: Тройки сократятся, туда уйдёт все с минусом будет минус ню.
231: Ро на единицу минус ню ф м по м дельта и к минус ро ф и по к плюс ф к по.
232: Вот это уже окончательный вид. Слева стоят только 2, 2, 2 слагаемых. 1 из них это оператор лапласа от компоненты ик напряжения, а другой производная по ик от
233: 1 вариант очень все хорошо собрано, а справа стоят только массовые силы.
234: Правильно мы сделали. Единица, плюс ню минус единица, + 2 ню это 3 ню тройки сократились. Осталось только nu вверху. Вот оно есть с плюсом и перенесли туда.
235: Да, с минусом.
236: Вот в такой форме, в теории упругости, уравнения, совместности, в напряжении и присутствуют вот именно эти 6 уравнений. Заметим их 6. Мы добавляем в эту систему вместе с
237: Уравнениями равновесия.
238: Вот эти уравнения в теории упругости называются уравнения бельтрами мичела.
239: Совместности.
240: Напряжение.
241: Ну, сначала итальянский математик бельтрами в конце ещё 19 века вывел их в случае, когда массовые силы равны нулю, то есть однородные уравнения справа 0 слева.
242: Оператор на сигму 2 порядка равен нулю, а потом, в начале 20 века, мичел ещё обобщил их на случай массовых сила.
243: Ну, это другое, совсем другое. Другая, другая все-таки тоже там.
244: В какой задаче? Ну, если
245: Температуру, просто температура ещё будет входить, ну там они завязаны будут более сложно. Температура то она не отделяется от деформаций и перемещений. Все будет связано. Задачи
246: Так, значит, если массовые силы постоянные, заметьте, например, сила тяжести вблизи поверхности земли, то тогда справа 0. Тогда это просто будет уравнение бельтрами, справа производные по координатам.
247: Итак, вместо вот этой системы я теперь запишу эквивалентную ей систему. Вот почему она эквивалентная. Мы строго показали.
248: Систему такую по прежнему сигма и жи пожи плюс ро ф и равно нулю.
249: И ещё раз перепишем сигма и к по жи жи + 3 ню по и к на единице плюс нюю равно минус ню ро един.
250: Минус ню ф, м, по м дельта и к минус ро ф и по к плюс ф, к, по и.
251: В области x принадлежит в при выполнении граничных условий икс принадлежит сигма на всей поверхности сигма и жи на нжи равно п и.
252: С ноликом вот такую краевую задачу возьмём.
253: Значит, вот обращаю внимание, что 2 это задачи эквивалентные, но не следует думать, что из 2 строчки получается 2 строчка здесь, то есть перв,
254: Совпадают просто уравнение равновесия, и кажется, что из 2 мы теперь получили 2 и все объединили. На самом деле это не так хотя бы потому, что сюда массовые силы не входят.
255: А сюда они входят, значит, тем вы ещё воспользовались уравнением равновесия, то есть только объединение вот этого равно объединению этого.
256: И вот это вот, вот эти уравнения в области вместе с граничными условиями и составляют постановку, классическую постановку, задачи, теории упругости в напряжениях.
257: Вот это классическая постановка.
258: Задача теории упругости.
259: Напряжение, несколько слов. Почему важно?
260: Если можно решать сразу задачу в напряжениях ставить.
261: Ну, во первых, это лучше делать, когда вся поверхность есть сигма сигма. Если на части поверхности заданы перемещения, например, приклеена к чему-то поверхность неподвижному тоже можно решать, но будут
262: Неприятности с граничными условиями, которые зачеркнут все преимущества вот этой задачи в напряжениях. Поэтому будем считать, что как только задача в напряжениях, мы автоматически её решаем, когда вся поверхность задана, напряжение. Почему
263: Выгодно сразу ставить тогда в напряжениях задачу. Вот давайте порассуждаем. Мы решаем задачу в перемещении. Казалось бы, все хорошо, все понятно. 3 уравнения ламе на части границы кинематической за
264: Даны 3 перемещения на другой 3 напряжения, которые выражаются просто через перемещение чего ещё желать от жизни?
