ym104432846
Вставьте ссылку на видео из Youtube, Rutube, VK видео
Задайте вопрос по видео
Что вас интересует?
00:00:32
Решение простейших тригонометрических уравнений:
  • 1. Получено квадратное уравнение относительно переменной «синус икс»
  • 2. Дискриминант найден равным 9
  • 3. Найдены два корня уравнения: 1 и −2
00:02:10
Применение формул и методов решения тригонометрических уравнений:
  • Решено выразить синус икс через новую переменную y = sin(x), после чего получено квадратное уравнение относительно y
  • В задаче №4 решено уравнение, приведенное к виду a * tg²x + b * tg(x) + c = 0, где a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0
  • Для решения уравнений использованы методы замены переменных, преобразования тригонометрических функций и нахождения корней квадратных уравнений
00:22:10
Использование метода введения вспомогательного угла:
  • 1. Рассмотрено решение тригонометрического уравнения методом введения вспомогательного угла
  • 2. Получено выражение вида $\sin(x+ arphi)=1$, где $\cos( arphi)= rac{4}{5}$, $\sin( arphi)= rac{3}{5}$
  • 3. Найдено общее решение уравнения в виде $x= rac{\pi}{2}-arccos rac{4}{5}+2\pi n$
00:24:43
Методы разложения уравнений на множители:
  • 1. Рассматривались методы решения тригонометрических уравнений (разложение на множители, формулы приведения, сумма и разность косинусов)
  • 2. Приведены конкретные уравнения и способы их преобразования (например, уравнение вида $\sin 2x - \sin x = 0$ решено через формулу синуса двойного угла)
  • 3. Обсуждались различные варианты решений уравнений, включая использование формул приведения и суммирования тригонометрических функций
0: Здравствуйте, уважаемые студенты. Тема сегодняшнего занятия. Решение тригонометрических уравнений. В предыдущих параграфах были выведены формулы корней простейших тригонометрических уравнений. Синус икс равно, а косинус икс равно а
1: Xxx равно а к этим уравнениям сводятся другие тригонометрические уравнения для решения большинства таких уравнений требуется применение различных формул и преобразование тригонометрических выражений рассмотрим некоторые примеры.
2: Решение тригонометрических уравнений задача 1.
3: Решить уравнение синус квадрат икс плюс синус икс - 2 равно нулю это уравнение является квадратным относительно синус икс, обозначив синус икс.
4: Через игрек мы получим уравнение игрек квадрат плюс игрек - 2 равно нулю.
5: С помощью дискриминанта находим 1 в квадрате - 4 на 1, на - 2, то есть 1 + 8 равно 9.
6: 1 корень 1, 2 корень - 2. Таким образом, решение исходного уравнения свелось к решению простейших уравнений синус икс.
7: Равно 1 и синус икс, равно - 2 уравнение синус икс равно 1 имеет корни икс равно пи вторых + 2 p n, где n.
8: Принадлежит множеству целых чисел. Уравнение синус икс равно - 2 не имеет корней, так как у нас - 2 не принадлежит промежутку от - 1 до 1. Таким образом, ответ
9: Икс равно пи вторых + 2 p. N, где n принадлежит множеству z, задача 2.
10: Решить уравнение 2 косинус квадрат икс - 5 синус икс + 1 равно нулю заменяя косинус ква.
11: Квадрат икс на 1 минус синус квадрат икс мы получим 2, умножаем 1 минус синус квадрат икс - 5.
12: Синус икс + 1 равно нулю раскроем скобки получим 2 - 2 синус квадрат икс - 5 синус икс + 1 равно нулю.
13: Подобные приводим, получаем - 2 синус квадрат икс - 5 синус икс + 3 равно нулю умножим на
14: - 1 и поменяем знаки 2 синус квадрат икс + 5 синус икс - 3 равно нулю.
15: Обозначим синус икс как игрек. Получим 2 игрек квадрат + 5. Игрек - 3. Равно нулю отсюда. Значит, мы
16: Получим корни игрек 1 равно - 3 игрек 2 равно 1 2.
17: 1 синус икс равно - 3 уравнение не имеет корней, так как у нас - 3 по модулю больше 1, 2 синус икс.
18: Равно 1, 2 отсюда икс равно.
19: - 1 в степени n. Арксинус 1, 2 плюс и and.
20: - 1 в степени n p Шестых плюс p n, где n принадлежит множеству целых чисел, таким образом, ответ.
21: Икс равно - 1 в степени n. P Шестых плюс p. N.
22: Задача 3 решить уравнение 2 синус квадрат икс минус косинус икс - 1.
