0: Здравствуйте, уважаемые студенты. Тема сегодняшнего урока тригонометрические тождества на прошлом занятии. Мы с вами рассмотрели зависимость между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом 1 и того же угла. Научи

1: Находить через синус косинус, через косинус синус и научились применять эти формулы. Сегодня мы рассмотрим ряд некоторых задач для на применение этих формул.

2: Задача 1.

3: Доказать?

4: Что pre alpha неравных и k, где k у нас принадлежит множеству целых чисел, справедливо равенство.

5: Значит, это равенство мы с вами на прошлом занятии рассмотрели. Сейчас мы докажем, что оно у нас справедливо.

6: 1 плюс котангенс квадрат альфа равно 1 делим на синус квадрат альфа.

7: Значит, по определению.

8: Котангенс альфа, он у нас равен косинус альфа, делим на синус альфа и поэтому 1 плюс котангенс квадрат альфа у нас будет

9: 1 плюс косинус квадрат альфа делим на синус квадрат альфа.

10: Отсюда, если мы

11: Приведём к общему знаменателю, получим следующее равенство синус квадрат альфа плюс косинус квадрат альфа, делим на синус квадрат альфа.

12: Равно 1 делим на синус квадрат альфа. Эти преобразования верны, так как синус альфа у нас не равно нулю при альфа не

13: И к и к. У нас принадлежит множеству целых чисел.

14: Это у нас 1 радство.

15: Теперь запишем равенство 1 справедливо при всех допустимых значениях.

16: При всех допустимых значениях.

17: Входящих в него букв входящих в него букв.

18: Называют.

19: Называют тождеством.

20: А задача на доказательства, на доказательства.

21: Таких равенств.

22: Называют задачами на доказательство тождеств.

23: Значит, обычно при доказательстве тригонометрических тождеств или при упрощении выражений, скажем так, допустимые значения Углов не устанавливают, если это не требует условия задачи.

24: Задача 2 доказать тождество косинус квадрат альфа равно.

25: Минус синус альфа, умноженное на 1 плюс синус альфа.

26: Чтобы доказать это тождество, нам нужно преобразовать 1 из частей либо левую, либо правую. Смотрим, какую легче преобразовать, так как у нас в левой части уже и так дано косинус квадрат альфа. Значит, мы преобразовываем правую часть для

27: Этого перепишем правую часть 1 минус синус альфа, умноженное на 1 плюс синус альфа, и смотрим на это выражение данное выражение. Оно у нас напоминает формулу сокращённого

28: Умножение напомню какую-то формулу a минус b, умноженное на а плюс б из школьного курса значит, мы знаем, что данная формула она у нас собирается как aqua.

29: Квадрат минус б квадрат.

30: Поэтому по данной формуле мы точно также можем преобразовать выражение, и мы получим 1 в квадрате минус синус квадрат альфа, так как 1.

31: В квадрате это 1 мы получаем 1 минус синус квадрат альфа.

32: Теперь мы получили 1 минус синус квадрат альфа, смотрим.

33: У нас есть формула косинус квадрат альфа. Равно 1 минус синус квадрат альфа. Как раз-таки нам дана эта часть вот она у нас. Значит, ответ у нас будет косинус.

34: Квадрат альфа и получается тождество. Мы доказали, задача 3.

35: Доказать тождество косинус альфа делим на 1 минус синус альфа равно 1 плюс синус альфа делим на косинус альфа.

36: Значит, чтобы доказать данное тождество, нам нужно показать, что разность между его левой и правой частями равна нулю. Для этого мы собираем все в 1 часть.

37: То есть мы пишем косинус альфа, делим на 1 минус синус альфа - 1 плюс синус альфа делим на косинус альфа.

38: Теперь смотрим, нам даны 2 дроби, 2 дроби. Причём эти дроби, они у нас с разным знаменателем. Чтобы объединить эти 2 дроби, нам нужно привести к

39: Общим знаменателем. То есть мы 1 дробь умножаем на косинус альфа, 2 дробь мы перемножаем на 1 минус синус альфа. Что из этого получается? Косинус ква?

40: А альфа - 1 минус синус альфа, умноженное на 1 плюс синус альфа. И в знаменателе у нас получается косинус альфа.

41: Умноженное на 1 минус синус альфа.

42: Так, смотрим.

43: Значит, это у нас формула. А квадрат минус б квадрат собираем по формуле косинус. Он у нас так и остаётся. Косинус квадрат, альфа минус. В скобках мы пишем 1 минус синус квадрат альфа.

44: У нас по предыдущему примеру мы увидели, как это у нас собирается знаменатель. Остаётся также косинус альфа, умноженный на 1 минус синус альфа. Теперь точно также по предыдущему примеру мы знаем, что

45: 1 минус синус квадрат альфа у нас равен косинус квадрат альфа заменяем косинус квадрат, альфа минус косинус квадрат альфа знаменатель переписываем косинус альфа умножаем.

