0: Всем привет. Сегодня мы с вами изучим, что такое гармонические колебания. Итак, поехали. Гармонические колебания. Это колебания, в которых 1 из параметров изменяется по закону синуса или косинуса. Это может быть как

1: Координата, так и скорость или ускорение. Вот, например, как вот здесь показано, если маятник, например, пружинный, он колеблется, то его координата, как видите, меняется по синусу или по косинусу, да, или же

2: Ну вот, математический маятник тоже колеблется по синусоиде или по по косинусу. Итак, как это все будет выглядеть на графике? Вот пример.

3: То есть гармоническими колебаниями называются колебания, в которых параметр изменяется по синусу или косинусу. График у них всегда, ну, будет что-то подобное. Вот этому. Итак, когда нужно брать синус, а когда косинус, синус,

4: Берётся вот эта Чёрная линия, она берётся тогда, когда положение начальное будет совпадать с нулём координат. То есть в начале он находится в положении равновесия Косе.

5: Наоборот, в начальный момент времени он находится на максимальном отклонении. Вот в чем разница. Когда берут синус и косинус. Да, значит, можете записать теперь определение гармонические колебания это колебания, при которых физическая величина меняется

6: По закону синуса или косинуса, ну довольно простое, да, если есть формула в формуле синус или косинус, то это гармонические колебания. Итак, давайте попробуем это все применить уравнение этих колебаний.

7: Выглядит вот таким образом а. Косинус омега т плюс vi нулевое или же выглядит а синус омега т плюс vi нулевое косинус берётся ещё раз говорю, когда так как косинус при нуле времени.

8: Имеет максимальное значение, берётся косинус, да, а since когда при нуле времени координата нулевая или при нуле времени тело находится в положении равновесия. Вот.

9: Дальше что значит x? Это координата колеблющегося тела дальше, а амплитуда омега это циклическая частота колебания радиан в секунду, т. Время в секундах, то есть все в системе си си.

10: Начальная фаза. Начальная фаза это на какой угол отклонена. Отклонено тело от положения равновесия в начальный момент времени. Ну это сейчас мы разберём. Вот смотрите, начальная фаза или

11: Можно сказать разность фаз вот смотрите, у нас тут красным изображён синус, а синим изображён синус омега т плюс vi нулевое так вот, синий график смещён относительно красного на некоторую фазу.

12: Вот эта фаза, фи нулевое, это и есть вот это смещение, разность фаз и все в принципе. То есть фи нулевое есть разность фаз, вот как они отличаются, например, синус и косинус, у них разность фаз, там, пи пополам и все.

13: Поехали дальше. Параметры колебаний, какие бывают. Вот здесь я представил график, как период изображается на графике и амплитуда. Вот здесь самое главное с амплитудой бывает очень много

14: Ошибок у студентов и учеников, почему неправильно определяют амплитуда, это максимальное отклонение от положения равновесия, то есть от нуля до максимума или от нуля до минимума, вы всегда определяете

15: Не надо всю вот эту длину мерить, только от нуля до максимума. Запишите определение. Далее период колебаний это время, в течение которого совершается 1 полное колебание. То есть вот видите,

16: Если я представил вот 1 полное колебание от т до 2 т. Или от нуля до т. То есть если попроще вот какой участок волны нужно взять, скопировать и потом вставить его ещё раз, чтобы волна продолжалась бесконеч.

17: Долго вот берете контрол ц контрол в контрол ц контрол в и так далее, да, вот какой минимальный участок берете, это и есть период волны за период волны. Он волна проходит расстояние, равное длине волны, но это попозже, когда

18: Мы начнём уже с волнами работать. Итак, далее. Ню, частота колебаний. Частота это сколько колебаний проходит тело за единицу времени. Вот справа я написал все формулы, которые вам пригодятся.

19: Для решения таких задач, как как вычисляется период, то есть, т. Деле, на м, например, за 10 секунд он сделал 2 колебания, за какое время он делает.

20: 1 колебание 10 делим на 2 получаем 5 секунд. 1 колебание.

21: И частота, например, он за 10 секунд делает 2 колебания, как часто он делает колебания уже наоборот, да, 2 делим на 10, 1, 5 или

22: 1 5 или 0,2 да, это будет частота в герцах омега омега, здесь просто 2 p делим на t p. Это 3 14 3,14 ну число пи обычно вот поехали.

23: Далее это вам тоже стоит записать, зарисовать и все определения и единицы измерения.

24: Вот 1 задачка, она простенькая. Определите период амплитуду, период, частоту колебаний и уравнение колебаний. То есть нам надо ещё написать уравнение, какое будет, как оно будет выглядеть. Итак, поехали, амплитуда вспоминаем.