265: Но мы решаем задачу в перемещениях, но помним, что перемещения в линейной постановке, в геометрически линейной постановке смысла особого не имеют.
266: Это не есть перемещение, конечное состояние точки минус начальное.
267: Вот мы геометрический смысл вектора перемещения убрали в тот момент, когда отбросили нелинейные слагаемые в соотношениях каши.
268: Поэтому.
269: Сами перемещения. Неважно, что потом вы по ним найдёте.
270: А конечный итог какой найти напряжение в конструкции, посмотреть, как напряжена конструкция, какие усилия есть в теле по перемещению находятся деформации, а по деформациям находится напряжение.
271: Вот конечный пункт исследования, а по напряжениям уже напряжения подставляются в различные критерии прочности разрушения и смотрится уже вот инварианты напряжения ищутся. Вот это
272: Основной смысл. Так вот, на этом пути мы проводим вот эту неприятную операцию частного дифференцирования. Если мы решаем задачу аналитически, то нам все равно главное правильно уметь дифференцировать на бумажке, но реальные задачи
273: Теория упругости такие, что они подразумевают вычисления без вычислений. Сейчас никакую серьёзную задачу, кроме учебных, и не сделаешь.
274: А если говорить о вычислениях оо вычислительных методах, то вы, наверное, знаете уже, что операция взятия производной с точки зрения вычислений, это операция некорректная.
275: Потому что если вы будете брать с ошибками какими-то экспериментальными функцию и начинать вычислять её производные при уменьшении шага к нулю, эти ошибки начинают играть роль такую же, как и сама функция.
276: То есть погрешность, вносимая в вычисление производной, будет порядка погрешности самой этой производной смысла тогда от этой производной нет никакого.
277: Поэтому операция частого дифференцирования, ну, скажем так, на порядок ухудшает точность решения.
278: А то и больше.
279: А здесь сразу вы находите напряжение, не надо ничего дифференцировать.
280: Если какие какие-то пути решения, задачи в напряжениях вы предложите аналитические, то вы сразу находите то, что нужно, сразу приходите в конечную точку.
281: Значит, это вот такая идеология.
282: Получается 6, 6. Ну, если уравнение.
283: Да, сейчас вот я к этому как раз перейду.
284: Да, да, да, вот вы заметили правильно, да, сейчас я сейчас, я как раз об этом поговорю. Значит, вот я подвожу итог предыдущего, да, что задача напряжения хороша тем, что при вычислениях желательно сразу.
285: Получать то, что вы хотите в итоге в результате вот применения таких численных методов и задачи напряжениях, конечно, очень хорошо развиты численные методы не только в теории упругости, но и в пластичности, в теории
286: Малых упругопластических деформаций в нелинейной теории упругости задачи в напряжениях это целый такой вот красивый раздел классической теории упругости задачи в напряжениях.
287: Теперь вот вопрос действительно, если мы посмотрим на постановку задачи в напряжениях и начнём смотреть число Неизвестных и число уравнений, то получится 3 + 6 9.
288: 9 уравнений относительно 6 компонент тензора напряжений слишком много уравнений, а граничных условий, наоборот, мало нужно бы 6, чтоб было на шестёрку 6 границ, а их всего 3, и ниоткуда их больше.
289: Не возьмёшь их в каждой, в каждой точке, мы знаем, задаётся вектор, вектор с 3 компонентами. Опять получается 9, 6, 3.
290: Ну и вот вопрос такой что делать?
291: Что делать? Как, как этот, ну, парадокс, не парадокс.
292: Как с ним быть?
293: Не слишком ли много мы берём уравнений. Вот.
294: Много на эту тему не только в учебных аудиториях, а и таких в академических кругах дискуссий было а что, если мы выбросим из числа уравнений бельтрами мечела какие-нибудь 3?
295: Оставив только 3, тогда будет 3 + 3 6.
