0: Здравствуйте. Вы слушаете курс лекций по дисциплине прикладной математический анализ, лекция номер 3. Предел функции раскрытие неопределённости 0 / 0. Разработчик курса Бредихина Ольга.

1: Понятие функции пусть имеются множество икс большой, игрек большой, пусть далее указан закон, по которому каждому элементу x малое из множества.

2: Большое поставлен в соответствие некоторый единственный элемент игрек малое из множества игрек большое тогда говорят, что задано отображение или функция из икс в игрек.

3: Мы видим запись, что ф. Есть отображение множества x множество игрек, а для соответствующих элементов икс и игрек используется обычная запись игрек, равно эф от икс.

4: При этом множество икс большое называется областью определения функции, обозначается д от игрек или the от ф. А множество игрек областью значений функции и обозначается е от игрек или её от эф икс.

5: Называется независимой переменной или аргументом, а игрек зависимой переменной ф. Это закон соответствия.

6: Функцию можно задать аналитически, то есть с помощью формулы, причём явно неявно, параметрически, таблично или графически.

7: Замечание числовая последовательность это функция натурального аргумента, то есть можно записать, что икс энное равно ф от н.

8: Свойства функции.

9: 1 чётность и нечётность функция называется чётной если существует правило эф от минус икс равно эф от икс и нечётной, если f от минус икс равно минус ф от икс, при этом график че.

10: Функции симметричен относительно оси Ординат, а нечётной относительно начала координат.

11: 2 свойство монотонность, строго возрастающие и убывающие функции называются строго монотонными к монотонным функциям наряду с возрастающими и убывающими относятся неубывающие.

12: И не возрастающий. 3 свойство называется ограниченность функция игрек равна ф от икс, определённая на некотором промежутке x. Большой называется ограниченной, если существует такое поло.

13: Положительное число м большое, что модуль ф от икс меньше либо равно м для любого x. Из множества действительных чисел функция может быть ограничена только сверху или только снизу.

14: 4 периодичность функция игрек равно эф от икс называется периодической с периодом т. Не равным нулю, если для любых x из области её определения справедливо равенство f от x.

15: Плюс tt равно эф от икс минус тээ равно эф от икс обратная функция основные элементарные функции, пусть функция игрек равно эф от икс определена на множестве x большое с областью значе.

16: Игрек большое тогда функция икс равно жэ от игрек определённая на множестве игрек большое с областью значения x. Большое называется обратной для любой строго монотонной функции игрек равно.

17: Екс существует обратная функция графики взаимно обратных функций симметричны относительно биссектрисы 1 и 3 координатных Углов.

18: Основные элементарные функции степенная, показательная, логарифмическая, тригонометрические и обратные, тригонометрические сложная функция элементарные.

19: Функции кость функция игрек равно эф от у определена на множестве д от и функция u, равно же от икс для всех x, принадлежащих д от ж есть ещё дополнительные условия, тогда функция ф большое.

20: От икс равно эф, от жи, от икс называется сложной функцией или функцией от функции, или наложением, или суперпозицией функции эф от жи.

21: Аналогично вводится понятие суперпозиции 3 и большего числа функций.

22: Действия над функциями, которые являются допустимыми. 1 все арифметические действия, сложение, вычитание, умножение, деление и 2 построение сложной функции элементарными функциями назы.

23: Функции, которые получаются из основных с помощью допустимых действий.

24: Рассмотрим примеры игрек равно корень из 1 минус икс в квадрате игрек равно логарифм по основанию 2 от косинуса икс.

25: Предел функции в точке пусть функция f от x определена в некоторой окрестности точки икс нулевое может быть, кроме самой точки x. 0 определение покажи число a называется пределом.

26: Функции в точке икс нулевое если для любого, даже сколь угодно малого числа эпсилон большего нуля найдётся такое число дельта большее нуля, зависящее от эпсилон, что для всех x неравных x.

27: Нулевое и удовлетворяющих условию икс минус икс нулевое меньше дельта, причём икс минус икс нулевое по модулю выполняется равенство модуль ф от икс минус, а меньше эпсилон.

