0: Итак, уважаемые студенты, здравствуйте.
1: В этом видео мы начинаем изучать главу 2 дифференциальное исчисление функций многих переменных.
2: Дифференциальное исчисление функций многих переменных. До этого мы с вами рассматривали главу дифференциальное исчисление функции 1 переменной.
3: 1.
4: Понятие функции многих переменных
5: Точка и здесь же предел функции в точке.
6: Точка здесь же непрерывность функции.
7: Итак, введём основные понятия в данном параграфе, которые нам потребуются при изучении следующих параграфов определение
8: Переменная z.
9: Называется функцией 2 переменных.
10: Икс и игрек.
11: Если.
12: Каждой упорядоченной паре.
13: Икс, игрек.
14: Значение.
15: 2 независимых друг от друга переменных.
16: Икс и игрек из некоторой области д.
17: Соответствует.
18: Единственное число z.
19: Итак, функция 2 переменных обозначается следующим образом.
20: That равно z от икс игрек.
21: Или that равно ф от икс игрек.
22: Или that равно ф большое от икс, игрек и так далее.
23: Мы можем встречаться с функциями не только 2 переменных, но и большего числа, поэтому дадим следующее определение. Переменная величина у
24: Называется функцией.
25: От n. Переменных.
26: Икс, игрек, зет.
27: И так далее, т. Если каждому набору
28: Этих переменных.
29: Соответствует единственное значение.
30: Переменный.
31: Ну и, соответственно, здесь у нас функция, да, может обозначаться
32: U равно у от икс, игрек, зет и так далее, т.
33: Или u равно ф от икс, игрек, зет и так далее, т.
34: Ну и так далее, да, какая-то буква здесь может быть и другая.
35: Итак, чаще всего имеют дело с функциями 2 переменных, но мы можем встретиться в практике с функциями 3 переменных.
36: Далее в этом параграфе сделаем подзаголовок предел функции в точке.
37: Выделили подзаголовок и начинаем с определения.
38: Д окрестностью.
39: Точки.
40: М нулевое с координатами икс 0 игрек 0 называется открытый круг.
41: Радиуса д.
42: Центром в точке.
43: То есть?
44: Икс минус икс нулевое в квадрате плюс игрек минус игрек нулевое в квадрате меньше д квадрат.
45: Далее, если из этого круга
46: Удалить его центр.
47: От центра, как это как раз точка нулевое.
48: То получим проколотую д окрестность.
49: Точки 0
50: То есть икс минус икс нулевое в квадрате плюс игрек минус игрек нулевое в квадрате, если мы точку м 0 выкалываем.
51: То данное выражение не может становиться нулём, оно будет больше нуля и по прежнему меньше д квадрат.
52: С новой строки, предположим.
53: Что функция 2 переменных
54: That равно ф от икс игрек.
55: Определена в некоторой проколотой окрестности.
56: Определена в некоторой проколотой.
57: Д окрестности.
58: Точки 0
59: И дадим определение предела, функции, определение.
60: Число, а большое.
61: Называется пределом функции.
62: Set равный ф от икс игрек.
63: В точке m. Нулевое.
64: С координатами икс 0 игрек 0.
65: Если для любого.
66: Сколь угодно малого.
67: Эпсилон больше нуля найдётся?
68: Число дельта.
69: Вообще говоря, зависящая от эпсилон и тоже больше нуля.
70: Такое что?
71: Для всех точек.
72: М от икс игрек для всех точек м с координатами икс игрек.
73: Отличных от точки m нулевое с координатами икс 0 игрек 0 и отстоявших.
74: От точки m нулевое.
75: Меньше, чем на дельта.
76: Выполняется неравенство.
77: Модуль ф от икс игрек минус, а меньше эпсилон.
78: То есть значения функции отличаются от числа, а меньше чем на эпсилон.
79: И как же обозначают предел?
80: Предел ф. В любой точке м. При м. Стремящемся к m нулевое, равен числу а.
81: Или предел ф от икс игрек.
82: Где x у нас стремится к икс нулевому, игрек стремится к игрек нулевому это есть число, а?
83: С новой строки теорема.
84: В скобочках о пределах.
85: Выделили теорему пусть
86: Ф от м и ж от м.
