0: Здравствуйте, тема сегодняшнего занятия простейшие тригонометрические неравенства. Посмотрев данное видео, вы, разумеется, научитесь решать их без использования формул, которые непонятно для чего, да и для кого придуманы. Давайте разбираться.
1: Когда мы начинали изучение простейших тригонометрических уравнений, мы начинали с разбора уравнения синус икс равен 1 2. И там, глядя на иллюстрацию, мы понимали то, что у исходного уравнения 2 Корня всего на 1 обороте. Ну, действительно, там была горизонтальная линия, которая через игрек
2: Равен 1, 2. Проходила и пересекала окружность в 2 точках. Вот эти точки являлись решением. И причём 1 из них определялась сразу. То есть та, которая лежала в области соответствующего арка, в данном случае арксинуса, здесь был арксинус 1, 2, то есть пи на 6
3: A2 уже через геометрическую интерпретацию определялась. Ну, здесь мы понимали то, что мы до 180 не доезжаем вот этими вот 30 градусами. То есть здесь было 5 пи на 6. Вот. Но теперь, если это все-таки будет неравенство, ну, например, синус икс меньше или равен 1, 2.
4: То помимо вот этих вот точек, которые также пойдут в ответ. Ну, действительно, это же нестрогое неравенство. Пойдут ещё значения x. Когда синус будет меньше 1, 2, это находится вот здесь. То есть игрек должен быть
5: Меньше 1 2. То есть то, что ниже планки. Ну и конечно же, соответствует вот эта вот нижняя дуга решению данного неравенства. А далее, что мы делаем? Определяем 1 точку, она уже вот у нас определена пи на 6 арксинус от 1 2 и
6: Дальше запускаем зайца, который бежит против часовой стрелки, начиная от нуля градусов. Для того, чтобы определить пи Шестых. Это начальная или конечная точка вот этого вот метафорического леса. Ну, значит, вот он бежит отсюда сначала по лесу, потом выбегает в поле и
7: Дальше забегает снова в лес и по лесу скачет, и вот здесь выбегает соответственно пи Шестых это есть конечная станция, значит, вот эта точка есть начальная, она должна по хронологии быть меньше, чем пи на 6, значит, x у нас точно уже меньше или равен пи шест.
8: А вот больше или равен чего нужно уже включить геометрию, значит, мы определяем через геометрию величины Углов, а уже знак его будем определять через направление. Значит, мы помним о том, что если мы движемся против,
9: Часовой стрелки, то углы положительные. Если по часовой, то отрицательные. Начинаем, конечно же, от начальной стороны. То есть вот здесь вот этот угол, он 30 градусов по величине имеет. И мы когда получали его, вот он двинулся против часовой. И вот она, собственно, пи на 6 теперь
10: 2 угол нас интересует вот этот вот тупой, потому что мы должны идти обязательно по волосатости. И вот эта тупизна, значит, здесь мы видим 180. И ещё вот этот кусочек, а вот этот кусочек, он равен вот этому кусочку, ну то есть 30 градусам, по идее, здесь вот 100
11: + 30 210. Но мы работаем в радианах. Это раз. И во вторых, вот удобнее даже идти по направлению, каким вот образом. Значит, мы идём отсюда минус PEMENUSPENA6 минус пи, минус пи на 6 получаем - 7 пи Шестых.
12: Ну, в общем, вот и есть наш угол, ну и поскольку такая у нас волосатая дуга единожды встречается на всем обороте, значит, чтобы все решения показать, мы добавляем период, который равен собственно 2 p. N, то есть + 2.
13: ПИН, где and, конечно же, принадлежит области целых чисел. Теперь многие подумают и в принципе, даже допускают ошибки, думая о том, что вот эта точка 5 пи на 6. Ну, в принципе, она даже у нас и до этого была озвучена в уравнении. Но дело в том, что в нера
14: Нужно соблюдать хронологию. Вот заметьте, если я напишу вот эту точку как 5 пи на 6, то у меня получится на самом деле, вот такая вот ересь, то, что пи, на 6, больше 5 пи на 6. Ну это же неправда. Вот. Но мы можем, кстати, из этой ситуации
15: Выйти, то есть выровнять это мероприятие через набрасывание или отбрасывание Оборотов. Заметьте, если мы докинем сюда 2 пи, то у нас получится 13 пи на 6, который по хронологии выиграет и
16: И мы просто возьмём следующий оборот, который решение возьмёт в ответ. Но если мы 2 p от этого отнимем, то 5 пи на 6 - 2 пи станет - 7 пи на 6, то есть результат, который был изначально нами определён в ответах принят.
