0: Дифференциальные разностные уравнения лекция 3 дифференциальное уравнение высшего порядка лектор хохлов Николай Александрович учебная литература это, во первых, Матвеев обыкновенный.

1: Дифференциальное уравнение ещё 3 учебника, которые могут быть использованы для подготовки к практическим занятиям.

2: Итак, рассмотрение уравнений дифференциальных высшего порядка. Мы начнём с рассмотрения геометрической механической интерпретации уравнения 2 порядка. Итак, уравнение 2 порядка может быть

3: Записано в виде некоторой функциональной зависимости между

4: X аргументом функции игрек функции игрек 1 и 2 производной функции игрек по иксу очевидно, такое уравнение может быть всегда преобразовано.

5: Уравнение следующего вида. Ну то есть мы можем всегда вот эту вот это вот 2 производную выразить через вот такой, такую, такую функцию от 2 производной

6: Здесь мы можем, конечно же, интерпретировать во первых, вот это отношение, это, как мы знаем, признак кривой игрек от икс в точке икс игрек, ну 1 производная мы тоже

7: Знаем, что это касательная кривой в той же точке, и, таким образом, дифференциальное уравнение 2 порядка устанавливает в каждой точке интегральной кривой зависимость между координатами точки икс игрек наклоном, касательной кривой.

8: Это игрек штрих и кривизной кривой в точке, то есть вот вот этим отношением, например,

9: Если интегральные кривые обладают следующим свойством в каждой точке интегральной кривой кривизна 1 и та же, то есть отношение вот 2 производной к сумме 2 производной y единиц.

10: Степени 3/2 равно некоторой константе, а больше нуля.

11: Например, таким свойством обладают окружности можно непосредственно проверить, то есть взять.

12: 2 производную вот от этого выражения. Ну и в общем то убедиться в том, что действительно вот если зависимость между игрек и икс выражается вот этим уравнением, а это уравнение

13: Окружности, то в этом случае выполняется вот это соотношение, то есть кривизна

14: Кривой является постоянной величиной. Перейдём теперь к физической интерпретации уравнения 2 степени. Если материальная точка массы малая движется вдоль прямой эту прямую.

15: Назовём осью икс под действием силы f, также направленной вдоль прямой, зависящей от времени т положения x скорости точки в в момент времени т малая тогда по 2 закону ньютона мы можем записать.

16: То есть 2 производную x как отношение силы, которое, как мы указали, зависит от времени, может зависеть от времени, положения и скорости к массе, ну и.

17: Введя удельную силу, получим вот такую зависимость между 2 производной величины x.

18: Координаты точки на оси x и временем координатой и 1 производной, например, пусть точка движется вдоль оси икс под действием силы большое, стремящееся вернуть точку в положении.

19: Равновесие икс равно нулю, равное фф равно минус к x, где к больше нуля ну мы знаем, что это у нас сила упругости, сила гука да, то есть при малых значениях.

20: X. Отклонение от положения равновесия таким образом будет у нас вести себя пружина конец пружины, если мы его будем отклонять, положения равновесия вдоль.

21: Пружины да, либо стержень упругий тоже также будет конец его вести себя, если мы его будем отклонять от положения равновесия на небольшое расстояние x малое вот в этом случае.

22: Опять же мы можем по 2 закону ньютона записать следующее соотношение произведение массы на 2 производную x по времени равно минус к x. Или мы можем выразить 2 производную координаты икс по времени в следующем виде.

23: Как минус омега в квадрате умножить на икс, где омега в квадрате равно к делённое на м омега это ничто иное как?

24: Чистота.

25: Угловая частота вот и это у нас вот это вот уравнение дифференциальным является 2 порядка, оно имеет очевидное нулевое решение. То есть если x дестено равно нулю, это будет состояние покоя в этом случае и скорость, и ускорение

26: Также будут равны нулю. Вот общий общее решение имеет следующий вид.

27: Xxx равно а на синус омега т плюс и 0, где мы называем а амплитудой омега, я уже сказал, круговая частота ну это время и нулевое начальная фаза, ну а весь аргумент синуса это называется фазой.

