0: Значит, сегодня у нас с вами

1: 2 лекция по упругим волнам.

2: Ну и на 2 лекции мы с вами упругие волны и закончим.

3: А со следующей лекции будем заниматься.

4: Электромагнитными волнами.

5: Так, в прошлый раз, если вы ещё помните, помните, да, что было в прошлый раз? Вот тут какая-то у нас девушка.

6: Новая появилась рядом с фугой не было такой раньше новенькая, наверное, да нет, старенькая, но больно молодая, на старенькую не похожа.

7: Так вот, для Новеньких в прошлый раз мы с вами получили плотность энергии упругой волны.

8: Плотность энергии состоит из 2 частей из плотности кинетической энергии ру пополам, декси подт в квадрате плюс плотность.

9: Потенциальной энергии рона в в квадрате пополам, декси под икс в квадрате. Вот на этом мы с вами остановились в прошлый раз. Так, а кто у нас тут?

10: Слепов, то есть у нас такой здесь, о, уже перешёл. Да, молодец, молодец. Правильно. Видите, Слепов у нас поднялся на 1 уровень повыше, не то что вы

11: А вы остались там же, где и сидели. Так, значит, ну и теперь мы должны с вами ввести вектор плотности, потока энергии. Сделаем мы это следующим образом. Мы возьмём некий объём.

12: Объём в ограниченный какой-то поверхностью с, ну на этой поверхности возьмём небольшую заплатку. Дс. Вот.

13: С которой будет у нас вот это у нас вектор дс, из которой у нас будет убегать шнур, лучше из которой у нас будет убегать.

14: Упругая волна, значит, вот упругая волна у нас бежит с какой-то скоростью в так что между векторами в и дс есть какой-то угол, значит мы

15: Посчитаем, как у нас, значит, проведём баланс энергии, значит, возьмём энергию. В этом объемчик, энергия, дубль в упругой волны в этом объёме будет у нас равнять.

16: Интегралу по этому объёму от плотности энергии по дв.

17: Значит, и посмотрим, как будет изменяться эта энергия за маленький промежуточек времени значит, мы возьмём какой-то небольшой промежуток времени dt.

18: И за этот небольшой промежуток времени dt. Значит, вот у нас.

19: Побежит энергия, значит мы построим с вами вот такой объемчик, такой вот.

20: Косой цилиндр, значит, и, соответственно, за время ддт у нас вместе с волной будет переноситься энергия упругой волны. Значит, и вот на

21: Косом цилиндре через этот косой цилиндр пройдёт энергия

22: Мы её обозначим d дубль в с индексом дс, эта энергия как раз будет заключена вот в этом цилиндре, значит эту энергию легко посчитать, что мы должны сделать, мы должны с вами взять.

23: Плотность энергии, дубль в и умножить на объемчик косого цилиндра.

24: Объём косого цилиндра у нас будет равен скалярному произведению дс.

25: На высоту, на в, на ддт. Вот это вот у нас будет объемчик вот этого косого цилиндра.

26: Ну и тогда тут у нас, видите, появляется вектор жи сам по себе.

27: Значит, эту величину можно переписать как скалярное произведение вектора жи на

28: Вектор дс и на время ддт, а вектор жи мы и будем называть плотность потока энергии, и мы его ввели просто как произведение плотности энергии на вектор скорости.

29: Который у нас перемещается, упругая волна. Значит, это вектор, плотность потока энергии. Иногда его ещё называют вектором Умова.

30: Вектор Умова или плотность потока энергии, соответственно, энергия, которая у нас убегает через площадочку дс в единицу времени, значит, ну и плотность, поэтому эта энергия у нас относится именно к этой

31: Делится на площадь этой площадочки и делится на время ддт как-то здесь холодно.

32: Окна, может, открыты? Нет, как-то уж очень прямо как на улице, прямо тут сидим.

33: Он у нас Фокин закалённый, ему все нипочём, любые морозы, что чердака.

34: Понятно. Ну, по крайней мере, не душно будет вам. Я то, мне то лучше. Я хоть у доски бегаю, согреться могу. А вам тяжело, конечно.

35: Итак, мы с вами ввели вектор Умова, значит, и тогда мы с вами можем

36: Вести, соответственно, плотность энергии, поток энергии, поток энергии будем обозначать буковкой д ф. Значит, поток энергии.

37: Это у нас будет, соответственно, отношение энергии ко времени ддт.

38: Значит, энергия, которая у нас заключена. Вот в этом объемчик, опирающемся на площадочку дс, делить на время, или это у нас будет скалярное произведение жи на

39: Дс. Эта величина называется поток энергии через площадочку дс.

40: Ну и дальше понятно, что мы с вами можем определить поток энергии через всю поверхность, поток энергии через всю поверхность будем обозначать буковкой ф. Это будет отношение.

41: Энергии, которая у нас выходит через всю поверхность, единицу времени делить на время ддт. Значит, и это у нас будет тогда, соответственно, интеграл по всей

42: Поверхности от плотности потока энергии. Подс.

43: Вот эта величина будет называться потоком энергии.

44: Поток энергии ндс, то есть энергия, которая будет в единицу времени выходить. И вот из этого

45: Объемчик в так. Ну и теперь мы можем сформулировать закон сохранения энергии упругой волны. Значит, будем считать, что в нашем объёме нет никаких источников упругой волны и

46: Упругая волна у нас не поглощается. Тогда мы можем с вами за время ддт записать закон сохранения энергии. Насколько энергия будет уменьшаться в объёме. Такая же порция энергии будет выходить через

47: Поверхность, ограничивающая наш объём, значит, за время ддт.

48: Изменение энергии в этом объёме будет равняться со знаком минус энергии, выходящей со всей поверхности этой

49: Поверхности с, значит, ну, знак минус здесь стоит, потому что, ну, понятно, если у вас энергия уменьшается в этом объемчики, то, соответственно, поток у нас будет положительный и наоборот. Значит теперь, если мы это соотношение

50: С вами продифференцируем по времени, возьмём производную от энергии в этом объёме это будет минус.

51: Производная энергии, которая покидает этот объём, а производная энергии, которая покидает это вот мы с вами записывали, это у нас интеграл.

52: Верности с от плотности потока энергии, подс.

53: Ну и дальше, если мы с вами будем использовать теорему гаусса, то мы с вами интеграл по поверхности готовы уже, да?

54: Что? А, ну давайте тогда немножко отвлечёмся, посмотрим вот на стоячую волну значит, что мы видим? Мы здесь видим резиновый шнур, который

55: Прикреплён вверху и внизу, а сверху у вас вот такой моторчик, который заставляет колебаться этот резиновый шнур.

56: Да, получаются вынужденные колебания, значит, и если мы будем менять частоту,

57: Вращение моторчика мы увидим здесь возникновение стоячей волны. Ну а здесь тонкий настрой должен быть, чтобы у вас частота вращения моторчика совпадала с часто.