87: Тире 2 функции.
88: Определённые
89: В некоторой проколотой окрестности.
90: Точки.
91: М. Нулевое и предел функции ф от м при м. Стремящемся м. Нулевое.
92: Равен а.
93: А предел функции жжёт.
94: При м. Стремящемся к этой точке m нулевое равен б.
95: Тогда.
96: Будут справедливы следующие равенства 1 предел при м. Стремящемся к m нулевое.
97: От суммы или разности функций.
98: Будет равен сумме или разности пределов этих функций.
99: 2 свойство предел при м. Стремящемся к m нулевое.
100: Произведение этих функций.
101: Будет равен произведению пределов этих функций.
102: 3 предел при м. Стремящемся к m. Нулевое.
103: Частного этих функций.
104: Ради.
105: Частному значению этих пределов в том случае, если б не равно нулю.
106: И в эту же теорему 4.
107: Предел при n. Стремящемся к n. Нулевому.
108: Ф это в степени жэ то.
109: Будет равно, а в степени б, да, больше.
110: Рассмотрим пример.
111: Вычислить предел.
112: При вычислении пределов, функций.
113: Многих переменных используют уже все известные приёмы, которые мы применяли при вычислении пределов функции 1 переменной.
114: Ну давайте посмотрим пример. Вот такой предел. Синус икс + 2 игрек - 3 разделить на икс + 2 игрек в квадрате - 9 и икс игрек стремятся к единице. 1, с чего мы начинаем
115: Это с подстановки, чтобы выяснить, есть ли там неопределённость вместо икса и игрека. В данном случае мы подставляем 1 и 1.
116: Получаем.
117: Числителе синус нуля.
118: Знаменателе 3 в квадрате это 9 - 9 синус меня 0.
119: И в знаменателе тоже 0. Неопределённость есть, да, неопределённость вида 0 / 0. И есть тригонометрическая функция, в принципе, очень может быть похоже на формулу 1.
120: Замечательного предела. Давайте здесь её напомним, 1 замечательный предел у нас имеет вид.
121: Предел при x стремящемся к нулю синус икс делить на икс равен единице, значит, напомню, что в этом пределе у нас переменная устремляется к нулю, да и.
122: Аргумент синуса должен совпадать со знаменателем если мы посмотрим в наш предел, у нас выражение x + 2 игрек - 3 при.
123: Икс игрек, стремящийся к единице, стремится к нулю. Поэтому я могу сделать подстановку икс + 2 игрек - 3 равно т.
124: Напишу так как x стремится к единице и игрек стремится к единице, то получается, что t стремится к нулю.
125: Равно.
126: Далее, прежде чем я буду подставлять новую переменную сюда, я вижу, что в знаменателе у меня ещё что есть выражение x + 2 игрек вот оно оно.
127: Но есть вот здесь вот, чтобы мне подставить знаменатель, я его здесь выражу заранее. X + 2 игрек это будет равно т + 3 и
128: Начинаю подстановку предел икс игрек стремились к единице, т стремится к нулю здесь я получаю синус т. Теперь x + 2.
129: Игрек это т + 3 в квадрате ещё - 9.
130: Смотрите, в данном случае с помощью подстановки можно перейти к пределу, как от функции 1 переменной, упростим теперь знаменатель.
131: Синус т и возведём в квадрат т квадрат.
132: Плюс удвоенное произведение 6 т + 9 - 9.
133: Равно предел при t, стремящемся к нулю синус т 9 у нас сокращается, и в знаменателе я вынесу т. За скобочку.
134: Получится т + 6 равно теперь у нас чётко просматривается 1, 1 замечательный предел. Вот он.
135: Предел вот этого выражения равен единице, тогда остаётся предел при t, стремящемся к нулю 1 делить на т + 6.
136: Ну и подставляю сюда вместо т 0 получаю значение предела 1 6.
137: Далее в этом же параграфе сделали подзаголовок непрерывность функции.
138: Ещё раз подчеркну да, речь сейчас о функциях нескольких переменных. Так, непрерывность функции. Дадим определение.
139: Функция.
140: That равно ф от.
141: Называется непрерывной в точке m нулевое.
142: Если она удовлетворяет.
143: 3 условия.
144: 1.
145: Функция f от м определена.