296: Только вот только вот какие 3 выбросить дискуссии шли заметим, что вот они, эти 3, эти 6 уравнений, делятся на 33, когда и равно к и когда i ne равно к, то есть так называемые диагональные уравнения.
297: И внедиагональные. И вот, значит, были такие предложения выбросить внедиагональные компоненты. Мечела оставить только 3, а протеем, ну,
298: Решим задачу. Вот решение будет
299: Ну, вопрос, можно ли выбрасывать? Тем самым, получается, мы какие-то уравнения совместности в деформациях выбрасываем? Очевидно, если из уравнений в напряжениях 3 выбросить, это значит, что какие-то 3 комбинации этих выбросить.
300: Ну что означает, что мы выбрасываем уравнение совместности в деформациях?
301: Что это означает с точки зрения геометрии дифференциальной?
302: Ну вот я не знаю, у вас, наверное, на дифференциальной геометрии тензор римана был уже
303: Ещё не было так по существу. Ну, сейчас то идёт евген в 6 семестре, а
304: Не закончился, закончился, закончился, и тензера римина не было.
305: Ну, тензор кривизны, он называется ещё пространство.
306: Вот выполнимость уравнений совместности в деформациях означает, с точки зрения диргема, что наше тело вот это вот в лежит в эвклидовом пространстве. То есть у него все компоненты тензора, римана, тензера.
307: Кривизны равны нулю.
308: И если выбросить любую из этих требований, то есть проигнорировать какую-то из компонент, считать, что она не равна нулю, пространство сразу искривится, оно перестанет быть евклидовым.
309: Это означает, что будут интегралы по замкнутому контуру не равные нулю. Перемещение мы с вами не найдём.
310: Поэтому вот из таких даже простых соображений можно понять, что вот эти 6 уравнений, а стало быть, и эти 6 уравнений трогать нельзя, что если мы хотя бы 1 уберём, то получим систему, не
311: Валентную системе классической постановки.
312: Ну что же делать остаётся.
313: А добавить, добавить, а добавить Неизвестных ещё, да, чтоб было 9 на 1, а с ограниченными условиями все равно 3.
314: Значит, я вот, я вот подвёл уже вот к черте, что на вопрос ответить однозначно можно. 9 уравнений есть из них 6 выбросить нельзя из тех соображений, что мы получим неэвклидово.
315: Сразу.
316: Значит, что надо, что осталось выбросить, выбросить первые 3, но только не совсем их выбросить, прям взять и тряпкой зачеркнуть. А что надо сделать? Снести их на
317: Границу. Давайте вот, вот такой вариант посмотрим, что если уравнение равновесия рассмотреть только на границе, при том что уравнение бельтрами нечего, все выполнены в области
318: Этим самым мы закроем вопрос во первых, с с числом будет 6 уравнений 2 порядка в области, и в каждой точке границы будет 6 граничных.
319: 3 вот этих и 3 вот этих.
320: Ну хорошо, выбросить то можно, но надо чётко доказать это.
321: Нужно показать, что такая система действительно будет эквивалентна системе классической постановки. Вот этим мы займёмся в следующий раз уже на следующей лекции уже более это будет
322: Такой вычислительный алгоритм, процедура. А вот, ну, на сегодня пораньше, давайте закончим с задачей в напряжениях, значит, ещё раз задача едина.
323: У нас вот она формулируется вот так, но у этой задачи есть 2 как бы взгляда 1 с точки зрения перемещения другой напряжения решения и там и там должны обязательно совпадать, потому что задача 1
324: Предмет не должен измениться от того, как мы на него смотрим с точки зрения перемещения или с точки зрения напряжения. Так, условно говоря. Поэтому решение этих всех постановок для этой задачи одно и то же. Значит, мы должны будем
325: Показать, почему постановка вот 2, о которой я говорю в напряжениях, даёт такое же решение, как, например, постановка в перемещениях, иначе будет неэквивалентность.
326: Вот. Ну так что, вот какие вопросы у вас?
327: Нет вопросов. Ну давайте сегодня пораньше закончим.