23: Равно нулю используя формулу синус квадрат икс равно 1 минус косинус квадрат икс получаем 2 умножаем на 1 минус косинус, квадрат икс минус косинус икс.
24: - 1 равно нулю получим следующее уравнение 2 косинус квадрат икс плюс косинус икс - 1 равно нулю заменим коси.
25: Синус икс через игрек получим квадратное уравнение. 2 игрек квадрат минус игрек - 1 равно нулю с помощью дискриминанта находим корни. Они у нас получаются игрек 1 равно.
26: Игрек 2 равно - 1, 2.
27: 1 уравнение у нас получается косинус икс равно 1 это частный случай, значит икс равно 2 p. N, где n принадлежит множеству целых чисел, 2 коси.
28: Синус икс равно - 1 2.
29: Xxx равно плюс минус арккосинус, - 1, 2 + 2 p. N.
30: Плюс минус.
31: 2 пи третьих.
32: + 2 пи.
33: Где n принадлежит множеству целых чисел. Значит ответ.
34: Xxx равно 2 пи.
35: Xxx равно плюс - 2 пи третьих + 2 пи.
36: Задача 4.
37: Решить уравнение тангенс икс - 2 котангенс икс + 1 равно нулю, так как котангенс икс у нас
38: Равен 1 делим на тангенс икс, то уравнение можно записать в виде тангенс икс, - 2 делим на тангенс икс + 1 равно нулю умножа.
39: Обе части уравнения на тангенс икс мы получим, значит, мы перемножаем на тангенс икс.
40: Мы получаем тангенс, квадрат икс плюс тангенс, икс, - 2 равно нулю отсюда заменим тангенс на игрек, тангенс, икс равно игрек получим.
41: Квадратное уравнение игрек квадрат плюс игрек - 2. Корни его 1 - 2.
42: Значит, 1 уравнение получается тангенс икс. Равно 1, отсюда икс равно пи четвёртых.
43: Plus i n, где n принадлежит множеству целых чисел.
44: 2 тангенс икс равно - 2 икс, равно арктангенс - 2 плюс ПИН или по другому.
45: Минус арктангенс 2 плюс и где and у нас принадлежит множеству целых чисел.
46: Отметим, что левая часть исходного уравнения имеет смысл если тангенс икс не равно нулю и котангенс икс не равно нулю, так как для найденных корней тангенс икс не равно нулю и котангенс икс не равно нулю, то исходное уравнение равносильно уравнению.
47: Тангенс квадрат, икс плюс тангенс икс - 2. Ответ.
48: Икс равно 3/4.
49: Икс равно пи четвёртых плюс p n икс равно минус атанге 2 плюс p n n минус.
50: Лежит множество целых чисел.
51: Задача 5.
52: Решить уравнение 3 косинус квадрат 6 икс + 8, синус 3, икс косинус 3 икс - 4 равно нулю.
53: Используя формулы синус квадрат 6, икс плюс косинус квадрат 6 икс, равно 1 синус 6 ix, равно 2 синус.
54: 3 икс косинус, 3 икс.
55: Преобразуем уравнение.
56: Значит, 3. Умножаем 1 минус синус квадрат 6 икс + 4 синус 6 икс - 4 равно нулю.
57: Отсюда мы получаем, преобразуем и получим следующее уравнение 3 синус квадрат 6, икс - 4, синус 6 икс + 1 равно нулю.
58: И обозначим синус 6 икс через игрек. Отсюда мы получаем квадратное уравнение. 3 игрек квадрат - 4 игрек + 1 равно нулю. Откуда у нас игрек 1?
59: Равно 1 игрек 2 равно 1 трети. Значит переходим обратно к замене и получаем синус 6 ix, равно 1 отсюда у нас 6 ix равно и.
60: + 2 p. N. Потому что это у нас частный случай, то есть xx равно на 6 мы делим каждое слагаемое, получаем пи Двенадцатых плюс p n на 3, где?
61: Принадлежит множеству целых чисел.
62: 2 синус 6 ix равно 1 3 отсюда у нас 6 x будет равно - 1 в степени n арксинус.
63: 1 трети плюс пине.
64: X будет равно - 1 в степени n делим на 6 арксинус 1, 3 плюс.
65: Pi н Шестых, где n принадлежит множеству целых чисел.
66: Задача 6.
67: Значит, если первые 5 задач у нас были задачи, приводящиеся к квадратным, значит, здесь у нас будет уравнение, а синус икс плюс б косинус.
68: Xxx равно ц. Значит, нам нужно решить уравнение 2 синус икс, - 3 косинус икс равно нулю, поделив уравнение на косинус.
