0: По поводу задачки в тесте есть такой вопрос. Он обычно так называется относительность одновременности. Есть события, которые в разных системах отсчёта. То 1 раньше, то другое. Ну, в смысле чего координат не времени.

1: Чего? Временной координаты, да, вот. Но вот так может быть, что у 2 событий, в какой бы системе отсчёта мы не брали их временные координаты, 1 будет всегда больше 2. Вот, собственно, это и нужно было написать. Ну,

2: На самом деле, говорю, банальная задачка, но тем не менее требует некого минимального творчества.

3: Так, 1 пункт сегодняшней лекции.

4: Это эффект доплера.

5: А, ну эффект доплера и операция света пункт 1, на самом деле некая банальность, но давайте мы её выведем и опять же методом инвариантов.

6: Самое главное, что хочется заметить.

7: Это то, как выглядит волновой вектор фотона во всех системах отсчёта. Пусть это system ка это system ка штрих, которая двигается со скоростью в и эта скорость the направлена вдоль оси икс.

8: Направлены, значит, давайте напишем волновой четырехвектор фотона. Что это такое? Это омега на цэ и омега на цэ косинус.

9: Эта омега на цэ синус тета и 0. То есть имеется ввиду, что волновой вектор фотона, он направлен как-то в плоскости икс игрек, то есть ось зет не задействована, то есть

10: А движения нет. Вот смотрите, это компоненты в системе-ка.

11: И я сейчас ещё раз это повторю в системе-ка штрих, но только естественно будет штрих омега штрих на цэ косинус тета штрих омега штрих на цэ синус тета штрих 0. Значит, почему?

12: Я это так подробно рассматриваю, мне это очень важно, чтоб вы понимали такую вещь, что понятно, что компоненты четырехвектора будут различными в разных системах отсчёта, но функционально они выглядят одинаково. Согласны, да?

13: И здесь омега на цэ, и здесь омега на цэ, здесь омега цэ синус тета, здесь омега на цэ синус тета.

14: Ну, можно сказать так. Я это говорю следующим образом, что функционально компоненты 4 векторов выглядят одинаково в любой системе отчёта вот no, естественно, цифры здесь будут разные, вот, и мы делаем простую вещь, мы

15: Вводим вектор н 0 и н 1 и опять же пишем их компоненты.

16: Как это лучше? Как это лучше сделать для того, чтобы добраться до нужного результата? Ну, например, нас интересует.

17: Компоненты именно в штрихованной системе тогда в штрихованной системе, я н 0 определяю как 1 и 000.

18: А and x определяю как 0 1:00 да, после чего, что я делаю, как мне определить эти вектора в системе-ка?

19: Естественно, взяв матрицу лоренса, да и умножив на матрицу лоренса, что я тогда получу, я тогда здесь получу.

20: Ну, давайте так, чуть позже, но все-таки введу ц единица, чтобы не связываться со скоростями света. Соответственно, вот здесь, ц, с этого момента не пишется, да, вот тогда что мы здесь.

21: Мы здесь имеем гамма в гамма 00, а здесь, соответственно, в гамма гамма 00.

22: Что, что штрихованные тогда должны быть штрихованной системе или где мы вводим, в какой системе нет. Смотрите, мы можем четырехвектор, как ввести путём задания компонент в 1 системе отсчёта. Закон пересчёта у нас есть, да, значит, мы

23: Можем пересчитать. Я говорю, давайте я эти вектора определю в системе-ка штрих вот таким образом.

24: После чего их компоненты в системе-ка становятся известными, да как берёшь эти вектора, умножаешь на матрицу лоренса?

25: Понятно, что эти компоненты связаны точно также, да, но опять же ещё раз функционально они имеют один и тот же вид.

26: Все, а дальше я делаю некую банальность. Я пишу, что у меня скалярное произведение-ка на н 0.

27: Это инвариант, в смысле, как? В смысле преобразования лоренца, да?

28: Вот и k. Na н. 1.

29: Это тоже инвариант, и теперь я 2 этих инварианта раскрываю.

30: Давайте посмотрим, как это будет, что такое кана н 0. Это просто омега штрих, правильно?

31: Вот я и пишу омега штрих, а здесь что будет во 2 уравнении?

32: Омега штрих косинус, тета штрих и о минус точно минус омега штрих косинус тета штрих равно равно после чего я эти же скалярные произведения раскрываю.

33: Системика.

34: Давайте это сделаем. Что у нас тогда получится. Вот я беру-ка на 0, перемножаю, у меня будет всего 2 члена, правильно? Раз в каждом из них будут омеги и будут гамма, да, поэтому

35: Я их могу прямо сразу вот так вынести за скобку, так что будет в виде 0 компоненты.

36: Омега гамма, да, в чистом виде. Значит, здесь будет единица.

37: Соответственно, скалярное псевдоскалярное произведение требует минуса, значит, что там будет лишнего, там лишним будет, ну, добавочным в и косинус тета, да, значит, минус the косинус тета, а.

38: Здесь что будет? Ну, примерно все тоже самое омега гамма можно вынести, значит, в нулевом члене дополнительном будет the. А в 1, естественно, будет косинус тета.

39: Ну и теперь мы берём.

40: Давайте так обозначим. Это нулевое соотношение. Это 1, чтобы не забывать про то, что индексы нумеруются с нуля. Да, делим 1 уравнение на нулевое.

41: 1 уравнение на нулевое и минус сразу направо переносим, поэтому будет косинус тета равняться чему?

42: Косинус тета минус the делить на единицу минус the косинус тета это то, что называется законом операции. Вот что 3 косинус. Да, спасибо, косинус.

43: Это штрих, а эффект доплера, это в чистом виде уже вот это вот полученное соотношение, правильно?

44: Ну, мы с вами решали задачку номер 1 в задании. Это тоже эффект доплера. В этом смысле надо понимать, что есть вот такие соотношения, да, и которые просто имеют четырехвектор ый характер. А эффект доплера, конечно же,

45: Нужно не пользоваться тупо вот этой или вот этой формулой, да, а прилаживать её к задаче. Вот я бы сказал, что решить задачку про то, как меняется направление на полярную звезду, просто взяв эти 2 формулы по старинке, было бы сложно.

46: Вот в этом смысле, да, вот когда-то в допотопные времена эти формулы были получены, они нечто иллюстрируют, но, с моей точки зрения, с точки зрения вычислительной ценности, ну это для Попугаев. То есть те, кто видит формулу, но не понимает, что они, означаю,

47: То есть приладить её к задаче конкретной очень сложно.

48: Ну, кто по другому не умеет, вот так этим и пользуется. Поэтому, в общем, я бы сказал, что большой ценности эти 2 формулы, если вы владеете четырехмерным формализмом, не имеют, то есть смысла их применять большого нет.

49: Так, значит, на этом этот необходимый пункт мы закончили?

50: Угу. Ну давайте займёмся математикой.

51: Что мне хотелось бы здесь поразбирать?

52: Ну да, давайте так, прям назовём пункт 2 математика. Я сейчас туда кучу всего свалю, просто на что я хочу обратить ваше внимание.

53: Например, если мы делаем произведение четырехмерных векторов а. И б. Например, да, мы их можем записать разными способами с помощью соглашения эйнштейна о суммировании а итое б.

54: Etta а итое б. Итое да.

