ym104432846
Вставьте ссылку на видео из Youtube, Rutube, VK видео
Задайте вопрос по видео
Что вас интересует?
00:00:02
Определение и свойства тригонометрических функций:
  • 1. Функции синус (y = sin(x)) и косинус (y = cos(x)) определены на множестве всех действительных чисел R
  • 2. Множество значений функции y = sin(x) и y = cos(x) представляет собой отрезок [-1; 1]
  • 3. Уравнение sin(x) = a имеет решение, если |a| ≤ 1, иначе решений нет
00:03:36
Нахождение области определения функций:
  • Рассмотрены функции вида $y=\sin x$ и $y=\cos x$
  • Обсуждается решение задачи №1
  • Тема обсуждения — ограниченность функций и решение конкретных математических задач
00:03:57
Решение уравнений и неравенств с тригонометрическими функциями:
  • Областью определения функции y = 1/(sinx+cosx) являются все числа, кроме x ≠ −π/4 + πn, где n ∈ Z
  • Уравнение, приводящее к определению области определения функции, выглядит следующим образом: tan(x) + 1 = 0
  • Значение arctg(-1) равно −π/4
00:07:19
Множество значений тригонометрических функций:
  • Множество значений функции $y=3+\sin x+\cos x$ составляет отрезок от 2,5 до 3,5
  • Функция $y= an x$ определена во всех числах, кроме $x$, равных $ rac{\pi}{2}+p\pi$, где $n$ — целое число
  • Область определения функции $y=\sin 3x+ an 2x$ состоит из всех чисел, исключая $x$, равные $ rac{\pi}{4}+ rac{p\pi}{2}$, где $n$ — целое число
0: Здравствуйте, уважаемые студенты. Тема сегодняшней лекции. Лекция номер 2 область определения и область значений тригонометрических функций.
1: Нам известно, что каждому действительному числу x соответствует единственная точка единичной окружности, получаемая поворотом точки с координатами 1 0 на угол x радиан для этого.
2: Угла определены синус икс и косинус икс. Тем самым каждому действительному числу x поставлены в соответствие числа синус икс и косинус икс, то есть на множестве r всех действи.
3: Чисел определены функции.
4: Игрек равно синус икс.
5: И игрек равно косинус икс.
6: Областью определения функции игрек равно синус, икс и игрек равно косинус икс является множество r всех действительных чисел, то есть
7: Для игрек равно синус икс у нас д от игрек будет равно r и точно также для игрек равно косинус.
8: Д. Игрек у нас будет равна р.
9: Чтобы найти множество значений функции игрек, равно синус икс, нужно выяснить, какие значения может принимать игрек при различных значениях x, то есть установить, для каких значений игрек.
10: Существуют такие значения x, при которых синус икс.
11: Будет равен игреку.
12: Известно, что уравнение синус икс равно, а
13: Имеет корни если, а у нас по модулю меньше или равно 1 и не имеет корней, если, а по модулю больше 1.
14: Итак, множеством значений функции игрек равно синус икс является отрезок от - 1 до 1. Мы можем это записать следующим образом для игрек равно синус икс.
15: Е игрек будет равно от - 1 до 1 включительно и точно также множество значений функции игрек равно косинус, икс также
16: Является отрезок от - 1 до 1 для игрек равно косинус икс.
17: Е от игрек равно от - 1 до 1.
18: Функции игрек равно синус, икс и игрек равно косинус икс являются ограниченными. Давайте теперь рассмотрим задачи.
19: Задача 1.
20: Найти область определения функции игрек равно 1 делим на синус икс плюс косинус икс.
21: Для этого найдём значение x, при которых выражение 1 делим вот это вот у нас 1 делим на синус икс плюс косинус икс не имеет смысла, то есть значение x, при которых знаменатель равен.
22: Нулю. Для этого мы решаем уравнение синус икс плюс косинус икс равно нулю.
23: Разделим обе части.
24: Данного уравнения на косинус икс мы получим синус икс делим на косинус икс плюс косинус икс делим на косинус икс.
25: Равно 0 делённое на косинус икс.
26: Так как у нас синус икс, делённое на косинус икс равно тангенс икс.
27: А косинус они у нас сокращаются, то мы получим уравнение, тангенс, икс + 1 равно нулю. Теперь решим это уравнение. Вынесем 1.
28: Правую часть и получим тангенс икс равно - 1 по общей формуле уравнения тангенс икс равно, а x у нас будет равен арктангенс.
29: А плюс ПИН.
30: Где n принадлежит множеству целых чисел.
31: Отсюда, из этого уравнения, икс у нас будет равен
32: Арктангенс - 1 плюс p n n принадлежит множеству целых чисел.
