0: Потише, пожалуйста. Голос у меня по прежнему сидит, но я постараюсь говорить в своём стиле, громко, несмотря на сидящий голос, значит, звонок прозвенел. Я пришёл сюда.

1: Сегодня ненадолго, и не потому, что у меня голос сидит, а такова традиция, значит, курс основ комбинаторики и теории чисел. Он состоит из 3 таких содержательных блоков.

2: 1 блок читает Даниил Владимирович Мусатов, присутствующий тут и который скоро примет от меня эстафету. Значит, он читает ту часть, которая касается основ теории множеств. Это

3: Важно и для комбинаторики, и для математической логики. Собственно, вот основные лекции даниила владимировича, это лекции по логике. Вот я к вам вернусь читать комбинаторику

4: И теорию чисел 12 октября. Правильно? Это я? Да, да, да, да. 12 октября, поскольку 12 октября, на самом деле хотел заканчивать свои лекции. Даниил Владимирович, но не мож.

5: По некоторым причинам, то я начну их читать раньше, не 19 октября, а 12. А вот Даниил Владимирович будет читать 13 дополнительную лекцию, о чем здесь написано. Вот.

6: Я с вами буду на этом курсе целый год, поэтому, дорогие товарищи, Даниил Владимирович тоже очень классно читает. Я думаю, что вам все очень понравится. Не теряйте меня, я обязательно скоро появлюсь и дальше мы с вами очень

7: Долго будем общаться про разные замечательные задачи комбинаторики и теории чисел. Вот такая вот у нас такой план, да?

8: Ну, ничё так вроде говорю, конечно, голос сидит, но, по крайней мере, могу говорить без микрофона. Это уже хорошо. Вот я потом приду сюда читать лекцию по дискретному анализу для второкурсников. То есть на самом деле мы с вами

9: Будем не год, a2 года. Я потом ещё на 2 курсе читаю дискретный анализ. Вот. Ну а теперь все, давайте я передам эстафету даниилу владимировичу, в частности, передам вот этот вот петличку.

10: Спасибо. Все, до встречи в так. Ну давайте.

11: Начинать.

12: Так, я, в общем, уже вчера на собрании говорил. И вот сегодня ещё Андрей Михайлович продублировал. Вот, в общем, не забудьте в следующую среду, да, в то время, в которое обычно контрольная будет дополнительная лекция. Вот. И в канале я ещё тоже напишу. Так.

13: Если вдруг кто вчера не был и не подписался ещё на канал с новостями, то лучше это сделать. Вот, а то, может что-нибудь пропустить.

14: Вот так хорошо, в общем.

15: Я думаю, теперь можно начинать содержательную часть. Значит, в принципе, вот эта вот 1 часть теории множеств, она немножко дублирует тот материал, который на матанализе в начале рассказывается, но

16: Мы хотим представить как 2 точку зрения на тоже самое, да, то есть то, как нам от анализе рассказывают про множество и то, как с точки зрения логики про них нужно рассказывать, это немножко разные вещи. И, в общем, мы считаем, что если у вас будет 2 точки зрения на одно и то же, то это лучше.

17: Значит, план на эти вот 6 лекций примерно такой, значит, примерно первые 2, там, 2 с половиной лекции мы будем говорить в целом про множество и функции, да, то есть вообще то, что я

18: Буду рассказывать, можно сказать, что лежит в такой парадигме, значит, парадигма, что все есть множество.

19: Значит.

20: То есть вот множество это какие-то такие наборы элементов, но элементы этих множеств это тоже множество, и элементы тех множеств это тоже множество и там и так далее. Пока все это не дойдёт до пустого множества.

21: Вот, то есть я, значит, я, в принципе, видел, что у вас на, на матанализе было взгляд на натуральные числа через множество. Давайте я его продублирую, да, что вот есть такое пустое множество, да, это множество, в котором ничего нет.

22: Да нет ни 1 элемента, и можно его отождествить с нулём, с числом 0. Значит, почему так можно отождествить? Ну, потому что можно сказать, что в пустом множестве сколько элементов?

23: 0 элементов. Вот, соответственно, вот начинаем с нуля. Дальше. Что такое единица? Вот, ну, единица это синглетон, значит, вчера синглетон был

24: Из пустого слова сегодня синглетон это множество, в котором 1 элемент и этот элемент это пустое множество, но более менее это одно и то же, потому что на самом деле, если пустое слово определять, это тоже будет пустое множество и

25: И, соответственно, вот это единица. Ну, значит, дальше.

26: Там двойка, да, и, соответственно, единица это множество из 1 элемента. Дальше двойка состоит из 2 элементов, да, из всех предыдущих, да, там, ну и так далее, да.

27: Значит, и так далее, да, значит, число n это будет множество из всех предыдущих чисел от нуля до н. - 1. Вот, ну вот это вот взгляд на то, что

28: Любое, да, любое натуральное число это такое множество. Вот. И эту парадигму можно довольно существенно развить, да, то есть, можно сказать, что, скажем, упорядоченная пара, это множество, да, там

29: Кортеж, то есть последовательность, конечная последовательность элементов, это тоже такое множество, там функция это множество какие-то более сложные структуры. А вот, например, Андрей Михайлович свою часть начнёт

30: С того, что такое там всякие сочетания, размещения, перестановки, это все тоже можно определять как какие-то множества, да, значит можно и на формальные языки смотреть через множество там на формулы и, скажем, вычислительную машину понимать, как некоторые

31: Множество, да, вот у нас во 2 части, значит, во 2 части курса по логике будет понятие машины тьюринга.

32: Вот, ну и фактически машина тюринг, это будет такой кортеж, в который входит там множество символов, то есть алфавит, который используется множество состояний, там, функция перехода, ещё там всякие вещи и все эти вещи раскручиваются в конечном итоге.

33: До понятия множества вот, ну вот соответственно, вот так можно смотреть на там многие разные объекты. Вот, поэтому вот теория множеств, это некоторая фундаментальная вещь. Вот. И вот в этом ключе мы на неё

34: Будем смотреть, значит, первые где-то 2, 2 с половиной лекции мы поговорим про то, что такое там множество пары, кортежи и функции разного вида. Вот потом мы поговорим про мощности множеств где-то

35: Полторы, 2 лекции и в конце поговорим про бинарные отношения, значит, про отношения эквивалентности и про отношение порядка и, может быть успеем про отношение предпорядка. Вот, вот, для, для группы совместной среш,

36: Понятие отношение предпорядка это важное понятие, да, так что даже если мы его не успеем, то рекомендуется прочесть конспект. По нему есть конспект. Вот, потому что предпорядок это модель, ну, таких предпочтений.

