0: Теория множеств представляет собой не просто какое-то формальное описание, хотя оно, безусловно, пожалуй, наиболее формально разработано в качестве основания математики, но все же это область математики, которая основывается на наших самых фундаментальных и интуитивных представлениях о

1: Структуре окружающего мира 2 принципа, которые мы берём в качестве основания. Это, во первых, то, что существуют какие-то элементы и во вторых то, что эти элементы можно объединять в какие-то совокупности или, иначе говоря, брать элементы и включать его в некоторое множество по

2: Бору свойств. Затем сами эти множества мы также можем включать в какие-то другие множества и так далее. Хотя это может вызывать там некоторые проблемы с классами, с тем, что не существует множество всех множеств. Но это отдельная тема. Мы можем мыслить о некотором множестве как о свойстве, которое объединяет

3: Себе совокупности объектов, а точнее элементов. С другой же стороны, мы можем думать о множестве как о том, что собирается из элементов, обладающих определённым свойством. Эти 2 подхода, казалось бы, очень схожи, но конструктивно различны, поскольку, если

4: Мы рассматриваем множество как некоторое свойство, которое может включать в себя элементы, то само это свойство описывается извне. С другой стороны, если мы думаем о множестве как о том, что собирается из элементов с определённым свойством, то само свойство приписывается уже

5: Элементом и переносится на множество. Так что эти 2 подхода различаются в том, приписываем ли мы некоторые свойства большему объекту через меньшие или же наоборот, мы говорим о свойстве объединяющей совокупности, которая спускается на

6: Отдельные элементы. Я думаю, что теория множеств все-таки постулирует подход от элементов к созданию большой структуры. Мы определяем свойства на подструктурах и потом пытаемся понять из этого, как функционирует большая структура, какими

7: Свойствами она наделена, и как её можно трансформировать, и самым базовым свойством элементов множества служит не то, что мы называем свойством, а само включение элемента в данное множество или, иначе говоря, принадлежность какого-то элемента.

8: Какому-то множеству можно интерпретировать это включение элемента как некоторое свойство, хотя тут скорее вопрос более детальный. А что мы вообще называем свойством, но мы можем пойти альтернативным путём, что если мы будем описывать не включение элемента в какую-то оболочку,

9: И будем описывать не приписывание свойства некоторому существующему объекту, а пойдём обратным путём допустим, мы зададим свойство на каком-то множестве и опишем проекцию этого свойства на элементы множества, и тут наблюдается двойственность, аналоги.

10: Двойственности между инъективным и сюръективным отображением. Если вы как-то с этим знакомы или, проще говоря, это двойственность между включением и проекцией, если в 1 случае мы говорим о простейших элементах, из которых создаются более сложные структуры, то во 2

11: Случае мы, наоборот, исходим из больших структур, думая о том, как они могут выделять внутри себя нечто, что является аналогом элемента, хотя кажется, что это не обязательно должен быть именно элемент в стандартном описании. И если в 1 случае element является

12: Минимальным строительным блоком, с которого все начинается, то во 2 случае элемент становится самым низким уровнем, до которого