28: Тоже самое определение мы можем записать в виде математических символов мы видим, что предел функции в точке записывается, лимит x стремится к икс нулевому ф от икс равно а ну давайте посмотрим это определение.

29: Визуально. Итак, перед нами график функции игрек равно эф от икс. Возьмём точку икс нулевое. Ну пусть она определена. То есть значение в этой точке будет равно, а

30: Тогда возьмём промежуточек, небольшой эпсилон, он должен быть больше нуля, то есть чуть чуть выше, чем а по оси игрек, и найдём значение x в этой точке, то есть у нас будет вот здесь.

31: Дальше с другой стороны от точки а берём ещё раз эпсилон и тоже находим соответствующий x. Теперь вот красным цветом это у нас будет дельта то есть мы видим что дельта зависит от epsilon с другой стороны от x.

32: Нулевого берём тоже дельта и находим значение функции в указанной точке. То есть мы видим, что мы попадаем тоже в промежуток зелёного цвета.

33: Бесконечно малые и бесконечно большие величины функция игрек равно эф от икс называется бесконечно малой, при x стремящемся к икс нулевому при этом случае x 0 равный бесконечность не исключается.

34: Если предел при x, стремящемся к икс нулевому от функции, от икс, равен нулю и называется бесконечно большой, если этот предел будет равен бесконечности.

35: Замечание бесконечно малая функция это не число, а переменная величина, предел которой равен нулю.

36: Теорема если предел при x стремящемся к икс нулевому функции ф от икс равен, а то разность ф от икс минус, а при x, стремящемся к икс нулевому, есть бесконечно малая функция.

37: Таким образом, запись лимит x стремится к икс нулевому от икс равно, а равносильно записи эф от икс равно, а плюс альфа от икс, где альфа от икс это бесконечно малая функция при x стремя.

38: К икс нулевому.

39: Рассмотрим свойства бесконечно малых величин 1 алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых величин есть бесконечно малая величина. 2 произведение бесконеч.

40: Малой величины на ограниченную функцию, в том числе на постоянную, на другую, бесконечно малую функцию, есть величина бесконечно малая, 3 частная от деления бесконечно малой величины на функцию

41: Предел, который отличен от нуля, есть величина бесконечно малая.

42: Связь между бесконечно малой и бесконечно большой функциями.

43: Если функция f от x есть величина бесконечно малая при x стремящемся к икс нулевому, то функция жэ от x, равная 1 разделить на ф от икс, является бесконечно большой справедливое обратное утвер.

44: При сравнении 2 бесконечно малых или бесконечно больших величин необходимо рассматривать их порядки.

45: Пусть альфа от икс и бета от x обе бесконечно малые или бесконечно большие величины рассмотрим предел отношения лимит x стремится к икс нулевому, альфа от икс разделить на бета от x.

46: Равная-ка вот если k будет 0 или бесконечность, тогда альфа и бета от x имеют разные порядки, если qa находится в промежутке от нуля до бесконечности, тогда эти величины.

47: Имеют одинаковые порядки.

48: И если car равно единице, тогда альфа от икс и бета от x называются эквивалентными величинами, записывается это вот в виде вот такого символа.

49: Теорема о пределах теорема 1 о единственности предела функция игрек, равно эф от икс в точке x 0 имеет единственный предел теорема 2 об ограниченности функций.

50: Имеющих предел если функция игрек равно эф от икс имеет предел в точке икс нулевое, то в некоторой окрестности этой точки функция ограничена.

51: В приведённых далее теоремах будем считать, что пределы существуют функции эф от икс и жэ от икс при икс, стремящемся к икс нулевому, причём для функции f от x этот предел равен, а для функции.

52: От x равен б. И случай x. 0 равно бесконечность не исключается теорема 3 о пределе суммы, если каждое слагаемое алгебраической суммы 2 функций имеет предел при x.

53: Стремящимся к икс нулевому, то и алгебраическая сумма имеет предел при x стремящемся к икс нулевому, причём предел алгебраической суммы равен алгебраической сумме пределов.

54: Теорема 4 о пределе произведения коротко предел произведения равен произведению пределов. Эта теорема имеет несколько следствий. 1 следствие постоянный множитель можно выносить за знак предела.