37: Потребителя, да, сейчас, ну, немножко забегая вперёд. Чем вообще там порядок от предпорядка отличается тем, что вообще бывает линейный порядок, когда мы просто любые 2 элемента по какому-то параметру сравниваем, да, и можем

38: Сказать, что там этот лучше всех этот, следующий, этот следующий и так далее. Значит, бывает частичный порядок, когда могут быть несравнимые элементы. Это, кстати, тоже важно для экономики, для экономической теории, да, потому что если есть

39: Например, 2 потребительских параметра. Ну, скажем, при выборе, например, квартиры, может быть цена, может быть, там удалённость от центра, там города или удалённость от метро. Пусть только 2 параметра интересуют. Вот. И тогда, скажем, если маш,

40: Если квартира ближе к центру и дешевле, чем другая, значит она точно лучше. Вот. Но если она ближе к центру, но дороже, то тогда получается, что она по 1 параметру лучше, по другому хуже, и тогда их прям напрямую нельзя сравнить.

41: Вот, а предпорядок это когда какие-то элементы ещё могут быть и как бы безразличны, да, что они разные, но при этом по какой-то характеристике одинаковые, да, то есть, например, если там упорядочить

42: Ну, не знаю, всех там студентов по среднему баллу, да, то у некоторых студентов может быть одинаковый средний балл, и тогда они будут занимать одинаковое место в этом упорядочении. Вот. Хорошо. Значит, это вот такой краткий анонс материала этих 6

43: Лекций. Так, да.

44: Ну не, ну вот, вот, вот пример предпорядка, да, что мы упорядочиваем все объекты.

45: Какому числовому параметру, который может совпадать?

46: Нет, смотрите, когда порядок, то обязательно 2 разных из 2 разных объектов в случае линейного порядка. Либо если объекты разные, то либо 1 больше, либо другой больше. В случае частичного. Ещё может быть 3 вариант, что они друг с другом вообще не сравнимы.

47: Вот, а в случае предпорядка они могут как бы эквивалентны по этой характеристике. Вот.

48: А симметричности нету, да?

49: Да, в принципе, предпорядок это просто рефлективность плюс транзитивность.

50: Вот так. Ну ладно, значит это будет.

51: А в порядке ещё есть антисимметричность, что если одновременно в обе стороны там меньше, либо равно, значит равно вот это есть у порядка и нету предпорядка.

52: У предпорядка рефлексивность и транзитивность. Вот.

53: Так, ну ладно, значит, этот разговор мы пока немножко отложим, н, в том числе и мотивацию из экономики. А сейчас поговорим немножко про множество в целом, да, и что вообще про множество можно говорить.

54: Ну, сначала нужно что-то сказать про то, что такое множество, да, и как их вообще записывать, да? Ну, вот тут уже некоторое количество записей появилось. Вот. Но это вот такая самая простая запись, самая простая запись, это что-то типа вот это

55: Да что в фигурных скобках прямо явно перечисляются элементы.

56: Вот, может быть вот такое вот перечисление, значит, через и так далее. Вот. Но с этим и так далее нужно всегда быть осторожным, да, потому что, конечно, бывает так, там, что более менее очевидно.

57: Что там написано? Ну в смысле, как нужно заполнить, но всегда можно какой-то другой смысл, как нужно продолжить. Вот есть такая шутка дугласа, хофштаттер, шутка такая. Продолжить.

58: Последовательность 0 1 2 значит, что будет следующее? Да, значит, очевидный ответ. 3. Вот. Но хотате предлагает другой ответ. 720 факториал.

59: Так что такое факториал? Все знают, да, что это произведение всех чисел от 1 до 720. Вот. А почему так?

60: Факториал. Факториал. Да, да, да. Потому что значит 0, это 0 1, это 1 факториал 2 это 2 факториал и ещё раз факториал. А вот эта штука, это если мы берём 3 факториал потом ещё раз.

61: Факториал и ещё раз факториал, да, 3 факториал это 6, да, 6 факториал 720. Вот. И 720 факториал тут получается.

62: Вот. Ну, а почему тут ещё 0, а не 1, да, многие знают, что 0 факториал это 1. Вот. Но здесь 0 раз представлен факториал, поэтому как раз получается 0.

63: Вот, в общем, и так далее. Нужно быть осторожным, да, и следить за тем, что запись и так далее не понимается достаточно однозначно.

64: Вот, конечно, бывают ещё другие способы задания множеств.

65: Например, типичный способ есть такой, да, что мы тоже через фигурные скобки, но дальше пишется черта или двоеточие. И потом какое-то ещё условие, значит,

66: Ставится, значит, например, вот это вот это множество чётных чисел.

67: На числа, которые делятся на 2.

68: Вот, то есть, ну, иногда пишется ееще объемлющее множество, да, например, если мы хотим подчеркнуть, что это все целые чётные числа, а не там все натуральные чётные числа, да, то можно вот так вот написать.

69: Вот, значит, у такого способа значит, на английском языке есть такое красивое название сет билдер notation.

70: Да, то есть такое обозначение через построение множеств. Вот. Но на русском я говорю, что это задание множества определяющим соотношением.

71: Вот, хорошо. Так, а все-таки, а что такое множество? Можно как-то определить? Ну, ну да, на самом деле любое определение получится таким.

72: Словарным, да, из толкового словаря, да, что через синонимы, что множество, это там набор, совокупность, там ещё что-нибудь такое.

73: Ну, с точки зрения, но с точки зрения логики, да, можно сказать, что есть аксиоматика теории множеств, которую мы не будем проходить за исключение.

74: Парочки аксиом, которые нам пригодятся.

75: И есть у этой аксиоматики то, что называется модель, да, то есть некоторая структура из объектов, которые удовлетворяют всем этим аксиомам. И тогда можно сказать, что множество это вот элемент такой структуры.

76: Вот, ну, дальше хорошо бы доказать, что эта аксиоматика непротиворечива. То есть, что какая-то модель есть, что это вообще имеет смысл об этом говорить. И после этого мы там упираемся в теорему гёделя о неполноте.

77: Который говорит, что чтобы доказать непротиворечивость теории множеств, нужно использовать какую-то ещё более мощную теорию и предполагать непротиворечивость этой ещё более мощной теории. И так в итоге это ни на чем.

78: Не остановится и прям так взять и конкретно определить не получится. Вот. Но тем не менее, да, значит, мы про аксиоматику будем эпизодически говорить, да, и в основном будем говорить в таком

79: Наивном понимании. Вот, ну и вообще говоря, в наивном понимании нужно сказать, что есть не 1 понятие множества, а есть как такая триада, значит, триада понятий, это множество

80: Множество элемент.

81: И принадлежность.

