0: Дифференциальные и разностные уравнения лекция 4 дифференциальные уравнения высшего порядка понижения порядка уравнения разработчик лектор хохлов Николай Александрович.
1: Учебно использованная литература это, во первых, Матвеев обыкновенные дифференциальные уравнения и 3 других учебника, которые могут быть использованы для подготовки к практическим занятиям.
2: Дифференциальные уравнения энного порядка, не содержащие искомой функции её производных до порядка н - 1 включительно.
3: Рассмотрим сначала дифференциальное уравнение следующего вида.
4: Производная энной степени игрек по x равна некоторой функции f малая от x, уравнение 1.
5: Пусть функция f от x непрерывна в интервале от a до b. Для уравнения 1 можно найти общее решение в квадратурах, последовательно понижая порядок уравнения на единицу, рассмотрим эту.
6: Процедуру.
7: Энная производная игрека по x это производная н минус 1 производная игрек по икс по иксу если она равна ф от икс, это значит, что н минус 1 производная.
8: Игрека по иксу есть интеграл от ф от икс по d икс.
9: Плюс некоторая константа продолжая эту процедуру аналогичным образом, мы получим н. Минус 2 производную игрека по иксу как 2.
10: Каждую про интегрированную функцию ф от икс по d икс плюс c1 на x плюс c2, где c1 c2 это некоторые постоянные.
11: Аналогично мы получим н. Минус 3 производную игрек по иксу как трижды проинтегрированное под икс функцию ф от икс плюс c1 умножить на икс в квадрате поделить на 2 плюс c2 на x plus.
12: C3, где c3? Это ещё 1 постоянная.
13: Также мы можем получить н. Минус 4 производную игрека по иксу, ещё раз интегрируя предыдущее выражение.
14: И у нас будет здесь 4 уже слагаемых. Ц, 1, ц, 2.
15: C3, c4, которые мы сможем определить затем из, например, начальных условий. Ну и наконец, мы получим функцию игрек н раз проинтегрировав функцию ф от икс.
16: Под x. И прибавив к ней, к этому выражению полином от x следующего вида здесь мы видим константы ц, 1, ц, 2 и так далее цн и в знаменателях.
17: У нас факториалы соответствующих степеней x. Таким образом, мы получили общее решение уравнения 1 для области x больше.
18: А меньше б, где игрек и все производные функции игрек по иксу до н минус 1 включительно ограниченные функция. Рассмотрим пример 2.
19: Производная игрека по иксу равна 8 экспонент от 2 x plus.
20: C1.
21: Проинтегрировав, мы получим 1 производную функции игрек по x, равную 4, экспоненты 2 икс плюс c1 x плюс c2 и проинтегрировав ещё раз, мы получим функцию.
22: Игрек как 2 экспоненты от 2 x плюс c1 / 2 умножить на икс в квадрате плюс c2 умножить на икс плюс c3 ну и поскольку c1 это некоторая неопределённая, здесь пока постоян.
23: Мы можем её заменить для упрощения записи на c1 и таким образом получили общее решение для всех иксов игрек равное 2 экспоненты от 2 x плюс c1 икс в квадрате плюс c2 икс плюс c3.
24: Интегрируя дифференциальное уравнение 1, можно вместо неопределённых интегралов использовать определённые интегралы с переменным верхним пределом.
25: По которому опять же в следующем интеграле будет проводиться интегрирование, беря в качестве нижнего предела любое число из интервала непрерывности функции f малое от x. Ну то есть игрек минус 1 производная у нас.
26: Равна интегралу от x нулевого до x, от ф от икс под икс плюс c1, далее интегрируем опять под x. Это выражение получаем минус 2 производную игрека и двукратный определённый интеграл.
27: С нулевого до x по d икс от ф от икс плюс c1 x плюс c2 ну c1 c2 некоторые константы неопределённые, но здесь в принципе вот в 2 нижних пределах могут стоять разные константы из интервала непрерывности.
28: Н. Минус 3 производная от игрека будет равна трехкратному интегралу от ф от икс по d икс здесь, в верхнем пределе.
29: Переменный верхний предел а в нижнем пределе может стоять в принципе не обязательно одинаковые числа x нулевые, а разные числа из интервала непрерывности и полином 2 степени от x с 3 неопределённым.
