0: Здравствуйте. Вы слушаете курс лекций по дисциплине прикладной математический анализ. Лекция 10, дифференцирование сложной и неявной функции нескольких переменных. Касательная плоскость и нормаль поверх.

1: Производная по направлению градиент, производные и дифференциалы высших порядков формула тейлора для фнп разработчик курса Бредихина Ольга Александровна.

2: Дифференцирование суперпозиции функции нескольких переменных пусть дана функция 2 переменных зетт, равно ф от икс игрек аргументы икс игрек, которые есть, в свою очередь, функции других переменных у.

3: Обозначаем это vi от ув. И c. От ув.

4: Соответственно, функция вида set равно ф от fe c, то есть по факту функция от переменных u и v, называется суперпозицией функций set равно ф от икс, игрек икс равно фи от у.

5: И игрек равно пси от ув. Или она же называется сложной функцией.

6: Если все 3 функции дифференцируемые функции, то частные производные дзет по дду и дзет по дв существуют и равны, соответственно, здесь приведены формулы.

7: Для расчёта этих частных производных при этом есть частный случай, если икс игрек зависят только от 1 переменной ну, обозначим её буквой т. Тогда суперпозиция функции.

8: That равно эф от икс игрек икс равно фи от т и игрек равно пси от t является функцией 1 переменной т. То есть мы можем написать that равно ф большое от т.

9: Если эти функции, зависящие от т дифференцируемые функции, то производная дз по дт существует и считается по вот такой формуле.

10: Рассмотрим пример найти d z по дт если у нас that равно икс умножить на е в степени игрек в свою очередь икс игрек это функции от t зависимости приведены 1.

11: Что мы делаем находим дз по d икс, то есть воспринимаем игрек как число, и получается, что е в степени игрек как число можно вынести за знак производной, производная от x это единица.

12: В результате получается е в степени игрек. Далее мы находим дзт под игрек, то есть воспринимаем икс как число, выносим число за производную, а производная е в степени игрек будет

13: На е в степени игрек, то есть остаётся икс умножить на е в степени игрек.

14: Далее находим d x по дт. Ну здесь у нас 1 переменная т. Поэтому находим производная т. В Кубе это у нас 3 т. В квадрате производная 3 это 0, в результате получаем 3 тв.

15: Квадрате далее д. Игрек по д т. Аналогично находим по переменной t. Значит, 1 часть это двойку выносим производная т. В 4 находим по таблице, ну и производная единиц тоже.

16: Мы знаем, что это 0, в результате получаем 8 т в Кубе. Далее берём вот такую формулу и подставляем на свои места то, что мы с вами нашли. Далее мы можем

17: Смотреть, что можно вынести за скобки общий множитель т. В квадрате на е в степени игрек, ну а далее записать итоговый ответ.

18: Замечание в ответе переменные икс игрек можно не выражать через основную переменную, т.

19: В следующем примере уже необходимо будет найти частные производные дзет по дду и дзет по дв, поскольку основная зависимость это функция set равно ф от икс игрек, но икс игрек уже будут.

20: Зависеть от переменных, увы.

21: Процедура следующая сначала находим дзет под x, воспринимаем игрек как число, значит лн игрек тоже будет числом выносим число за производную производная 3 в степени икс это 3 в сте.

22: Икс умножить на лн 3. Ну, в результате получается вот такая производная. Далее находим производную дзет под игрек воспринимаем икс как число, то есть 3 в степени x. Это число, которое выносится за

23: Производную на производная логарифма натурального игрек это 1 разделить на игрек в результате получаем дробь 3 в степени икс разделить на игрек следующее действие находим d x.

24: Поду воспринимаем в как число, выносим 2 в как число за знак производной, а производная от у это единица. В результате получаем 2. В следующее действие находим

25: D x по дв теперь наоборот у нас будет числом у и выносится за производную 2 у, а производная от в будет равна единице, в результате получаем 2 у следующее.

26: Действие находим д игрек по д у здесь воспринимаем в как число, то есть единица разделить на в как число выносим, а производная у это единица следующее действие.

27: Д. Игрек по д. В. Здесь воспринимаем числом. Это у, тогда мы выносим у за производную производная единица. Разделить на в это - 1 разделить на в. В квадрате.

28: После чего переходим к формуле, которая нам необходима для расчёта, и подставляем на свои места все найденные производные. Записываем ответ.

29: Соответственно, тоже самое делаем и со 2 частной производной.

