0: Всем привет. Сегодня на занятии мы будем учиться вычислять определённые интегралы и начнём, как обычно, с самых простых примеров. Итак, пример 1 вычислить определённый интеграл в пределах от - 1 до 2 от

1: Функции икс квадрат - 3 икс + 7 д x y начнём с того, что вспомним формулу ньютона лейбница об этой формуле мы говорили на прошлом занятии, мы её выводили, и, я думаю, вы в курсе итак, начинаем.

2: Вычислять наш интеграл. Посмотрите, под интегралом у вас есть 3 слагаемых, поэтому по свойству определённого интеграла разобьём данный интеграл на сумму или разность 3 интегралов. При этом, е.

3: Если есть постоянные множители, они могут быть вынесены за знак интеграла. То есть мы применяем вот эти 2 свойства определённого интеграла, которые мы также на прошлых занятиях доказывали. Итак, расписываем интеграл от - 1.

4: До 2, кстати, обязательно привыкнуть к тому, что сначала читается нижний предел, а потом верхний икс квадрат д икс минус троечка, постоянный множитель, его выносим за знак опреде.

5: Определённого интеграла интеграл от - 1 до 2 икс умножить на d x плюс здесь мы должны записать интеграл 7 д икс, но посмотрите 7 это также постоянно.

6: Множитель и я его выношу вот сюда, вперёд. И у меня будет 7 интеграл д икс интеграл все равно останется. То есть семёрка вперёд, интеграл от минус единицы до 2.

7: D. X и далее посмотрите на формулу ньютона лейбница во первых, мы обязательно проверяем, что подинтегральная функция является непрерывной функцией на отрезке ab в нашем случае это выполняется икс квадрат.

8: - 3 икс + 7 данная функция на отрезке от - 1 до 2 является непрерывной, далее по формуле ньютона лейбница вы должны найти какую-нибудь первообразную для функции f маленькая от x самый.

9: Простой способ искать первообразные, это вычислить неопределённый интеграл. Мы уже с вами это изучали. Я думаю, вы помните, что неопределённый интеграл от функции ф от икс д икс это совокупность всех её первообразных. Поэтому

10: Чтобы найти первообразную f большое от x, мы сейчас просто вычислим неопределённые интегралы, но при этом ц положим равное нулю, так как нам нужна 1 какая-нибудь первообразная вот давайте, значит интеграл от икс ква.

11: Квадрат это икс куб на 3, но здесь не забываем. Первообразная у нас идёт в пределах от - 1 до 2 - 3 икс сейчас в 1 степени. Значит, если мы его интегрируем,

12: Степень становится на единицу больше икс квадрат пополам и также вертикальная черта пределы интегрирования от - 1 до 2 + 7 интеграл от д икс это

13: И также вертикальная черта и пределы интегрирования от - 1 до 2. Значит, сейчас я применила вот эти формулы для вычисления неопределённых интегралов, но так как мне нужна только 1 какая-нибудь первообразная

14: То я взяла ц равное нулю. И далее мы снова смотрим на формулу ньютона лейбница и определяем значение первообразной на верхнем пределе интегрирования ф. От б. Минус значение.

15: Первообразной на нижнем пределе интегрирования ф большое от. А вот давайте это применим. Итак, посмотрите, у 1 функции, у вас в знаменателе тройка. То есть это можно представить как 1, 3 умноженная на

16: На икс куб, чтобы с этой 1 3 не возиться, вынесите её за скобки итак, 1 3 за скобки, а дальше вместо x подставляю двойку 2 в Кубе минус вместо x подстав.

17: Минус единицу - 1 в Кубе и скобки закрываю. Это все умножалось на 1 3. Далее у 2 слагаемого постоянный множитель - 3/2. Также удобно.

18: Будет вынести вперёд - 3/2 умножить и подставляю вместо x верхний предел 2 в квадрате минус нижний предел - 1 в квадрате плюс.

19: 7 также постоянный множитель открою скобки вместо x 2 минус вместо икс минус единицу пишу подробно, чтоб было понятно, ну и далее осталось досчитать 1.