55: Откуда можно заключить интересную вещь? Смотрите, какую. Ну, например, я вот здесь напишу. А итое штрих бэ итое штрих. Что это означает в рамках того, о чем мы с вами договаривались?

56: Что это скалярное произведение, раскрытое по компонентам в системе-ка, да? А это в системе-ка штрих.

57: И вот то, что результат не зависит от этого, что означает на самом деле, вспомним, что вектор это что это тензор 1 ранга, да, с ko или контравариантным индексом. Соответственно, он как преобразуется. Ну давайте

58: Напишем Аита, есть лямбда.

59: И-ка, а-ка, ну и для того, чтобы подчеркнуть систему как-то вот так, да, надо написать.

60: То есть он преобразуется какой-то матрицей, если мы напишем тоже самое для beta.

61: Естественно, индекс будет сверху. Да, б, итое есть лямда, значит, и будет здесь к будет 2 индексом. Помните, я ещё говорил, что можно здесь точечки рисовать, да?

62: Так, для пользы, чтобы по 1 времени не запутаться, так и здесь будет бэ Катая штрих. Ну и надо понимать, что эти матрицы, где 1 матрица, у которой индекс 1, нижний, 2 верхний, а у

63: 2, 1, верхний, 2 нижний. Они все-таки разные, да, поэтому, ну, например, это можно как-нибудь вот так вот обозначить у 1 из матриц, поставить тильду и понимая, что на самом деле здесь

64: 1 матрица сидит здесь, другая, а получается тот же результат в другой системе. Что это означает, что эти матрицы взаимно обратные, да?

65: То есть они схлопываются.

66: То есть у нас что получается, что кое контравариантные компоненты преобразуются взаимно обратным образом? Это мы с вами говорили, и можно взять матрицу лоренса, да?

67: Взять у ней минус 1 степень, и это снова будет матрица лоренса, но какая? Если здесь было the, то здесь будет минус the, но можно это сделать не только физически, то есть заменив

68: Скорости, ну и просто тупо взяв обратную матрицу, и вы получите Ровно тоже самое. Ну что, любопытно, конечно.

69: То есть вот это 1 момент математический, который я хотел подчеркнуть. А кстати, ещё какие варианты можно написать с точки зрения скалярного произведения? Давайте напишем.

70: Можно ещё написать что-нибудь вот такое?

71: Жэ и kota а итае бэ катае или опять же жэ и Катая а итая бэ.

72: Ну, это я просто упражняюсь в вариантах.

73: Чем, с моей точки зрения, такая запись интересна. Ну вот давайте её чуть чуть.

74: Смотрите, здесь использовано соглашение эйнштейна о суммировании. Так?

75: Это означает, что здесь стоит не член, а сколько это многочлен, сколько в нём всего.

76: 1 правильно, элементов.

77: Это означает, что здесь стоит не 1 член, а сколько это многочлен. Правильно? Сколько в нём всего элементов?

78: 4 элемента суммы по индексу и и 4 пока, да, итого сколько? 16 получается. То есть, вообще говоря, если там нет нулей, то здесь будет всего 16 членов. Вот. Но каждый из этих членов

79: Что это такое? Это произведение 3 и как мы понимаем,

80: Чисел.

81: Что это такое? Это произведение 3 чисел и как мы понимаем,

82: Порядок этих чисел не важен. Это не матрица, ещё раз повторяю, да, это сумма отдельных членов, каждый из которых представляет из себя произведение 3 чисел.

83: Но так как я могу их писать в любом порядке, я их могу записать в удобном для себя порядке, например, написав букву а вот здесь тогда я получу а итое жэ и катае, бэ катае. А вот

84: Вот это уже я могу интерпретировать. Как, то есть, с 1 стороны, у меня соглашение эйнштейна о суммировании, с другой стороны, это некая конструкция, которую можно свести к матричному произведению, то есть сказать, что у меня есть

85: Что?

86: Вот это уже я могу интерпретировать как что-то есть. С 1 стороны, у меня соглашение эйнштейна о суммировании, с другой стороны, это некая конструкция, которую можно свести к матричному произведению, то есть сказать, что у меня есть

87: Вектор а, да там.

88: Есть какая-то матрица жэ.

89: Вектор а, да, есть какая-то там матрица жэ.

90: Есть вектор б.

91: Верно. Ну и для того, чтобы равенство было корректным, что нужно сделать?

92: А, ну, собственно, это и есть число, да, то есть, поэтому тут никаких индексов больше не надо писать. Угу. Ну что можно ещё здесь так отметить, если мы это воспринимаем как матрицу, ну, наверное, что здесь будет?

93: Что-то вот такое вот, да.

94: То, что если это столбец, то это

95: Строка.

96: То, что если это столбец, то это строка.

97: Что я сделал? Я на самом деле вот в этой интерпретации не нуждаюсь. Для чего это нужно? Для того, чтобы показать вам, что соглашение эйнштейна о суммировании в каком-то виде может быть сведено к матричным произведениям, так ведь?

98: Но фундаментально в этом нужды нет, но удобно иногда, ну, например, когда это удобно, когда, например, вместо метрического тензора стоит единичная

99: Это увидеть, видеть матрица, да?

100: Но фундаментально в этом нужды нет, но удобно иногда это увидеть. Ну, например, когда это удобно видеть, когда, например, вместо метрического тензора стоит единичная матрица, да.

101: Допустим, стоит тогда, что это означает, что это просто скалярное произведение, да, 2 векторов.

102: Мы сейчас тоже к этому подойдём отдельным пунктом. Вот. Но вот, тем не менее, такие матричные реалии есть, они не первичные, но они есть. Так, прошлый раз я дал определение 4 тензера. Хорошо, значит, я к этому не возвращаюсь.

103: Угу.

104: И что мне хотелось бы здесь ещё подчеркнуть. Ага, вот какой важный момент. Смотрите.

105: Значит, жэ и kota либо с верхними индексами, либо с нижними, на всякий случай повторюсь.

106: Это матрица.

107: Ну, можно так написать жэ и катое равно и равно жэ и катае, значит, здесь стоит единичка и 3 минус единички по диагонали главной, остальные все нули.

108: Вот так. Ага.

109: Значит, вот это метрический тензор. Вопрос такой, как мы, как мы поступали с обычным четырехвектором. Пусть у меня есть

110: Вот так. Ага. Значит, вот это метрический тензор. Вопрос такой, как мы, как мы поступали с обычным четырехвектором. Пусть у меня есть

111: И это есть, а, 0, а, 1, а, 2 и, a3, как я поднимаю или опускаю компоненты. Есть у меня такие компоненты. Я хочу написать вот такие, что я здесь.

112: Должен написать.

113: А, 0 минус, а, 1 минус, а, 2 и минус, а, 3. Правильно?

114: Но я могу также воспользоваться и такой процедурой, как а итое есть жэ и Катая, а катае правильно? С 1 стороны, это соглашение эйнштейна о суммировании, а с другой стороны, что умно,

115: Вектора на матрицу почему бы нет? То есть можно и так, и так рассмотреть.

116: Теперь вопрос такой смотрите, что я делаю этим соотношением я опускаю был индекс контравариантный, стал индекс ковариантный, я точно те же процедуры могу применять к тензорам, например, я возьму же и cat и скажу.

117: Индекс, да.

118: Теперь вопрос такой смотрите, что я делаю этим соотношением я опускаю индекс да, был индекс контравариантный, стал индекс ковариантный, я точно те же процедуры могу применять к тензорам, например, я возьму же и cat и скажу.

