0: Здравствуйте, ребята. С вами я Эльмира Ринатовна. И сегодня мы с вами начнём рассматривать длину отрезка или расстояние между точками, причём будем работать в прямоугольной системе координат. То есть раздел геометрии включает в себя не

1: Только вычисление площадей, фигур, применение различных теорем, но и работу в прямоугольной системе координат. Итак, вспомним с вами, как находить длину отрезка.

2: То есть это мы с вами умеем делать. То есть, если нам дан отрезок, какой-либо отрезок, допустим, ну, допустим, отрезок, а б, то для того, чтобы найти его длину, мы пользуемся линейкой и изме.

3: При помощи линейки длину данного отрезка. Ну, допустим, длина данного отрезка равна там, допустим, 10 сантиметрам.

4: То есть, пользуясь нашей линейкой, мы находим длину, но в геометрии, помимо того, что у нас есть явные отрезки, длину которых мы можем измерить, или явные углы, величину угла.

5: А мы можем измерить при помощи транспортира в геометрии. Мы можем измерить расстояние между точками, но данные точки будут находиться в прямоугольной системе координат. Вспомним, что такое прямоугольный

6: Система координат, прямоугольная система координат или декартова система координат. Как мы с вами изучали это пересечение 2 координатных лучей под прямым углом, причём горизонт

7: Ось обозначает через ось иксов, а вертикальную ось обозначает через ось игреков мы с вами говорили о том, что ось горизонтальная или ось о xx называется осью опции, а вот эта.

8: Вот вертикальная ось называется осью Ординат. И что мы можем любую точку изобразить в данной системе координат. Естественно, точка будет иметь 2 координаты, то есть каж

9: Точка имеет пару координат. Ну, это в декартовой системе координат, конечно, когда мы дальше будем переходить на пространственные фигуры и мы будем с вами изучать оси, которые располагаются в пространстве, то

10: У нас будет 3 координаты по оси иксов, по оси игреков и по оси z. Но пока мы разберёмся именно в прямоугольной системе координат, так как мы с вами изучаем фигуры на плоскости, а дальше мы будем изучать стереометрию, то есть фигуры.

11: В пространстве. Итак, мы можем в прямоугольной системе координат изобразить какой-то отрезок, но для этого нам даются определённые точки. Допустим, нам дана какая-то точка, а в этой прямоугольной системе координат я не

12: Буду говорить о том, что прямоугольная система координат делит плоскость на 4 части. И это называется четвертями. 1, 2, 3, 4. Я буду работать пока вот в этой части, то есть в этой четверти и мы с вами

13: Выведем сейчас формулу. Итак, у нас есть какой-то отрезок в этой прямоугольной системе координат. Этот отрезок, естественно, имеет концы. То есть есть какая-то точка. А вот я изображаю, допустим, какая-то touch

14: Точка а и какая-то точка б.

15: Естественно, соединив данные 2 точки, я получу отрезок.

16: Теперь мне нужно найти длину данного отрезка. Конечно, вы можете сказать, ну какие проблемы? Мы можем взять ту же самую линейку и измерить длину данного отрезка. Но дело в том, что при этом нам нужно

17: Будет учитывать масштаб. То есть когда мы строим с вами координатную прямоугольную систему координат, мы масштабируем ось икс и ось игреков, то есть за единицу измерения мы можем брать

18: 1 клеточку мы можем брать с вами 2 клеточки, мы можем 3 клеточки, 10 клеточек. И каждый раз, измеряя это расстояние, мы должны учитывать это. Поэтому, естественно, для того, чтобы не учитывать вот эти вот единиц.

19: Измерение, то есть единичный отрезок. Скорее всего, есть какие-то другие формулы. И это действительно так. Ещё 1 причина, почему мы должны знать эти формулы, мы не всегда сможем. Вернее, неудобно всегда в прямоугольной системе.

