0: Здравствуйте, уважаемые студенты. Тема сегодняшнего занятия, формулы приведения. Значит, на прошлых занятиях мы с вами рассмотрели ряд некоторых формул. Сегодня мы с вами рассмотрим формулы приведения.
1: Таблицы значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса составляются для Углов от нуля до 90 градусов. Это всеми нами известная таблица значений тригонометрических функций или
2: Другому от нуля до пи вторых, это объясняется тем, что их значение для остальных Углов сводятся к значениям для острых Углов так рассмотрим задачу.
3: Задача 1, нам нужно вычислить.
4: Синус 870 градусов и косинус 870 градусов.
5: Для этого заметим, что 870 градусов это у нас 2 умноженное на 360, то есть 2 полных круга и плюс ещё 150 градусов.
6: Следовательно, при повороте точки п с координатами 1 0 вокруг начала координат на 870 градусов точка у нас совершит 2 полных круга, то есть 2.
7: Оборота и ещё повернётся на угол 150 градусов, то есть получится та же самая точка.
8: При повороте на что и при повороте на 150 градусов.
9: Рассмотрим рисунок, чтобы было более понятно.
10: Значит, начертим единичную окружность.
11: Здесь у нас начало.
12: То есть у нас получается, вот здесь будет точка м.
13: Вот у нас 150 градусов, это у нас будет 150 градусов.
14: А это у нас получается 2 1 полный круг, 2 полный круг и ещё 150 градусов. Вот это у нас будет 870.
15: Следуя из рисунка, у нас получается синус 870 градусов, он у нас равен синус.
16: 150 градусов.
17: Точно также косинус 870 градусов у нас равен
18: Косинусу 150 градусов.
19: Итак.
20: Аналогично данному рисунку построим ещё 1 рисунок, значит, построим единичную окружность.
21: Здесь у нас будет начало.
22: Угол 150 градусов.
23: Точка м.
24: И построим точку м 1 симметричную точке м относительно оси о игрек.
25: Значит, симметрично построен точно также угол.
26: Это у нас будет точка м 1.
27: Вот эти 2 угла, они у нас будут равны 30 градусам.
28: Координаты точек м и м 1. Они у нас одинаковые, а абсциссы различаются только знаком. Поэтому отсюда у нас следует, что
29: Синус 150 градусов. Это у нас он будет равен синусу 30 градусов, а по таблице синус 30 у нас равен 1, 2 аналогично косинус.
30: 150 градусов. Он у нас равен минус косинус 30 градусов. По таблице у нас он будет равен минус корень из 3, делённое на 2.
31: Значит, ответ синус 870 градусов будет равен 1, 2 косинус 870 градусов будет
32: Равен минус корень из 3, делённое на 2.
33: При решении задачи 1 мы использовали следующее равенство синус 2 умножаем на 360 + 150 градусов, равно синус.
34: 150 градусов. 1 равенство.
35: Косинус 2, умноженное на 360 градусов + 150 градусов, равно косинус 150 градусов.
36: Далее синус 180 градусов, - 30 градусов, равно синусу 30 градусов.
37: И косинус 180 градусов - 30 градусов, равно минус косинус 30 градусов. 2 равенство.
38: Равенство 1 верны, так как при повороте точки п с координатами 1 0 на угол альфа + 2 пика, значит альфа + 2 пика, где-ка у нас принадлежит множеству целых
39: Чисел получается та же самая точка, что и при повороте на угол альфа. Следовательно, у нас верны следующие формулы.
40: Синус альфа + 2 пика.
41: Равно синус альфа.
42: Косинус альфа + 2 пика равно косинус альфа, где к у нас принадлежит множеству целых чисел.
43: Равенство 2 являются частными случаями. Формул значит синус пи минус альфа.
44: Равно синус альфа.
45: Косинус и минус альфа равно минус косинус альфа.
46: 4 равенство.
47: Давайте докажем формулу синус пи минус альфа равно синус альфа.
48: Применяя формулу сложения для синуса, мы получаем синус пи минус альфа равно синус пи.
49: Косинус, альфа минус косинус пи синус альфа равно по таблице смотрим синус пи у нас равен нулю, умножаем на косинус альфа.
50: Минус косинус пи у нас равен - 1 умножаем на синус альфа. Здесь у нас получается 0. Здесь у нас получается
51: Синус альфа аналогично доказывается и 2 из формул 4, которые называются формулами приведения, значит, данные формулы.
52: Это у нас формулы приведения вообще формулами приведения для синуса называют.
53: Следующие 6 формул запишем их, значит, синус и вторых минус альфа равно косинус альфа.
54: Синус пи минус альфа равно синус альфа
55: Since 3 пи вторых минус альфа равно минус косинус, альфа синус пи вторых плюс alpha равно косинус альфа.
56: Since i плюс альфа равно минус синус альфа.
57: И since 3 пи вторых плюс альфа равно минус косинус альфа, значит это у нас будут формулы приведения для синус.
58: 5 формула следующие 6 формул называют формулами приведения для косинуса значит косинус и вторых минус альфа равно синус.
59: Косинус пи минус альфа равно минус косинус альфа
60: Косинус 3 пи вторых минус альфа равно минус синус альфа.
61: Косинус 3/2 плюс альфа равно минус синус альфа.
62: Косинус пи плюс альфа равно минус косинус альфа.
63: Косинус 3 пи вторых плюс alpha равно, синус альфа.
64: Формулы 5 и 6 справедливы при любых значениях альфа.