69: X. Мы получим, значит, каждый если мы поделим на косинус икс, мы получим, значит, 2 там.
70: Икс - 3 равно нулю.
71: Отсюда тангенс икс равно 3 2 икс равно арктангенс 3/2 плюс p. N.
72: Где n принадлежит множеству целых чисел. При решении этой задачи обе части уравнения 2 синус икс - 3 косинус икс были поделены на косинус икс. Напомню, что при делении уравнения на
73: Выражения, содержащие неизвестные, могут быть потеряны корни. Поэтому нужно проверить, не являются ли корни уравнения косинус икс равно нулю корнями данного уравнения. Если косинус икс равно нулю, то из уравнения следует, что у нас синус
74: Икс равно нулю. Однако синус и косинус не могут одновременно равняться нулю, так как они связаны равенством синус квадрат икс плюс косинус, квадрат икс, равно 1, следовательно, при делении уравнения где у нас, а?
75: Не равно, нулю или на косинус, или на синус. Если мы поделим, мы получаем уравнение, равносильное данному. Поэтому мы имеем право это делать. Задача 7.
76: Решить уравнение 2 синус икс плюс косинус икс равно 2 используя формулы синус икс равно 2 синус икс.
77: Делённое на 2 косинус икс, делённое на 2 и косинус икс равно косинус квадрат икс, делённое на 2 минус синус, квадрат икс, делённое на 2 и
78: Записываю правую часть уравнения в виде 2 равно 2 умножаем на 1 получается 2 синус квадрат икс, делённое на 2 плюс косинус икс квадрат.
79: Икс делённое на 2 мы получаем следующее уравнение. Такое длинное 4 синус икс делим на 2 косинус икс делим на 2 плюс косинус квадрат.
80: X делим на 2 минус синус квадрат икс делим на 2 равно 2 синус квадрат икс делим на 2 плюс.
81: 2 косинус квадрат икс делим на 2.
82: Делая преобразование, мы получим следующее уравнение 3 синус квадрат икс, делённое на 2 - 4 синус икс, делённое на 2 косинус икс, делённое на 2 плюс.
83: Косинус квадрат икс, делённое на 2 равно нулю, поделив это уравнение на косинус квадрат икс, делённое на 2, мы получим равносильное уравнение 3.
84: Тангенс, квадрат, икс, делённое на 2 - 4 тангенс икс, делённое на 2 + 1 равно нулю.
85: Обозначая тангенс икс, делённое на 2 через игрек, мы получим уравнение 3 игрек, квадрат - 4, игрек + 1 равно нулю.
86: Откуда у нас игрек 1 будет равно 1, игрек 2 будет равно 1 3. 1 тангенс икс, делённое на 2 равно 1.
87: Отсюда икс делённое на 2 будет равно пи четвёртых плюс p. N.
88: Перемножим на 2 и получим икс равно пи вторых + 2 p. N, где n принадлежит z. 2.
89: Тангенс икс делённое на 2 равно 1, 3, икс, делённое на 2 равно арктангенс 1 3.
90: Plus p. N. Отсюда икс равно 2 атанге 1, 3 + 2 p. N, где n. Принадлежит z.
91: Ответ икс равно пи вторых + 2 пи икс равно 2, а тангенс 1 3 + 2 пи.
92: Принадлежит множеству целых чисел.
93: Уравнение, рассмотренное задачей 7, является уравнением вида а. Синус икс плюс б. Косинус.
94: Xxx равно ц. Где у нас, а не равно нулю б не равно нулю e ц. Не равно нулю, которое можно решить другим способом, при условии, что у нас ц.
95: Квадрат будет меньше или равно, а квадрат плюс б квадрат. Разделим обе части этого уравнения на квадратный корень из а квадрат плюс б квадрат и получим, а?
96: Делим на квадратный корень из а квадрат плюс б квадрат синус икс плюс b, делённое на квадратный корень из а квадрат плюс б квадрат косинус икс равно ц.
97: Делим на квадратный корень, а квадрат плюс б квадрат 2 введём вспомогательный аргумент фи такой, что косинус фи равно, а делим.
98: На квадратный корень из а квадрат плюс бэ квадрат синус фи равный б делим на квадратный корень из а квадрат плюс б квадрат такой.
99: Число фи существует так, как у нас. А делённое на квадратный корень из а квадрат плюс б квадрат в квадрате плюс b, делённое на а квадрат плюс б.
100: Квадрат под корнем в квадрате равно 1 таким образом уравнение 2 можно записать в виде синус икс косинус фи плюс косинус икс.
101: Seamus Фил.