55: И 2 следствие предел степени с натуральным показателем равен той же степени предела теорема 5 о пределе частного предел частного равен частному пределу, ну, при определённых условиях.

56: Естественно, мы не делим на 0, то есть у нас предел же от икс при икс стремящемся к икс нулевому не равен нулю.

57: Теорема 6 о пределе степенно показательной функции, то есть если мы вычисляем предел при x, стремящемся к икс нулевому эф от икс в степени жи от икс, то он будет вычисляться как а в степени.

58: 7 теорема показывает нам работу с пределами сложной функции, a8 теорема называется теорема о 2 милиционерах, то есть

59: Если у нас известны пределы функции фи от икс и пси от икс они одинаковы, причём при x стремящемся к икс нулевому, то и предел функции эф от икс тоже будет равен, а при.

60: X. Стремящимся к икс нулевому, если функция от x заключена между функциями фи от икс и пси от икс.

61: Некоторые формулы, необходимые при вычислении пределов, пусть а любое положительное действительное число, подразумеваем, что, а не бесконечность, тогда справедливы следующие формулы пёр.

62: Бесконечность разделить на are равно бесконечность. 2, а разделить на бесконечность это 0 3 рассматриваем, а в степени бесконечность будут 2 варианта ответа 0 или бесконечность.

63: В зависимости от значения а замечание если в результате расчётов требуется найти значение a в степени минус бесконечность, то у нас есть специальная формула.

64: 4 0 разделить на, а это 0 с 5 формулой. Давайте поговорим отдельно. Здесь написано, а разделить на 0 равно бесконечность. Но поскольку мы работаем с пределами, то по факту мы делим не на 0.

65: А на близкое к нулю число на любое число, кроме нуля, делить можно даже на близкое к нулю, поэтому здесь будет условная запись, что делится на 0, но подразумевается, что делится на близкое к нулю число.

66: Замечания имеются особые случаи. Здесь они несколько случаев перечислены, они называются неопределённостями и раскрываются по определённым алгоритмам в прошлой лекции. Мы с вами рассма.

67: Случаи бесконечность разделить на бесконечность и бесконечность минус бесконечность при рассмотрении пределов последовательности.

68: Алгоритмы действий при появлении неопределённости, бесконечность разделить на бесконечность и бесконечность минус бесконечность. Эти неопределённости алгоритмы мы рассматривали в предыдущей лекции, то есть мы уже выявили приёмы, которыми

69: Надо пользоваться, поэтому будем считать, что при работе с пределами функций мы будем пользоваться теми же приёмами, что и при работе с пределами после.

70: Итак, раскрытие неопределённости, бесконечность разделить на бесконечность. Теперь мы рассматриваем это для функции.

71: Разделить почленно каждое слагаемое числителя и знаменателя на то выражение, которое позволит в дальнейшем перейти к простым пределам часто это x в старшей степени либо оставить переменную в старшей степени вместе с её.

72: В числителе, знаменателе дроби сократить дробь и решить получившийся простой предел при усложнении условия, то есть появляются корни, большое количество множителей и так далее. Необходимо перейти к соответствующим

73: Приёмом решения, показанным в предыдущей лекции на конкретных примерах.

74: Раскрытие неопределённости, бесконечность минус бесконечность 1 при наличии разности 2 дробей нужно подвести дроби под общий знаменатель. 2 при наличии выражений с корнеем нужно выражение.

75: Om умножить и разделить на сопряжённое ему выражение, воспользоваться формулой разности квадратов, после чего получится переход к неопределённости, бесконечность разделить на бесконечность.

76: Давайте рассмотрим приёмы вычисления пределов, функций как раз вот на самых простых примерах. Итак, у нас есть 5 примеров. 5 пределов. Давайте рассмотрим каждый отдельно.

77: Итак, переходим к букве, а перед нами вот такой предел x стремится к 2 от 5 x + 8 / 3 - 4 икс 1, что мы делаем так же, как и с.

78: Пределов последовательностей подставляем вместо x то, к чему он стремится, подставили двойку, посчитали числитель, знаменатель, получили число - 3,6 это у нас.

