ym104432846
Вставьте ссылку на видео из Youtube, Rutube, VK видео
Задайте вопрос по видео
Что вас интересует?
00:00:48
Решение уравнений с использованием арккосинуса:
  • 1. Решением уравнения $\cos x = a$ являются выражения
  • 2. Если $\sin x = a$, где $|a| \leq 1$, корни уравнения находятся в пределах $-1 \leq \sin x \leq 1$
  • 3. Обсуждались частные случаи решений уравнений вида $\cos x = a$ и $\sin x = a$
00:03:15
Графическое представление уравнений с синусом:
  • 1. Рассмотрено решение уравнения синуса, где указано, что синус угла равен ординате точки единичной окружности после поворота начальной точки на заданный угол
  • 2. Определены формулы нахождения точек пересечения единичной окружности с осями координат после поворота на углы α (x₁ = π/6, x₂ = 5π/6)
  • 3. Обозначены общие выражения для углов поворота точки P: x₁ = π/6 + 2πk, x₂ = 5π/6 + 2πk, где k принимает значения ±1, ±2 и т.д
00:06:31
Формулы корней уравнений с синусом:
  • 1. Найдены два корня уравнения $\sin(x)=1/2$
  • 2. Найдено два корня уравнения $\sin(x)=-1/2$
  • 3. Оба уравнения имеют бесконечное количество решений (корней), принадлежащих интервалу от $- rac{\pi}{2}$ до $ rac{\pi}{2}$
00:13:24
Определение арксинуса:
  • Определено понятие арксинуса числа (число α), которое удовлетворяет условию sin(α) = a и принадлежит промежутку от −π/2 до π/2
  • Приведены значения арксинуса некоторых чисел, например: арксинус √2/2 = π/4, арксинус −√3/2 = −π/3
  • Рассмотрен способ нахождения корней уравнений вида sin(x) = a, где |a| < 1, используя формулу x = (-1)^k arcsin(a) + πk, где k ∈ Z
00:26:53
Частные случаи уравнений с синусом:
  • 1. Рассмотрено уравнение вида синус икс = a, найдены способы нахождения корней уравнения для трех частных случаев (a=0, a=1, a=-1)
  • 2. Изложены три формулы для нахождения корней уравнений в зависимости от значения параметра a
  • 3. Объявлено, что следующая тема занятий будет посвящена решению уравнения синус 2х = 1
0: Здравствуйте, уважаемые студенты. В предыдущем занятии мы с вами рассмотрели тему уравнения косинус икс равное, а вы познакомились с понятием а. Косинуса числа. А арко.
1: Косинусом числа, а из промежутка - 1 1 называется такое от промежутка от нуля до пи косинус, который равен арккосинус.
2: Число, а, и вы его пишите, а равное альфа, если
3: Косинусом числа, а из промежутка - 1 1 называется такое число от промежутка, от нуля до пи косинус, который равен а и вы его пишите, арккосинус, а равное альфа, если
4: Косинус альфа равняется, а и угол альфа принадлежит от нуля до пи радиан, и вы узнали, познакомились со способами решения.
5: Уравнение косинус икс равняется, a1 это икс равняется плюс минус аркосинус, а + 2 p k k принадлежит множеству целых.
6: Систем.
7: Также способ решения, если у вас угол альфа отрицательный, то есть арккосинус.
8: Минус, а равняется пи минус аркосинус а и ещё существуют частные случаи, при которых, например, косинус икс.
9: Равное нулю решение данного уравнения будет следующим. Икс равняется пи делённое на 2 плюс пи-ка ка принадлежит множеству целых чисел. Также если косинус и
10: Равняется единице. В этом случае решение данного уравнения будет выглядеть следующим образом. Икс равняется 2 пи-ка ка принадлежит множеству целых чисел. И 3 случай, когда косинус икс рав
11: Равняется минус единица в этом случае решение будет икс равняется пи + 2 p k k принадлежит множеству целых чисел тема сегодняшнего занятия.
12: Синус икс равное, а из определения синуса вы уже знаете, что синус альфа принадлежит промежутку от - 1 до 1, то есть принимает все значения в этом промежутке.
13: Поэтому мы пишем, что модуль, а больше единицы, то уравнение синус икс.
14: Не имеет корней.
