0: Здравствуйте, уважаемые студенты. Мы продолжаем с вами работу в рамках курса. Теория вероятности математическая статистика Миронова Елена Дмитриевна. И сегодня мы с вами рассмотрим

1: Теему под общим названием комбинаторика. Нас, в частности, будут интересовать комбинаторные формулы что же такое комбинаторика, зачем она нам нужна и почему мы отдельно на ней останавливаемся для решения

2: Очень многих задач на определение вероятности событий необходимо будет знать эти формулы, формулы, комбинаторики, комбинаторика это раздел математики, который изучает вопросы.

3: Выбора и расположения элементов в множествах по различным правилам и подводит подсчёт всех возможных способов этих размещений, расположений, комбинаций и так далее.

4: Например, сколько различных трехзначных номеров телефона можно составить из 5 цифр или сколькими способами мы можем собрать танцевальную пару, если в группе в коллективе всего 3 ма?

5: Мальчик и 4 девочки и так далее. Сколько существует способов установить шифр или пароль, если у вас 6 символов там или 3 буквы, 2 цифры и так далее. То есть

6: Только количество перебираем какие-то различные варианты мы с вами будем рассматривать сегодня различные формулы, комбинаторики. И впоследствии, как я уже сказала, эти формулы нам будут крайне

7: Важны для определения вероятности событий итак, начнём с 1 комбинаторной формулы комбинации элементов пусть имеется k различных множеств, причём каждое множество.

8: Состоит из нескольких элементов н 1, н 2 и так далее. Это объём множества, когда нам необходимо определить, сколько существует комбинаций.

9: Элементов из различных множеств мы будем пользоваться соответствующей формулой, которую вы видите на слайде н 1, умножить на н 2 и так далее всего различных комбинаций элементов по 1.

10: Элементу из каждого множества, например, возьмём задачку. Необходимо определить количество двухзначных чисел. Двухзначное число состоит

11: Из 2 циферок, то есть 2 множества в 1 множестве множестве, а могут использоваться цифры от 1 до 9, потому что двухзначное число не может начинаться с нолика ноликом.

12: Не берём. 2 множество б содержит цифры от нуля до 9, потому что на 2 позиции двухзначного числа могут быть и 0, и 1, и 9. То есть всего 10 циферок объём 1, но

13: Множество, а 9 объём 2 множества 10. И если нас интересует комбинация элементов, то есть мы определяем количество двухзначных чисел, то мы перемножаем объём 1 множества

14: И 2 получаем 90 двухзначных чисел. У нас с вами существует следующее перестановки. Сначала возьмём и рассмотрим перестановки без повторе.

15: Если из множества состоящего из n элементов выбираются все n элементов, и они упорядочиваются, то такая выборка называется пере.

16: Становкой, то есть есть множество. Все элементы внутри этого множества переставляются, да, перемешиваются и упорядочиваются. При этом то мы говорим с вами о перестановке. Перестановка количество вычисляет

17: По формуле вы видите её на слайде. В качестве примера рассмотрим с вами следующее. Есть список из 8 различных фамилий.

18: Сколько мы можем составить списков, переставляя эти фамилии в разном порядке? Ну, например, 8 фамилий по алфавиту это 1 вариант, потом переставляем 1, 2 фамилию, все остальные на своём месте. Это другая, другой список.

19: Из 8 фамилий и так далее. Сколько различных списков можно составить из 8 фамилий? Вычисляем по формуле 8 факториал. То есть мы 8 фамилий имеем

20: Переставляем их между собой и получаем соответственно.

21: Перестановку без повторений следующий вариант перестановка с повторениями это тоже самое множество из n элементов, но в этом случае выборки внутри.

22: Элементы могут повторяться, тогда количество перестановок из n элементов с повторениями будет вычисляться по формуле, которая приведена на слайде. Обратите внимание, появляется чёрточка на

23: Буквой п. Таким образом, мы подчёркиваем, что это у нас перестановка не просто перестановка с повторением рассмотрим пример найти число перестановок, образованных из всех букв слова Стома.

24: У нас есть слово стоматолог, в нём всего 10 букв, но мы видим, очевидно, что некоторые буквы повторяются, а именно у нас есть 2 буквы т. И у нас есть 3 буквы о остальные.

25: Буквы по 1, то есть переставляя буквы внутри этого слова. Если бы у нас эти буквы все были разные, мы бы воспользовались предыдущей формулой, но здесь у нас буквы повторяются, то есть переставляя буквы внутри.

26: Множество из 10 букв. Мы имеем дело с повторяющимися элементами, поэтому искомое число перестановок с повторениями мы получаем по формуле.