146: В некоторой окрестности.
147: Точки m нулевое.
148: 2.
149: Имеет предел этой точки.
150: Имеет предел этой точки.
151: То есть предел ф от.
152: При м. Стремящемся к n. Нулевому равен а.
153: И 3 этот предел.
154: Равен значению функции.
155: В этой точке.
156: То есть, а равно ф это 1000000.
157: Данное определение опять аналогично определению непрерывной функции 1 переменной.
158: С новой строки, если функция
159: Ф от икс игрек.
160: Не определена в точке нулево.
161: Или предел этой функции.
162: При x. Стремящемся к этой точке да, игрек, стремящимся, не равен значению функции в этой точке.
163: То точка m нулевое в этом случае.
164: Называется точкой разрыва.
165: И здесь же, отметим теорему.
166: В скобочках о переходе к пределу.
167: Если.
168: Ф. От м. Непрерывно в точке нулевое.
169: То мы можем записать предел ф. От м при м. Стремящемся к n. Нулевому равен ф от.
170: Предела м. При м. Стремящемся к точке нулева, то есть в том случае, если функция непрерывна, то операция взятия, функции и предела перестановочны между
171: Собой. Ну и сейчас мы с вами отмечали определение непрерывной функции именно в точке и, соответственно, определение функции
172: Непрерывная.
173: В каждой точке.
174: Некоторого множества.
175: Называется.
176: Непрерывной на этом множестве.
177: Итак, в данном параграфе были даны основные базовые определения, касающиеся функции нескольких переменных с новой строки рассматриваем параграф 2.
178: Частные производные.
179: Точка полный дифференциал.
180: С новой строки рассмотрим.
181: Функцию 2 переменных.
182: That равно эф от икс игрек.
183: Определённую
184: И непрерывную.
185: Некоторые области д.
186: И дадим определение.
187: Частными превращениями.
188: Функции.
189: Set равный ф от икс игрек.
190: По независимым переменным икс и игрек.
191: Называются соответствующие разности.
192: Итак, частное превращение функции z по переменной x обозначается вот таким вот образом дельта z по x снизу.
193: Это эф от икс плюс дельта икс игрек минус эф от икс игрек.
194: Так и аналогично частное превращение функции z по переменной игрек это ф от икс игрек плюс дельта, игрек, минус ф от икс игрек.
195: Так, ну и здесь давайте ещё отметим, что бывает полное превращение, да, функции.
196: Set.
197: В качестве определения не будем записывать, просто ниже вынесем.
198: Вдруг у нас где-то это тоже встретится, соответственно, полное превращение функции z.
199: Обозначается просто дельта z и равно ф от икс плюс дельта икс, игрек плюс дельта игрек минус ф от икс игрек.
200: Следующее определение.
201: Частной производной.
202: Функции.
203: Set равный ф от икс игрек.
204: По переменным.
205: Икс и игрек называется.
206: Предел отношения.
207: Соответствующего.
208: Частного превращения.
209: Delta z. По x или delta z. По игрек.
210: К превращению.
211: Данной переменной.
212: При условии.
213: Что превращение переменной стремится к нулю.
214: То есть?
215: Так, посмотрите предел отношения частного превращения функции z по переменной x к превращению этой переменной, то есть переменной дельта икс.
216: При дельта икс, стремящемся к нулю, это есть частная производная функции z. По переменной x записывается зет штрих по икс, просто that штрих писать нельзя.
217: Потому что переменных у функции 2, и если мы не укажем по какой переменной, то непонятно будет, как искать производную и самое стандартное обозначение дзет оо.
218: D x d пишется именно вот такая круглая, потому что производная здесь частная и аналогично предел отношения.
219: Частного превращения дельта z по игрек к дельта игрек при дельта игрек, стремящимся к нулю. Это есть производная z по переменной игрек и
220: Или d z по д. Игрек?
221: Опять понятие частных производных функций 2 переменных аналогично определению.
222: Производной функции 1 переменной.
223: Рассмотрим пример.
224: Найти частные производные.
225: Берём 1 функцию.
226: That равно 3 икс в квадрате + 3 икс игрек - 2 игрек в квадрате + 1.
227: Так как у нас функция 2 переменных, то у неё будут 2 частные производные по переменной x и по переменной игрек.
