0: Дифференциальные и разностные уравнения.
1: Разработчик лектор хохлов Николай Александрович, использованная при подготовке лекции литература это, во первых, Коврижных дифференциально разностные уравнения, а также ирин Куркина учебник.
2: Высшая математика.
3: Дифференциальное уравнение дифференциальным уравнением называется такое уравнение, которое связывает между собой переменную x искомую функцию игрек и её производные или дифференциалы ну вот, 1 вид.
4: Через производные функция общего вида. Переменная x функция игрек производная, 1, 2 производная и так далее до
5: Старшие производные, ну обычно производные, начиная с 3 4, мы обозначаем цифрой в верхнем индексе со скобкой.
6: Либо аналогичный вид через дифференциалы.
7: Функция общего вида большое независимая переменная функция дифференциал 1 порядка.
8: Игрек.
9: Дифференциал x диал 2 порядка, игрек и так далее до дифференциала энного порядка.
10: Если уравнение такого типа может быть разрешено относительно старшей производной, то есть можно выразить старшую производную.
11: Степени н через независимую переменную функцию игрек и производные до н минус 1 порядка функции включительно, то такое уравнение называется разрешённым относительно старшей производной
12: Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной или дифференциала, входящего в данное уравнение. Ну то есть в данном случае вот здесь вот это порядок уравнения, н н, порядок равен
13: Решением дифференциального уравнения энного порядка называется такая функция, которая обращает это уравнение в тождество, то есть постановки после постановки сюда функции игрек мы должны получить 0.
14: По своему определению, это непрерывная вместе со своими производными до минус 1 порядка на некотором интервале функция, имеющаяся на том же интервале производную энного порядка. Ну то есть, чтобы мы могли брать произ,
15: Данного порядка, да, то все предыдущие производные вместе с функцией должны быть непрерывны. Сама же производная иного порядка в принципе может не быть непрерывная
16: Простейшее дифференциальное уравнение это дифференциальное уравнение 1 порядка, то есть какое-то соотношение между переменной икс функцией игрек и 1 производной игрек.
17: Мы будем предполагать, что функция f большое от икс игрек зет, то есть она имеет вид функции 3 переменных, если игрек штрих считать как другую переменную задана некоторые области трёхмерного пространства омега боль.
18: И непрерывно.
19: В этой области вместе со своими частными производными дф под x дф под игрек и дф под that.
20: Задача, которую решают обычно это задача каши, требуется найти решение игрек равно игрек от икс данного дифференциального уравнения, удовлетворяющее на
21: Условию игрек от икс нулевое равно игрек нулевое где x нулевое игрек нулевое заданная точка плоскости икс игрек.
22: Как и в общем случае, уравнение 1 порядка можно разрешить относительно старшей производной. В данном случае это 1 производная. То есть, если если можно можно разрешить, то уравнение называется уравнением 1 порядка. Разре.
23: Относительно производная.
24: Не всегда это можно сделать. Вот в этом случае уравнение будет записано как игрек штрих, равно жи от икс игрек.
25: Можно доказать следующую теорему теорема существования единственности решения задачи каши.
26: То есть эта теорема формулирует условия, при которых решение задачи коши существует, является единственным. Итак, пусть в уравнении игрек штрих равно жи от икс игрек.
27: Функция жи от икс игрек удовлетворяет условиям жи от икс игрек непрерывно в некоторой области д большое плоскости икс у игрек её частная производная джи по д игрек.
28: Области д. Большое ограничено.
29: Ограничено, то есть принимает только конечные значения.
30: Тогда для любой точки m нулевое с координатами икс 0 игрек 0, принадлежащее области д большое существует единственное решение игрек равно f от x. Уравнение 1, определённое не.
31: Некотором интервале а. Б. Содержащем точку x, нулевое и удовлетворяющее условию игрек нулевое равно ф малое от x нулевого.
32: Итак.
33: Вот у нас пример некоторый, вот уравнение дифференциальное. Такого достаточно простого вида игрек штрих, равно е икс плюс косинус икс. Вот его решение, оно в общем то достаточно просто получается просто интегрированием лево право.
34: Части левой при интегрировании левой части получаем игрек, ну а правая часть это просто неопределённый интеграл функции от x. Вот мы видим, что общее решение этого дифференциального уравнения 1
35: Порядка.