82: И, соответственно, запись будет вот такой вот, да, например, множество обозначается большой буквой элемент маленькой, а принадлежность вот таким значком.

83: И, соответственно, получается, что можно сказать, что множество это какая-то там сущность, которой принадлежат элементы, да, элемент это какой-то объект, который принадлежит множеству, да, как бы, а принадлежность это то, что связывает элементы мно,

84: Множество, да, но все равно это, это все не будет, ничего из этого не будет. Определение в математическом смысле. Вот. А это просто важно понимать, что это не не 1 на самом деле понятие, a3 сразу.

85: Да и бессмысленно говорить про, ну даже про 2 из них, да только про множество, только и элементы нельзя говорить, пока вы не сказали, как они друг с другом связаны.

86: Вот. Ну и при этом, как я уже говорил в начале, сам этот элемент тоже может быть множеством, и его элементы тоже могут быть множествами. Вот. И только вот есть пустое множество, с которого все начинается.

87: Так, а кстати, возникает вопрос.

88: Почему мы вот так говорим про конкретное пустое множество, да, вот, казалось бы, множество невозможных объектов можно совершенно разным образом определять. Значит, можно, например,

89: Рассмотреть множество простых чисел, которые являются полными квадратами, а можно рассмотреть множество треугольников на эвклидовой плоскости, у которых сумма Углов 270 градусов вот ясно, что ни того, ни другого.

90: Не бывает. Вот, но тем не менее, как-то совсем по разному мы определили. И вопрос такой, не нужно ли говорить, что это 2 разных множества, да, что вот есть, есть отдельно пустое множество, которое

91: Не удовлетворяет вот Такому то свойству, да, что простые квадраты есть отдельно пустое множество, которое треугольники с неправильной суммой. Вот. И ещё там много чего можно придумать.

92: Вот, да, совершенно верно. Совершенно верно. Нужно сказать, что такое одинаковое множество. Вот. А для этого нужно сказать сначала, что такое подмножество, да, потому что, вообще то, может быть, ещё разные другие вопросы, напри.

93: Пример. Вот если мы такую запись с фигурными скобками, да, значит, поменяли порядок, да, будет ли это тоже самое множество? Или это будет другое множество

94: Тоже самое, конечно, да, но все-таки это нужно сказать, что означает, что они равны. Вот. Или, например, мы можем продублировать, скажем, каждый элемент, да, тоже будет это тоже самое или не будет, это тоже самое, ну,

95: Ну да, да, совершенно верно. Если мультимножество не рассматривать, это будет тоже тоже самое.

96: Вот. Ну хорошо, но в общем случае, что нужно сказать? Нужно сказать, что есть понятие подмножество.

97: Значит, подмножество такое такое понятие, что множество является подмножеством множества b, если

98: Любой элемент, а

99: Значит, если любой элемент, а является

100: Элементом б.

101: Вот. Ну, а равенство?

102: Равенство получается, что а равняется b. Значит, если а подмножество б и б подмножество, а вот то есть можно сказать, что любой элемент а является элементом б.

103: Наоборот. Так можно, конечно, сказать, что это вообще там очевидно, но вообще то нет, это надо специально сказать, что мы так определяем.

104: И вообще надо не забывать про такое правило, потому что в целом, если вам нужно доказать, что 2 множества одинаковое

105: То 1 из способов это прям по определению доказать, что любой элемент 1 это элемент 2 и наоборот

106: Вот, ну и также видно, что вот эти вот записи с единичками и двойками, значит, они по прямо этому определению будут совпадать друг с другом.

107: Да, что вот. 1, 2, 3 и 3, 2, 1. Да, значит, получается, что действительно, каждый элемент слева, да, вот единица является элементом вот здесь вот двойка здесь и тройка здесь, и также с этими повторениями, да, сколько бы раз.

108: Не повторялись все равно, да, значит, для, даже если мы 2 раз смотрим на единицу, она все равно уже есть в этой записи. Поэтому прямо вот по этому определению получается, что ответ на вот эти вот вопросы утвердительный, что да, эти

109: Объекты совпадают как множество.

110: Вот, ну и отсюда получается, что и любые 2 пустых множества равны, да, то есть есть только 1 пустое множество, на самом деле, ну, можно сказать так. Можно сказать, что любое

111: Любой элемент пустого множества обладает любым свойством. Вот это тоже очень, ну, может быть для кого-то не очень сложное, но очень полезное наблюдение, да, это ещё называется с точки зрения логики, это называется пустая

112: Импликация что из ложного утверждения следует что угодно.

113: Любым, да, любой элемент пустого множества обладает любым свойством, можно сказать так да, что пустое множество это подмножество любого множества.

114: То есть это вот такой вот наименьший элемент уже среди множеств. Значит, что пустое множество является подмножеством любого другого. Соответственно, если у нас есть 2 пустых множества, то

115: Они подношу друг другу и поэтому равны.

116: Значит, это хороший вопрос. Как определяется пустое множество. Значит, смотрите, в теории множеств там, кажется, есть специальная аксиома на этот счёт. Типа, что вот есть пустое множество и, собственно, час.

117: Определение пустого множества вот такое вот, да, значит аксиома, наверное, такая, что для любого икс икс не является элементом пустого множества.

118: Ну, значит, смотрите, вот насчёт того, что существует множество, вот тут, как раз там, в матанализе или, по крайней мере, в курсах матанализа и в курсах по логике немножко разный подход.

119: Да, вот я вчера подглядел доску смат анализа, и там там был список аксиом пиано, и там было 2/1 аксиомы, что там, единица было написано, это натуральное число, то есть, как бы существует там единица, которая натуральное.

120: Число и для любого элемента существует следующий вот, вот с точки зрения логики это не будут аксиомы в строгом смысле, а это будет как бы часть языка, да, что мы говорим, что у нас есть

121: Символ, единица. И, значит, этому символу должен соответствовать элемент и есть символ для операции следования. То есть взятие следующего, ну и тоже у каждого элемента. Поэтому должен быть следующий, да.

122: Но на но сейчас.

123: Ну, можно и так, да.

124: Ну, сейчас, да, мы немножко углубляемся в логику, да, то есть тут, ну, вот модель, как бы, с точки зрения логики, самой теорией множеств является список и

125: Там 15 аксиом, да, вот этот список этот называется аксиоматическая теория.

126: Вот. Можно, конечно, варьировать то, как именно записывается, значит, как именно записываются аксиомы, да, что-нибудь там добавлять, убавлять и так далее. Вот. Но дальше, соответственно,

127: Любой, так сказать, набор объектов, который удовлетворяет этой аксиоматике, называется моделью теории множеств.