28: Вот и этому решению соответствует периодическое движение точки вдоль оси икс с периодом т равным 2 пи поделить на омега. Это решение ограничено при всех значениях.

29: Времени. Ну, ограничено. Это означает, что x может принимать значение только от минус а до а

30: Следующий вопрос рассмотрим. Это постановка задачи коши для уравнения энтого порядка. Итак, задача коши для уравнения энтого порядка, выражающегося зависимостью между

31: Переменная x функция игрек от икс 1 производной игрека по x и так далее до этой производной игрека по x. Вот такая зависимость, выражаемая этой функцией от н.

32: + 2 аргументов, в общем случае, где н больше единицы, найти решение игрек равно игрек от икс, которое удовлетворяет начальным условиям.

33: Или начальным данным, или условием каши вот такого вида игрек от икс нулевого, равно игрек нулевому. 1 производная функции игрек в точке x 0 равна игрек нулевое штрих, ну и так далее до

34: Н минус 1 производной, где x нулевое, игрек нулевое, игрек нулевое штрих и так далее игрек нулевое н минус 1 заданные числа.

35: Таким образом, в отличие от уравнения 1 порядка, здесь при заданном значении независимой переменной задаётся значение не только искомой функции, но и её производных до порядка на единицу ниже, чем порядок дифференциального уравнения.

36: Ну, обратим внимание, что здесь мы, производная, обозначаем высшего порядка вот такой скобочкой с числом, с числом целым в верхнем индексе, в верхнем индексе. Ну, то есть 1 производную мы можем обозначать и штрихом, как

37: Здесь или цифра 1, как здесь. Ну ещё вот если мы решаем физическую задачу, то встречается обозначение для производной по времени в виде точки сверху над функцией. Ну это имеется ввиду в таком

38: Случае производная именно по времени. Так. Итак, далее, например, каким образом выглядят начальные условия для дифференциального уравнения 3 порядка? Вот эти вот из уравнения 3. В этом случае у нас только 2 начальных

39: Условия?

40: Это игрек от икс нулевого равно игрек нулевому игрек штрих от x нулевого равно игрек нулевое штрих рассмотрим пример вот такое дифференциальное уравнение игрек 2 штриха равно 4 икс с начальными условиями игрек.

41: Нуля равно 1 игрек штрих от нуля равно 0.

42: Интегрируем его следующим образом, практически очевидным. То есть игрек 2 штриха. 2 производная равна производной игрек штрих. То есть мы можем считать 1 производную на 1 этапе неизвестной функцией. Соответственно, мы интегрируем вот

43: Это уравнение получаем, что игрек штрих равно 2 икс в квадрате плюс c1 нашли неизвестную функцию игрек штрих, но мы помним, что это 1 производная игрека, поэтому мы можем ещё раз проинтегрировать и в результате находим игрек.

44: Как 2 икс 3 / 3 плюс c1 x плюс c2 ну и константы эти c1 c2 мы находим из начальных условий, то есть подставляем в наше, в наш.

45: Формулу вот в эту формулу для производной. Сначала икс равный нулю получаем игрек штрих от нуля. Равно 2 * 0 в квадрате плюс c1 равно нулю должно быть по начальному условию. Вот оно здесь написано, да, соответственно, c1 равно

46: Нулю, зная c1, мы теперь можем из уравнения для игрека игрека найти c2. Тоже подставляем икс равно нулю находим игрек от нуля равно и так далее и так далее. Видим c2 равно единице. И тогда окончательно мы

47: Находим частное решение. Ну то есть частное решение. Позже будут даны определения. Частное решение дифференциального уравнения это некоторое конкретное решение, когда константы не

48: Определённые заданы каким-то образом они найдены из, например, начальных условий. Вот в данном случае игрек равно 2 икс 3 / 3 + 1.