36: Зависит от некоторой произвольной постоянной ц. То есть, меняя эту ц, мы получим
37: Бесконечное количество возможных решений, но если мы их будем строить, мы увидим, что только 1 из них проходит через заданную точку m нулевое.
38: На плоскости икс у игрек.
39: Итак, определение общим решением дифференциального уравнения 1, которое было на предыдущем слайде в области д. Большое существование единственность решения задачи коши, называется функция игрек, равно ф. С. Тильдой от x.
40: Ц. Зависящая от x y произвольной постоянной ц, удовлетворяющая условиям при любом допустимом значении постоянной ц большое, она удовлетворяет дифференциальному уравнению 1 какого бы ни было начальное условие.
41: Игрек нулевое равно ф от икс нулевое.
42: X нулевое игрек нулевое точка принадлежит области d большое можно найти единственное значение ц 0 такое, что функция игрек равно f. Тильдой от x ц 0 удовлетворяет этому начальному условию.
43: То есть проходит через точку игрек 0 x nova.
44: Решение может быть.
45: Найдено в неявном виде задающее общее решение, в неявном виде уравнение вида.
46: Фи большое от икс игрек ц равно нулю называется общим интегралом дифференциального уравнения 1.
47: Теорема, которую мы сформулировали, даёт достаточные условия существования единственности решения задачи Карши. Возможно, что в точке икс 0, игрек 0.
48: Условия теоремы не выполняются, но решение игрек равно игрек от икс уравнения 1 такое, что игрек 0 равно ф от икс 0 существует. Единственное.
49: Определение дифференциальное уравнение 1 порядка 1 называется неполным. Если функция жи от икс игрек явно зависит только от 1 переменной от икс или игрек. Ну вот как в нашем при
50: Здесь наша функция зависела только от x, только от x.
51: В общем случае уравнение такого типа решается непосредственным интегрированием. Вот, например, как в нашем примере игрек иис равно жи от икс.
52: Отсюда д игрек будет равно же x d x интегрируем, получаем игрек равно интеграл от джи икс же от икс д икс плюс неопределённая константа ц большое 2 пример, если функция.
53: Является функция только от игрека. Производная игрека равна жи от игрек. В этом случае мы опять же можем разделить переменные написать д игрек на жи от игрек равно д икс проинтегрировать. Получим что интегра
54: Неопределённый д игрек поделить на ж. От игрек равен икс плюс неопределённая константа ц.
55: Рассмотрим пример скорость роста валового внутреннего продукта пропорционально его текущей величине x от ну такая простейшая экономическая модель вот x с точкой Отт равно жи икс от т. Ну отметим.
56: Что часто в физике, в экономике, в других науках естественных производную по времени, обозначают точкой сверху точкой сверху производная по времени точка сверху.
57: Так, итак тождественно икс точка сверху от это д икс от т подт равно жи умножить на икс от т переносим икс от т влево ддт вправо получаем вот такой
58: Уравнение, в котором у нас xx находится слева, а время находится справа, интегрируем.
59: Интеграл д икс на икс равен интеграл жи по дт плюс константа 1 интеграл это логарифм x. 2 интеграл жи это константа выносится знак интеграла интеграл.
60: Ддт это просто t. Получаем вот такое уравнение.
61: Из него выражаем икс икс а tt равно е в степени жи т плюс ц ну, учитывая, что при т равно 0 мы получим x в момент времени 0, то можно её в сте.
62: Спец заменить на x в момент времени 0, то есть получим икс от т. Равно икс момент времени 0 умножить на экспоненту от je t.
63: Рассмотрим несколько более сложный вид уравнения это уравнение с разделяющимися переменными такие уравнения имеют следующий вид некоторая функция м большое от икс умножить на н большой от игрек на д x plus.
64: К большое от икс умножить на эль, большое от игрек на д игрек равно нулю. Ну, оно имеет такой вид, либо может быть приведено к этому виду. Обычно это достаточно простые уравнения, и в общем то, это сразу становится
65: Видно итак, преобразуем это уравнение, то есть делим его на к x, от x и на н от игрек. В результате получаем уравнение в кото.
66: Есть 2 слагаемых, 1 из которых зависит от x, только от x, 2 только от игрек вот других слагаемых здесь нет, интегрируем это уравнение.
67: Интегрируем это уравнение и вот в таком виде записываем общее решение. Ну, ещё 1 момент. Может быть, кроме этого общего решения есть ещё особые решения, они определяются условием к от икс равно нулю н.