128: Вот, а дальше начинается вопрос, как бы, что нам нужно предположить, чтобы доказать, что такие модели существуют. Вот, и оказывается, что нужно, как бы, всегда нужно что-то большее, предпо.

129: Полагать, ну модели это какие-то вот такие наборы объектов, которые удовлетворяют там вот этим аксиомам. Вот вы правильно говорите про множество всех множеств, да, мы сейчас чуть попозже про это поговорим, да, что если предположить, нали

130: Такой штуки, то там будут всякие парадоксы. Вот. Поэтому нельзя говорить, что мы все что угодно объединяем в множество и дальше там начинается, начинаются всякие там собственные классы.

131: Там ещё что-нибудь, что вот есть отдельное множество, есть классы, там есть что-нибудь ещё, но это уже прям такая теория множеств очень серьёзная.

132: Это модели. Нужно как-то доказывать что они существуют или что?

133: Сейчас, значит, смотрите, вот с точки зрения логики, теория это список формул, да, в данном случае там список аксиом и всего, что из них можно вывести. Вот, а модель это набор объектов и

134: Определение всех вот вещей, типа принадлежности, там слово множество и так далее, да, то есть это набор объектов и интерпретация всех значков, которые вот этим аксиомам удовлетворяют

135: Ну и дальше возникает вопрос, а есть такие модели или нет? Да, и как вообще про них можно толковать? Вот, ну и действительно, если мы будем говорить про очень большие множества, да, более чем счётные, то там

136: Начинаются всякие сложности, типа континуум гипотезы, что, ну, про это чуть попозже поговорим, да, что для тех, кто знает, что такое мощность, да, вот есть счётные множества, есть континуальные множества, которые равномощны действительно прямой.

137: А континуум, гипотеза это то, что между ними ничего нету, что любое множество, либо континуально, либо, конечно, либо счётно, если оно подмножество прямой. Вот. Но вот оказывается, что это уже такая сложная материя.

138: Что нельзя, да, значит, что нельзя ни доказать, ни опровергнуть континуум гипотезу из остальных аксиом. И вообще, и вопрос про то, как на самом деле получается бессмысленный, да, потому что на самом деле мы как бы

139: Прощаемся вот с формулами, которые конечной цепочки символов, да, и вопрос только про то, что мы из них можем вывести, а что не можем вывести.

140: Вот.

141: Нет, кванторы, значит, смотрите, с точки зрения теории, да, то есть формул, да, то есть с точки зрения логики, кванторы это просто значки, но дальше

142: Есть вопросы интерпретации, да, то есть, как мы понимаем, что вот эта формула, да, она истинна или ложна? Ну вот про это будем говорить в логике, но, в принципе, там нельзя ничего сказать.

143: Существенно более хитрого, чем-то, что квант для любого это означает, что для любого это верно, да, то есть это можно немножко расписывать, как там бесконечную конъюнкцию, и мы это будем делать, да, но в конечном итоге мы говорим, что формула с квантором верна, если действительно

144: Для любого элемента там это верно, но это, это можно немножко более формально расписать, но в целом тут не может как бы чудо произойти, да, и мы не можем как бы на

145: Нашими конечными текстами мы не можем охватить всю сложность бесконечных объектов, да, более менее по определению. Вот, поэтому можно там, да, можно вот это и тогда

146: Из многоточий переводить в индукцию, да, значит, можно превращать там слова в какие-то математические операции. Вот, но в конечном счёте где-то будет конечное описание бесконечного объекта.

147: Вот так. Ладно, давайте немножко дальше двинемся.

148: Так, хорошо, да, значит, вот есть пустое множество, значит, есть принадлежность. Вот что очень важно. Да, я не знаю, я немножко перескакиваю совсем сложных вещей на совсем простые, но совсем простые. Важно, чтобы все очень хорошо понимал.

149: Да, значит, простая вещь, но тем не менее Могущая вызывать путаницу, состоит в том, что принадлежность и подмножество значит, это не одно и то же.

150: Значит, вот это очень важно, чтобы все поняли, да, когда мы говорим про принадлежность, а когда про подмножество, да, принадлежность означает, что это 1 элемент, значит, 1 элемент входит вот в это самое множество, где-то его там можно найти.

151: А под множество тут как бы ещё сложность в том, что в принципе и слева, и в том, в другом случае слева и справа могут стоять именно множества, да, потому что теории множеств больше ничего нету. Вот, но, тем не менее, определение

152: Совершенно разная, да, значит, здесь вопрос про 1 элемент. А здесь вопрос про любой элемент 1 из этих множеств. Вот. И, соответственно, могут быть разные комбинации, например,

153: Рассмотрим. Смотрите, вот такое вот множество. Пусть будет единица.

154: Дальше множество, да, это не тоже самое, да, значит двойка. И вот это множество из двойки. Это не одно и то же, значит, единица, множество из двойки, дальше тройка и множество из тройки.

155: Вот, и тогда получается следующее. Значит, смотрите, вот это множество. Теперь вот посмотрим. Так, множество из 1 единицы это подмножество множество. А значит, почему? Потому что

156: Любой элемент, вот это множество слева, то есть единица является также элементом, а

157: Вот при этом оно не является элементом.

158: Да, вот в этом списке из 4 элементов, да, вот такого элемента нету.

159: Вот теперь, если мы посмотрим на множество из 1 двойки множество из 1 двойки, оно, наоборот, не является подмножеством множества, а значит, потому, что, ну вот в этом списке

160: Нет двойки, да, есть множество из двойки, но нет двойки.

161: Зато это множество из двойки является элементом, а потому что вот в этом списке вот прям это самое множество из двойки есть. А вот если мы посмотрим на множество из тройки,

162: То оно является и подмножеством, значит, потому что вот тройка тут есть, и также оно является элементом.

163: Потому что есть вот это вот, вот, ну, а с четвёркой, соответственно, будет, не будет ни того, ни другого, и

164: У нас 1 сама тройка. Да, да, это правда, да. То есть если мы эти цифры интерпретируем не просто как символы,

165: А именно как множество, как там написано тогда да, тогда могло быть, что и сама тройка является подмножеством.

166: Сейчас чего? Чего? Чего?

167: Нет, это если бы, если бы здесь ещё был 0, единица и двойка сама по себе, тогда уже сама тройка была бы элементом и подмножеством, да.

168: Ща, значит смотрите, в такой-то, в чистой теории множеств кроме множеств ничего нету да, поэтому все, все эти штуки это тоже множества, да, если мы, а тут стёрто, вот здесь было написано

169: Значит, если мы числа понимаем тоже как множество, да, то возникает осмысленный вопрос, да, значит, не только вот про такие множества, да, но и про сами числа. Являются ли они не только элементами, но и подмножествами? В данном случае они все не являются, но могли бы быть

170: Так, хорошо. Ну давайте теперь поговорим немножко про парадокс.