30: Коэффициентами. Опять же здесь можно вот этот c1 переопределить, убрав вот этот множитель, и, наконец, мы получим функцию игрек как н кратный определённый интеграл от x нулевого до xx под x, от ф от икс.
31: Плюс полином н минус 1 степени от x сн. Неопределёнными константами ну здесь опять же вот эти факториалы можно, в принципе внести в эти константы, то есть заменив c1, поделить на факториал.
32: На ц, 1, ц, 2 поделить, на - 2 повторял на ц, 2 и так далее. Вот. Ну, можно, в принципе, вот этот, н, кратный интеграл, интегрируя по частям.
33: Н - 1 раз привести к вот следующему интегралу, к следующему интегралу от функции f от т. Умноженное на икс минус т в степени n - 1 подт.
34: От x нулевого до x.
35: Вот со следующим множителем и опять же здесь будет н. Н. Полином степени n - 1 от x cc н. Неопределёнными константами здесь 1.
36: Слагаемое. Ну то есть во всех случаях, вообще говоря, 1 слагаемое даёт частное решение. Уравнение 1, удовлетворяющее нулевым начальным условиям. То есть 0 задачи каши игрек равно нулю. 1 производная игрека равна нулю. Н минус 1 производная.
37: Игрека по иксу равна нулю при икс равном икс нулевому рассмотрим пример 2 производная игрека равна е в степени 3 икс в квадрате правая часть непрерывна при всех x. Приняв икс нулевое равно нулю получим игрек.
38: Равно, по последней формуле интегралу от нуля до x е в степени 3 т. В квадрате умножить на икс минус т подт. Плюс c1 x плюс c2 для 0 задачи каши, то есть если игрек равно нулю.
39: И 1 производная игрека равна нулю при икс равно нулю получим игрек 1 ну то есть частное решение равно интегралу от нуля до x от е в степени 3 т. В квадрате умножить на икс минус т по дт.
40: Далее рассмотрим теперь дифференциальное уравнение, не содержащее искомой функции и последовательных первых производных таким образом, рассмотрим дифференциальное уравнение ф большое от x.
41: Кто производной игрека по иксу-ка плюс 1 производная игрека по иксу и энто производная игрека по иксу равна нулю здесь к у нас больше равно единице меньше или равно н - 1.
42: Можно здесь, очевидно, понизить порядок, введя новую функцию set, равную зет от x.
43: Положив.
44: Что Катая производная игрека по иксу равна этой функции z. Тогда k плюс 1 производная игрека по иксу равна 1 производной зет по иксу, ну и, соответственно, энтая производная игрека по иксу равна n минус катой производной зет.
45: По иксу, то есть мы вместо функции игрек вводим новую неизвестную функцию set. Использовав эту замену из уравнения 2, мы получим уравнение следующего вида. То есть у нас все производные игрека заменятся на
46: Производные z. Ну а Катая производная игрека заменится просто на функцию z. Ну считая, мы можем в принципе считать, что производная нулевого порядка от z это и есть сама функция зетта для для того, чтобы
47: Чтобы упростить обозначение таким образом, порядок дифференциального уравнения понизился на к единиц, предположим, что уравнение 4 таково, что мы можем найти его общее решение в следующем виде zzz равно фи 1.
48: От x. Ц. 1, c2 и так далее ц н минус Катая таким образом ну, если мы нашли это z как функцию от x a z. Это у нас Катая производная игрека, мы получаем уравнение.
49: Для катой производной игрека она равна фи 1 этому от x ции 1, 2 и так далее. Ц минус Катая. Мы таким образом получили дифференциальное уравнение типа 1, которое мы уже рассмотрели, то есть мы знаем, как его решать, интегрируя его, мы полу.
50: Получим общее решение уравнения. 2 в виде игрек, равно фи, от икс ц, 1, c2 и так далее. Ц, and то есть у нас появится ещё к констант, которые здесь вот мы добавили к тем, которые были введены ра.
51: Рассмотрим пример.
52: 1 из из учебника 1 пример из учебника 1, следующий пример скобка открывается 1 плюс икс в квадрате скобка закрывается, 2 производная игрека по иксу плюс 1 производная.
53: Игрека по иксу в квадрате + 1 равно нулю.
54: Мы здесь видим, что отсутствует у нас функция игрек в уравнении, поэтому мы можем производную игрека по иксу заменить на новую функцию x. Тогда мы получим уравнение дифференциальное.