15: То есть уравнение синус икс не может принимать значение больше 1. Например, синус икс равняется 2. У данного уравнения нет корней.
16: Задача 1 нужно решить уравнение синус.
17: Равное единице 1, 2 напомню, что синус икс это ордината, точки, единицы окружности, полученной поворотом точки ps.
18: 1 0 вокруг начала координат на угол x.
19: Чертим декартовую систему координат.
20: Чертим окружность.
21: Это единичная окружность, потому что радиус данной окружности равняется единице. Отмечаем точки оси, отмечаем икс начальную точку и отмечаем точку.
22: 1, 2, это, как я уже говорила, это координата точки 1, 2.
23: Получается у нас начальная точка с координатами 1 0. Мы её поворачиваем на угол альфа. И здесь получается 2 точки, проходящие через
24: Эту точку, которая пересекает окружность, отметим мы эти точки м. 1 и м 2.
25: Точка m 1 получается поворотом точки п а п на угол x 1, а точка м получается поворотом точки п на угол x 2.
26: И здесь мы можем написать, что 1 2 у нас равняется в этом случае это точка м 1 это синус пи, делённое на 6, это 30 градусов, получается, это пи делённое на 6 она получ.
27: У нас поворотом точки п. На угол x 1.
28: Также мы можем записать икс равняется пи делённое на 6 + 2 p k, где k у нас равняется плюс - 1 плюс.
29: - 2 и так далее.
30: Точка м 2 получается из точки п 1 поворотом на угол x 2 икс 2 равняется это получается угол 5 p деле.
31: На 6 также эта точка получается поворотом угла на 5 пи, делённое на 6 + 2 p. K, где k принадлежит.
32: Дека равняется плюс - 1, плюс - 2 и так далее.
33: Итак, корни данного уравнения синус икс равной 1 2 можно найти по формулам у нас получилось, что икс равняется пи делённое на 6 + 2 пика.
34: И 5 пи делённое на 6 мы можем показать, как это пи минус пи делённое на 6 получается тоже самое значение 5 пи делённое на 6 + 2 пи-ка ка принадлежит множеству.
35: Целых чисел, объединяя эти формулы.
36: Мы можем написать 1 формулу, что икс равняется - 1 в степени n, умноженное на пи делённое на 6 плюс пи ка-ка.
37: Принадлежит множеству целых чисел. Запишите эту формулу как 1 формула. На самом же деле, если n чётное число
38: То есть and равняется 2 к то из формулы 1 у нас получается.
39: Икс равняется пи делённое на 6 + 2 пи к а если у нас n нечётное здесь н напишем чётное?
40: А здесь n нечётное.
41: То есть, н равняется 2 к + 1. В этом случае решение из 1 уравнения следует, что икс равняется пи минус пи, делённое на
42: 6 + 2 пика. И таким образом, ответ данного уравнения будет
43: - 1 в степени n. Умноженное на пи, делённое на 6 плюс и k, где k принадлежит множеству целых чисел.
44: Задача 2.
45: Решить уравнение. Синус икс равняется - 1, 2 координату, равную - 1, 2 по окружности, имеет 2 точки. Также на
46: Чертим декартовую систему координат.
47: Начертим окружность.
48: Ось, игрек и ось икс. Начальная точка задана точка - 1 2. Отмечаем эту точку - 1 2. Проводим через эту точку прямую она
49: Будет пересекать, пересекать окружность в 2 точках отмечаем эти точки как m 1, i, m 2.
50: М. 1 и m 2 угол m 1 у нас получается поворотом.
51: Точки п с координатами 1 0 на угол x 1, а угол точка м 2 получается поворотом точки п на угол x 2.
52: И мы можем записать следующие ответы, что
53: Sen - 1 2.
54: Равняется.
55: Минус и делённый на 6 плюс.
56: Так сразу запишем ответ, потому что мы уже знаем, что эта точка m 1 это - 30 градусов, потому что направление идёт по часовой стрелке и сразу запишем ответ икс равняется минус.
57: Пи делённое на 6 и + 2 пика. То есть если мы сделаем 1 оборот, получается та же точка и 2 точка это точка м, 2 и минус, это будет - 5 пи, делённое на 6.
58: Плюс тоже самое прибавляем 2 p. K. K принадлежит множеству целых чисел.