20: 3, а в скобках будет 2, в Кубе 8 минус минус, единица, в Кубе -1 + 1 8, + 1 9, значит умножить на 9 - 3/2.

21: 2 в квадрате 4 - 1 * 3 + 7 2 + 1. Это 3 и осталось досчитать 1, 3 на 9 умножить это 3.

22: Тройки сократятся - 3 на 3 9 и поделить на 2 4,5 + 7, умножить на 3 21 24 - 4 целых 5.

23: Десятых, 19,5. Итак, определённый интеграл. Мы вычислили, ответ получили. И давайте обобщим для того, чтобы вычислить определённый интеграл по формуле ньютона лейбница, нам

24: Надо сначала вычислить соответствующий неопределённый интеграл, при этом константа ц берётся равная нулю, так как нам нужна 1 единственная первообразная, а далее берётся и вычисляется значение перо.

25: Образный на верхнем пределе интегрирования минус значение первообразной на нижнем пределе интегрирования. То есть, в принципе здесь ничего особо сложного нет. Если только вы умеете нормально вычислять неопределённые интегралы.

26: И мы переходим к следующему примеру. Итак, пример 2 вычислить определённый интеграл в пределах от 4 до 9 от суммы 1/2 икс поделить на 3 плюс дробь единица поделить на 4 Корня.

27: Язык d x. И опять начинаете с того, что данный интеграл вы разбиваете в сумму 2 интегралов, при этом, если есть постоянный множитель, его надо вынести за знак интеграла итак, берём интеграл от 1 слагаемого, посмотрите 2/3 это.

28: Постоянный множитель, и его можно вынести вперёд 2/3 интеграла от 4 до 9 икс д икс плюс у 2 слагаемого постоянно.

29: Множитель 1 4. Также можно вынести вперёд. 1 4 интеграл от 4 до 9. И посмотрите, у вас единица поделить на корень из икс. Вы это

30: Можете заменить как x в степени минус, потому что был в знаменателе 1, 2, потому что был под корнем. Итак интеграл от икс в степени - 1, 2 д.

31: X ну и далее нам нужны первообразные для этого вычисляем неопределённые интегралы итак, 2/3 вперёд интеграл от икс икс квадрат поделить на 2.

32: Вот формула, думаю, вы её помните. Степень сделали на единицу больше и обязательно пределы интегрирования от 4 до 9 + 1 4 интеграл от икс в степени 1, 2.

33: Делаем степень на единицу. Больше будет икс в степени 1, 2. И поделить на 1 2. И также пределы интегрирования от 4 до 9. Упрощаем 1, 3 и

34: Квадрат в пределах от 4 до 9.

35: Далее здесь также двойку и четвёрку можно сократить. Будет 1, 2 икс в 1. 2 это корень из икс и пределы интегрирования от 4 до 9 и

36: Осталось подставить 1 3, пусть это будет множитель за скобками 9 в квадрате - 4 в квадрате + 1, 2 также.

37: Ставим её за скобками и далее вместо x подставляем, как обычно, сначала верхний предел минус, значение функции на нижнем пределе, то есть корень из 9 минус корень.

38: Из 4 и осталось досчитать 1 3 в скобках 81 - 16 65 + 1 2, а в скобках 3 минус.

39: 2 это единица и остаётся у нас 65/3 + 1, 2. Приводим к общему знаменателю 6 65.

40: Домножаем на 2 130 плюс единицу, домножаем на 3 3 133/6, выделяем целую часть 22 целых.

41: На 6. Хорошо. Данный пример мы решили и снова вы видите, ничего сложного нет. Если только вы умеете вычислять неопределённые интегралы. Хорошо. И мы переходим к следующему примеру. Пример 4 вычислить.

42: Определённый интеграл в пределах от нуля до единицы, от функции е в степени 2 икс умножить на д икс. Но вы уже, думаю, привыкли, что сначала надо вычислить неопределённый интеграл такой есть в таблице интеграл от е в степени

43: Не x d x. Так и будет е в степени икс плюс ц. Посмотрите, у нас в показателе степени её есть 2 икс, поэтому мы вспоминаем, что нам надо 2 икс занести под знак дифференциала.