55: Относительно функции z 1 порядка следующего вида скобка открывается 1 плюс икс в квадрате скобка закрывается на z штрих по икс плюс z в квадрате + 1 равно нулю в этом.
56: Уравнении мы, очевидно, можем разделить переменные, то есть перепишем его в следующем виде.
57: Поделив на
58: 1 плюс z в квадрате и поделив на 1 плюс икс в квадрате, ну и также умножив на д икс, то есть заменив зет штрих на d z по d икс, разделив переменные, последнее уравнение интегрируется.
59: Легко. То есть мы получаем арктангенс зет плюс арктангенс икс равно арктангенс некоторой константы c1.
60: Затем, пользуясь свойствами арктангенса, мы получим формулу для that that равно в числителе c1 минус икс поделить на 1 плюс c1 x. Поскольку зет это у нас 1 производная игрека по иксу мы.
61: Получаем уравнение для игрека 1 степени. Вот. Ну оно опять же легко у нас здесь переменные делятся, то есть, т игрек равно вот этой дроби умножить на д икс.
62: Вот, ну опять же мы тут интегрируем, интегрируем.
63: Значит, интегрируем мы следующим образом. Ну, сначала мы приводим эту дробь к Такому, к нормальному ввиду. То есть вот сначала константу выделяем из неё, потом во 2 слагаем
64: У нас будет ещё 1 константа, делённая на вот этот знаменатель. Ну и далее это все интегрируется. Н, получается 2 табличных интеграла. Вот мы получили функцию игрек и 2 неопределённых рассмотрим ещё 1
65: Пример из учебника 1 уравнение 3 порядка икс умножить на 3 производную игрека по иксу минус 2 производная игрека по иксу равно нулю мы видим, что здесь у нас отсутствует
66: Уравнение функция игрек y 1 производная функции игрек по иксу соответственно мы можем 2 производную игрека по иксу заменить на неизвестную функцию set получим в результате уравнение 1 степени. Относите.
67: Неизвестной функции зет икс умножить на z штрих по иксу минус z равно нулю это уравнение приводится к уравнению с разделёнными переменными, очевидно вот следующему уравнению д z.
68: Поделить на that равно д икс поделить на x. Интегрируем, получаем логарифм зет равно логарифм x плюс ц. Отсюда мы сразу получаем следующее выражение для z z.
69: Равно c1 умножить на икс, пользуясь свойством логарифма. И поскольку зет это у нас 2 производная игрека по иксу, то игрек 2 штриха по иксу равно c1 умножить на икс.
70: Интегрируем дважды. То есть это уравнение типа 1 у нас интегрируем дважды получаем функцию игрек в следующем виде.
71: Как полином 3 степени от x 3 Неизвестных константы. Ну в общем то мы можем этот факториал внести под
72: Внести в c1.
73: Таким образом, получим, что игрек равно c1 умножить на икс 3 плюс c2 умножить на икс плюс c3, где c1 c2 c3. Это некоторые неопределённые коэффициенты, которые могут быть найдены из начальных. Далее.
74: Специальное уравнение, не содержащее н независимые переменные.
75: Таким образом, рассмотрим дифференциальное уравнение следующего вида ф. Большое от игрек 1 производной игрека по иксу и так далее энтой производной игрека по иксу равно нулю порядок этого дифференци.
76: Данного уравнения можно понизить на единицу следующим образом заменим игрек штрих 1 производную игрека по иксу на новую функцию set тогда 2 производная функции игрек по иксу будет равна производной.
77: 1 производной игрека опять же по иксу. Ну, поскольку 1 производная игрека это функция z z, то мы получим d, z, по d икс, ну и.
78: Дифференцируя как производную сложной функции получим d set под ix равно d set под игрек умножить на д игрек под x. То есть мы считаем, что z это некоторая функция игрека здесь вот а д игрек под x это по определению.
79: У нас z. То есть в результате мы получили, что 2 производная игрека по иксу это производная д z, по д игрек, умноженная на функцию z.
80: Аналогично мы получим 3 производную игрека по иксу в следующем виде, то есть 3 производная это производная по иксу от 2 производной, которую мы перед этим выразили через функцию z и её.
81: Производную по игреку опять же дифференцируем как производную сложной функции, и мы видим, что эта 3 производная опять же выражается через 2 производную z по игреку 1.