65: Так задача 2.
66: Нам нужно вычислить.
67: Синус 930 градусов.
68: Используя 1 из формул 3, мы получаем синус 930, у нас равно синус 3, умноженное на 360 - 100 пятьде.
69: 50 равно синус - 50 градусов.
70: По формуле синус минус альфа равно минус синус альфа мы получаем синус - 150 градусов равен минус синус.
71: 150 градусов, то есть минус у нас вышел вперёд.
72: По формуле 4.
73: Мы находим.
74: Минус синус 150 градусов равен минус синус 180 - 30 градусов. Это у нас будет равно минус синус 30 градусов.
75: По таблице значение минус синус 30 у нас будет - 1. 2 значит ответ
76: Синус 930 градусов равен - 1 2.
77: Задача 3.
78: Вычислить косинус 15 пи четвёртых.
79: Значит, косинус 15 пи четвёртых, это у нас будет косинус 4 пи минус пи четвёртых.
80: И у нас получается косинус минус пи четвёртых, так как у косинуса минус у нас опускается, мы получаем косинус пи четвёртых по таблице.
81: Значение тригонометрических функций косинус пи четвёртых у нас равен под корнем 2, делённое на 2.
82: Покажем теперь, как можно свести вычисление тангенса любого угла к вычислению тангенса острого угла заметим, что из формул 3 и определение тангенса следует равенство.
83: Тангенс альфа + 2 пика равно тангенс альфа, где-ка у нас принадлежит множеству целых чисел, используя это равенство и формула 4.
84: Мы получаем тангенс, альфа плюс p.
85: Равно тангенс, альфа плюс и - 2. Pp равно тангенс, альфа, минус пи. Значит если мы вынесем минус пи.
86: У нас получается минус тангенс пи минус альфа. Это получается. Если мы заменим через синус и косинус, то у нас получится синус пи минус альфа делим.
87: На косинус и минус альфа по формулам смотрим получается у нас синус альфа делим на минус косинус альфа.
88: Здесь тоже минус и получается там не альфа.
89: Следовательно, у нас справедлива формула.
90: Тангенс альфа плюс p. Ca равно тангенс альфа, где-ка у нас принадлежит множеству целых чисел 7.
91: Аналогично доказывается формула котангенс альфа плюс пика, равно котангенс альфа, где-ка у нас принадлежит множеству целых чисел 8.
92: Следующие 4 формулы называют формулами приведения для тангенса и котангенса.
93: Значит, тангенс и вторых плюс альфа равно минус котангенс, альфа котангенс и вторых плюс альфа равно минус тангенс.
94: Тангенс пи вторых минус альфа равно котангенс альфа и котангенс пи вторых минус альфа равно.
95: Так, а 9?
96: Формулы 9 справедливы при всех допустимых значениях альфа.
97: Задача 4.
98: Вычислить 1 тангенс 11 и третьих.
99: И 2 тангенс 13/4.
100: Значит, 1 тангенс 11, p. Третьих.
101: У нас будет равно тангенс 4 пи минус пи третьих.
102: Получается тангенс минус эти.
103: По свойству минус у нас выходит вперёд. Получается минус тангенс 2/3, по таблице у нас минус тангенс 2/3 равен минус корень из 3.
104: 2 тангенс 13 пи четвёртых.
105: Равно тангенс 3 пи плюс, p. Четвёртых.
106: Равно тангенс пи четвёртых, а это у нас будет равно 1 формулы приведения для синуса и косинуса доказываются с помощью формул сложения.
107: Аналогично тому, как доказана 1 из формул 4 формулы 9 можно получить из формул 5 и 6, зная, что у нас тангенс альфа равен, синус альфа делим на косинус альфа.
108: Формулы приведения запоминать необязательно для того, чтобы записать любую из них, можно руководствоваться следующими правилами, значит, запишем их.
109: Запишем, как правило, запоминания.
110: 1.
111: В правой части.
112: Формула ставится тот знак, который имеет
113: Левая часть.
114: При условии, что альфа у нас находится в промежутке от нуля до 3/2.
115: 2.
116: Если в левой части.
117: Угол у нас будет равен p вторых плюс минус альфа или 3 пи вторых плюс.
118: Минус альфа.
119: То since заменяется.
120: На косинус.
121: Косинус.
122: На синус тангенс, на катангенс.
123: Катангес.
124: На тагес, если угол.
125: Равен p плюс минус альфа, то замена не происходит.
126: Например, покажем, как с помощью этих правил можно получить формулу приведения косинус пи вторых плюс альфа, значит косинус пи вторых плюс альфа по 1 правилу в правой части.
127: Формулы нужно поставить знак минус, так как если альфа у нас находится в промежутке от нуля до пи вторых.
128: То p вторых у нас будет меньше пи вторых плюс альфа и меньше пи, а косинус во 2 четверти отрицательный. По 2 правилу косинус можно, нужно заменить на.
129: Синус, следовательно, косинус пи вторых плюс альфа будет равно минус синус альфа. Итак, формулы 3 7 и формулы приведения.
130: Позволяет свести вычисление синуса и косинуса.
131: Тангенсы и котангенсы любого угла к вычислению значений для острого угла. Для ещё более удобства нужно записать данную таблицу данной таблицы у нас
132: У нас приведены все формулы приведения, где можно легко найти каждую из функций.
133: Как вы видите, по таблицам легко проследить закономерности, имеющие место для формул приведения. Эти закономерности нам позволяют сформулировать.