59: Эти 2 формулы мы сейчас можем объединить в 1 формулу и написать икс равняется - 1 в степени n минус пи, делённое на 6 плюс пи ка-ка.
60: Принадлежит множеству целых чисел. Запишите это как 2 формула.
61: Это и будет являться ответом нашего данного уравнения. Итак, каждое из уравнений синус икс равное. 1 2. Мы рассмотрели 2 уравнения. Синус икс равняется 1, 2 и
62: Минус икс равняется - 1, 2, каждое из этих уравнений имеет бесконечное множество корней на на отрезке.
63: От минус пи, делённый на 2 до пи, делённый на 2, каждое из этих уравнений имеет только 1 корень.
64: То есть мы записали икс. 1 равняется пи делённое на 6, это корень уравнения.
65: Синус икс равняется 1, 2.
66: И 2 корень x 1 мы его тоже записали минус пи, делённое на 6, это корень уравнения.
67: Синус икс равняется - 1 2.
68: Число пи делённое на 6, называют арксинусом.
69: Числа 1 2 и записывают его арксинус.
70: 1, 2 равняется пи делённое на 6.
71: Минус пи делённое на 6 называют числа - 1 2 и пишут его как синус.
72: - 1, 2 равняется минус пи делённое на 6 вообще уравнение синус икс равняется а где?
73: А принадлежит от - 1 до 1 на отрезке.
74: От минус пи делённый на 2 до пи делённый на 2.
75: Имеет только 1 корень.
76: Если, а больше или равно нуля, то в этом случае корень заключается в промежутке от нуля до пи делённое на 2 если, а меньше нуля, то корень заключается в промежутке от минус пи делённое на 2 до.
77: Нуля этот корень и называют арксинусом числа а и пишет его сокращённо арксинус, а то, что вы написали, сейчас объясню на схеме, то есть задано число, а число, а положительное.
78: От нуля до единицы принимает значение. То есть он может быть и нулём, он может быть и единицей. В этом случае при повороте точки п на угол получается точка, то есть
79: Получается в этом случае 1 корень, потому что промежуток от нуля до пи, делённый на 2. Как вы уже написали, 2 случай, если у вас заданная точка отрицательная, вы видите здесь то, что точка, а при
80: Принадлежит от промежутка, от нуля до - 1, причём точка 0 не входит и получается при повороте точки п на угол альфа в промежутке от нуля до
81: Минус пи, делённый на 2, если здесь отметить, получается тоже 1 корень.
82: Этот корень и называют арксинусом числа, а напишем определение арксинусом числа.
83: А принадлежащему промежутку от - 1 до 1 называется такое число альфа.
84: Который принадлежит промежутку от минус пи, делённый на 2 до пи, делённый на 2 синус.
85: Которого равен, а?
86: То есть арксинус.
87: А равняется альфа, если
88: Синус альфа равняется а и выполняется условие, что угол альфа принадлежит промежутку от минус пи, делённый на 2 до.
89: P. Делённый на 2 запишите как 3 формула, например.
90: Арксинус, квадратный корень из 2, делённый на 2, равняется пи делённый на 4. Если вы посмотрите в таблице так как си.
91: P. Делённый на 4 если вы посмотрите в таблице тригонометрических значений синус пи, делённый на 4, равняется квадратный корень из 2, делённый на 2, и угол альфа принадлежит от.
92: Минус пи делённое на 2, то есть пи делённое на 4, действительно принадлежит промежутку от минус пи делённое на 2 до пи делённое на 2.
93: 2, например, арксинус минус квадратный корень из 3, делённый на 2, равняется минус пи, делённый на 3. Так?
94: Как если вы посмотрите в значение синус минус пи, делённый на 3 минус, просто выходит за скобки. И вы смотрите синус пи, делённый на 3, это будет минус квадратный корень.
95: 3 делённый на 2 и угол пи, делённый на 3 минус пи, делённый на 3, действительно принадлежит промежутку от минус пи, делённый на 2 до пи, делённый на 2.
96: И аналогично, как это было сделано при решении задач 1 и 2 можно показать, что корни уравнения синус икс равны, а
97: Где, а?
98: Меньше, где модуль, а меньше единицы. Можно выражать формулу, то есть решение уравнения синус икс равный, а будет выглядеть следующим образом. Икс равняется - 1 в степени n или
99: Вы можете написать его к арксинус умножен на арксинус, а плюс p k, где k принадлежит множеству целых чисел.