30: Дифференциал сложной функции, пусть дана функция set равно ф от икс игрек, где икс игрек, в свою очередь, зависит от у ив. Тогда её полный дифференциал 1 порядка имеет вот

31: Такой вид.

32: Но поскольку у нас имеются, в свою очередь, формулы для нахождения дзет пдду дт пдв, они перед вами, то мы можем подставить эти формулы в полный дифференциал. Далее мы сделаем

33: Перегруппировку. Вот таким образом. Ну и видим, что в 1 скобке по факту это формула дифференциала икс, а во 2 скобке это дифференциал игрек. В результате получается вот такая запись.

34: Итак, полный дифференциал обладает свойством инвариантности формы полный дифференциал функции zet равно эф от икс игрек сохраняет один и тот же вид, независимо от того, являются ли аргументы неза.

35: Зависимыми переменными и функциями независимых переменных.

36: Замечание дифференциалы высших порядков свойством инвариантности формы не обладают.

37: Неявные функции и их дифференцирование в лекции 6 нами рассматривался алгоритм нахождения производной игрек штрих по икс для функции, заданной неявно, то есть для функции вида f от x.

38: Игрек равно 0, так как мы уже знаем формулу полного дифференциала d z, то для функции z равно большое от икс игрек при соблюдении равенства ф от икс игрек равно нулю, то есть z.

39: Равно нулю можно записать формулу д ф по d икс умножить на d x plus д ф по д игрек умножить на д игрек равно 0, откуда можно выразить отношение д игрек разделить на д икс отно.

40: Д игрек разделить на д икс это и есть игрек штрих по икс, поэтому мы вывели формулу для нахождения игрек штрих по икс.

41: Аналогично частной, производной, неявной функции 2 переменных зетт, равно ф от икс игрек, заданной уравнением ф от икс игрек зет равно 0, где ф от икс игрек зет это дифференцируемая функция 3 пере.

42: Могут быть вычислены по формулам.

43: Итак, дзет под x у нас есть и дзет под игрек.

44: Рассмотрим дифференцирование неявно заданной функции на примере итак, даётся неявная функция ф от икс игрек равно 0 найти производную игрек штрих по икс.

45: Решение этой задачи другим способом приводится в лекции 6 в примере 5.

46: 1, что мы делаем, это записываем, соответственно, функцию ф от икс игрек. То есть мы должны, что, чтобы выполнялось условие ф от икс игрек равно 0.

47: Далее мы находим дф под x. Для этого мы записываем, что производная суммы есть сумма производных или производная разности, есть разность производных, после чего отмечаем для себя, что

48: Игрек будет считаться числом, поэтому постоянный множитель игрек в 1 случае, во 2 случае игрек в Кубе мы можем вынести за знак производной. Ну а функцию синус икс плюс игрек пока просто перепи.

49: Внутри производной, так же как и было далее, производная синус икс плюс игрек это производная сложной функции. То есть мы отмечаем внешнюю функцию и внутреннюю функцию.

50: Для себя вспоминаем формулу мы должны производную внешней функции умножить на производную внутренней функции, поэтому производная икс в квадрате это 2 икс, производная x это единица производная сложной

51: Функция это производная внешней функции то есть косинус икс плюс игрек умножить на производную внутренней функции икс плюс игрек. Далее мы можем в последнюю скобку

52: Как производную суммы это сумма производных, ну и далее найти производную x это единица, производная игрека это будет 0, после чего мы раскрываем все скобки и в результате получаем.

53: Вот такую производную. Итак, полученная производная 1 у нас имеется. Теперь частную производную дф под игрек находим аналогично. Сначала расписываем как производную.

54: Суммы или разности далее отмечаем для себя, что x будет считаться числом, поэтому в 1 случае икс в квадрате, во 2 x можно вынести за знак производной, ну а работа с функцией сложной.

55: Синус икс плюс игрек аналогично, то есть мы берём косинус икс плюс игрек, умножаем на производную внутренней функции, далее разбиваем производную икс плюс игрек как производную x plus.

56: Производная игрек и все оставшиеся производные, то есть игрек штрих обращаем в единицу игрек в Кубе. Производная это 3 игрек в квадрате, после чего мы записы

57: Производная x это 0, производная игрека это единица. Раскрываем все скобки и в результате получаем вот такую частную производную. Далее воспользуемся вот такой формулой, подставим на

58: Дф под x дф под игрек на свои места в эту формулу ну можно знак минус внести в внутрь дроби в данном случае он вносился в числитель.

