ym104432846
Вставьте ссылку на видео из Youtube, Rutube, VK видео
Задайте вопрос по видео
Что вас интересует?
00:00:00
Определение дифференциального уравнения:
  • 1. Рассматриваются обыкновенные дифференциальные уравнения с одной независимой переменной (икс)
  • 2. В записи дифференциального уравнения обязательно присутствуют производные или дифференциалы искомой функции
  • 3. Решением дифференциального уравнения является нахождение искомой функции, удовлетворяющей заданному уравнению
00:02:03
Порядок дифференциального уравнения:
  • Старший порядок производной в дифференциальном уравнении первого порядка равен единице
  • Пример уравнения первого порядка представлен формулой: $y' = f(x,y)$ (производная $y'$ содержится в уравнении)
  • Для записи уравнения используют формулы вида $ rac{dy}{dx}=f(x,y)$ или $p(x,y) dx+q(x,y) dy=0$
00:04:23
Решение дифференциального уравнения:
  • 1. Решение дифференциального уравнения называют функцией, превращающей уравнение в тождество (его интеграл)
  • 2. Процесс нахождения такого решения именуется интегрированием
  • 3. Графическое представление решения дифференциального уравнения обозначается термином «интегральная кривая»
00:05:39
Общий интеграл и частное решение:
  • Общим решением дифференциального уравнения первого порядка является функция вида $y = \phi(x,c)$, содержащая одну произвольную постоянную $c$
  • Семейство интегральных кривых, соответствующих различным значениям произвольной постоянной $c$, представляет собой общее решение дифференциального уравнения
  • Частное решение дифференциального уравнения определяется при фиксированном значении параметра $c$ (например, $c_0$), и выражается формулой $y=\phi(x,c_0)$
00:09:20
Теорема существования и единственности решения:
  • 1. Формулирована теорема существования и единственности решения задачи о каше (упоминаются условия и начальные значения)
  • 2. Условие непрерывности функции и её частной производной необходимо для существования единственного решения дифференциального уравнения первого порядка
  • 3. Геометрический смысл теоремы заключается в существовании единственной интегральной кривой, проходящей через заданную точку
00:11:13
Пример решения задачи Коши:
  • 1. Найдено частное решение дифференциального уравнения вида игрек игрек штрих = −икс при условии, что игрек ≠ 0, удовлетворяющее начальному условию игрек(3) = −4
  • 2. Частный интеграл данного дифференциального уравнения представлен окружностью с радиусом 5, проходящей через точку (3;−4)
  • 3. Задача нахождения частного интеграла дифференциального уравнения успешно решена
0: Всем привет. Что же такое дифференциальное уравнение? Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную её функцию и её производные или дифференциалы. Символически это можно записать.
1: Так, ф функция, связывающая между собой икс переменную игрек, неизвестную функцию, её 1 производную, в общем случае 2 производную и даже
2: Если это уравнение порядка н общий вид, энную производную, вот такая запись или в дифференциальной форме это выглядит так. Уравнение, связывающее икс игрек функции.
3: Д игрек по d икс, если вы помните д игрек по d икс, это как раз запись игрек штрих, 1 производной д. 2, игрек по d, икс квадрат и так далее.
4: Д н игрек по d икс в степени n это запись энной производной, где игрек это искомая функция игрек равно feat.
5: Искомая функция. Обратите внимание, вы решаете дифференциальное уравнение и ищете именно функцию. Вот это отличительная особенность и обязательно в дифференциальное уравнение должны входить
6: Производные или дифференциалы. Здесь мы будем рассматривать только обыкновенные дифференциальные уравнения, когда независимая переменная икс 1 в уравнении, когда независимых переменных 2 иили Бо.
7: Больше уравнение будет называться дифференциальным уравнением в частных производных, но это отдельная тема для рассмотрения. Посмотрите внимательно на общую запись дифференциального уравнения. Сюда входят производные
8: Различных порядков. Так вот, порядком дифференциального уравнения называется наивысший из порядков производных или дифференциалов, входящих в данное уравнение. Вот, например, посмотрите игрек.
9: Штрих - 2 икс игрек + 3 икс дифференциальное уравнение 1 порядка. Почему старшая производная 1 порядка или 2 уравнение, в которое входит д игрек дифференциал 1 порядка?
10: Да и d x в 1 степени дифференциальное уравнение 2 порядка определяете следующим образом старшая производная 2 или дифференциал старшей 2 хорошо, давайте перейдём к рассмо.
