0: Здравствуйте, уважаемые студенты, тема сегодняшнего урока синус косинус и тангенс половинного угла.
1: По известным значениям синус альфа и косинус альфа можно найти значение синус альфа, делённое на 2, косинус альфа, делённое на 2 и
2: Тангенс альфа делённое на 2 если известно, в какой четверти лежит угол альфа из формулы косинус 2 икс равное косинус, квадрат, икс минус.
3: Синус квадрат икс если у нас x будет равно альфа делённое на 2 мы получаем.
4: Косинус альфа равно косинус квадрат альфа делённое на 2 минус синус квадрат альфа, делённое на 2.
5: Это у нас 1 формула запишем основное тригонометрическое тождество в виде
6: Odin равно косинус квадрат альфа, делённое на 2 плюс синус квадрат альфа, делённое на 2 обозначим через 2 складывая равен.
7: 1 и 2. И вычитая из равенства 2 равенство 1 мы получаем. Если мы сложим, то мы получим 1 плюс косинус альфа.
8: Равно.
9: Косинус квадрат альфа делённое на 2 минус синус квадрат альфа делённое на 2 плюс косинус квадрат альфа делим на 2 плюс синус квадрат альфа делим.
10: На 2 здесь у нас синусы сократятся и получится 1 плюс косинус альфа равно 2, косинус квадрат альфа делим на 2.
11: Обозначим как 3, вычитая из равенства 2 равенство 1 мы получаем
12: 1 минус косинус альфа равно.
13: Косинус квадрат альфа делим на 2 плюс синус квадрат альфа делим на 2.
14: Минус косинус квадрат альфа делим на 2 плюс синус квадрат альфа делим на 2.
15: Здесь у нас косинусы сокращаются, и мы получаем 1 минус косинус альфа равно 2, синус квадрат альфа делим на 2.
16: Значит, как 4?
17: Формулы 3 и 4 можно записать следующим образом.
18: Значит, косинус квадрат альфа делим на 2 будет равно 1 плюс косинус альфа делим на 2. Это у нас будет 5 формула.
19: И синус квадрат альфа делим на 2 равно 1 минус косинус альфа делим на 2. Это у нас будет 6 формула.
20: Формулы 5 и 6 называют формулами синуса и косинуса половинного угла, иногда их называют также формулами понижения степени если известен косинус альфа, то из формул 5 и 6 можно найти.
21: Синус альфа, делённое на 2 по модулю и косинус альфа делим на 2 по модулю знаки синус альфа делённое на 2 и косинус альфа деле.
22: На 2 могут быть определены, если известно, в какой четверти лежит угол альфа, делённое на 2.
23: Задача 1.
24: Вычислить.
25: Косинус альфа делим на 2.
26: Если косинус альфа равно - 0,02, и альфа у нас находится в промежутке от нуля до пи.
27: Итак, решение по формуле 5 косинус квадрат альфа делим на 2 u nas равно 1 плюс косинус альфа, делённое на 2.
28: Так как у нас косинус равен - 0,02 мы подставляем, получаем 1 - 0,02, делим на 2 1 - 0,02.
29: Это у нас будет.
30: 0,98, 0,98 делим на 2 получается 0,49.
31: Так как у нас альфа находится в промежутке от нуля до пи.
32: То альфа, делённая на 2, у нас находится в промежутке от нуля до пи, делённое на 2.
33: И поэтому это у нас получается 1 четверть косинус альфа, делённая на 2. В 1 четверти у нас имеет знак плюс, то есть больше нуля. Следовательно, косинус альфа, делённое на
34: 2 у нас равно.
35: Под корнем 0,49, а это у нас будет 0,7.
36: Разделив равенство 6 на равенство 5, мы получим формулу тангенса половинного угла значит тангенс квадрат альфа, делённое на 2 равно 1 минус косинус альфа.
37: Делим на 1 плюс косинус альфа. Это у нас будет 7 формула.
38: Задача 2.
39: Нам нужно вычислить тангенс альфа, делённое на 2. Если у нас косинус альфа равно 0,8 и
40: Альфа находится в промежутке от p до 2 пи.
41: По формуле 7 мы имеем тангенс квадрат альфа, делённое на 2 равно 1 минус косинус альфа делим на 1 плюс косинус альфа.
42: Так как у нас косинус альфа равно 0,8 мы подставляем 1 - 0,8 делим на 1 + 0,8, 1 - 0,8. Это у нас
43: 0,2 делим на 1 + 0,8, 1,8.
44: 0,2 делим на 1,8.
45: Значит, получаем.
46: 1, 5 мы делим.
47: На 9/5 или по другому 1 5 мы умножаем, на 5/9 пятёрки сокращаем, и у нас получается ответ 1 9.
48: По условию у нас альфа находится в промежутке от p до 2 пи, поэтому альфа, делённая на 2, у нас будет находиться в промежутке от p вторых.
49: До пи и так как это у нас 2 четверть во 2 четверти у нас тангенс, альфа, делённая на 2, будет меньше нуля.
