0: Так, тема 1 лекции основные теоремы о производных.
1: Или основные теоремы дифференциального исчисления. Давайте так.
2: И некоторые приложения.
3: Производных.
4: Вот такая вот тема. Ну что ж, давайте в начале рассмотрим серию теорем, которые часто как раз называют основные теоремы дифференциального вычисления. Ранее, когда мы с вами говорили про непрерывную функцию, мы с вами
5: Рассматривали теорему веерштрасса, которая говорила о том, что если функция непрерывна на отрезке ab, то на нём она достигает своего наибольшего и наименьшего значения. Ну а сейчас давайте перейдём к вот этим вот теорема
6: Итак.
7: Основные теоремы.
8: Дифференциальное исчисление.
9: Ну и 1 теорема, которую мы с вами рассмотрим, теорема ролля.
10: Теорема ролля.
11: Теорема звучит так, если
12: Функция ф от икс непрерывно.
13: На отрезке ab.
14: Дифференцируемо.
15: На интервале ab.
16: И на концах отрезка принимает одинаковые значения, то есть можно записать так, что ф. От а равно ф от б.
17: То найдётся.
18: Хотя бы 1 точка.
19: Ц, принадлежащие интервалу аб.
20: Такая, что
21: Производная функции в этой точке будет равна нулю.
22: Давайте мы с вами, в принципе, все теоремы, которые назовём вот этими основными теоремами, докажем здесь все доказательства достаточно простые, но некоторые содержат такие хитрые вариации. Итак, доказательства
23: По теореме верраса.
24: Если функция f от x.
25: Непрерывно.
26: На отрезке ab.
27: То она достигает на нём своего наибольшего и наименьшего значений.
28: Давайте наибольшее значение обозначим. М большое.
29: А наименьшее обозначим м. Маленькая.
30: Соответственно, возможны 2 варианта. Итак,
31: 2 варианта возможно.
32: 1, пусть у нас, м, большое равно, м, маленькое, то есть получается, что на нашем отрезке наибольшее значение, оно же является наименьшим. Это возможно только в 1 случае наша функция ф от икс константа.
33: Которая равна м. Маленькая равна. М. Большое.
34: Но тогда.
35: Производная от функции ф от икс, равно производная от константе и равно, очевидно, нулю.
36: Причём в любой точке.
37: Хорошо, рассмотрим 2 случай, пусть у нас наибольшее значение m не равно наименьшему.
38: Тогда.
39: Наша функция достигает хотя бы 1 из значений м или м большое или маленькое во внутренней точке интервала б. Итак, тогда ф от икс.
40: Достигает м. Маленькое или. М большое во внутренней точке.
41: Интервал, а. Б. То есть, смотрите, 1 из них может прийтись на конец, да, то есть либо на точку, а либо на точку б, но 2 тогда на эту точку прийтись не может, поскольку у нас
42: М большое м. Маленькому не равно.
43: А по условию нашей теоремы ф. От а равно ф. От б. Поэтому не может быть на 1 конце маленькое, на другом м. Большое получается, что, по крайней мере 1 из них.
44: Где-то внутри вот этого вот интервала. Давайте, не теряя общности, рассмотрим, что пусть наша функция принимает значение м большое в некоторой точке ц, которая принадлежит интервалу. Аб. Итак, пусть
45: Ф. От ц. Равно м. Большое и ц. Это внутренняя точка интервала а. Б.
46: Тогда это означает, что ф от ц будет больше либо равно, чем ф от икс для любых точек, которые не равны точке ц. Давайте рас.
47: Смотрим производную в этой точке. Итак, ф штрих от ц у нас будет равно по определению производной. Это есть предел при дельта икс, стремящемся к нулю. Отношение превращения функции, которую мы с вами запи.
48: Вот так вот, поскольку у нас в точке ц, мы с вами считаем, то это будет ф от ц плюс дельта икс минус ф от ц и делённое на дельта икс.
49: Давайте рассмотрим пределы здесь слева и справа. Итак, возможно, 2 случая. Пусть
50: Дельта икс меньше нуля. То есть фактически у нас получается вот такое вот у нас точка ц и ц плюс дельта икс. Это у нас вот здесь вот то есть ц плюс дельта икс.
51: Что мы с вами получим в этом случае? Давайте посмотрим. Дело в том, что ф. От ц, это наибольшее значение на данном отрезке получается, что ф от ц плюс дельта икс, оно должно быть меньше. Давайте
52: Запишу так, так как ф от ц больше либо равно ф от икс, то числитель.
53: Меньше нуля.
54: По нашему, мы сейчас с вами рассматриваем, когда дельта икс меньше нуля, дельта икс меньше нуля. Отсюда можно сделать вывод минус на минус будет плюс. То есть получается, что ф штрих от
55: Ц больше либо равно нуля.
56: Поскольку у нас отрицательное число делится на отрицательное, 2 вариант рассмотрим.
57: Пусть теперь дельта икс больше нуля.
58: То есть у нас получается вот такая ситуация. Здесь у нас точка ц, а вот здесь у нас как раз цю плюс дельта икс.
59: Здесь у нас, видите, ц плюс дельта икс было меньше нуля. Здесь у нас вот так вот тогда что мы с вами имеем числитель.
60: Все ещё меньше нуля, но поскольку у нас ф от ц, это все равно максимальное значение, но знаменатель дельта икс больше нуля, это означает, что наша
61: Производная.
62: Плюс делённое, ой, минус делённое, на плюс это будет меньше нуля, меньше, либо равно нуля.
63: Смотрите, что мы с вами получили из того факта, что наша производная больше либо равна нуля и меньше, либо равна нуля, следует следующее наша производная не должна зависеть от того, с какой стороны мы с вами стремимся.
64: Ц. Остаётся 1 вариант. Итак, из, давайте вот это я поставлю 1 и 2 из 1 и 2. Следует, что ф. Штрих от ц. Равно нулю.
65: Что и требовалось доказать.
66: Итак, эту теорему мы с вами доказали.
67: Фактически вот геометрически теорема ролля означает, что на графике функции вот это вот игрек равно ф от икс найдётся точка, в которой касательная к графику будет параллельна оси о икс.