49: Так, следующий, тоже важный вопрос. Это существование, единственность решения уравнения ного порядка. Ну то есть, конечно же, это тоже важно. То есть мы должны знать, когда у уравнения дифференциального вообще существует решение и

50: Единственно ли оно вот в приложениях, это очень важный вопрос вопросы. То есть, если мы составили уравнение по условиям какой-то реальной задачи, там экономической, физической, вот химической, вот, и если

51: Это решение у этого уравнения не существует. То очевидно, что мы неправильно составили это уравнение, да, это 1. Вот, может быть так что, ну, опять же, мы понимаем, что, вообще говоря, у задач, корректно поставленных решение должно быть

52: 1. То есть, если мы вдруг обнаруживаем, что решение не единственное, это значит, что мы поставили задачу не вполне корректно, да, и тоже надо как-то доопределить решение, ну, само уравнение.

53: Да, определить, чтобы решение было единственным, единственным. Итак, для дифференциального уравнения это, ну, на самом деле, решение, может быть и не единственным, но физически, да, но в целом мы должны, конечно, поставить

54: Условия так, чтобы эти не единственные решения каким-то образом разделялись в любом случае, да, вот для дифференциального уравнения этого порядка в нормальной форме, вот такой форме, это производная игрека равна не

55: Функциональной зависимости от икса, игрека и производных игрека до н минус 1 порядка включительно, но это общий случай, да, на самом деле в этой зависимости могут быть какие-то переменные, отсутствовать.

56: Вот. Итак, для такого общего уравнения справедливо оказывается, мы без доказательства придём. Теорема пикара, если правая часть уравнения 4 непрерывна в некоторой окрестности начальной точки икс нулевое игрек.

57: Нулевое.

58: 1 производная игрек 0 1, точнее и так далее. До игрек нулевого н минус 1. Ну, это конкретные какие-то числа, да, определяющие начальную точку, и имеет непрерывные в этой окрестности частные

59: Производные по игрек, 1 производная и так далее. До игрек минус 1 производной.

60: То оно, это уравнение 4 имеет единственное решение игрек равно игрек от икс, удовлетворяющее начальному начальным условиям. Ну, в таком же виде записаны, как ранее. Игрек от икс нулевого, равно игрек нулевое 1 про

61: Водная игрек от точки икс нулевое равна игрек нулевое 1 и так далее. До игрек н минус 1 производной точки. Икс нулевое равной игрек нулевому. Н минус 1, ну, например,

62: Возможна следующая зависимость то есть это производная функции игрек равна некоторому полиному от всех аргументов, то есть от переменной x от функции игрек от перо.

63: Производной игрек и так далее. До н. Минус 1 производной игрек. В этом случае при любых начальных данных, ну, начальные данные это x, нулевое, игрек, нулевое и так далее. Теорема, пикара, условия теоремы.

64: Пекаря будут выполнены, выполнены.

65: Вот, то есть правая часть уравнения непрерывно в любой точке.

66: Начальный, да, и поэтому существует единственное решение с этими начальными данными, если функция п является полиномом только относительно игрек 1 производной и так далее, до

67: 1 производной, то есть не является полиномом от x. Причём коэффициенты этого п. Полинома непрерывно в некотором интервале от a до b. Ну а коэффициенты имеются ввиду?

68: То, что они являются функциями x коэффициенты какими-то, но уже не обязательно приноми льными, то начальное значение искомой функции её производных до порядка н - 1, включительно можн.

69: Задавать произвольно, а начальным значением x может быть любое число икс нулевое из интервала аб. Причём решение с такими начальными условиями существует. Единственное, пример следующий рассмотрим.

70: Вот такое уравнение.

71: 2 порядка, но у нас полиномиально, да, относи это полином 1 степени относительно игрек 2 штриха, 2 производной и 2 степени относительно игрек штрих 1 производной. Вот, вот коэффициент при

72: 2 производной игрека это опять же полином от x. То есть в целом вот эта вся левая часть является полиномом и x, и 1, и 2 производной функции игрек вот мы можем выразить здесь

73: 2 производную. Таким вот образом мы видим, что опять же эта правая часть выглядит как полином от игрек штрих, да полином от

74: Штрих 2 степени. Вот. Ну а соответственно, коэффициенты этого полинома это функция x. Вот. Причём эти функции x, они при всех действительных значениях x.