79: Ответ теперь переходим к букве б. Следующий предел также делаем подставили вместо икс - 5 посчитали, что получилось. Мы видим 0 разделить на - 14. У нас 1 из

80: Формула она как раз была 4, показывала, что 0 разделить на любое число равно нулю, значит, пишем в ответе 0 под буквой в следующий предел опять же начинаем подставлять вместо x.

81: В результате получим 30, разделить на 0. Ещё раз уточняю, что поскольку мы работаем с пределами, икс стремится к 4, но не равен 4, то есть мы не делим на 0, мы делим на близкое к нулю.

82: Число, а это сделать можно, поэтому берём наши правила соответствующие. Это 5 формула. Видим в ответе бесконечность, также и записываем.

83: Следующая буква г новый предел при этом видите, что x теперь стремится к минус бесконечности, подставляем вместо икса минус бесконечность, понимаем, что числитель можно преобразовать как.

84: Минус бесконечность минус выносим перед дробью и вспоминаем вот такую формулу. Она у нас была под цифрой 1. Значит, в ответе пишем минус бесконечность.

85: Буква д. Здесь у нас x стремится к плюс бесконечность, но тем не менее начало стандартное подставили вместо x бесконечность, преобразовали степень к бесконечности, потому что.

86: 4 + 2 умножить на бесконечность это тоже бесконечность. И разобрались с соответствующей формулой. Здесь у нас написано если мы видим число в степени бесконечности, то могут быть 2 ответа.

87: Наш ответ будет 0, поскольку 5/8 меньше единицы, поэтому мы пишем 0 и записываем слово ответ.

88: Пример 2 вычислить вот такой предел давайте рассмотрим решение итак, 1 действие подставили вместо x бесконечность разобрались, что в числителе знаменателе будут беско.

89: Конечности, и в результате мы получаем неопределённость. Эта неопределённость нам знакома по прошлой лекции. Давайте выберем способ решения. Здесь мы будем пользоваться вот этим способом, чтобы избавиться от

90: Неопределённость, бесконечность разделить на бесконечность нужно оставить переменную в старшей степени вместе с её коэффициентом в числителе и знаменателе дроби сократить дробь и решить получившийся простой предел. Итак, старший

91: Степень у нас в числителе это 2, потому что максимально у нас есть икс в квадрате, а в знаменателе у нас 3 степень, потому что есть x. В Кубе записываем старшая степень.

92: Числителя 2. Значит, оставляем 4 икс в квадрате, старшая степень знаменателя 3 оставляем - 2 икс в Кубе и наш предел большой, получается, превращается в предел более простой.

93: Здесь обязательно надо будет сократить на икс в квадрате. Ну ещё двойки можно сократить. В результате получается совсем, совсем простой предел. Опять его решаем как будто с нуля. То есть подставляем вместо икса.

94: К чему он стремится? И смотрим на формулу, которая у нас под цифрой 2 была, и видим, что ответ здесь должен быть 0. Записываем слово ответ и заканчиваем пример пере.

95: Ходим к раскрытию неопределённости 0 / 0 неопределённость эта обычно наблюдается, если необходимо найти предел отношения многочленов, иррациональных выражений тригонометрических.

96: Функций или их комбинаций. Также данная неопределённость будет встречаться при изучении темы 2 замечательного предела. Это будем рассматривать в лекции номер 4.

97: Поэтому в зависимости от условия задачи при вычислении пределов с неопределённостью необходимо воспользоваться различными приёмами.

98: Рассмотрим эти приёмы на конкретных примерах и выявим общий алгоритм действий для раскрытия неопределённости 0 / 0. То есть сделаем тоже самое, что и в прошлой лекции. Сначала рассмотрим конкретные задачи.

99: А потом сделаем итоговый вывод рассмотрим раскрытие неопределённости 0 / 0 при нахождении предела отношения многочленов.