68: Итак, вот это у нас была с вами 1 теорема, 2 теорема теорема каши.
69: Она звучит так пусть.
70: Функция f от x, y, ж, от x.
71: Непрерывная.
72: На отрезке ab.
73: Дифференцируемы.
74: На интервале ab.
75: Причём?
76: Функция же от икс не не же штрих от x не равна нулю во всех точках.
77: Интервал а. Б.
78: Тогда.
79: Найдётся.
80: По крайней мере 1 точка.
81: Ц из интервала а. Б.
82: Такая, что
83: Будет выполняться следующее неравенство.
84: Ф от б минус ф от а делённое на ж от б минус ж от a будет равно ф штрих от ц делённое на жэ штрих от ц.
85: Так, ну что ж, докажем эту теорему.
86: В начале давайте заметим, что у нас же от б минус ж от, а не равно нулю. Почему так? Потому что в противном случае
87: По теореме ролля.
88: Ж. Штрих ац будет равно нулю, а у нас, по нашему условию, производная не равна нулю во всех точках интервала б. То есть получается, что они нулю не равны.
89: Давайте введём вспомогательную функцию.
90: Введём вспомогательную функцию.
91: Я обозначу ф большое от x y функцию построю так смотрите, смотрим на то, что мы с вами должны будем доказать и в начале я пишу числитель, но вместо б использую x.
92: То есть у нас будет ф от икс минус ф от а.
93: Дальше ставлю минус и полностью переписываю нашу вот эту вот левую часть здесь уже ничего не заменяя ф от б минус ф от а делённое на ж от б минус же.
94: А и теперь умножаю вот эту дробь на знаменатель, в котором я опять вместо б ставлю x.
95: То есть жэ от икс минус жэ от а.
96: Так, смотрите ещё раз вспомогательная функция строится. Так смотрим на ту дробь, что у нас в условии теоремы слева пишем числитель.
97: Справа пишем знаменатель, заменяя b на x. Перед знаменателем ставим коэффициент минус то, что мы с вами получаем слева саму вот эту дробь.
98: Давайте рассмотрим эту функцию, что мы про неё можем выяснить. Итак, функция ф от икс, вот эта введённая нами вспомогательная функция, она удовлетворяет условиям теоремы роэля.
99: То есть, смотрите, эта функция непрерывна на отрезке ab как сумма непрерывных функций, это числовой коэффициент. Видите, у нас получается сумма непрерывных функций, она дифференцируема на enter.
100: По тому же самому оо, как сумма дифференцируемых функций. Давайте покажем, что она на концах отрезка принимает одинаковые значения. Итак, я найду. Давайте сейчас я это запишу. Итак.
101: Непрерывно.
102: Как сумма?
103: Непрерывных функций.
104: Дифференцируемо.
105: Как сумма?
106: Дифференцируемых функций.
107: Покажем, что ф от а равно ф от б. Итак, найдём ф от а ф от а равно.
108: Итак, подставляю вместо x а и у нас получается здесь 0, здесь тоже 0, ну, умножается на 0, получится 0, значит, получается 0 найдём ф от б.
109: Итак, здесь я даже распишу будет у нас ф от б минус ф от а минус дробь ф от б минус ф от а делённое на ж от б минус ж от а.
110: Умноженное на жэ от б минус жэ от а сокращаем вот здесь вот и смотрите, что у нас получилось ф от б минус ф от а минус ф от б минус ф от а.
111: Тоже 0.
112: Итак, вот мы с вами показали, что наша вспомогательная функция удовлетворяет условиям теоремы ролля. Тогда получается, что итак, следовательно, существует
113: Такая точка ц, принадлежащая интервалу аб.
114: Что ф штрих от ц равно нулю. Ну что ж, давайте найду производную от нашей функции. Итак, ф штрих от икс будет равно.
115: Это у нас будет производная ф. Малая от x.
116: Вот это у нас постоянное число, производная постоянной 0. Здесь я тоже могу рассмотреть по формуле производной. Причём вот это вот у нас будет коэффициент постоянный, который выносится за знак производной. Здесь у нас
117: Сумма это у нас функция производная, от неё будет же штрих от икс, а производная от же, от, а как производная от любого числа это тоже 0. То есть тогда мы с вами получим следующее. Минус коэффициент ф от б минус ф от а.
118: Делённое на ж от б минус ж от а и умножить на ж штрих от икс.
119: Хорошо, теперь я подставлю вот это вот условие, то есть вместо x подставим ц, и тогда наша производная должна стать равная нулю. Итак, так как
120: Ф штрих от ц равно нулю то получим, что 0 будет равен ф штрих от ц минус ф от б минус ф от а делённое на ж от б минус ж от а.
121: Умножить на ж штрих а. Ц.
122: Ну, отсюда выразим, чему равен вот этот коэффициент переносим влево с противоположным знаком и делим на ж штрих от ц. Так отсюда получится, что ф от б минус ф от а делённое на.
123: Ж от б минус ж от а есть ф. Штрих от ц делённое на ж. Штрих от ц. Что и требовалось доказать эта теорема тоже доказана.
124: Ну что ж, и последняя теорема в этой серии, которая доказывается очень легко теперь уже
125: Это теорема лагранжа.
126: Теорема лагранжа.
127: Теорема звучит так, если функция f от x непрерывна.
128: На отрезке ab.
129: Дифференцируемо.
130: На интервале ab.
131: То найдётся.
132: Хотя бы 1.
133: Точка ц, принадлежащая интервалу, аб такая, что
134: Выполняет следующее равенство.
135: Ф от б минус ф от a будет равно ф штрих от ц умноженное на б минус а.
136: Доказательство здесь очень и очень простое. Теперь, после теоремы каши, так, доказательство
137: В теореме каши.
138: Возьмём.
139: Функцию ж от икс равно икс тогда.
140: В теореме каши у нас есть следующее что ф от б минус ф от а делённое на ж от б минус ж от а это есть ф штрих от ц делённое на жэ.
141: 3 подставим сюда нашу функцию, получим.
142: Ф от б минус ф от, а наша функция же от икс равно икс, поэтому, когда мы с вами подставим туда, б ж от b будет равно б, соответственно ж от a будет равно, а равно.