17: Брать такие значения, когда именно арксинус. Ну и вообще, арк попадает в ответ. Соответственно, мы будем от этого отнимать 2 пи. И тогда у нас получается - 7 пи Шестых меньше или равен икс меньше, или равен пи на шест.
18: Ну а потом добавляем 2 pn, в общем получаем то что надо, давайте посмотрим неравенство, когда синус икс больше 1 2 ну конечно же изображается снова окружность, причём через окружность проще всего.
19: Неравенства все решать и нужно просто запомнить вот именно вот эти вот алгоритмы действий и все, в общем, опять у нас 1, 2 планка. Получаем 2 точки, точки пустые, поскольку неравенство строгое в данном случае и берём
20: Дугу, которая расположена выше, поскольку синус больше 1, 2, дальше 1 точка определяется сразу. Это арксинус 1, 2, то есть пи на 6, a2 мы определяем. Ну, во первых, опять же, начальное или конечное у нас движение идёт в эту сторону.
21: Значит, это конечная точка, и мы понимаем то, что надо от 180 отнять вот эти вот пи на 6, ну, то есть пи, минус пи на 6, 5, пи на 6. Вот здесь как раз именно та точка, которая удовлетворяет верхнему вот этому вот
22: Ну и дальше в двойное неравенство просто запихиваем то, что x у нас между пи на 6 и 5 пи на 6, причём неравенство строгое, поэтому в принципе можно сделать вот так. И + 2 ПИН ну и здесь.
23: 2 ПИН тоже есть далее. Если синус икс меньше - 1, 2 окружность - 1. 2 у нас находится. Вот здесь 2 точки есть.
24: Меньше. Это значит нижняя дуга 1 точка это вот эта вот она находится в области арксинуса арксинус от - 1 2 это минус арксинус 1 2, то бишь минус пи на 6. А вот эту точку получаем через геометрию. Значит здесь у нас - 30
25: Градусов, то есть минус пи на 6. Теперь мы опять определяем вот сюда, значит, махнём минус пи, и мы направление возвращаем. Плюс пи на 6, ну, минус пи плюс пи на 6, это - 5 пи на 6. Ну, действительно, у нас заяц.
26: Забегал отсюда, а выбегал отсюда, то есть минус пи на 6 является конечной точкой, ну и, записывая двойное неравенство, получаем результат + 2 p. N. И здесь минус пи на 6 + 2 pn.
27: Кстати, можно записывать ещё в виде промежутков через скобки, но так проще. И ещё. Значит, давайте посмотрим синус икс, когда больше - 1.
28: 2 планка, конечно же, снизу - 1, 2. Точки пустые, и штриховка у нас идёт по верхней дуге. 1 точка это у нас минус пи на 6 арксинус от - 1 2.
29: A2 точка значит она конечно у нас направление напоминаю что идёт отсюда, это мы отсюда, от нуля градусов, если пляшем это p и плюс вот этот кусочек, а этот кусочек есть пи на 6, то есть p плюс пи на 6 значит.
30: 7 пи на 6. Ну и дальше запихиваем двойное неравенство. Дело в шляпе. Это если дело касается табличных Углов. А если, допустим, у нас будет, ну, синус икс, там больше 1, 3, что
31: В этом случае у нас арксинус от 1 трети чётко не определится. Ну, 1, 3, да, планка здесь точки пустые. 1 точка это арксинус 1 третьи, но он, собственно, так и останется, но здесь
32: Надо помнить о том, что все арки являются положительными, ну, углами вообще, по сути своей, значит, этот арксинус, в общем, у нас больше. Поэтому верхняя вот эта вот дуга, это
33: Точка у нас является конечной, потому что направление у нас движения против часовой стрелки. Ну и значит здесь, чтобы определить это, мы 1 угол сразу арксинус определили, a2 это вот этот вот тупой, то есть 180 минус.
34: Since, ну или пи минус арксинус, ну, собственно, он так и будет записан. Пи минус арксинус 1, 3.
35: Ну и можно ещё 1 синус икс больше - 1, 3. Если будет, то тогда у нас что происходит? - 1 3 у нас снизу точки пустые, дуга снова верхняя берётся в ответ 1.
36: Точка это минус арксинус 1, 3.
37: A2 значит, мы помним о том, что арки, как я уже сказал, положительные отсюда, если мы поедем, это p плюс острый угол, но этот острый угол соответствует положительному углу арксинус 1, 3, значит p плюс арксинус 1, 3.