11: Дифференциальных уравнений 1 порядка, то есть уравнений, вида ф от икс, игрек, игрек, штрих равно нулю. Пусть это будет уравнение 1 обозначим его
12: Обратите внимание в данное уравнение производная входит 1 порядка, старший порядок производной 1 в частном случае уравнение 1 может не содержать икс и игрек, но производную игрек штрих уравнение должно содержать.
13: Обязательно, иначе оно не будет дифференциальным если уравнение 1 разрешимо относительно производной, то символически его можно записать в виде игрек штрих равно ф от икс игрек.
14: И если учесть, что производная игрек штрих расписывается как отношение д игрек по d икс, то оно может быть записано в виде д игрек по d xx равно ф.
15: От икс игрек или в более общем виде п от икс игрек д x plus que от икс игрек д игрек равно нулю вот все эти.
16: Уравнения это различные формы записи дифференциального уравнения 1 порядка, и вот что ещё надо отметить вот эту формулу игрек штрих, равно д игрек по d икс вы должны обязательно держать в голове, она возникает
17: При решении любого, практически любого дифференциального уравнения. Ну хорошо, а теперь давайте поговорим о том, что такое решение дифференциального уравнения решением или интегралом дифференциального уравнения.
18: Называется всякая функция, которая, будучи подставлена в это уравнение, обращает его в тождество, соответственно, процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется его интегрированием.
19: Интегрированием дифференциального уравнения. График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой. Возьмём простое дифференциальное уравнение игрек штрих, равно икс квадрат и попытаемся
20: Его решить. Вы помните, что обратное действие для дифференцирования, то есть для производной это будет интегрирование. Поэтому, проинтегрировав это уравнение, вы найдёте игрек равно интеграл от икс.
21: Квадрат икс куб на 3 плюс ц. Обратите внимание, мы получили бесконечное множество решений, потому что ц произвольная, постоянная, постоянная, которая принимает
22: Абсолютно любые значения, и это у нас будет общее решение.
23: Вообще, общим решением дифференциального уравнения 1 порядка называется функция игрек, равно фи от икс ц, обращающая данное уравнение в тождество, где ц произвольная постоянная. Итак, Функ.
24: Фи от икс ц. Общее решение дифференциального уравнения 1 дифференциального уравнения 1 порядка. Обратите внимание, она содержит только 1 произвольную, постоянную, так как у вас было уравнение 1.
25: Порядка, и чтобы убрать 1 производную, вы 1 раз интегрировали. И на этом этапе у вас появилась 1 константа. Соответственно, когда будет дифференциальное уравнение 2 порядка, оно будет содержать 2 различных произвольных посто,
26: Если же общее решение задано в неявном виде, то есть игрек не выражен, а оно имеет вид фи от икс игрек ц равно нулю, то оно называется
27: Общим интегралом дифференциального уравнения геометрически общее решение дифференциального уравнения можно изобразить как семейство интегральных Кривых, каждая из которых получается при конкретном значении произвольной постоянной ц.
28: Вот посмотрите, семейство интегральных Кривых, здесь они схематически изображены и будет являться общим решением дифференциального уравнения. Пусть задано начальное условие. Это условие.
29: Что при заданном значении x равное икс 0 функция игрек примет значение игрек 0 начальное условие может быть также записано в виде игрек от икс 0 равно.
30: Игрек 0 или игрек при икс равное икс нулевое равно игрек нулевое начальное условие. 3 все эти записи
31: Эквивалентны и одинаково применяются геометрически начальное условие означает просто точку на плоскости m нулевое с координатами икс 0, игрек 0.
32: Тогда интегральная кривая, проходящая через эту точку, определяет частное решение дифференциального уравнения, при этом определяется конкретное значение параметра ц равное ц нулевое итак, частным.
33: Решением дифференциального уравнения 1 называется решение, полученное из общего при фиксированном значении параметра ц ц равное ц нулевое, и выглядит оно так игрек равно.
34: Фи от икс ц нулевое, где ц нулевое уже конкретное число аналогично определяется частный интеграл дифференциального уравнения фи от икс игрек.
35: 0 равное нулю будет частный интеграл. Значит, ещё раз посмотрите, общему решению соответствует целая совокупность интегральных Кривых. Начальное условие это точка час.
36: Решение это кривая интегральная кривая, проходящая именно через эту точку задача отыскания решения дифференциального уравнения 1 порядка, например, уравнение 2 удовлетворяющее.
37: Заданному начальному условию условию 3 называется задачей каши, а теперь сформулируем теорему существования единственности решения задачи каши и если в уравнении игрек штрих.