82: Производную z по игреку и через саму функцию set, продолжая эту операцию. Далее мы получим энтую, производную игрека по иксу как некоторую функцию от z и произво.
83: Водные зет по игреку до н минус 1 порядка включительно.
84: Таким образом мы получим
85: Дифференциальное уравнение н. Минус 1 порядка относительно функции z, где в качестве переменной будет выступать игрек.
86: Если ну это мы видим, что у нас порядок уравнения понизился на единицу, в результате, если мы найдём общее решение этого уравнения, то мы получим функцию z как функцию.
87: От игрека и от н - 1 константы. Но поскольку зет это 1 производная игрека, то 1 производная игрека будет равна вот этой функции, фи от игрека этих н - 1 константы, это
88: Уравнение, уравнение с разделяющимися переменными очевидно, то есть мы можем записать 1 производную игрека как д игрек по d икс, перенести фи влево d x вправо и проинтегрировать в результате получим.
89: Общий интеграл, если интеграл слева берётся.
90: Мы получим некоторое уравнение, неявно выражающее зависимость игрека от икса. Ну или можно считать, что x здесь зависит от игрека. Вот, ну.
91: И если игрек выразится через x, то получим функцию игрек как функцию от x.
92: Рассмотрим ещё 1 пример из учебника 1 следующее уравнение дифференциальное 2 порядка игрек умножить на игрек 2 штриха плюс игрек штрих в квадрате равно 1.
93: При условии, что игрек больше нуля заменим игрек штрих на функцию set будем считать что z это есть функция от игрека, тогда 2 производная игрека по иксу это будет.
94: Set под игрек умножить на z. Следовательно, мы получим следующее уравнение это уравнение 1 порядка.
95: Относительно z. То есть игрек умножить на d z по д игрек умножить на z плюс z в квадрате равно 1.
96: Это уравнение может быть преобразовано следующим образом.
97: Затем переменные могут быть разделены так мы получим, то есть z на d z поделить на 1 н зет в квадрате равно д игрек на игрек, ну и это уравнение уже у нас может быть про.
98: То есть здесь мы заменим переменную, внесём зетт под знак дифференциала.
99: Введя дополнительный множитель, который сократится, если мы возьмём дифференциал здесь, да?
100: Теперь левая и правая часть легко интегрируется. Возникает у нас константа c1. Далее мы пользуемся свойствами логарифма, то есть вносим
101: Константу c1 вот в таком виде под знак логарифма. И таким образом, если логарифмы равны, то их аргументы тоже равны. Выражаем в результате функцию set через игрек.
102: Но поскольку зет это производная игрека по иксу, то мы таким образом получаем дифференциальное уравнение относительно уже игрек 1 порядка это опять же уравнение с разделяющимися.
103: Переменными разделяем эти переменные
104: Так же, как и ранее, интегрируем.
105: Получили в результате неявное уравнение, связывающее икс и игрек.
106: Рассмотрим несколько примеров из механики, приводящих к дифференциальным уравнениям 2 порядка, допускающим понижение порядка и интегрирования это примеры из учебника 4.
107: Рассмотрим.
108: 1 из самых простых случаев движения это прямолинейное движение материальной точки масса малая под действием силы большое.
109: Где сила большое зависит только от 1 из аргументов, это либо она зависит от времени, либо она зависит от скорости, либо она зависит от координаты точки.
110: Направим ось о x вдоль прямой, по которой движется материальная точка.
111: Ну, поскольку сила движется, как мы уже сказали, вдоль этой прямой прямолинейное движение, то приложенная сила, также ректирующие сила, также также направлена вдоль той же самой.
112: Прямой, а следовательно, ускорение тоже направлено вдоль неё. И дифференциальное уравнение движения имеет следующий вид. 2 закон ньютона. Да, масса умножить на d2. Икс подт дважды, то есть на ускорение, равна этой функции. Ф.
113: Начальное условие икс равно икс нулевое вв равно в нулевое при т равно т. Нулевому ну здесь у нас в это скорость x это координата итак, 1 случай, сила зависит от времени только от времени ф равно.
114: Ф от т малого т малое время опять же повторяю итак, д икс по ддт это скорость в 2 производная икс по ддт это 1 производная скорости по времени.