100: 4 формула задача 3 нужно решить уравнение синус икс.
101: Равняется 2/3 по формуле 4 мы находим икс равняется - 1 в степени k арксинус.
102: Числа 2/3 плюс пи-ка ка принадлежит множеству целых чисел.
103: Задача 4.
104: Нужно решить уравнение 3 синус икс - 1, умноженное на 2 синус 2 икс.
105: + 1 равняется нулю. Здесь может быть 2 случая. 1 случай это когда 1 множитель 3, синус икс - 1.
106: Равняется нулю. Отсюда синус 3, синус икс равняется единице, синус икс равняется 1, 3 и по четвер.
107: Это формуле мы можем написать ответ икс равняется, то есть решение - 1 в степени к арксинус, 1 3 плюс пик.
108: K принадлежит множеству целых чисел, и 2 случай, когда 2 множитель равняется нулю, то есть 2 синус, 2 икс плюс.
109: 1 равняется нулю, отсюда 2 синус 2 икс равняется - 1, синус 2 икс равняется - 1.
110: 2.
111: Отсюда по 4 формуле 2 икс равняется - 1 в степени k, арксинус - 1, 2 плюс p.
112: K. K принадлежит множеству целых чисел.
113: 2 икс равняется - 1 в степени к смотрим значение арксинуса - 1, 2 это будет минус пи делённое на 6.
114: Плюс пи-ка ка принадлежит множеству целых чисел. - 2 икс равняется
115: - 1 в степени вот этот минус мы показываем как - 1 в степени-ка + 1.
116: Арксинус.
117: P. Делён на 6 плюс p. K. K принадлежит множеству целых чисел, делим обе части на 2 икс равняется - 1 в степени.
118: Ка + 1 p. Делённый на 6 делим на 2 получается p делённый на 12 плюс пи-ка, делённый на 12, где k принадлежит множеству целых чисел.
119: Итак, у данного уравнения получилось 2 решения, пишем их в ответе.
120: Тоже также можно доказать, что для любого альфа, а принадлежащему промежутку от - 1 до 1 справедлива следующая формула арксинус минус.
121: А равняется минус арксинус, a5 формула, эта формула позволяет находить значение арксинусов отрицатель
122: Чисел, через значение арксинусов, положительных чисел, например.
123: Арксинус - 1, 2 равняется по заданной формуле минус арксинус. 1 2. Смотрим значение.
124: Это будет минус пи делённое на 6 или, например.
125: Арксинус числа минус квадратный корень из 3, делённый на 2 по 5 формуле минус выходит вперёд минус арксинус ква.
126: Квадратный корень из 3, делённый на 2, это будет минус пи, делённый на 3 смотрим значение в таблице отметим, что из формулы 4 следует.
127: Что корни уравнения синус икс равные, а при а равном нулю единице минус единица можно находить по более простым формулам. То есть это мы рассматриваем как частные случаи, так
128: Случаев 3 когда уравнение синус икс равняется нулю синус икс равняется 1, и синус икс равняется минус.
129: 1. В 1 случае корень уравнения находится по формуле икс равняется p k, где k принадлежит множеству целых чисел. Запишем это как 6 формула, 2 случай ко.
130: Находится по формуле икс, равняется пи делённый на 2 + 2 пи-ка ка принадлежит тоже также множеству целых чисел 7 формула и для 3.
131: Корень находится по формуле икс равняется минус пи, делённый на 2 + 2 p k, где k принадлежит множеству целых чисел.
132: Задача 5.
133: Нужно решить следующее уравнение.
134: Синус 2 икс равняется 1 по формуле 7. Мы можем написать, что 2 икс
135: Так и запишу по формуле 7.
136: 2 икс равняется пи делённый на 2 + 2 пи-ка отсюда икс равняется.
137: Обе части данного уравнения делим на 2 пи делённое на 2, делим на 2 получается пи делённое на 4 2 пи к делим на 2 получается p k k принадлежит множеству целых чисел итак, на сегодняшнем занятии мы с вами.
138: Рассмотрели уравнение синус икс равное а и вы узнали, как решить находить корни данного уравнения, и рассмотрели 3 частных случая тема следующего занятия уравнение.