68: Игрек равно нулю. То есть, естественно, если мы, если у этих уравнений есть решение, то они тоже нам дают решение вот этого уравнения. Вот.
69: Ну, решение этих уравнений к от икс равно нулю, н, от игрек равно нулю. Это некоторые постоянные, то есть, это прямые на плоскости икс игрек, вообще говоря, будут. Если они есть, если есть такие решения, рассмотрим пример икс умножить на
70: Игрек д икс равно скобка открывается 1 минус икс в квадрате скобка закрывается д игрек равно нулю ну по нашему образцу.
71: Делим на 1 минус икс в квадрате и на игрек это уравнение. Переменные разделяются. Интегрируем интегралы.
72: Берём последовательно, ну, учитываем, что делить мы можем при условиях 1 минус икс в квадрате равно нулю игрек не равно нулю. Так, ну, у нас получились вот такие интегралы.
73: Здесь мы в 1 интеграле выполняем замену переменных, замену переменных, вводим новую переменную. 1 минус икс в квадрате, 2 интеграл пока переписываем.
74: В результате 1 интеграл интегрируется, это будет логарифм модуля. 1 минус икс в квадрате, ну a2 интеграл это просто логарифм игрека. Отсюда выражаем игрек аккуратно это экспонента констан.
75: + 1 2 логарифм 1 минус икс в квадрате по модулю. Вот. Ну, соответственно, их можно разделить. То есть, экспонента суммы это произведение экспонент е, в степени ц на корень квадратный из модуля вот эту, е.
76: Это тоже константа, как и ц большое, поэтому логично её заменить на ц тильдой ц стильдо не равно нулю вот. Ну и возможные решения. 1 минус икс в квадрате равно нулю икс равно плюс минус.
77: - 1 игрек равно нулю. То есть на этих прямых тоже мы будем иметь решение нашего уравнения.
78: Исходного уравнения вот этого.
79: При этом, в принципе, 2 решение игрек равно нулю мы можем получить из нашего общего решения при ц стильной равно нулю.
80: Определение функция ф от икс игрек называется однородной степени к. Если при любом альфа не равном нулю, справедливо следующее тождество ф. Малое от альфа умножить на x.
81: Альфа умножить на игрек, равно альфа в степени к умножить на ф от икс игрек.
82: То есть масштабируя масштабным множителем, одинаковым икс и игрек, мы
83: Получим вот такое вот выражение. Функция преобразуется вот таким вот способом образом пример рассмотрим. Ф от икс игрек равно икс игрек, ну при подстановке вместо x альфа икс вместо игрека.
84: Альфа игрек. Мы видим, что альфа в квадрате выносится. То есть это функция однородная степени 2. Вот мы это подробненько рассматриваем.
85: Определение дифференциальное уравнение игрек штрих равно ф от икс игрек называется однородным относительно икс игрек если ф от икс игрек однородная функция измерения кк равно 0, кк равно 0.
86: То есть в этом случае функция называется просто однородная.
87: Ну то есть она однородная в степени 0. Ну и, соответственно, уравнение мы называем просто однородным. Такое уравнение решается подстановкой зетт, равно игрек поделить на x. Ну, мы это проверим сейчас непосредственно подстановкой. То есть, если
88: That равно игрек поделить на икс игрек равно зет умножить на икс. То есть здесь мы хотим заменить функцию игрек новой функцией z, которая связана с игреком. Итак, игрек равно зет умножить на икс игрек штрих берём производную
89: Произведение игрек штрих равно икс зет штрих плюс z.
90: По условию это производная игрек штрих, она равна эф от икс игрек, то есть это будет равно ф от икс здесь игрек заменяем опять на z от x.
91: На z от x.
92: Ну и соответственно
93: Уравнение это приводится к уравнению с разделяющимися переменными, поскольку здесь мы видим, что вот x здесь играет роль альфа, вот здесь вот мы выносим альфа.
94: В 0 степени, то есть получаем просто ф от 1 z. То есть как бы общий множитель x, он вообще сократился у нас здесь вот и мы получили, что f функция f стала функцией от 1 переменной z z. Ну.
95: Вместо x стоит константа 1 ну, в результате мы видим, что уравнение может быть приведено к уравнению, уравнение в результате приведено к уравнению с разделяющимися переменными, то есть мы можем его разделить на 2 слагаемых 1 зависящее.