38: Так и будет ответ p плюс арксинус 1, 3, ну и в общем, просто это все дело надо запихивать в двойное неравенство или в скобки круглые или квадратные, в зависимости от того, какой знак неравенства был изначально, это что касается синус.
39: Как же дела обстоят с косинусами? Да, по сути также косинус икс меньше 1. 2, значит, вертикальная уже линия пойдёт через 1, 2 по иксу, и она рассечёт окружность на 2 дуги, причём точки будут опять же пустые, поскольку неравенство строгое.
40: Нас интересует левая дуга, потому что она находится там, где xx меньше, чем 1, 2. Ну, в общем, мы её заштриховываем.
41: 1 точка, которая находится в области аркосинус, это верхняя, то есть аркосинус 1, 2 это пи третьих. Дальше мы понимаем то, что движение у нас в эту сторону эта точка есть конечная, значит, она должна больше быть, чем вот эта
42: Ну, теперь начинаем геометрически определять. Значит, здесь 60 градусов, а здесь мы не доехали до оборота полного на эти 60 градусов. То есть, по идее, 2 пи минус пи на 3, ну, 2 пи минус пи на 3, это получаем 5 пи на 3.
43: Ну и дальше x. Зажимаем опять же диапазон от пи на 3 до 5 пи на 3, добавляем периоды и готово дальше в следующем неравенстве 1, 2 проходит у нас. Вот здесь нужна опять же дуга та, которая теперь правее, значит.
44: Мы её заштриховываем. 1 точка определяется, это пи на 3 снова, a2 у нас пойдёт через геометрию, и мы понимаем то, что это начальное, потому что движение у нас идёт вот так. То есть здесь у нас зайчик забежал, смотрите.
45: По сути, величине своей одинаковые. Соответственно, здесь направление у нас было в положительную сторону, оно пи на 3, а здесь в отрицательную, то есть минус пи на 3, ну и тогда от минус пи на 3 до пи на 3 ответ. Ну, давайте запишем, чтобы хронологию как-то
46: Увидеть. Ну и конечно же, периоды там + 2 ПИН. Это на 1 обороте у нас ответ получается в следующем неравенстве. - 1, 2 находится вот здесь 2 точки меньше - 1, 2, значит, дугана.
47: Ходится та, которая левее. В общем, что мы делаем? Определяем углы. 1 угол это арккосинус - 1, 2. То есть это тупой угол 2 пи на 3. Ну, это пи минус аркосинус 1, 2. То есть пи минус пи на 3, это 2 пи на
48: Мы эти вещи уже, кстати, обсуждали 2 угол. Это вот этот вот и он у нас, по идее, больше чем 2 пи на 3, потому что, опять же, это конечная точка, то есть выход из леса здесь 100
49: 20 ну в общем, что мы здесь до опять же полного оборота не доехали на эти 120 градусов, то есть 2 p - 2 пи на 3 ну это получается 4 пи на 3 все значит от 2 пи на 3 до 4 пи на 3 ответ готов.
50: И последнее неравенство. Косинус икс больше - 1. 2. Ну, значит, здесь - 1, 2. Точки пустые, штриховка дуги. Теперь правой осуществляется 1, 2 пи на 3 уже из предыдущего неравенства мы
51: Понимаем. А вот эта точка, это есть зеркало. Ну так же, как и в принципе, вот здесь получается здесь тупой угол 122 пи на 3, а здесь тупой угол у нас в отрицательную сторону - 2 пи на 3, потому
52: Что движение у нас осуществлялось опять же от этой точки. Ребят, я не стал записывать результат в виде двойного неравенства. Думаю, что и так все понятно. А если непонятно, допустим, новичку в этом деле.
53: А такое тоже может быть да ну тогда запишем, в общем в двойное неравенство запихиваем икс между пи на 3 5 пи на 3 соблюдая хронологию, тогда получаем пи на 3 + 2 p. N.
54: Поскольку такая дуга у нас единожды встречается на всем обороте меньше xx yy, меньше 5 пи на 3 + 2 p. N. Ну, здесь я вот двойное неравенство в частном случае уже записал, то есть на 1 обороте теперь просто добавить период.
55: И результат готов. Ну и можно здесь написать 2 ПИН минус пи на 3 типа. И дальше поехали. Кстати, давайте сразу, наверное, ещё и в виде промежутка тоже, чтоб понятно было, как это записывается. Значит, икс принадлежит от пи.
56: На 3 + 2 p. N. До 5 пи на 3 + 2 p. N. Ну и, кстати, самое раздражающее надо везде писать то, что n принадлежит области целых чисел.