143: Ф. Штрих оо ц делённая производная от функции ж при любом икс будет равна единице, как производная от x. Ну и отсюда следует то, что нам требовалось доказать итак, ф от б.
144: Минус ф от а равно ф штрих от ц умноженное на б минус а что и требовалось доказать.
145: Полученная вот эта вот формула её называют формулой лагранжа, или формулой о конечном превращении, то есть превращение дифференцируемой функции на отрезке ab, равно превращению.
146: Аргумента умножен на значение производной функции в некоторой внутренней точке этого отрезка. Вот схематично это можно показать следующим образом. Пусть у нас есть система координат
147: Пусть есть график некоторой непрерывной дифференцируемой функции, рассмотрим некоторое превращение.
148: Этой функции. Вот у нас 2 каких-то точки, а и б.
149: Соответственно, если мы с вами опустим перпендикуляры
150: То это у нас будет ф от, а это у нас будет ф от б, вот нам превращение функции ф от б минус ф от а.
151: Вот, соответственно, найдётся некоторая точка ц здесь вот у нас какая-то, мы с вами получим вот так.
152: Касательную здесь не совсем у меня красиво получается.
153: Так, здесь давайте у нас будет точка, а здесь будет точка б.
154: Вот это у нас, соответственно, превращение аргумента.
155: Вот.
156: Соответственно, ф штрих оо ц у нас. Давайте точка ц.
157: Итак, ф. Штрих оо ц. Это угловой коэффициент касательной.
158: Ну и геометрический смысл теоремы тьфу блин, теоремы лагранжа таков на графике функции игрек равно от x найдётся точка ц, в которой касательной графику функции, параллельно секущей ab ну вот то что вы.
159: Сейчас видите на картинке.
160: Из этой теоремы можно получить некоторые следствия.
161: Так, следствие 1.
162: Если.
163: Производная.
164: Равна нулю.
165: На некотором промежутке.
166: То функция на нём.
167: Постоянно.
168: Очевидное следствие.
169: 2 следствие.
170: Если.
171: На некотором промежутке.
172: 2 функции.
173: Имеют одинаковые производные.
174: То они отличаются друг от друга.
175: На постоянное слагаемое.
176: Ну что ж, вот мы с вами записали ту серию теорем, которую называют основные теоремы дифференциального вычисления.
177: Чтоб немножко передохнули. Давайте расскажу вам небольшую историю про нашего известного академика ландау.
178: Говорят, что ландау был большим любителем женщин, и когда он вот давал основные теоремы дифференциального исчисления студентам, вот он придумал ещё 1 теорему теорема.
179: Такая можно не записывать сейчас итак, функция обозна, пусть функция f от x это внешняя привлекательность женщины.
180: В зависимости от расстояния.
181: Очевидно, что эта функция удовлетворяет условиям теоремы ролля. Да, давайте проверим, что на концах она принимает одинаковые значения. Ну,
182: Поскольку это внешняя привлекательность женщины, то очевидно, что ф. От нуля равно нулю, поскольку если вы расстояние 0, то вы упрётесь прямо в предмет, то ничего просто не видно с другой стороны ф. От бесконечности, ну или на са.
183: На самом деле просто возьмите большое расстояние, тоже равно нулю, поскольку тоже опять ничего не видно. Вот мы с вами рассматриваем, скажем так, нормальный вариант, когда эта функция у нас не отрицательна.
184: Вот. Итак, эта функция удовлетворяет условиям теоремы ролля. Согласно теореме, найдётся
185: Такая точка ц, принадлежащая интервалу, аб такая, что ф штрих оо ц равно нулю. Поскольку наша функция неотрицательна, то мы с вами получим, что это точка максимума.
186: Вот, ну и дальше он делает вывод.
187: Для каждой женщины существует, вернее, как существует расстояние, с которой привлекательность женщины максимальна для каждой женщины это расстояние своё, ну и дальше он делает вывод, что от женщин нужно держаться на расстоянии.
188: Да, вот такая вот теорема.
189: Кстати, он же придумал ещё формулу для оценки женской привлекательности интересует.
190: Ну вот, мнения разделились.
191: Ну ладно.
192: Давайте тогда не будем. Вот, хотя, знаете,
193: Давал вот, вот эту формулу, и кто-то из ребят полез в интернет и подставил, ну, нашёл данные Ким кардашьян поставил, так говорит, ну ладно, говорит, на четверочку, так она тянет, а кто-то из
194: Не свои параметры стал подставлять. В общем, оценка по ландау женской привлекательности у парня оказалась на троечку. Вот я сказал, ну, слава Богу, если б на 5 бы было б гораздо веселее.
195: Да.
196: Ну ладно, так, тогда давайте продолжим. Итак, вот мы с вами разобрали основные теоремы дифференциального исчисления. Теперь давайте разберёмся с некоторыми приложениями произво.
197: Водных, которые мы с вами будем потом использовать в дальнейшем. Итак, следующий подзаголовок некоторые приложения производных
198: Некоторые приложения производных
199: Ну и начнём мы с вами с знаменитых.
200: Теорем, которыми вы наверняка пытались пользоваться, это правило лапиталя. Так, теорема.
201: Правила лапиталя.
202: На самом деле это у нас фактически 4 теоремы. Ну, давайте из этих 4 мы с вами докажем только 1 для остальных доказательств, собственно говоря, похоже.
203: Вот, ну и теорема звучит так. Итак, пусть, давайте вот сейчас распишем ту теорему, которую мы с вами будем доказывать, а потом рассмотрим, какие ещё 3 здесь можно сформулировать.
204: Итак, пусть.
205: Функция ф от икс и жэ от x непрерывная.
206: И дифференцируемо.
207: В окрестности.
208: Некоторые точки икс нулевое и пусть
209: Ф от икс нулевое равно ж от x нулевое и равно нулю, то есть получается, что в самой этой точке они обращаются в 0 пусть.
210: Ж штрих от икс.
211: Не равно нулю в окрестности.
212: Точка икс нулевое.
213: Тогда.
214: Если существует.
215: Предел.