119: Давайте я опущу индекс и вниз. Что получится, да?

120: Где здесь, вот в этих местах? Ну, можно опустить тогда надо написать, что а, 0, a1 a2 и a3, да, что?

121: Следует, что а 0 верхнее равно, а 0 нижнее.

122: A1 с единицей сверху есть минус, a1 с нижним и так далее.

123: Ну как, если я пишу, а итое с нижним индексом, я формально должен написать вот это, да. А с точки зрения связи с контрвариантными компонентами, вот это после чего я ставлю равенство между ними.

124: Так вот, значит, если я опустил индекс, то точно тоже самое я могу сделать ж. Давайте это сделаем.

125: То есть, как это написать? Очень просто. Жэ и Катая, опустим индекс и жэ, и здесь какое-нибудь Эльта надо поставить, тогда это будет что такое формально это

126: Будет же, какие здесь индексы, надо написать.

127: Да all ка, но только вот точечки да так поставить, чтобы не перепутать порядок.

128: Другой вопрос, что это симметричная матрица и поэтому, вообще говоря, можно их обратно писать, это ничего не поменяет, но тем не менее, формально вот так и что я получаю? Давайте посмотрим.

129: Когда я вот так опускаю индекс, смотрите, какое правило. Значит ещё раз вот посмотрим на вектор, что получается, когда я опускаю индекс, у меня меняется знак, где не меняется у 0 компоненты.

130: Верно, индекс и означает я.

131: Но меняется у пространственных компонент. Теперь я беру матрицу же, что я должен сделать, я должен опустить. Правильно я его сделал через соглашение эйнштейна о суммировании. Но формально это что?

132: Верно, но меняется у пространственных компонент. Теперь я беру матрицу же, что я должен сделать? Я должен опустить индекс, и правильно я его сделал через соглашение эйнштейна о суммировании. Но формально это что означает я?

133: Какой индекс строчный или столбцовый, если интерпретировать это как матрицу?

134: Да, мы потому что мы всегда договариваемся, как, что 1 строка, 2 столбец. Верно? Значит, я опускаю строчный индекс. Что это означает? Это означает, что нулевая строка.

135: Сохраняй знак.

136: A1, 2 и 3 знак чего меняют?

137: То есть, что я вижу, во что превращается? В единую, да, в единичную. Но я могу это формально ещё и увидеть, как путём, вот что здесь фактически написано. Вот, что есть, не это есть.

138: Матрицу здесь.

139: То есть, что я вижу, во что превращается? В единую, да, в единичную матрицу. Но я могу это формально ещё и увидеть, как путём, вот что здесь фактически написано. Вот здесь, что есть, не это есть.

140: Некое жж. Правильно. Почему? Потому что здесь суммируется строчный индекс со столбцом. То есть это обычное матричное произведение, но только надо что здесь написать?

141: Элька, да.

142: Ну, мы и так, то есть, смотрите, либо мы вот так действуем, либо мы вот, вот так действуем, верно? То есть 2 способа я с обоими способами вас знакомлю. То есть, тем не менее, это получается, что-то, что мы привыкли по определению считать, чем дельта

143: El cata да, как этот символ называется то есть оказывается, что метрический тензор с верхними индексами или с нижними это просто некий вариант записи символа кронекера.

144: Да.

145: El cata да, как этот символ называется да, то есть оказывается, что метрический тензор с верхними индексами или с нижними это просто некий вариант записи символа кронекера.

146: Вот мы сейчас это увидим.

147: На самом деле тут есть ещё 1 момент, достаточно важный.

148: Он заключается вот пока я нигде не сказал, что метрический тензор не доказал, является тензором.

149: В чем верно.

150: Он заключается вот в чем пока я нигде не сказал, что метрический тензор не доказал, является тензором, верно?

151: Ну, это можно сделать. Я хотел бы это сделать. Ну, скажем так, на трёхмерных обозначениях. Давайте немножко ещё с трёхмерными обозначениями разберёмся там, где мы употребляем греческие индексы. Пусть у нас

152: Есть ещё трёхмерная напишем трёхмерный метрический тензор.

153: И мы как альфа бетта.

154: Есть ещё трёхмерная, и мы напишем трёхмерный метрический тензор, как альфа бетта.

155: Альфа, бета, что это такое? Это по определению есть просто единичная матрица.

156: Соответственно, учитывая единичную матрицу, ну, допустим, я хотел бы написать что-то такое, а альфа

157: Жэ.

158: Соответственно, учитывая единичную матрицу, ну, допустим, я хотел бы написать что-то такое, а альфа жэ.

159: Бета альфа. Ну формально это по определению, что да.

160: Но матрица единичная, значит, никакой разницы нету, верно? То есть в силу этого нам нет смысла вот так вот различать верхние нижние индексы, если вот такой метрический тензор,

161: Поэтому мы вот так не пишем, мы пишем жэ, бета альфа, а альфа и прекрасно понимаем, что это с другой стороны матричная конструкция. Я умножаю вектор, а вектор, а на

162: Да.

163: Поэтому мы вот так не пишем, мы пишем жэ, бета альфа, а альфа, да, и прекрасно понимаем, что это с другой стороны матричная конструкция. Я умножаю вектор, а вектор, а на

164: Что на единичную матрицу? Да, значит, я снова получаю его же. То есть я могу написать смело, что это есть, а бета. И вот в этом варианте трёхмерном, нет смысла различать верхние и нижние индексы.

165: А в четырехмерном имеет, потому что вот такая хитрая штука, связанная с. И ещё эта матрица, как называется? У математиков Грамма, да, это матрица Грамма.

166: Теперь на трёхмерном примере я хочу показать.

167: А, ну и здесь тоже можно, что естественно написать, что это есть дельта альфа бета, верно?

168: То есть так тоже можно написать, что метрический тензор это просто единичная матрица. Но опять же, странное утверждение. Смотрите, я говорю, метрический тензор, но матрица единичная. Или я могу сказать, что символ кронекера есть тензор, но я этого ещё не доказал.

169: Ну, давайте это докажем. Это очень полезное упражнение, которое

170: Даёт нам возможность понять.

171: Глубже эта ситуация.

172: Пусть у меня есть трёхмерное произведение скалярное векторов а и б.

173: Что это такое с точки зрения преобразования?

174: А альфа оо это а?

175: Б альфа равно пишем закон преобразования трёхмерного вектора альфа альфа штрих, а альфа штрих это я что сделал?

176: А альфа б альфа равно пишем закон преобразования трёхмерного вектора оо альфа альфа штрих а альфа штрих это я что сделал это, а?

177: Компоненты в системе-ка заменил. На что мне в системе к штрих.

178: Пишу тоже самое для б. О.

179: Бета, а нет, тоже альфа альфа. А дальше я не могу употреблять. Смотрите, альф штрих, да, потому что он у меня уже занят, он и так дважды употреблён, поэтому

180: Ну, я здесь напишу бета штрих, ну и здесь, соответственно, будет бэ бета штрих равно.

181: Что у нас получится?

182: Опять же напоминаю, сколько здесь сумм. Всего считаем столько, сколько Двойных индексов, да повторённых дважды. Альфа повторён альфа штрих повторён дважды, бета штрих повторён дважды. То есть у нас здесь

183: Дважды всего.