50: Knack. Значит так как тангенс у нас во 2 четверти имеет знак минус. Получается тангенс альфа, делённое на 2 равно минус под корнем 1 9 выносим из под
51: Корня и получаем - 1 3
52: Это, это.
53: Задача 3.
54: Упростить выражение 1 минус косинус альфа делим на 1 плюс косинус альфа, умножаем котангенс квадрат альфа, делённый на 2 минус.
55: 1 плюс косинус альфа, делённое на 2.
56: Значит, мы смотрим.
57: У нас формула 1 минус косинус альфа 1 плюс косинус делим на 1 плюс косинус альфа. Это у нас 7 формула по 7 формуле. Это
58: У нас будет тангенс, квадрат альфа, делённое на 2.
59: Умножаем на котангенс квадрат альфа, делённое на 2.
60: Далее 1 плюс косинус альфа, делённое на 2. Это у нас косинус квадрат альфа, делённое на 2 5 формула. Значит мы получаем минус косинус квадрат альфа.
61: Делим на 2 по основным тригонометрическим тождеством тангенс квадрат альфа, умноженное на котангенс квадрат альфа, то есть по формуле тангенс альфа. Умножаем на
62: Тангенс альфа у нас равно 1, соответственно, это выражение у нас тоже будет равно 1. 1 минус косинус квадрат альфа, делённое на 2, так как у нас 1
63: Минус косинус, квадрат альфа будет равно синус квадрат альфа, а у нас выражение 1 минус косинус квадрат.
64: А у нас выражение 1 минус косинус квадрат альфа, делённое на 2, то мы получаем то, что у нас оно будет равно синус квадрат.
65: Альфа, делённая на 2.
66: Задача 4.
67: Решить уравнение 1 плюс косинус 2 икс равно 2 косинус икс.
68: Так, как у нас
69: 1 плюс косинус 2 икс.
70: Это у нас 2 косинус, квадрат икс, то данное уравнение примет вид.
71: 2 косинус квадрат икс.
72: Равно 2 косинус икс.
73: Отсюда.
74: 2 косинус квадрат икс - 2 косинус икс равно нулю выносим косинус.
75: За скобку 2 косинус икс скобки у нас остаётся косинус икс - 1 равно нулю.
76: Отсюда, значит, косинус икс равно нулю икс будет у нас равно и вторых, плюс и k, где k принадлежит множеству целых чисел, и то.
77: 2 косинус икс равно 1 x, y, nas, равно 2 p. N, где n принадлежит множеству целых чисел итак, исходное уравнение имеет 2 серии корней.
78: Задача 5 выразить.
79: Синус альфа.
80: Косинус альфа и тангенс альфа.
81: Через тангенс альфа, делённое на 2.
82: 1 синус альфа равно синус 2, умноженное на альфа, делённое на 2 по формуле синуса двойного угла мы получа.
83: 2 синус альфа делённое на 2 косинус альфа, делённое на 2.
84: 2 синус альфа делённое на 2 косинус альфа. Делённое на 2, делённое на 1. Можно рассмотреть так единицу мы можем представить в следующем виде. Значит, числитель, мы за
85: 2 синус альфа делённое на 2 косинус альфа, делённое на 2 единицу, представляем в виде синус квадрат альфа делённое на 2 плюс косинус квадрат альфа, делённое на 2.
86: Отсюда 2 тангенс, альфа, делённое на 2, делённое на 1 плюс тангенс, квадрат альфа, делённое на 2.
87: Итак.
88: Синус альфа будет равно 2, тангенс, альфа, делённое на 2, делённое на 1 плюс тангенс, квадрат альфа, делённое на 2.
89: 2.
90: Косинус альфа, значит, это у нас косинус 2, умноженное на альфа, делённое на 2 по формуле двойного угла. Это у нас косинус альфа косинус, квадрат альфа минус делённое.
91: На 2 минус синус квадрат альфа делённое на 2 значит косинус квадрат альфа делённое на 2 минус синус квадрат альфа, делённое на 2 делим на 1.
92: Косинус квадрат альфа делённое на 2 минус синус квадрат альфа, делённое на 2, делим на косинус квадрат альфа, делённое на 2.
93: Плюс синус квадрат альфа, делённое на 2.
94: Отсюда 1 минус тангенс, квадрат альфа, делённое на 2 1 плюс тангенс, квадрат альфа, делённое на 2.
95: Итак, косинус альфа будет равно 1 минус тангенс, квадрат альфа, делённое на 2 делим на 1 плюс тангенс.
96: Квадрат альфа, делённое на 2.
97: И 3 тангенс альфа равно тангенс 2 умножаем на альфа делённое на 2, равно 2, тангенс альфа, делённое на 2.
98: 1 минус тангенс, квадрат, альфа делённое на 2, то есть тангенс, альфа у нас равно 2 тангенс, альфа, делённое на 2 делим.
99: На 1 минус тангенс, квадрат альфа, делённое на 2.
100: 10. Эту формулу можно также получить почленным делением равенств 8 и 9 итак, по формулам 8 10 можно находить синус косинус и тангенс угла альфа зная тангенс угла альфа, делённое на.
101: 2.