0: Всем привет, меня зовут Половинкина Ульяна. Я репетитор по математике. В этом видео мы будем разбирать, что такое первообразная и неопределённый интеграл, а также научимся находить неопределённый интеграл, используя таблицу основных

1: Интеграла.

2: Сначала разберём, что такое вообще первообразное в дифференциальном исчислении. У нас какая решается задача. То есть по данной функции мы находим её или дифференциал, а в интегральном исчислении, то есть то вот сейчас, что мы будем

3: Проходить наоборот от какой-то определённой функции. Мы, зная её производную, находим первоначальную функцию так вот, эта искомая функция называется уже первообразной функция f от

4: X. Она обозначается уже вот такой большой буквой f называется первообразной функцией ф от икс малое на интервале от a до b. Если для любого икс, который принадлежит этому интервалу, от a до b выполняется равенство, то есть.

5: Производная от нашей первообразной будет равна ф от икс малая. Либо вот такая формула используется, когда дифференциал тут написан. Давайте сейчас разберём на примере, чтобы вообще вникнуть, что тут

6: Такое имеется ввиду и что нужно искать. Вот смотрите, мы, вы должны уже уметь находить производные. Если не умеете, то посмотрите мои видео. Вот сейчас тут появится подсказка, как найти производную с нуля, например, и

7: Также в описании к этому ролику вы сможете увидеть вообще весь перечень моих видео на тему производной. Так вот, поехали. Допустим, нам была дана такая функция ф от икс равно 5 икс в 4 плюс.

8: 3 икс в квадрате - 4 и нам сказали найдите её производную, то есть производную от функции. Я сейчас не буду объяснять, как мы находим вообще производную от этой функции, потому что я подразумеваю, что вы умеете

9: Уже находить производную так считаем то есть будет 20 x 3 + 6 икс от четвёрки у нас производная равна нулю, то есть ничего не нужно находить, тут ничего не нужно писать так. То есть мы нашли производную амо.

10: Может быть, задание наоборот, звучать вот нам дана функция f от x?

11: Например, 20 x, 3 + 6 икс. То есть вот какую тут я записала, и нужно найти её первообразную, то есть нужно найти ту функцию, от которой была найдена производная, то есть вот эту на

12: Нужно будет сейчас здесь записать. Видите, просто наоборот записываем. Но вот с четвёркой, то есть постоянным каким-то членом тут проблема. И вместо четвёрки пишут всегда ц, то есть вместо постоянного члена пишут ц, потому что

13: У нас от любого постоянного члена будет производная равна нулю, то есть мы никогда не сможем угадать. Ну, на самом деле можем, но в неопределённых интегралах не можем то, какой тут был.

14: Член нам дан. То есть вот тут вместо четвёрки я могу могла написать + 5, + 100 и так далее. 1 производная все равно была бы такой, потому что у нас производная постоянного числа равна нулю. И отсюда, кстати, вытекает ещё вот такое

15: Правило, что если функция f от x является первообразной функцией ф от икс на интервале от a до b, то множество всех первообразных задаётся формулой ф от икс плюс ц. Тут, строго говоря, вот эти понятия особо не нужно знать ну.

16: Нужно понимать, что нужно дописывать. Будет ц ц, постоянное число. Я сказала уже, почему его нужно будет дописывать, потому что мы никогда не знаем, какое именно там было в конце постоянное число дано, потому что

17: От любого постоянного числа производная равна нулю дальше поехали что такое неопределённый интеграл? Множество всех первообразных функций f от x плюс ц для ф. От икс малой называется неопределённым интегралом и обозна.

18: Обозначается вот таким символом вот это символ у нас интеграла, знак неопределённого интеграла ф от икс. Это подинтегральная функция ф от икс под икс это подинтегральное выражение, а x это переменная интегриро.

19: Вот эту формулу нужно будет запомнить.

20: То есть интеграл, по сути, это такой символ, где дописывается потом до икс функции, а нужно будет находить первообразную. Ещё разберём с вами свойства неопределённого интеграла. Их на самом деле больше, но мы разберём 2.

21: Основных, которые все время будут использоваться вот сегодня на занятии. Во первых, постоянный множитель можно выносить за знак интеграла. То есть если у нас тут функции дан какой-то постоянный множитель, ну постоянное число

22: Например, вот такая была функция интеграл 2 икс под икс. Нам надо будет найти вот эта двойка, она умножается на x. Значит, я могу, смогу её вынести за знак интеграла, то есть будет равно 2 перед

23: Интегралом икс под икс, а не должно быть равно нулю. Ну и там дальше уже вы искали интеграл. Это я дальше буду объяснять, как делается. И ещё 2 свойство. Неопределённый интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерыв.

24: Функции равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых функций звучит сложно. На самом деле все просто. То есть если вы видите, что вот тут под интегралом стоит сумма или разность каких-то разных функций, то можно отдельно от каждой этой функции находить интеграл.