27: Следующая формула размещения и также мы возьмём сначала размещение без повторений если из множества состоящего из n элементов выбирают к элементов, причём упорядочивают, то так.

28: Выборка называется размещением из n элементов по k. Причём количество k, которое мы выбираем из исходного множества н. Оно должно быть меньше, то есть если у нас н. Это общий объём множества, то к.

29: А это часть, это подмножество, оно должно быть меньше, либо равно и размещение у нас будет вычисляться по следующей формуле. А

30: N. По k. В числителе н. Факториал в знаменателе н. Минус-ка факториал в качестве примера давайте с вами возьмём 6 цифр.

31: Цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6. Нужно определить, сколько трехзначных чисел мы можем составить из этих циферок, но оговоримся, что цифры повторяться не могут. То есть мы исключа,

32: Такой вариант, как 222 или или 555. Соответственно, имея дело с трехзначным числом, мы понимаем, что на 1 позиции у нас будут использоваться все.

33: 6 циферок на 2, так как мы уже 1 взяли, только 5 и на 3 позиции 2 цифры мы уже брали и повторяться они не могут. Мы возьмём только 4, можем использовать только 4. Таким образом мы получаем 100.

34: 20 чисел трехзначных чисел без повторений из циферок от 1 до 6.

35: Следующая комбинаторная формула размещения с повторениями та же самая история, но теперь размещение элементов из n по k. Но с повторениями вычисляется по формуле n в степени к.

36: Возьмём тот же самый пример. У нас есть 6 цифр и нужно определить, сколько трехзначных чисел, но теперь эти цифры в числе могут повторяться. То есть у нас с вами с повторением

37: 6 в 3 степени итого 216 чисел трехзначных чисел с повторениями, то есть здесь и 333, и 111, и 444 след.

38: Следующая формула комбинаторная, это сочетание аналогично. Сначала рассмотрим сочетание без повторений. Что же, за что же за комбинаторная формула была такая? Сочетание у нас также есть мно.

39: Состоящее из n элементов, мы также из этого множества n элементов выбираем-ка элементов, то есть-ка выбирается из n. Число k должно быть меньше, чем объём выборки, но при этом по.

40: Отбираемых элементов не учитывается такая выборка называется сочетанием из n по k, и число сочетаний вычисляется по формуле формулу вы видите на слайде.

41: В качестве примера рассмотрим такую ситуацию сколькими способами студент может взять 3 книжки из 5 ну, представляем себе некоторую полку или стол, где находится 5 книжек.

42: Спрашивают, студент подходит и берет 3 книжки, сколькими способами он может это сделать из 5 не сказано, что в каком-то порядке эти книжки не сказано, что это должно быть по алфавиту или там по возрастанию, то есть

43: Порядок элементов в выборке не обозначен, поэтому мы говорим с вами о сочетании. Соответственно, сочетание 3 книжки из 5 возможных вычисляем по предложенной выше формуле и получаем

44: Ответ 10, то есть всего 10 способов.

45: Достать 3 книжки из 5. Следующее сочетание с повторением, сочетание с повторением это единственная комбинаторная формула, где количество выбираемых Эле.

46: Ментов может быть больше объёма выборки, то есть количество элементов-ка, которые мы выбираем, может быть больше, чем объём выборки, чем н. Итак, мы с вами рассмотрели различные виды.

47: Выборок и комбинаторные формулы. Мы с вами рассмотрели комбинации, мы с вами рассмотрели перестановки с повторениями, без повторений. Мы с вами рассмотрели размещение с повторениями без по

48: Вторений для перестановок и размещений порядок элементов важен, то есть при перестановке и размещении элементов внутри выборки важно соблюдать порядок, а вот для сочета

49: Если мы говорим про выборку по типу сочетания здесь порядок элементов и упорядоченность элементов не важна, мы также рассмотрели с вами 2 формулы без повторений и с повторениями.

50: Для закрепления материала предлагаю вам в конспекте сделать и заполнить обобщающую таблицу по рассмотренным комбинаторным формулам. Всего их 7 штук было рассмотрено в рамках тем 1

51: Столбик, название, 2 столбик, описание или характеристика выборки множество, 1 множество, несколько множеств, упорядоченные элементы, неупорядоченные элементы сколько?

52: Элементов и так далее. И в 3 столбике непосредственно сама формула.

53: Итак, мы с вами сегодня рассмотрели достаточно важную тему комбинаторные формулы без знания этих формул и без умения пользоваться этими формулами. В дальнейшем мы с вами не сможем считать вероятности событий. Достаточно много. Зада.

54: На вычисление вероятности требует сначала найти эту самую комбинацию или сочетание, которое, возможно, разбирая формулы комбинаторики, мы себе подготовили, платформу мы себе подготовили.

55: Основ.