58: Той стоячей волны. Тогда наступает резонанс, и вы видите колебания

59: Сейчас увидим достаточно большой амплитуды.

60: Ну, все равно, сколько получится.

61: Вот это да. Ну вот видите, что мы видим здесь стоячая волна по кранцам, узлы в середине пучность.

62: Значит, увеличиваем частоту и будем наблюдать. Значит, стоячие волны. Вот видите, теперь целая волна умещается на длине струны. Значит, в середину теперь у нас появился узел и 2 пучности. Видите, значит,

63: Если мы будем ещё дальше увеличивать частоту колебаний, то мы можем увидеть 3 половинки волны, наверное, да.

64: Угу.

65: Ну вот, да, вот видите, посерединке 2 узла. Вы должны 3 половинки здесь увидеть. Проскочили немножко, но было видно, во всяком случае, что мы видели. Мы с вами видели то, что у нас

66: На длине струны умещается целое число, на длине этого резинового шнура целое число полуволн умещается это у нас были, была стоячая волна на шнуре с 2 закреплёнными концами.

67: А сейчас, спустя какое-то время, посмотрим ещё.

68: Стоячую волну в другом случае. Так, значит. Ну, вернёмся к нашим исследованиям. Здесь мы обещали записать теорему гаусса. Поток вектора жи будет выражаться через интеграл.

69: От дивергенции вектора жи по объёму дв по этому объемчику в значит и вот мы с вами получили

70: Такое соотношение, значит, ну и вот этот интеграл.

71: Вот эту производную можно записать как интеграл по объёму в от производной плотности энергии.

72: По дт, по объемчику дв, значит, ну и вот приравнивая теперь вот эти вот выражения, здесь у нас интегралы по одинаковому объёму, значит, объём у нас

73: С неподвижными границами границы объёма никуда не перемещаются, и отсюда мы с вами получим тогда.

74: Закон сохранения энергии, то есть производная от плотности энергии упругой волны. В этом объемчики плюс дивергенция вектора жи будет у нас

75: Равняться нулю это у нас дифференциальное соотношение, справедливое в каждой точке пространства так готовы.

76: Ну, давайте посмотрим ещё 1 стоячую волну. Здесь у нас, видите, поменялись вверху у нас точка закрепления, а внизу у нас свободный конец вот этой упругой линеечки. Значит, и теперь, если мы с вами будем приводить эту

77: Линейку движения мы с вами увидим стоячие волны.

78: Ну, можно, да, сказать, что это, видите, колебания небольшой частоты, четверть волны. Видите, у вас вверху узел, а внизу у нас пучность. Если мы увеличиваем частоту, то мы

79: Мы видим.

80: Значит, увидим. Да, вот здесь мы что видим с вами?

81: Целая волна ещё на конце 1 четверть. Видите, у нас

82: Видно. Значит, нижний конец у нас всегда свободный, поэтому там у нас всегда будет кучность. Значит, ну а при увеличении частоты мы с вами наблюдаем увеличение.

83: Да, вот здесь у нас сколько раз.

84: Да, здесь у нас целая волна и ещё 1 четвертинка на конце. Ну, при увеличении частоты можно получать

85: Да, большее число волн здесь, да, да, но в конце, на конце у нас все время получается пучность.

86: Ага, ну хорошо, спасибо. Значит, наблюдая эту стоячую волну, мы с вами убедились, в чем в том, что у нас при возбуждении колебаний, если у нас получается стоячая

87: Волна и выполняются определённые граничные условия, то у нас, соответственно, на длине

88: Резинки, шнура или вот этой вот линеечки всегда будет укладываться определённое количество полуволн.

89: Так, ну а мы с вами давайте двигаться дальше. Значит, закон сохранения энергии в упругой волне мы с вами получили это в дифференциальной форме. Ну а в интегральной форме он будет выглядеть просто.

90: Производная от энергии упругой волны в этом объёме со знаком минус будет равняться потоку.

91: Энергия, что все, все, спасибо, ага. Потоку энергии через поверхность, ограничивающую этот объём. Так, и ещё 1 важное определение мы с вами введём, это так, назы,

92: Называемая интенсивность волны, интенсивность волны мы с вами будем определять следующим образом. Значит, мы возьмём вектор плотности потока энергии, усредним его за перри.

93: Колебаний. Это будет векторная величина, и от этой векторной величины мы возьмём модуль, и вот эту величину мы будем называть интенсивностью волны Инте.

94: Интенсивность волны важная характеристика волны. Ну, из определения видно, что интенсивность волны будет у нас равна произведению скорости волны на среднее значение от плот.

95: Энергии упругой волны. Это у нас интенсивность волны. Так, ну и дальше мы с вами напишем полезные формулы.

96: Для бегущих волн. Если мы будем с вами, возьмём произвольную бегущую волну, необязательно монохроматическую. Главное, чтобы она у нас бежала, то для

97: Неё будет выполняться ряд полезных соотношений, связаны они с тем, с особым устройством аргумента бегущей волны. Значит. Итак, пусть у нас есть плоская волна с

98: От x t. Бегущая в направлении оси.

99: X значит, мы с вами её запишем в виде произвольной функции, у которой будет следующий аргумент это xiii а аргумент этой функции икс минус в т.

100: Это волна, бегущая вдоль оси икс, то и сразу мы запишем волну, бегущую в противоположном направлении против оси икс.

101: Ну и теперь понятно, что поскольку аргумент устроен вот таким образом, икс минус плюс вт, для этой функции будут выполняться следующие полезные соотношения.

102: 1, если вы возьмёте производную этой функции по времени, это у нас называется скорость смещения частиц волны, то видно, что это производ.

103: Будет у вас равняться минус плюс, что вы берете производную по t, что берете производную по xxii это будет в на производную декси.

104: И од икс, ну, в силу того, что аргумент этой функции является линейной комбинацией x и т. Понятно это.

105: Значит, это полезное соотношение можно записать о обозначениях, которые мы с вами приводили. Значит, скорость смещения мы обозначали буковкой у

106: Это будет минус плюс скорость волны, а декси под x. Это относительное смещение мы обозначали буковкой эпсилон, ну и поскольку мы помним, что у нас волна слабая.

107: Относительное смещение всегда много меньше единицы. Так-то отсюда мы получим, что у нас и скорость смещения всегда будет много меньше, чем

108: Скорость распространения волны. Значит, это 1 соотношение, которое мы с вами запишем, но из этого соотношения следуют уже все остальные. Значит, если мы с вами возьмём плотность кинетической энергии,

109: Так я уже стёр.

110: Плотность кинетической энергии это у нас raw пополам декси по дт в квадрате так если мы вместо декси по дт.