59: И в результате получить итоговый ответ.

60: Касательная плоскость к поверхности касательной плоскостью к поверхности в точке m нулевое с координатами икс нулевое игрек нулевое зет нулевое называется плоскость, содержащая все касательные к кривым.

61: Проведённым на поверхности через точку m нулевое если поверхность задана уравнением ф от икс игрек зет равно 0, то уравнение касательной плоскости в точке m нулевое к этой поверхности будет.

62: Иметь вот такой вид.

63: Если же уравнение поверхности задано в явном виде, то есть выражено зет через икс игрек, то уравнение касательной плоскости в точке 0 к этой поверхности будет считаться по другой формуле.

64: Нормаль поверхности.

65: Нормалью к поверхности в точке нулевое с координатами икс нулевое игрек нулевое зет нулевое называется прямая, проходящая через точку касания нулевое и перпендикулярная касательной плоскости в случае

66: Если поверхность задана уравнением ф от икс игрек зет равно 0, то уравнение нормали в точке 0 к этой поверхности имеет вот такой вид.

67: Если же поверхность будет задана в явном виде zzz равно ф от икс игрек, то уравнение нормали в точке 0 к этой поверхности будет иметь вот такой вид рассмотрим на примере.

68: Процедура нахождения уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в 1 случае у нас поверхность будет задана в явном виде, а во 2 случае в неявном виде.

69: Рассмотрим 1 пункт. У нас задан гиперболический параболоид зетт равно икс в квадрате минус игрек в квадрате и задана точка нулевое с координатами 2, 1, 3. 1, что мы находим, это дзет под x.

70: Сначала мы расписываем производную разности как разность производных, а далее отмечаем для себя, что игрек будет считаться числом, поэтому производную икс в квадрате пишем 2 икс, а производная

71: В квадрате будет равна нулю следующее действие находим дзет под игрек аналогично сначала расписываем производную разности, отмечаем для себя, что x это число, поэтому x.

72: В квадрате штрих будет обращаться в 0, ну а игрек в квадрате будет равно 2 игрек знак минус перед игрек в квадрате соответственно остаётся

73: Далее мы подставляем координаты нашей точки в найденную частную производную дзет под x. В результате получается число 4 ну и аналогично находим дзет под игрек в точке m. Нулевое это.

74: Будет значение - 2. Далее мы воспользуемся вот такой формулой, поэтому уравнение касательной плоскости к поверхности гиперболического параболоида зетт равно икс квадрат минус.

75: Игрек квадрат в точке 0 с координатами 2 1 3 примет вот такой вид то есть мы x нулевое игрек нулевое зет нулевое это координаты точки подставили дзет под x death под игрек в точке.

76: Тоже у нас известно раскрываем все скобки, перегруппировываемся, чтобы у нас было уравнение плоскости записано в общем виде, то есть в виде а x плюс б игрек плюс ц зет плюс dd равно.

77: Следующее действие воспользуемся формулой для нахождения нормали к поверхности гиперболического параболоида. В этой же точке 0 подставим все значения, которые у нас найдены.

78: И получаем каноническое уравнение прямой. Нормально. Есть прямая 2 функция в нашей задаче будет задана в неявном виде. Поэтому 1 действие

79: Которые мы должны сделать, это десятку перенести в левую сторону, потому что левая часть данного равенства и будет теперь представлять из себя функцию ф от икс игрек зет записываем фо.

80: Xxz равно икс в квадрате + 2 игрек в квадрате + 4 зет в квадрате - 10, после чего мы находим частную производную дф под x. Сначала разбиваем.

81: Производную суммы или разности как сумму, или, соответственно, разность производных. После чего отмечаем, что поскольку функция 3 переменных, то 1 переменная икс, это остаётся как пере,

82: Переменная, а игрек и зет будет считаться числами. Поэтому производная икс в квадрате берётся как 2 икс, производная 2 игрек в квадрате будет равна нулю как число и также будет

83: Производная 4 зет в квадрате равна нулю как число. Ну и производная десятки тоже будет 0. В результате получаем 2 икс. Аналогично находим дф под игрек. 1 действие у нас

84: Стандартная, если есть сумма или разность, разбиваем на сумму или разность производных. Далее отмечаем, что числами будут иксы и set. Поэтому икс в квадрате штрих будет равно нулю.