102: Равно ц делим на квадратный корень из а квадрат плюс б квадрат отсюда у нас синус икс плюс pp равно ц делим на а квадрат плюс б квадрат.
103: Квадратной форме. Изложенный метод преобразования уравнения 1 простейшему тригонометрическому уравнению 3 называется методом введения вспомогательного угла. Значит, это у нас
104: Метод введения вспомогательного угла.
105: Задача 8.
106: Решить уравнение 4 синус икс + 3 косинус икс равно 5 здесь у нас are равно 4 б равно 3.
107: Под корнем, а квадрат плюс б квадрат равно 5.
108: Поделим обе части уравнения на 5 и получим 4/5 синус икс + 3/5 косинус икс равно 1.
109: Введём вспомогательный аргумент фи такой, что косинус фи будет равно 4 5, синус фи будет равно 3 5 исходное уравне.
110: Можно записать в виде синус икс косинус фи плюс косинус икс синус фи равно 1 значит здесь у нас синус икс плюс
111: Vi равно 1, откуда x plus, vi равно пи вторых + 2 p. N, где фи у нас будет равно a. Косинус.
112: 4/5.
113: Xxx равно и вторых, минус аркосинус 4/5 + 2 p. N принадлежит множеству целых чисел.
114: Следующее, 3 у нас уравнение, решаемое разложением левой части на множители многие тригонометрические уравнения, правая часть которых равна нулю, решается разложением их левой части на множители задача 9.
115: Решить уравнение синус 2 икс минус синус икс равно нулю используя формулу синуса двойного аргумента, запишем уравнение в виде 2 синус икс.
116: Косинус, икс, минус синус икс равно нулю вынося общий множитель синус икс за скобки мы получаем синус икс, умноженное на 2 косинус икс - 1.
117: Равно нулю получаем 2 уравнения 1 синус икс равно нулю икс равно отсюда и где n принадлежит z 2.
118: 2 косинус икс - 1 равно нулю косинус икс равно 1, 2 икс равно плюс минус пи третьих + 2 p. N.
119: Принадлежит множеству целых чисел.
120: Задача 10 решить уравнение косинус 3 икс.
121: Плюс синус 5 икс равно нулю используя формулу приведения синус альфа равно косинус пи вторых минус альфа запишем уравнение.
122: Косинус 3 икс плюс косинус 3/2 - 5 икс равно нулю.
123: Используя формулу суммы косинусов, получаем 2 косинус пи четвёртых минус икс косинус 4 икс минус p четвёртых равно нулю.
124: 1 косинус пи четвёртых минус икс равно нулю.
125: Икс минус p. Четвёртых.
126: Равно p вторых плюс p. N.
127: Икс равно 3 пи четвёртых плюс p. N. N принадлежит множеству целых чисел.
128: 2 косинус 4 икс минус p четвёртых равно нулю 4 икс минус p четвёртых равно пи вторых плюс ПИН икс равно.
129: 3 p. Шестнадцатых плюс пи эн, делённое на 4, где n принадлежит множеству целых чисел.
130: Задача 11.
131: Решить уравнение синус 7 икс плюс синус 3 икс равно 3 косинус 2 икс.
132: Применяя формулу для суммы синусов, запишем уравнение в виде 2 синус 5 x косинус 2 икс равно 3, косинус 2 икс.
133: Соберём все в 1 часть и получим 2 синус 5 x, косинус 2, икс - 3, косинус 2 икс равно нулю.
134: Откуда косинус 2 икс, умноженное на синус 5 икс, - 3/2 равно нулю.
135: Уравнение косинус 2 икс равно нулю имеет корни икс равно пи четвёртых плюс пи эн делённое на 2, а уравнение синус 5.
136: Икс равно 3/2 не имеет корней.
137: Задача 12.
138: Решить уравнение косинус 3 икс, умноженное на косинус икс равно косинус 2, икс косинус 2 икс.
139: Равно косинус 3 икс минус икс равно косинус 3 икс умножаем на косинус икс плюс синус.
140: 3 икс умножаем на синус икс, поэтому уравнение
141: Примет вид синус икс синус 3 икс равно нулю 1 синус икс равно нулю икс равно p n.
142: 2 синус 3 икс равно нулю x равно y n, делённое на 3.
143: Заметим, что числа пи and содержатся среди чисел икс равно пи эн делённое на 3, где n принадлежит z, так как если and равно 3 к.
144: То пи эн делённое на 3 будет равно пика. Следовательно, 1 серия корней содержится во 2 и ответом будет.
145: X равно y n, делённое на 3, где эн принадлежит целым числам.