228: Начинаем вычислять производную по переменной x или d set под x.
229: Запишем сюда функцию.
230: И ставим штрих по икс теперь, когда мы будем искать производную по переменной x в это время 2 переменную игрек нужно зафикси.
231: И считать её константой.
232: Дифференцируем функцию только по иксу. Итак, начинаем с правил известных нам правила и формулы дифференцирования. Все те же самые производная суммы равна
233: Сумме производных.
234: То есть разбиваю на сумму производных везде указываю, что дифференцировать нужно по x. Далее вспоминаю правила постоянный множитель можно вынести за знак произво.
235: Значит, здесь напоминаю, что константами у нас являются любые числа и все, что связано с игреками. Итак, в 1 скобочке 3 константа выношу.
236: Остаётся икс квадрат штрих по икс плюс в этой скобке смотрю здесь у нас роль константы играет 3. И ещё игрек значит вынести за производную нужно
237: 3 игрек.
238: И остаётся продифференцировать только икс минус далее смотрим в эту скобку здесь у нас вообще нет x da игрек является константой, раз игрек константа.
239: То игрек в квадрате тоже константа. Константа, умноженная на 2, даёт константу все вот это выражение является константой. Значит, производная константы нам даёт 0 плюс.
240: 1 это тоже константа её производная равна нулю 3 умножить дифференцируем икс квадрат это 2 икс + 3 игрек производная x даёт 1 того.
241: Есть x + 3 игрек вот она, производная по переменной x. Теперь у этой же самой функции найдём производную по игреку.
242: Сейчас, когда будем дифференцировать по игреку?
243: Константой будем считать наоборот, переменную икс здесь можно пометить теперь x constanta.
244: Опять производная суммы у нас равна сумме производных. Распишем 3 икс квадрат, штрих по игрек + 3 икс игрек, штрих по игрек.
245: - 2 игрек квадрат штрих по игрек и + 1 штрих по игрек.
246: Штрих по игрек равно смотрим в 1 скобочке.
247: 3 икс квадрат является константой, значит, производная равна нулю плюс во 2 скобке роль константы играет 3 x. Выносим за производную.
248: Останется продифференцировать игрек в этой скобке константа 2 её вынесли, остаётся продифференцировать игрек, квадрат и производная единицы даёт 0.
249: Производная игрека равна 1.
250: Производная игрек квадрат это 2 игрек. Итого получаем 3 икс - 4 игрек. Вот у нас частная производная по переменной игрек.
251: Далее пример 2.
252: U равно т в 5 умножить на синус в Кубе зет.
253: Опять посмотрите, дана функция 2 переменных, да, но буквы уже немножко другие, непривычные, возможно, для нас, но все равно у нас 2 частные производные по
254: Каждой из переменных. Итак, найдём дду по дт.
255: В этом случае мы будем считать переменную z константой.
256: Сет константа.
257: Итак, т. В 5 на синус в Кубе зет.
258: Штрих пот.
259: Раз set является константой, то синус в Кубе зет тоже константа выносим за знак производной.
260: Синус в Кубе зет вынесли, и, получается, остаётся здесь продифференцировать только т в 5 от.
261: Синус в Кубе зет умножить на 5 т в 4.
262: Оставлю в таком виде и найду 2 производную дду по дз.
263: Теперь, соответственно, константой считаю переменную т. А производную нахожу по переменной z.
264: В 5, на синус, в Кубе зет.
265: Штрих после.
266: Т константа, значит, т. В 5 тоже константа т в 5 у нас является множителем. Значит, мы можем постоянный множитель вынести за знак производной и продифференцировать только
267: Синус в Кубе зет. Итак, функция синус в Кубе зет сложная внешняя функция степенная, поэтому сначала я дифференцирую степень 3 на синус.
268: В квадрате зет и ещё мне нужно домножить на производную синуса по переменной z на производную внутренней функции, тогда получаю вот эту троечку.
269: Пишу впереди 3 т в 5.
270: На синус в квадрате зет, и производная синуса мне даёт косинус.
271: Итак, получили частную производную функции u по переменной z тоже да, у функции 2 переменные, поэтому мы получили 2 частные производные.