20: Координат, изображать данный отрезок, а потом его измерять, его длину. Представьте такую ситуацию, когда координаты не совсем удобные. Поэтому есть определённые формулы, которые мы с вами должны знать. Итак, вернём

21: К нашему отрезку точка а и точка б, которую мы с вами соединили и в результате получили отрезок, имеют свои координаты. Для того, чтобы найти данные координаты, нам, естественно, нужно опустить

22: Перпендикуляры на ось икс и на ось игрека. То есть наша точка, а имеет координату. Если я опускаю перпендикуляр на ось икс, то данный перпендикуляр пересечёт данную ось.

23: Иксов в какой-то точке x. 1. Если перпендикуляр мы опускаем на ось игреков, то, соответственно, мы определяем координату по

24: Игрек и обозначим это через игрек 1. Следовательно, наша точка a имеет координаты x. 1 y игрек, 1, в свою очередь, точка б.

25: Тоже будет иметь координаты. Определяем их аналогично координатам точки. А, то есть опускаем перпендикуляр и у нас есть какая-то точечка, пересечение, да, перпендикуляра с осью иксов.

26: Мы обозначим это через x 2 и точно также находим координату по оси игреков и обозначаем это через игрек 2 в результате у нас получается что-то.

27: Точка б имеет следующие координаты икс 2 игрек 2. Ну а теперь нам нужно найти расстояние между точками или длину отрезка нашего а б. Что же?

28: Мы с вами будем делать, если я

29: Так вот, дострою, вернее, продолжу линию параллельную оси иксов. Эту линию я не буду продолжать. Что я в результате получила. Я получила как

30: Какой-то треугольник а. Б. Ц, который является прямоугольным треугольником. Почему я утверждаю, что это прямоугольный треугольник? Да, потому что я провела параллельный

31: Линии, правильно перпендикуляры или параллельные линии осям иксов и осям игрека. И у меня получился прямоугольный треугольник. Итак, треугольник а. Б. Ц. Это есть прямоугольник.

32: Треугольник ну а теперь давайте вспомним то, что мы знаем о прямоугольном треугольнике, то есть в этом треугольнике нам нужно найти длину вот этого a b отрезка а б в данном треугольнике а. Б. Является

33: Гипотенузой а. Б. У нас гипотенуза, гипотенуза а ц и ц б. Это катеты а ц и ц б. Это катеты, тогда нам в помощь приходит теорема пифагора, то есть а. Б.

34: В квадрате, естественно, будет равно a ц в квадрате плюс ц б в квадрате теорема пифагора естественно возникает вопрос ну а как же найти?

35: Ц в квадрате и ц б в квадрате. Давайте с вами порассуждаем. Нам нужно найти длину вот этого отрезка.

36: X 2 это длина от начала, да, от пересечения этих осей до x 2. То есть это у нас расстояние равно икс 2 вот это вот расстояние у нас равно икс 2, а вот это

37: Расстояние у нас равно икс 1. Давайте с вами подумаем, а как же нам найти вот это расстояние? Понятно, что мы должны от длины вот этого отрезка большого отнять длину вот этого маленького отрезка следовать

38: Длина а ц это икс. 2 минус икс. 1 ещё раз, чтобы найти длину вот этого отрезочка, я переношу это на ось иксов и понимаю, что для того, чтобы найти

39: Длину вот этого отрезка я должна от отрезка x 2. Равное, вернее, длиннее, да, отнять длину вот этого маленького отрезка, и тогда я получу длину отрезка. А. Ц. То есть я могу

40: Записать, что а. Б. В квадрате у меняя равно вместо а. Ц, я записываю икс. 2 минус икс. 1, так как мы с вами определили. И все это в квадрате аналогично я определяю длину отре.

41: Цб, длину отрезочка вот этого цб. Я понимаю, что мне нужно от вот этой вот всей длины отнять вот эту длину, то есть от игрек 2 отнять игрек 1.

42: Я записываю игрек 2 минус игрек 1 в квадрате. И в результате я получила длину отрезка ab. Естественно, я записала а б. В квадрате, соответственно, просто.

43: Длина а. Б будет равна корню квадратному из выражения икс. 2 минус икс. 1 в квадрате плюс игрек. 2 минус игрек. 1 в квадрате. Но мы понимаем, что

44: Если мы находим длину отрезка, то эта длина не может быть отрицательным числом, поэтому я записываю длина отрезка. То есть, а. Б. Я беру по модулю, то есть только положи.

