0: Здравствуйте. Сегодня у нас с вами вот такое вот задание доказать справедливость неравенства для всех натуральных чисел. Задачка, задачка эта есть в сборнике задач и упражнений по математическому анализу.
1: Демидовича и номер. Ну, наверное, надо было, конечно, в августе такие разбирать, чтобы которые будут учиться на
2: Это 10 точка 1 в сентябре или задачки людям.
3: Демидовича и номер это 10 точка 1. Ну, наверное, надо было, конечно, в сентябре или в августе такие задачки разбирать, чтобы людям, которые будут учиться на
4: 1 курсе как-то было понятно, как они, но тем не менее у нас сегодня не август, но не важно, как заявлено этого видео. Сегодня мы с вами
5: Решаются. Так вот, на обложке будем разбирать.
6: 1 курсе как-то было понятно, как они решаются, но тем не менее у нас сегодня не август, но не важно так вот, как заявлено на обложке этого видео, сегодня мы с вами будем разбирать
7: Метод математической индукции и докажем с помощью этого метода предложенное неравенство. Однако вот для этого неравенства метод математической индукции это, что называется, из пушки поворо.
8: Это неравенство можно доказать практически устно, практически устно. И давайте мы этот способ тоже разберём с вами в конце видео. Ну а частенько зрители говорят, что
9: Видев задание на обложке, сразу приходит в голову вот такой вариант решения и в комментариях пишут этот вариант. Ну, я надеюсь, что в этот раз тоже будут какие-то такие комментарии. Хорошо?
10: Итак, метод математической индукции. Сначала давайте мы с вами вот такое вот утверждение докажем.
11: Пусть у нас есть некоторое подмножество, множество натуральных чисел сегодня, пусть все числа будут натуральными, то есть целыми положительными.
12: Итак, а это подмножество множества н. И пусть у нас с вами единица принадлежит этому множеству, а и наряду со всяким н принадле.
13: Лежащим, а?
14: Также а принадлежит элемент n + 1.
15: Тогда отсюда следует, что, а это в точности множество натуральных чисел. Ну вот такое вот простенькое утверждение. Попробуйте доказать его самостоятельно. Это не так сложно, но
16: Мы все же давайте. Итак, доказательства от противного пусть, а не совпадает.
17: Докажем его с энном.
18: Мы все же давайте докажем его. Итак, доказательства от противного пусть, а не совпадает с энном.
19: Тогда, если мы рассмотрим дополнение, а до, and вот такое вот множество н минус, а, то есть это все натуральные числа, не попавшие в, а оно не
20: Не пусто будет, а охватывает. Вот, да.
21: Nu ввиду того, что полностью н не а раз оно не пусто, то во всяком непустом подмножестве множества натуральных чисел есть наименьший элемент.
22: Не пусто будет nu ввиду того, что а полностью н не охватывает, а раз оно не пусто, то во всяком непустом подмножестве множества натуральных чисел есть наименьший элемент вот да.
23: Давайте, пусть m нулевое, пусть m нулевое, наименьший элемент наименьший элемент множества н минус, а м нулевое принадлежит.
24: Этому н минус а что мы про m нулевое с вами можем?
25: Заключить смотрите m нулевое непременно больше единицы почему да потому что единица у нас в а с вами находится.
26: Если m нулевое больше единицы, то тогда мы с вами можем рассмотреть элемент m нулевое - 1.
27: Это тоже будет натуральное число, да, где оно живёт, это число, так как m нулевое, наименьший элемент вот такого множества, то любое число, которое меньше его в этом множестве жить не может. Поэтому
28: Это число живёт в множестве, а?
29: Ну а так как а построено таким образом, что наряду со всяким н оно содержит и число на единицу больше, то отсюда следует по построению множества. А что число на
30: Единицу больше, то есть m нулевое принадлежит. А и вот смотрите, мы с вами получили
31: Что одно и то же число лежит в дополнительных друг к другу множествах, чего быть не может. Вот это противоречие показывает, что а совпадает с
32: Ну вот такое доказательство построено на том факте, что множество натуральных чисел является вполне упорядоченным множеством. То есть там есть линейный порядок.