272: Далее в этом же параграфе запишем формулу, как вычисляется полный дифференциал функции 2 переменных.
273: Просто с новой строчки, да, запишите полный дифференциал.
274: Функции.
275: Set равный ф от икс игрек.
276: Вычисляется по формуле.
277: Выделили полный дифференциал, формула была выведена, но мы с вами её берём как готовую, без доказательств обозначается полный дифференциал дзет.
278: И вычисляется по формуле дзет под x над x плюс d set под игрек на д. Игрек и формулу ввели в рамочку.
279: Ну и давайте рассмотрим пример здесь и заодно ещё раз посмотрим, как вычисляются частные производные.
280: Найти полный дифференциал функции.
281: И функция такая зетт равно натуральный логарифм тангенса икс делить на игрек.
282: Итак, начнём с формулы чтобы найти полный дифференциал мы применяем формулу d that равно d set под икс умножить на d x plus дзет под игрек умножить на д.
283: Замечаем, что вот на этом месте и вот на этом стоят частные производные нашей функции, поэтому их сначала нужно вычислить вычисляем зет под x.
284: Все равно.
285: Производная логарифма тангенса, икс на игрек штрих по икс раз мы находим производную по x. Напоминаю, то игрек считаем константой.
286: Дифференцируем внешнюю функцию логарифм производная логарифма равна 1 делить на аргумент и домножить на производную.
287: Этого аргумента в данном случае на производную тангенса.
288: Теперь здесь нахожу производную внешняя функция тангенс, дифференцирую, тангенс получаю производная 1 делить на косинус квадрат, икс, делить на игрек.
289: И опять домножаю на производную аргумента по переменной икс равно.
290: Здесь, посмотрите сразу же тангенс распишу, как синус делить на косинус.
291: Умножить эту дробь переписываю.
292: И дифференцирую последнюю скобку в этой скобке константой является 1 делить на игрек значит 1 делить на игрек выношу да выношу и здесь.
293: Здесь мне остаётся продифференцировать только x, а производная x у нас с вами равна единице, и здесь, посмотрите сразу же косинус вот таким вот образом сокращаем.
294: Получается.
295: В числителе у нас единица.
296: И в знаменателе остался синус икс делить на игрек.
297: Косинус икс делить на игрек и ещё игрек вот этот вот равно вот в принципе производная уже вычислена, да, но я немножко упрощу.
298: Смотрите, я могу здесь применить формулу двойного угла. В этом случае мне нужна двоечка. Я домнож на 2 знаменатель. И тогда числитель, я тоже домнож на 2. Вот у нас полу.
299: Получается синус двойного угла, да, кто забыл? Напоминаю. 2 синус альфа на косинус альфа это синус 2 альфа.
300: С целью упрощения. И тогда у меня получается в числителе 2 в знаменателе вот этот игрек и вот эти 3 множителя дают синус двойного угла. То есть синус 2 икс делить на
301: Игрек. Так и теперь вычисляю вто.
302: Частную производную z по д. Игрек.
303: Функция у нас та же самая логарифм тангенса икс делить на игрек, но дифференцировать теперь буду по игреку, тогда x считаю константой.
304: Итак, производная натурального логарифма даёт 1 делить на тангенс икс, на игрек и домножить на производную тангенса.
305: Только уже по переменной игрек.
306: Производная тангенса даёт 1 делить на косинус квадрат икс на игрек и домножить на производную аргумента по игрек.
307: Далее таким же образом, да, тангенс, если расписать как синус,
308: Делить на косинус.
309: То мы потом косинусы можем сократить сразу же.
310: Давайте здесь сразу косинус сокращаем с косинус квадрат и в последней скобочке икс у меня является константой, я её выношу, и тогда в скобке остаётся
311: 1 делить на игрек или игрек в минус 1 степени, который нужно продифференцировать.
312: Итак, здесь получаем 1 делить на синус, икс, на игрек, умноженное на косинус, икс на игрек здесь у нас x и дифференцируем игрек в минус.
313: 1 это - 1 на игрек минус 2 равно производная найдена. Теперь упростим опять домножь знаменатель на 2 и тогда числитель на 2. Вот здесь.
314: Здесь у меня будет синус двойного угла. Теперь знак у всей дроби у меня будет минус. Вот она, минус единица в числителе 2 икс.
