0: Итак, в прошлый раз, на чем мы остановились в прошлый раз, я вам рассказала про то, что прямая в пространстве не задаётся 1 уравнением обязательно должно быть 2 уравнения, а то и 3. Если это

1: Параметрические уравнения. Прямая задаётся либо как пересечение 2 плоскостей. Возможен такой вариант, либо прямую можно задать через канонические уравнения. Это 2 самых удобных уравнения, которые можно

2: Использовать потом для построения математической модели. То есть, понимаете, вот у вас есть момент, когда вы уравнение получаете, когда оно у вас рождается, тогда можно задать прямую через 2 точки. Это проще всего или через

3: Точку канонический вектор, но когда вы потом в модель эти уравнения встраиваете и обрабатываете, то они у вас там уже, ну как 2 точки, эти 2 точки, они уже давно потерялись в уравнении, кто там была точка 1, кто был точка, другая. То есть когда

4: Когда вы работаете с этим уравнением, когда вы его как elements везде встраиваете, там, не знаю, куда-то в математическую модель, то вот, вот эти 2 вида, общие уравнения и канонические уравнения, это такие наиболее востребованные, н.

5: Уравнения это 2 равенства. Вот у нас 1 и 2 равенство, 2 знака равно, значит это не 1 уравнение, это 2 уравнения. Вот канонические уравнения строятся если у вас есть точка и

6: Направляющий вектор, или если у вас есть 2 точки, тогда вы их подставили и сразу же получили канонически вот здесь, внизу, записано x ку, игрек y z. Q. У меня иногда моя другая личность берет надо мной вверх, и я.

7: Пишу наоборот ку икс ку игрек ку зет это одно и то же неважно как вы назовёте координаты. Главное чтобы было понятно по умолчанию, что они обозначают параметрические уравнения. Прямой, очень хорошую службу.

8: Сослужит вам, если вы решаете, например, задачу пересечения точки и плоскости, тогда прям параметрические отлично работают. Ну и в принципе в пространстве задавать прямую в параметрическом виде это обычное дело, любую, любую

9: Траекторию в параметрическом виде это обычное дело, это надо уметь делать, как получаются параметрические уравнения. Вы просто аккуратненько приравниваете канонические уравнения к параметру т. И вот сначала берете 1 компонент

10: Равно т записываете 2 компонент, равно т записываете и 3 компонент равно т записываете и в каждом из случаев преобразуете все переносите вправо. Кроме переменных икс, игрек, зет, икс, игрек зет это ва.

11: Наши переменные, они так и остаются. И вот получается 3, 3 уравнения. Вся эта система это параметрические уравнения, это тоже такая модельная штука. То есть вы делаете в таком виде, чтобы потом

12: Использовать в математической модели уравнение через 2 точки. Это уравнение, которое вы, собственно, вот, ну то есть это как вы получили уравнение не как вы его дальше используете, а как вы его получили. То есть у вас была 1 точка, 2 точка.

13: Вы соединили точки, получили направляющий вектор и теперь пользуетесь вот этой вот формой, подставляете координаты любой из точек в числитель хоть m 1, хоть м 2 любая из них будет играть роль м.

14: 0 у какой координаты симпатичнее, ту и берём. Вот. А в знаменатель идут координаты вектора м 1 м 2. Это теперь будет направляющий вектор вашей прямой. Ну и тоже очень просто. В общем, и безлобая уравнение.

15: Есть задача, иногда возникает чисто техническая как перейти от общих уравнений к каноническим. То есть вам даны 2 плоскости. Как понять, что является направляющим вектором вашей прямой?

16: Если у вас есть 2 плоскости, если вы работаете с плоскостями, значит вы знаете, какая нормаль у этих плоскостей. Если есть уравнение плоскости, общее, то вы видите, какая у плоскости нормаль, если вы берете норма,

17: Вот этих плоскостей и их векторное произведение. То есть вот взяли векторное произведение, вот 2 вектора, оба нормали. И векторное произведение, это как раз и будет направляющий вектор прямой, потому что вот он перпендикулярен им обеим. Вот.