216: Вот такой вот предел при x стремящемся к икс нулевому ф штрих от икс ж штрих от икс.
217: То ну и собственно, вот оно правило питали предел функции ф от икс к ж от икс при икс, стремящемся к икс нулевому, равен пределу отношения их производных ф штрих.
218: От икс делённое на ж. Штрих, от икс при икс стремящемся к икс нулевому.
219: Давайте докажем эту теорему. Доказательство есть весьма простое.
220: Так, доказательства. Давайте рассмотрим отношение. Ну, предел отношения, которые мы с вами должны получить, предел при x, стремящемся к икс нулевому ф от икс, делённое на ж. От x, поскольку.
221: По условию теоремы ф от икс 0 и жэ от x нулевое равно нулю то я могу отнять от числителя ф от икс нулевое, а от знаменателя ж от x нулевое, поскольку это нули, это ничего.
222: Поменяет.
223: Итак, это будет ф от икс минус ф от икс нулевое жэ от икс минус жэ от x нулевое итак, и 1 и 2 у нас равны нулю, поэтому ничего не поменялось.
224: Но тогда смотрите, мы с вами получили, что вот эта часть
225: Это левая часть в теореме каши. Вот она.
226: Давайте я запишу так равно немножко не так здесь напишу по теореме каши.
227: Мы с вами получим предел.
228: При x. Стремящемся к икс нулевому ф. Штрих оо ц делённое на ж. Штрих от ц, где ц. Принадлежит интервалу от x до x нулевое.
229: Теперь осталось рассмотреть ещё 1 момент смотрите, у нас неважно с какой стороны все это, но у нас получается вот такая картинка здесь у нас где-то x. Здесь у нас икс нулевое н а здесь у нас точка ц, причём у нас x стремится к икс нулевому
230: Скажите, пожалуйста, если x стремится к икс нулевому а. Ц между ix и x нулевым ц к чему будет стремиться?
231: Очевидно, что и ц тогда будет стремиться к икс нулевому. Совершенно верно. Поэтому вот здесь вот давайте я запишу.
232: Так как x стремится к икс нулевому, ну а наша точка ц принадлежит этому интервалу.
233: Отсюда следует, что и ц стремится к икс нулевому тогда.
234: Я могу это записать в следующем виде вот это ц я могу заменить на x, поскольку также будет стремиться к икс нулевому. Ц стремится к икс нулевому, икс стремится к икс нулевому, тогда я просто вот это ц.
235: Заменю на x. Она также стремится к икс нулевому мы с вами получим предел.
236: Ф. Штрих от икс даже не на x 0 на x ж. Штрих от икс при икс, стремящемся к икс нулевому, что и требовалось доказать.
237: Итак, вот мы с вами рассмотрели предел, который у нас служит для раскрытия неопределённости вида 0, делённое на 0 при x стремящемся к икс нулевому. Есть ещё варианты неопределённость вида 0 на 0 при.
238: Стремящимся к бесконечности бесконечность, делённая на бесконечность при x стремящемся к икс нулевому, ну и, наконец, бесконечность, делённая на бесконечность при x стремящемся к бесконечности вот они, 4 теоремы.
239: Вот это вот мы с вами доказали выше. Ну, остальные аналогично.
240: Итак, вот мы с вами рассмотрели вот это правило. Собственно, давайте рассмотрим теперь примеры, как можно применять правило лопиталя. Ну давайте в начале рассмотрю простой пример, который
241: Возможно, мы с вами когда-то встречали так 2 икс квадрат + 3 икс + 4, делённое на 3 икс квадрат + 6 икс - 5 при x стремящемся к бесконечности. Итак, мы
242: С вами получаем неопределённость вида, бесконечность, делённая на бесконечность. То есть можно применять правила питали дифференцируем. Числитель и знаменатель отдельно. Итак, производная числителя будет 4 икс + 3, делённое на 6 икс + 6 все ещё.
243: Имеем неопределённость вида бесконечность, делённая на бесконечность ещё раз применяем правило питали получаем предел при x, стремящемся к бесконечности 4/6, сокращаем ответ 2/3.
244: Итак, вот мы с вами раскрыли эту неопределённость, но здесь, как видите, правило, питали, на самом деле работает даже сильно дольше, чем тот метод, который мы с вами разбирали ранее, напоминаю я вам.
245: Раньше говорил, что можно оставлять, когда x стремится к бесконечности, только максимальные степени. То есть вот это вычёркиваем на икс квадрат, сокращаем, получаем ответ. Видите, по правилу питали, пришлось целую строку расписывать. Вот, а
246: Без него ответ получался устно.
247: Давайте рассмотрим ещё 1 простенький примерчик вот после чего рассмотрим несколько более серьёзные так рассмотрим предел при x, стремящемся к нулю синус, допустим, 2 x.
248: Делённое на 3 икс.
249: Итак, если мы с вами подставим 0, у нас будет неопределённость вида 0, делённое на 0. То есть можно применять правила лапиталя. Получим предел при стремящемся к нулю. Берём производную. Производная от числителя это сложная функция. 1 действие это
250: Умножение 2 икс производная от 2 x, будет 2 2 действие это у нас синус производная от синуса будет косинус аргумент не меняется производная знаменателя производная от 3 x это 3 теперь подставляя.
251: Вместо x 0 косинус нуля это единица, ответ 2/3.
252: Напоминаю, можно было решать через эквивалентные бесконечно малые, поскольку здесь аргумент стремится к нулю и тогда синус 2 икс просто заменяем на 2 икс, на икс сокращаем ответ 2/3. Так мы с вами решали ранее. Вот.
253: Но некоторые примеры решаются по правилу питали, конечно, проще, чем те, которые мы бы с вами могли решить иным способом. Теперь давайте рассмотрим чуть более
254: Сложный пример так, предел при x, стремящемся к единице икс - 1, делённое на, допустим, x ln x. Если мы с вами подставим сверху, у нас получается 0 снизу, из за логарифма.
255: Тоже 0.
256: Применяем правило питали.
257: Итак, сверху берём производную. У нас получилась единица снизу. У нас произведение 2 функций по формуле производной произведения. Производная 1 это единица умножить на 2, на логарифм икс дальше плюс 1 функция икс умножить на производную.