85: Производная 2 игрек в квадрате берётся как двойку выносим за производную производная игрек в квадрате равна 2 игрек далее производная 4 зет в квадрате обращается в 0 как производная числа. Ну и

86: Производная десятки тоже будет равна нулю, то есть получаем 4 игрек последняя частная производная дф под that все делаем аналогично, только расписываем, что числа

87: Будут иксы и игреки, и в результате у нас останется только 8 set.

88: Далее подставляем координаты точки m нулевое в все частные производные найдены и получаем 3 числа 4 - 4 и 8 теперь воспользуемся вот это.

89: Этой формулой подставим все наши данные и в результате уравнения касательной плоскости к поверхности эллипсоида, заданного в точке нулевое, примет. Вот такой вид. Раскрываем.

90: Все скобки и перегруппировываемся им образом, чтобы на 1 месте были иксы, потом игрек, потом z, а потом оставшиеся числа, то есть после деления на 4 этого урав.

91: Мы получаем общее уравнение плоскости икс минус игрек + 2 зет - 5 равно 0.

92: Теперь воспользуемся вот такой формулой. Эта формула позволит нам найти уравнение нормали к поверхности эллипсоида в указанной точке и получаем вот такое уравнение. Здесь мы можем

93: Нижние числа разделить на 4. В результате получим каноническое уравнение прямой. Теперь нам требуется записать ответ. Здесь мы указываем и уравнение касательной.

94: Уравнения нормали в обоих случаях.

95: Производная по направлению.

96: Рассмотрим функцию set равно ф от икс игрек, определённую в некоторой окрестности точки м с координатами икс игрек и произвольный единичный вектор a с координатами косинус альфа, косинус бета посмотрим на рисунок.

97: Единичный вектор у нас красным цветом отмечен альфа это угол между ним и положительным направлением оси икс бета, это угол между ним и положительным направлением оси игрек.

98: Дальше мы отметим, что будем воспринимать как дельта икс, что такое дельта игрек по рисуночку видно и переходим к определению производной функции zet, равно ф от икс игрек в точке м с координатами икс игрек в.

99: Управление вектора a называется предел отношения дельта z к дельта эль при дельта эль, стремящимся к нулю, где дельта z это ф от икс плюс дельта икс, игрек плюс дельта игрек минус ф от.

100: Икс игрек при условии, что этот предел существует, то есть мы записываем дзет под el равно лимит дельта эль стремится к нулю дельта z разделить на дельта эль, производная по.

101: Направлению характеризует скорость изменения функции в точке м по этому направлению. Если d z по д эль больше нуля, то функция set равно ф от икс игрек возрастает в направлении вектора эль. А если

102: Меньше нуля то убывает производная по направлению касательному к линии уровня поверхности равна нулю. Рассмотрим геометрическую интерпретацию производной функции по направлению.

103: Если через прямую эль провести вертикальную плоскость п, то эта плоскость пересечёт поверхность, являющуюся графиком функции zet равно ф от икс игрек вдоль некоторой кривой эль большое тангенс.

104: Угла между плоскостью оо икс игрек и касательной к этой кривой в точке нулевое равен производной функции в этой точке по направлению эль.

105: Теорема, если функция set равно ф от икс игрек дифференцируема в точке нулевое, то её производная в этой точке в направлении вектора эль с координатами косинус альфа косинус бета вычисляется по вот такой

106: Замечание 1. Так как beta равно 90 градусов минус альфа, то мы можем записать вот такую формулу. То есть мы вместо косинус бетта можем

107: Писать синус альфа 2 замечание производная функции 3 переменных вида уровно ф от икс игрек зет в точке нулевое в направлении вектора эль вычисляется по вот такой

108: Формула градиент градиентом функции zet равно ф от икс игрек в точке m нулевое называется вектор, координаты которого равны соответствующим час.

109: Производным функции в этой точке. То есть мы можем записать вот такую формулу здесь и и жи это единичные векторы для осей координат, икс игрек соответственно

110: Свойства градиента функции 1 производная дзет по del имеет наибольшее значение, если направление вектора эль совпадает с направлением градиента, причём это наибольшее.

111: Значение производной равно модулю от вектора градиента зет.

112: Замечание если у нас дан вектор на плоскости с координатами икс игрек, то длина вектора считается по формуле корень квадратный из суммы квадратов всех координат. То есть если мы работаем

113: С длиной вектора градиента, то мы можем воспользоваться такой формулой, которая изучается в курсе алгебры геометрии.