100: Пример 3 вычислить вот такой предел. Пишем решение и начинаем с подстановки вместо икса 1, 1, 3. В результате мы видим, что если вычислить числитель,

101: Это будет 0. Если вычислить знаменатель, то это тоже будет 0. Появляется неопределённость 0 / 0. Теперь мы давайте подумаем, что здесь можно сделать. Ну, мы знаем, что

102: Числитель это квадратный трехчлен, а квадратный трехчлен, если можно найти корни этого квадратного трехчлена, можно разбить на множители. Знаменатель. Ну, здесь, наверное, будет for

103: Квадра разности квадратов.

104: Итак, записываем действия в 1 столбце. Мы с вами будем работать с числителем, а во 2 столбце со знаменателем наметили план. Квадратный трехчлен разбивается на множители. Нам

105: Необходимо найти x, 1, x 2 для этого приравниваем числитель к нулю, вычисляем дискриминант и получаем x, 1, x, 2 далее.

106: Вставляем все данные в формулу и видим, что в 1 скобке у нас есть дробь. Давайте мы избавимся от этой дроби. Для этого группируем 1 множитель 3 и 1 скобку.

107: Раскрываем это все. И в результате у нас получается вот такая запись. Теперь пишем знаменатель и в знаменателе у нас вот эта формула будет, поэтому мы можем расписать знаменатель и в результате

108: Наш предел преобразуется к вот Такому виду. Далее мы видим, что есть 2 одинаковых скобки, поэтому их можно сократить и получается новый предел любой

109: Новый предел вычисляется путём подстановки вместо x. В данном случае 1 3 подставили, и видим, что числитель будет равен - 5/3, а знаменатель будет равен 2.

110: Мы можем записать это не в виде трехэтажной дроби, а в виде вот такой записи. Разделить на 2. Это значит умножить на 1 2. То есть двойка пойдёт в знаменатель и получаем ответ - 5/6 за

111: Слово ответ записываем - 5/6 и смотрим приём, которым мы воспользовались, чтобы избавиться от неопределённости 0, разделить на 0 при нахождении предела отношения многочленов.

112: Нужно разбить числитель и знаменатель на множители, сократить общую скобку. Эта скобка будет вида икс минус икс нулевого. Ну или в нашем случае мы эту скобку икс минус икс нулевое, то есть икс минус.

113: 1, 3 умножаем на 3 и решить новый предел.

114: Замечание при разбиении многочлена. На множители можно использовать следующие формулы. 1 формула сокращённого умножения. Ну, эту формулу мы с вами как раз использовали. Ну а также мож.

115: Воспользоваться и вот такими формулами. Дальше для квадратного трехчлена можно использовать формулу вот такую. Мы ей как раз тоже пользовались в предыдущей задаче.

116: И можно воспользоваться методом группировки.

117: Раскрытие неопределённости 0 / 0 при нахождении предела отношений иррациональных выражений рассмотрим пример 4 здесь мы видим иррациональное выражение, которое находится только в знаменателе.

118: Записываем решение, записываем условия и начинаем решать предел, подставляя вместо икса - 6 числитель при этом обращается в 0, знаменатель тоже обращается в 0 в результате.

119: Мы получаем неопределённость 0 / 0, теперь домножаем числитель и знаменатель на скобку одинаковую содержащую выражение, сопряжённое выражение с корнем, то есть.

120: Если у нас в знаменателе выражение с корнем выглядело как 3 минус корень из 15 плюс x, значит, сопряжением будет 3 плюс тот же самый корень далее в числителе мы видим скобку 2 икс плюс.

121: 12 здесь можно вынести двойку как множитель, записываем это и группируем 2 скобки, которые у нас стоят в знаменателе эти скобки сворачиваются по формуле разности.

122: Квадратов. Записываем эту формулу. Ну и видим, что корень в квадрате это только подкоренное выражение. При этом не забываем, что минус стоял перед корнем в квадрате. Значит, минус остает

123: Перед скобкой, а внутри скобки записываем подкоренное выражение, далее раскрываем знаменатель и выносим минус за скобку. Далее мы видим, что есть одинаковая

124: Скобка, которую можно сократить и в результате получается простой предел, а любой простой предел мы решаем, просто подставляя вместо x то, к чему стремиться в результате у нас получается.

125: Значение - 12. Записываем ответ.