258: 2 производная от логарифма это единица на x. Теперь подставляем.
259: Ответ единица.
260: Мы бы могли здесь решать через эквивалентные бесконечно малые, сделав замену переменной ттт равно икс - 1, чтоб у нас наш аргумент стремился к нулю, тогда для логарифма сработали бы эквивалентные бесконечно малые и, собственно ответ.
261: Такой же мы с вами получили, но только уже дольше.
262: Вот, значит, что ещё? Запишите, пожалуйста, важный момент. Правило лапиталя.
263: Так, ну во первых, прежде чем начнём, я хочу обратить ваше внимание. Вот на что. Дело в том, что правило питаля можно использовать для раскрытия вот таких вот неопределённостей. Если у вас неопределённости другого вида, то использовать правило лапиталя.
264: В лоб нельзя. Вот только если у вас неопределённость вида 0, делённая на 0 или бесконечность, делённая на бесконечность. Только в этом случае вот типовая ошибка студентов такая встретили какую-нибудь неопределённость, неважно какая там
265: Функция получилась сразу использовать правило лапиталя, да, то есть неопределённость единица в степени бесконечность по правилу лапиталя производную берём. И все это неправильно только для вот таких вот видов. Поэтому смотрите, правило лапиталя
266: Можно использовать.
267: Для неопределённостей.
268: Вида.
269: 0 делённое на 0 и бесконечность, делённая на бесконечность непосредственно.
270: А для неопределённостей?
271: Вида.
272: Ну, давайте поставлю двоеточие, и мы с вами рассмотрим, как сводить другие виды неопределённости к тем, что мы с вами можем использовать. Так, давайте 1.
273: 0 умножить на бесконечность.
274: Что мы с вами должны сделать? Мы должны свести её к неопределённости вида 0, делённое на 0 или бесконечность, делённая на бесконечность. Давайте рассмотрим, как это сделать. Здесь возможно, 2 варианта. Либо мы записываем вот в таком виде.
275: 0 делённое на единица, делённая на бесконечность. И тогда нам вот это вот
276: Даёт 0. Либо мы с вами расписываем в виде бесконечность, делённая на единица, делённая на 0. И тогда вот это вот нам даёт бесконечность. То есть мы с вами сводим
277: Неопределённость вида 0, делённое на 0, а здесь у нас бесконечность, делённая на бесконечность вот схема решения.
278: 2.
279: Неопределённость вида, бесконечность. Давайте так. 1 минус бесконечность. 2 схема здесь будет такая. Мы расписываем наши неопределённости. Вот так вот это единица, делённая на единиц.
280: Делённая на бесконечность 1 минус единица, делённая на единица, делённая на бесконечность 2.
281: Вот эти вот мы с вами рассматриваем как некоторые
282: Выражение и дальше приводим к общему знаменателю у нас получается единица, делённая на бесконечность, 2 минус единица, делённая на бесконечность, 1 делённая на единица, делённая на бесконечность, 1 умножить на единиц.
283: Делённая на бесконечность 2 единица, делённая на бесконечность, это 0. То есть мы с вами получили неопределённость вида 0 на 0. Вспомните, 6 класс, да, что значит поделить на дробь, значит умножить на перевёрнутую. Поэтому
284: Единица, делённая на единица, делённая на бесконечность. Это есть единица умноженная. Переворачиваем на бесконечность первых. То есть бесконечность. Я только единственное в обратную сторону сейчас прокрутил. Понятно, вань?
285: Угу. Так, итак, вот такой вот вид, неопределённость мы с вами разобрали. Как решать, да?
286: Дальше аж 3 вида неопределённости. Вместе можно рассмотреть это неопределённости вида единица в степени бесконечность, то есть наш 2 замечательный предел или единиц бесконечность в степени 0. Ещё 1 вид.
287: Определённости, с которой мы с вами раньше, ну, может, случайно встречались, но не работали и 0 в степени 0.
288: Значит, запомните 0 в степени 0 это неопределённость. Просто некоторые сразу говорят, что это единица не факт, не факт. Так вот, избавляемся от этих неопределённостей по следующей.
289: Формуле. Итак, основная идея такая. Мы с вами рассматриваем, рассматриваем. Нет, к сожалению, это ещё 1 вид неопределённости.
290: Тут смотрите, вот, вань, даже можно рассмотреть следующее.
291: Бесконечность. Ну давайте так даже оттолкнёмся вот от чего. Вот почему бесконечность в степени 0, в степени 0. Это не единица. Ещё раз говорю, это неопределённость.
292: Вот, и сейчас мы с вами посмотрим, что там может получаться. Почему бесконечность степени 0. Нельзя сразу сказать, что это единица. Дело в том, что помните,
293: Так как бы проще объяснить.
294: Если мы с вами бесконечность будем возводить в какую-то степень не прям 0. Дело в том, что это ж стремится к нулю, а вот не нулевую степень чуть больше, то бесконечность в любой степени будет.
295: Получаться бесконечность, да, вот, с другой стороны, как бы любое число, кроме нуля, в 0 степени это единица. Поэтому вопрос, что перевесит, что вот это все-таки вернее, как, что вот это все-таки число не 0, а
296: Стремящееся к нулю. И тогда на выходе мы можем получить бесконечность или что все-таки это число очень близкое к нулю, и тогда мы получим единицу, а на самом деле мы просто можем получить какое-то промежуточное значение между бесконечностью и единицей.
297: Сейчас увидите, рассмотрим. Вам врали, вам много чего в школе врали. Итак, 0 в степени 0 не единица, бесконечность в степени 0, не единица и единица в степени бесконечности. Это тоже не единица.
298: Это все неопределённости, которые надо раскрывать и что там получится, вы заранее никогда не знаете. Вот. Итак, давайте рассмотрим, почему вот сейчас уже чёткий вывод. То есть вам, наверное, не доказывали, что это r.
299: Единицы сказали, просто запомни, что вот это вот равно единице. Да, на самом деле не факт. Итак, рассмотрим. Ф от икс, в степени ж от x. Это можно рассмотреть как е в степени на
300: Логарифм от ф. От икс, в степени ж от x.