114: 2 производная в направлении вектора, перпендикулярного градиенту, равна нулю градиент функции 3 переменных u равно эф от икс игрек зет в точке 0 вычисляется вот по такой формуле.

115: Давайте посмотрим принцип вычисления производной по направлению и градиента на вот таком примере. Здесь у нас есть 3 отдельных задачи. Ну, давайте найдём решение сначала.

116: 1, то есть найти производную функции z равно игрек разделить на игрек минус икс по направлению, составляющему угол 60 градусов с осью о икс в точке 0 с координатами 1 3 1.

117: Мы делаем это, находим по факту дзе под эль, сначала находим дезет под x, воспринимая игрек как число мы можем игрек вынести за знак производной, ну а производную будем.

118: Принимать как производную сложной функции, то есть производная сначала дроби берётся, потом умножается на производную внутренней функции игрек, минус икс, далее производная игрек минус x.

119: Писывается как производная игрек минус производная икс игрек это число значит игрек штрих это 0, а x штрих это будет единица. В результате мы получаем значение игрек разделить на игрек минус икс.

120: Все это в квадрате, после чего находим дз по д игрек, воспринимаем икс как число здесь надо воспользоваться формулой производной дроби или производной час.

121: Поскольку у нас есть переменная игрек и в числителе, и в знаменателе расписываем производная числителя умножить на знаменатель минус числитель, умножить на производную знаменателя и делим на квадрат знаме.

122: Далее, производная игрек это единица, ну, производная скобки игрек, минус икс разбиваем, как производная. Игрек минус, производная икс и производная игрек это единица производная икс это 0.

123: В результате, раскрывая все скобки и упрощая, мы получаем вот такую дробь.

124: Далее подставляем координаты точки нулевое в найденное дзет под x y z под игрек получаем числа 3/4 и - 1 4 теперь давайте ещё раз.

125: Запишем найденные данные и обратимся к вот Такому рисунку. По нашему условию. Наше направление даёт угол альфа 60 градусов к положительному направлению.

126: X значит, угол бета это 30 градусов, это угол между нашим направлением и положительным направлением оси игрек в результате будущих расчётах нам.

127: Потребуется значение косинус альфа и косинус бетта. Значит, косинус альфа это косинус 60 градусов. Это 1 2 косинус бета или он же синус альфа это корень из 3 на 2.

128: Далее воспользуемся вот этой формулой. Мы видим, что все значения у нас уже известны. Мы можем вычислить дзе под эй, получаем в результате вот такую дробь.

129: 2 пункт найти градиент z. Ну, поскольку мы сейчас сразу воспользуемся формулой, мы видим, что все данные у нас уже есть по факту это вектор с координатами 3/4 и - 1 4 в 3 пункте.

130: Нам необходимо найти длину этого вектора. Воспользуемся вот такой формулой. Корень квадратный из суммы квадратов, его координат координатки у нас это 3/4 и - 1 4.

131: Записываем в формулы эти координаты, ну и видим в вычислениях получаем корень из 10 / 4. Таким образом все 3 ответа у нас записываются. Все, мы нашли то, что нужно.

132: Перейдём ещё к 1 примеру, здесь будет уже дана функция 3 переменных икс, игрек и зет. Ну и нужно будет вычислить производную в точке 0 в направлении вектора.

133: Соединяющего точку, а с точкой б далее найти градиент функции в точке 0 и найти наибольшую скорость возрастания функции в точке 0.

134: 1 часть говорит нам о том, что нужно найти дду пд. Эй, ну и давайте найдём сначала дду под x. Производная суммы есть сумма производных, расписываем.

135: Что если x это переменная, значит игрек и зет это числа, то есть из 1 слагаемого мы можем вынести за знак производной игрек 2 слагаемое будет обра.

136: Производная в 0, а из 3 слагаемого мы за скобки вынесем 2 zz, производная икс в квадрате это 2 икс, производная x это единица, в результате мы получаем.

137: 2 икс игрек + 2 zz теперь определяем дду по д. Игрек тоже аналогично расписываем сумму производных и отмечаем для себя, что?

138: Будут x. Y z. Тогда из 1 слагаемого мы выносим за знак производной x в квадрате из 2 слагаемого мы выносим за знак производной 3 that.

139: В Кубе, a3 слагаемое его производная будет обращаться в 0. В результате после подстановки игрек штрих равно 1 мы получаем икс в квадрате + 3 икс зет в Кубе далее

140: Находим d y под z все делаем также абсолютно только здесь числами будут считаться икс и игрек в результате 1 слагаемое обратится в 0 производная числа это 0 из.