25: Амплитуда это у нас максимальное отклонение от положения равновесия. Вот здесь, видите, от, ну, амплитуда это вот у нас значение амплитуда здесь равна у нас. Давайте запишем, а равна

26: 0,2. Дальше период т время, в течение которого совершается 1 полное колебание. Как видим, здесь период будет не 2 секунды, a4 секунды. То есть вот этот участок волны, когда вы его

27: Копируете и опять вставляете. То есть период пишем 4 секунды. Дальше частота по формуле из прошлого слайда 1 на т 1 делим на 4, получаем 0 25, если что. Вот и все. Так, да.

28: Дальше уравнение колебаний. Сначала записываем общий вид, но, кстати, определить надо. Здесь синус или косинус. Вот по графику видно, что это синусоида. Сразу график синуса и косинуса я представлял на слайдах. Можете?

29: Мотать назад и посмотреть так, значит, записываем а синус омега т плюс vi нулевое смотрим, что у нас тут есть, а у нас есть 0.

30: 2/10 синус оставляем омега вот омега кстати, у нас нет, давайте омега вычислим омега мы записали по формуле 2 пи делён на т. И так записываем 2 p, делим на 4, сокращаем двойку и четвёрку.

31: Получаем пи пополам и подставляем здесь пи пополам, т. P. Нулевое это у нас начальная фаза как мы видим, синус здесь не смещён ни влево, ни вправо, все нормально, значит p нулевое будет 0.

32: + 0 или же можем просто конечную формулу записать без нуля уж 0,2 синус.

33: Пи пополам т вот это будет конечное уравнение колебаний.

34: Довольно простое задание. Здесь, в егэ очень часто встречаются подобного рода задания, только там обычно наоборот, там даётся уравнение из уравнения. Например, нужно подобрать соответствующий график гармонических

35: Колебаний. Ну, как видите, здесь не так сложно самое сложное здесь запомнить или вспомнить, как выглядит график синуса и косинуса. Все остальное довольно просто. Далее поехали, если колебания

36: Записывается по закону косинуса вот левый красный верхний график да а равно косинус омега т плюс vi нулевое давайте попробуем здесь теперь записать уравнение скорости.

37: Вспоминаем, что такое скорость или как можно определить скорость в математике. Вы, вы проходили производную

38: Так вот, скорость это у вас 1 производная по перемещению, значит, находим производную по перемещению, значит а косинус омега т плюс vi нулевое но по какому параметру искать?

39: Вот этот, вот эту производную здесь ищем по неизвестному параметру, по т, по времени нужно искать. Обычно вот это вот так обозначают, то есть неизвестное, т, ну, в математике.

40: Вы такую неизвестную просто за x брали ну здесь неважно какой буковкой, а омега фи нулевое это у вас какие-то константы можете, если хотите, какие-то числа пока взять, но вообще лучше учиться буковками.

41: Вычислять. Итак, а постоянная выносится за знак производной. Дальше берём производную от косинуса смотрим омега т плюс vi нулевое это сложная функция, сначала от косинуса производная от косинуса у нас

42: Минус синус, то есть умножаем на минус синус омега т плюс vi 0, потом умножаем на производную от аргумента, от того, что внутри синуса.

43: То есть умножаем на омега т плюс vi нулевое штрих, да?

44: По т. Мы. Мы делаем производную по t. Так поехали.

45: Давайте я чуть чуть упрощу минус а дальше минус вперёд я вынес синус омега т плюс vi нулевое, далее производная от омега т плюс vi нулевое омега.

46: Константа фи нулевое, константа неизвестная. Т да, получаем, просто умножаем на омегу. Теперь давайте омегу вперёд вынесем, получаем минус а омега?

47: Синус омега т плюс vi нулевое вот это будет уравнение скорости, если у вас

48: Вот так я запишу, конечно, минус а омега ой, минус а омега умножить на синус омега т плюс vi нулевое.

49: Можно эту формулу выделить? Вот так выделим.

50: Причём смотрите, амплитуда, амплитуда по координате, а у нас была, да, видите, здесь амплитуда по скорости все, что стоит перед синусом, вот стоит у нас перед синусом.

51: Сейчас я выделю вам

52: Минус, а омега нулевое. Да, видите, минус, значит, координат. Значит, график переворачивается по синусу. Вот он, видите, противоположный направлен график, следовательно, а

53: Омега, это у нас будет максимальное значение скорости. Давайте так и запишем. Так вот, давайте вот так я запишу.

54: То есть в этом случае в максимально равно, а омега амплитуда умножить на циклическую частоту. Это вам тоже стоит выделить, это все мы нашли благодаря

55: Я производный.

56: Так далее. Давайте попробуем теперь с ускорением разобраться. Ускорение это 1 производная скорости по времени находим производную скорости минус а омега синус омега, т.