301: По свойству натуральных логарифмов, мы ж от x выносим вперёд. Итак, получается, а давайте, знаете, как я эту формулу, наверное, лучше вот сюда вот перенесу, чтоб более красиво было. Вот.
302: Итак, это будет равно е в степени ж от икс, умноженное на ln, от ф от икс. И здесь мы с вами получили, что для вот этой вот для вот этого выражения мы с вами имеем.
303: Либо сразу неопределённость вида, бесконечность, делённая на бесконечность, либо сразу получим 0, делённое на 0, либо мы с вами получим 0, умноженное на бесконечность, которую мы с вами знаем, как сводить.
304: К рассматриваемым видам неопределённостей.
305: Итак, вот алгоритм наших с вами действий. Ну и предлагаю теперь рассмотреть, собственно, какой-нибудь пример. Ну, я думаю, что, скорее всего, стоит рассмотреть пример на последние. Правильно. Итак,
306: Единица в степени бесконечность. Мы, наверное, с вами уже решали, поэтому я думаю, что это не сильно интересно. Давайте рассмотрим пример. Вот такой предел. Нет, если хотите, можно рассмотреть как 2 замечательный предел мы с вами можем посчитать по
307: Правила петалии. Ну, я думаю, давайте вот такое рассмотрим.
308: Итак, если мы с вами подставим, то единица, делённая на 0. Это у нас получается бесконечность, тангенс нуля это 0. Вот она, неопределённость вида, бесконечность в степени 0. Давайте применим нашу формулу. Итак, это получится.
309: Предел при x, стремящемся к нулю, будет е в степени натуральный логарифм от единица, делённая на икс в степени тангенс икс.
310: Теперь я тангенс киину вперёд. Ну и, кстати говоря, вот это вот можно рассмотреть как икс минус 1 степени. Давайте я сразу помечу. Итак, вот это вот это у нас есть икс минус 1 степени, поэтому я минус тангенс.
311: Выкину вперёд так получится предел при x стремящемся к нулю минус тангенс икс умножить на ln x е. В степени забыл секундочку.
312: Сейчас сдвину.
313: Теперь давайте посмотрим, что у нас получилось. Дело в том, что тангенс нуля это у нас 0 логарифм нуля, это бесконечность. Так у нас неопределённость вида 0 умножить на бесконечность. Соответственно, сейчас я должен свести её.
314: Неопределённость вида 0 * 0 или бесконечность делённая на бесконечность небольшая подсказка в подавляющем большинстве случаев если у вас есть логарифм, его стоит оставить сверху, а вот другие функции опустить вниз.
315: 3 этажом или как там ещё. Итак, тогда это будет так уже места не хватает.
316: Это будет следующее.
317: Предел при x, стремящемся к нулю e в степени, значит, логарифм икс оставляю сверху, а тангенс опустим так, единица делённая на тангенс, икс ну, единица, делённая на тангенс, это у нас катангенс, то есть мы.
318: С вами получим предел при x, стремящемся к нулю e в степени минус сверху у нас логарифм икс, снизу катангенс икс. Теперь, если мы с вами подставим 0, то логарифм нуля это у нас.
319: Будет 0, не 0. Бесконечность. Катангенс нуля это тоже бесконечность. Итак, вот теперь для вот этой части у нас неопределённость. Бесконечность, делённая на бесконечность. Можно применять правило
320: Питали, кстати говоря, для непрерывной функции. Предел у нас может переехать сюда. Поэтому если хотите, можно написать е в степени предел и тогда прям явно видно, для чего мы с вами применяем правило питали. Давайте я это запишу.
321: Итак, поскольку экспонента у нас функция непрерывная, то у нас с вами была вот такая теорема, значит, если ф от икс непрерывно, то предел ф от икс есть ф.
322: От lim x вот такая, может быть же от икс было, не помню, уже не суть важно.
323: Итак, воспользуемся вот этим, и я распишу тогда вот так вот итак, получится е в степени предел при x стремящемся к нулю минус лн икс, делённое на катангенс икс применим.
324: Правило питаля получим е в степени предел.
325: При x. Стремящемся к нулю, производная от натурального логарифма, это единица, делённая на икс, производная от катангенса минус единица, делённая на синус, квадрат, икс, избавлюсь от четырехэта.
326: Важно дроби получится е в степени предел при x, стремящемся к нулю минус на минус даст нам плюс дальше эту дробь переворачиваем то есть у нас получается синус квадрат, икс, делённое на икс все ещё.
327: Неопределённость, но, правда, теперь неопределённость вида 0 делённое на 0 я ещё раз применю правило лапиталя.
328: Получится е в степени предел при x, стремящемся к нулю находим производную числителя производная от синуса это у нас будет косинус производная от квадрата, это, соответственно будет 2 синус икс.
329: Производная знаменателя, это будет единица. Подставляем, получается, её в 0, то есть единица.
330: Решили.
331: Здесь мог получиться и совершенно другой ответ если бы у нас был какой-то коэффициент в тангенсе, ну, не в тангенсе, скорее вот здесь вот если было не единица на x, а единица на 3 x, ответ был бы совершён.
332: Другим мог бы получиться или там какой-то коэффициент, там ещё что-нибудь. Не факт, что единица.
333: Соответственно, когда вы встречаете неопределённости вот таких видов, вот такую формулу применяете. Дальше можно применять правила питали. Так, ещё 1.
334: 1 небольшое замечание как работать с правилом лапиталя.
335: Это уже, скажем так, от меня замечание по решению пределов так, замечания.
336: При применении.
337: Правило лапиталя.
338: Следует использовать.
339: Свойства пределов.
340: Что предел произведения 2 функций.
341: Есть произведение пределов.
342: И что предел частного 2 функций это частное предел.
343: Дело в том, что в ряде случаев вы можете получить такие замороченные пределы, что если вы в лоб будете использовать правила питаля, у вас настолько сильно удлинятся вычисления, что просто будет нечто.
344: Абсолютно неудобоваримая.
345: Вот, поэтому имеет смысл там разбивать на какие-то части и уже для этих частей применять правила выпитали. Ну давайте попробуем рассмотреть предел.