115: Соответственно, мы получаем уравнение 1 порядка относительно скорости м умножить на дв по дт равно ф от т. Здесь у нас легко разделяются переменные, мы получаем, что вв равно сразу мы разделяем ддт, переносим
116: Вправо. Вместе с м интегрируем, получаем зависимость для в, то есть в равно 1. Поделить на м, умножить на интеграл от нулевого до т, от ф, от тао под тау плюс c1. Ну, здесь, тао, это здесь.
117: Интегрирование.
118: Значит, далее, ну, поскольку у нас при т равном т 0 вв, равно в 0, подставив в эту формулу т равно т 0, мы получим, что 1 слагаемое у нас занулится, и, соответственно, c1.
119: Будет равно в 0, поэтому в будет равно в 0 + 1 на м умножить на интеграл от нулевого до т, от ф, от тао по дтау. Ну а в это у нас производная координаты икс по времени.
120: То есть мы получаем из последнего уравнения уравнение дифференциальное уже относительно x как функции времени 1 порядка, то есть д икс по ддт равно в 0 + 1 на м на интеграл от т. Нулевого до т. Ф. От та.
121: Пота. Здесь опять же у нас совсем легко разделяются переменные. То есть просто мы ддт переносим вправо и интегрируем опять же по дт интеграл, от в 0 по дт. Это будет просто т.
122: И здесь у нас получается двойной интеграл от т 0 до тао стильной. Вот здесь мы интегралремсервис, перед этим мы переменную интегрирования повторных интегра.
123: Обозначали одинаковые буквы, но на самом деле более точно, конечно же, вводить разные переменные интегрирования.
124: То есть, как вот здесь вот мы делаем тау и тау стильной, вот, и константа c2 у нас тут возникает, которую мы можем опять же найти из начальных условий, поскольку икс равно икс нулевому при т равно т нулевому подставляем сюда вот 1 интеграл, внеш.
125: Вместо т т 0 получаем, что вот это слагаемое с интегралом равна равно нулю ну а c2 равно икс 0 минус в 0 т 0 и таким образом мы окончательно мы получаем, что икс равно икс нулевому
126: Плюс в нулевое умножить на т минус т 0 + 1 на м на вот такой вот двойной интеграл.
127: Так, следующий случай ну опять тоже самое уравнение у нас 2 закон ньютона масса умножить на 2 производную x по времени равна силе ф икс равно икс 0 вв равно в 0 при т равно т 0 и мы.
128: Рассматриваем ещё 1 случай, когда сила зависит только от скорости. Ну, например, физически это, например, может быть сила сопротивления среды, сила сопротивления среды, вязкая сила, например, при движении
129: В жидкости или когда мы учитываем сопротивление воздуха, ну опять же d x по ддт, это в 2 производная x подт. Это дв по дт. И таким образом мы получаем вот такую формулу где здесь?
130: Правой части у нас стоит функция от скорости, и мы опять же можем разделить здесь переменные, да, то есть перенёсся теперь ф от в влево, а дт вправо. Вот мы получаем слева функцию от в
131: Справа функцию от т формально интегрируем от в 0 до в справа у нас слева у нас получается м на интеграл этот определённый от в 0 до в от do поделить на ф от u равно.
132: Это т плюс c1 c1 неопределённая константа и опять же, поскольку вв равно в 0 при т равно т 0 подставим последнее выражение вместо в в 0 получим что?
133: Выражение слева равно нулю, поэтому c1 равно минус т 0, и в результате мы получаем следующую следующее выражение м умножить на интеграл от 0 до в о д у поделить на большое туу равно.
134: Т минус т 0. Ну это пока формальная интеграл, но если мы можем взять здесь интеграл и выразить из получившегося выражения, то есть если вот это
135: Интеграл берётся, да, то мы можем и мало того, что он берётся, мы ещё должны выразить каким-то образом потом скорость в то есть если мы выразили скорость в получается как функцию
136: Времени, ну и 2 константы т 0 в 0, то мы в результате получим уравнение относительно x 1 порядка, поскольку в в скорость это d x подт, то есть d x подт равно фи а т.
137: Т 0 в 0 это уравнение опять же легко разделяется мы получаем что d xx равно фи от т т 0 в 0 на д т интегрируем по t, получаем икс равно интегралу от т 0 до т от фи.
138: He т 0 в 0 под hi плюс c2 ну, here здесь это новая переменная интегрирования.