111: Ставим минус плюс в декси под x, то получим соответственно тогда ро пополам в в квадрате, декси под икс в квадрате а?

112: Это есть ничто иное, как плотность потенциальной энергии, то есть для такой бегущей волны плотности кинетических и потенциальных энергий будут просто одинаковы. Ну и тогда пол

113: Плотность энергии будет равна, соответственно удвоенной плотности, кинетической энергии или удвоенной плотности потенциальной энергии и будет равна ро.

114: Декси подт в квадрате это все выполняется для плоской бегущей волны, не всегда это справедливо, ещё раз повторяю, только для плоской бегущей волны.

115: Который бежит или вдоль оси икс или против оси икс. Значит ну и мы можем ещё записать выражение для

116: Вектора плотности, потока энергии.

117: Вектор жи это у нас произведение плотности энергии на вектор скорости.

118: Плотность энергии это у нас raw.

119: Декси подт в квадрате умножить на вектор скорости в

120: Так, значит, или 1 производную декси подт мы можем записать вот таким образом тогда у нас здесь получится следующее. Это будет минус плюс.

121: Ро в на вектор скорости в. А здесь у нас будет производная декси подт на производную декси под x, значит.

122: Вот такое соотношение тоже можно записать так и выражение для интенсивности. Давайте ещё запишем выражение. Ну вот здесь.

123: Выражение для интенсивности волны значит, интенсивность волны это у нас

124: Модуль среднего значения вектора плотности, потока энергии.

125: Значит, это в умноженное на среднюю.

126: Плотность потока энергии. Значит, ну и тогда мы поставим здесь вместо потока энергии вот это вот выражение вместо плотности энергии, вот это вот выражение. И тогда у нас получится здесь следующее

127: Это у нас будет ро умножить на скорость распространения волны и здесь усредняем квадрат декси пдт.

128: А усредняем по периоду колебаний. Здесь у нас усреднение идёт по периоду колебаний частиц среды. Ну и теперь, если мы возьмём частный случай, монохроматическую волну,

129: Вот так вот, значит, если у нас xxi будет равняться кси, нолик, косинус, омега т.

130: Минус кикс. Значит, то в этом случае здесь у нас будет производная среднее значение от синуса квадрат. Оно у нас равняется 1, 2. Значит тогда здесь у нас полу.

131: Получится 1, 2 ро на в берём производную по времени вылезает у нас омега, там квадрат у нас будет омега в квадрате.

132: И ещё умножить на ксенолит в квадрате значит, вот такое будет выражение для интенсивности, для плоской бегущей монохроматической волны. Важное отсюда следствие, что мы полу.

133: Или что интенсивность волны пропорциональна амплитуде в квадрате пропорционально все 0 в квадрат. Значит, ну, это выражение справедли.

134: Не только для упругих волн, но для любых волн, в частности для электромагнитных. Интенсивность волны всегда пропорциональна квадрату амплитуды это важное обстоятельство нужно запомнить.

135: Так, ну и давайте посмотрим немножко на интенсивность.

136: Сферической волны. Значит, мы пока работали с плоской волной. Кроме Плоских волн, вы знаете, бывают ещё и сферические волны.

137: Если мы будем смотреть, например, расходящуюся сферическую волну, то мы можем получить выражение для

138: Её интенсивности, значит интенсивность плоской волны, видите, не зависит от расстояния, которое пробежала плоская волна, а интенсивность сферической волны будет зависеть от этого расстояния. Что мы с вами

139: Возьмём мы с вами, возьмём сферическую бегущую волну, она бежит у нас изотропно по всем направлениям.

140: Ну и мы возьмём объемчик, который будет заключён между 2 концентрическими сферами. Вот у нас волна бежит по всем направлениям равномерно.

141: Значит, и мы возьмём объём между 2 сферами это сфера радиуса r 1 это сфера радиуса r 2 в этом объёме у волны.

142: Какая-то энергия, дубль в, ну и будем считать, что эта энергия у нас сохраняется.

143: Такая у нас стационарная волна внутри сидит источник, он все время излучает эту волну, и волна эта бежит у нас наружу, так что энергия заключённая вот в этом объемчик между 2 сферами будет у нас.

144: Постоянной тогда производная этой энергии по времени будет равняться нулю. Ну а с другой стороны, эта производная равняется минус потоку.

145: Энергии электромагнитной волны через поверхность, ограничивающую этот объём. Значит, этот поток у нас будет равен

146: Объём ограничивают 2 сферы соответственно поток через сферу радиуса r 2, минус поток через сферу радиуса r 1.

147: Normal, мы все время берём внешнюю, здесь нормаль сюда направлена, а здесь нормаль будет направлена внутрь, поэтому здесь будет у нас разность потоков.

148: Разность потоков у нас это будет постоянно, поскольку поток полный у нас равен нулю.

149: А это означает, что в этом случае поток через сферу радиуса r 1 будет равен потоку через сферу радиуса r 2.

150: Ну и тогда мы тогда мы с вами получим следующее замечательное соотношение, если мы усредним эти потоки по времени.

151: То мы перейдём к интенсивности, значит, ну, любой поток, например, на сфере радиуса r 1, берём его среднее значение за период колебания частиц среды. Этот

152: Поток у нас равен интегралу от плотности, потока энергии по этой поверхности ну, это сфера радиуса r 1, значит, и мы берём с вами.

153: Усредняем эту величину.

154: Значит, если мы усредняем эту величину, получаем, соответственно,

155: Произведение среднего значения на дс. Поскольку у нас волна изотропна, то у нас, соответственно, вектор жи с вектором дс имеют одно и то же направление, значит,

156: Здесь, в этой формуле, можно убрать интегралы, и тогда мы перейдём к интенсивности. Интенсивность у нас будет постоянна. В силу изотропности по всей поверхности сферы выносим за знак интеграла здесь

157: Остаётся вот такой интеграл по сфере радиуса r 1 значит, это у нас будет и на 4 пи р 1 в квадрате.

158: Значит, а потоки у нас постоянные через любую сферу. Отсюда мы с вами получаем, что у нас интенсивность волны пропорциональна. Видите, здесь р в квадрате единичка делить на р в.

159: Квадрат, где р это будет, ну, любое расстояние.

160: От начала координат, то есть в сферической волне, мы с вами получили интенсивность с расстоянием меняется по закону единичка на р. Квадрат, но мы помним, что интенсивность у нас пропорциональна квадрату.

161: Амплитуды, поэтому мы с вами получаем, что в сферической волне амплитуда в зависимости от расстояния меняется по закону единичка на р. Это соотношение мы уже с вами получали. Так, ну,

162: Ну и теперь давайте мы с вами быстренько разберём вопрос, связанный с затуханием электромагнит, затуханием упругих волн.

163: Значит, затухание, если волна у нас распространяется в среде.