25: То есть смотрите, например, было бы, была бы вот дана вам такая функция x 3 + 2 икс под икс. Мы видим, что тут сумма вот этой функции и этой значит я могу расписать как x 3 под икс интеграл от этой функции. Плюс какой тут знак?

26: Есть такое. Сохраняем 2 икс под икс. Вот эту двойку мы уже знаем по 1 свойству, что её могли бы вынести потом вот сюда, перед интегралом. Дальше я вас научу, как эти все интегралы считать. Пока просто свойства рассказываю дальше.

27: Есть вот такая таблица основных интегралов. Вы можете её, кстати, скачать. Перейдите по ссылке в описании к этому ролику. Там будет ссылка на пост, где эту таблицу интегралов я прикреплю. Скачивайте

28: Себе пользуйтесь, распечатывайте или там на телефон сохраняйте и так далее. Сейчас мы вот эти все формулы с вами будем разбирать на конкретных примерах, чтобы вы понимали, как вообще ими пользоваться этими формулами и как

29: Раз эти формулы нам понадобятся при непосредственном интегрировании, то есть в этом видео мы разбираем непосредственное интегрирование. То есть это, когда находит интеграл, использует тождественное преобразование под интегральных функций.

30: Тождественное преобразование, это значит, ну, например, скобки раскрыли, там что-нибудь сократили и так далее. То есть, то, что, ну, как бы, вы должны были проходить ещё, ну, даже в школе такое проходят, там, если метрическая

31: Функция вам дана, то возможно какие-то преобразования с помощью тригонометрических функций нужно было бы сделать или там если какое-то алгебраическое, ну дробно рациональное выражение, то возможно что-то сократить.

32: Дальше, используя свойства интеграла, то есть те вот, которые мы сейчас 2 разобрали, и таблицу основных интегралов, которые я тоже до этого вам показала. Итак, вот такой будет у нас пример. Такая функция дана, и от неё нужно будет найти

33: Интеграл, что мы вообще сначала видим, мы видим, что нам дана сумма или, ну и разность каких-то разных функций, что мы делаем? Мы знаем то, что вот

34: 1 формуле. Как раз вот в этом окошечке у меня всегда формулы даны, которые будут сейчас использоваться у нас при решении по этой формуле, по этому свойству мы видим, что можем расписать отдельно каждую функцию со

35: Интегралом раз это у нас сумма, то есть будет интеграл от икс в 5 под x плюс интеграл от 4 x в 3 под икс минус раз тут минус, то минус пишу перед интеграл.

36: Корень 3 степени от икс в квадрате под икс - 7 под x.

37: Что будем делать дальше? Ну, очевидно, будем находить сейчас каждый этот интеграл, но перед этим я хочу сделать так, чтобы вот все степени выглядели попроще.

38: Что это значит сейчас объясню икс 5 под x. Тут уже все ничего не сделать, вот здесь я могу записать не 4 на x, 3, a4 умножить на икс в минус 3 степени это мы исполь.

39: Такую формулу, а в степени минус нн равно 1 поделить на а в энной степени. То есть у нас было вот так, в такой форме 1 поделить на в энной, 1 поделить на x 3, а переделала, что это икс в минус 3.

40: Степени. Сейчас от такой формы будет проще искать интеграл. Дальше минус здесь вот этот корень я могу записать как икс уже в степени 2/3 под x. Тут я использовала такую формулу, а в степени м,

41: Корень энной степени равен, а в степени n поделить на н. То есть то та степень, которая была под корнем, она идёт вверх, а та, которая была за корнем, она идёт вниз у нас. Ну, знаменатель, семёрка.

42: Ничего не сделать. Так и оставляем. Теперь применю ещё 2 свойство, которое я тут написала, то, что мы можем постоянный множитель выносить вперёд, где у нас тут есть постоянный множитель. Ну вот.

43: Во 2 интеграле вот эта четвёрка, она умножается на x minus, 3 и семёрка тут умножается на д икс, то есть мы её тоже вынесем вперёд, значит, преобразуем вот так икс 5 под x + 4 на икс в минус.

44: 3 под икс минус икс в степени 2/3 под x и - 7 интеграл от d x.

45: И что теперь делаем? И теперь мы используем вот эту 3 формулу, когда находим интеграл от степенной функции икс в степени альфа под икс равно икс в степени альфа + 1 делить на альфа + 1 плюс

46: Ц. Ц. Можно будет записать 1 раз уже в конце, когда находим вообще весь все эти интегралы, когда найдём, то есть здесь будет x 5, значит, степени на 1 больше, ну, 5 + 1 и 9.

47: На 5 + 1 на ту степень, которую получили, получается + 4 интеграл оставляем здесь будет x в степени -3 + 1 и тут также -3 + 1 минус икс также.