139: Переменная координата, да, вот опять же мы знаем начальные условия икс равно икс 0 при т равно т 0 подставляем вместо т т 0. Опять же, интеграл у нас равен нулю и соответственно, c2 равно икс 0. И окончательно мы получаем тогда
140: Интеграл в виде икс равно икс 0 плюс интеграл от т 0 до т, от fi, от hi т 0 в 0 под hi. Вот, но опять же вот к Такому выражению мы сможем прийти, только если мы сможем взять вот здесь вот интеграл.
141: По дду. И если мы сможем отсюда выразить скорость в в Ином случае, если мы этого сделать не можем, то, ну в принципе мы можем численно интегрировать, численно интегрировать численными методами интегрирования.
142: Мы попозже, некоторые из которых мы рассмотрим.
143: Итак, 3 случай рассмотрим опять тоже самое уравнение. 2 закон ньютона. Масса материальной точки умножить на ускорение, то есть 2 производную x по времени равна
144: Силе ф икс равно икс 0 вв равно в 0 при т равно т 0 и в этом 3 случае сила зависит только от положения точки, от координаты икс, то есть ff равно ф от икс. Соответственно, уравнение записывается в следую.
145: Виде м умножить на d2 икс подт дважды равно ф от икс. Опять же мы здесь можем сначала сперва понизить порядок, то есть t x подт. Равно в д. 2 икс подт дважды равно дв. Подт. Или записываем.
146: Как производную сложной функции, как в умножить на дв под x. Следовательно мы получаем следующее уравнение м на в умножить на дв под ix равно ф от икс опять же здесь переменные делятся то есть.
147: Здесь в x они делятся легко получаем уравнение в на дв равно ф от икс на д икс, интегрируем, получаем мв квадрат на 2 равно интегралу от x нулевого до x ф. От here под hi, плюс константа неопределён.
148: C1 ну слева мы видим здесь мб квадрат на 2 это кинетическая энергия вот, ну а вообще говоря, справа это у нас ничто иное, как работа силы f при перемещении материальной точки от x 0 до x.
149: Вот. Далее, ну, мы знаем, что у нас имеются начальные условия б равно в 0 при икс равно икс 0 отсюда мы находим c1 равно, м, в 0 квадрат поделить на 2. Вот, и мы тогда получаем вот такое уравнение, м, в квадрат, на
150: Равно б 0 квадрат на 2 / 2 плюс интеграл от икс 0 до x, от ф, от here, поди. Ну, в котором мы, в принципе сразу видим закон изменения кинетической энергии. Ну то есть если у нас отсутствует потенциальная энергия, то вот
151: Это вот у нас кинетическая энергия в момент времени. Т. А вот эта кинетическая энергия в начальный момент времени т 0. Вот, и, соответственно, ну, если мы это влево перенесём начальную кинетическую энергию, то мы получим изменение кинетической энергии.
152: Которое будет равно работе силы ф большое. То есть вот такой физический смысл имеет вот это вот наше уравнение. Вот, ну, из этого уравнения мы можем выразить в, то есть оно квадратное уравнение. Вот, ну, мы можем в
153: Выразить.
154: Ну поскольку б это d x подт. Мы отсюда получаем, что д икс по ддт равно вот Такому корню квадратному вот здесь опять же переменные разделяются и мы можем выразить, т. Как вот интеграл от икс 0 до x. Вот.
155: Такой вот функция, где переменная интегрирования, здесь будет hi тильдой, она здесь вот у нас д, под hi стильдо. И вот здесь вот в верхнем пределе интегрирования, во 2 внутреннем интеграле, вот в котором мы
156: Плохим и у нас ещё 1 константа c2 появляется, которую мы опять же можем найти, зная начальные условия икс равно икс 0 при т равно т 0. Соответственно, заменив икс на икс 0, мы интеграл зануляем, а c2 соответственно, будет равно
157: И поэтому мы получим функцию t t свяжем с иксом вот здесь слева будет т. А справа будет x. Вот если мы интегралы сможем взять, то есть вот этот, если мы сможем взять интеграл и вот этот то.
158: Мы получим т. Как функцию x. Ну а если мы сможем выразить x, то мы получим закон движения точки x точки как икс равно икс от т. Но опять же ещё раз для этого вот эти все интегралы должны брать.
159: Если они не берутся, то мы можем в принципе оставить вот в таком виде и можем численно этот закон движения определить, рассчитать.
160: Спасибо за внимание.