184: Опять же напоминаю, сколько здесь сумм. Всего считаем столько, сколько Двойных индексов, да повторённых дважды. Альфа повторён дважды. Альфа штрих повторён дважды, бета штрих повторён дважды. То есть у нас здесь всего

185: 3 в Кубе членов, да, то есть 27 на самом деле, и все они просто числа, поэтому их можно писать в любом порядке. Я записываю в том порядке, в котором мне это хотелось бы делать. Смотрите, как я это сделаю. Я хочу теперь

186: Индексы все эти написать так, чтобы проассоциировать их с матричными конструкциями. То есть, ну, начнём с. А вот я напишу здесь альфа штрих 1 написал дальше.

187: А?

188: Индексы все эти написать так, чтобы проассоциировать их с матричными конструкциями. То есть, ну, начнём с. А вот я напишу здесь, а альфа штрих 1 написал дальше.

189: Я хочу с этой матрицей разобраться, и мне хочется написать именно матричную конструкцию, поэтому я вот эти индексы могу переставить. Но это к чему приведёт? К тому, что вместо матрицы ортогональной я должен какую написать? Транспонированную да, ортогональную.

190: То есть, если я меняю индексы вместо о, я должен написать o t o в скобочках альфа штрих альфа, ведь так я меняю порядок индексов, это я написал вот эту матрицу, теперь эту пишу.

191: T. Верно.

192: То есть, если я меняю индексы вместо о, я должен написать o t o t в скобочках альфа штрих альфа, верно ведь так я меняю порядок индексов, это я написал вот эту матрицу, теперь эту пишу.

193: Ооо альфа бета штрих ну и соответственно бета штрих равно

194: Бэ.

195: Ооо альфа бета штрих ну и соответственно, бэ бета штрих равно.

196: Что у меня здесь получается?

197: Вот это вот.

198: Я могу обозначить как, смотрите, как о.

199: Смотрите, здесь идёт сумма строчного индекса со столбцов. Это обычное матричное произведение. Значит, я пишу это как от на о.

200: И пишу здесь индекса альфа штрих бета штрих, и оставляю а альфа штрих б бета штрих написал.

201: Равно продолжаю. Ну, теперь на самом деле все уже сделано. И я теперь вместо индексов могу написать матричные, реальные, то есть написать, что это есть вектор, а, а так, вектор.

202: А, ну там какая-то матрица, ну как бы её обозначить.

203: Ну, пусть будет некая матрица дельта на б, да.

204: Что я вижу, что чему равняется произведение ортогональной матрицы на транспонированную к ней.

205: Как вы понимаете, это и есть единичная матрица, да, то есть я могу это написать опять же в индексах, как а альфа штрих, дельта альфа штрих, бета штрих б бета штрих, верно, но опять же.

206: Дельта альфа штрих, бета штрих на бэ бета штрих. Это что есть? Это есть бэ альфа штрих. Почему умножение вектора на единичную матрицу его не меняет? Соответственно, я здесь получаю, а альфа штрих б бета штрих, то есть

207: Я съел ортогональную матрицу, и фактически, что я доказал этим? Смотрите, я этим доказал следующее. Вот это вот эту первичную запись я всегда как могу записать, как, а?

208: Альфа, дельта, альфа, бета б бета, могу я так написать?

209: Сравниваю эту запись и какую, и вот эту

210: Давайте чуть чуть поподробнее, значит, есть, да, смотрите, как. Угу. Значит, если уж я такое написал, так, то я должен написать ещё и вот что, чтобы привести 1 к другому.

211: Продолжаем.

212: Я пишу вот вместо альфа б бета, я вставляю вот эти конструкции, я получаю

213: Ну и я сразу что хочу сделать. То есть у меня фактически вот сюда ещё вставлен вот этот дельта, да, то есть я его могу сюда переписать соответствующий трансформации индексов. То есть у меня фактически получается такая конструкция.

214: Ну.

215: Ну и я сразу что хочу сделать. То есть у меня фактически вот сюда ещё вставлен вот этот дельта, да, то есть я его могу сюда переписать, ну, соответствующий трансформации индексов. То есть у меня фактически получается такая конструкция.

216: А альфа штрих, вот я использую вот это вот, да, как основу, а альфа штрих о т.

217: Альфа.

218: Альфа штрих альфа

219: Потом дельта альфа, бета, потом о.

220: Бета.

221: Бета штрих, б бета штрих и я вот это вот как могу переписать опять же?

222: В матричной форме как это выглядит?

223: Это выглядит вот как, как от

224: Ну, обозначим матрицу без индексов заглавной буквы греческого о на о транспонированная. И здесь компоненты какие будут?

225: Алфавита.

226: Ну, обозначим матрицу без индексов заглавной буквы греческого алфавита. О на о транспонированная. И здесь компоненты какие будут?

227: Альфа штрих, бета штрих, да?

228: То есть я вижу очень интересную вещь. Смотрите какую.

229: Я вижу, что о, транспонированное на дельта, на о, есть снова дельта, да.

230: Ну или если это записать в виде индексов.

231: То я должен написать, что дельта альфа штрих, бета штрих, где она у меня тут?

232: Вот оно, да.

233: Сравниваем с каким выражением? С вот этим там нету ниже.

234: Вот оно, да, сравниваем с каким выражением? С вот этим там нету ниже.

235: Санирован, санирован, транспонирован.

236: Где?

237: Транспонирование Нирова где?

238: Где вы показывали? Вот.

239: А, вот это да, спасибо. Да, это ошибка. Так, значит, дельта альфа штрих, бета штрих есть?

240: Где вы показывали? А вот это вот, да, спасибо. Да, это ошибка. Так, значит, дельта альфа штрих, бета штрих есть?

241: Вот сюда смотрим о транспонированная альфа штрих альфа дельта альфа бета оо бета бета штрих. Что эта формула означает?

242: Давайте подумаем.

243: Что здесь написано?

244: Здесь утверждается, что символ дельта является каким объектом тензором 2, почему его закон преобразования из нештрихованной системы.

245: Ранга да.

246: Здесь утверждается, что символ дельта является каким объектом, тензором 2 ранга, да почему его закон преобразования из нештрихованной системы?

247: Штрихованная, чем определяется свёрткой с 2 матрицами преобразования, да, то есть это тензор 2 ранга, с 1 стороны, а с другой стороны, оказывается, что и здесь единичная матрица.

248: Здесь единичная матрица, что это, как это называется у математиков это называется инвариантный тензер. То есть, с 1 стороны, это тензор, потому что он преобразуется как тензер. С другой стороны, мы понимаем,

249: Каким образом мы это понимаем? Вот сюда посмотрев, да, что здесь фактически это единичная матрица, правильно? Значит, её можно не о, транспонированная, это снова единичная матрица. То есть я могу

250: Написано писать на о.

251: Каким образом мы это понимаем? Вот сюда, посмотрев, да, что здесь фактически написано? Это единичная матрица, правильно? Значит, её можно не писать о, транспонированная на о, это снова единичная матрица. То есть я могу

252: Могу написать такую вещь, что дельта есть от дельта оо. Да, я таким образом доказал, что, с 1 стороны, дельта символ есть тензер, а с другой стороны, что это есть инвариантный тензер, его компоненты выглядят

253: В каждой системе отсчёта одинаково.

