0: Всем привет. В этом уроке мы с вами разберём основные формулы комбинаторики и как их применять для решения конкретных задач.
1: Начнём с перестановок.
2: Давайте попробуем решить задачу, сколькими способами можно рассадить 3 гостей на 3 места. Я схематично нарисую 3 места и 3 гостей. 1.
3: Гость может сесть на любое из 3 мест.
4: Значит, для него есть 3 варианта.
5: Когда он выбрал себе место, для 2 гостя осталось 2 свободных места он может выбрать любое из них, значит, для него есть 2 варианта, как он может выбрать место.
6: И для 3 осталось последнее свободное место, для него 1 способ.
7: В теории вероятности есть 1 важное правило если что-то происходит одновременно.
8: То и то тогда числа перемножают.
9: И когда происходит то или то тогда числа складывают.
10: Давайте вспомним про гостей для 1 3 способа и для 2 2, значит, умножаем, и для 3 1 способ.
11: В математике такое произведение называется факториал.
12: И выражение равно 6 в виде формулы записывают. Так?
13: Перестановки пп из н.
14: Это n факториал.
15: И. Н. Факториал это произведение всех чисел от 1 до данного 1 * 2 умножить на и так далее, умножить на н.
16: Рассмотрим следующую формулу, которая будет называться сочетаниями.
17: Прежде чем перейти к формуле, рассмотрим такую задачу, сколькими способами можно выбрать 2 человек из 4 для похода в магазин, назовём людей условно Аня, Боря, Вася и да.
18: То есть сокращённо а. Б.
19: В и д. Нам нужно из них выбрать 2 человек.
20: Давайте переберём все возможные варианты, например, a, b, a, v, a, d.
21: Дальше Боря, Вася, Боря, Даша.
22: И осталась пара Вася Даша.
23: Давайте обратим внимание на то, что если поменять местами
24: Аню и Борю, например, сделать б. А то это будет та же самая пара.
25: То есть здесь порядок не важен.
26: И у нас получилось всего 6 пар.
27: Формула, которая соответствует этой задаче, называется сочетание и обозначается как ц из n по k.
28: Записывается она как эн факториал.
29: Делить на-ка факториал и на н минус-ка факториал.
30: Давайте посмотрим, как эта формула применима к данной задаче.
31: Ц из 4 по 2 равно 4 факториал делить на 2 факториал и на 4 - 2 факториал.
32: 4 факториал это произведение всех чисел от 1 до 4.
33: Получается 24.
34: 2 факториал это 1 * 2.
35: Равно 2 теперь подставляем формулу 24 / 2 и на 2.
36: Равно 6.
37: И 3 формула будет называться размещение.
38: Рассмотрим сначала задачу.
39: Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4?
40: Эта задача очень похожа на предыдущую, нам из 4 элементов нужно выбрать 2.
41: Аналогично тому, как из букв составляли пары, также из цифр будем составлять пары.
42: 1, 2, 1, 3, 1, 4.
43: 2, 3, 2, 4.
44: И последняя пара 3 4.
45: У нас получились двузначные числа.
46: Обратим внимание на то, что если цифры поменять местами, то числа получатся другие. Из 12 получается 21, из 13 31.
47: Дальше. 41, 32, 42 и 43.
48: Обратим внимание на то, что если цифры поменять местами
49: То у нас получится совершенно другая пара, значит, порядок элементов в данном случае важен.
50: В отличие от предыдущей задачи, где порядок был неважен, в этой получилось пар в 2 раза больше 12 пар. Формула, которая соответствует этой задаче, называется раз.
51: И записывается как a из n по k.
52: И оно равно.
53: Н факториал делить на н минус-ка факториал.
54: Посмотрим, как формулу размещений можно применить для решения данной задачи.
55: Нам нужно найти, а из 4 по 2.
56: И это равно 4 факториал делить на 4 - 2 факториал.
57: Это 4 факториал делить на 2 факториал.
58: В предыдущей задаче мы уже считали эти факториалы. Получается 24 / 2 равно 12.
