0: Здравствуйте, уважаемые студенты. В предыдущем занятии мы с вами изучили тему формулы приведения для синуса, косинуса, тангенса и котангенса. А также с помощью этих формул мы решили вопро задания, напри.

1: Задача такая, нужно вычислить.

2: Синус 930 градусов.

3: Используя формулу.

4: Синус альфа + 2 пика равняется синус альфа. Мы эту задачу решили следующим образом. Синус 900

5: 30 градусов равняется синус 930. Мы можем выразить как 3 умноженное на 360 градусов. Это получается 3 полных оборота и - 150.

6: Градусов равняется по заданной формуле. Это синус - 150 градусов по изученной те

7: Знаки синуса. Знак минус выходит за скобки. Мы пишем синус 150 градусов и since 150 градусов. Мы, в свою очередь, можем показать ещё

8: Since 180 градусов - 30 градусов равняется минус синус 30 градусов, если посмотреть зна.

9: В таблице это будет - 1, 2.

10: Тема сегодняшнего занятия, мы переходим к изучению нового раздела. Это тригонометрические уравнения и 1 уравнение у нас уравнение косинус икс равняется, а

11: Из определения косинуса вы уже знаете, что косинус альфа принадлежит в промежутке от - 1 до 1, поэтому мы можем написать

12: 100 модуль а.

13: Больше 1.

14: То в этом случае уравнение косинус икс равняется, а

15: Имеет корней.

16: Например, уравнение косинус икс равняется - 1,5 не

17: Имеет корней.

18: Задача 1.

19: Нужно решить уравнение косинус икс равняется 1, 2.

20: Вы уже знаете, что косинус икс это опцици точки единичной окружности, полученной поворотом точки п с координатами 1 0 вокруг начала координат.

21: В нашем случае абцессы, равную 1 2 1 отмечаем точку 1, 2 она находится посередине ось x ось игрек проводим через эту точку.

22: Прямую.

23: И у нас получается 2 точки.

24: Отметим эти точки м. 1.

25: И 2 точка м 2.

26: Так как 1, 2 у нас равняется, если посмотреть значение точки м 1 это косинус угла и делённый на 3. То есть это 60 градусов, то в нашем случае точка м.

27: Получается поворотом точки с координатами 0 1 на угол x 1.

28: И x 1 равняется и делённое на 3, также она получается поворотом угла.

29: Поворотом точки п на углы p. Делённый на 3 + 2 пи к где?

30: К равняется плюс - 1, плюс - 2 и так далее.

31: Точка м же получается поворотом точки п с координатами 1 0 на угол x 2 идём по часовой стрелке, значит, здесь будет угол минус пи, делённый на.

32: 3.

33: Это 2 значение x 2 равняется минус пи, делённый на 3. Также можно записать то, что получаются углы минус пи, делённый на 3 + 2.

34: P. K. Где k равняется плюс - 1, плюс - 2 и так далее.

35: Итак, все корни уравнения, косинус икс равняется 1. 2 можно найти по следующим формулам. Это икс равняется пи делённое на

36: 3 + 2 пи-ка ка принадлежит множеству целых чисел, и икс равняется минус пи делённое на 3 + 2 пи-ка ка принадлежит.

37: Множество целых чисел вместо этих формул обычно пользуются 1 формулой икс равняется плюс минус пи, делённое на 3 + 2 пи-ка.

38: K принадлежит множеству целых чисел.

39: 2 задача.

40: Решить уравнение.

41: Косинус икс равняется - 1, 2 абцисса, равная - 1, 2 имеет 2.

42: Точки окружности тоже также начертим систему координат.

43: Начертим окружность.

44: Отметим точку - 1 2, так как ось икс это абцисса.

45: Напишем, что это - 1 2.

46: Через эту точку проведём.

47: Прямую.

48: Пересекающуюся окружность. И у нас получается 2 точки. Отметим их как точки м 1 и точка м 2.

49: Так как - 1 2 у нас равняется получается косинус угла 2 p, делённый на 3 то.

50: Угол x 1 в этом случае это 2 пи, делённое на 3, поэтому x 2 угол.

51: То есть у нас была задана начальная точка с координатами 1 0, мы её переворачиваем на угол x 1, переворачиваем на угол икс 2, получается точка м 2 и в этом случае, следовательно, икс.

52: X 2 равняется у нас - 2 пи, делённое на 3, потому что направление угла альфа идёт по часовой стрелке.

53: Следовательно, все корни уравнения икс косинус икс.

54: Равняется - 1, 2 мы можем записать общей формулой икс равняется плюс - 2 пи, делённый на 3 + 2 p. K. Где k.

55: Принадлежит множеству целых чисел. Таким образом, каждое из уравнений. 1 мы рассмотрели косинус икс равняется 1, 2 и косинус икс равняется - 1, 2 имеет бесконечное

56: Множество корней, а на отрезке от нуля до пи каждой из этих уравнений имеет только 1 корень. Это точка. 1 в 1 примере была точка.

57: М. 1 p. Делённый на 3.

58: Итак, запишите, что на отрезке от нуля до пи уравнение имеет 1 корень в 1 случае это был корень пи, делённый на 3 и во 2 случае это корень 2 p, делённый на 3 число пи делённое на 3.

59: Называют арккосинусом числа 1, 2.

60: А число 2 пи, делённое на 3.

61: Называют.

62: А косинусом числа - 1, 2.

63: И его записывают арккосинус.

64: - 1, 2 равняется 2 пи, делённое на 3.

65: Вообще уравнение косинус икс равное, а

66: Где?

67: А принадлежит от - 1 до 1.

68: Имеет на отрезке.

69: От нуля до пи радиан только 1 корень.