18: Дальше вот векторное произведение это нормально. И точку берете любую, то есть просто подбором подгоняете какие-нибудь координатки подставляете, недостающие получаете и все хорошо, хорошо, нахо.

19: Вот, ну, более формальная инструкция, я вам её рассказывала в прошлый раз, как это сделать. И даже какой-то пример мы взяли тут вот у меня немного обрезан текст. То есть, если не знаете, что делать, подставляйте.

20: Вместо x 0 если не можете подставляйте 0 вместо игрека ну это если так, если вы не можете определиться с выбором.

21: Расстояние от точки до прямой в пространстве. По моему, я тоже успела рассказать. То есть, если у вас есть прямая, то вы можете только с направляющим вектором работать уже не получается. Раб.

22: Работать с нормалью, потому что нормаль к прямой в пространстве не определяется. То есть неоднозначно определяется нормаль. Это целая плоскость перпендикулярная, поэтому вы работаете с направляющим вектором, у нас не получается взять

23: Проекцию на нормаль, но зато можно взять проекцию на направляющий и потом по теореме пифагора вот найти недостающий катетам 2 м 1. Это тоже было на прошлой лекции. Я помню, как я подробно про это рассказывала. И вот

24: В частности, было задание для бонусов, которое кто-то уже профит получил за все это дело, и мы дошли до момента, когда надо исследовать взаимное расположение прямых.

25: В пространстве. Вот, по моему, здесь я остановилась, хотя на 100% я не уверена. Итак, начиная поподробнее с этого места, у вас есть 2 прямые в пространстве, 1 прямая с направле.

26: Вектором икс ку 1 ну то есть направляющий вектор q 1, заданный своими 3 координатами икс игрек зет и у 2 прямой направляющий вектор q 2 вот у вас есть 1 прямая с вектором ку 1, 2 с вектором.

27: 2. Как понять, как они расположены в пространстве пересекаться? Вот очень редко прямые пересекаются и параллельно они тоже очень редко бывают. То есть, представьте, вот вы в разных углах.

28: Комнаты сидите и лазерные лучи запускаете. Каковы шансы, что эти лазерные лучи пересекутся? Да, вообще нереально. Чаще всего прямые в пространстве являются скрещивающимися. То есть вот 1 прямая идёт, и 2 вот

29: Они не пересекаются, они скрещиваются.

30: Скрещиваются, если прямые скрещиваются, то между ними есть какое-то расстояние. И вот задача найти это расстояние, она достаточно сложная по хорошему. Вот. Ну так вот, научиться её решать надо. Вот, но параллельными

31: Они тоже могут быть, и это очень легко установить. Просто берете 1 направляющий вектор, берете 2 направляющий вектор. Если вектора, колиниарность прямые параллельны.

32: А во всех остальных случаях они либо пересекаются, либо скрещиваются.

33: Если вы можете 1 вектор умножить на число и получить 2 вектор, то прямые параллельны.

34: В частности, может оказаться, что они совпадают. Это тоже легко проверить. Вы берете точку с 1 прямой и подставляете в другую прямую. Если подходит, значит они совпадают. Ну, это такая уже чисто вот технически

35: Момент, как эту задачку решать. Если прямые параллельны, если прямые параллельны, то расстояние между параллельными прямыми это расстояние от любой точки 1 прямой до 2 прямой, и задача сводится к

36: Задача расстояние от точки до прямой предыдущий слайд. Расстояние от точки до прямой. Вот мы это делали, да то есть тоже самое расстояние между прямыми считается точно также берете любую точку с 1 прямой

37: И считаете расстояние до 2 прямой?