141: 2 слагаемого мы выносим за производную 3 игрек, а из 3 2 икс, ну производная z в Кубе это 3 зет в квадрате, а производная z это единица.

142: Получаем 9 игрек зет в квадрате + 2 икс.

143: Далее мы подставим координаты точки нулевое в dew под x, дду под игрек и дду под that получаем 3 числа 2 82 и - 160 найдём.

144: Координаты вектора a это вектор ab из конца, из координат точек конца вычитаем координаты начальной точки, то есть из б вычитаем а и получаем координаты 1 2 минус.

145: 2 тогда направляющие косинусы вектора эль вычисляются по вот таким формулам. То есть мы 1 координату делим на длину вектора, потом 2 координату делим на длину вектора и

146: 3 координату делим на длину вектора.

147: Далее воспользуемся вот такой формулой. Все данные у нас уже найдены. Можем подставить все числа. И в результате расчётов у нас получается 486/3. Ну, можно

148: Разделить это, это будет 160.

149: Далее нам потребуются вот такие значения, поэтому запишем их ещё раз и переходим ко 2 пункту найти координаты вектора градиента. У формула у нас вот такая, значит, мы просто берём эти

150: 3 координаты. Ставим их на свои места. И в результате получается градиент. У 3 действие нам нужно найти по факту длину вектора градиента. Для этого воспользуемся вот так.

151: Формулой на в пространстве у нас длина вектора это корень квадратной суммы квадратов 3 координат этого вектора значит подставляем все данные и в результате получаем вот

152: Такой корень записываем 3 ответа.

153: Частные производные высших порядков, частные производные функции нескольких переменных также являются функциями нескольких переменных. Частные производные 2 порядка. Функции не

154: Переменных игрек равно f от x 1 x 2 многоточие икс энное по переменной икс ита называется частная производная по этой переменной от частной производной дф по д.

155: Тем.

156: Можно записать это вот в таком виде смешанной производной 2 порядка функции нескольких переменных игрек, равно f от x 1 x 2, многоточие икс энное по переменным икс итое x.

157: Житая называется частная, производная по житой переменной от частной производной. По этой переменной запись у нас будет вот такая.

158: Теорема шварца смешанные производные 1 и того же порядка по 1 и тому же набору аргументов равны в точке м с координатами x, 1, x, 2 многоточие икс энное, то есть не зависит от порядка дифференцирования.

159: Если они непрерывны в этой точке.

160: Например, если дана функция 2 переменных зетт равно ф от икс игрек, то она имеет следующие частные производные 2 порядка мы видим, что их 4 замечание по теореме шварца д. В квадрате зет.

161: Д игрек д икс равно д в квадрате зет по д икс д игрек, поэтому обычно находят только 3 частные производные 2 порядка для функции 2 переменных, то есть д в квадрате зет по d икс квадрат д в квадрате зет под.

162: Игрек в квадрат и 1 из смешанных. Ну, мы будем в будущем находить д в квадрате зет по д икс д игрек функция 3 переменных уровно ф от икс игрек зет имеет 9 производных 2.

163: Порядка записываются они вот так частная производная много порядка функции некоторых нескольких переменных называется частная производная от её частной производной предыдущего порядка.

164: Пример найти все частные производные 2 порядка для функции. Ну, здесь даётся 2 функции. Давайте сначала посмотрим на 1 функцию и найдём сейчас.

165: Производные 2 порядка. Для начала нам необходимо найти все частные производные 1 порядка. То есть начнём с дз по дикс расписываем производная суммы. Есть сумма производных. Аналогично.

166: С разностью. Далее расписываем, что игрек будет считаться числом, поэтому 5 игрек в 6 штрих превращается в 0, а игрек в квадрате в последнем слагаем.

167: Нужно вынести за знак производной производная икс в Кубе это 3 икс в квадрате производная икс 4 это 4 икс в Кубе. В результате получаем 9 икс в квадрате + 4 икс в Кубе.

168: Игрек в квадрате зафиксируем для себя частную производную дзет под x. Она нам потребуется. Далее теперь переходим к дзет по д игрек. Действия наши аналогичны здесь будет числом.

169: Считаться икс, поэтому 3 икс в Кубе штрих это 0 и икс в 4 степени из последнего слагаемого нужно будет вынести за знак производной в резуль.