75: Являются непрерывными функциями. Вот, то есть правая часть этого дифференциального уравнения оо относительно игрек штрих коэффициентами непрерывными при всех значениях аргумента x. Поэтому все начальные условия для этого

76: Уравнение можно задавать произвольно, и при этом будет у нас существовать единственное решение.

77: Рассмотрим следующий частный случай дифференциального уравнения этого порядка. Это линейное дифференциальное уравнение этого порядка для линейного дифференциального уравнения этого порядка. Вот его мы можем всегда записать в следующем виде, да, то есть вот у нас

78: Старшая производная энтого порядка, то есть коэффициент. При ней мы всегда можем сделать равным единице. Вот. Далее производные, производные функции игрек до нулевого порядка, ну то есть производная нулевого порядка, это сам

79: Функция игрек. Вот. Ну и коэффициенты при всех производной, при функции игрек это некоторые функции от x, функция от x. Коэффициенты, коэффициенты этого полинома, да, вот и

80: Алла часть.

81: Ф. От икс тоже некоторая функция от x.

82: Если мы предположим, что все коэффициенты питы от x для и от нуля до - 1 и функция правая часть ф от икс заданы, непрерывны в некотором интервале от a до b, тогда условия теоремы пикара выполняются.

83: В начальной точке x 0 игрек 0, игрек нулевое 1 и так далее нулевое минус 1.

84: Где?

85: X.

86: Из этой окрестности принадлежат отрезку ab a x нулевое, игрек нулевое, игрек нулевое 1 и так далее игрек нулевое, минус 1, любые заданные числа, поэтому для уравнения 6 имеет место следующая теорема существования.

87: И единственности решения задачи коши теорема если функции питы для и от нуля до - 1 и правая часть уравнения 6 ф от икс, непрерывное в интервале от б, то уравнение 6 единственное решение игрек от икс.

88: Удовлетворяющая начальным условиям игрек от икс нулевого равно игрек нулевого нулевому игрек 1 от x нулевого 1 производная игрека точки x 0 равна игрек нулевому 1 и так далее до.

89: Н минус 1 производная. Причём значения данные начальные. Игрек нулевое, игрек нулевое 1 и так далее. Игрек нулевое. Н минус 1 можно задавать произвольно, а икс нулевое.

90: Можно брать любым из интервала аб. Можно также доказать, что решение игрек от икс в этом случае определённо во всем интервале а б. В частности, если питые от x y равно 0.

91: 0 и так далее до - 1 ф от икс полиномы или другие функции, непрерывные при всех иксах, то при заданных x нулевое игрек нулевое, игрек нулевое 1 и так далее игрек нулевое минус 1 заданных произвольно решение существует.

92: Будет единственно и определённо при всех значениях аргумента x, если пита от x при равном нулю и так далее - 1 и ф от икс рациональ.

93: Функция, то есть является отношение полиномов питы от x равны питому большому от x поделить на куито большое от x y, от нуля до - 1 ф от икс, равно п о п большое от x поделить на ку большое.

94: X ну то есть все вот эти п большие ку большие полиномы, да, то при постановке задачи каши значение игрек нулевое игрек нулевое 1 и так далее игрек нулевое минус 1 можно задавать любыми, а x нулевое может быть любым, кроме вещественных.

95: Знаменателей соотношений 7, решение с такими начальными условиями будет определено в окрестности точки икс нулевое, не содержащее нулей знаменателей соотношений 7.

96: Дадим определение общего решения дифференциального уравнения этого порядка в нормальной форме. Ну, в нормальной форме. Это когда у нас старшая энтая производная, неизвестно функции игрек выражена через значение аргумента функции.