254: Вот Ровно тоже самое можно сделать с метрическим тензором четырехмерным, то есть жэ и kota это тоже инвариантный тензер, то есть мы его определили как матрицу, но чудо он оказался тензором.

255: Я это доказал, в трёхмерном случае вы можете это проделать в четырехмерном абсолютно те же выкладки, но только что ортогональная матрица на что будет заменена?

256: На матрицу лоренца перерыв. Так, значит, у меня просьба. Я с большим уважением отношусь к тем людям, которые готовят доску. Но в перерыве, пожалуйста, не стирайте её, хорошо?

257: Это не смертельно, но экономит чуть чуть небольшое количество времени.

258: Так.

259: Ага, ещё 1 мелкая математика состоит вот в чем.

260: Значит, что будет, если я умножу много единичных матриц друг на друга?

261: Понятное дело, что будет 1, да, единичная матрица. Ну, в этих обозначениях давайте это реализуем с помощью индексов дельта альфа, бета дельта, бета гамма дельта.

262: Гамма, эпсилон, дельта эпсилон пусть будет мю вот так. Чему это равно?

263: Дельта альфа мю, все остальные индексы немые, то есть повторённые дважды, по которым идёт суммирование. То есть это будет альфа мю, ну такой длинный крокодил на самом деле все проще. Давайте посмотрим на это ещё вот как

264: Альфа, бета на а бета есть, естественно, а альфа давайте сформулируем простое правило, если дельта символ

265: Сцеплен суммированием с ещё каким-то индексом, то поступать нужно следующим образом. Вот у нас повторяющийся индекс, я беру 2 индекс дельта символа, пишу его вместо того, с которым он сцеплен. И после этого дельта

266: Вообще не пишу. Видно, да, такое простое правило. Соответственно, что у нас будет здесь?

267: Бета бета сцеплен, значит, я, естественно, что это правило подходит, даже если index другой, ещё 1 дельта символа, это не важно. Я беру альфа, подписываю его куда? Вот сюда, да.

268: Здесь, соответственно, уже будет, что у нас

269: Вместо этих 2 дельта символов будет 1, будет написано альфа гамма. Верно? После чего я цепляю вот этот гамма. Соответственно, этот альфа, который написан здесь, попадает сюда, да, цепляю эпсилон после

270: Этого он попадает сюда. Так ведь? Вот и получилось. Этот альфа, пропутешествовав, попадает сюда. И вот эта запись, да, то есть я 1 за другим просто дельта символы убрал. Это удобно. Иногда дельта символы помогают.

271: Но потом их надо естественно, вычищать вот таким образом. Вот, собственно, правило ещё такой. А если бы у меня альфа совпадали, тогда бы я вместо дельта альфа мю альфа альфа.

272: Момент и мю. Что имел.

273: Но потом их надо естественно, вычищать вот таким образом. Вот, собственно, правило, ещё такой момент. А если бы у меня альфа и мю совпадали, тогда бы я вместо дельта альфа мю, что имел альфа альфа,

274: Правильно, сумма дельта.

275: Что это такое? Это естественно. То есть это есть 1, 1 плюс дельта 2, 2 плюс дельта 3, 3. Ну, как вы понимаете, это есть тройка, да?

276: Правильно, что это такое? Это естественно, сумма. То есть это есть дельта 1 1 плюс дельта 2, 2 плюс дельта 3, 3. Ну, как вы понимаете, это есть тройка, да?

277: А если бы я вместо дельта символа трёхмерного взял четырехмерный, я должен был бы написать что-то вот такое.

278: Верно.

279: А если бы я вместо дельта символа трёхмерного взял четырехмерный, я должен был бы написать что-то вот такое, верно?

280: Чему это равно опять же delta 0 0 плюс дельта 1 1 плюс дельта 2 2 плюс дельта 3 3. Это как вы понимаете.

281: Четвёрка. То есть на самом деле общее правило состоит в том, что какое-нибудь там, вообще говоря, дельта и, и это есть, and это что такое размер пространства.

282: And?

283: Четвёрка. То есть на самом деле общее правило состоит в том, что какое-нибудь там, вообще говоря, дельта и, и это есть, and and это что такое размер пространства.

284: Вот есть математики, которые занимаются многомерными объектами, и у них такие задачи бывают хитрые, что не совсем понятно, какова размерность пространства сразу, априори, и тогда она выясняется путём вот такого действия.

285: Понятно, да, вот так вот иногда выворачивается ситуация. То есть мы видим, что, да, трёхмерный, так четырехмерный, так нмерно будет какой-нибудь вот такой и для математиков. В некоторых задачах это способ определить размерность пространства, когда она не является очевидной.

286: Так что ещё здесь нужно сделать?

287: Ага, значит, вот фактически мы приступили к тому, что я бы назвал отдельным пунктом. Вот это вот называется свёртка, свёртка по 2 индексам. Давайте выделим отдельный пункт. Какой у него будет номер, скажите мне.

288: Какой 5? 3, 3 свёртка.

289: 3.

290: Какой 5? 3, 3, 3. Свёртка.

291: У каждой матрицы есть свёртка, давайте это напишем так, пусть у меня есть матрица, а альфа бета.

292: Я по определению пишу, что Шпур матрицы, а есть а альфа альфа, значит есть 3 палочки да Шпур, а значит что такое Шпур.

293: Это немецкое слово, которое означает след, да?

294: Есть ещё английское слово, которое означает тоже самое, это трейс, поэтому есть вариант этого обозначения, тоже по определению есть тр.

295: А, да.

296: Есть ещё английское слово, которое означает тоже самое, это трейс, поэтому есть вариант этого обозначения тоже по определению есть тр. А, да.

297: Очень забавная история. Дело в том, что это обозначение было введено довольно давно, до того, как гитлер выгнал всех учёных евреев, и не только евреев из Германии. Да на чем?

298: Немецкая наука сильно пострадала, я бы сказал, до сих пор нормально восстановиться не может. Вот. Но в те времена, когда главная наука, 1 из доминирующих, была германская, немецкая, употреблялся Шпур. А после того, как все зна.

299: Значительная часть этих людей уехала в америку, стали писать трейс, да, но в литературе есть и то, и другое. Я не помню, кто-то, когда вот в Германии стало все очень плохо. И учёные, понял?

300: Что нужно уносить оттуда ноги, то рассматривалось 2 варианта.

301: Куда ехать в америку или в Россию? И, по моему, сюда приехал Бор.

302: Посмотрел на все, послушал, поглядел, вернулся и сказал не едем в америку.

303: Поэтому, а так бы мы писали что-нибудь типа с да, на кириллице, но не получилось так хорошо. Значит, что я хочу по поводу спора или Шпура, или

304: Случай.

305: Заметить самый интересный это вот какой. Смотрите, у меня есть матрица, а, а, есть матричное произведение матрицы а, и матрицы бэ. Пусть у неё есть компонента альфа бета. Что это так?

306: Заметить самый интересный случай. Это вот какой. Смотрите, у меня есть матрица, а, а, есть матричное произведение матрицы а, и матрицы бэ. Пусть у неё есть компонента альфа бета. Что это так?

307: Это ведь матричное произведение, значит, я могу написать это. А альфа, ну, скажем, гамма бэ гамма бета. Я расписал матричное произведение с помощью индекса.

308: Верно, получилась вот такая штука. И это тоже есть, как вы. Ну, значит, что я здесь могу сделать. А теперь я беру и пишу Шпур.