171: Значит, парадокс.

172: Расва.

173: Так, сейчас через 3 минутки будет перерыв. Я, наверное, до перерыва расскажу, что за парадокс. Потом все-таки сделаем перерыв, и я расскажу, как его, ну, как с ним обращаются, да, как бы, как его.

174: Избежать. Так парадокс такой. Значит, смотрите, рассмотрим все множества и скажем, что они могут быть 2 типов.

175: Значит, правильные.

176: Это те, которые не являются собственным элементом.

177: Да, то есть, например, там множество натуральных чисел само по себе не является натуральным числом, да, или там множество всех точек на плоскости само по себе не является точкой на плоскости.

178: Вот, или там, если вот это там, вот это множество, оно само не включено сюда как элемент, значит это все правильные множество.

179: Другому может, но вопрос принадлежит, оно само себе. Вот, а есть неправильное.

180: Ну, на самом деле нет, да, такой спойлер. Вот. Но если наивно смотреть, то могут быть неправильные, которые являются собственным собственным элементом, да, значит, не просто любой может являться собственным.

181: Множеством. Вот, но мы рассмотрим те, которые являются собственным элементом. Ну откуда они вообще могут взяться? Ну вот если бы было множество всех множеств, ну, множество всех множеств, оно же множество

182: Значит, оно должно быть включено в множество всех множеств. Вот, и поэтому оно является собственным элементом.

183: Да, значит, например, множество всех множеств.

184: Вот, или, например, множество.

185: Всех бесконечных множеств.

186: Ясно, что есть бесконечно много бесконечных множеств, да, поэтому множество всех бесконечных множеств бесконечно.

187: Вот.

188: Да, да нет, это как раз сейчас, сейчас дайте я задам.

189: Вопрос и потом сделаем перерыв. Значит, рассмотрим множество

190: Ну, скажем, множество ц от слова коррект значит, ц это множество всех правильных множеств.

191: Вот, и вопрос такой, значит, ц правильная.

192: Так, ну давайте я вам предложу тогда подумать в перерыве о том, как отвечать на этот вопрос. И если вы это заранее не знаете, то, может быть, вы сами придёте к парадоксу за время раздумий. Все, перерыв, 5 минут. Так, ну все.

193: Все продолжаем. Так, значит, давайте аккуратно разберёмся, почему, собственно, парадокс получается. Значит, мне сказали, что вам его упоминали на матанализе, но как-то так очень быстро.

194: И, возможно, не все поняли, в чем тут дело. Давайте сейчас немножко разберёмся подробнее.

195: Так, ну смотрите, во первых, тут предполагается то, что в логике называется закон исключённого 3, да, то есть тут ответ либо да, либо нет, да, то есть это множество либо правильное, либо неправильное, ну и

196: Нужно показать, что в каждом из этих случаев будет противоречие.

197: Так, значит, смотрите, 1 вариант. Пусть ц правильная.

198: Значит, ц правильная тогда по определению.

199: Что это?

200: Тогда, а можно так сказать, что значит смотрите, во первых,

201: Можно сказать так, что, во первых, по определению

202: Так, значит, по определению?

203: Как бы по определению правильности, да, по определению правильности получается, что должно быть, что ц не принадлежит ц, да, то есть, что такое правильное, правильное, это тот, для кого вот это выполнено, да.

204: Соответственно, если ц правильное, то мы вместо m подставляем ц и должны получить вот это, но, с другой стороны, если ц правильное, то тогда оно как бы.

205: Включено множество всех правильных множеств.

206: Да, есть. Можно так расписать, что ц принадлежит множеству правильных множеств.

207: И тогда получается, что ц. Принадлежит ц.

208: Не, ну вообще, когда я говорю, что c это множество правильных множеств, имеется ввиду, что это, конечно, множество всех правильных множеств.

209: Да что множество лежит в ц тогда и только тогда, когда оно правильное.

210: Вот так тут, кстати, немножко другой, другой логический принцип называется рассуждение от противного, что если из какого-то утверждения следует и какой-то

211: Другое утверждение и отрицание этого другого утверждения, то, значит, исходное утверждение ложно.

212: Да что такое вообще рассуждение от противного, что мы предполагаем, что что-то верно выводим противоречие, то есть утверждение его отрицания, и из этого выводим, что исходное было неверно. Ну вот отсюда получается, что значи

213: Исходное неверно, да, что ц правильно быть не может. Вот. Но дальше есть ещё 2 вариант. Значит, 2 вариант, что ц, неправильное.

214: Значит, тогда что получается то тогда, с 1 стороны, ну симметрично получается, что, с 1 стороны, по определению неправильности

215: Значит, по определению неправильности получается, что, наоборот, ц принадлежит ц.

216: Вот, а с другой стороны, получается, что если ц неправильная, то ц не принадлежит множеству правильных.

217: И отсюда получается, что ц. Не принадлежит ц.

218: Вот, то есть, получается, что так или иначе мы получаем противоречие, да, и в том, и в другом случае, ну, можно, можно, это можно по разному излагать. Можно сказать, что мы предполагаем, что оно правильное, и выводим, что оно неправильное, а тут предполагаем, что оно неправильное, выводим, что он

219: Правильное. Можно вот так вот говорить, что мы получаем одновременно и утверждение, и отрицание этого утверждения. Вот, значит, вот этот парадокс, он в самых разных

220: В самых разных вариантах встречается в литературе, да, значит, вот в случае вот с парадоксом рассела, именно вот в таком виде есть так называемый парадокс брадобрея.

221: Да что есть там приказ, что бородобрей бреет всех, кто не бреется сам, и вопрос, должен ли он быть брить сам себя. Значит, есть так называемый парадокс ришара. Значит, когда есть

222: Все прилагательные разделяются на 2 типа, которые сами себя описывают и которые сами себя не описывают. Вот. И дальше вопрос там вопрос про прилагательные.

223: Там самы не описывающий, оно описывает себя или не описывает. Вот, ну и так далее. Да, в общем, есть много разных вариантов. Вот. Ну и в случае с парадоксом ришара, да, вот с теорией множеств, ой, с парадоксом рассела в смысл.

224: Теория множеств, значит, решение состоит в том, что мы просто на самом деле запретим неправильные множество, и не только их на самом деле.

225: Да, парадокс, что мы не можем, да, мы, мы не можем ответить на вот этот вопрос, да, значит, мы не можем ответить на вопрос, правильно ли, правильно ли множество всех правильных множеств, потому что и тот, и другой вариант ответа приводит к противоречию. Значит, вот это вот парадокс.