126: Далее записываем приём, которым мы воспользовались чтобы избавиться от неопределённости 0, разделить на 0 при нахождении предела отношения иррациональных выражений необходимо умножить числитель и знаме.

127: Дроби на выражение сопряжённое выражение с корнем и воспользоваться формулой ну, здесь вот в таком виде она написана по факту. Это формула разности квадратов.

128: Далее сократить общую скобку скобка будет вида икс минус икс нулевое и решить новый предел.

129: Теперь рассматриваем 5 пример в нём иррациональное выражение будет находиться и в числителе, и в знаменателе. Давайте записываем решение, записываем условия и подставляем вместо икса 2.

130: Видим неопределённость 0 / 0, поскольку иррациональные выражения у нас находятся и в числителе, и в знаменателе. Значит, нам нужно домножить на 2 скобки. 1 скобка будет содержать сопряжение в числ.

131: 2 сопряжение к знаменателю. Далее мы перегруппировываемся таким образом, что можно будет вот так вот объединить сопряжённые скобки в числителе и сопряжённые скоб.

132: То, что мы выделили, можно преобразовать по формулам разности квадратов.

133: Далее мы все эти core корни квадрата убираем и раскрываем все скобки, которые у нас есть. В результате у нас получится вот такой предел. Мы видим, что вверху есть скобка икс - 2, а внизу

134: Внизу 2 минус икс, то есть нужно вынести минус из 1 из скобок, выносим и далее мы зачёркиваем одинаковую скобку. В результате у нас получается вот такой новый предел любой

135: Новый предел мы начинаем с подстановки вместо x. То, к чему стремиться, в результате у нас с вами получается сразу ответ. - 1 3 записываем слово ответ.

136: Теперь мы рассмотрим раскрытие неопределённости 0 / 0 при нахождении предела, содержащего тригонометрические функции.

137: При изучении бесконечно малых величин мы сталкивались с понятием эквивалентных величин, примеры некоторых эквивалентных бесконечно малых, при x стремящемся к нулю величин.

138: Итак, синус, икс тангенс, икс арксинус, икс и арктангенс x, а также просто икс при икс, стремящемся к нулю, всегда стремятся к нулю, то есть они будут здесь эквивалентны.

139: На этом принципе основан 1 замечательный предел и его следствие. Итак, как выглядит 1 замечательный предел? Он может быть записан в 2 формах либо лимит x стремится к нулю синус икс разделить на.

140: На икс равен единице, либо тот же самый предел. При стремящемся к нулю. Только дробь будет перевёрнутая, но он тоже будет равен единице. У него имеются следствия. 1 следствие у нас вместо

141: Синуса, икс, мы пишем функцию тангенс, икс. Ну и также можно все это дело перевернуть 2 вариант вместо синуса икс мы пишем арксинус, икс. 3 вариант арктангенс x y.

142: 4 вариант особенный в числителе 1 минус косинус икс в знаменателе икс в квадрате икс стремится к нулю. Этот предел будет равен 1, 2. Мы видим, что и в 1 замечательном пределе, и в его

143: Следствиях. Если мы вместо x будем подставлять нули везде, то образуется неопределённость всегда 0 разделить на

144: Пример 6 вычислить вот такой предел. При решении мы будем пользоваться 2 способами. Способ 1 будет по эквивалентно малым величинам, a2 способ с помощью 1 замечательного

145: И его следствие. Рассматриваем сначала 1 способ использования эквивалентности бесконечно малых величин. Записываем предел, подставляем вместо икса 0 и понимаем, что будет неопределённость 0 разделить на

146: Вспоминаем, как выглядит эквивалентность бесконечно малых величин. Проверяем, какие функции у нас в условии и какие функции в формуле мы видим, что арктангенс у нас есть и since, ну и в

147: В нашем, в нашей формуле тоже такие функции имеются. Икс у нас стремится к нулю. Все как в формуле, значит, можем воспользоваться эквивалентностью. Записываем.

148: Арктангенс x эквивалентно xx значит, арктангенс 2 икс эквивалентно 2 икс синус икс эквивалентно xx, значит синус 8 x будет эквивалентно 8 x.