57: Здесь, значит 2 пи на 3 + 2 пи эн, меньше, xx меньше 4 пи на 3 + 2 p. N. Ну и коне.
58: Конечно же, n принадлежит z. Ну, думаю, в виде такого уже промежутка записать сможет любой и последнее у нас тут - 2 пи на 3 + 2 пи эн меньше xx меньше 2.
59: И на 3 + 2 p. N, где n принадлежит опять же области целых чисел ну, если будут вопросы, я жду ваших вопросов в комментариях. Далее нахождение интервалов, тангенса и котангенса осуществляется ещё проще.
60: Здесь на подмогу, к нам приходят их оси и границы, то есть вот неравенство, тангенс икс больше или равен корень из 3 шкала тангенса у нас расположена вот здесь, проходящая через единицу по оси x, и корень из 3 у нас расположена выше.
61: Единички, то есть вот здесь, ну, мы помним, что окружность у нас единичная, а корень из 3, это 1 и 7 примерно. Далее проводим прямую через начало координат из этой точки, и у нас образуются 2 точки пересечения, которые, по сути, являются реше,
62: Ну корнями вот этого, допустим, уравнения. Дальше 1 точка это арктангенс, корень из 3, то есть пи на 3, а вот 2, она определяется через полоборота, то есть пи на 3 плюс p. Но давайте мы немножко с ней повременим.
63: Дело в том, что поскольку неравенство у нас больше Корня из 3, именно тангенс, то ему удовлетворяют вот эти вот все значения. То есть, если вот эта вот палка начнёт у нас вот так вот изменяться, то есть расти значе,
64: Тангенса, то она будет у нас, становится все круче, круче, круче, и она вот здесь будет моросить нам результат, и это будет происходить до тех пор, пока не возникнет параллельность. А вот здесь вот произойдёт обрыв, и тогда пустая точка.
65: Ну, а здесь мы помним то, что это пи на 2, но она то не только тут отобразит результат, она ещё и вот здесь через полоборота. То есть получается, что вот эти вот вещи у нас симметричны относительно начала координат, и они образуются Ровно через полоборота. Поэтому период
66: Будем брать не 2 p. N r p and значит x у нас между пи на 3 плюс p n и pe на 2 плюс p n, причём пи на 3 у нас нестрогое, поэтому.
67: Здесь нестрогий знак, что точка пустая промежутка, то
68: А тут строгий, потому-то есть в виде, если записать x между пи на 3 квадратная скобка плюс p. N.
69: Здесь нестрогий знак, а тут строгий, потому что точка пустая, то есть в виде если записать промежутка, то x между пи на 3 квадратная скобка плюс p n и pe на 2.
70: Plus p. N. Скобка будет круглая н. Принадлежит z. Тангенс икс меньше, или равен - 1 3 шкала, здесь же - 1 3 у нас вот здесь.
71: Соединяем сначала координат. И причём, кстати, поскольку мы уже в предыдущем примере выяснили то, что через полоборота повторяется Ровно тоже самое можно провести просто луч из начала координат вот здесь и вот здесь у нас на окружности
72: Будет точка тоже закрашенная, это будет арктангенс - 1 3. То есть вот здесь у нас минус арктангенс 1, 3 меньше. Или равно, значит будет нижняя дуга нас интересовать.
73: И опять же до вот этой вот точки минус пи на 2, потому что здесь у нас возникнет параллельность значит x между минус пи на 2 плюс p and меньше xx yy меньше или?
74: Равно минус арктангенс 1, 3 плюс p n, где n. Опять же из области целых чисел котангенс икс больше или равен минус корень из 3, значит, шкала котангенса нас интересует прово.
75: Dim её вот здесь минус корень из 3 ну тут, тут, конечно, параллельность только должна быть. Минус корень из 3 у нас где-то вот здесь тоже закрашенная точка будет на окружности. Проводим через начало координат.
76: Мы видим опять 2 точки. Дальше больше или равен минус корень из 3. Значит, получается у нас вот сюда движение будет осуществляться. То есть вот эта прямая начнёт вот так вот у нас вертеться относительно начала.
77: И вот здесь она будет прорисовывать дугу вплоть до вот этого состояния. Здесь уже параллельность не возникнет, значит здесь будет пустая точка. Вот это есть точка пи, минус арка, тангенс, корень из 3, то есть
78: Пи минус пи на 6 это 5 пи на 6. Ну и тогда, если в хронологии выставлять вот здесь же у нас 0, значит период здесь у нас отобразится тоже вот такая вот штукенция.