164: В которой колебания упругих частиц частично поглощаются, то волна будет затухать с чем связано это затухание частицы у нас в упругой среде колеблются.

165: Между этими частицами возникают силы трения, которые приводят к тому, что часть энергии колебаний этих частиц переходит во внутреннюю энергию среды.

166: Значит, соответственно, у нас амплитуда колебаний уменьшается, и волна у нас постепенно затухает. Значит, процесс затухания можно описать следующим образом. Значит, пусть у нас волна

167: Бежит вдоль оси икс, плоская волна бежит вдоль оси икс в начале координат. Её интенсивность была и нолик в точке с координатой x. Интенсивность её будет уже по

168: Меньше какая-то интенсивность и от x. Ну и возьмём небольшой кусочек среды длинной д икс. Что-то мелкое, плохо пишет длина d x.

169: Ну и тогда мы с вами выберем самый простой закон затухания, будем считать, что на этом участочке шириной д. X у нас происходит поглощение интенсивности, значит.

170: Интенсивность у нас уменьшается на величину ди ди. Величина будет отрицательная, ну и мы с вами будем считать, что уменьшение интенсивности на этом участочке д икс будет прямо пропор.

171: Самой интенсивности и пропорционально ширине этого участка. То есть это будет и в точке икс умножить на ширину этого участка. Ну поскольку у нас интенсивность отрицательная, здесь мы 100

172: Знак минус. Ну и введём какой-то коэффициент пропорциональности, мы его обозначим вот как 2 гамма можно было просто гамма обозначить, но двоечка нам здесь введём просто её для удобства.

173: Вот такой простой закон поглощения упругой волны. Ну и начальное условие. Вот оно у нас написано, что интенсивность волны при икс равном нулю будет у нас равняться. И нолик, значит,

174: Ну вот такое дифференциальное уравнение легко проинтегрировать. И тогда с учётом вот этого граничного условия мы с вами получим, что интенсивность волны будет у нас.

175: Бывать по экспоненциальному закону. То есть у нас будет какая-то начальная интенсивности нолик умножить на е в степени - 2 гамма.

176: Умноженное на икс.

177: Значит, вот такой закон убывания интенсивности. Ну а двоечку мы взяли для того, чтобы перейти к амплитуде. Интенсивность мы помним, пропорциональна квадрату амплитуды, и тогда у нас амплитуда.

178: Будет убывать этой одномерной волны, будет убывать по следующему закону. Это будет а нолик е в степени минус гамма икс. Здесь уже двоечки нет. Значит, вот такой простой

179: Закон изменения интенсивности волны.

180: Значит.

181: Плоская волна. Если мы теперь запишем, как у нас устроена плоская затухающая волна, то она у нас будет выглядеть следующим образом. Это будет ксенолит е в степени.

182: Минус гамма, икс косинус, омега т минус к x плюс какая-то начальная фаза альфа нолик по существу затухание мы с вами ввели руками.

183: Как на самом деле получает затухание, это достаточно сложная физическая задачка. То есть нужно учитывать диссипативные процессы, проходящие в среде, описывать их с помощью физических законов. И получается тогда волновое уравнение уже за

184: Задача достаточно сложная, мы её подробно мы её рассматривать не будем, но все равно приводит к Такому экспоненциальному.

185: Решению этой задачи. Значит, а мы просто с вами показали, как можно вести затухание вот таких без сложных

186: Без рассмотрения сложной физической задачки, значит, ну и точно так же можно вести затухание руками для сферической волны по аналогии с затуханием плоской волны.

187: Тоже самое дописываем экспоненту.

188: Значит, ксенолит.

189: Р нолик делить на р е в степени минус гамма р.

190: Умножить на косинус омега т минус кр плюс альфа нолик. Значит, в сферической волне у нас 2 затухания. Вот это вот затухание называется диссипативным затуханием.

191: И вот это вот затухание, геометрическое затухание. Ну и нолик здесь я записал для того, чтобы у вас

192: Си нолик имела размерность кси нолик это некий характерный радиус задачи. Так двигаемся теперь дальше. Переходим к следующему вопросу. Запишем.

193: Ставим волновое уравнение для звуковых волн и заодно получим выражение для скорости звука в воздухе.

194: Значит, мы с вами общаемся с помощью звуковых волн, которые распространяются в воздухе. Значит, ну и вот наша задача записать, как устроено волновое уравнение для звуковой волны.

195: Значит, что мы для этого сделаем? Для этого нам нужно сделать некие предположения. Ну, достаточно очевидные. Вот мы с вами общаемся спокойно, что мы наблюдаем. Мы наблюдаем, что плотность воздуха

196: При нашем общении в среднем остаётся неизменной значит плотность воздуха, несмотря на то, что по воздуху бегают звуковые волны.

197: У нас в среднем остаётся вот такой raw нолик и она испытывает только эта плотность, небольшие колебания около равновесного значения, поэтому мы с вами можем записать что

198: Когда в воздухе распространяется звуковая волна, то плотность воздуха будет равна среднему значению, плюс небольшое возмущение дельта ро нолик, звуковая волна, слабая волна.

199: Поэтому дельта ро нолик много меньше, чем средняя плотность воздуха, понятно?

200: Ну как вы можете убедиться на личных ощущениях? Вы спокойно, равномерно дышите. Да, несмотря на то, что плотность воздуха меняется. Если бы плотность воздуха менялась сильно, вы бы так спокойно бы не дышали, правильно?

201: Чувствовали бы себя как рыбы, которые вытащили на поверхность, а так все нормально происходит. Но тоже самое происходит и с давлением. Давление, конечно, воздуха меняется, но не очень сильно. То есть давление

202: Воздуха у вас в звуковой волне тоже колеблется около равновесного значения.

203: При возмущение давления дельта п. Много меньше, чем нолик.

204: Значит, это вот такие понятные, очевидные вещи, значит, волна звуковая, что собой представляет в воздухе это сжатие и растяжение некого объемчика, какой-то объемчик воздуха.

205: Сжимается, растягивается давление внутри этого объемчика, колеблется плотность воздуха тоже колеблется, но не очень сильно.

206: Ну и следующее важное, сообще следующее важное предположение. Значит, процесс, который будет происходить внутри этого объемчика с воздухом, а меняется у нас давление, меняется объём это про

207: Процесс быстрый, быстрый процесс, быстрый процесс называется как

208: Адиабатический это важное предположение, потому что когда ньютон пытался решить эту проблему, он считал, что процесс

209: Изотермические. Немножко ошибся с определением скорости звука в среде. Значит, мы эту ошибку повторять не будем. Мы будем считать, что процесс у нас адиабатический, то есть сжатие и

210: Снижение объёма воздуха происходит настолько быстро, что теплообмен с окружающей средой не успевает произойти. Это у нас адиабатический процесс. Так, ну и нарисуем наш объемчик, значит,

211: Наш объемчик берём вот внутри этой комнаты вот такой объём.