149: Ещё раз повторяю это работает только если x стремится к нулю так же, как у нас есть, в условии, поэтому вместо нашего предела мы можем записать новый предел, ну и видим, что здесь можно сократить на 2 икс.

150: Числитель, знаменатель, и в результате получится сразу ответ.

151: 2 способ использования 1 замечательного предела и его следствий записываем наш предел, записываем, обязательно указываем неопределённость 0 / 0, иначе мы не можем пользоваться 1.

152: Замечательным пределом и его следствиями и расписываем наш предел в таком виде, то есть отдельно дробью, числитель, отдельно дробью знаменатель, ну, соответственно, щих местах записываем.

153: Далее добавляем в знаменателе 1 дроби 2 икс, поскольку внутри арктангенса тоже 2 икс, а в числителе 2 дроби 8 x, потому что в знаменателе внутри синуса 8 x. Ну?

154: Поскольку мы добавили с вами 2 икс и 8 x, то мы должны уравнять их, то есть дописать 3 дробь.

155: Тогда у нас вот эта дробь преобразуется к единице по следствию 2, 1 замечательного предела. То поскольку x стремится к нулю, то 2 икс тоже будет стремиться к нулю дальше вот это.

156: Дробь тоже преобразуется к единице, поскольку у нас есть 1 замечательный предел, а если x стремится к нулю, то и 8 x тоже будет стремиться к нулю, ну и в результате у нас остаётся вот такой простой предел.

157: Он равен 1 4. Записываем ответ, рассматриваем 7 пример. Здесь новый предел. Видим, что опять есть тригонометрические функции, поэтому

158: Будем рассматривать решение с помощью 2 способов. Способ 1 эквивалентность бесконечно малых величин. Итак, 1, что мы делаем, подставляем вместо икса 0, проверяем, будет ли у нас неопределённость.

159: Разделить на 0 она у нас будет, следовательно, мы вспоминаем, какие формулы, какие функции у нас эквивалентны при x, стремящемся к нулю, и записываем следующую мысль тангенс икс.

160: Эквивалентно иксу значит тангенс 2 икс эквивалентно 2 икс, то есть тангенс в Кубе 2 икс будет эквивалентно 8 x в Кубе теперь записываем вместо тангенса в Кубе 2 икс 8 x.

161: В Кубе. И поскольку у нас в формулах нигде не участвует косинус, то косинус 5 икс, мы просто переписываем его, не надо преобразовывать никуда. Далее сокращаем на 2 икс в Кубе и под

162: Оставляем вместо x 0 косинус нуля это единица, значит, в ответе пишем 4/3 теперь 2 способ способ с помощью 1 замечательного предела его следствий сначала записываем.

163: Неопределённость, возникающую далее. Числитель, знаменатель расписываем отдельно на как будто отдельные дроби и записываем все. Вот в таком виде мы видим, что

164: Тангенс у нас участвует в следствии замечательного предела, поэтому мы можем внизу написать 2 икс, поскольку тангенс был в Кубе, то можно куб вынести за дробь и не за.

165: Ещё приписать 2 икс все это в Кубе, в числителе 2 дроби. То есть мы как бы добавляем в знаменателе 1 дроби и добавляем в числитель 2 дроби. Далее вот это все преобразуется к еди.

166: И в результате у нас получается вот такой предел. Ну, сокращаем на 2 икс в Кубе и подставляем вместо икса 0. Получается 4/3.

167: Записываем ответ. В следующем, 8 примере содержится и в числителе, и в знаменателе сумма или разность, но также имеются тригонометрические функции. Поэтому давайте рассматри

168: Решение 1 способ с помощью эквивалентности бесконечно малых величин. 1, что мы делаем, как всегда, подставляем вместо икса 0, получаем неопределённость 0 разделить.

169: На 0 и вспоминаем формулу эквивалентности записываем в наших скобках мысль синус икс эквивалентно иксу синус 2 икс эквивалентно 2 икс

170: Синус 5 x эквивалентны 5 x тангенс икс, эквивалентный иксу, значит тангенс 3 x будет эквивалентно. 3 x преобразуется наш предел ну в числителе и в знаменателе нужно по.

