ym104432846
Вставьте ссылку на видео из Youtube, Rutube, VK видео
Задайте вопрос по видео
Что вас интересует?
00:00:16
Формулы суммы и разности синусов и косинусов:
  • 1. Упрощено выражение «синус альфа плюс пи Двенадцатых + синус альфа минус пи Двенадцатых × синус пи»
  • 2. Применены формулы сложения и синуса двойного угла
  • 3. В результате преобразований получено значение выражения равное «sin π/6 × sin α», где sin π/6 = 1/2, следовательно, результат упрощенного выражения равен 1/2 sin α
00:03:29
Применение формул суммы и разности синусов:
  • Участники обсудили и записали формулу суммы синусов: sin(α + β) = 2·sin((α+β)/2)·cos((α-β)/2)
  • Рассмотрели применение данной формулы на примере sin(α + π/12) + sin(α − π/12)
  • Формулировали доказательства справедливости полученных формул сумм и разностей синусов и косинусов
00:09:40
Вычисление значений тригонометрических функций:
  • Нужно вычислить сумму синуса углов 75° и 15°
  • По формуле преобразована сумма синусов двух углов через разность углов
  • Итоговый результат вычислений равен $ rac{\sqrt{6}}{2}$
00:11:33
Преобразования произведений тригонометрических функций:
  • 1. Произведение преобразовано в выражение вида $2\sinlpha+\sqrt{3}$ и приведено к виду $4\sin rac{lpha}{2}+ rac{3}{2}\cos rac{lpha}{2}- rac{3}{2}$
  • 2. В процессе преобразования применена формула суммы синусов и косинусов через удвоение угла
  • 3. Окончательное решение содержит тригонометрические функции углов $lpha$ и $ rac{lpha}{2}$
00:13:28
Минимальное и максимальное значение выражения:
  • Наименьшее значение выражения синус альфа плюс косинус альфа равно −√2
  • Наибольшее значение выражения синус альфа плюс косинус альфа равно √2
  • Для доказательства тождеств использованы формулы преобразования произведений в суммы и разности
0: Здравствуйте, уважаемые студенты. Тема сегодняшнего занятия сумма и разность синусов, сумма и разность косинусов на прошлом занятии. Мы с вами рассмотрели формулы приведения формулы сложения. Теперь с помощью формул сложения выведем формулы суммы.
1: И разности синусов и косинусов. Для этого сразу рассмотрим задачу.
2: Задача 1.
3: Упростить выражение.
4: Синус альфа плюс пи Двенадцатых плюс синус альфа минус пи Двенадцатых, умноженное на синус пи.
5: Значит, используя формулу сложения и формулу синуса двойного угла, мы получим
6: Разложим, значит, синус альфа.
7: На косинус пи Двенадцатых.
8: Плюс косинус альфа синус пи 12 плюс.
9: Синус альфа.
10: Косинус и Двенадцатых.
11: Минус косинус, альфа синус и 12 все это умножаем на синус и 12.
12: Приведём подобные. У нас есть синус альфа косинус пи Двенадцатых и здесь синус альфа косинус пи Двенадцатых, косинус альфа синус пи Двенадцатых и минус косинус альфа синус пи Двенадцатых. Они у нас взаим.
13: Уничтожается 2 синус альфа косинус пи Двенадцатых.
14: Получаем.
15: Уничтожается. Получаем 2 синус альфа косинус пи Двенадцатых.
16: Умножаем на синус пи 12.
17: Итак, если мы объединим вот эту двойку и синус пи Двенадцатых косинус пи Двенадцатых, мы получим, значит, формула двойного угла для синуса.
18: Получается since 2 умноженное на пи Двенадцатых и умножаем на синус альфа 2 и 12 сокращаем, получаем синус пи Шестых, умноженное на
19: Синус альфа по таблице значения тригонометрических функций. Смотрим, чему у нас равен синус пи Шестых. Это будет 1 2 синус альфа. Это ответ.
20: Эту задачу можно решить проще если использовать формулу суммы синусов, значит, запишем теперь эту формулу синус альфа плюс синус бетта равно 2.
21: Синус альфа плюс бета делим на 2 косинус альфа минус бета 1 1 формула.
22: Синус альфа плюс бета делим на 2 косинус альфа минус бета делим на 2 1 формула.
23: С помощью этой формулы мы получаем, значит, запишем пример синус альфа плюс пи Двенадцатых, плюс синус альфа минус пи Двенадцатых.
24: Умножаем на 70 15.
25: По формуле теперь пишем 2 синус.
26: Вместо альфа у нас стоит вот эта скобка вместо бета у нас стоит вот эта скобка. Получаем альфа плюс пи Двенадцатых плюс альфа минус пи Двенадцатых делим на 2.
27: Косинус.
28: Альфа плюс пи Двенадцатых.
29: Минус альфа плюс p 12 делим на 2 и умножаем на синус альфа, значит, p. 12 здесь уничтожается, получается 2.
30: Синус альфа плюс альфа будет 2 альфа делим на 2 косинус.
31: 2 пи Двенадцатых делим на 2.
32: И умножаем на синус альфа.
33: 2 синус альфа.
34: Косинус.
35: Здесь у нас 12, здесь 15.
36: Косинус пи Двенадцатых получается, и умножаем на синус пи Двенадцатых тот же самый пример, и получилась у нас 1, 2 синус альфа.