97: Игрек, икс, функцию игрек и производная функции игрек до н минус 1 порядка. Рассмотрим некоторую область. Д, большой, изменение переменных игрек, 1 производная от игрек и так далее. До игрек, минус 1. Ну то есть

98: Переменных. Вот этой функции. Малая, в каждой точке которой имеет место существование и единственность решения задачи каши. Например, предположим, что в окрестности каждой такой точки выполняются условия теоремы пикара функция, игрек, равная фи,

99: От x. Ц. 1, ц, 2 и так далее ц. Н. Определённо некоторой области изменения переменных x, ц. 1, ц, 2 и так далее ц. Н. И имеющая непрерывные частные производные по x до порядка n включительно, называется общим реше.

100: Уравнение 8 в области д большое. Если 1 система вот этих уравнений, игрек равно фи от икс c1 и так далее. Ц, н, 1 производная.

101: От игрек равна 1 производной фи по x, от x, ц, 1, c2 и так далее ц, н и так далее доминус 1 производной.

102: Разрешимо в области д относительно произвольных постоянных ц, 1, ц, 2 и так далее. Ц. Н. Так что мы можем выразить эти постоянные ц, 1, ц, 2 и так далее. Ц, н как некоторые функции c1, ц, 2 и так далее. Все.

103: От аргумента x функции игрек и производных функции игрек до минус 1 порядка.

104: Функция, определённая выражением 9. То есть вот этим выражением игрек равно фи от икс c1, c2 и так далее. Ц является решением уравнения 8 вот этого уравнения в нормальной форме при всех знач.

105: Произвольных, постоянных ц, 1, ц, 2 и так далее. Ц, определённых соотношениями 11, когда точка икс, игрек, игрек, 1 производная игрека и так далее. Игрек.

106: 1 производная игрека пробегает область д. Общее решение.

107: 9 содержит все решения уравнения в нормальной форме, 8 с начальными данными из области д. Каждое из этих решений получается из соотношения 900.

108: При соответствующих значениях произвольных, постоянных, постоянных, c1, c2 и так далее. Ц. Н. Чтобы найти решение с начальными данными из области д. Большое, надо подставить систему 10 вместо икс, игрек, игрек 1 и так далее.

109: Н минус 1 производная начальные данные, то есть x нулевое, игрек нулевое, игрек нулевое 1 и так далее игрек нулевое, минус 1 и разрешить полученную систему.

110: Относительно произвольных, постоянных. Ну то есть вот эта система у нас получится, когда мы подставим x нулевое, игрек нулевое, игрек нулевое 1 и так далее. Игрек нулевое, минус 1 систему 10. То есть это

111: В системе 10 заменили. Вот вырази, разрешаем эту систему относительно произвольных, постоянных, то есть находим их, находим их и, подставив найденные значения постоянных. Общее решение за

112: Данное уравнение 9. Получим искомое единственное решение игрек равно, фи от икс ц. 1 нулевое, ц, 2 нулевое и так далее. Ц энтое. Нулевое. Если же общее.

113: Значение задано в виде игрек равно игрек от икс икс нулевое, игрек нулевое и так далее. Игрек нулевое, минус 1, где x 0 фиксированное, а начальные значения игрек нулевое, игрек нулевое 1 и так далее. Игрек нулевое, минус 1.

114: Играет роль произвольных, постоянных, то оно называется общим решением в форме каши общее решение.

115: Записано в виде 9 неразрешённом относительно искомой функции игрек, то есть в виде фи, большое от икс игрек, ц, 1, ц, 2 и так далее. Цто равно нулю называется общим интегралом этого уравнения. То есть не всегда мы можем

116: Выразить игрек явно через x. Вот, ну, решение может быть записано вот в таком виде. Вот. Ну и в этом случае, если нам нужно найти зависимость игрека от x, нам нужно численно решать это уравнение.

117: При каждом значении x.

118: Следующее понятие это частное решение. Решение игрек равно игрек от икс уравнения называется частным. Если в каждой его точке сохраняется единственность решения задачи каши, то есть какую бы точку икс нулевое игрек от икс нулевое на решении.