96: Set только от зетта 2, которое зависит только от x.
97: Значит, интегрируем, получаем вот такое вот общее решение.
98: Если нам известна функция ф малая, то мы её подставляем, при возможности интегрируем, затем заменяем обратно зет на игрек, делённое на икс, ну и выражаем либо игрек через икс, либо x через.
99: При возможности это не всегда, конечно, возможно.
100: Рассмотрим пример скобка открывается икс минус игрек скобка закрывается на д игрек минус игрек умножить на д икс равно нулю.
101: Выражаем.
102: Производную игрека игрек штрих равно игрек поделить на икс минус игрек наша функция альф малая от икс игрек равно равна игрек поделить на икс минус игрек подставляем вместо икса игрека альфа альфа икс и альфа игрек
103: Видим, что функция f малая является однородной степени 0. Таким образом мы можем применить к этому уравнению исходному ну вот в таком виде можно его использовать нашу
104: Постановку игрек равно зет умножить на икс. Опять повторяем выражение игрек штрих равно икс на зет штрих плюс зет игрек штрих.
105: Заменяем нашим выражением функция, в котором игрек меняется на z, умножить на икс. Так итак получили вот такое соотношение игрек штрих, равно икс зет штрих плюс z. И вот.
106: Правая часть that поделить на 1 минус z. Затем ну вот вот эти 2 части равенства оставляем вот эта 2 здесь, да и последняя, которая от z только зависит, переносим.
107: Set вот отсюда сюда в правую часть получаем икс зет штрих равно z поделить на 1 минус зет минус z.
108: Приводим к общему знаменателю в числителе, приводим подобные, получаем, что икс зет штрих равно z в квадрате поделить на 1 минус z разделяем переменные, то есть вот эту дробь перено.
109: Вот сюда вот, то есть умножаем на 1 минус z, делим на z в квадрате зет штрих записываем в виде d z на d x d z оставляем здесь слева вот она, а д икс вместе с иксом переносим вправо.
110: То есть справа получается д икс поделить на x.
111: Ну вот эту вот часть проще всего разделить на 2 слагаемых, то есть в виде 2 степенных функций, разницы 2 степенных функций записать вот правую часть не надо преобразовывать. Интегрируем каждое слагаемое. Вот.
112: Отдельности в левой части. Ну и здесь просто обычный интеграл д икс на икс табличный, значит, ну и соответственно, интеграл вот этого выражения.
113: Интеграл вот этого выражения будет равен - 1 на зет, - 1 на that мы его сразу заменяем на минус икс, на игрек, икс на игрек, то есть - 1 на z. Это минус икс, на игрек не труд.
114: Видеть. Значит, здесь этот интеграл будет равен логарифму зет, соответственно, заменяем его на логарифм. Игрек на икс по модулю.
115: Вот плюс некоторая константа, которую мы записываем в виде логарифма ц логарифма ц.
116: Ну и равно это будет логарифм x по модулю, затем преобразовываем, упрощаем по максимуму.
117: Вот прощаем по максимуму это выражение и выражаем игрек. Ну здесь оно не выражается. Так. Неявная формула у нас получилась. Вот.
118: Значит, ещё 1 корень игрек, равно нулю, который является особым решением, особым решением, да, вот мы получим, можем получить из этого уравнения при ц равном нулю. То есть
119: Так, в общем то, в данном случае не особое решение, потому что оно может быть получено из общего решения.
120: Так, ну вот здесь вот переход вот отсюда досюда, кто не совсем понял, выполнить самостоятельно.
121: Рассмотрим ещё 1 пример. Уравнение 2 игрек штрих плюс дробь в числителе икс + 2 игрек поделить на минус икс плюс игрек равно нулю функция ф малая.
122: Икс игрек равна. Ну переносим вот это слагаемое вправо. Делим на 2 получаем что функция малая от икс игрек равна - 1. 2 умножить на дробь икс + 2 игрек в числителе поделить на минус икс плюс игрек вместо
123: X подставляем альфа икс вместо игрека подставляем альфа игрек видим, что альфа сокращается, то есть сама функция является однородной нулевого порядка, соответственно, уравнение дифференциальное называетс.
124: С однородным уравнением выполняем замену игрек равно зет умножить на икс.
125: Производная игрек штрих выражается через x z как x на z штрих плюс z выполняем подстановку, то есть заменяем игрек штрих вот этой формулой, ну и игрек заменяем как z на x в нашем уравнении.