309: Матрицы произведения a бэ. Что это такое? Смотрим? Вот я расписал матричное произведение, но только если это Шпур, то я здесь вместо бета должен написать альфа, и по нему будет сумма. Я и пишу а?

310: А альфа гамма б гамма альфа.

311: Отсюда, кстати, следует интересная вещь. Смотрите, бэ альфа гамма, а

312: Сейчас бэ гамма, сейчас бэ, я просто их переставляю. Бэ гамма альфа а альфа гамма. То есть это что такое оказывается?

313: Это есть бэ на а гамма гамма, то есть Шпур бэ а, верно?

314: Это 1 момент, то есть я показываю, что оказывается, Шпур бэ а равен шпуру а бэ но это не означает, что там матрицы можно переставлять. Например, понятно, что Шпур а бэ цэ, чему он будет равен.

315: Для того, чтобы применить вот это свойство, что я должен сделать? Я должен тройку разделить на двойки, да, как, ну, например, сказать вот есть матрица, a бэ есть матрица цэ, тогда что я получу, что это есть Шпур цэ а бэ.

316: То есть на самом деле там нельзя матрицы произвольно переставлять. А если здесь стоит and матриц, то их как можно переставлять по циклу, да?

317: Это вот такое свойство Шпура. Ну а если матриц 2, то оказывается, вроде как их можно писать в любом порядке, если, если 2, правда, только теперь, что ещё важно, с точки зрения Шпура, 1 свойство, которое будет при

318: Меняться на протяжении ближайших 3 семестров, а именно напишем, что матрица a симметричная, как это написать, а альфа гамма есть, а гамма альфа.

319: А матрица бэ антисимметричная бэ альфа гамма равняется минус бэ гамма альфа.

320: И теперь посмотрим, чему равняется их Шпур.

321: Ну вот он, да, чему равняется, это мы понимаем. Давайте теперь что сделаем.

322: Поведу равенство влево, воспользуюсь этим свойством, что я получу, я получу минус.

323: А гамма альфа б?

324: Альфа гамма, согласны?

325: Но.

326: Вот это что такое?

327: Это есть Шпура, да? А это?

328: Ну, точно также здесь повтор, а потом свёртка, да, здесь повтор, и потом свёртка, они немые. Поэтому на самом деле вместо этого равенства я какое могу написать? Минус, а альфа гамма бэ.

329: Альфа гамма, могу же я так написать индекс аниме, что я здесь сделал? Я заменил альфа на гамма, а гамма на альфа, но я никаких преобразований по этому типу не делал, верно?

330: Таким образом, что я получил и это вот будет равно минус Шпур а б. Так ведь?

331: Какой отсюда следует вывод?

332: Ну.

333: Да, ну, как любое уравнение вида икс равняется минус икс, да, имеет решение 0. Вот я показал, смотрите, что, что свёртка.

334: Ну да, ну как любое уравнение вида икс равняется минус икс, да, имеет решение 0. Вот я показал, смотрите, что, что свёртка.

335: Матрица, которая сейчас, секундочку, если у меня есть свёртка симметричной матрицы с антисимметричной, вот эту штуку я ещё как могу написать. Смотрите, ещё 1 вариант. Вот это вот как я могу написать, а

336: Симметричная матрица, верно? Я её могу написать? Как? А гамма альфа б гамма альфа. Что я здесь написал?

337: Я написал сумму произведений всех компонент матрицы а. И матрицы б. Да.

338: Видно, потому что что здесь написано, вот здесь давайте это раскроем. Это есть a1, 1 на б, 1, 1 плюс, а, 1, 2 на б, 1, 2 плюс, a1.

339: 1, 3, на б, 1, 3 и так далее. Пока мы не дойдём до, а, 3, 3, до б, 3, 3. Правильно?

340: Что я написал здесь?

341: Сумму произведений всех компонент 2 матриц, так ведь? Так вот, оказывается, если матрица а. Симметрична а. Б. Антисимметрична, то это всегда 0.

342: Что говорят словами так что свёртка симметричной матрицы с антисимметричной.

343: Равна нулю. Это очень важное свойство. Мы будем им неоднократно пользоваться, если не сказать постоянно.

344: Нет, пока мы доказали.

345: А мы здесь где-то закон преобразования писали.

346: Нет, значит, все.

347: Равно в каком. Единственное, что если я хочу эту свёртку или Шпур использовать в четырехмерном виде, что я должен обеспечить

348: Нет, значит, все равно в каком. Единственное, что если я хочу эту свёртку или Шпур использовать в четырехмерном виде, что я должен обеспечить?

349: Баланс индексов, да, чтобы у меня, если 2 индекса суммируются, что должно быть, 1 должен стоять снизу, другой сверху.

350: Я просто пока делаю это на трёхмерном виде. Для чего? Чтобы у вас ещё и вот эта вот путаница с верхними нижними индексами не возникала. Но на самом деле ничего нового здесь не происходит. Если я вдруг перехожу в четырехмерия, там пятимерие шестиме, это не очень важно.

351: На самом деле, вот когда я пишу такие вещи, что я могу сказать, что уж абсолютно точно все это годится, когда, когда метрический тензор или матрица Грамма есть просто единичная, и неважно, сколько там измерений. 3, 4, 5, 6, 7, но

352: Матрица, верно?

353: На самом деле, вот когда я пишу такие вещи, что я могу сказать, что уж абсолютно точно все это годится, когда, когда метрический тензор или матрица Грамма есть просто единичная матрица, верно? И неважно, сколько там измерений. 3, 4, 5, 6, 7, но

354: Все это можно модифицировать ещё и симметрический тензор, который не есть единичная матрица. Это, я так понимаю, те, кто

355: На.

356: Так вот.

357: Все это можно модифицировать ещё и на симметрический тензор, который не есть единичная матрица. Так вот, это, я так понимаю, те, кто

358: Не пришёл, что ли? А можно забирать? Да, конечно. Ну че мне с ними делать? Все заберёте? Хорошо. Идём дальше. Значит, пункт 4 сегодняшней лекции называется. Так.

359: Значит.

360: Не пришёл, что ли? А можно забирать? Да, конечно. Ну че мне с ними делать? Все заберёте, значит, хорошо. Идём дальше. Значит, пункт 4 сегодняшней лекции называется. Так.

361: Тензор ливиты есть такая штука, и она очень важна. Тензер я сейчас напишу, не беспокойтесь.

362: Значит, единичная матрица называется как?

363: Она называется символ кронекера, да?

364: Кронекера это в родительном, понимаем, вот тензер её альфа бета, это 2 фамилии в родительном

365: Падеже гамма, падеже 1.

366: Кронекера это в родительном падеже, понимаем вот тензер её альфа бета гамма это 2 фамилии в родительном падеже 1.

367: Не склоняется чивита. Это именительный падеж. Значит, чивиты, да?

368: Принято фамилии на гласную букву склонять, если она. А, да, а если она и она не склоняется, верно?

369: Вот, значит, левита 2 человека.

370: Я обычно вспоминаю в этой ситуации такой хороший математический анекдот, который я узнал ещё, когда я учился в школе, что бойль мариотт это 2 человека, да.

371: Это 1, а слава кпсс вообще не человек.

372: Так, ладно, ну, этих двое, да?