79: Вот здесь пустота ну, в общем, мы опять видим то, что через полоборота, поэтому p. N. И мы понимаем то, что p and меньше xx yy, меньше или равно 5 пи на 6 плюс p. N, где n принадлежит z.
80: И последнее неравенство котангенс икс меньше или равен 1, 3 шкала котангенса. У нас опять же, здесь 1 3 у нас вот здесь, ну, меньше единицы в 3 раза через начало координат и
81: Достаточно только лучча меньше или равно, значит в эту сторону накренение будет происходить. Ну и в общем, она у нас отобразит вот таким вот образом, то есть меньше или равно и она доедет вот до вот этого значения. Пи, то есть вот здесь у нас
82: A котангенс 1, 3, а вот здесь вот пи ну и в общем, записываем в двойном неравенстве так минус без минуса a.
83: Котангенс 1 3 плюс p and меньше xx yy меньше p плюс p. N. Неравенство нестрогое значит, вот здесь вот так вот значок у нас нестрогости есть, ну и в виде давайте запишем.
84: Промежутка икс принадлежит от ark котангенса 1 трети кстати, квадратные скобки плюс p n до p плюс p n. Здесь круглые н. Принадлежит.
85: Если в пасти у тригонометрической функции содержится выражение не беда, оно все равно считается простейшим, функция 1 сравнивается с каким-то числом, а вот это вот состояние ну это просто большой xxx, поэтому определяем.
86: Мы его по тем же самым принципам окружность.
87: Тангенс сравнивается с единичкой. Значит, шкала единица у нас вот здесь с началом координат связываем больше или равно, значит, вот эта вот дуга нас интересует. 1 точка, которая является арктангенсом 1 это ПИН.
88: На 4, a2 это граница пи на 2 все запихиваем в двойное неравенство, теперь не x, а вот эту вот внутрянку, то есть мы получаем пи на 4 плюс пи.
89: And меньше.
90: На 4, a2 это граница пи на 2 все запихиваем в двойное неравенство, теперь не x, а вот эту вот внутрянку, то есть мы получаем пи на 4 плюс пи and меньше.
91: Или равно 2 икс минус пи на 3 меньше, или равно нет, здесь уже строго меньше пи на 2 плюс p n. Ну и дальше нам надо просто.
92: Чистить внутренний вот этот вот x. Для этого добавим пи на 3 каждому каждой стороне данного неравенства, то есть пи на 4 плюс пи на 3, ну к общему знаменателю, если приведём это 7 p на 12.
93: Plus p and меньше или равно 2 икс меньше пи на 2 плюс пи на 3 это у нас тогда получается 5 пи на 6 плюс p n. Ну и дальше все делим на 2 и.
94: X. У нас готов, то есть 7 p 20/4 плюс p. N пополам меньше или равен икс меньше 5 пи на 12 плюс p. N делить на 2, где n принадлежит области ц.
95: Целых чисел. Ну и дальше в виде промежутка записали и все здесь. Вот тут, в отличие от предыдущего неравенства, у синуса стоит двоечка, надо от неё избавиться, поэтому разделим на 2 левую правую часть неравенства тогда
96: Синус икс на 2 минус пи на 4 больше или равен станет - 1. 2 рисуем окружность - 1 2 у нас. Вот здесь мы эти вещи уже сегодня делали точки, закрашенные вверх.
97: Дуга 1 минус синус минус арксинус 1 2 это минус пи на 6, а здесь получается p плюс пи на 6, то есть 7 пи на 6 все значит x.
98: Вторых минус пи на 4 у нас между минус пи на 6 + 2 p. N e7, пи на 6, + 2 PNDALEEPENA4.
99: Прибавляем ко всем частям неравенства, напишем тут что плюс пи на 4, в общем пи на 4 минус пи на 6 получается к общему знаменателю если мы приведём, то получаем p на 12.
100: + 2 пи эн меньше или равно икс вторых меньше, или равно. Ну а здесь 7 пи на 6. Если мы опять же 12 общий знаменатель, сюда у нас пойдёт тройка, сюда двойка.
101: В общем, 14 и 3 17 пи на 12 + 2 p. N. Дальше умножаем все на 2, чтобы x освободить и получаем пи на 6.
102: + 4, p. N 17 пи. На 6 + 4 p. N. Ну и опять же в промежуток записали и готово, что ж, надеюсь, была интересна, а главное полезна та информация.
103: Которая была предоставлена на сегодняшнем занятии. Ждут нас сложные тригонометрические неравенства, которые будем разбирать уже скоро. Поэтому бейте в колокол, чтобы не пропустить. Не скучайте пока.