0: Здравствуйте. Вы слушаете курс лекций по дисциплине, прикладной математический анализ, лекция 16 нахождение площади плоской фигуры, разработчик курса Бредихина Ольга Александровна.
1: Нахождение площади плоской фигуры в декартовой системе координат как было сказано в предыдущей лекции, определённый интеграл численно равен площади криволинейной трапеции, то есть фигуры.
2: Ограниченный графиком неотрицательной функции игрек равно эф от икс прямыми икс равно, а xx равно бэ и осью о икс.
3: Пусть теперь на отрезке от a до b заданы 2 неотрицательные функции игрек равно эф от икс игрек равно ж от x. При этом ф от икс должно находиться выше, чем ж от x найти площадь фигуры ограничен.
4: Этими графиками и также прямыми икс равно а и xx равно б.
5: Для этого мы должны воспользоваться 2 криволинейными трапециями. Площадь 1 это с 1.
6: А площадь 2 это с 2. Если мы воспользуемся формулами, исходя из знаний о криволинейных трапеций, то у нас будут вот такие 2 интеграла или можно объединить в 1 интеграл и
7: Получить вот такую формулу. Итог формула для нахождения искомой площади.
8: Замечание условие неотрицательности функции от x ж, от x на отрезке от a до bbb можно снять.
9: Пусть м наименьшее значение функции игрек равно жэ от x на отрезке от a до b, тогда функция жэ от g1 от x будет равна жэ от x плюс модуль м, а функция.
10: F1 от x будет равна эф от икс плюс модуль m. Согласно нашим рисункам, эти функции непрерывны, неотрицательны на этом отрезке значит, для вычисления площади с можно воспользоваться вот этой формулой теперь.
11: Ставим вместо f1 от x и жэ, 1 от x. Соответствующее значение модуль м взаимно уничтожается, и в результате мы получаем ту же самую формулу, что до этого интеграл от а до бэ эф.
12: Икс минус жэ от икс по d икс при этом условие неотрицательности функции от x ж от x мы убрали.
13: Формула, которую мы вывели, имеет частный случай.
14: 1 если же от икс равно нулю, то получим формулу для расчёта площади криволинейной трапеции, то есть с равно интеграл от a до b f, от x до x. 2 если ф от икс равно нулю, то получим формулу.
15: Для расчёта площади фигуры, ограниченной сверху осью о икс снизу графиком функции игрек равно ж от x и прямыми икс равно а и xx равно бэ формула будет с равно минус интеграл от а до б ж, от x до x.
16: Формула общая используется также и в частных случаях 1 если эф от икс ж от x пересекаются в точке икс равно, a2 если эф от икс ж от x пересе.
17: В точке икс равно б. 3 если эти функции пересекаются в точках икс равно а и xx равно б.
18: Если непрерывная кривая игрек равно эф от икс пересекает ось о x конечное число раз, то для вычисления площади фигуры надо отрезок разбить на части, в пределах которых функция не меняет.
19: Знак и применить соответствующую формулу в качестве примера. Давайте посмотрим на вот этот рисунок. Видим, что заштрихованная область, площадь её будет вычисляться как сумма с 1 плюс
20: 2 плюс с 3. При этом каждый из участков мы вычисляем по своей отдельной формуле.
21: Если фигура ограничена сверху или снизу несколькими разными кривыми, то искомую площадь находят, суммируя площади составляющих её простых фигур. Давайте посмотрим на пример. Здесь на
22: Наша заштрихованная область делится на 2 части, и площадь будет считаться как с 1 плюс с 2, то есть каждая часть сверху ограничена 1 кривой снизу осью о икс и.
23: Каждая часть вычисляется по своей формуле.
24: Теперь рассмотрим площадь фигуры, ограниченной прямыми игрек равно, а игрек равно б и графиками функций икс равно эф от игрек и икс равно жэ от игрек, при этом ф от игрек.