171: Считать, что будет, и мы видим, что на x можно сократить, в результате получить 3/2 2 способ, используя 1 замечательный предел и его следствие.

172: Поскольку у нас опять же неопределённость остаётся 0 / 0, значит, что мы с вами делаем? Мы числитель и знаменатель дроби делим на x, но при этом расписываем каждое слагаемое числителя и каждое слагаемое.

173: Знаменатель делим на x. Тогда дальше добавляем в числителе у нас 2 дробь внизу, добавляем 2 и умножаем на 2, дальше знаме.

174: Мы видим, мы добавляем пятёрки и тройки. Далее мы можем по 1 замечательному пределу записать, что вот здесь вот единица, ну, при тангенсы это у нас следствие 1 замечательного

175: И в результате у нас получается вот такой предел, а он уже посчитан. 3/2. Записываем ответ.

176: Часто в нахождении пределов функций, содержащих тригонометрическое выражение, может помочь формула перехода к половинному аргументу, выглядит она следующим образом давайте посмотрим пример 9 нам.

177: Нужно будет вычислить вот такой предел пишем решение и записываем формулу, сверяем в формуле альфа у нас 3 x. Значит, и здесь альфа в формуле и 3 x на нашем месте тогда.

178: Наш предел преобразуется к Такому виду, и полученный предел может решиться 2 способами.

179: Способ 1 по эквивалентности бесконечно малых величин. Записываем предел подставляем вместо икса 0 указываем, что есть неопределённость, вспоминаем эквивалентность величин и за

180: Писываем следующую мысль если синус икс преобразуется к x, значит, синус 3 x на 2 преобразуется в 3, икс на 2, а синус в квадрате 3 x на 2 преобразуется в 9.

181: В квадрате разделить на 4. Дальше. Если тангенс икс преобразуется к иксу, значит тангенс 6 x будет эквивалентно 6 x. Наш предел будет уже иметь вот такую форму. Далее мы

182: Раскрываем все множители, преобразуем и видим, что можно сократить до 3/4. Смотрим 2 способ по 1 замечательному пределу или следствию записываем.

183: Предел записываем неопределённость расписываем отдельно на множители, причём, поскольку и синус, и тангенс у нас участвует в наших замечательных пределах или следствиях, значит,

184: Отдельно для синуса, дробь, отдельно для тангенса. Ну и отдельно то, что осталось, осталось 2 разделить на икс. Далее добавляем в числителе или в знаменателе, в зависимости от того, что нам нужно ту функцию, которая

185: Нам необходимо и эту же функцию дописываем и в последнюю дробь.

186: Далее видим, что это у нас 1 замечательный предел. Это его следствие. То есть получится единицы. Ну, в результате получается вот такой предел, который равен 3/4, записываем ответ.

187: Подведём итог лекции и рассмотрим общий алгоритм действий при появлении неопределённости 0 / 0 1 при нахождении предела отношения многочленов необходимо разбить числ.

188: Знаменатель на множители сократить общую скобку вида икс минус икс нулевое и решить новый предел 2 при нахождении предела отношения иррациональных выражений необходимо умно.

189: Умножить числитель и знаменатель дроби на выражение сопряжённое выражение с корнем, воспользоваться формулой разности квадратов, сократить общую скобку вида икс минус икс нулевое и решить новый предел.

190: 3 при нахождении предела отношения выражений, содержащих тригонометрические функции, ну, чаще всего при x стремящемся к нулю, это у нас 1 вариант использования эквивалентности бесконечно малых величин.

191: По вот этим формулам и 2 вариант использования 1 замечательного предела и его следствий замечание в большинстве случаев неопределённость 0 / 0 убирается при сокраще.

192: Числителя и знаменателя на одинаковые выражения это выражение вида икс минус икс нулевое в первых 2 вариантах это как раз действует, но в 3 случае чаще всего у нас записывается x.

193: Стремится к нулю, то есть x нулевое это 0, поэтому здесь обязательно сокращать необходимо ну минимум на x, а может быть, на x. В какой-то степени при этом неопределённость 0 / 0 будет ещё.

194: Нами изучаться впоследствии в теме 2 замечательного предела и его следствия.

195: Спасибо за.