170: В результате игрек 6 штрих это будет 6 игрек в квадрате, а игрек в квадрате штрих. Это будет 2 игрек получаем дзз под игрек и зафиксируем их для себя.

171: Частные производные 1 порядка нам необходимы будут как база, от которой мы будем отталкиваться при нахождении частных производных 2 порядка. Итак, берём частную производную д в квадрате зет по д игрек.

172: Икс в квадрате здесь база будет z по d икс переменной будет x, поэтому сначала переписываем в таком виде производную и находим производную суммы, есть сумма.

173: Производных. Далее, если x это переменная, значит, игрек это число. Поэтому работаем с игреком как с числом выносим постоянный множитель за знак производной. Далее находим соответствующий

174: Производную по таблице и получаем итоговое значение. Далее берём частную производную. Здесь базой будет дзт под x переменной будет игрек в начале мы

175: Поступаем так же, как в прошлый раз. То есть производная суммы есть сумма производных, но числом здесь будет уже x, поэтому производная 9 икс в квадрате обращается в 0.

176: Постоянный множитель 4 икс в Кубе выносится за знак производной, а производную игрек в квадрате берём как 2 игрек в результате получаем 8 x в Кубе игрек теперь находим последнюю, 3.

177: Основную из частных производных 2 порядка это д в квадрате зет по д. Игрек в квадрате базой является d z по д игрек переменной является игрек опять же производная.

178: Разности, есть разность производных. Расписываем икс как число. Постоянный множитель выносим за знак производной. Ну а производное известных функций мы уже можем найти в результате получить вот

179: Такую частную производную 2 порядка.

180: Переходим ко 2 пункту здесь у нас даётся другая функция, но тем не менее нам сначала необходимо найти частные производные дзт под x и дзет под игрек функция у нас сложная, поэтому расписываем

181: Как внешнюю и внутреннюю функцию и вспоминаем правило производную внешней функции умножаем на производную внутренней производная внешней функции, то есть производная ln чего-то это 1 поделить на это что-то ну.

182: Производная внутренней функции это производная скобки. Далее мы разбиваем производную разности как разность производных и воспринимаем игрек как число.

183: В результате получаем вот такую найденную итоговую производную. Теперь переходим к нахождению дзет под игрек. Все у нас будет аналогично. Функция все ещё является сложной. То есть

184: Опять структура будет та же, только числом будет восприниматься уже x. Ну, естественно, и производная будет несколько иным после упрощения она у нас будет вот такая.

185: Будущие базы d set под x и d set под игрек ещё раз находим 1 частную производную 2 порядка д в квадрате зет по d икс в квадрате базой берём.

186: Под x переменная это x постоянный множитель 2 выносим за знак производной производная сложной функции 1 поделить на скобку это - 1 поделить на скобку в квадрате, умножить на производную.

187: Это скобки, производная скобки расписывается как разность производных. Ну и далее воспринимаем игрек как число, тогда производная 3 игрек в Кубе обращает

188: В 0, а производную 2 x находим стандартно двойку выносим за производную производная x это единица, в результате получаем итоговый ответ, теперь переходим к смешанной.

189: Производной здесь мы базой считаем дзет под x, а переменной игрек. Поскольку мы уже находили в результате предыдущих вычислений, дошли вот до такой вот дроби, то мы

190: За основу взять эту дробь и, воспринимая икс как число, произвести дальнейшие действия. Производная 2 икс это 0 производная 3 игрек в Кубе. Сначала постоянный множитель выносим.

191: Производная игрек в Кубе. Обращаем как 3 игрек в квадрате. Ну и после упрощения получится вот такая дробь. Далее производная д в квадрате зет по д игрек в квадра.

192: Говорит о том, что у нас базой является дзо игрек и переменной будет игрек. Здесь мы должны воспользоваться производной дроби, поскольку игреки есть и в числителе, и в знамёна.

193: Производная дроби или производная частного расписывается следующим образом производная числителя умножить на знаменатель минус, числитель умножить на производную знаменателя делим на квадрат.

194: Далее, воспринимая икс как число, мы начинаем следующие действия. Девятку выносим за производную. В последней скобке мы расписываем производную ско.

195: Как производную разности, то есть разность производных. Ну а далее воспользуемся всеми нашими знаниями о производных. И после упрощения мы получим вот такой итоговый ответ.

196: Записываем итоговый ответ.

197: Дифференциалы высших порядков.