59: Итак, мы рассмотрели 3 основные формулы комбинаторики.
60: Сейчас посмотрим, как эти формулы можно применять для решения конкретных задач.
61: Решим такую задачу пятеро друзей сыграли между собой по 1 партии в шахматы сколько всего партий было сыграно всего у нас 5 человек.
62: Из них нужно выбрать 2, причём неважно, кто играет белыми, а кто чёрными, потому что эта пара играет только 1 партию.
63: Значит, мы выбираем сочетание.
64: И считаем ц из 5 по 2.
65: Это 5 факториал делить на 2 факториал и на 5 - 2 факториал.
66: 5 факториал это 1 * 2, на 3, на 4, на 5.
67: 2 факториал это 1 * 2.
68: 3 факториал 1 на 2, на 3.
69: 1, 2, 3 можно сократить.
70: 4 / 2 это 2.
71: 2 * 5 это 10.
72: Следующая задача при окончании деловой встречи специалисты обменялись визитными карточками сколько всего визитных карточек перешло из рук в руки, если во встрече участвовали 5 специалистов.
73: Прежде чем спешить применить формулу, нужно подумать.
74: У нас есть 5 специалистов, и каждый отдаст другому 4 карточки.
75: Потому что себе ему карточку отдавать не нужно. 5 специалистов отдают по 4 карточки. Значит, мы эти числа перемножаем и получаем 20.
76: Как мы видим, в этой задаче мы обошлись без формул следующая задача.
77: В пассажирском поезде 9 вагонов, сколькими способами можно рассадить в поезде 4 человека, при условии, что все они должны ехать в различных вагонах.
78: Из 9 вагонов нам нужно выбрать 4, чтобы посадить туда 4 человек. Причём, если, например, в 1 вагон посадить Аню, а в дру.
79: Ой, Васю.
80: А потом поменять их местами.
81: То это будут различные ситуации, то есть они не совпадают. То есть порядок здесь важен.
82: А значит, мы применяем формулу размещений.
83: А из 9 по 4.
84: Равно.
85: 9 факториал делить на 9 - 4 факториал.
86: 9 факториал это произведение всех чисел от 1 до 9 я запишу так 1 * 2 и так далее на 5 6 7 8.
87: 9 в знаменателе 5 факториал это 1, 2, 3, 4, 5.
88: И мы видим, что произведение от 1 до 5 можно сократить.
89: Остаётся 6 * 7, на 8 и на 9 это 3024.
90: Ещё 1 задача. Группу из 10 студентов нужно разделить на 3 бригады, причём в 1 должны входить 3 человека, во 2 5 и в 3 2. Сколькими способами это можно сделать. Давай.
91: Задачу запишем схематично.
92: У нас есть 10 студентов.
93: И нужно сделать 3 бригады.
94: 3 человека, 5 человек и 2 человека.
95: Значит, из 10 мы сначала выбираем 3.
96: Потом из оставшихся 7 5.
97: И остаётся 2 человека, из которых мы выбираем 2.
98: Вот в пределах 1 бригады нам неважно, в каком порядке там будут располагаться люди, например, Аня, Вася или Вася, Аня.
99: Эти варианты одинаковые, то есть если мы Аню и Васю поменяем местами в 1 бригаде, от этого бригада не изменится, значит, здесь порядок элементов неважен.
100: А значит, мы выбираем формулу сочетаний. Значит, из 10 человек мы выбираем 3. Это ц из 10 по 3. Столько способов из оставшихся.
101: 7 выбираем 5. Это ц из 7 по 5.
102: И здесь ц из 2 по 2.
103: Теперь применим правило умножения если происходит то и то, то оно перемножается.
104: Значит, нужно умножить ц из 10 по 3, на ц, из 7 по 5 и на ц из 2 по 2.
105: Давайте каждое посчитаем отдельно ц из 10 по 3 это 10 факториал делить на 3 факториал.
106: И на 7 факториал 10 факториал и 7 факториал сокращаются от числителя остаётся 8 9 10.