346: Так, давайте вот предел при x стремящемся к нулю, допустим так логарифм от ark синуса 5 икс, делённое на логарифм.
347: От арксинуса 9 икс.
348: На самом деле, если мы с вами подставим сейчас арксинус нуля, это будет 0 логарифм нуля. Это бесконечность. Значит, сверху у нас бесконечность и снизу бесконечность. У нас неопределённость вида бесконечность, делённая на бесконечность. Можно
349: Сразу применять правило лопиталя. Ну что ж, давайте попробуем предел при стремящемся к нулю. Здесь у нас получается сложная функция и в числителе и знаменателе 3
350: Уровня вложения. Ну, я для числителя поставлю действие, это 1 действие, это 2, это 3. Находим производную по числителю, производная по 1 действию. Это у нас будет 5 производная, по 2 действию от арксинус это единица.
351: Делённое на корень квадратный из единица - 5 икс и все это в квадрате.
352: Так, производная от по 3 действию от логарифма единица, делённая на арксинус 5 x. Знаменатель, очевидно, будет аналогичным значит, будет 9 умножить на единицу делённое.
353: На корень квадратный из единицы - 9 икс в квадрате умножить на производная от логарифма единица, делённая на арк синус 9 икс. Если мы с вами сейчас
354: Подставим сюда 0. Все ещё будет неопределённость вида, бесконечность, делённая на бесконечность, поскольку вот этот вот арксинус даст нам 0. Итак, здесь у нас бесконечность и здесь бесконечность. Но дело в том, что тут часть
355: Замечательно считается и неопределённость у нас только вот в этой части остаётся. Поэтому я разобью данный предел на 2 вот эту часть я просто вычислю, а оставлю только 2.
356: Часть, где у меня неопределённость так получим предел при x стремящемся к нулю я даже сейчас не буду че то там переворачивать или ещё что-то я так и запишу 5 умножить на единица, делённая на корень квадратный из единицы - 5 икс.
357: В квадрате я бы, конечно устно посчитал, но я просто сейчас хочу показать вам решение так 9 умножить на единицу, делённое на корень квадратный из единицы - 9 икс в квадрате умножить на предел при x стремящемся к нулю здесь давайте избавим.
358: От четырехэтажной дроби, то есть у нас получится арк синус 9 икс пойдёт наверх, делённое на арк синус 5 x. Это у нас будет стоять в знаменателе.
359: 1 предел можно посчитать, если мы подставим 0, то у нас вот здесь вот получится единица и здесь получится единица. То есть 1 предел у нас просто 5/9.
360: А вот для 2 это у нас неопределённость вида 0 на 0 мы можем применить правило лопиталя итак, применяем, получится предел при x, стремящемся к нулю здесь у нас сложная функция 2 уровня вложения.
361: Производная по 1 действию 9, производная по 2 корень квадратный единица - 9 икс в квадрате, делённая снизу, соответственно, будет аналогично 5 делённое на корень квадратный из единицы - 5 икс в квадрате теперь.
362: Оставляем 0. Все нормально. Значит, 5/9 * 9/5 ответ единица.
363: Если б мы с вами не разбивали данный предел на 2 to, смотрите, какая бы производная была вот от этой вот функции. Вы представляете, как весело было бы считать, но это было бы немножко.
364: Похоже на убийство какое-то. И даже если б мы с вами избавились от четырехэтажной дроби, считали бы производную только от этой. Ну да, конечно, легче было бы, но тоже бы не сильно приятно. Поэтому вот я говорю, в
365: Когда у вас какие-то замороченные пределы справила, питали, разбивайте пример на части и работайте уже с конкретными частями вот этого вот примера.
366: Так есть ли какие-нибудь вопросы у вас?
367: Ну, раз вопросов нет, то давайте рассмотрим ещё 1 пример. Я просто не хочу сейчас новую тему начинать. Лучше сегодня на 2 паре начнём. Давайте.
368: Добьём правило лопиталя. Итак, рассмотрим вот такой пример. Ещё предел при x, стремящемся, ну, допустим,
369: Вот это вопрос, Егор, достаточно сложный. На самом деле. Тут больше зависит от тех указаний, которые вам даст преподаватель. То есть, например,
370: Ну, тот, кто семинары будет вести, например, я когда веду семинары, когда нужно отработать другие методы, кроме правила лапиталя, я ребятам просто официально запрещаю пользоваться правилом лапиталя Делов.
371: Том, что часто им, конечно, получается считать проще, но вы должны усвоить и другие методы. Поэтому, если преподаватель запрещает, соответственно, правилам выпитали, не пользуемся. Если запрета нет, то тут просто смотри.
372: Обычно я сам для себя работаю так если можно применить эквивалентные бесконечно малые. Вот или 2 замечательный предел, то я использую их, поскольку это обычно в разы быстрее.
373: Чем что-то другое. Если эквивалентно бесконечно малое применить нельзя и какая-нибудь фигня получается, то тогда можно применять правило лапиталя. Ну, например, как можно было бы действовать здесь?
374: На самом деле, я б, конечно, сразу бы так не делал это. Сейчас я сразу показываю, как считать по правилу питали, но у нас можно было б, наверное, применить, здесь сразу эквивалентны.
375: Конечно, мало заменить арксинус 5 x просто на 5, икс арксинус 9 икс на 9 x. Вот дальше в принципе можно попытаться подействовать, хотя на самом деле здесь будьте аккуратны.
376: Вот с эквивалентом бесконечно мало. Там есть, конечно, подводные камни, когда их можно использовать, когда нельзя. Вот. Поэтому вот здесь на самом деле, может я и не
377: Не совсем правильно вам сказал в самом начале вот только что
378: В общем, ну, идея такая, можно применить эквивалентно, бесконечно малое. Попробуйте сначала их, поскольку тогда часто бывает быстрее. Ну, например, вот конкретный пример. Давайте сейчас, вот когда эквивалентно бесконечно мало
379: Оказывается гораздо эффективнее натуральный логарифм единица + 6 икс умножить на синус квадрат 3 икс, делённое на единица минус косинус 8 икс умножить.
380: На арк тангенс 4 x.
381: Итак, вот такой вот пример.