126: Значит, выполнили, преобразовываем аккуратно здесь вот видим, что x сразу у нас сокращается. Получили вот такое вот уравнение. Сначала здесь приводим к общему
127: Знаменателю вот это вот эти 2 слагаемых, зависящие от that приводим подобные видим, что мы получили уравнение с разделяющимися переменными. Вот
128: Записываем вот в такой форме уже переписываем вот это, вот это и правую часть, где записали.
129: Соответственно, разделяем переменные, то есть делим на x y, делим вот на вот эту дробь получили вот такое уравнение 2 слагаемых 1 зависит от the 2 от x. Интегрируем.
130: Интегрируем.
131: Таким вот образом здесь вот это вот можно разделить на 2 слагаемых, на 2 слагаемых вот эту дробь, 1 дробь интегрируем заменой переменных, то есть вводим новую переменную 2 z квадрат + 1.
132: 2 уравнение 2, 2 слагаемое тоже приводим к табличному ввиду ну а интеграл от д икс на икс это просто логарифм x по модулю интеграл нуля это константа соответственно.
133: После замены переменных и преобразования 2 слагаемое можно применить табличные интегралы здесь у нас логарифм модуля 2 z квадрат + 1, ну а интеграл этого выражения это тангенс корни.
134: С 2 умножить на z.
135: Так, ну итак, привели уравнение к вот такой форме. Это неявное уравнение относительно игрек икс. Ну, после замены that на обратно на игрек, делённое на икс. Вот такое уравнение получаем, которое
136: Явно выражает зависимость игрека от икса. Так, ну вот здесь вот я привёл табличный интеграл, кто не помнит, вот, ну, здесь мы могли потерять корни, да, когда делили на x. Вот.
137: И на вот это вот выраже, вот эту, вот этот числитель, соответственно, ну, числитель имеет только мнимые корни, а мы здесь работаем с действительными числами. Вот, ну, икс равно нулю нулю.
138: Нулю.
139: Здесь у нас, давайте сообразим. Ну то есть вот, вот это должно быть, это всегда у нас не равно нулю, да, вот если бы x было равно нулю вот здесь вот, да, в нашем выражении, где оно тут у нас, вот здесь вот если бы x было равно
140: Нулю вот здесь вот если бы x было равно нулю, то вот это числитель тоже должен был быть равен нулю, ну, соответственно одновременно икс равно нулю, и вот это выражение не могут быть справедливыми.
141: Так, итак, линейным дифференциальным уравнением 1 порядка называется уравнение, которое может быть записано в виде игрек штрих плюс п от икс умножить на игрек равно f малое от x, где п от x y f малое от x заданы.
142: Функция если ф. Малая от x не равно нулю, то дифференциальное уравнение называется однородным.
143: Если.
144: Эф от икс равно нулю неоднородным.
145: Однородное уравнение игрек штрих плюс п от икс умножить на игрек равно нулю является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными сразу это видно то есть оно может быть записано как д игрек поделить на игрек плюс п от x на д икс равно нулю где игрек?
146: Не равно нулю сразу оно интегрируется и игрек выражается. То есть в явной форме можем игрек выразить. Ц константа должна быть при этом не равна нулю. Вот. Ну, хотя здесь в принципе, игрек равно
147: Это решение, которое мы теряем, но опять же мы его можем получить при ц равном нулю. Метод обернули для решения неоднородного уравнения. Решение может быть сведено к последовательному интегрированию 2 уравнений.
148: Являющимися переменными. Итак, вот у нас есть наше неоднородное уравнение. Вот оно здесь, в правом верхнем углу, записано, вот мы ищем его решение в виде произведения 2 функций от x. То есть запи.
149: Игрек равно у от икс умножить на в от x.
150: Ищем производную.
151: Производное произведение это due под икс, умножить на в плюс дв под икс, умножить на y. Подставляем в исходное уравнение нашу производную вот получили вот такое уравнение, казалось бы, упрощение.
152: Пока не видно. Вот, ну, здесь мы привели подобный, то бишь вынесли функцию у за скобку. Вот, но здесь у нас 2 Неизвестных функции. У и в
153: Неизвестных больше числа уравнений 1 неизвестное таким образом, можно выбрать произвольно выберем в от x так, чтобы выражение в скобках обратилось в 0, то есть мы таким вот образом его хотим упростить, упростить в этом случае итак, выражение.