226: Вот, ну и выход из него заключается в том, чтобы просто запретить такую постановку вопроса. Вот, и делается это через

227: Аксиому регулярности, да, значит, давайте я немножко подробнее расскажу. Значит, это вот 1 из аксиом.

228: Значит, 1 из аксиом теории множеств аксиома регулярности.

229: Значит, она заключается в следующем, что если множество не пустое, так дайте я с квантро напишу, значит, для любого множества, если оно

230: Не пустое, то тогда в нём есть элемент.

231: Значит, существует элемент, который с ним не пересекается, так что пересечение x а пусто.

232: Вот, вот такая вот аксиома регулярности, и из неё можно много чего вывести. Значит, например, следствие, следствие, что все ножства правильные.

233: Ну, у нас же нет ничего, кроме множеств, да, то есть элементы тоже множество.

234: Лента. Ну смотрите ещё раз, у нас ничего нет, кроме множества, то есть элементы любого множества, это тоже множество. Вот множество можно пересекать. Да, я правда, про это пока не сказал, но

235: В половине групп уже семинары были, да, в другой половине будут сегодня.

236: Ну да.

237: Вот. Ну, например, да, значит, например, вот как мы строили натуральные числа, там в каждом, прям, в каждом натуральном числе, как множестве было пустое множество. И вот это пустое множество, это как раз было множество, которое не пересекалось объемлющим.

238: Да, да, да. Вот, значит, следствие, следствие.

239: Для, да, давайте посмотрим, да, значит пример. Так, давайте вот здесь пример, да, значит, множество, 1, 2, 3. Вот этот элемент, это 1 значит. Почему? Потому что 1 это множество

240: Из нуля. Вот. И соответственно, вот это множество из нуля с множеством. 1, 2, 3 не пересекается.

241: Вот. И вообще, если взять любое множество натуральных чисел, то не пустое, то в нём вот этим элементом иксом будет наименьшее число.

242: Ну конечно, да.

243: Нет, сейчас не элементы определяются через множество, а элементы являются множествами.

244: Как бы нет, а потому что это вот так, такая, такой взгляд, это фредди, по моему, придумал, да, взгляд натуральных чисел как на множество. Да, что 0 это пустое множество.

245: Единиц это множество из пустого множества есть множество из нуля, да и каждое число это множество из всех предыдущих чисел.

246: Вот, и тогда, если мы вот это, это не будет никакое число, да, это просто множество, 1, 2, 3. Вот. Но если мы на 1 посмотрим как на множество из нуля, то как раз именно вот этот элемент не пересекается.

247: Эти множество.

248: Так, ладно, давайте все-таки следствие, значит, следствие 1, что все ното правильное, да, то есть для любого, м, верно, что м, не является собственным элементом.

249: Значит, почему?

250: Значит, доказательства, да почему все правильные при аксиоме регулярности пусть есть какое-то неправильное множество.

251: Значит, пусть.

252: М является собственным элементом. Значит, тогда рассмотрим.

253: Значит, рассмотрим теперь множество, а которое состоит только из множества м?

254: Да и больше ничего нету.

255: И тогда к этому а применим аксиому регулярности.

256: Значит, это не пустое множество, да? Значит, в нём есть элемент, м.

257: Значит, а не пустое множество. Следовательно, существует какой-то элемент.

258: Да, который не пересекается с а вот, ну, смотрите, в, а есть только 1 элемент, да, то есть, если множество есть элемент с каким-то свойством, и там только 1 элемент, то, значит, этот един

259: Элемент обладает этим свойством.

260: То есть из этого получается, что м, в пересечении с, а это пусто, с 1 стороны, по аксиоме регулярности, но с другой стороны,

261: Значит, с другой стороны, сам м, является элементом м, и он же является элементом, а

262: Вот и отсюда получается, что пересечение не пусто.

263: Ну.

264: Это, смотрите, как это нас избавляет от парадокс рассела, с 1 стороны, показывает, что все множества правильные. Вот, но с другой стороны,

265: Это, ну, можно сказать, ну, хорошо, все множества правильные, мы все равно возьмём множество всех правильных множеств, это будет множество всех множеств. Вот. Но все-таки это нас избавляет, потому что это нам и говорит, что такого множества тоже не

266: Бывает.

267: Это скорее теорема нет. Аксиома регулярности из других не выводится. Она, она, это есть такая аксиома. Да, да, да, это именно аксиома регулярности, да.

268: Это хороший вопрос.

269: Это хороший вопрос, да, на этот счёт есть другие аксиомы, что действительно, если, ну, если уже есть какое-то множество, то можно рассмотреть одноэлементное множество с ним как 1 элементом там, это, это всякие другие аксиомы, да.

270: Не значит, смотрите, чтобы это было следствием других аксиом, нужно, чтобы сама аксиома регулярности из других аксиом выводилась.

271: Не сейчас, но все-таки я. Я не хотел бы глубоко углубляться в аксиоматику, но общая идея там такая, что мы сначала вводим достаточно много аксиом.

272: Чтобы как-то с этим можно было работать, да, чтобы можно было работать, как мы привыкли брать там какое-нибудь объединение, там пары, там ещё что-нибудь и есть аксиомы насчёт этого. А ещё есть другие аксиомы, чтобы не получалось противоречий в духе парадокса рассела.

273: Вот, и, соответственно, из вот как раз аксиома регулярности это предотвращает. Думал.

274: Ну, в принципе, да, но это вот как раз там в конце 19 века был парадокс кантера, который у нас будет чуть чуть попозже. Парадокс рассела это был прям 1901 год и, кажется, 1900, наверное, 4.

275: Была 1 версия, потом, по моему, 12, немножко расширенная версия. Это вот аксиоматика цермело френкеля, да, которая вот разработана так, чтобы, с 1 стороны, было достаточно много множеств, чтобы с ними можно было работать, а с другой стороны,

276: Их было достаточно мало, чтобы вот такого рода парадоксов не возникало.

277: Ну вот этим вопросом гитлер задавался, ответил на него гёдель, что можно доказать непротиворечивость, но только в рамках большей теории.

278: И тогда непротиворечивость этой ещё большей теории можно вам ещё ещё больше теории доказать, да и ни в какой момент это не может замкнуться, да, то есть всегда, чтобы проверить непротиворечивость более простой теории, вам нужно предположить.

279: Непротиворечивость более сильной теории. Вот, и, соответственно, глобально никакого основания нету. Есть, есть такая книжка довольно старая, семидесятых годов, морис клай называется

280: Математика, утрата определённости. И вот это как раз вот про все эти вещи, да, в основаниях математики, да, что оказалось, что нет такого прочного фундамента, на котором все можно построить, да? А есть какие-то вот такие вот рассуждения.