38: Ich равно эф от икс игрек функция ф от икс игрек и её частная производная по игрек непрерывно в некоторой области д координатной плоскости о.
39: Икс игрек, содержащий точку x, 0 игрек, нулевое.
40: То существует единственное решение игрек, равно фи от икс этого уравнения, удовлетворяющее начальному условию. Игрек от икс 0 равно игрек 0. Значит, ещё раз, чтобы у
41: Существовало единственное решение игрек, равно фи от икс дифференциального уравнения 1 порядка. Игрек штрих равно ф от икс игрек, удовлетворяющее начальному условию. Необходимо, что
42: Чтобы сама функция, стоящая в правой части ф от икс игрек и её частная производная по игреку, были непрерывны в некоторой области д координатной плоскости о икс игрек, содержащей точ.
43: X нулевое игрек нулевое геометрический смысл этой теоремы состоит в том, что при выполнении её условий существует единственная интегральная кривая дифференциального уравнения, проходящая через точку.
44: X 0 игрек 0 то есть вот эта интегральная кривая, которая соответствует сиреневым цветом, изображена, которая соответствует частному решению дифференциального уравнения, должна быть единственная хорошо.
45: А теперь давайте разберём пример. Условие такое найти частное решение дифференциального уравнения игрек игрек штрих равно минус икс при игрек не равном нулю удовлетворяющее.
46: Начальному условию игрек от 3 равно - 4. Другими словами, просят решить задачу каши. Вот давайте посмотрим на дифференциальное уравнение. Сюда входит производная
47: Игрек штрих, я уже вам говорила, что вот эту формулу игрек штрих равно д игрек по d икс вы будете применять практически в каждом дифференциальном уравнении и сейчас мы это сделаем, давайте производную распишем. Итак.
48: Игрек вместо производной д игрек по d икс равно минус икс и сейчас давайте домножим на д икс мы должны это уравнение проинтегрировать. Уберём д икс из.
49: Знаменателя будет игрек д игрек равно минус икс д икс. И теперь это равенство мы проинтегрируем интеграл. Игрек д игрек равно
50: Минус интеграл, икс д икс вычисляем интегралы интеграл от игрек, игрек, квадрат пополам, равно минус, икс, квадрат пополам. И так.
51: Как вы интегрируете, пишите плюс ц нет необходимости писать слева и справа плюс ц, да плюс константы их можно сложить между собой и написать 1 общую, хотя вы 2 интеграла.
52: Вычислили домножим данное уравнение на 2 и перенесём неизвестные в 1 сторону. В левую будет икс квадрат плюс игрек квадрат равно 2 ц хорошо.
53: А теперь давайте введём обозначение. Пусть 2 ц будет новая константа c1 в квадрате. Это можно сделать, так как величина икс квадрат плюс игрек квадрат у нас больше, либо
54: Равна нуля. Соответственно, её обозначить как константа в квадрате. Вы можете и тогда мы получим икс квадрат плюс игрек квадрат, равно c1 в квадрате.
55: Вот вы проинтегрировали и получили общий интеграл дифференциального уравнения.
56: Геометрически найденный общий интеграл представляет собой семейство окружностей с центром в начале координат и радиусом, равным c1 вы можете вспомнить, как выглядит уравнение окружности.
57: И сравнить её с вашим общим интегралом. А частный интеграл в данном случае будет окружность, проходящая через точку m нулевое с координатами 3 - 4, так как начальное условие у вас игрек.
58: От 3 равно - 4 будет соответствовать именно вот этой точке. Хорошо, подставим начальное условие в найденный общий интеграл и найдём c1 3.
59: В квадрате плюс - 4 в квадрате равно c1 в квадрате и отсюда нахожу, что c1 в квадрате, равно 25 ц будет равно.
60: 5. Значит, я подставляю найденное ц в общий интеграл и получу частный интеграл икс квадрат плюс игрек квадрат равно 25.
61: И это есть частный интеграл частному интегралу будет соответствовать окружность с радиусом 5, проходящая через точку m нулевое с координатами 3 - 4. Таким образом, вы ре.
62: Решили поставленную задачу. Вы нашли частное решение, то есть частный интеграл данного дифференциального уравнения, удовлетворяющий начальному условию. Итак, сегодня мы говорили о том, что
63: Такое дифференциальное уравнение познакомились с основными понятиями забегая вперёд, сразу скажу, что дифференциальные уравнения бывают различных видов и каждый вид дифференциальных уравнений решается своим способом на следующий.