154: В скобках мы приравниваем к нулю, но если оно равно нулю, то постановка этого нуля в наше вот это вот уравнение вот в это уравнение.
155: Даст нам уравнение вот такого вида, вот такого вида. Итак, 1 уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Мы его уже умеем решать. Вот мы нашли в общем то, его решение вы
156: X. Непосредственным, фактически интегрированием.
157: Вот подставляем это в от x во 2 уравнение вот это в от x.
158: Во 2 уравнение идёт у нас вот сюда вот.
159: Вот сюда.
160: Вот получили вот такой вид уравнения, вот такой вот, вот такой вот, ну здесь опять же, мы видим, что оно тоже может быть проинтегрировано непосредственно, то есть переносим x вправо, вот через дифференциалы получили уравнение.
161: И интегрируем его, и таким образом мы получаем общий интеграл.
162: Линейного дифференциального уравнения 1 порядка, неоднородного
163: Вот.
164: Значит.
165: То есть заменяем.
166: Вот здесь вот подставляем вместо, у, вот это выражение, а вместо в подставляем, где тут оно, вот это выражение и получили вот игрек в таком виде.
167: Так итак, пример уравнение d x по д игрек равно икс минус игрек видим, что оно имеет вид фециального уравнения линейного да неоднородного.
168: Так, итак, пусть положим здесь, ну здесь в качестве функции мы полагаем икс, а игрек это считаем как независимая переменная.
169: Положим, x равно y от игрек на в от игрек ну, берём производную произведения.
170: Вот.
171: Заменяем также вот в этом уравнении икс на вот это выражение преобразуем
172: Вот выносим оо, то есть все делаем по шаблону, по нашему вот, вот эту скобку приравниваем к нулю, вот получаем вот такое уравнение, которое имеет решение вот такого типа вв, равно е, в степени игрек. Ну здесь
173: Нужно любое частное решение на самом деле.
174: Ну, не любое, оно должно быть нетривиальным. Здесь вот тривиальное решение в равно нулю мы берём нетривиальное решение вв, равно е, в степени игрек, подставляем его вот сюда. Вот. То есть здесь вот у нас получается, вот это слагаемое 2, 0 0.
175: И сюда подставляем это в получили вот такое вот уравнение. Ну, здесь производная ату, помним, что это производная по игреку. То есть игрек у нас здесь играет роль переменной.
176: Так, опять же выражаем дду.
177: Справа получается выражение, зависящее только от игрек. Соответственно, можно проинтегрировать. И находим здесь вот наша, у наше, у находим интегрированием по частям.
178: По частям. Ну, внимательно смотрим, кто забыл, можно повторить интегрирование по частям. Получили вот такое вот выражение ц константа подставляем это у вместе с в наше
179: Выражение для x. То есть вот сюда, вот вот сюда, вот подставляем уив, найденные нами.
180: Ну и, соответственно, получаем x в зависимости от игрека. Вот в таком виде. Ну, видно, что здесь игрек выразить нельзя. То есть здесь вот самый такой простой вид решения, это в виде
181: Зависимости икса от игрека.
182: Итак, ещё 1 пример. Рассмотрим системы 2 дифференциальных уравнений 1 порядка. Такой более факультативный пример. Вот задача такая естественная. Взаимодействие 2 биологических видов в изолированной области. Ну, она, очевидно,
183: Может быть, и в экономике, да, 1 вид жертва обеспечен всем необходимым для жизни, a2 хищник находится в той же области и может питаться лишь особями жертвы. Эта модель, это этот пример.
184: Система эта может быть описана моделью лодки валтера в таком виде.
185: Вот в таком вот виде. Так давайте поясним эти уравнения дифференциальные, ну вот это скорость изменения.
186: X.
187: X вот и x это здесь количество жертв да, игрек, количество хищников, коэффициенты альфа и бета положительными являются больше нуля.
188: Определяется условия жизни жертвы хищников при отсутствии хищников число жертв экспоненциально растёт. То есть вот если здесь не будет вот этого слагаемого, то вот эта вот часть уравнения будет описывать экспоненциальный рост жертвы 1 вида.
189: Вот, а если не будет, соответственно, жертв, то есть не будет здесь вот во 2 уравнении этого слагаемого, то количество хищников будет по экспоненте падать, естественно. То есть гибнуть они будут без пищи.