33: И любое непустое подмножество в данном случае вот такое имеет наименьший элемент. Но давайте мы сегодня не будем углубляться во вполне упорядоченные множества, хотя, наверное, надо как-нибудь
34: Быть сделать выпуск.
35: И даже можно показать. Ну ладно, не буду.
36: Можно сделать как-нибудь выпуск, но об этом может быть однажды. Так вот, и, собственно, на этом утверждении будет основан метод математической индукции, как он формулируется, пусть у
37: У нас дано некоторое утверждение, которое зависит от and да, вот как сегодня нам задано в задаче неравенство, оно зависит от and, ну, как можно обозначить это утверждение, скажем, п.
38: Это может быть неравенство, может быть равенство. Неважно. Вот.
39: Такое.
40: Тогда, если мы с вами проверим справедливость этого утверждения при n равном единице проверили, убедились, что оно выполняется и если мы
41: Покажем, что из справедливости нашего утверждения для значения н.
42: Следует, что наше утверждение справедливо для следующего значения n + 1, то тогда, что мы можем утверждать, мы можем утверждать, что наше утверждение справедливо для.
43: Любого значения and почему? Да, потому что если мы рассмотрим множество, а множество тех самых n, для которых справедливо утверждение п. От and то вот этим действием мы
44: Показали, что единица принадлежит а. А вот этим действием мы показали, что из того, что n принадлежит, а следует, что а. Принадлежит и следующее значение n + 1 тогда.
45: По нашему утверждению, множество тех, а для которых справедливо утверждение п отн и есть множество натуральных чисел. Вот, собственно, и все. То есть вот это утверждение обосновывает метод.
46: Математической индукции, в котором, если мы хотим его применить к какому-то там утверждению, вот к нашему неравенству, мы делаем ещё раз повторюсь, 2 вещи. 1 проверяем справедливость для and равно
47: Единицы. И 2 делаем, что называется, вот такой вот индукционный переход. Вот давайте это мы применим к сегодняшнему нашему неравенству.
48: Так, сейчас сотру я все 1 шаг проверить справедливость неравенства при н равно единице. Ну, подставляем просто это значение.
49: Слева будет двойка факториал, а справа будет двойка в квадрате, а здесь будет единица факториал, что равно единице в квадрате, что тоже единица и
50: Справедливость этого неравенства очевидна дальше шаг 2.
51: Допустим, что наше неравенство справедливо при некотором, н, ну вот оно, собственно, написано.
52: Нам надо показать, что оно будет справедливо при следующем значении, то есть вот что нам надо доказать, что двойка умножить на следующее значение факториал будет меньше.
53: Это мы пока не знаем, а правая часть при следующем значении будет выглядеть вот так.
54: Во что нам надо показать, а чем мы можем располагать? Да, только вот этим? Ну что ж, берём левую часть двойка.
55: На м + 1 факториал. И пытаемся её привести вот к этому виду ради того, чтобы воспользоваться предположением. Итак, как же нам 2
56: 2 n факториал получить из 2 n + 2 факториал, потому как, в скобках в больших это 2 n + 2 2, n + 2 факториал это 2.
57: Н. Факториал умножить на 2 n + 1 и умножить на 2 n + 2.
58: Вот что такое 2 n + 2 факториал.
59: И вот мы с вами нашли этот множитель, который мы можем оценить сверху. По предположению, меньше двойка в степени 2 н умножить на
60: М. Факториал в квадрате.
61: Применили предположение. Ну а эти 2 множителя, так у нас с вами и остались. Вот. А стремиться нам нужно вот к чему так?
62: Так как же нам к этому?
