0: Здравствуйте, дорогие друзья. Сегодня мы решаем задачу по стереометрии. Я сразу сделаю анонс пункта б в пункте б. Нас просят найти косинус угла между плоскостями и решать эту задачу. Мы

1: Будем, используя координатно векторный метод. К сожалению, многие ученики недооценивают этот метод. 1 ученик написал мне в комментариях. Метод координат нужен только для того, чтобы выпендриться. То есть

2: Многие дети не понимают, что есть задачи стереометрические, которые традиционными методами решить достаточно сложно. А вот если выпускник овладел инструментами координатно векторного метода, он

3: Успехом решает эти задачи, не спотыкается. Итак, решаем задачу в прямоугольном параллепипеде известны длины рёбер а. А 1:15 это высота вот я обозначила здесь 15 б b1 а б 12 а d8.

4: Точка к Середина c1, d1 а точка эль делит ребро, b1 б в отношении 4K 1, считая от вершины b1. То есть надо все ребро поделить примерно на 5 частей и

5: От точки б взять 4 части вот отрезок у меня b1 all 4 части и оставшийся отрезок l b будет 1 часть.

6: Давайте сразу посчитаем, сколько будет отрезок b1, l, i, l b. Весь отрезок 5 частей и равен 15, значит, 15 делим на 5 1 часть будет равна 3, а?

7: 4 части будет 3 * 4 12. Найдите отношение, в котором плоскость эль к a1 делит ребро ц c1 считает вершины c1 ну, чтобы найти это отношение, нам надо найти точку, в которой

8: Секущая плоскость пересекает c1 ц. Построим сечение через точки эль 1 к.

9: Сечение можно построить 2 способами я вам покажу 2 способа итак, соединяем точки l и r 1 они лежат в 1 плоскости а, б, b1 соединяем точки, a1 к. Они лежат в 1 плоскости, a1 б.

10: 1 ц. 1 а теперь используем следующее свойство параллельных плоскостей если 2 плоскости альфа и бетта параллельные плоскости пересечены 3 гамма.

11: То линии их пересечения параллельны, то есть a параллельно b. Итак, если 2 плоскости альфа бетта параллельны и пересечены 3, альфа пересекается с гамма по прямой, а бета пересекается с гамма по прямой.

12: Б то линии пересечения а и б параллельны. При построении сечений в параллепипеде очень удобно пользоваться этим свойством. Рассмотрим плоскости а. Б. Б. 1 и.

13: Плоскость ц c1 d1 это параллельные плоскости, причём в 1 плоскости у нас есть след секущей плоскости эль a1 отрезок, а в другой.

14: Плоскости. У нас есть точка к так вот, мы через эту точку к сейчас поведём линию параллельно эль a1

15: Секущая плоскость эль a1 к пересекает параллельные плоскости а. Б b1 и цдд 1 по параллельным прямым, a1 эль параллельно к.

16: Аш. Вот мы нашли, собственно след секущей плоскости на ребре ц ц. 1 ну, мы сейчас завершим сечение, соединим точку h e l e.

17: Запишем, что по свойству параллельных плоскостей эль a1 параллельно аш к.

18: И сечение тогда эль аш к a1 это трапеция.

19: А искомая величина это отношение, в котором эта плоскость делит ребро ц c1, считает вершины c1, то есть отношение c1 аш к аш ц искомая величина.

20: Рассмотрим прямоугольные треугольники аш c1 к и l b1 a1.

21: Докажем, что угол b1 эль а равен углу c1 h k, l, b1 параллельно аш c1 эль a1 параллельно аш к. Это мы уже записали.

22: Свойству параллельных плоскостей значит углы a1, l, b1, e, c1 аш. К. Равны, как углы соответственно сонаправленными сторонами а. 1.

23: Из этих Углов угол b1 эль a1 мы можем легко найти из одноимённого треугольника l b1 a1 в этом треугольнике отрезок сторона b1 эль двена.

24: Мы уже сосчитали её б. 1, а равно б. А тоже 12, то есть треугольник равнобедренный, а значит, углы при основании по 45 градусов и угол к аш c1.

25: Тоже 45 градусов, теперь сосчитаем c1 к отрезок ребро c1 dd равно 12 12 поделить пополам c1 к 6, а так как треугольник равнобедренный.