37: Докажем теперь справедливость формулы 1.
38: Обозначим альфа плюс бета, делённое на 2 через икс, а альфа минус бета делим на 2 через игрек.
39: Тогда икс плюс игрек будет равно альфа.
40: Икс минус игрек будет равно бета.
41: Поэтому синус альфа.
42: Плюс синус бетта нас будет равно синус икс плюс игрек плюс синус икс минус игрек получается си.
43: Синус, икс, косинус, игрек плюс косинус икс синус игрек плюс синус икс косинус, игрек, минус косинус.
44: X синус игрек получается.
45: 2 синус икс косинус игрек, а это у нас 2 синус вместо x ставим альфа плюс бета делим на 2 косинус альфа минус.
46: Это делим на 2 наряду с формулой 1 используется формула разности синусов, а также формулы суммы разности косинусов запишем эти формулы.
47: Синус альфа минус синус бетта равно 2 синус альфа минус бета делим на 2, косинус альфа плюс бета делим на 2.
48: 2 формула косинус альфа плюс косинус бета равно 2 косинус альфа плюс бета делим на 2 косинус альфа минус бета делим на 3 3 формула.
49: И косинус альфа минус косинус бета равно - 2 синус альфа плюс бета делим на 2 синус альфа минус бета.
50: На 2 4 формула формула 3 4 доказывается так же, как и формула 1 формула 2 получается из формулы 1 заменой бета на минус бета.
51: Задача 2 вычислить синус 75 градусов.
52: Плюс синус 15 градусов.
53: Итак.
54: Значит, по формуле раскладываем 2 синус 75 градусов + 15 градусов. Делим на 2.
55: Умножаем на косинус.
56: 75 градусов - 15 градусов. Делим на 2 получаем.
57: 2 синус 45 градусов, косинус 30 градусов по таблице. Берём значение, значит, 2 умноженное синус 45. Это у нас
58: Под корнем 2, делённое на 2 косинус 30, это у нас под корнем 3, делённое на 2. Значит, здесь мы двойки сокращаем и получаем под корнем 6 делим на 2.
59: Это ответ. Задача 2.
60: 3. Преобразовать произведение 2 синус альфа плюс под корнем 3.
61: Значит, если мы вынесем за скобку двойку, мы получим здесь синус альфа плюс под корнем 3, делённое на 2.
62: Значит, под корнем 3 делённое на 2. Если мы посмотрим по таблице значение такое у нас принимает синус пи третьих. Поэтому мы можем под корнем 3, делённое на 2 заменить, как плюс синус пи 3.
63: Теперь раскладываем по формуле 2, умножаем 2 синус альфа плюс p, третьих делим на 2 косинус альфа.
64: Делим на 2, получаем 4 синус.
65: Альфа делённое на 2 + 3/6 косинус альфа, делённое на 2 - 3/6.
66: Это окончательный ответ.
67: Задача 4.
68: Доказать, что наименьшее значение выражения синус альфа плюс косинус альфа равно минус под корнем 2, значит синус альфа плюс косинус альфа.
69: Наименьшее значение будет у нас равно минус под корнем 2.
70: Наибольшее.
71: Будет равно подкормим 2.
72: Значит, преобразуем данное выражение в произведение.
73: Значит синус альфа плюс косинус альфа равно синус альфа плюс косинус альфа нам нужно заменить через синус мы
74: Применяем формулу приведения и получаем синус пи вторых минус альфа теперь по формуле синус альфа плюс синус бета раскладываем 2 синус.
75: Альфа плюс и вторых минус альфа делим на 2 косинус альфа альфа минус пи вторых.
76: Плюс альфа.
77: Делим на 2.
78: И получаем 2 синус. Здесь у нас альфа уничтожается. Пи вторых делим на 2. Это у нас будет пи четвёртых косинус альфа плюс альфа. У нас получается 2
79: Альфа, если мы поделим на 2, получается просто альфа минус пи четвёртых, так как наименьшее значение косинуса равно - 1, а наибольшее равно 1, то наименьшее значение данного выра.
80: У нас будет равно под корнем 2, умножаем на - 1, то есть минус под корнем 2, а наибольшее под корнем 2 умножаем на odin, равно под корнем 2 преобразованиях.
81: Метрических выражений, а также при решении некоторых уравнений используется формулы преобразования произведения в сумму или разность запишем эти формулы синус альфа косинус.
82: Beta равно 1 2 синус альфа плюс бета, плюс синус альфа минус бета.
83: Синус альфа синус бета равно 1 2 косинус альфа минус бета минус косинус альфа плюс бета.
84: Косинус альфа косинус бета равно 1 2 косинус альфа плюс бета плюс косинус альфа минус бета.
85: Задача 5.
86: Доказать тождество.
87: Синус альфа косинус бета
88: Равно 1 2 синус альфа плюс бета, плюс синус альфа минус бета.
89: Значит, приведём правую часть равенства с помощью формулы сложения кк ввиду левой, значит 1, 2 синус альфа плюс бета, плюс синус альфа минус бета.
90: Равно 1 2 синус альфа косинус, бета плюс.
91: Косинус, альфа синус бета.
92: Плюс синус, альфа косинус, бета минус косинус, альфа синус, бета. Получается 1, 2. Умножаем на
93: Синус альфа, косинус бетта.
94: Двойки сокращаем и получаем синус альфа, умноженное на косинус бета