48: 2/3 + 1 на 2/3 + 1 - 7. И вот здесь внимательно смотрите, у нас тут нет никакого x y степени тоже ничего нет. Ну как бы единица даже подразумевается, нужно запомнить, что

49: Интеграл оо d x. То есть, когда ничего нет, будет равен x плюс ц, а в нашем случае на 7 ещё надо умножить 7 x y plus ц. В конце 1 раз дописали и все все.

50: Интеграл мы нашли, осталось только посчитать все степени, и знаменатель то, что мы получаем x 6, поделить на 6.

51: + 4 - 3 + 1. Это - 2 икс в минус 2 поделить на - 2 минус икс. 2/3, да, 1, 1. Это представляем, что это 3/3. Значит это будет 5/3.

52: Поделить на 5/3 - 7 икс плюс ц равно икс 6 / 6. Так и оставляем дальше. 4 поделить на - 2. Это будет - 2 я.

53: Записываю - 2, да, в числитель, а икс минус 2 уже спускаю в знаменатель, как икс в квадрате. Вот по этой формуле, так, икс минус икс в степени 5/3. Теперь вот по этой формуле.

54: Функции записываю как икс в 5 корень 3 степени. А вот этот коэффициент, если мы его переделаем в числитель, как перевернём дробь, но по правилу деления обыкновенных дробей будет

55: - 3/5 и - 7 икс плюс ц. Зачем это я так сделала? У математиков принято записывать ответ в такой форме, в которой он был дан. То есть вот нам дана

56: Была вот такая функция, здесь не было минусовой степени и не было, ну, был корень дан со степенями. Вот, то есть в такой форме нужно записать это, как бы правило, хорошего тона у математика, так скажем. То есть вот мы в такую форму

57: Приводим обратно все это у нас ответ мы нашли наш интеграл. Теперь как проверить своё решение, если мы нашли

58: Интеграл, правильно, то если мы сейчас найдём производную от нашего ответа, у нас должна получиться вот эта функция. Мы с вами на какой-то более простой проверим функции, потому что, ну во первых, у меня тут места сейчас не хватает.

59: Во вторых, ну просто я вам продемонстрирую это, а так вы должны знать то, что вы всегда сможете проверить, правильно ли вы нашли свой интеграл или нет. Ну, если умеете находить производные. Ну все, поехали дальше. Сейчас.

60: Ещё 1 подобный пример мы разберём снова, что мы видим? Мы видим функция, которая состоит из суммы и разности. Значит, по нашему 1 свойству мы сможем снова расписать в виде суммы и разности.

61: Интеграл расписываем и давайте сразу же будем применять 2 свойство. Когда постоянный множитель мы можем выносить перед интегралом. То есть вот здесь тройка считается, что умножается на dix, значит, я её могу вынести.

62: Перед интегралом, а здесь уже записать, как 1 поделить на икс под икс плюс здесь пятёрку нельзя выносить за знак интеграла, потому что тут нет знака умножения между пятёркой и x. Это тут.

63: 5 у нас в степени икс, то есть мы её никуда не выносим, а вот здесь четвёрка умножается на е в степени икс. Значит, я могу её вынести перед интегралом. И здесь шестёрка тоже умножается на синус икс, значит, тоже могу вынести.

64: Перед интегралом.

65: Итак 1 поделить на икс по d икс ищем такую формулу вот она у вас д икс поделить на икс это тоже самое то есть вот этот д икс мы можем и в числитель спокойно записывать, ничего страшного не произойдёт, это все тоже самое.

66: Итак, значит, д икс на икс если мы делим, то будет интеграл равен натуральный логарифмы от модуля x. Обязательно записываем модуль всегда, пусть будет 3 на ln модуль икс дальше.

67: 5 в степени икс. Находим вот по 4 формуле, которая тут записана, и вместо, а мы подставляем 5. Итак, то есть будет вот этот плюс сохраняем 5 в степени икс на лн.

68: 5 следующий от е в степени икс. По 5 формуле самый Лёгкий интеграл интеграл от е икс равен е икс тоже самое с производной, если вы помните, производная от e x равна е в степени.

69: X то есть тут будет - 4 е в степени икс и осталось ещё нам интеграл от синуса икс найти интеграл от синуса икс будет равен минус косинус икс, и у нас раз тут ещё шестёрка, то домножаем на 6, то есть будет минус.

70: 6 косинус икс плюс ц все нашли интеграл. Тут нам даже больше ничего не нужно делать, ничего не преобразовывать. Все готов. Поехали дальше. Вот такая функция. Тоже видим, что тут

71: Сумма, значит, можем расписать в виде 2 интегралов. На самом деле, вам по секрету скажу, это можно все время не расписывать, так это уже потом как бы будет само собой для вас разумеющееся.