382: Если мы с вами попробуем применить правило лопиталя в лоб, то из за вот этого вот, да, производной произведения у нас будет очень неприятно, то есть будет разрастаться, да, мы должны взять производную вот эту
383: Умножить на вот эту функцию. Плюс вот это умножить на производную вот этой на самом деле ваш пример будет серьёзно разрастаться при этом не сильно упрощаясь. Поэтому вот увидели произведение можно что сделать, разбить данный пример
384: На 2, да, то есть, например, я бы вот эти вот мог объединить вместе именно так вот. И вот эти вот 2 вместе, но тоже на самом деле, производная от арктангенс, та ещё фигня, производная от синус квадрат.
385: Тоже ерунда, поэтому, ну, не очень бы по правилу питали, решалось все равно, даже если вот разбить на 2 предела. А вот смотрите, каждая из этих функций это эквивалентное бесконечно малое, поэтому на самом деле решение через эквивалентные
386: Бесконечно. Малый будет в разы быстрее, чем по правилу питаля. Итак, вот видите, увидели бесконечно малые. Попробуйте применить их. Здесь их можно применять. Условие применимости у нас соблюдено. Применяем. У нас получается тогда предел.
387: При x стремящемся к нулю смотрите 6 икс умножить на 3 икс в квадрате, делённое на 8 икс квадрат, делённое на 2 * 4 x. Как вы понимаете, пример сразу стал.
388: Элементарным. И дальше уже будет у меня сразу ответ говорю а по правилу питали из за произведений или из за самих функций крайне неприятно было бы, даже если мы с вами увидели, что можно разбить на 2 предела.
389: Вот. Кроме того, здесь есть ещё засада, что мы неправильно разобьём. Например, вот такой бы такое бы разбитие привело нас к проблеме, поскольку 1 предел у нас получился бы равным бескон.
390: Конечности, a2 был бы равен нулю, и нам бы пришлось возвращаться и переразбивать наш пример. Поэтому вот небольшие указания. Собственно, эквивалент бесконечно мало можно применить. Применяем сначала их
391: Ну и в завершении давайте рассмотрим 1 пример, который на самом деле
392: Если у вас будет тема ряды вот по матанализу для метода каши очень сильно может вам помочь. Итак, рассмотрим.
393: Такой предел при n, стремящемся к бесконечности, корень энной степени из ну, давайте возьмём так three н в 10 + 6 н. В 5.
394: + 4, n + 1.
395: А потом распространим то, что мы с вами сейчас выведем на общий случай, который вы сможете использовать потом в теме ряды. И это, ну, радикально упрощает там решение. Итак.
396: На самом деле я буду решать вот это все с использованием правила лопиталя, хотя оно здесь категорически не видно. Ну давайте я перепишу этот пример немножко по другому, чтоб вы увидели, что это та неопределённость, которую мы с вами сегодня
397: Разбирали так предел при n, стремящемся к бесконечности 3 н. В 10 + 6 н. В 5 + 4 n + 1 корень это степень единица, делённая на n. И мы с вами.
398: Неопределённость вида, бесконечность в степени 0.
399: То, что мы с вами сегодня разбирали, вот она. И, соответственно, вот метод, мы должны по основному логарифмическому тождеству представить, как е в степени логарифм, ф от икс, в степени ж от x. Ну что ж, поехали.
400: Это будет равно.
401: Предел при n, стремящемся к бесконечности е в степени натуральный логарифм от нашего вот этого выражения 3 н в 10 + 6 н. В 5 + 4 n + 1 все.
402: Единице. Дальше, по свойству логарифмов. А мы с вами степень можем вынести вперёд, так как её функция непрерывная. Предел я могу перенести в показатель степени. Итак, мы с вами получим е в степени предел при n стремя.
403: Бесконечности дробь в числителе логарифм вот нашего вот этого выражения.
404: Ну, а снизу будет у нас просто, н это вот эта степень вынеслась вперёд.
405: Теперь у нас, посмотрите, если я подставлю бесконечность, то у нас будет здесь бесконечность и здесь бесконечность, то есть неопределённость вида, бесконечность, делённая на бесконечность, для которой можно применить правило лопиталя. Давайте применим. Получится е в степени предел при
406: К бесконечности находим производные в числителе. У нас сложная функция по правилу нахождения производной сложной функции. Это производная от скобки умножить на производную от логарифма, производная от скобки. У нас будет такая 30 н в 9
407: + 30 n в 4 + 4 производная от логарифма это единица, делённая на аргумент, то есть three н в 10 + 6 н. В 5 + 4 n + 1 это
408: Производная числителя, производная от знаменателя, это будет единица.
409: И вот здесь важный момент, на который хочу обратить ваше внимание. Посмотрите, пожалуйста, каков бы ни был вот этот вот многочлен.
410: Любые коэффициенты, любые степени у нас получится здесь следующее. Посмотрите из за того, что мы с вами берём производную от аргумента. Вот здесь степень будет всегда.
411: Ровно на единицу меньше, чем степень вот здесь вот.
412: Мы же берём производную, да, значит, у нас получается, н, - 1. То есть вот эта степень всегда Ровно на единицу меньше вот этой. А давайте вспомним, как мы с вами находим вот такие вот пределы, мы с вами оставляем максимальные степени. То есть вот это я вычёркиваю, вот это вычёркиваю.
413: У нас получается следующее е. В степени предел при n, стремящемся к бесконечности 30 н в 9 делённое на 3 н. В 10 или на н. В 9 я могу сократить.
414: Смотрите, у нас н. Всегда останется в знаменателе, всегда 1 n остаётся в знаменателе если мы поставим бесконечность, у нас будет е. В. 0.
415: То есть единица, пожалуйста, запомните этот факт, он может вас много раз выручить потом, при изучении другой темы. Итак, если n стремится к бесконечности, то корень энной степени из любого
416: Многочлена любой степени, но конечной будет равен единице всегда это вот из за того факта, что степень сверху всегда будет Ровно на единицу, меньше степени снизу.
417: Ну что ж, я думаю, на этом мы с вами с правилом лапиталя можем закончить. У вас какие-нибудь вопросы есть?