281: Так, ладно, давайте, слушайте, следствие 2, давайте я его сформулирую, но доказательства пропустим по этой лекции тоже. У меня есть конспект, значит, я его выложу. Так, значит, следствие 2 такое, что не существует.

282: Такой пары множеств, значит, м, и к таких, что они элементы друг друга, да, таких, что к это элемент, м, а, м, это элемент к

283: Вот. Ну, доказывается пример. Так, да, значит, указание, что значит идея доказательства.

284: Такая, что мы теперь берём множество из 2 вот этих элементов м, и к к ним применяем тему регулярности. Ну и там получается противоречие.

285: Так.

286: Ну, типа того, да, и на самом, даже для бесконечной тоже.

287: Ну так слушайте, давайте вот чего, какие значки можно писать, какие нельзя будем на логике обсуждать, а здесь будем писать, как бы, чтоб было понятно.

288: Не, ну в случае мм равно к разобрано в предыдущем следствии. Вот так что можно писать, можно не писать.

289: Ну, нет, сейчас, ну, в общем, это остаётся в качестве задачи на размышление. Или потом выложу конспект, или найдите прошлогодней Папке. Там написано, что нужно делать.

290: Вот так я все-таки так. Слушайте, давайте вот операции над множествами вообще оставим полностью на семинар, да, потому что это, я думаю, многие знают. И, соответственно, лекционное время не будем на них тратить. Ну,

291: Операция над множествами, это пересечение, объединение, разность дополнения. И у них есть разные свойства типа дистрибутивности, там, ассоциативности и так далее. Всякие там круги эйлера, это, я думаю, че

292: Многие в каком-то виде проходили там где-нибудь. Вот, а если вообще не проходили, то либо семинар уже был, либо будет сегодня. Вот. А сейчас я хотел поговорить вот про понятие упорядоченной пары.

293: И кортежа, и кортежа, да, значит, у нас как раз 15 минут остаётся вот эта тема довольно хитрая.

294: И хочется её обсудить.

295: Значит, смотрите, вот в множестве у нас порядка нету, да, мы это обсуждали, что множество. 1, 2, 3 и 3, 2, 1 это 1 и тоже. Вот. Но ещё есть понятие кортежа, в котором как раз порядок есть. Вот, и самый простой кортеж, где это нетривиально, это упорядо.

296: Пара, да, да, ещё и элемент может повторяться, и это будет не тоже самое.

297: Да, то есть тут запись через скобки, значит, вот это упорядоченная пара, значит.

298: Порядочная пара, вот. И соответственно есть.

299: Как бы 1 элемент упорядоченной пары есть 2 элемент.

300: И они могут совпадать. Значит, тут эти элементы, в отличие от множества, тут элементы могут совпадать.

301: Вот, и, соответственно, что главное мы хотим от упорядоченных пар. Мы хотим следующее. Значит, мы хотим, чтобы 1 пара а. Б. Совпадала с другой парой ц д. Тогда и только тогда.

302: Когда одновременно у них совпадают и первые элементы, и вторые элементы.

303: Вот соответственно, можно сказать, что как бы в принципе можно сказать, что мы там просто вот вводим такое понятие да, как бы как здесь написано, но тогда это не будет лежать в нашей парадигме. Значит в нашей парадигме что vs

304: Есть множество, да. А вообще дальше это вводится, значит, для понятия декартового произведения.

305: Значит, декартово произведения это как раз множество всех упорядоченных пар. Значит а на б это множество таких пар.

306: Да, и что? А малый элемент, а большого а. Б, малый элемент б большого. Вот, значит, если мы определим, что такое упорядоченная пара, то тогда декарта произведение определится исходя из вот.

307: Этого, да, это как мы обсуждали. Вот, ну а

308: Там в теории множеств есть свои аксиомы про то, что можно эти пары образовывать там и так далее. В аксиоматике в смысле, вот, но

309: В парадигме, что все есть множество, нужно сказать, нужно как как-то вот эту вот вещь упорядоченную пару определить как какую-то систему множеств.

310: И, соответственно, для этого определения теперь вот это вот можно доказывать как теорему, да, что если мы определили пару как множество и эту пару как множество, то у нас есть понятие равенства множеств и есть понятие равенства.

311: Вот здесь вот и вот здесь вот так значит дальше это можно делать разными способами. Есть примерно 5 популярных способов и можно придумать ещё много других. Вот ну давайте 1 из них разберём.

312: Значит, 1 из них, самый естественный, н, это, конечно, дело вкуса. Вот. Но, на мой вкус, самый естественный способ называется упрощённое определение куратовского.

313: Так, сейчас напишу его.

314: Так, значит, упрощённая.

315: Упрощённое определение куратовского.

316: Выглядит так, что упорядоченная пара а. Б. Это множество из обычной неупорядоченной пары.

317: А. Б. И ещё элемента, а.

318: Вот, то есть, как бы, чтобы определить, что такое пара упорядоченная, нужно сказать, какие 2 элемента мы берём и какой из них 1, да, то есть вот такой смысл, значит, тут какие, какие 2 Эле

319: Meta значит, это какой из них 1?

320: Значит, какой из них 1?

321: Вот, в частности, если 2 элемента одинаковые, да, то это как бы немножко схлопывается.

322: Значит, в частности.

323: Значит, пара. А, а значит это будет вот просто вот такая структура. Значит, 1 элемент, это вот одноэлементное множество са, a2 элемент это

324: Сам элемента. Вот. Ну а дальше все-таки возникает вопрос нетривиальный, да, как теперь вот это вот доказывать?

325: Значит, в чем нетривиальность?

326: Вот в чем вообще сложность, сложность в том, что у нас же вот это вот множество внешне как бы неупорядоченное, да, значит, поэтому, а с другой стороны, вот это, а это тоже множество

327: И, а тоже может быть множеством из 2 элементов, да, то есть вопрос такой, да, значит, например, ну вот, для, для пар с одинаковым элементом, значит, нужно доказать, что пара из а, и, а,

328: Не должна быть равна паре с ц и ц при, значит, при а неравном ц.

329: Значит, а почему она могла быть равна? Ну, в принципе, да? То есть не может быть следующее.

330: Не может быть следующее, что? А это?

331: Элемент, а это одноэлементное множество из ц, а, соответственно, вот множество из, а это ц.

332: Вот, а че такое не может быть?

333: А вот как раз вот последствие 2 из аксиомы регулярности, да, потому что если бы такая пара существовала, тогда как раз было бы, что ц, это элемент, а, а, а, это элемент ц.