25: Находится правее. Чем же от игрек вычисляется эта площадь по вот такой формуле?
26: Замечание эта формула может трансформироваться аналогично частным случаям, показанным ранее на примере формулы $ равно интеграл от а до б ф от икс минус жэ от икс по d икс алгоритм.
27: Нахождение площади плоской фигуры в декартовой системе координат.
28: 1, если 1 из функций в условии является парабола игрек равно, а икс квадрат плюс бэ икс плюс цэ, то необходимо найти координаты её вершины по представленным формулам, ну а также посмотреть
29: Куда направлены ветви параболы замечание, если парабола будет записана как xx равно, а игрек квадрат плюс б игрек плюс ц, то координаты вершины вычисляются по следующим фо.
30: При этом тогда у нас ветви параболы будут направлены либо вправо, либо влево.
31: 2 найти точку пересечения графиков всех Кривых из условий для этого нужно решить системы из 2 уравнений Кривых для всех возможных комбинаций.
32: 3 изобразить в декартовой прямоугольной системе координат на плоскости все полученные точки, используя которые, нарисовать графики функций из условия, выявить плоскую фигуру площадь.
33: Которую необходимо найти и заштриховать её 4 определить площадь будет находиться по 1 формуле или требуется разбить фигуру на несколько простых фигур и воспользоваться несколь.
34: Какими формулами?
35: 5 для каждой простой фигуры записать уравнение игрек равно эф от икс, то есть контур фигуры сверху, игрек равно ж от x это контур фигуры снизу найти значение а и б. Соответствующие.
36: Крайним точкам заштрихованной области по оси о икс и использовать формулу $ равно интеграл от а до бэ эф от икс минус жэ от икс по d икс.
37: Замечание. Если простая фигура будет ограничена прямыми игрек равно, а игрек равно б и графиками функций икс равно эф от игрек икс равно ж от игрек, то будет выбираться формула с равно интеграл от
38: Ф от игрек, минус ж от игрек под игрек.
39: 6 вычислить определённый интеграл и записать ответ. Рассмотрим пример. Вычислить площадь фигуры ограниченной графиками функций игрек равно 2 икс квадрат и игрек равно
40: 2. Воспользуемся нашим алгоритмом. Итак, 1 вершина параболы игрек равно 2 икс квадрат это точка с координатами 0 0. Ветви. Параболы направлены вверх.
41: 2 найдём точки пересечения графиков функций игрек равно 2 икс квадрат и игрек равно 2. Для этого решим систему уравнений.
42: Получается 2 точки.
43: 3 изобразить в декартовой прямоугольной системе координат на плоскости все полученные точки, используя которые, нарисовать графики функций из условия, выявить плоскую фигуру.
44: Который необходимо найти и заштриховать её.
45: Итак, изображаем наш график игрек равно 2 икс квадрат по точкам. Это вершина 0 0 и точки с координатами 1, 2 и - 1, 2. Ну и также
46: Рисуем график функции игрек равно 2. Вот у нас заштрихованная область это область с
47: 4 определить площадь будет находиться по 1 формуле или требуется разбить фигуру на несколько простых фигур и воспользоваться несколькими формулами.
48: Фигура, как мы видим, симметрична относительно оси Ординат, поэтому для нахождения площади с можно найти площадь только той части фигуры, которая расположена в 1 четверти, обозначим её с 1.
49: И её потом удвоить, то есть с равно 2 с 1.
50: 5. Рассмотрим фигуру с площадью с 1. Она ограничена по контуру. Сверху прямой игрек равно 2. То есть мы пишем что ф от икс равно 2 снизу параболы. Игрек равно 2 икс.
51: Квадрат, поэтому мы пишем жэ от икс равно 2 икс квадрат крайние точки нашей области это are равно 0 и б равно 1.
52: Воспользуемся формулой с odin равно интеграл от а до б ф, от икс минус жэ, от x d x и подставим найденные ранее все значения в итоге у нас получится вот такой интеграл, который нам нужно будет решить.