315: Вот он 2, и вот он, икс игрек в минус 2 опустится в знаменатель, как игрек во 2. И здесь синус двойного угла, то есть синус 2 икс делить на игрек.
316: Итак, нашли 2 частную производную и теперь составляем полный дифференциал по формуле ещё раз полный дифференциал дзет равен set под x на.
317: X. Плюс d z. По д. Игрек, на д. Игрек.
318: Вот на эти 2 места подставляем вычисленные частные производные. Получается дзет равно, значит частная производная по переменной икс у нас с вами была такая 2 делить на игрек с
319: - 2 икс на игрек теперь умножаем её на д x plus.
320: И это производная - 2 икс на игрек квадрат.
321: Синус 2 икс на игрек.
322: Д игрек равно, в принципе, полный дифференциал мы составили, но теперь его можно немножко упростить. Да, во первых, плюс минус даёт знак минус и во вторых, посмотри.
323: Здесь такие дроби, в принципе, немножко громоздкие, но знаменатель у дробей похож, отличается игрек квадратом. Да, здесь игрек, квадрат, а здесь игрек. Можно, в принципе привести к общему знаменателю. Тогда сюда дополни.
324: Множитель. Игрек. Ну и посмотрите, что у нас получается. В числителе будет 2 на дополнительный множитель, да, 2 игрек и ещё д икс.
325: Дальше плюс минус нам даёт минус. Здесь у нас 2 икс и ещё д игрек, а знаменатель мы напишем общим игрек квадрат на синус 2 икс на игрек.
326: Все вот это и есть полный дифференциал, который нам требовалось найти.
327: Далее в этом же параграфе новой с новой строки записываем приближённое равенство.
328: Тоже оно было выведено, да, но мы его используем уже как готовое приближённое равенство.
329: С новой строки пишите ф от икс нулевое плюс дельта икс игрек нулевое плюс дельта игрек примерно равно ф от икс нулевое. Игрек нулевое плюс.
330: Ф штрих по икс в точке икс нулевое игрек нулевое умножить на дельта икс плюс ф штрих по игрек в точке икс нулевое игрек нулевое умножь.
331: На дельта игрек обвели его в рамку.
332: Это равенство приближённое, оно было выведено как раз с помощью формулы полного дифференциала.
333: Продолжайте. Называется линеаризацией.
334: Функции z.
335: Равной ф от икс игрек.
336: В окрестности точки m нулевое.
337: С координатами икс 0 игрек 0.
338: И используется в приближённых вычислениях.
339: И используется в приближённых вычислениях.
340: И мы сейчас с вами посмотрим, да, как эта формула применяется для приближённых вычислений с новой строки пример
341: Вычислить приближённо.
342: 1 целая. 7/100 в степени. 3,97. Ну, здесь имеется ввиду, что вычислить приближённо, без применения калькулятора, да, потому что понятно.
343: Дело, мы можем взять инженерный калькулятор и вот это вычислить, но если у нас его нет, то как это вычисляется, да, и как применяется формула приближённая, которую мы только что записали и обвели в рамку, значит,
344: Смотрите, мне нужно вычислить 1 число, да, которое не целое в степени, другое число, которое тоже является не целым. В этом случае рассматриваем функцию 2 переменных.
345: X. В степени игрек, где x у нас равен получается 1 7, а игрек 3 97.
346: А игрек 3 97.
347: То есть, другими словами, что нам нужно найти? Получается, что нам нужно найти значение нашей функции вот в этой точке.
348: То есть получается, что нужно найти значение функции вот в этой точке приближённую формулу мы только что записали.
349: Давайте перепишем ещё сюда ф от икс нулевое плюс дельта икс примерно равно.
350: Так подождите, о игрек то я забыла.
351: Запятая игрек нулевое плюс дельта игрек примерно равно ф от икс нулевое игрек нулевое. Плюс ф штрих по икс в точке икс 0.
352: Игрек 0 умножить на дельта икс плюс ф штрих по игрек в точке икс 0 игрек 0, умноженное на дельта игрек. Итак, в формуле ле.
353: Сторона это как раз то, что нам нужно вычислить, а вычисляем мы вот по этой формуле. 1, что нужно сделать, взять начальные приближения для переменных икс и игрек. Как их выбрать?