26: То 2 боковое, боковая сторонка c1 аш будет тоже 6, и теперь мы легко найдём отрезок аш ц все ребро ц ц 1:15 пятна.

27: 15 minutes, 6, 9 ну и, наконец, найдём искомое отношение ц. 1 аш к аш ц будет равно отношению 6 к 9 6, к 9 сократим на 3 2, 3.

28: Итак, задание пункта а мы решили, и я вам показать ещё обещала другой способ для построения сечения. В этом способе мы воспользовались свойством параллельных плоскостей и.

29: Строили-ка аш параллельно эль a1. А сейчас мы используем метод следов, начинаем построение, аналогично соединяем точки, которые лежат в 1 плоскости. А вот теперь ищем след секущей плоскости, а

30: 1 к прямая пересекается с прямой b1, c1 ну потому что они лежат в 1 плоскости, a1 b1, c1.

31: Точка ф. Это след секущей плоскости на прямой b1 c1 а эта прямая b1 c1, она лежит в плоскости б ц c1.

32: Там же где и точка il значит точка ф так как она лежит на прямой b1 c1 она тоже лежит в плоскости б ц c1 там же где и точка эль а раз точки эль.

33: Ff лежат в 1 плоскости, мы их можем соединить и найдём след секущей плоскости на ребре ц c1 и осталось соединить точки h i k. Они лежат в 1 плоскости ц д c1.

34: И получим сечение только в этом способе вам все равно придётся доказать, что аш к параллельно, a1 эль, то есть применить свойства параллельных плоскостей Нику.

35: Куда от этого не деться, решаем пункт б. Нас просят найти косинус угла между плоскостями l к. A1 сечение параллепипеда этой плоскостью мы только что построили в пункте а. И. Плоско.

36: Верхний верхнего основания a1 б, 1 c1 если решать эту задачу традиционным методом, то есть найти угол косинус двугранного угла мы должны

37: Найти ребро ребро двугранного угла, a1 к это просто. А вот дальше надо сделать дополнительное построение опустить перпендикуляр на ребро к a1 в плоскости.

38: A1 b1 c1 и в плоскости эль к 1 а вот это уже достаточно сложно итак, мы выбираем координатно векторный метод угол между плоскостями.

39: Равен углу между прямыми, содержащими нормали. К этим плоскостям вводим систему координат. Прямоугольный паралии прекрасно вписывается в трёхмерную систему координат. Начало отсчёта ц.

40: Ось, икс, игрек и зет. Обозначим угол между векторами нормали к и н и запишем формулу.

41: Которая поможет нам найти этот угол, но прежде чем с этой формулой поработать, нам нужно найти координаты векторов к и н. Давайте начнём с вектора к это.

42: Вектор, перпендикулярный плоскости a1 b1 c1 ну, самый выгодный вектор это ц c1 он перпендикулярен плоскости a1 b1 ц.

43: Но мне не нравится, что у него длина 15, поэтому выгодно взять единичный вектор орт, вот этот векторов.

44: Его координаты я могу сказать сразу это единичный орт абцисса 0 ордината, 0 0 аппликата единичка вот видите, как быстро вектор k с координатами 0 0 1 а вот

45: Координат координаты вектора н это вектор нормали плоскости эль к a1 найти будет посложнее, но тем не менее этот алгоритм тоже можно выучить, запомнить причём

46: Векторов этих можно выбрать очень много, множество, их бесконечное множество. Вот, ну вот я 3 нарисовала на рисунке и в 1 случае

47: Vektor ка можно было иначе выбрать мы же выбрали самый удобный и здесь мы сейчас тоже из бесконечного множества векторов, которые перпендикулярны плоскости эль к a1 выберем самый лучший ну?

48: Например, я вот здесь себе написала на рисунке, но в принципе нам рисунок не принципиален. Сейчас нам принципиально понять суть, как я буду искать координаты некого вектора, я их обозначила за икс игрек зет это

49: Этот vector лежит на прямой перпендикулярной плоскости эль к 1 вспоминаем прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна 2 пересекающимся прямым.

50: Лежащим в этой плоскости. Вот я выбираю эль, a1 ну, я сразу вектора обозначаю и all h2 пересекающимся, то есть ни в коем случае нельзя было выбрать эль.

51: A1 и h к. Потому что это параллельные прямые.

52: А координаты этих векторов эль a1 и all аш найти очень легко ну давайте запишем сначала суть идеи н должно быть перпендикулярно и all аш и.