198: Дифференциалом 2 порядка называется дифференциал от 1 дифференциала д. От д. Игрек, взятый при фиксированных значениях d x cat, где к. У нас меняется от единицы до n для.

199: Функции нескольких переменных игрек равно эф от икс 1 икс 2 многоточие икс, но записывается дифференциал вот в таком виде.

200: Аналогично определяют и дифференциалы более высоких порядков. При этом дифференциал порядка м берётся как дифференциал от дифференциала предыдущего порядка м - 1 для.

201: Функции 2 переменных зетт равно эф от икс игрек мы можем записать дифференциал 2 порядка. Вот по такой формуле.

202: А дифференциал 3 порядка будет считаться вот по такой формуле для функции 3 переменных вида u равно ф от икс игрек зет дифференциал 2 порядка приведён.

203: По вот такой формуле формула тейлора для функции нескольких переменных пусть функция нескольких переменных игрек, равно ф от икс здесь x это переменная x 1 x 2 многоточие икс энная а.

204: Определена и непрерывна вместе со всеми своими частными производными до порядка м + 1 включительно в окрестности точки, а малая тогда справедлива формула тейлора вот в таком виде можно её

205: Писать здесь r n + 1 называется остаточный член формулы тейлора, в частности формула тейлора для нн. Равно 2, и точка будет с координатами икс нулевое игрек нулевое будет.

206: Иметь вот такой вид здесь у нас приближённое равенство, поскольку мы избавились от остаточного члена формулы тейлора оставили только остальные необходимые слагаемые.

207: При точке с координатами 0 0 формула тейлора обращается в формулу макларена.

208: Рассмотрим пример разложить по формуле тейлора в окрестности точки с координатами - 1 1 до члена 2 порядка включительно функцию ф от икс игрек, равную 2 икс в 4 степени минус.

209: 6 икс игрек в Кубе плюс игрек в 5 степени. 1, что мы с вами делаем, это подставляем точку координаты точки в функцию и находим значение функции в этой точке. Это 9, да.

210: Находим дф под x, воспринимая икс как переменную, и видим, что здесь сначала нужно взять производную суммы или, соответственно, разности как сумму.

211: Или, соответственно, разность производных. Далее, воспринимая игрек как число, мы находим эти производные в последнем случае игрек в 5 степени штрих обращается в 0, во 2 слагаемом 6.

212: Игрек в Кубе мы выносим как постоянный множитель, ну а производную x 4, производной x. Мы находим по обычной таблице, производных, в результате получаем 8 x в Кубе - 6 игрек.

213: В Кубе теперь находим дф под игрек. В начале действуем аналогично расписываем производную суммы или разности как сумму или разность соответственно производных воспринимаем числом и

214: Тогда производная 2 икс в 4 степени будет равна нулю ну, из 2 слагаемого за производную можно вынести 6, x и далее воспользоваться таблицей произ.

215: В результате получить вот такую частную производную, подставив координаты точки - 1 1 в частные производные д под икс и дф под игрек соответств.

216: Находим числа - 14 и 23, теперь вычисляем производную д в квадрате ф по d икс в квадрате базой берём дф по d x переменная это x. Сначала берём.

217: Производную разности как разность производных. Далее, понимая, что игрек есть число, тогда 6 игрек в Кубе штрих это 0. Ну a8 икс в Кубе находится стандартный

218: Методом восьмёрка выносится производная икс в Кубе. Это 3 икс в квадрате. Получаем 24 икс в квадрате. Теперь берём смешанную производную 2 порядка. Здесь базой берём д под икс.

219: А переменная это игрек, вновь производную разности расписываем как разность производных далее, поскольку x это число, то производная 8 x в Кубе обращается в 0, ну а производная?

220: На - 6 игрек в Кубе это будет у нас - 18 игрек в квадрате производная д в квадрате под игрек в квадрате базой является д под игрек перемен.

221: Игрек расписываем вновь производную разности как разность производных, воспринимая числом икс, выносим 18 x во 2 слагаемом за знак производной ну и?

222: Далее по табличке смотрим производную в 4 степени и производная игрек, ой, игрек в 4 и игрек в квадрате. Следовательно, получается вот такая запись.

223: Ещё раз вспоминаем значение функции в точке - 1 1. Значение первых производных частных функции в этой же точке. Далее подставляем эту точку.

224: Найденные частные производные 2 порядка. Определяем значения и, возвращаясь к вот такой формуле, мы можем подставить все полученные значения и немножечко упростить