53: 6 вычислить определённый интеграл и записать ответ.
54: Переходим к нахождению, к вычислению интеграла. Итак, 1 интеграл преобразуем в разность 2 интегралов. В обоих интегралах двойки выносим как постоянные множители. Пёр.
55: Интеграл обращается в x, 2 в икс степени 2 + 1 / 2 + 1 не забываем писать пределы интегрирования.
56: Далее вместо x подставляем сначала верхнее число, то есть единицу, потом пишем минус и вместо x подставляем нижнее число 0 вычисления нам дают результат 4/3, вспоминаю.
57: Что мы находим площадь с, а не с 1. Мы пишем, что с равно 8/3 или 2 целых 2/3. После чего записываем ответ. Посмотрим ещё на 1 пример.
58: Вычислить площадь фигуры ограниченной графиками функций игрек равно икс квадрат плюс икс икс равно - 1 ix, равно 2 и осью о икс опять же наш алгоритм действий мы видим.
59: Есть парабола, значит, надо вычислить её вершину. Формулы у нас представлены. Мы получим точку с координатами - 1, 2, - 1 4. И посмотрев на то, что коэффициент
60: Перед икс квадрат положительный, то это нам говорит о том, что ветви параболы направлены вверх.
61: 2. Найдём точку пересечения параболы и прямой икс равно - 1. То есть решаем соответствующую систему и координаты найдены. Также мы будем делать. И ещё
62: Несколько раз. То есть мы должны все комбинации всех наших графиков записать в виде системы, найти точки пересечения, если они есть. Вот у нас теперь парабола и прямая икс равно 2.
63: Далее находим пересечение параболы и оси о икс, вспоминая о том, что уравнение оси о икс это игрек равно 0. Здесь у нас будет 2 точки пересечения.
64: 3 изобразить декартовой прямоугольной системе координат на плоскости найденные точки, то есть вершину, и у нас получились из систем 3 точки пересечения, используя их, нарисовать график.
65: Функции из условия выявить плоскую фигуру, площадь которой необходимо найти и заштриховать её. Итак, изображаем все точки, проводим контуры Кривых и
66: Получим вот такую площадь. 4. Определить площадь будет находиться по 1 формуле или требуется разбить фигуру на несколько простых фигур и воспользоваться несколькими формулами. Ну, мы видим, что здесь, конечно,
67: Уже есть 2 отдельные площади, мы их обозначили с 1 и с 2, и площадь искомой фигуры будет считаться как с 1 плюс с 2.
68: 5. Рассмотрим фигуру с площадью с 1. Она ограничена по контуру. Смотрим сверху осью о икс. То есть мы пишем эф от икс равно 0 снизу параболой. То есть мы пишем
69: Ж от икс равно икс квадрат плюс икс крайние точки области по оси икс мы видим это а равно - 1 б равно 0. Тогда воспользуемся вот такой формулой, подставив все найденные данные в неё.
70: И немножечко преобразовав, мы получим искомый интеграл, который мы далее будем вычислять.
71: Теперь рассмотрим фигуру с площадью с 2. Она ограничена по контуру сверху параболой. То есть мы пишем ф от икс равно икс квадрат плюс икс снизу осью о икс. То есть мы пишем
72: Ж от икс равно 0 крайние точки области по оси о икс мы видим, а равно 0 б равно 2.
73: Воспользуемся формулой вот такой подставив тоже все данные и преобразовав, получаем итоговый интеграл, который нужно будет вычислить.
74: 6 пункт. Вычислить определённые интегралы и записать ответ.
75: Итак, вычисляем интеграл, соответствующий площади с 1, разбиваем его на 2 интеграла знаки минус сразу перед интегралами записываем 1 интеграл равен икс в степени 2 + 1 поделить.
76: На 2 + 1, a2 интеграл икс в квадрате поделить на 2 не забываем пределы интегрирования, далее преобразуем немножечко, чтобы более удобно было подставлять пределы интегрирования, и записываем сначала вместо x.