38: Так как понять, что прямые пересекаются, если прямые пересекаются? Ну вот, ну-ка осознайте, что у меня тут написано. М, 1, м, 2, ку, 1, ку, 2 равно нулю, что?

39: Означает эта запись смешанное произведение. Совершенно верно. Вот смотрите, ку 1 это направляющий вектор 1 прямой ку 2, направляющий вектор, 2 прямой. Вот они 2 вектора, да. А что такое? М, 1 м, 2, это

40: Вектор, соединяющий точки на этих прямых вот, вот соединяющий точки. То есть если прямые лежат в 1 плоскости, то тогда у нас вот эта конструкция, мне не хватает пальцев я возьму вот

41: Такие штучки. Вот смотрите, вот эта вот конструкция лежит в 1 плоскости, да, вот видите, в 1 плоскости. А теперь, если у нас прямые не пересекаются, вот у нас точечки на прямых, они

42: Соединяются, как и раньше, а прямые не пересекаются. То есть вот конструкция развалилась. То есть, если они сходятся в 1 точке, тогда у нас плоский такой треугольничек, треугольничек всегда плоский, скажем прямо. В общем, тогда вы смешанное произведение бере

43: Вот эти все 3 вектора оказываются линейно зависимы. Это полезный лайфхак. Между прочим. Запишите, обязательно введите в рамочку.

44: То есть составляете определитель вот из этих вот x ку 1 ку 2 и 3 строка это вектор м 1 м, 2. Неважно в каком порядке и у вас получается определитель равен нулю, значит,

45: Прямые пересекаются, то есть пересечение эль 1 эль 2 не равно пустому множеству. Вот что здесь написано. Так, если у вас прямые пересекаются, то можно найти угол между этими прямыми

46: Ну, на самом деле, если они скрещиваются, то тоже можно найти угол между прямыми. То есть это в любом случае можно найти, да, даже если они параллельны, вы тоже найдёте угол между прямыми, просто он будет равен нулю угол между прямыми, считаем, как угол между

47: Направляющими векторами, то есть скалярное произведение в числителе, разделить на произведение длин в знаменателе никаких сюрпризов. И вот теперь важный момент. Важная часть шоу это

48: Расстояние между скрещивающимися прямыми. То есть вот если у вас 2 прямые скрещиваются в пространстве, да, вы должны найти какой-то такой вот момент между этими прямыми, то есть так пристроиться, вот провести перпендикуляр, который будет

49: Перпендикуляром и к 1, и к другой. И вот построение вот этого перпендикуляра, это очень непростая задача.

50: Это чисто геометрически непростая. А вы должны научить тупую машину решать эту задачу аналитически. То есть не глядя на картинку. Ну, нам все-таки полезно визуализировать. Поэтому вот давайте я буду так, рисо.

51: По ходу дела, значит, скрещивающиеся, прямые по определению это когда они не параллельны и не пересекаются. Вот тогда они скрещиваются и как найти между скрещивающимися прямыми

52: Расстояние давайте понятнее. Вот давайте нарисуйте 1 прямую. Вот у меня прямая эль 1 нарисована, да?

53: Теперь рисуем прямую l 2 явно они идут в раскорячку, что как бы символизирует, что они не параллельны и не пересекаются, да, вот 2 прямая дальше где-то в этом мире проходит перпендикуляр и к той, и к другой.

54: Прямой. Вот прицельтесь, подгадайте и нарисуйте его где попало, но чтобы символизировать то, что он перпендикуляр, нарисуйте прямые уголочки там, где пересечение идёт. Вот нарисо.

55: Прямые уголочки.

56: Вот, то есть у вас сейчас на картинке есть 1 прямая, 2 прямая, и перпендикуляр к ним обеим. Так теперь на этой же самой картинке нарисуйте, пожалуйста, 2 точки м 1 и m 2 эти.