70: Если, а больше или равно нулю.

71: То корень заключается.

72: На промежутке от нуля до пи делённый на 2 радиан.

73: А если а меньше нуля, то в промежутке от p делённый на 2 пи, делённый на 2 до пи.

74: Тоже будет 1 корень. Этот корень называют арксинусом числа а и обозначают арккосинус а

75: Итак, если посмотреть на рисунке в случае, если угол альфа больше или равно нуля, в этом случае получается 1 корень и в случае, если угол альфа на

76: Находится меньше нуля, но больше - 1. В этом случае тоже получается 1 корень косинусом числа, а из промежутка - 1 до 1 1 называется. Так

77: Число альфа, которое принадлежит промежутку от нуля до пи, косинус которого равен а то есть косинус, а равняется альфа, если косинус альфа равняется, а и угол альфа принадлежит от нуля до Передин.

78: Пример арккосинус.

79: Числа 1 3, делённая на 2 ой квадратный корень из 3, делённый на 2, равняется пи делённое на 6, так как если вы посмотрите значение в таблице косинус пи делённое на.

80: Оно равняется квадратный корень из 3, делённый на 2, и угол альфа в этом случае принадлежит и делённый на 6 действительно промежутку от нуля до пи, например, если посмотреть.

81: Арккосинус.

82: Минус квадратный корень из 3, делённый на 2, оно равняется 5 пи, делённое на 6.

83: Так как если посмотреть в таблице значение косинуса 5 и делённое на 6 рав.

84: Минус квадратный корень из 3, делённый на 2, и угол 5 p, делённый на 6, действительно принадлежит промежутку от нуля до пи радиан.

85: Аналогично тому, как это сделано при решении первых и вторых задач можно показать, что все корни уравнения косинус икс равняется, а где модуль? А у нас меньше 1 можно нахо.

86: По формуле икс равняется плюс минус.

87: Арккосинус числа а + 2 пи-ка ка принадлежит множеству целых чисел. Запишем. Как это 2 формула? 3.

88: Задача.

89: Вот только что на написанной формуле мы можем написать корень данного уравнения икс равняется плюс минус аркосинус.

90: - 0,75 + 2 пи-ка ка принадлежит множеству целых чисел. Значение a. Косинуса можно найти приближённо после.

91: Схеме.

92: Здесь вы можете транспортёром посмотреть угол приближённо или через микрокалькулятор. Можете найти значение арксинуса - 0,75.

93: Это приближённо равняется 2,42.

94: Следующая задача. Нужно решить следующее уравнение. Здесь у нас 1 случай. 4 косинус икс - 1 равняется нулю. Отсюда косинус четы.

95: 4 косинус икс равняется 1 и косинус икс равняется делим обе части на 4 1 4 и пишем ответ. Икс равняется плюс минус косинус.

96: 1 4 + 2 p. K. Где k принадлежит множеству целых чисел.

97: И 2 случай, когда у нас 2 множитель равняется нулю.

98: 2 косинус 2 икс + 1 равняется нулю.

99: Отсюда 2.

100: Косинус 2 икс равняется - 1, обе части делим на 2 косинус 2 икс равняется - 1, 2 и 2 икс равняется.

101: Плюс минус применяем 1 формулу 2 пи делённое на 3 + 2 пи к обе части делим на 2 получается икс равняется.

102: Плюс минус пи делённое на 3 плюс p k, где k принадлежит множеству целых чисел, пишем ответ.

103: Икс равняется плюс минус аркосинус 1 4 + 2 пика и 2 ответ x.

104: Равняется плюс минус пи, делённое на 3 плюс p k k принадлежит множеству целых чисел.

105: Можно доказать, что для любого, а принадлежащему промежутку от - 1 до 1 справедлива следующая формула арккосинус ми.

106: Синуса равняется пи минус аркосинус, а

107: Запишем это как 3 формулу эта формула позволяет нам находить значение a косинусов отрицательных чисел через значение a косинусов положительных чисел, например a.

108: Косинус - 1, 2 равняется по этой формуле. Мы можем написать это пи минус, а косинус числа 1, 2 пи.

109: Минус. Если вы посмотрите значение, то арккосинус числа 1, 2 это пи делённое на 3, и в ответе получится 2 пи делённое на 3 или, например, арккосинус числа.

110: Минус квадратный корень из 2, делённый на 2 по только что заданной формуле мы можем написать то, что это пи минус аркосинус числа квадратный корень из 2, делённый на 2. Это

111: Равняется пи минус смотрим значение в таблице пи делённое на 4 равняется. Если привести к общему знаменателю, это будет 3 пи делённое на 4 из формулы 2 следует, что корни уравне.

112: Косинус икс равняется, а при а равном нулю и а равной единице и а равно минус единице можно находить по более простым формулам. Записываем эти формулы.

113: Косинус икс равняется нулю. В этом случае икс равняется. Это частные случаи. Икс равняется пи делён на 2 плюс пи-ка ка принадлежит множеству целых.

114: Чисел.

115: Косинус икс

116: Равняется 1 здесь икс равняется 2 пи-ка ка тоже принадлежит множеству целых чисел.

117: Косинус икс равняется - 1 икс равняется в этом случае p + 2 пи-ка ка принадлежит множеству целых чисел Зада.

118: 5.

119: Решить уравнение косинус икс, делённое на 3, равняется - 1 из формулы 6, только что написанной, мы можем написать это получается частный случай икс, делённый на 3, равняется пи плюс.

120: 2 mika ка принадлежит множеству целых чисел.

121: Умножаем на 3 и находим икс икс равняется 3 p + 6 p. K, где k принадлежит множеству целых чисел итак, на сегодня.

122: Уроке вы научились как решать уравнение косинус?