53: Эль a1 а это значит, что скалярное произведение вектора н и вектора эль аш равно нулю и скалярное произведение вектора н и вектора эль, a1 равно нулю. Вот этим мы и воспользуемся.

54: Теперь найдём координаты векторов, для этого найдём координаты точек l h e r 1 ну, давайте начнём с точки эль и с точки ц это начало отчёта.

55: Двигаемся по оси икс прошли 8 аписа 8, по оси, Ординат не двигались по оси аппликат 3, значит, координаты точки эль 8 0.

56: 3 подписали прямо на рисунке. Дальше найдём координаты точки аш это совсем просто по оси икс двигаться не будем. По оси игрек тоже только по оси аппликат сколько 9. Помните, мы нашли?

57: Отрезок ш аш ц значит, ациса 0 координата 0 аппликата 9 и координаты точки а найдём по оси x 8, по оси игрек 12 и.

58: По оси z вверх это 15 у нас значит 8 12:15, а теперь находим координаты векторов для этого из координат конца точка.

59: Аш, вычитаем координаты начала. Все делаем это устно. 0 - 8 - 8. Координаты считаем. 0 - 0 0 9 - 3 6. Значит - 8 0.

60: 6 находим координаты вектора эль, a1 из координат точки а то есть из координат точки, которая является концом, вычитаем координаты точки начала 8 - 8 аписа.

61: 0 12, - 0, координата 12:15 - 3 12 0 12 12.

62: Учтём, что координаты вектора н. Икс игрек зет и сочиняем скалярное произведение.

63: Произведение абцисс - 8 x + 0 умножить на игрек будет 0 можно не писать и произведение аппликат 6 that скалярное произведение век.

64: Н. И. Вектора эль аш - 8 x 0 игрек я не написала + 6 зет 1 уравнение дальше скалярное произведение вектора n и l a1 тоже равно нулю, но.

65: 0 умножить на икс 0 писать не будем дальше 12 умножить на игрек 12 игрек + 12 зетт равно нулю 12 игрек + 12 зетт равно нулю все.

66: Так, ну теперь красоту наберём, наведём в 1 уравнении поделили все на 2, во 2 на 12 из 1 уравнения выразим, например, z. Для этого 3 зет оставим в левой части.

67: 4 икс - 4 икс перенесём вправую с плюсом из 2 уравнения выразим игрек игрек равно минус z так из 1 выразим зет поделим обе части на 3 получили зетт равно 4 трёт.

68: Этих x. Ну, 2 переписали, ну а теперь мы.

69: Подбираем координаты. Если я возьму икс, например, 1, то у меня that получится 4/3. А это не очень удобно. Почему? Ну, потому что удобно ведь с целыми числами.

70: Работать поэтому мы x берём так, чтобы у нас при умножении на 4/3 сокращение произошло. Да, например x. Удобно взять 3, 6, 9.

71: Ну, самое лучшее число 3, значит, если мы x возьмём 3, посмотрите, как классно у нас получится 4/3 * 3, это будет 4, то есть z будет четвёрке равно.

72: А игрек, а игрек будет равно минус z, то есть - 4.

73: Итак, из бесконечного множества векторов, перпендикулярных плоскости к эль a1 мы выбрали очень Удачный.

74: А теперь пользуемся формулой. Подставляем все в числитель. Значит, произведение абцисс 0 * 3. Вот это будет 0 произведение Ординат 0 умножить на - 4 опять 0 произве.

75: Аппликат 1 * 4 будет 4. Вот видите, мы все вот это выражение сосчитали. 4 модуль четвёрки. 4. В числителе у нас будет 4. Теперь вот.

76: Это длина вектора. Мы эти циферки подставлять не будем, потому что мы с вами специально выбрали удобный вектор единичный. То есть его длина равна единице. Значит, мы сразу запишем.

77: Длина 1 вектора единица, длина 2 вектора. Ну, здесь придётся подставить 3 в квадрате плюс - 4 в квадрате + 4 в квадрате. Так это будет

78: 9 + 16 + 16 будет корень из 41. Ну и исключим иррациональность в знаменателе домножив и числитель, и знаменатель на корень из 41.

79: Ответ косинус угла между векторами.

80: Равен 4 корень из 41, делённый на 41 и искомый косинус угла между плоскостями l к a1 a1 б, 1 c1 будет такой же задача.