190: Вот, ну то есть по отдельности каждое слагаемое выражает.
191: Зависимость от времени в случае отсутствия вот здесь вот хищников, а здесь в случае отсутствия жертв жертвы будут в отсутствии хищников расти в численности, а хищники, соответственно, в отсутствии жертв будут уменьшать
192: По количеству вторые слагаемые моделируют их взаимодействие. То есть, чем чаще встречается хищник и жертва, тем чаще жертва будет погибать. Ну, соответственно, число встреч
193: Пропорционально и количеству хищников, и количеству жертв. Ну и здесь, соответственно, точно такое же слагаемое, только со знаком плюс и с другим коэффициентом тоже.
194: Соответственно, чем чаще, чем больше хищников и жертв, тем чаще хищник встречает жертву, ну и, соответственно, чем чаще он её съедает.
195: Так, ну значит, в нашем случае гамма больше нуля, мю больше нуля тоже некоторые коэффициенты. Уравнение это является система этих уравнений является нелинейной, потому что здесь икс и игрек входят
196: Виде произведения, и поэтому мы в общем виде её решить в элементарных функциях не можем, но, оказывается, мы можем её, эту систему, упростить в случае малых отклонений от стационарного состояния. Итак, задача
197: Решаем в следующем порядке. Сначала определим стационарное состояние. Ну, оно определяется из того условия, что количество жертв и количество хищников не меняется. То есть скорости их изменения равны. Нулю приравниваем просто напросто.
198: Скорости к нулю, получаем уравнение относительно x нулевого игрек нулевое, то есть относительно стационарного состояния. Решаем эту систему ну, это система из 2 уравнений легко может быть решена. Находим x 0 равно б.
199: Игрек 0 равно альфана гамма. Вот, ну, будем считать, что отклонения от стационарного состояния малы малы. То есть система первоначально находится в точке
200: Чуть чуть отличающиеся от x 0 игрек 0 естественно, что если изначально x будет равно икс 0, игрек будет равно игрек 0, то икс и игрек не будет меняться вовсе правильно вот итак запишем.
201: Малые в таком виде икс икс равно икс нулевое плюс x 1 игрек равно игрек 0 плюс игрек 1 где x 1 игрек 1 маленькие величины по сравнению соответственно с x 0 игрек 0 так ну вот.
202: По модулю вот мы записали эти условия x 1 по модулю много меньше x 0, по модулю игрек 1 по модулю много меньше игрек 0 по модулю подставим наше соотношение для x и для игрека в исходную систему 10.
203: Вот и пренебрегаем там слагаемые слагаемыми с x 1 умножить на игрек 1 ну поскольку они если x 1 много меньше x 0 игрек 1 много меньше игрек 0, то соответственно их пр.
204: Будет ещё намного меньше. Вот в результате мы получили вот такую систему уже из 2 линейных уравнений. Ну мы перед этим с вами такие системы не решали. У нас, в общем то, краткий курс.
205: Уравнений. Ну, понятное дело, что решить эту систему можно достаточно просто. То есть, например, вот отсюда игрек 1 выразим, да, и поставим сюда, вот получим дифференциальное уравнение 2 порядка.
206: Так, сейчас мы посмотрим как
207: Таким образом, для отклонения мы получили систему линейных, однородных дифференциальных уравнений 1 порядка с постоянными коэффициентами мы можем выразить игрек 1 из 1 уравнения, подставить во 2 уравнение, получим уравнение для x. 1 вот такой вид оно имеет.
208: Это дифференциальное уравнение 2 порядка с постоянными коэффициентами. Мы не научились их решать. Вот, но оно имеет достаточно простой вид и встречается, в общем то, в различных приложениях. Физик
209: Например, в электротехнике. Вот, ну и в этой вот такой задаче биологического характера, в экономических задачах тоже оно встречается. Вот его решение имеет вот следующий простой вид. То есть x, 1 это
210: Такая зависимость от времени, как ц константа на синус т умножить на корень из альфа бетта плюс фи фи это тоже некоторая константа ну то что это решение, мы
211: Можем проверить непосредственно подстановкой, то есть поставим сюда вот это выражение. Ну и увидим, что уравнение 14 является тождеством, тождеством. Вот уравнение это дифференциальное уравнение 2 порядка и у него, соответственно, 2 неопределённые константы.