212: Небольшой объемчик, но такой, чтобы в нём содержалось большое количество молекул.

213: Площадь основания у нас с длина этого объемчика будет d x. Значит, и масса Газа внутри этого объемчика будет у нас какая-то м.

214: Масса Газа внутри объёма.

215: Значит, ну и равновесное значение объёма начальное, это будет у нас, соответственно, плотность, а равновесное значение объёма это у нас будет с умно.

216: Умноженное на д икс.

217: Дальше по этому объемчику пробежала звуковая волна.

218: Волна продольная, она сжала или растянула объём и немножко его переместила. Значит, при прохождении объёма вот у нас этот объемчик изменился и стал вот таким вот площадь сечения, оста.

219: Волна у нас продольная, изменился его продольный размер.

220: Значит, он стал равным d x plus д. Xii декси это смещение частиц си, это смещение частиц у нас в упругой волне, то есть его объём ког.

221: Да, пробежала волна, изменился и стал равным с до с.

222: Плюс декси, значит. Ну и давайте запишем те уравнения, которые я вам сказал. Значит 1 внутри этого объемчика у нас происходит.

223: Тически процесс значит, 1, с чего мы начнём, это адиабата.

224: Адиабатический процесс, то есть давление на объём

225: Вот этого цилиндрика в степени гамма будет равняться константе. Ну, если вы забыли, я вам напомню, это называется уравнение адиабаты. Помните? Помним. Да, давно.

226: Было, но, тем не менее, уравнение адиабаты гамма у нас равняется константе. Так, ну что мы будем делать? Будем дифференцировать будем

227: Ничего не поделаешь, надо переходить к дифференциалам дп на в в степени гамма значит плюс, соответственно, п. Гамма на в в степени гамма без единиц.

228: На дв все это будет равняться нулю. Так, ну и теперь что напрашивается поделить на в в степени гамма вы делите, а я просто буду стирать. Было в в степени

229: Нет, здесь мы тоже делим на в степени гамма и здесь тогда получаем объемчик. Значит вот такое уравнение у нас получилось так.

230: Ну и теперь, что мы здесь видим?

231: А здесь мы видим следующее.

232: Значит, в в это у нас будет вот этот вот объемчик в с на d x а д в. Соответственно, это будет изменение объёма, изменение объёма у нас будет с умно.

233: На декси тогда у нас вместо дв делённое на в будет соответственно, отношение.

234: D c d x и это отношение мы через производную запишем, то есть мы получим здесь вот такое соотношение, то, что д п. Здесь у нас давление п. Оно у нас.

235: Примерно равняется начальному давлению. Это будет минус гамма нолик, а это у нас будет производная декси под x. Значит, вот из уравнения адиабаты мы с вами полу

236: Получили вот такое вот соотношение, полезное соотношение для изменения давления в этом объемчик

237: Ну, знак минус почему появился, если производная декси под x будет у нас положительно это значит среда у нас растягивается, раз этот объемчик растягивается, давление в нём меньше.

238: Превращение давления будет отрицательным. Значит, ну и такой же фокус мы теперь произведём для массы. 2 соотношение, то, что при деформации этого объёма масса Газа, которая в нём

239: Сосредоточена она у нас остаётся постоянной.

240: Значит, 2 соотношение мы так и назовём 1 адиабата, a2 масса.

241: Масса Газа это ро на, соответственно, этот объемчик ро на в будет равняться константе.

242: Значит, это соотношение мы с вами тоже дифференцируем, значит, и получаем следующее.

243: Значит, дро умножить на в.

244: Плюс ро умножить на дв будет равняться нулю, так отсюда нам нужно выразить дро.

245: Draw у нас будет равняться минус здесь у нас raw смело заменяем его на raw нолик и отношение дв к в мы опять с вами запишем таким же образом как?

246: Производную декси по д икс. Вот получили 2 соотношение тоже со знаком минус. Ну и тоже самое означает среда растягивается, плотность уменьшается. Поэтому знак

247: Стоит. Вот 2 полезных соотношения мы с вами получили из того, что у нас процесс адиабатический, и из того, что у нас масса сохраняется. Ну а теперь мы с вами можем тогда записать волновую

248: Уравнение с помощью этих соотношений волновое уравнение для упругих волн, откуда мы с вами берём.

249: Ну.

250: Что является у нас источником волновых уравнений для упругих волн? 2 закон ньютона. Я смотрю, вы не только адиабату забыли, но и 2 закон ньютона. Мы же уже с вами получали 2 волновых.

251: Уравнение для продольных и поперечных волн из 2 закона ньютона. А теперь мы тоже самое сделаем для звуковой волны. Значит, вы запишем 2 закон ньютона. Вот для

252: Этого объемчика. Ну и сразу 2 закон ньютона мы поделим на объём

253: Этот вот объемчик дв. Так, значит, и тогда мы получим следующее соотношение. Раз мы на объём поделим, то вместо массы здесь получим плотность.

254: Так я и напишу, чтобы вы не сомневались это 2 закон ньютона, только мы его с вами поделили вот на с на d x. Значит, ru нолик.

255: Здесь у нас будет ускорение д. 2 xi подт. В квадрате если среда у нас немножко растянулась, то со стороны остальных участков среды у нас будет действовать сила.

256: Так мы её запишем минус д ф икс. Ну и мы поделили на с и на д икс.

257: Вот у нас 2 закон ньютона будет выглядеть следующим образом. Если мы силу делим на площадь, что получаем давление, значит здесь мы с вами получаем со знаком минус производ.

258: Давление минус дпп под x. Ну это по существу градиент давления минус дп пдд икс, а минус дп под x. Мы с вами он запишем.

259: Видите, у нас выражение для дп есть.

260: Это минус гамма п нолик декси под x. Значит, ещё 1 производная будет минус на минус будет плюс, значит, здесь у нас будет гамма п нолик.

261: Гамма п. Нолик.

262: Д. 2 si под икс квадрат, значит ну и вот мы с вами получили волновое уравнение, волновое уравнение вот оно у нас здесь.

263: Получилось.

264: Ну, давайте его запишем, на р нолик поделим.

265: Д. 2 xi по дт. В квадрате будет равняться гамма п. Нолик делить на ро нолик.

266: Д. 2 si под икс в квадрате значит это волновое уравнение для звуковых волн, ну и заодно.

267: Практически бесплатно мы с вами получили выражение для квадрата скорости звука.

268: То есть скорость звука в этой упругой волне, распространяющейся в воздухе, будет равняться корню квадратному из гаммы п нолик делить на ру нолик.

269: Значит, вот такое выражение мы с вами получили для скорости звука. Понятно?