45: Число. Поэтому, если вы увидите выражение найти длину отрезка, если концы отрезка выражены в координатах, то мы применяем эту формулу, если вы видите найти

46: А. Б. То вы тоже понимаете, что вам нужно найти длину отрезка? Мы с вами сказали, что длина отрезка это расстояние между точками. Поэтому, если вам скажут найти расстояние между точками, вы тоже применяете эту формулу. Давай.

47: Давайте с вами коротенький пример разберём. Если у нас a имеет координаты - 3, допустим, единичка, а точка б у нас имеет координаты, ну, допустим, 1 4, то для того, чтобы найти длину.

48: У данного отрезка.

49: Я должна подставить координаты вместо, вернее, в нашу форму, при этом я прекрасно понимаю, что это начало отрезка, это конец отрезка, то есть это x. 1, игрек 1.

50: А данные координаты это x. 2, игрек 2. Хотя, если мы будем измерять длину отрезка от точки а до точки б или, наоборот, от точки б до точки, а длина

51: Отрезка при этом не поменяется, поэтому не пугайтесь если вы допустим, точку, а вернее координаты точки, а возьмёте за x 1 игрек 1, а координаты точки б за x 2 игрек 2, а кто-то другой возьмёт координаты точки б за x 1.

52: Игрек 1 а координаты точки а за x 2 игрек 2 результат будет тем же самым и давайте мы проверим это. Итак, по нашей формуле я должна от x 2 отнять x. 1, но при этом

53: Обращайте, вернее, внимательно будьте к знакам. То есть я записываю икс. 2, это единица по формуле минус икс. 1 икс 1 равно - 3. Я поэтому так и пишу. 1 минус, - 3.

54: И все это я должна посчитать в квадрате. Плюс теперь я должна взять разность по координатам игрек. То есть я должна от 4 - 1, от 4. Я вычитаю 1 и возвожу в квадрат. А теперь мне осталось посчитать.

55: 1 минус, - 3. Обращайте внимание, что сначала нам нужно посчитать в скобочках внутри 1 минус - 3, 1 + 3. Это 4. То есть будет у меня 4 в квадрате + 4 - 1. Это будет 3.

56: И в квадрате я так и записываю, и получаю, что 16 + 9. В результате мне даст 25. Но мне же нужно посчитать длину, правильно? То есть корень из 25, и

57: Он равен, вернее, корень из числа 25 равен 5. То есть длина отрезка, если концами являются точки с координатами, которые я записала в результате равна 5 давайте с вами вернёмся и посчитаем.

58: Если я бы перепутала эти координаты, ну, допустим бы координаты б я взяла бы за x 1 игрек 1 а координаты а взяла бы за x. 2 игрек 2, давайте посчитаем, изменится ли что-либо.

59: Итак, наоборот, я делаю единственное, в чем нам не нужно ошибаться от иксов, отнимать иксы от игреков, отнимать игреки. И это чёткое правило. Итак, в этом случае мы от 1 отнимали - 3. Давайте наоборот.

60: Сделаем от - 3, мы вычтем единицу и все это в квадрате, плюс от единицы мы вычтем четвёрку.

61: И посчитаем -3 - 1, это будет - 4.

62: Но - 4 в квадрате нам нужно посчитать + 1 - 3, ой, 1 - 4 это будет -3 - 3 в квадрате, но, ребят, - 4 в квадрате это 16.

63: - 3 в квадрате это 9. То есть в результате у нас опять получится 16 + 9, и это будет корень из 25, из числа 25, а корень из числа 25 равен 5. То есть мы получили с вами тот же

64: Самый ответ. Итак, для вычисления расстояния между точками вам достаточно запомнить формулу. Я надеюсь, что данную формулу вы легко выучите. На следующем уроке. Мы с вами продолжим работать в прямоугольной системе координат. На сегодня наш урок подошёл

65: К концу. До свидания. До новых встреч.