77: 0 потом пишем минус и вместо x подставляем нижнее число - 1, далее раскрываем все скобки, преобразуем и получаем число 1 6.
78: Теперь переходим к интегралу, соответствующему с 2, также разбиваем на 2 интеграла, оба интеграла вычисляем и далее подставляем сначала вместо x число 2, потом.
79: Минус и вместо икса подставляем число 0. В результате у нас с вами получится 14/3, вспоминая, что наша искомая площадь это сумма с 1 плюс с 2, в результате получаем 20
80: 9/6 или можно записать как 4 целых 5/6 и записать ответ. Переходим к следующему примеру. Вычислить площадь фигуры ограниченной графиком функции икс равно
81: - 2. Игрек квадрат - 1. Прямой игрек равно - 1 и осями координат. Опять же у нас есть парабола значит мы берём формулы соответствующие и получаем точку с коорди.
82: - 1 0 это вершина параболы. Ну и поскольку перед игрек квадрат отрицательное значение, это говорит нам о том, что ветви параболы направлены влево.
83: 2. Находим точки пересечения всех графиков наших функций. Сначала мы пересекаем параболу и прямую икс игрек равно - 1 появляется точка с координатами - 3.
84: - 1 далее находим точки пересечения параболы и оси о икс, не забывая, что ось о x имеет свою формулу игрек равно 0 получаем точку с координатами.
85: - 1 0. И попробуем найти точки пересечения параболы с осью о игрек не забываем, что уравнение оси о игрек это икс равно 0, однако система не будет иметь
86: Как мы видим, то есть точек пересечения параболы с осью о игрек не существует.
87: 3 изобразить в декартовой прямоугольной системе координат на плоскости найденные точки их у нас всего получилось 2, используя их, нарисовать, графики функций из условия выявить.
88: Плоскую фигуру, площадь которой необходимо найти и заштриховать её.
89: Изображаем нашу фигуру, видим площадь искомую. В 4 пункте нужно определить, площадь будет находиться по 1 формуле или требуется разбить фигуру на несколько простых фигур и воспользоваться не
90: Формулами. Здесь можно пойти 2 путями, либо взять формулу там, где дифференциал д игрек. Или если мы берём формулу с дифференциалом д икс, то надо будет разбить на
91: Площадь на 2 части. Ну давайте возьмём вариант формулы с дифференциалом по д. Игрек.
92: То есть формула вот такого вида. 5. Рассмотрим фигуру с площадью с она ограничена по контуру. Справа осью. Ооо, игрек. То есть мы пишем, что эф от
93: Игрек равно 0.
94: Слева ограничена параболой. То есть мы пишем, что ж, от игрек равно - 2. Игрек квадрат - 1. Крайние точки области по оси о игрек снизу у нас игрек равно - 1. То есть мы пишем
95: А равно - 1, а сверху у нас ось о x. Значит, мы пишем б равно 0.
96: Тогда, подставляя все полученные значения в формулу с, мы получим вот такой интеграл в 6 пункте необходимо вычислить определённый интеграл и записать ответ перехо.
97: К вычислению вот этого интеграла. Сначала мы разбиваем его на сумму 2 интегралов, далее двойку 1 интеграла выносим перед знаком интеграла как постоянный множитель. Ну, 1.
98: Интеграл будет равен игрек в степени 2 + 1, поделить на 2 + 1, a2 интеграл будет равен игрек, теперь подставив вместо игрека сначала число 0, потом минус и вместо игрека.
99: Подставляем - 1, раскрывая все скобки, получим в результате 1 целая 2/3, что мы и записываем в ответ, рассмотрим применение расчёта площади плоской фигуры в экономике.
100: Рассмотрим функцию игрек, равно эф от икс, характеризующую неравномерность распределения доходов среди населения игрек будет доля совокупного дохода, получаемого долей икс беднейшего населения.