270: В этом смысле мы даже переплюнули ньютона, потому что ньютон получил это выражение без гаммы.

271: Поэтому то выражение он получил для изотермической волны оно не согласовывалось с экспериментальными данными немножко, поскольку здесь стоит только корень из гаммы, но тем не менее.

272: Так, ну ещё давайте запишем важное полезное соотношение, значит, полезное соотношение для звуковой волны. Значит, мы с вами получили. Вот там, видите, в рамочках обведён.

273: Но 2 выражения в обоих выражениях фигурирует относительное смещение декси под x.

274: Это выражение декси под x мы с вами можем записать 2 способами это будет минус.

275: Изменение давления делить на гамма нолик, или это будет минус изменение плотности делить на среднюю плотность на но

276: Значит, вот такое соотношение мы с вами можем получить. Ну, отсюда у нас отношение изменений, давления, плотности, дп, делить на

277: ROE будет у нас равняться гамма п нолик делить на ро нолик значит гамма п. Нолик.

278: Делённое на нолик это у нас получается квадрат скорости звука.

279: Вот такое ещё соотношение для изменения давления и объёма. Так, теперь давайте мы с вами возьмём плоскую волну, значит,

280: Для плоской волны будем считать, что звуковая волна у нас плоская, бежит вдоль какой-то осси. Значит, я так и напишу.

281: Плоская волна.

282: Значит, для плоской волны мы с вами получили соотношение, что производная декси подт смещение равняется минус плюс на в здесь у нас. Давайте, плоская волна, пусть

283: У нас будет звуковая волна, тогда мы здесь возьмём не просто скорость волны, а скорость звука здесь у нас будет скорость звука, и здесь будет производная декси под x.

284: Так, значит, ну и вместо декси под x мы с вами запишем через вот это вот, вот это вот соотношение подставим.

285: Тогда здесь получится плюс минус.

286: Скорость звука.

287: Так, здесь у нас будет дп.

288: Делить на гамма и на п нолик. Значит, вот такое соотношение для относительное смещение будет у нас пропорционально скачку давления.

289: В этой упругой волне. Так, значит, ну и теперь мы с вами запишем плотность энергии в звуковой волне, плотность энергии. Ну давайте я здесь запишу.

290: Для плоской волны это ро декси по дт в квадрате ну здесь среднее значение raw нолик значит здесь тогда у нас будет.

291: Нолик, а вместо декси подт вот мы подставим вот это выражение, возведём в квадрат. Здесь у нас будет скорость звука в квадрате делить на гамма п нолик в квадрате.

292: И здесь у нас будет ещё дп в квадрате.

293: Вот такое выражение для плотности энергии мы с вами получим. Ну, его можно преобразовать. 1 скорость звука можно сократить там, значит,

294: Ну, давайте запишем.

295: Это можно записать как raw нолик на скорость звука в квадрате и здесь вот у вас будет как раз дп в квадрате ну с учётом вот этого выражения для скорости зву.

296: Да, только raw нолик неправильно я записал ро нолик конечно должно быть внизу здесь единичка да, а здесь должно быть у нас raw нолик.

297: Угу.

298: Так, ну и теперь давайте мы с вами запишем для возьмём плоскую звуковую волну и запишем скачок давления, выразим.

299: Возьмём монохроматическую плоскую волну.

300: Значит, ну пусть у нас волна будет бежать вдоль оси икс си, будет равняться ксенолит.

301: Косинус омега т минус к x плюс какая-то начальная фаза альфа нолик значит, и тогда мы с вами запишем дп скачок давления.

302: Как будет у нас меняться с координатой временем дп у нас равняется Вон наверху написано это минус гамма п нолик.

303: Декси под x.

304: Значит, возьмём производную декси под x. Значит, получится у нас минус гамма п нолик.

305: Значит, минус гамма п нолик-ка у нас выскочит.

306: И здесь у нас будет си нолик, косинус, синус.

307: Омега т. Минус, к x плюс альфа нолик.

308: Значит, вот такое выражение будет для скачка давления.

309: Так, значит, ну и то, что вот здесь стоит, мы с вами как раз обозначим за

310: Амплитуду изменения давления. Вот эта вот величина, это амплитуда изменения давления дельта п. Максимальная

311: Это вот у нас будет амплитуда изменения давления. Ну и тогда мы можем записать с вами интенсивность звуковой волны следующим образом. Интенсивность звуковой волны это у нас скорость звука.

312: На среднее значение плотности энергии, значит плотность энергии. Вот она у нас.

313: Наверху написано видите, единичка на ру нолик в звука в квадрате.

314: Скачок давления в квадрате дельта п в квадрате. Значит, мы усредняем, что у нас тогда получается, ну, среднее значение от синуса квадрат. Это будет у нас 1 2 скорость.

315: Дальше результат усреднения. Здесь у нас будет 1, 2.

316: Значит ну делим единичка на raw нолик в звука в квадрате так и здесь у нас будет соответственно дельта п.

317: М в квадрате. Ну, 1 скорость звука здесь сократится. Вот окончательное мы с вами получили выражение для интенсивности звуковой волны. Отсюда мы с вами видим, что интенсив

318: Звуковой волны пропорциональна.

319: Квадрату максимального изменения давления в звуковой волне.

320: Значит, важное обстоятельство интенсивность пропорциональна дельта п. Максимальная в квадрате.

321: Так, следующий эффект, который мы с вами разберём, это эффект доплера, эффект доплера, важный эффект. Значит, все вы в жизни наблюдали, да?

322: Если бегать и кричать, то частота звука у нас будет меняться, так все знают. Ну это ясно и понятно.

323: Без всяких формул можно на практике в этом убедиться.

324: Если взять простую звуковую волну, которая распространяется в неподвижном воздухе со скоростью звука, а для скорости звука мы с вами выражение получили.

325: Лаборатории, вы измеряли скорость звука при нормальных условиях. Ну, в этой комнате чему равна

326: Ну, тут похолоднее немножко, да, скорость звука, она от температуры зависит. Ну, примерно так, 340 метров в секунду. Так вот.

327: Вот у нас бежит звуковая волна, так?

328: Монохроматическая звуковая волна, а на её пути стоит

329: Человек, так что получается?

330: У человека есть вот уши побольше, я нарисую, чтоб вы видели. Так, поэтому я не говорю, какой конкретно это студент. Хотя на живом примере лучше разбирать, а то

331: Будете обижаться, значит, звуковая волна, что делает? Она залезает в ухо человеку, так, и что?

332: И бьёт по барабанной перепонке правильно? И удары вот как это вот каждый Горб, это, соответственно, удар по барабанной перепонке. Соответственно, человек воспринимает колебания вот определённой частоты.

333: Ну и понятно, легко сообразить, что если волна бежит со скоростью звука, а человек захочет побежать навстречу волны со скоростью в скорость звука 340.