373: Так, значит, как это? Сначала скажем, что это такое? Это трёхмерная матрица, да, с другой стороны, я говорю, это тензор. Что это означает? Как он будет преобразовываться? Вот как её альфа.

374: Альфа, бета, гамма есть о о о, да, пишем 3 ортогональных матрицы, пишем альфа альфа штрих, бета бета штрих, гамма гамма штрих и здесь пишем е.

375: Альфа штрих, бета штрих, гамма штрих

376: То есть я ввожу некий тензор 3 ранга относительно ортогональных преобразований, на всякий случай это явно скажу.

377: Значит, для того, чтобы задать этот тензер, я должен задать его хотя бы в 1 системе координат. Давайте это сделаем. Кстати, ещё такой момент.

378: Как мы на слух в устном языке. Ну и в письменном тоже отличаем трехмерие от четырехмерия в трехмерии мы говорим система координат, а в четырехмерии

379: Как система отсчёта, да?

380: То есть вот есть ещё и такая деталь. Хорошо. Значит здесь вот мы изменили систему координат и написали вот такое, чтобы задать этот, these, что я должен сделать я должен задать эту матрицу, где хотя бы в 1 системе координат. Давайте это сделаем. Вот я беру не штрихованную и

381: И задаю её, а это связь со штрихованной, её альфа бета гамма равно.

382: Зададим. Так, е, 1, 2, 3.

383: Это единица.

384: Соответственно, это есть минус её бета альфа гамма, минус е гамма, бета альфа и минус е.

385: Альфа, гамма, бета, что я здесь сделал?

386: Каждый раз я меняю 1 пару индексов порядком видно здесь я меняю 1, 2, здесь 1, 3 здесь 2, 3. Таким образом, этот тензер будет какой антисимметричный? Да, по любой паре индексов.

387: Какая у него есть особенность? Она очень интересная. Сколько значений пробегает каждый 3. Да, соответственно, здесь у нас что?

388: Из этих индексов.

389: Какая у него есть особенность? Она очень интересная. Сколько значений пробегает каждый из этих индексов? 3. Да, соответственно, здесь у нас что?

390: 3 значения, каждый индекс и индекса тоже 3. Так ведь? Причём я должен заметить, что по вот этим вот свойствам, например, е, 1, 1, 2 равен нулю. Очевидно ли это?

391: Я могу 1 1 переставить и сменю знак, правильно?

392: То есть я могу написать, что это есть минус е, 1, 1, 2, да, если я вот эти индексы поменял местами. То есть, соответственно, если есть повтор индекса, то это обязательно 0. Поэтому какие индексы у нас будут, какие значения этого тензера будут не нулевые?

393: Там, где все значения 3 разные, да, но индексов столько, сколько значений. Значит, для того, чтобы написать не 0 элемент, что я должен сделать, написать все возможные значения, верно?

394: Я пишу 1, 2, 3, но, с другой стороны, у меня есть такая трансформация. То есть я могу написать, что это есть е, например, 2, 1, 3 со знаком минус, да.

395: Вот так переставил 2, 1 сменил знак вот по этому правилу.

396: Соответственно, я могу получить сколько разных элементов, переставляя 2 индекса из 3.

397: Столько, сколько перестановок есть, сколько их всего будет. 6, 3 факториал, да? Ну, 6, значит, сколько будет ненулевых элементов у этого тензера 6. Причём понятно, что 3 какие плюс.

398: Единица и 3 минус единица, а всего сколько?

399: Элементов.

400: Единица и 3 минус единица, а всего сколько элементов.

401: 27, да, то есть 27 элементов, из которых 6 не нули, 3 плюс единица и 3 минус единица это 1 момент. 2 момент. Я же сказал, что это тензер. Как же будут выглядеть его элементы в другой системе отсчёта? Давайте посмотрим.

402: Давайте сделаем наоборот. Пусть вот это вот есть, вот этот вот определённый так, тензер, а это пока неизвестно что.

403: Тогда что у нас здесь получится? Давайте посмотрим, например, что e1, 2, 3. Что это такое? Это о 1 альфа штрих оо 2 бета штрих о 3 гамма штрих на е.

404: Альфа штрих, бета штрих, гамма штрих. Что я здесь написал? Давайте посмотрим. У меня есть что сумма по альфа бета и гамма со штрихами. Формально здесь 27 членов.

405: Верно, но из них сколько не нулевых.

406: Всего 6, да столько, сколько этих ненулевых.

407: 6 всего 6 элементов. При этом они какие? Смотрите, из чего они состоят? Они состоят из ортогональной матрицы 1 элемента, из 1 строки, 1 из 2, 1 из 3. На какой коэффициент они умножены? На плюс или

408: Минус единица в зависимости от чего, от того, насколько набор альфа штрих, бета штрих и гамма штрих является чётной или нечётной перестановкой относительно 1 2 3. Правильно?

409: А что это такое? Эту реальность мы знаем, как она называется.

410: Вот то, что здесь написано.

411: Это есть детерминант матрицы. О да.

412: То есть здесь на самом деле написано такая вещь, что это детерминант матрицы, а он равен, чему он равен единице. Следовательно, мы показали, что, по крайней мере, e1, 2, 3 это снова единица.

413: О да, была.

414: То есть здесь на самом деле написано такая вещь, что это детерминант матрицы. О. А он равен, чему он равен единице. Следовательно, мы показали, что, по крайней мере, е, 1, 2, 3 это снова единица, да, была.

415: Штрихами единицы осталось единицей, соответственно, можно ли сказать, что здесь сохранены трансформационные свойства?

416: Да, можно. Если я поменяю альфа бета, что это будет означать? Это будет означать перестановку этих 2 элементов, да? А в свою очередь, это что означает, что я беру детерминант?

417: Какой матрицы?

418: Ну да. А что будет в детерминанте, если я переставляю строки или столбцы? Знак меняется? Да? Значит, я могу сказать, что её альфа бета гамма, такой же, такой же полностью анти.

419: Симметричный тензор, как и его аналог в другой системе. Верно, что это означает, что если я задал элемент 1 2 3 to под этим трансформационным свойствам, у меня есть все остальные 6 ненулевые, верно? А?

420: Если у меня здесь идёт повтор индексов, что это означает, что я беру детерминант матрицы, у которой что повторена строка, или это что такое? Это естественно, 0. То есть я показал, что оказывается, если у меня её альфа альфа бета,

421: Столбец, да.

422: Если у меня здесь идёт повтор индексов, что это означает, что я беру детерминант матрицы, у которой, что повторена строка или столбец, это что такое? Это естественно, 0, да, то есть я показал, что, оказывается, если у меня её альфа альфа бета,

423: В 1 системе такой-то и в другой он снова будет такой же такие тензора мы знаем, как они называются, инвариантные тензора. То есть у нас есть 1 инвариантный тензор. Это что, символ?

424: Что да, кронекера, и, оказывается, есть 2.

425: В 1 системе такой-то и в другой он снова будет такой же, что такие тензора мы знаем, как они называются, инвариантные тензора, да, то есть у нас есть 1 инвариантный тензор. Это что, символ кронекера и, оказывается, есть 2

426: Вариантный тензер, тензер и то есть он с 1 стороны тензер, с другой стороны он одинаковый в любой системе координат.

427: Так, итог этого рассмотрения.

428: Состоит в следующем, что оказывается, ну, смотрите, что мы получили, какой у нас есть инвариантный тензер, кроме этих 2, очевидный

429: Нет, 1 кронекера, 2 левиче виты, а ещё.