101: График этой функции будет называться кривой лоренца очевидно, что ф от икс больше либо равна нулю, но меньше, либо равно икс при икс, принадлежащем отрезку от нуля до единицы и неравномерность.
102: Распределение доходов тем больше, чем больше площадь фигуры оо а б.
103: Мерой указанной неравномерности служит коэффициент джини-ка равный площадь области о а. Б. Поделить на площадь треугольника о а. Ц. Рассмотрим пример по да.
104: Исследований в распределении доходов 1 из стран кривая лоренса может быть описана уравнением игрек равно 1 минус корень из единицы минус икс квадрат, где x доля населения игрек доля доходов.
105: Населения, вычислить коэффициент джини, определить распределение доходов 30% наиболее низкооплачиваемого населения.
106: Сначала мы должны изобразить график функции игрек равно 1 минус корень из 1 минус икс квадрат. Для этого давайте единицу справа перенесём влево. Возведём обе части уравнения в квадрат и
107: Перенесём икс квадрат влево. Мы получим уравнение окружности с центром в точке 0 1 и радиусом 1.
108: Тогда мы можем изобразить эту окружность, также не забыть изобразить прямую игрек равно икс нам нужен участок от нуля до 1, поэтому оформим это вот вот таким рисунком сначала.
109: Мы с вами вычислим площадь фигуры оо а б. Сверху фигура по контуру ограничена прямой игрек равно икс значит, ф от икс равно икс снизу ограничена окружностью, значит,
110: Жэ от икс равно 1 минус корень из 1 минус икс квадрат, подставив эти значения в формулу с учётом предела интегрирования от нуля до единицы, получим вот такой интеграл, раскрываем скобки.
111: Разбиваем этот интеграл на 3 интеграла. Первые 2 интеграла, лёгкие. А вот с последним давайте выполним все действия отдельно посчитаем этот интеграл, потом вернёмся к нахождению. Пло.
112: Указанный фигуры итак, для решения этого интеграла требуется замена, замена будет xx равно синус т. Производная левой части умножаем на дифференциал икс, равно производная правой.
113: Часть умножаем на дифференциал т. Отсюда выражаем д икс, равно косинус т. Д. Т. Далее меняем пределы интегрирования, то есть подставляем икс равно 0 формулу икс равно синус.
114: И отсюда т можно посчитать, что это тоже 0. Далее подставим икс, равно 1 и получим ттт равно пинада, записываем новый интеграл и вспоминая основное тригонометрическое тождество.
115: Корень из 1 минус синус в квадрате t это косинус т. Итог у нас получается подынтегральная функция косинус квадрат т. Далее нам необходимо вспомнить вот такую школьную формулу.
116: И когда мы подставим эту формулу в подынтегральную функцию, можно будет разбить 1 интеграл на 2 интеграла с сохранением знаков между ними, ну и постоянный множитель 1, 2 тоже вынесем.
117: За эти интегралы 1 интеграл считается легко это т. А вот со 2 интегралом можно воспользоваться таблицей 3 здесь к это будет 2 и подставив значе.
118: Сначала пи на 2 вместо т, потом минус, и подставив 0, мы получим в результате пи разделить на 4, поскольку мы с вами прервались при нахождении площади.
119: О а бэ. Там у нас с вами было 3 интеграла. Последний интеграл мы с вами посчитали. Ну, теперь посчитаем ещё и первые 2 интеграла. В результате получится значение пи на 4 - 1, 2.
120: Теперь вычислим площадь треугольника оац это прямоугольный треугольник, значит, мы произведение катетов поделим на 2, в результате получаем 1, 2 вычислим коэффициент g.
121: Он будет равен примерно 0,57 высокое значение коэффициента джини показывает существенное неравномерное распределение доходов среди населения в данной стране.
122: Если мы подставим значение 0 3 в функцию игрек равно эф от икс, то мы получим значение примерно 0 целых 0 46. Это означает, что 30% наиболее низкооплачивае.