334: Человек у нас бегает с какой скоростью? Ну, 10 метров в секунду. Максимальная скорость больше не может. Так-то, что почувствует человек.

335: Удары будут чаще наноситься по барабанной перепонке, так, значит, что получится? Частота принимаемой звуковой волны будет увеличиваться. Понятно, если человек в обратную сторону побежит от звуковой волны, она

336: Все равно настигнет, но частота принимаемой звуковой волны будет уменьшаться. В этом эффект доплера и состоит. Если тут неважно, кто бегает, может, приёмник бегать, может источник.

337: Звуковых волн, бегать относительно неподвижного воздуха это неважно. При этом происходит изменение частоты принимаемого звуковой волны. Значит, эффект доплера в этом и состоит. Ну давайте то, что мы с вами нарисовали.

338: Оформим в виде формул. Итак, что у нас есть, у нас есть неподвижный воздух и в этом воздухе у нас будет перемещаться приёмник и источник. Значит,

339: Ну, давайте считать, что в начальный момент времени

340: Источник звуковой волны у нас находился в начале координат, так, а приёмник будет, соответственно, находиться в точке с радиусом вектором р. Нолик.

341: Значит, это вот начальное положение. Вот у нас здесь находится источник, я его красненьким нарисую, звуковой волны, а вот здесь у нас будет находиться приёмник.

342: Это начальное положение. Ну а дальше источники и приёмники поехали. Значит пусть у нас источник движется вот в каком-то направлении со скоростью в источника. Ну а при

343: Приёмник у нас будет двигаться в другом направлении с какой-то другой скоростью в приёмника скорости мы все измеряем относительно неподвижного воздуха. Понятно, чтоб вы не

344: Сомневались вот я здесь, у нас не доска, а неподвижный воздух.

345: Значит, вот у нас будет такая картинка.

346: Ну и, соответственно, туда, где находится источник. Вот у нас источник теперь переместился сюда. Вот это будет у нас радиус вектор источника, а приёмник у нас переместился вот здесь.

347: Находится это у нас будет соответственно, радиус вектор приёмника.

348: Понятно. Вот такая картиночка. Источник у нас излучает звуковую волну. Будем считать, что она плоская. Значит, и звуковая волна у нас будет бежать.

349: Пространстве с волновым вектором к значит, вот, да, давайте я нарисую ещё 1. У меня тут есть вот у нас от источника побежала звуковая волна. Вот.

350: У звуковой волны есть волновой вектор k, который направлен по какому-то единичному вектору н вот видите, такая у нас получилась красивая картинка осознали.

351: Так, теперь давайте запишем то, что мы с вами нарисовали.

352: Значит, время у нас пошло вот с этого момента, когда источник находился вот здесь, и приёмник находился вот здесь, это т, а это момент времени, т, это момент времени тоже, т. Значит,

353: Тогда радиус вектор источника у нас будет равен скорости источника вектору на время т радиус вектор приёмника у нас будет равен начальному радиусу.

354: Вектору плюс в приёмника тоже умножить на время т.

355: Значит, ну и vektor к волновой вектор k будет у нас равен соответственно.

356: Омега частоте.

357: Частоте колебаний частиц воздуха омега это частота, частота, с которой колеблются частицы воздуха в этой звуковой волне, значит делить на скорость звука и умножить

358: На единичный вектор н.

359: Значит, вот такая у нас будет.

360: Диспозиция.

361: Так, ну и тогда что у нас получится? У нас плоская звуковая волна, плоская звуковая волна, как у нас выглядит смещение частиц среды в этой плоской волне xxi как?

362: Р т. Будет равняться ксенолит волна, у нас не затухающая косинус омега т минус скалярное произведение-ка на р плюс альфа нолик.

363: Радиус вектор. Вот мы проводим в любую точку вот этой звуковой волны. Вот у нас радиус вектор р.

364: Волна, считаем, монохроматическая, значит, фиксированной точки пространства р. Колебания частиц воздуха у нас происходит с частотой омега. Так, теперь давайте. А если

365: Мы это у нас точка фиксирована.

366: Так, а если точку р мы будем связывать или с источником, или с приёмником, что у нас будет получаться?

367: Да, поскольку у нас и источник, и приёмник двигается, то у нас

368: Радиус вектор будет зависеть от времени. Ну и посмотрим, к чему это приведёт. Значит, сначала мы сами сядем на источник, то есть будем рассматривать частицы колеблющейся среды, которые находятся рядом.

369: Вот с нашим источником тогда мы получим следующее давайте я запишу.

370: Значит, в источнике.

371: Берём нашу формулу кси и вместо р ставим радиус вектор источника, произвольный момент времени что у нас получится, ксе нолик?

372: Косинус.

373: Омега т.

374: Минус, значит, минус у нас будет к. К. Давайте подставим это омега на скорость звука, на единичный вектор n и вместо р мы подставляем р.

375: Источника r источника это скорость источника умножить на время, т. Ну и плюс начальная фаза альфа нолик.

376: Что мы с вами получили?

377: Мы с вами получили изменение частоты колебаний частиц среды, примыкающих к источнику. Видите, у нас появилась здесь добавочка, значит, и тогда мы это дело можем записать следующим образом. Это

378: У нас будет ксенолит косинус. Здесь мы введём частоту колебания частицы среды в источнике, так и назовём омега источника т плюс альфа нолик.

379: Где частота колебания частиц среды в источнике будет у нас равняться омега.

380: Так, минус вот это вот выражение, это у нас омега делить на скорость звука, на скалярное произведение n на в.

381: Источника.

382: Понятно. Ну, в зависимости от значения скалярного произведения частота может или увеличиваться, или уменьшаться. Тоже самое мы сделаем с вами в приёмнике, если мы сядем.

383: Приёмник, то колебания частиц среды в точках, примыкающих к приёмнику.

384: Будет у нас выглядеть следующим образом ксенолит косинус омега т.

385: Значит, минус к 5 подставляем омега делить на скорость звука на скалярное произведение. Н. А здесь радиус вектор приёмника пишем, он у нас будет равен.

386: Р нолик плюс в приёмник умножить на т.

387: Так и плюс альфа нолик.

388: Ну, тоже самое. Введём частоту колебаний частиц среды в приёмнике. Тогда у нас будет здесь ксенолит.

389: Косинус омега приёмника. Т. Ну и начальную фазу мы обозначим альфа 1, тут к альфа нолик добавится ещё вот слагаемое вот это вот с постоянным радиусом вектором р нолик.

390: А вот частота в приёмнике будет у нас равняться омега.

391: Минус омега на скорость звука скалярное произведение n на в. Приёмника.

392: Значит, вот такие изменения колебания частиц среды в движущихся источнике и приёмнике мы с вами получили, ну и теперь можем 1 на другое поделить.