334: Вот, соответственно, ну, понятно, да, что если вот если соответствие крест накрест, то получается противоречие. А если соответствие напрямую, то тогда получится, что равно ц,

335: Вот. Ну, кроме того, на самом деле следствие 1 тоже используется. Значит, следствие 1. Это используется в том, что вот это, это все-таки двухэлементное множество, а не одноэлементное.

336: Да, что вот множество, а и множество из 1 элемента, а это разные множества, да?

337: Так, подождите, про кортеж я пока вообще ничего не говорил, да? Угу.

338: В смысле, по какому определению?

339: Нет, это, это, там, это определение. А тут мы хотим, чтобы это было теоремой, чтобы, исходя из вот нашего определения, мы могли доказать вот это условие как теорему.

340: Вот. И вот здесь, ну, здесь, получается частный случай, да, а общий на той же идее основан, да, что если? Ну, ладно, давайте я немножко про общий тоже напишу, да, значит, у нас

341: Пусть у нас оказалось да, что a b и а значит, равняется, значит, ц д и ц.

342: Значит, во первых, да, во первых, ещё нужно сказать, что это точно двухэлементное множество, да, что не может быть так что, а, равняется двухэлементном множеству из а и б, все по тому же следствию 1, да, значит, соответственно, вот это двухэлементное множество, и вот это

343: Множество. Дальше, что означает, что они равны, да, и что означает, что 2 двухэлементных множества равны? Ну либо вот это равно вот этому, это равно вот этому, либо крест накрест.

344: Вот. Ну, как раз, если не крест накрест, да, а сверху вниз, да, то будет получаться, что, а равно ц, ну и дальше ещё нужно сказать, что тогда там обязательно b будет равно д.

345: Ну там какой-то небольшой перебор случаев есть там кто с кем-то совпадает ну в общем ясно, что вот если а равно ц, то тогда и b равно d тоже получится а трудность, которую надо исключить это если будет крест накрест да что вот, а равняется.

346: Вот этому, значит, нужно исключить.

347: Нужно исключить, что а это множество из ц и д. Значит, а ц, соответственно, равняется множеству из а и б. Но вот это Ровно то, что исключает.

348: 2 из аксиомы регулярности, да, потому что тут получается, что ц это элемент. А, а, а, это элемент ц, да, и вот такое вот запрещается.

349: Ну, если вот крест на крест.

350: Не сейчас. Смотрите, по определению равенства множеств, да, что означает, что, что 2 2 элементов множества равны, да, что-либо 1. Ну, сейчас это означает, что для каждого элемента 1 множества есть равный ему

351: Элемент 2 множества. Вот, соответственно, либо are равно ц, и тогда и да, и вот эта пара равна этой паре, либо are равно вот этому, да, значит, а цц равно вот этому

352: Значит, 1 случай нас нам как раз нужен. В 1 случае все хорошо получается, a2 случай исключается вот по аксиоме регулярности, по следствию 2, да, потому что получается как раз вот, а, и ц, получается в Роли.

353: Come из этого следствия, да, потому что вот здесь вот ц, это элемент, а, а, а, это элемент ц, вот это Ровно то, что запрещается.

354: Ща, значит, смотрите.

355: Сейчас ещё раз, зачем вообще все вот это делается потому что мы вот когда мы вот так вот делаем, то мы как бы вводим новую сущность да, мы вводим новую сущность, упорядоченная пара, значит которая как-то вот отдельно записывается а

356: Парадигме, что все есть множество, мы не хотим вводить новую сущность, а мы хотим определить, что такое пара через понятие множества. Вот, и это можно делать разными способами. 1 из способов это вот этот вот, да, что мы определяем вот таким образом, а после

357: Для этого нам теперь нужно доказывать, что для этого определения выполнено вот это вот свойство, которое мы хотим, чтобы для 1 пары было верно? Вот. И вот это вот доказательство использует как раз следствие из аксиомы регулярности.

358: Вот так.

359: Ну ладно, давайте пару слов про кортежи. Наверное, ещё следующую лекцию. Немножко про них в начале поговорим.

360: Значит, в чем идея, что теперь мы хотим распространить, значит, мы хотим распространить понятие пары на тройки, четвёрки и так далее, да, то есть мы хотим ввести понятие кортежа, да?

361: Тьюпл, значит, тьюпл по-английски, значит, опять же неформально это какая-то вот такая последовательность, значит, 1, a2, a3, да, и так далее. А соответственно,

362: Тут элементы на разных позициях могут совпадать, могут различаться, но их количество будем считать, что фиксировано.

363: Вот, и, соответственно, это опять же можно делать разными способами, но 1 из способов такой, да, что мы разбиваем кортеж, значит, на голову и

364: Хвост. И, соответственно, говорим, что эта штука будет равна прочной паре из 1 элемента, да, то есть паре из головы и хвоста, значит,

365: 1 элемента и, соответственно, значит, всего остального.

366: Вот, но дальше все остальное, это тоже будет кортеж, но покороче. И в нём тоже есть своя голова и свой хвост. Вот, соответственно, его тоже можно вот так вот разбивать.

367: Вот, ну и так далее.

368: Значит, и так далее.

369: Пока там в конце не останется.

370: Ну вот вопрос, что значит можно так идти до того времени, пока не останется порядочная пара, а в принципе можно ещё и пойти дальше и дать другое определение порядочной пары, которое совпадает, согласовано вот с этим пониманием кортежа.

371: Вот так. Ладно. Значит, в чем тут хитрость? Да? Значит, я сейчас не успею рассказать. Вот хитрость в том, что если так делать, да, то будет проблема.

372: С ассоциативностью.

373: Да, то есть, строго строго говоря, если мы теперь берём

374: Декартово произведения, но не 1, не 2 элементов, a3. Да, то, вообще говоря, получается, что результат зависит от порядка.

375: Почему? Потому что как бы и то, и другое, это упорядоченная пара, но здесь 1 элемент, это элемент. А вот, а здесь 1 элемент, это пара, а, и б. Вот поэтому, конечно, они будут иметь разный вид.

376: Вот, соответственно, что с этим можно делать? Можно как бы ничего не делать, сказать, что нет, нет ассоциативности и ладно, вот, а можно вводить, ну, некоторую эквивалентность на кортежах.

377: Которая будет, из которой будет получаться, что это все-таки одно и то же.

378: Вот так.

379: Ну не, ну реально хочется ввести что-то типа конкатенации, да, что если мы соединяем 2 кортежа, то это тоже самое, что если это будет такая длинная штука,

380: Вот, ну и тогда, значит, как определять конкатинацию, поговорим через 6 дней, да, вот на этой дополнительной лекции в среду начнём с того, что поговорим про то, как соединять друг с другом кортежи.