212: Которые можно определить из начальных условий, то есть количество неопределённых констант, оно совпадает с порядком уравнения.
213: Ранее мы решали уравнение 1 порядка. Там была 1 константа. Вот, ну, изначальных условиях можно выразить цехи. Если мы теперь подставим вот это вот это решение в 1 уравнение системы 13, то мы полу
214: Получим игрек 1 от т. Ну это тоже подобная зависимость только вместо синуса косинус. Ну и другая константа вот эти 2 уравнения это уравнение эллипса плоскости икс 1 игрек, 1 параметрические уравнения. Вот и надлежащим
215: Выбором масштаба по икс игрек мы можем, в общем то, эти, этот эллипс превратить в окружность. Вот исходное же уравнение 10 мы решить в элементарных функциях не можем.
216: Вот, ну, мы можем решить численно тоже. Давайте отметим этот момент, что часто уравнения дифференциальные и системы дифференциальных уравнений мы не можем решить в элементарной функции, нам приходится прибегать к численным методам. Ну,
217: Это как бы на самом деле, в основном в реальных задачах так и приходится делать. Вот в этом случае мы производную
218: Должны заменить каким-то выражением. Ну мы делаем следующим образом. Мы
219: Ищем икс и игрек не во все моменты времени, а в какие-то определённые будем искать. То есть мы задаёмся начальным начальным моментом времени. Т 0. Да, и будем искать икс игрек.
220: Через интервал, через интервал времени dt, то есть моменты времени т 0 плюс ддт, т 0, + 2 delta, т т 0 + 3 delta, т. Т. 0 + 4 delta т и так далее, то есть.
221: Дискретное время у нас будет, соответственно, производные мы заменяем вот таким вот отношением. Ну то есть это понятно, что за отношение понятно, что за отношение мы его получаем из ряда тейлора, то есть
222: Резав в ряде тейлора, оставив 2 слагаемых.
223: Мы получим вот это соотношение.
224: Которая называется левой разностью для производной. Это соотношение, видите, вот из этого соотношения, зная x нулевое игрек нулевое. То есть начальные значения мы, очевидно, можем найти
225: Икс 1, икс 2. Ну то есть положив здесь и равно 1, да, мы здесь получим икс нулевое, здесь игрек нулевое. Соответственно, мы можем выразить x. 1. Игрек, 1, зная, затем x. 1. Игрек 1, мы можем найти икс. 2, игрек, 2.
226: И так далее. То есть итерационным таким процессом мы можем найти в принципе икс и игрек в дискретные моменты времени, вот в эти моменты времени.
227: Ну, естественно, эти икс игрек, они будут приближёнными, но если мы будем уменьшать интервал дельта t, то эти приближённые значения будут, в принципе, у нас приближаться к
228: Вот, ну, можно более точную, точную замену сделать для производной. Она получается тоже из ряда тейлора называется центральной разностью. Вот мы видим, что здесь икс в числителе у нас
229: X y plus 1 вычитается из него x и минус 1 делится опять же на промежуток времени, за который это происходит вот это называется центральной разностью можно показать, что это выражение более точным ну, здесь есть 1 нюанс это то, что мы здесь.
230: Напрямую не можем через из x нулевого игрек нулевое найти x 1 игрек 1. То есть в любом случае предварительно мы используем вот эту систему ну кого заинтересует?
231: Этот вопрос, те могут, так сказать, более подробно взять любой учебник по численным методам и узнать, как решаются дифферециальному авнение численными методами. Вот, ну, в частности, вот этот рисунок, это численное решение.
232: Нашей системы 10, для альфа равно бета равно гамма равно you равно 1. И вот таких вот начальных условий ну тут ряд начальных условий задан. Вот x. Ну в начальный момент времени равен икс игреку в начальный момент времени.
233: Равно 1 запятая 0 5 + 0 запятая 1 умножить на жи. Ну и жи увеличивается от нуля до тут вот сколько тут этих Кривых есть до этого количества? Ну мы действительно видим, что при малых отклонениях вот у нас
234: Положение равновесия находится здесь вот в центре, да, где-то вот здесь, вот в центре центрального вот этого вот этой кривой, которая действительно похожа на эллипс, да, вот, ну здесь даже масштаб такой выбран, что она похожа даже на окружность.
235: Да, вот, но с увеличением отклонения мы видим, что, в общем то, это уже далеко становится не эллипс, да.