430: Ранга.

431: Любой скаляр, да, любой скаляр это инвариантный тензор какого ранга нулевого? Да, значит, смотрите, если у нас инвариантные тензора 1

432: Любой скаляр да, любой скаляр это инвариантный тензор какого ранга нулево нулевого? Да, значит, смотрите, если у нас инвариантные тензора 1 ранга

433: Ответ нету. Ну, по банальной причине, как вектора преобразуются. Мы знаем, что они всегда преобразуются, да и нет такого вектора, который бы не преобразовывался. Значит, у нас есть инвариантный тензор нулевого ранга, 2 симметричный.

434: 3 антисимметричный, как вы понимаете, можно искать, какие ееще тензора инвариантные, там, 4, 5, 6 и поехало. Так вот, есть некая теорема, которую я не доказываю. Этим были озабочены математики, которые утверждают следующее.

435: Что все тензора высшего ранга набираются из дельта символов и символов Левит. То есть других инвариантных тензоров нету. Ну, в обобщённом смысле, понимаете, да?

436: Я, например, могу написать такой тензер дельта альфа, бета, её гамма мюню. Это что такое тензер 5 ранга? Да, симметричный по перестановке альфа бета и антисимметричный по

437: Перестановки любой пары из гамма меню.

438: Так вот, утверждается следующее, что все инвариантные тензора, они вот обобщённо имеют примерно такой вид. И кроме этого, оказывается, антисимметричный тензор ливиты и симметричный тензор, символ кронекера, они оказы

439: Оказывается, ну, в каком-то смысле друг друга переходят, и мы это будем рассматривать на семинарах все эти связки. А пока, чтобы подчеркнуть важность тензера левита, замечу следующую вещь. Смотрите.

440: Пусть у меня есть векторное произведение векторов a и b. Чему равна 1 компонента, a2 б, 3 минус b3 a2, так ведь?

441: А теперь я запишу следующее смотрите, векторное произведение альфа есть её альфа бета а бета бэ.

442: Что a бэ компонента гамма.

443: А теперь я запишу следующее смотрите, что a бэ векторное произведение альфа компонента есть её альфа бета гамма, а бета бэ.

444: Гамма это.

445: Проверим, так ли 1 момент, сколько здесь ненулевых членов.

446: Гамма, проверим, так ли это 1 момент, сколько здесь ненулевых членов.

447: Смотрите, альфа зафиксирован он какой-то, допустим, он 1, тогда бета гамма, чему будут равны

448: 2, 3 или 3, 2. Никаких других вариантов. Вот мы это и получаем.

449: То есть на самом деле векторное произведение можно определять вот таким образом, не рецептурно, как здесь, а с помощью тензера. Более того, смотрите, что такое здесь написано. Тензор 1 ранга, он

450: Есть результат свёртки с тензора 3 ранга, с 2 тензорами 1 ранга.

451: И это, в общем, правильно, но тут есть 1 интересная ситуация, она вот какая, смотрите.

452: Значит, то, что я сейчас дальше расскажу, это факультатив, спрашиваться не будет. Вот.

453: Давайте посмотрим на это вот каким образом. Если я меняю оси на противоположные, что происходит со скаляром? Он не меняется. Что происходит с вектором?

454: Он меняет компоненты, на какие на противоположные, а вектор а бэ ну пусть это вот по определению ещё что некий вектор c. Да и здесь вот c альфа.

455: Да, но.

456: Он меняет компоненты на какие, на противоположные да, но а вектор а бэ ну пусть это вот по определению ещё что некий вектор c. Да и здесь вот c альфа.

457: А. И б. Сменит компоненты на противоположные а. Ц.

458: Не сменит, значит, это не вектор, а как его называют физики псевдовектор, да, соответственно, если мы вот сюда, здесь стоит псевдовектор, это вектор, это вектор, значит это псевдотензор. То есть это

459: Смотрим.

460: Не сменит, значит, это не вектор, а как его называют физики псевдовектор, да, соответственно, если мы вот сюда смотрим, здесь стоит псевдовектор. Это вектор, это вектор, значит, это псевдотензор. То есть это

461: Вот такой хитрый тензор, который на самом деле псевдотензор.

462: И все ещё хуже. В каком смысле? Вот если я напишу альфа b бетта, что это такое? Это тензор 2 ранга, да, который я определил путём перемножения вот 2 компонент.

463: Разных.

464: И все ещё хуже. В каком смысле? Вот если я напишу альфа b бетта, что это такое? Это тензор 2 ранга, да, который я определил путём перемножения вот 2 компонент, разных

465: Векторов б, соответственно, это вектор, это вектор. Значит это тоже что просто тензор. А когда я его сворачиваю с тензором, я получаю некий псевдовектор.

466: Ну, ещё что можно сказать, что если у меня есть какой-то цэ псевдовектор и the то какая-нибудь конструкция типа цэ альфа the бета, она чем будет уже это псе?

467: Vektor это псевдовектор, а их произведение есть просто снова тензор, да? Ну вот нужно уметь вот этими вещами манипулировать. Есть ещё 1 важный момент. Вот это есть фундаментальная операция. Ну в каком смысле фундаментальная, смотрите, я

468: Могу, например, написать.

469: А?

470: Могу, например, написать, а?

471: Как бы даже не знаю, какой буквой это поставить, а вот как давайте все-таки сделаем это, как принято, а. Б. Это так называемое внешнее произведение есть ещё внутреннее внутреннее произведение.

472: Когда я пишу а на есть а альфа, а вот это есть внешнее произведение, это есть такая конструкция альфа бета есть, а альфа бэ бета минус.

473: Бэ бэ альфа а.

474: Когда я пишу а на бэ есть а альфа бэ альфа, а вот это есть внешнее произведение, это есть такая конструкция альфа бета есть, а альфа бэ бета минус а.

475: Бета б. Альфа. То есть это что антисемитизации, верно?

476: Так вот, я это коротко касаюсь, дальше лезть не буду, но, может быть, в какой-то момент вернусь. Вот эта конструкция не есть фундаментальная операция, я бы так сказал. Почему? Потому что она задействует некую дополнительную реальност.

477: В виде псевдотензора ли вивита, а фундаментальная операция является вот такая, когда я 2 векторам сопоставляю их внешнее произведение, что есть антисимметричный тензор.

478: Так вот, уже после того, как я его сверну с тензором Вита образуется векторное произведение, то есть в этом плане векторное произведение не есть фундаментальная операция.

479: Ну, вы, если не понимать, то хотя бы знать это должны, потому что здесь ещё есть как бы вот связь с псевдо тензором.

480: Ну и на самом деле, мы будем этим заниматься в этом семестре. Последний момент, который я хотел бы сказать, что если у меня четырехмерное пространство, то что я должен сказать, что е,

481: И жи-ка эль, по определению равно единице, и у тензора левита будет сколько индексов?

482: Столько, сколько размерность пространства. Да, нам это необходимо, но тут ненулевых элементов будет сколько

483: 4 факториал да, все, на этом лекция закончена.

484: И 1, 2, 3, 4 равняется. Да. Дело в том, что смотрите, да, вот так.

485: А тогда е 0 1, 2, 3. Чему будет равно почему опускаем? 0 не меняется, знак меняется, меняется, меняется.

486: Да.