44: Такой метод назывался метод подведения переменной под знак дифференциала или метод занесения переменной под знак дифференциала итак, интеграл от нуля до единицы, е в степени 2 икс умножить дифференциал.

45: Сами туда заносим 2 икс ну сами занесли, надо проверять дифференциал 2 x это производная от 2 x это 2 и умножить на д икс, вот этой двойки у вас нет.

46: Была она новая, появилась из за занесения 2 x под знак дифференциала, поэтому впереди надо написать коэффициент 1, 2, чтобы эта двойка уничтожилась, и после того, как вы занесли переменную под знак.

47: Дифференциала. Вы можете применять формулу для неопределённого интеграла. Это будет 1, 2 е в степени 2 икс. Вертикальная черта предела интегрирования от нуля до единицы и осталось

48: Подставить. Итак, 1, 2 множитель. Я его за скобками оставлю, подставляю в найденную первообразную. Верхний предел будет е. В квадрате минус подставляю нижний предел будет её в 0 степени.

49: И останется 1, 2 е квадрат - 1. Хорошо. Данный пример мы решили, ответ получили. В этом примере мы применяли метод интегрирования, который назывался

50: Метод занесения переменной под знак дифференциала. Если вдруг забыли ссылки, все я вам оставлю. Обязательно вспомните, как таким методом мы вычисляли неопределённые интегралы. Хорошо, и мы переходим к следующему примеру. Итак,

51: Пример 5 вычислить определённый интеграл в пределах от Корня из 3 / 4 до 3/4 под интегралом дробь д икс поделить на 9 + 16 икс квадрат и начинаем

52: Вычисление неопределённого интеграла. Посмотрите, у нас есть формула интеграл д икс поделить на а квадрат плюс икс квадрат это 1 делить на а арктангенс.

53: X поделить на а плюс ц. И я вам предлагаю из знаменателя 16 вынести за скобки можно, конечно, не выносить, но тогда снова придётся подводить переменную под знак дифференциала давайте все-таки вынесем в.

54: Знаменателе 16 за скобки это будет интеграл в пределах от Корня из 3 / 4 до 3/4 дикс черта дроби 16 а в ско.

55: Останется 9/16 плюс икс квадрат. Далее вот это 16 как постоянный множитель. 1 16 вынесется вперёд за знак.

56: Интеграла EUNASBUDET116 интеграл от Корня из 3 / 4 до 3/4 д икс черта дроби.

57: Знаменателе 9/16 сразу представим, как 3/4 в скобках и в квадрате плюс икс квадрат. И вот теперь мы можем применить формулу для неопределённого интеграла. Итак,

58: 1 16 был у нас постоянный множитель. Далее 1 делить на а, а у нас это 3/4, значит, 1 / 3/4 арктангенс.

59: X поделить на а на 3/4 ц. Взяли равное нулю, потому что нам нужна только 1 первообразная и пределы интегрирования от Корня из 3 на 4 до.

60: 3, четвёртых упрощаем, 16 и 4 сократим 4 ещё умножить на 3, 12. Значит, впереди 1, 12 арктангенс, 3/4 знаменатель.

61: Или, значит, эта дробь перевернётся, будет 4 x поделить на 3 и в пределах от Корня из 3 на 4 до 3/4 ну, осталось подставить пределы.

62: Тегирование в найденную первообразную значит, 1 12 постоянный множитель мы его оставим за скобками, арктангенс подставляю, сначала верхний предел вместо x будет.

63: 4/3 * 3/4 это единица минус арктангенс и подставляю нижний предел корень из 3 / 4 он умножится.

64: На 4/3 четвёрки сократятся и будет корень из 3 поделить, на 3 далее вспоминаем арктангенс единица это пи на 4 радиан арктан.

65: Корень из 3 на 3 это пи на 6 радиан, EUNASBUDET112 в скобках пи на 4 минус пи на 6 приводим к общему знаменателю, значит, 1, 12 остаётся.

66: Здесь общий знаменатель 12 3 пи - 2 пи и получится пи поделить на 144 вот такой ответ. Хорошо?

67: Данный пример мы решили, ну и на сегодня это все на следующем занятии мы