33: По таблице значений обратных тригонометрических функций мы смотрим арктангенс - 1, он у нас равен минус p четвёртых, значит минус p. Четвёртых плюс p. N.
34: Где n принадлежит множеству целых чисел.
35: Следовательно, областью определения данной функции являются все значения значит, мы пишем ответ все значения, кроме чисел.
36: X не равное минус p четвёртых, плюс только при этом значении они у нас, получается, знаменатель обратится в 0.
37: Задача 2.
38: Найти множество значений функции игрек, равно 3 плюс синус, икс, косинус, икс.
39: Нужно выяснить, какие значения может принимать игрек при различных значениях x, то есть установить, для каких значений, а уравнение 3 плюс синус икс.
40: Косинус икс равно, а имеет корни.
41: Для этого мы
42: Применим формулу двойного угла для синуса. Вот у нас синус 2 альфа равно 2 синус альфа косинус альфа.
43: Для этого мы применим формулу двойного угла для синуса. Вот у нас синус 2 альфа, равно 2 синус альфа косинус альфа.
44: Так как у нас вот здесь не хватает двойки, здесь у нас нет числа, мы можем сами добавить двойку, но при этом умножить на 1 2. То есть мы получим 3 + 1, 2 умножаем на 2.
45: Синус, икс, косинус, икс равно а теперь вот эту формулу мы собираем, получается, 3 + 1 2.
46: Синус 2 икс.
47: Равно а.
48: Отсюда, значит, тройку вносим в правую часть, получаем 1, 2 синус 2 икс равно, а - 3.
49: Синус 2 икс.
50: Равно, а - 3 мы делим на 1 2 или синус 2 икс равно 2 а.
51: - 6, так как 3 делим на 1 2 у нас получается 3. Умножаем на 2 6.
52: Теперь.
53: Это уравнение у нас будет иметь корни, если у нас вот это вот число 2, а - 6 по модулю будет меньше или равно 1, то есть 2, а - 6.
54: Будет находиться в промежутке от - 1 до 1 отсюда.
55: Мы решаем данное неравенство двойное.
56: Значит, вот у нас - 6, мы в обе стороны выносим, получаем -1 + 6. Здесь у нас осталось 2, a1 + 6.
57: Получаем 5. Здесь у нас 2, а здесь 7. Теперь на двойку мы делим.
58: 5 делим на 2, тут у нас остаётся а и 7 делим на 2 получается двойное неравенство, а у нас больше или равно 2,5 и меньше, или равно 3.
59: Целых 5/10. Следовательно, множеством значений данной функции является отрезок. То есть мы пишем ответ е от игрек.
60: Равно от 2,5 до 3,5.
61: Далее функция игрек равно тангенс икс определяется формулой игрек равно синус икс делим на косинус икс это
62: У нас по основным тригонометрическим формулам эта функция определена при тех значениях x, для которых у нас косинус икс не равно нулю, так как у нас косинус, он находится в знаменателе.
63: По уравнению это у нас вот уравнение, частный случай, косинус икс равно 0 x у нас здесь равен пи вторых плюс p n.
64: N принадлежит множеству целых чисел. Отсюда мы пишем, значит.
65: Для функции игрек равно тангенс икс.
66: Д от игрек.
67: У нас получается.
68: Все числа, кроме x неравных и вторых плюс p, где n принадлежит множеству целых чисел, множество значений, функции игрек равно тангенс икс является множество р.
69: Всех действительных чисел. То есть е от игрек у нас будет просто р.
70: Так как у нас уравнение тангенс икс равно, а имеет корни при любом действительном значении, а функции игрек равно синус икс игрек равно косинус, икс игрек равно тангенс икс называются тригонометрическими функциями.
71: Теперь рассмотрим следующую задачу.
72: Задача 3.
73: Найти область определения функции игрек равно синус 3 x плюс тангенс 2 икс.
74: Нужно выяснить, при каких значениях x выражение синус 3 x плюс тангенс 2 икс имеет смысл рассмотрим отдельно синус.
75: X имеет смысл при любом значении x. А вот выражение тангенс 2 икс.
76: При 2 икс не равном пи вторых плюс ПИН, где n принадлежит множеству целых чисел, это у нас идёт из области определения, которую мы только что записали отсюда.
77: Так как нам нужно найти именно x. То есть мы пишем икс равно.
78: И у нас получается икс не равно, пи вторых мы делим на 2 плюс p. N тоже делим на 2.
79: Таким образом, мы получаем x не равно.
80: P. Четвёртых плюс пи эн делённое на 2, где n принадлежит множеству целых чисел.