123: Населения получают 4,6% совокупного национального дохода.
124: Рассмотрим площадь плоской фигуры, заданной параметрически, если верхняя граница плоской фигуры задана параметрическими уравнениями вида икс равно икс от т. Игрек равно игрек от т. Т. Изменяя.
125: От альфа до бета, при этом x от альфа равно, а игрек от beta равно б то формулу эс равно интеграл от а до б, от x до x можно преобразовать, сделав замену переменной давайте.
126: Попробуем это сделать. Записываем площадь криволинейной трапеции. Далее, понимая, что игрек равно эф от икс, мы можем просто записать вместо эф от икс игрек и сделать следующую
127: Игрек равно игрек от т будем писать далее, поскольку икс равно икс от т. То из этого условия мы можем, найдя производную левой части, умножить на дифференциал переменной x.
128: Равно производная правой части умножить на дифференциал переменной, т. Производная x это единица, то есть отсюда мы можем выразить d x как x штрих от т. Д. Т.
129: Далее, если подставить вместо икса значение, а то мы получим тээ равно альфа, это у нас дано по условию также если вместо x подставим б, то т.
130: Будет равно бета и наш интеграл преобразуется к вот Такому виду итоговая формула для нахождения площади плоской фигуры, заданной параметрически перед нами.
131: Теперь освежим в памяти известные кривые, заданные в параметрическом виде. 1 это кривая эллипс эллипс здесь изображается в неявном виде и в параметрическом виде также
132: Представлен график 2 кривая, известная, называется астроида, опять же для неё представлен и неявная форма задания, и в параметрическом виде.
133: Следующая кривая это циклоида если мы говорим о 1 арке циклоиды, то т. Будет меняться от нуля до 2.
134: Следующая кривая называется полукубическая парабола или парабола нейла, также представлены её общий контур на графике, ну и, соответственно, неявный.
135: И параметрический вид. Давайте рассмотрим пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной эллипсом, заданным в параметрическом виде, т. У нас меняется от нуля до 2 и
136: Ну, эллипс у нас выглядит вот так. Эллипс симметричен относительно осей координат, поэтому достаточно вычислить площадь части фигуры, находящейся в 1 четверти, а потом с будет равно 4.
137: Saudi?
138: Теперь рассмотрим фигуру с 1 икс здесь меняется от нуля до, а поскольку x по условию написано а умножить на косинус т, то значит, а умножить на косинус т меняется от.
139: Нуля до, а отсюда мы можем вычислить, что косинус т меняется от нуля до единицы или т. Меняется от пи на 2 до нуля.
140: Воспользуемся формулой по площади плоской фигуры, заданной параметрически, и видим, что здесь необходимо найти икс штрих от т. Поскольку у нас в условии написано, что xx равно а на косинус.
141: Значит, мы находим производную, она будет равна минус, а умножить на синус т. Переходим к вычислениям, записываем все наши найденные данные. Далее постоянные
142: Множитель минус a bae можно вынести перед интегралом и воспользоваться тригонометрической формулой синус квадрат t это 1 минус косинус 2 т поделить на 2 тогда.
143: Интегральную функцию расписываем вот таким образом и разбиваем 1 интеграл на 2 интеграла с сохранением между ними знаков. 1 интеграл табличный, a2 высчитывается по вот этой
144: Формуле эта формула из таблицы 3 взята-ка у нас будет равно 2 далее, подставив вместо t сначала верхнее число 0, потом минус и подставляем вместо тина.
145: В результате получаем а. Б. И поделить на 4, но поскольку нам необходимо было найти не c1, а с, то есть площадь всей фигуры всего эллипса, то нам нужно ещё умножить.
146: Значение на 4 в результате в ответе записываем с равно а. Б пи.
147: Рассмотрим вычисление площади плоской фигуры в полярной системе координат пусть кривая а. Б. Задана в полярных координатах уравнением ро равно ро от фи где vi меняется от.