72: Что от суммы вы, ну и от разности отдельно ищите интегралы, но можете не записывать, вот так не расписывать все время это на первых этапах. Можете для своего удобства вот так записывать, а потом можете уже не расписывать, не тратить на это время и тоже самое.

73: И с постоянными коэффициентами их тоже можно потом уже не выписывать, что они стоят там перед интегралами, это на первых этапах лучше так делать. То есть, смотрите, тут у вас снова вот по 2 формуле пойдём по 2 свойству. Семёрку эту можно вынести.

74: Ну - 7 тут будет косинус икс по d икс, а тут у нас пятёрка, выносим её, а тут могу вот так уже записать d x на косинус в квадрате икс, то есть вот этот д икс мы спокойно можем заносить в числитель знаменатель.

75: Нельзя. А вычислитель можно по правилу умножения обыкновенных дробей. То есть, по сути, это д икс на 1 5. Умножаем на д икс косинус в квадрате икс умножаем на 1 и получится вот такое. А пятёрку можем выносить вперёд. Так?

76: 1 интеграл от косинуса икс находим вот по этой формуле интеграл от косинуса икс равен синус икс. То есть, ну и ещё мы на 7 это домножаем на - 7. То есть будет - 7 синус икс ц в последнюю очередь потом записываем все.

77: А тут интеграл d x на косинус в квадрате это будет тангенс икс, то есть будет + 5 тангенс, икс плюс ц. Ну я, кстати, говорила про то, что давайте-ка попробуем проверить, на самом деле ли у нас

78: Производная от этой функции будет равна нашей первоначальной. Ну, найдём так, то есть сейчас я запишу и напишу, что мы хотим от неё производную найти. То есть вот здесь вот так записываю. Итак, производная от синуса икс у нас равна

79: Косинус икс - 7. Так и оставляем коэффициенты то есть будет - 7 косинус икс, производная тангенса. Икс это 1 поделить на косинус в квадрате икс значит просто записываю + 5 на 1 на косинус в квадрате.

80: И производная от любого постоянного числа равна нулю 0. Понятно, можно не писать. Смотрим, соответствует этой функции, да, соответствует 5 на 1 как раз уйдёт в числитель 0. Мы можем не писать все тоже самое. Значит мы правильно нашли.

81: Нашу, наш интеграл правильно вычислили. Теперь вот такие формулы поразбираем сразу же на примерах. Итак, 1 д икс от икс в квадрате + 9. Смотрим на нашу формулу икс в квадрате плюс

82: В квадрате нужно посмотреть. Девятка это какое число в квадрате? Это 3 в квадрате, значит вместо, а мы будем подставлять не 9, a3. Вот это внимательно всегда прям проверяйте. То есть тут у нас подразумевается какое-то

83: Число в квадрате девятка это 3 в квадрате, значит вместо, а подставляем не 9, a3. Внимательно на этом очень, ну очень часто ошибки такие допускают глупые. По сути, ничего сильно сложного тут нет, то есть тут будет

84: 1 3 вместо, а сейчас просто подставляем 3 и все формулу арктангенс от x, делённое на 3 плюс ц. Вот так быстро это решается здесь икс в квадрате - 25 по этой формуле и вместо а.

85: В квадрате у нас 25 значит, а равно 5, потому что 25 это 5 в квадрате, значит вместо, а будем пятёрку подставлять, будет 1 / 2, а то есть 2 умноженное на 5, это 10 на ln обязательно в модуле и

86: Икс - 5 поделить на x + 5 плюс ц все решили здесь тоже у вас 16 минус икс в квадрате вместо 16 нам у нас это, AVKVADRATE16 это

87: 4 в квадрате, значит, вместо, а будем подставлять 4. И это будет равно арксинус икс поделить на 4 плюс ц. Все решили. А вот здесь внимательно, здесь у вас к без квадрата, просто к и тут.

88: 4. Значит, кк равно 4 вместо к будем так подставлять четвёрку. Вот это как бы, ну, не исключение, но это надо внимательно смотреть на формулы икс плюс икс в квадрате + 4 просто

89: Вместо наших тут коэффициентов, а. К мы подставляли те значения, что у нас были даны, а все остальное записывали также простые формулы, но нужно их будет уметь ими пользоваться. Вот мы с вами и учимся. Все мы раз

90: Брали все основные формулы. Если видео вам понравилось, ставьте, пожалуйста, лайк, а также не забывайте подписываться на мой канал. Это у нас было 1 видео по интегралам. А ещё я планирую записать дальше видео на метод замены.

91: Переменной и на метод интегрирования по частям. Ну и ещё много разных методов. То есть это будет снова целый цикл из видео по интегрированию поэтому подписывайтесь дальше. Будет ещё

92: Больше информации и надеюсь, что помогу вам разобраться с этой темой. Спасибо. Пока