0: Здравствуйте, уважаемые студенты. Тема сегодняшней лекции. Лекция номер 3. Чётность, нечётность, периодичность тригонометрических функций.

1: Каждая из функций игрек равно синус, икс и игрек, равно косинус икс определена на множестве r, и для любого значения x верны следующие равенства рассмотрим их.

2: Значит синус минус икс равно минус синус икс.

3: Косинус минус икс равно косинус икс.

4: Следовательно, игрек равно синус икс нечётная функция, а игрек равно косинус икс чётная функция запишите это так, как для любого значения x из области определения функции игрек равно тангенс.

5: X. Верно равенство, тангенс, минус икс равно минус тангенс икс то игрек равно тангенс x нечётная функция это тоже запишите, рассмотрим задачу.

6: Задача 1 выяснить, является ли функция игрек, равно 2 плюс синус икс, умноженное на косинус 3 пи вторых плюс x чётной или нечётной.

7: Значит, данная функция, она у вас определена на множестве р. По формуле приведения она примет вид игрек, равно 2 плюс синус квадрат икс.

8: Потому что вот эта функция косинус 3 и вторых плюс x. По формуле поведения у вас будет равна синус икс, а синус икс, умноженное на синус икс, оно у вас равно синус квадрат икс.

9: Так как синус минус икс.

10: Равно минус синус икс, то синус минус икс в квадрате будет равно синус квадрат икс.

11: То есть 2 плюс синус квадрат минус икс равно 2 плюс синус, квадрат, икс и игрек от минус.

12: Икс равно игрек от икс, то есть данная функция является чётной по другому мы просто вместо икса, где стоит у нас x, поставили минус икс, возвели в квадрат. У вас получилась та же функция, которая дана в первоначальном

13: То есть вот у вас игрек минус икс равно игрек от икс. Если получается первоначальная функция, значит данная функция является чётной.

14: Известно, что для любого значения x верны равенства.

15: Синус.

16: X + 2 пи равно синус икс косинус икс + 2 пи равно косинус икс.

17: Из этих равенств следует, что значения синуса и косинуса периодически повторяются при изменении аргумента на 2 пи такие функции называются периодическими с периодом пи определение функции.

18: Эф от икс называется периодической, если существует такое число т, не равное нулю, что для любого x из области определения этой функции выполняется равенство f от x.

19: Минус т равно эф от икс равно эф от икс плюс т.

20: Число т называется периодом функции эф от икс из этого определения следует, что если x принадлежит области определения функции f от x, то числа x плюс, т икс минус т и вообще числа x plus.

21: Т. Энное, где and у нас принадлежит множеству целых чисел, также принадлежат области определения этой периодической функции и эф от икс плюс t and.

22: Равно эф от икс н принадлежит множеству целых чисел.

23: Рассмотрим 2 задачу.

24: Доказать, что число 2 p является наименьшим положительным периодом функции игрек, равно косинус икс.

25: Пусть т. У нас будет больше нуля.

26: Период косинуса, то есть для любого x, выполняется равенство косинус икс плюс tt, равно косинус икс.

27: Положив, что x. Y nas равно нулю.

28: Получим косинус t равно 1 отсюда t u vas равно 2 p k, где k у нас принадлежит множеству целых чисел, так как т у нас.

29: Больше нуля.

30: То т. Может принимать значение 2 пи. 4, p. 6 p и так далее и поэтому период не может быть меньше 2 пи аналогично можно доказать, что наименьший положительный период функции.

31: Игрек равно синус икс также равен 2 пи. Рассмотрим 3 задачу.

32: Задача 3.

33: Доказать, что эф от икс равно синус 3 икс.

34: Периодическая функция с периодом т. Равная 2 пи третьих.

35: Если функция f от x определена на всей числовой оси, то для того, чтобы убедиться в том, что она является периодической с периодом т. Достаточно показать, что для любого x верно равенство f от x plus tt равно.

36: Эф от икс равно эф от икс минус.

37: Данная функция определена для всех x, принадлежащих эр и эф от икс + 2 и третьих равно синус 3, умноженное на.

38: + 2 пи третьих равно, если мы перемножим, получается синус.

39: 3 икс.

40: + 2 пи.

41: Или по другому синус 3 икс.

42: А это равно первоначально данной функции ф от икс.

43: Аналогично эф от икс - 2 пи третьих равно синус 3, икс - 2, pp равно эф от икс.

44: Задача 4.

45: Доказать, что функция игрек равно тангенс икс является периодической, с наименьшим положительным периодом пи, если x принадлежит области определения этой функции, то есть x не ра.

46: Но минус пи вторых плюс p n, где n у нас принадлежит z, то по формулам приведения мы получаем тангенс, икс, минус пи равно минус тангенс.

47: И минус икс равно минус минус тангенс, икс равно тангенс, икс тангенс.

48: X плюс y.

49: Равно тангенс икс.

50: Таким образом, тангенс, икс, минус пи.

51: Равно тангенс икс равно тангенс икс плюс p.

52: Следовательно, p период функции игрек равно тангенс, икс, пусть т период тангенса тогда.

53: Тангенс икс плюс.

54: Tt равно тангенс икс, откуда при икс равно нулю мы получаем, что тангенс т равно нулю т равно.

55: P. K. Где k. У нас принадлежит множеству целых чисел, так как наименьшее целое положительное-ка равно 1, то p наименьший положительный период функции игрек равно тангенс икс.

56: Задача 5.

57: Доказать, что игрек равно тангенс икс, делённое на 3 периодическая функция с периодом 3 пи, так как у нас тангенс икс + 3 пи.

58: Делённое на 3 равно тангенс икс, делённое на 3 плюс pp равно тангенс икс, делённое на 3.

59: И тангенс икс - 3 пи делённое на 3 равно тангенс икс, делённое на 3 минус пи равно тангенс икс, делённое на 3 то.

60: Игрек равно тангенс икс третьих периодическая функция с периодом 3 p. Периодическими функциями описываются многие физические процессы, например, колебания маятника или вращение планет.

61: То есть они у нас периодически через какое-то время они проходят, получается 1 полный круг, переменный ток и так далее.

62: Значит, если рассмотреть какие-то там функции или какие-то графики, то у нас получится что каждая периодическая функция, они у нас повторяются какие-то отр.

63: То есть отрезки последовательные отрезки этой числовой прямой и длина 1 отрезка, она у нас равна периоду, график периодически.