119: Игрек равно игрек от икс мы не взяли, не существует другого решения игрек равно игрек 1 от x, которое удовлетворяло бы тем же самым начальным условием, то есть игрек 1 от x нулевое равно игрек от икс нулевое игрек 1.

120: Производная игрек 1 от x равно игрек, 1 производная игрека, точки икс нулевое, ну и так далее.

121: Понятно, что любое решение, полученное из общего решения игрек, равно фи от икс, c1, c2 и так далее. Ц. При конкретных допустимых числовых значениях, произвольных, постоянных, включая плюс минус. Бесконечность, является частным решением. Ну,

122: Плюс минус бесконечность. То есть, когда оно при этих значениях определённо, естественно, рассмотрим примеры из физики, ну,

123: Здесь вот я задачу формулирую из учебника 4. Вот. Ну, в общем то, это известная задача, она во многих учебниках общей физики рассматривается. Итак,

124: Это с начальная масса m нулевое движется вертикально вверх под действием силы отдачи от истечения газов масса м большой ракеты изменяется в зависимости от времени т. По закону мм равно feat, ну то есть по заданному закону сгора.

125: Топлива, скорость истечения газов у 0 равно константе относительно ракеты и направлена эта скорость вниз.

126: Подразумевается, что ракета находится на поверхности земли, вблизи поверхности земли, найти высоту подъёма ракеты как функцию времени t. Малая начальная скорость ракеты на поверхности земли равна бы нулевому сопротивление воздуха.

127: И изменение ускорения силы тяжести в зависимости от высоты подъёма ракеты не учитывать. Вот. То есть мы предполагаем, что ракета движется вблизи поверхности земли. Таким образом, это задача циолковского. Движение ракеты с учётом постоянной силы тяжести.

128: Решение. Сначала мы составим уравнение. По 2 закону ньютона направим ось игрек вверх, и это уравнение будет выглядеть следующим образом.

129: Чие.

130: А. Т. То есть это масса ракеты, умноженная на ускорение ракеты дв подт равно минус нулевое.

131: И с точкой а т минус g умножить на ф о т ну то есть вот эта вот у нас часть это реактивная сила, реактивная сила, а эта часть это сила тяж.

132: Сила тяжести. Ну, понятное дело, что сила, сила, реактивная сила тяжести будут направлены в разную сторону, но за счёт того, что вот эта 1 производная по времени от vi, она будет отрицательной, у нас масса уменьшается, да, вот.

133: Как я говорил, точка над i обозначает производную по времени в данном случае смысл физический этой величины это масса Газа, расходуемая за единицу времени, преобразуем это уравнение делим.

134: То бишь его на ф о т вот получаем вот такое вот уравнение с разделёнными переменными, оно легко интегрируется. Вот здесь у нас получается.

135: Скорость равна минус ж т минус нулевое на логарифм ф от т плюс константа некоторая, подставив при значении времени т равно нулю вместо ф.

136: От нуля м нулевое мы получим значение константы константа ц будет равна нулевое умножить на логарифм м нулевое плюс в нулевое. И таким образом, получим зависимость для скорости. Вот.

137: Ну а скорость это есть 1 производная координаты игрек по времени. Опять мы разделяем переменные д игрек, выражаем через функцию от времени ты над

138: Интегрируем тоже вот такой у нас интеграл общий, да, здесь, если мы не знаем конкретную зависимость, ф от времени мы интеграл оставляем в такой форме, как здесь.

139: Вот если же мы знаем и можем проинтегрировать, тогда мы интегрируем при т равном нулю. Высота подъёма игрек равно нулю. То есть мы считаем, что начало координат совпадает с начальным положением ракеты, тогда c1 равно 0. И вот мы получаем такую зависимость игрека.

140: От времени, от времени.

141: Вот, ну, в отличие от обычного, скажем, забрасывания ракеты без реактивной тяги, да, здесь появляется вот такое слагаемое, которое описывает как раз

142: Движение этой ракеты.

143: Спасибо за внимание.