393: Если мы найдём отношение частоты колебаний частиц среды в приёмнике, частоте колебаний, ну вот это по существу звуковой волны в источнике.

394: 1 делим на другое, что у нас получается.

395: Значит, омега можно вынести, оно у нас сократится, и тогда у нас останется разность. Значит, в приёмнике он у нас приёмник, это будет скорость звука.

396: Минус скалярное произведение n на в. Приёмника, и здесь мы получаем тоже скорость звука минус скалярное произведение н.

397: Navo источника. Значит, вот такая связь у нас получилась между частотами колебаний в приёмнике и в источнике. Понятно, связь мы получили в общем виде.

398: Ну и понятно, что у нас скорости движения и приёмника, и часто источника должны быть меньше, чем скорость звука.

399: Если источник или приёмник будет двигаться со скоростями большими, чем скорость звука, там будут совсем другие явления, там будут возникать ударные волны и так далее, поэтому здесь скорости у нас ограничены.

400: Сверху скоростями звука. Ну и если мы возьмём с вами частный случай, который мы с вами рассматривали,

401: Когда вы двигались навстречу волны волне звуковой или убегали от неё, то эти формулы можно упростить.

402: Значит, если мы возьмём

403: Источник и приёмник, двигающийся навстречу друг другу.

404: Значит, вот у нас источник.

405: Здесь у нас приёмник, вот у нас скорость источника, побежала звуковая волна с волновым вектором к. А вот сюда у нас движется приёмник, то мы с вами полу.

406: Получаем следующее выражение скорость в приёмнике, скорость звуковой волны в приёмнике будет равняться скорости звуковой частоте.

407: Извините, звуковой волны в источнике умножить на дробь. Здесь мы берём скорость звука. Вот эту комбинацию, когда приёмник и источник движется навстречу друг другу, мы будем считать, что скорости здесь у нас

408: Приёмника источника положительный. Тогда мы приходим к Такому. Здесь мы к скорости звука вверху добавляем скорость приёмника, а здесь из скорость

409: Звука, вычитаем скорость источника, значит, скорости при движении навстречу друг другу мы считаем положительные. Тогда можно использовать вот такую вот формулу для эффекта доплера. Так, ну

410: Давайте немножко займёмся стоячими волнами. Значит, демонстрации мы с вами видели насчёт стоячих волн. Стоячие волны у нас возникают, когда

411: При распространении звуковой волны возникает какая-то неоднородность, тогда у нас возникают встречные бегущие волны, и они у нас преобразуются, и образуется стоячая волна, то есть стоячая.

412: Волна у нас возникает в том случае, когда мы с вами имеем 2 волны, бегущие навстречу друг другу. Значит, ну и давайте.

413: Мы с вами посмотрим, как у нас получаются стоячие волны.

414: Значит, будем складывать 2 бегущие волны.

415: Волны мы будем считать с одинаковыми частотами, с одинаковыми амплитудами се, нолик, косинус, омега, т.

416: Минус к x плюс альфа.

417: Начальная фаза пусть у нас будет вот такая вот

418: Значит, ну и 2 у нас будет со сдвигом фазы, сдвиг фазы будем считать постоянной. Частота такая же, значит здесь

419: Так, ну синусы давайте синусы возьмём хорошо, пусть будут синусы все равно, какую волну брать, значит синус омега т плюс к x плюс альфа и 2 волна такой же.

420: Амплитуды синус омега т. 1 волна бежит против оси икс, 2 волна бежит по оси x plus альфа плюс какой-то сдвиг начальной фазы дельта альфа.

421: Амплитуда одинаковые, частоты одинаковые, ну, 2 синуса складывать легко и приятно получится у нас синус полусуммы на косинус полуразности удвоенный.

422: Значит, получится у нас 2 ксе нолик.

423: Синус полусуммы, значит, это у нас будет омега, т.

424: Так, фаза-ка икс у нас сократится, фаза альфа будет такая же и плюс дельта альфа пополам.

425: На косинус полуразности, значит, здесь у нас сократится тогда омега т останется у нас к. X и минус дельта альфа пополам вот мы с вами получили.

426: Стоячую волну. Так у нас выглядит стоячая волна. Значит, что мы видим? Что мы можем сказать насчёт стоячей волны?

427: Значит, если в бегущей волне у нас есть линейная комбинация омега т и к. X, то в стоячей волне произведение 2 гармонических функций и у нас время в 1 гармонической функции а?

428: Координата в другой гармонической функции. То есть мы с вами получили стоячая волна потому и называется стоячей. По существу это набор колебаний с различными амплитудами. Набор

429: Колебаний с различными амплитудами это общее выражение для стоячей волны. Ну а дальше мы с вами рассмотрим частный случай стоячей волны. То, что мы с вами видели на демонстрации, когда мы берём Резин.

430: Шнур и закрепляем 2 его конца.

431: Значит, смещение в точке икс, равное нулю, в любой момент времени будет равно нулю, и смещение в точке икс равное эль в любой момент времени тоже будет равняться нулю.

432: Тогда у нас возникает здесь стоячая волна, мы с вами видели, она может принимать вот такую форму в момент наибольшего отклонения, или вот такую форму, значит, или вот такую форму всегда целое число полуволн.

433: Умещается на длине волны. Значит, и рассмотрение такой стоячей волны сделать легко и просто для того, чтобы удовлетворить вот этому начальному условию.

434: Чтобы в нуле у вас всегда был 0 косинус к икс минус дельта альфа пополам должен превратиться в синус.

435: Значит, вот из этого условия вы получаете, что у вас смещение будет выглядеть следующим образом это будет 2 xi нолик, значит, здесь у нас будет синус омега.

436: Т. Плюс какая-то начальная фаза. Альфа 1, а здесь у нас будет синус-ка икс.

437: И для того, чтобы удовлетворить 2 условие, вы пишите, что в этом случае синус в точке икс, равно эль должен равняться нулю, и отсюда вы получаете набор собственных частот, то

438: Эль, у вас будет равняться ПИН, где н может принимать значение 1, 2, 3 и так далее, так как у нас к эль величины не отрицательные и нулю равняться быть не могут и отсюда.

439: Мы с вами получаем набор, например, собственных длин волн. Если к у нас волновое число равняется 2 пи на лямбда, то мы с вами отсюда получаем, что длина волны

440: Лямда эль должно равняться.

441: Значит, 2 эль, делённое на n. Вот получаем такой набор дискретных длин волн, то, что мы с вами видели на опыте, ну, если записать вместо к.

442: Омега делить на в то можно получить набор частот, которые будут у нас реализоваться в этой стоячей волне. Значит ну это все сделать не сложно это вы

443: Проделаете все самостоятельно, значит, на этом мы с вами заканчиваем заниматься упругими волнами.