148: Альфа до бета функция Роот фи непрерывна и неотрицательна при фи, принадлежащем от альфа до бета плоскую фигуру, ограниченную кривой а б и 2 лучами составляющими.
149: Полярной осью углы альфа и бета называют криволинейным сектором, площадь криволинейного сектора определяется по формуле с равно 1, 2 интеграл от альфа до бета.
150: Ро квадрат от фи по д фи освежим в памяти известные кривые, заданные в полярной системе координат 1 это кардиоиды, здесь представлены 4.
151: Такой кривой кардиоиды, в свою очередь, являются частными случаями улиток паскаля при а равно б ну, улитка паскаля, например, здесь представлен график роо равно б плюс, а на косинус фи.
152: Выглядит вот так следующая кривая известная это окружность. Здесь представлены 2 вида окружности. Формулы также записаны далее
153: Обернули. Выглядит вот так. Формула представлена.
154: И спираль архимеда. Здесь представлена спираль роо равно афи 3, а больше нуля. Ну ещё 1 вариант кривой это розы. Здесь изображаются 4.
155: Трехлепестковые розы и трехлепестковые розы.
156: В общем случае Роза это плоская кривая, напоминающая символическое изображение цветка, описывается она уравнением роо равно а since кафи или raw равно, а косинус кафи.
157: Приведён общий вид полярной розы, задаваемой уравнением роо равно, а умножить на синус кафи при различных значениях-ка равное н разделить на д.
158: Рассмотрим пример вычислить площадь фигуры ограниченной кривой raw равно 3 косинус фи где a больше нуля посмотрим на решение сначала изобразим график этой.
159: Функция это трехлепестковая Роза. Лепестки у нас одинаковые, при этом можно взять площадь половинки лепестка, то есть фигуры, которая находится в 1 четверти и потом эту площадь умножить на 6.
160: Наша половинка лепестка это криволинейный сектор, потому что он находится между углами. Здесь на рисунке записаны углы 0 и пина 6. Но как?
161: Найти этот угол. Пина, давайте посмотрим на конкретном примере. Поскольку мы работаем с криволинейным сектором, то мы будем смотреть уже длину нашего лепс.
162: По углам, по крайним углам. 1 угол это 0. Мы видим, что длина равно, а, a2 угол, который мы будем находить, пока мы как будто не знаем, что это длина, но мы понимаем, что вот
163: Поэтому углу у нас значение raw равно нулю, поэтому мы пишем роо меняется от а до нуля далее подставив вместо row а умножить на косинус 3 фи, мы вычислим, что косинус 3 фи меняется от.
164: Единица до нуля отсюда как раз фи, меняется от нуля до пи на 6. То есть вот этот угол пи на 6, который у нас был изображён уже в графике, вот на самом деле вычисляется вот этим образом.
165: Теперь воспользуемся формулой с odin равно 1 2 интеграла, от альфа до бета ро квадрат фи да фи. И перейдём к вычислению указанного интеграла. Здесь сначала постоянный, но.
166: А квадрат выносим перед интегралом. Далее воспользуемся вот такой школьной формулой. Только вместо т у нас будет записано 3 фи, тогда у нас будет подинтегральная функция 1 плюс ко
167: 6 и поделить на 2.
168: Разбиваем 1 интеграл на сумму 2 интегралов. 1 интеграл вычисляется легко. Это будет фи, чтоб вычислить 2 интеграл. Можно посмотреть на 3 таблицу. Есть такая формула соответств.
169: Ка у нас будет равно 6. В результате мы можем вычислить интеграл, подставить сначала пи на 6 вместо фи, потом написать минус и подставить вместо фи.
170: В результате получим значение пи r квадрат поделить на 24. Не забываем, что мы с вами находили площадь половины лепестка, значит, обязательно нужно эту площадь умножить на 6 и.
171: Вете, будем записывать.