63: Стремится давайте мы вот этот множитель 2 n + 1 оценим сверху множителем 2 n + 2, то есть 2 n + 1, понятное дело, не превышает 2 n + 2 мы его только увеличи.
64: И тем самым такое выражение будет меньше.
65: Выражение. Ну, можно подставить, да? А давайте я тут уж не буду все переписывать меньше вот такого выражения. Ну, то есть мы усилили это неравенство, не буду переписывать. Ладно? А дальше, дальше мы можем
66: С вами двойку вынести здесь, двойку вынести здесь они же одинаковые, это 2 n + 2 в квадрате давайте прям снизу напишу двойка выносится в скобках, остаётся n плюс.
67: 1 и все это дело в квадрате. О, а лучше даже вот так напишу без этих больших скобок двойка в квадрате на n + 1 в квадрате и теперь группирую это с этим.
68: А это с этим, и что у меня получается? Двойка в степени 2 н и двойка в квадрате показатели складываются или же так. Ну а это, это квадрат.
69: Общий эн факториал умножить на n + 1 и общий квадрат.
70: Ну теперь остаётся заметить, что если мы в показатель степени вынесем двойку, то это будет вот так. А н факториал умножить на n + 1 ничто иное, как n + 1 факториал вот.
71: Мы доказали то, что нам нужно, и воспользовались мы вот этим вот предположением о справедливости нашего неравенства для значения м, вот на этом самом 1.
72: Шаге, когда 2 факториал мы оценили сверху.
73: Вот этим вот выражением, собственно, и все вот так работает метод математической индукции. Однако для такого простого неравенства есть и простой способ его
74: Доказательства, а это в данном случае, может быть не так сложно, но, посмотрев следующий способ, вы увидите, что мы здесь просто тратили время. Итак, что такое число сочетаний из
75: 2 n элементов по m смотрели выпуск сочетания в серии теории вероятности. Смотрите, там мы разбирали, что это такое, а потом даже была лекция свойства со
76: Tiny, там можно много всего интересного найти, но мы с вами возьмём сегодня минимум оттуда просто определение число сочетаний из 2 n элементов по n это 2.
77: Эн факториал делить на n факториал и на 2 and минус эн факториал, но 2 and минус n это тоже самое, что н факториал, или g2 н факториал.
78: Делить на н факториал в квадрате.
79: Вот числитель, вот знаменатель.
80: Поэтому, если мы сейчас с вами покажем, что это число сочетаний меньше двойка в степени 2, н, ну, потом, просто умножив на знаменатель, мы докажем справедливость нашего неравенства, а это
81: Это сделать крайне просто. Смотрите, двойка в степени 2 н.
82: Давайте я вот отсюда лучше начну. Двойка в степени 2. Н, это что такое? Это 1 + 1 в степени 2 н.
83: А вот это вот выражение мы распишем по формуле бинома ньютона, и что у нас будет число сочетаний из 2 n элементов по 0 элементов, а это, кстати.
84: Чему равно, a eto равно единичке, да? Ну пусть так написано. Плюс число сочетаний из 2 n элементов по 1 плюс ну вот это вот верхний индекс.
85: Начинает увеличиваться, увеличивается. Он увеличивается. В какой-то момент он увеличится до значения н.
86: Плюс и так далее, и последний элемент будет число сочетаний из 2 n элементов по 2 н что, тоже, кстати, равно единице.
87: В этой сумме все слагаемые положительны, поэтому если мы отбросим все, кроме 1,
88: То мы сумму только уменьшим.
89: Ну вот и все, вот мы и доказали, что число сочетаний из 2 n элементов по n меньше двойки в степени 2 н.
90: То есть вот это неравенство остаётся умножить на знаменатель и получить требуемое, ну вот такой простой способ и метод математической индукции здесь был явно сложнее, но тем не менее нужно было
91: Делать видео, в котором мы с этим методом с вами уже полностью познакомились, а дальше уже буду ссылаться на это видео в случае использования.