107: То есть произведение от 1 до 7 сократилось, осталось 8, 9, 10, и в результате получается 120, значит, 1 множитель 120. Теперь найдём 2.
108: 7 факториал делить на 5 факториал и на 2 факториал.
109: Произведения от 1 до 5 сократятся в числителе, останется 6, умножить на 7 и делить на 2 получается 21.
110: Умножаем на 21.
111: И теперь считаем ц из 2 по 2 это 2 факториал делить на 2 факториал и на 2 - 2, то есть 0 факториал.
112: 0 факториал по умолчанию это 1.
113: И 2 факториал сокращается, получается 1.
114: И всего получается 2520 способов.
115: Ещё 1 задача, немного посложнее, чем предыдущая.
116: Сколькими способами можно выбрать из колоды в 36 карт 5 карт так, чтобы среди них было не менее 3 шестёрок?
117: Итак, выбираем из 36 карт 5, и нас интересует, чтобы было не менее 3 шестёрок.
118: Всего в колоде 6666 из 36 карт. Мы берём 5.
119: Не меньше 3 шестёрок. Это значит, что их может быть 3 или 4.
120: Или 4.
121: Если в колоде 6666, то оставшиеся 32 карты это не шестёрки.
122: Поскольку мы берём 5 карт.
123: То если мы взяли 666, 2, должно быть, не шестёрки.
124: И там, где 6666 других карт может быть всего 1.
125: Давайте посмотрим сюда.
126: 666 и 2 не шестёрки. И здесь 6666 и 1 не шестёрка. Теперь давайте порассуждаем, важен ли нам порядок.
127: Мы взяли 5 карт.
128: Важен ли порядок, в котором эти карты расположены в этой кучке?
129: Очевидно, что порядок не важен.
130: А это значит, что нужно применять формулу сочетаний. Итак, мы берём 666 из 4, значит, ц из 4.
131: Потре и
132: Значит, умножение.
133: 2 не шестёрки мы можем взять из 32, не шестёрок.
134: Значит, здесь будет ц из 32 по 2.
135: Теперь 2 случай.
136: 6666 из 4 шестёрок. Это ц из 4 по 4.
137: И значит умножить.
138: 1 не шестёрка из 32, значит, умножаем на ц из 32 по 1.
139: Вот это или переходит в знак плюс.
140: По правилу сложения.
141: Досчитывать мы не будем. Главное, что мы смогли записать выражение, которое нужно найти.
142: И последняя задача.
143: Сколькими способами можно расставить на книжной полке 8 томов собрания сочинений так, чтобы 1, 2, 3 Тома стояли рядом?
144: Давайте схематично начертим 8 томов.
145: Например, это 1 том, это 2, и это 3.
146: Поскольку они должны стоять рядом, давайте их объединим 1 блоком.
147: То есть будем рассматривать эти 3 Тома как 1.
148: И нам нужно посчитать количество способов, которыми можно переставлять вот этот 1 блок.
149: Вот с этими томами.
150: Посчитаем, сколько всего элементов мы переставляем 1, 2, 3, 4, 5, 6, поскольку мы переставляем 6 элементов, применяя
151: Формулу.
152: Перестановок 6 факториал.
153: И на каждую такую комбинацию у нас приходятся перестановки внутри вот этого блока, то есть 1, 2 и 3 Тома тоже могут стоять по разному между собой.
154: Количество комбинаций, которыми их можно переставить, это 3 факториал.
155: Теперь можно сказать так, что мы переставляем вот эти 6 элементов и, значит, умножить переставляем 3 элемента внутри. Вот.
156: Этого умножение соответствовало союзу и
157: 6 факториал это произведение всех чисел от 1 до 6.
158: И 3 факториал это произведение от 1 до 3.
159: Досчитать вы можете самостоятельно.
160: Для этого урока примеров пока достаточно.
161: Если вы что-то не поняли, не расстраивайтесь, потому что комбинаторика очень сильно отличается от всей другой изучаемой в школе математики, и чтобы научиться решать комбинаторные задачи, нужно немного изменить.