57: Плюс фи нулевое берём производную. Если вам сложно брать производную от от сложной функции, то советую вам повторить математику и посмотреть, как берутся производные сложной функции. Итак, берём

58: Производную по времени. Здесь все параметры, кроме времени, у нас постоянные, значит, а омега минус, а омега постоянная за скобку, производная от синуса. Это у нас косинус омега т плюс.

59: Фи нулевое потом берём, умножаем на производную от опять же омега т плюс vi нулевое умножаем на вот эту производную, так как это сложная функция, производная от омега т плюс vi нулевое будет омега, да.

60: Получаем минус, а омега косинус омега т плюс пи нулевое умножаем на omega теперь омега и омега перемножаем, получаем минус а омега квадрат.

61: Косинус омега т плюс пи нулевое.

62: Плюс начальная фаза, ну а начальная фаза, как правило, она бывает 0 вот конечное уравнение запишу минус, а омега, квадрат, косинус, омега т плюс vi нулевое.

63: Это у вас уравнение для ускорения, но только когда у вас координаты меняются вот по Такому закону.

64: Вот уравнение по скорости и амплитуда ускорения. То есть у нас ускорение здесь не постоянное, а меняется по косинусу, по минус косинусу. Видите зелёный график, причём амплитуда ускорения, то есть максимальное значение ско.

65: Qorena максимально, как видите, минус а омега квадрат или просто по модулю возьмём, а омега квадрат можете себе выделить. Очень часто применяется этот параметр.

66: Его очень часто забывают. То есть вот этот параметр лучше заучить как бы и максимальное значение скорости заучить. Все остальное вы сможете вывести. А вот по максимальной скорости максима

67: Ускорению бывают затруднения. Итак, это мы рассмотрели, когда у нас координаты меняется по косинусу. А теперь рассмотрим, когда координаты меняется по синусу. Верхний левый красный график. Итак,

68: Алгоритм будет аналогичный можете сейчас попробовать сами вывести, я уже побыстрее буду выводить, то есть не так подробно, как делал в предыдущие разы итак, скорость это у нас 1 производная x по t получаем.

69: Берём а синус омега т плюс vi нулевое берём от него производную по времени получаем, а так умножается, значит, мы умножаем на

70: Производная от синуса это у нас косинус омега т плюс vi нулевое да ну ещё умножаем на производную от аргумента, то есть от омега т плюс vi нулевое мы уже находили такую производную, там будет омега.

71: И вот получаем такое уравнение, то есть в равно а омега, косинус, омега т плюс vi нулевое.

72: Ну, это, в принципе, вывести не так сложно. Видите, по косинусу меняется синий график, причём максимальное значение скорости здесь также получается, ну, если по модулю все брать, а умножить на

73: Мега амплитуда скорости в предыдущем графике было тоже самое, между прочим, да, они везде будут одинаково, в принципе, вычисляться. Теперь ускорение, ускорение это 1 производная скорости по времени берём производную, а омега косинус

74: Мега т плюс vi нулевое берём от него производную по времени, опять же производная у нас от косинуса это минус синус, да, а омега за скобку умножаем на минус синус.

75: Так вот так сделаю минус синус омега т плюс vi 0 и умножаем на производную от аргумента да, это у нас омега, давайте чуть чуть упростим сейчас.

76: Минус за скобку и омега перемножим, то есть мы получаем минус а омега квадрат, синус омега т плюс vi нулевое это вот как раз-таки будет наш, как меняется наша

77: Ускорение по минус синус. Ой, вот так лучше по минус синусу меняется. Видите, зелёный график. Не так сложно. Да, теперь напишем чему равно максимальное ускорение в данном случае также амплитуда, все, что

78: Перед синусом это будет, а омега квадрат, если по модулю брать, видите?

79: Аналогично тому, что мы делали в прошлый раз. Теперь посмотрим, как это все меняется одновременно, как графики изменяются. Вот видите, синим вот снизу показано икс.

80: Красным это у нас скорость. Ну и зелёным это у нас ускорение, как меняется. Видите, у них есть запоздание, у каждого из графиков относительно другого запоздание.

81: Как они запаздывают, мы с вами уже прошли. То есть там можно буквально привести все уравнения к синусу или косинусу. Ну, через формулу проведения, но я не стал этого делать, потому что это усложнит вам задачу. Итак,

82: В принципе, по гармоническим колебаниям все мы с вами сегодня изучили, что такое гармонические колебания? Это колебания, которые изменяются по закону синуса или косинуса. То есть если есть формула синус или косинус, то это гармонии.

83: Колебания это могут быть пружинный маятник, математический маятник, там физический маятник или же какие-то в дальнейшем мы будем использовать даже электромагнитные волны, там тоже будут гармонические колебания. Итак

84: Сегодня было теоретическое занятие, в дальнейшем мы с вами будем уже применять это на практике будем решать задачи с применением вот этих всех формул.

85: В принципе, все, если есть вопросы, можете.