57: Точки вам даны. То есть глядя на канонические уравнения прямой, вы эти точки видите, они в числителе отнимаются, там будет икс минус икс 0 там или x 1 игрек минус игрек 1 зет минус z 1 вот вместо x.

58: 1 игрек 1 z 1 будут стоять какие-то координаты это и есть координаты точки м 1 дальше точно также во 2 уравнении вы ищете точку м 2 эти точки где-то расположены на прямой, на 1 прямой и на 2 прямой со.

59: Эти точки постепенно рисуем картинку, соединяем эти точки. Теперь посмотрите вот этот вектор, который м, 1, м, 2, ну, расстояние между прямыми это как раз проекция нашего

60: Вектора на вот этот перпендикуляр.

61: Но есть 1 проблема вы вектор знаете, а перпендикуляр не знаете.

62: У вас есть 1 прямая, 2 прямая. Нужен перпендикуляр к ним. Так вот, проекция на вот этот перпендикуляр как раз и будет расстояние. То есть вам, вы не знаете даже, где этот перпендикуляр проходит. Вам главное.

63: Направление его понять, потому что когда вы берете проекцию вектора на вектор, вам неважно где вот проходит этот вектор, какие именно 2 точки он соединяет, вот эти 2 или параллельные 2, неважно, какая разница. То есть вы знаете, перпендикулярное направление, знаете,

64: Вектором 1 м 2. Берете проекцию. Это и есть ваше расстояние с точностью до модуля. Ну и вот здесь справа написано в общем то, что уже неоднократно мы встречали в этом разделе, чтобы найти

65: Перпендикуляр к 2 заданным векторам. То есть есть 1 вектор есть 2 вектор, как найди перпендикуляры к тому и к другому, чтобы он к обоим подходил, потому что вот к этому вот, вот, вот, вот разные к этому тоже разные. Как найти общий перпендикуляр добере

66: Скалярное это векторное произведение и все дела. И вот он ваш перпендикуляр. То есть что вы делаете, ищите, ищите нормаль к 2 прямым общую. 2 прямые, они уже

67: Уже, по сути плоскость задают ну только массу плоскостей. Вот перпендикуляр к этим плоскостям можно найти, перемножив векторно направляющие вектора и расстояние.

68: Это проекция вектора, соединяющего прямые. Можно любой вектор подобрать, но вы берете тот, который у вас из уравнения следует на вот это normal, которую вы получили на предыдущем шаге. Я думаю, что сейчас надо сделать

69: Большую паузу и разобрать пример. Ну,

70: Смотрим внимательно на доску. Вот смотрите, есть 1 прямая. X. Так, сейчас мне надо чуть чуть вот тут вот. Хотя, ладно, нормально. Икс - 3 разделить на

71: 0 равно игрек + 1 разделить на odin равно z разделить на 2 вот это уравнение прямой никого не шокирует, 0 не смущает.

72: Знаменателе.

73: Координаты, которые стоят в знаменателе, они всего лишь показывают, какой будет направляющий вектор. Может быть направляющий вектор 0 1 2, может быть, направляющий вектор 0 1 2 за

74: Просто вот теперь следующий момент. 2 прямая игре. Ой, ой, ой, вот тут вот икс - 2, пускай будет на 4 равно игрек.

75: Игрек + 1 на 5 пускай будет и равно зет - 1 на 0 ещё 1 0 пускай стоит. Я ж чувствую, что мне потом определитель считать, так что чем больше нулей, тем

76: Лучше нули приветствуются. Вот, вот это вот направляющий вектор 2 прямой. То есть, глядя на уравнение, вы извлекаете из этих уравнений направляющие вектора ку 1 это 0 1 2.

77: Вот и у 2.

78: Это, соответственно, 4, 5 0. Вот нашли направляющие вектора. Теперь ищем нормаль вектор, перпендикулярный обеим этим векторам и тому, и другому. Нормаль у нас получается ку 1.

79: Векторно на ку 2.