354: Округляем наши некрасивые числа до ближайшего целого x округлили, тогда x нулевое будет 1.
355: Игрек округлили до ближайшего целого. Игрек нулевое будет 4. Дальше находим превращение дельта икс это икс минус икс нулевое икс у нас 1 0 7 x нулевое мы.
356: Взяли единицу. Получаем 0 0 7. Аналогично дельта игрек это игрек минус игрек нулевое.
357: 3 97 - 4 дельта игрек у нас - 0 0 3. Напоминаю, что дельта икс дельта игрек это малые превращения переменных соответств.
358: Они должны быть малыми, да, то есть близкими к нулю.
359: Далее вычислим значение нашей функции в точке икс 0, игрек 0.
360: То есть в точке 1 4.
361: Функцию мы с вами ввели вот такую ф от икс игрек равно икс в степени игрек. То есть подставляем в нашу функцию теперь переменные вместо переменных 1 и 4 получа.
362: 1 в 4 степени или 1 теперь нахожу производную этой функции по переменной икс икс в степени игрек штрих по икс.
363: Игрек является константой икс в степени константа это степенная функция, производная, которой даёт игрек умножить на икс в степени игрек - 1.
364: Теперь сразу же нахожу производную этой функции по переменной игрек икс в степени игрек штрих по игрек теперь здесь у нас получается константа икс, да, тогда
365: Константа в степени игрек эта функция показательная, её производная, равна икс в степени игрек на натуральный логарифм x. Дальше.
366: Эти производные, которые только что нашла. Также подставляю точку икс нулевое, игрек нулевое, то есть точку 1 4.
367: Итак, вот сюда сначала подставляем 4 * 1 в степени 4 - 1 4 на 1 в Кубе это 4.
368: И находим значение частной производной в точке икс 0 игрек 0 по переменной игрек. То есть ф штрих по игрек тоже в точке 1 4. Теперь во
369: Вот сюда подставляем 1 и 4, 1, в 4 на натуральный логарифм единицы. Натуральный логарифм единицы нам даёт 0.
370: Итак, теперь мы все нашли, да, все нашли, что требовалось и начинаем подставлять вот в эту большую формулу. Вот она у меня сверху на экране. Смотрите, то, что стоит слева, это
371: Получается то, что нам нужно найти, да, смотрите, икс нулевое плюс дельта икс икс нулевое. У нас единица дельта икс 0 0 7 1 + 0 0 7. Это точка.
372: 1 0 7. Игрек нулевое плюс дельта игрек 4 плюс - 0 0 3. Это 3 97.
373: Примерно равно. И теперь в правую сторону формулы. Вот сюда мы подставляем все, что нам известно. Итак, ф от икс нулевое, игрек нулевое. Вот оно у нас.
374: Это единица. Плюс дальше ф штрих по икс от икс нулевое. Игрек нулевое. Это у нас вот она четвёрка.
375: Значит, пишу 4 умножить на дельта икс дельта икс. У меня вот оно, 0 0 7.
376: Plus. Дальше ф штрих по игрек в точке икс нулевое, игрек нулевое ф штрих по игрек вот оно у меня в точке вычисленное получен 0 + 0 и
377: Умножить на дельта игрек. Ну и дельта игрек. Вот он у нас - 0 целых 0 3.
378: Равно. Ну и теперь, соответственно, беру и вычисляю единица, + 4. Умножить на 0 0 7. Это 0 28. Ну и последнее, да, слагаемое.
379: Нам даёт 0. Итого 1 28. Таким образом, получается, что 1 0 7 в степени 3 97 примерно равно 1 28.
380: Вот таким образом без калькулятора при помощи вот этого приближённого равенства можно находить значение каких-то выражений.
381: Ну и последнее, что мы запишем в данном параграфе. Смотрите, параграф я рассматривала, да, на примере функции 2 переменных. Функция же может быть 3 переменных 4 и так далее.
382: Поэтому напишем понятие частных производных.
383: Полного дифференциала.
384: Линеаризации.
385: Распространяется.
386: На функции.
387: 3 и более переменных.
388: 3 и более переменных.
389: Спасибо всем за внимание.