46: 1 минус синус альфа. Получаем косинус квадрат альфа минус косинус квадрат альфа это у нас 0. То есть мы 0 делим на знаменатель косинус альфа умноженное 1 минус синус альфа. А так как мы 0, если мы делим

47: На какое-либо число у нас получается 0, значит, тождество у нас верное.

48: Значит, при решении задач с 1 по 3 мы использовали следующие способы доказательства тождеств преобразование левой части к правой, преобразование правой части к левой, установление того, что разность

49: Между левой и правой частями равна нулю иногда удобно доказать тождества, привести преобразование его левой и правой части к 1 и тому же выражению значит, то есть тождества они у нас получаются.

50: Образование и способы доказательств тоже есть. Некоторые запишем, значит, здесь запишем способы.

51: Доказательство тождеств.

52: И перечислим 1 это у нас преобразование левой части.

53: 2.

54: Наоборот, преобразование правой части левой.

55: 3.

56: Установление того, установление того, что разность между

57: Левой и правой частями, значит, между левой и правой частями.

58: Равна нулю.

59: И 4 преобразование.

60: Левой и правой части, левой и правой частей к 1 и тому же выражению.

61: Теперь рассмотрим 4 задачу. Задача 4. Нам нужно доказать тождество 1.

62: Минус тангенс, квадрат, альфа делим на 1 плюс тангенс, квадрат альфа равно косинус в 4 степени, альфа, минус синус 4 степени альфа.

63: Чтобы доказать данное тождество, мы отдельно каждую часть сначала преобразуем, перепишем сначала левую часть 1 минус тангенс, квадрат альфа, делим на 1 плюс тангенс квадрат.

64: Альфа, в данном случае мы можем преобразовать, то есть заменить тангенс альфа, так как мы знаем по определению, что тангенс альфа это у нас синус альфа делим на косинус альфа мы

65: Заменим 1 минус синус квадрат альфа, делим на косинус квадрат альфа все это делим на 1 плюс синус квадрат альфа, делим на косинус квадрат альфа.

66: Приведём к общему знаменателю. Здесь у нас будет косинус квадрат альфа и здесь косинус квадрат альфа получаем

67: Косинус квадрат альфа минус синус квадрат альфа

68: Делим на косинус квадрат альфа, чтобы не писать четырехэтажную дробь, мы, значит, запишем, как делим косинус квадрат альфа плюс синус квадрат альфа делим на косинус.

69: Квадрат альфа, так как мы делим на дробь деление, у нас превращается умножение дробь. Мы переворачиваем косинус квадрат альфа минус синус квадрат альфа.

70: Делим на косинус квадрат альфа, умножаем косинус квадрат альфа делим косинус квадрат альфа плюс синус квадрат альфа. Мы видим, что

71: Можно сократить косинус квадрат альфа, значит получается косинус квадрат альфа минус синус квадрат альфа делим на косинус квадрат альфа плюс синус квадрат альфа.

72: А так как это у нас равно 1, это у нас 1 формула, то получаем косинус квадрат альфа минус синус квадрат альфа, значит, левую часть мы преобразовали.

73: Теперь нам нужно преобразовать правую часть, перепишем её косинус 4 степени, альфа минус синус 4 степени альфа.

74: По формуле а квадрат минус б квадрат предыдущей задаче 2 мы рассматривали разложим косинус квадрат, альфа минус синус квадрат альфа, умножаем на косинус квадрат.

75: Альфа плюс синус квадрат альфа. Опять-таки по 1 формуле эта у нас скобка будет равна 1, поэтому

76: У нас остаётся косинус квадрат, альфа, минус синус квадрат, обе части.

77: Они получились у нас равные, значит, тождество доказано.

78: Задача 5 упростить выражение.

79: 1 делим на тангенс альфа плюс катангенса.

80: Значит так, как у нас тангенс альфа по определению, это синус альфа делим на косинус альфа, а котангенс альфа это у нас косинус альфа, делённое на

81: Синус альфа, мы их заменим и получим 1 делим на синус альфа, делённое на косинус альфа.

82: Плюс косинус альфа, делённое на синус альфа.

83: Приведём к общему знаменателю. Здесь нужно умножить на синус альфа, здесь на косинус альфа.

84: Получим 1 делим синус квадрат альфа плюс косинус квадрат альфа, делим синус альфа, умноженное на косинус.

85: Дробь у нас перевернётся и получится синус альфа, умноженное на косинус альфа делим синус квадрат альфа плюс косинус квадрат альфа.

86: Так как это у нас по 1 формуле, равно 1 у нас получается синус альфа умножаем на косинус.