80: Безобразно много места занимает. Вот ищем нормаль векторное произведение. Ижик. Вот вам на этом этапе вашего развития векторное произведение всем сердцем любить не надо. Надо просто уметь считать.

81: 0, 1, 2, 4, 5, 0. Так написали. Считаем и на 1, на 0 - 5, на 2 - 10 и

82: Сразу напишу вот сюда - 10. Дальше жи 0 на 0, - 2 на 4 - 8. Да ещё перед джи стоит минус, поэтому просто 8.

83: Дальше к 0 на 5, - 4, на 1 - 4 - 4. Вот я в качестве нормали возьму не этот вектор, а возьму вектор чуть чуть поменьше.

84: 5, 4, 2, - 4, 2.

85: Вам надо всего лишь направление. Помните об этом, что вам требуется всего лишь получить направление у вектора - 10 8 - 4. Направление, противоположное вектору 5 минус четы.

86: 4, 2. Но прямой, 1 и той же они параллельны. То есть, если рисовать картиночку, соответствующую задачки, то есть вот есть 1 прямая, есть 2 прямая. И только что я нашла вектор, который параллелен и той, и другой.

87: Здесь прямой угол, и здесь прямой угол нашли. Это вектор 5, - 4 2. Ну или - 10 8, - 4. Если вы неуверенно себя чувствуете, не хотите сокращать, теперь надо найти вектор какой.

88: Какой-то вектор, который эти 2 прямые соединяет. Мм, 1 м, 2. Где его взять? Смотрим внимательно на уравнение. Вот смотрите, а вот это что такое? Вот это вот это вот это и вот это, это что?

89: По протоколу означает.

90: И вот это вот, вот это, вот это и вот это, это точки, лежащие на наших прямых, как раз м 2 и m 1. Поэтому в качестве 1, а неважно, кто из них будет. М 2, кто m 1, какая разница.

91: Ну ладно, пускай м 1 лежит на 1 прямой. То есть это точка с координатами. Внимательно смотрим 3 - 1, потому что там стоит игрек + 1. Значит, точка - 1 и 0.

92: Раз у z ничего не написано и с м 2 тоже разбираемся координаты точки м 2.

93: 2 - 1 1 можно было бы взять другие точки. Можно можно заморочиться, сидеть, подставлять различные значения икса и игрека. Тогда наш

94: Вектор м, 1 м, 2. Какие координаты имеет? Вот тут же я его найду из конца, вычитаем начало. То есть 2 - 3, это - 1, 2 координата 0. Люблю, когда есть 0 и

95: 3 координата у нас получается 1 - 0 1. Вот. И теперь побежали искать проекцию. Побежали, побежали, побежали. Проекция вектора м, 1 м, 2, ну или м.

96: 2 м, 1. Какая разница? Вот эту нашу нормально. Главное, модуль потом не забудьте взять, он тут по смыслу нужен. И что такое проекция? Это скалярное произведение. - 1 0.

97: 1 на normal 5 - 4 2.

98: Вот так кто там ерундой занимается?

99: Прекратите на длину нормале. Корень квадратный из 25 + 16 + 4. Умножаем - 1 на 5 - 5.

100: 5 и 1 на 2. Это 2, 5 + 2. Разделить на корень квадратный 25 + 20:45. Ну.

101: Че у нас получается? - 3 3 Корня из 5.

102: Минус единица на корень из 5. Ну, естественно, везде ставим модуль. То есть вот я

103: Вот, все остаётся правильно, все правильно написано. То есть проекция, она действительно такая. Если бы я взяла в качестве направляющего вектора вот этот вот - 10, 8, - 4 в качестве нормали, то у меня бы проекция была, положи.

104: То есть тут вот не угадаешь, вот, а расстояние, расстояние это модуль проекции, поэтому обязательно знак убираем. Расстояние будет единица на корень из 5. Очень интересная задачка. Обычно в

105: Егэ.