0: Добрый день. В этом видео мы научимся из совместного распределения случайных величин находить одномерные плотности. Также научимся применять 1 из основных свойств плотности, вероятности и прове.

1: Случайные величины на независимость итак, начнём дана плотность совместного распределения f xii эта 1 шагом найдём постоянную ц. Для этого запишем и вы.

2: Или вот такой двойной интеграл.

3: От минус бесконечности до бесконечности под интегралом записываем нашу плотность, то есть ц разделить на 1 плюс икс квадрат.

4: Или вот такой двойной интеграл от минус бесконечности до бесконечности под интегралом записываем нашу плотность, то есть ц разделить на 1 плюс икс квадрат.

5: Плюс икс квадрат, игрек, квадрат плюс игрек квадрат и проинтегрирую эту плотность по д икс д игрек, поскольку под интегралом стоит плотность.

6: То такой интеграл всегда должен быть равен единице. Из этого условия мы будем находить постоянную ц. Итак, распишем наш интеграл.

7: Знаменатель в данной дроби преобразуем, сгруппируем 1 плюс икс квадрат.

8: Плюс, а во 2 скобке будет икс квадрат, игрек квадрат плюс игрек квадрат, игрек квадрат. Вынесем за скобку. В скобках остаётся икс квадрат + 1. На следующем шаге вынесем

9: Скобку за скобку. Таким образом, в знаменателе у нас остаётся 1 плюс икс квадрат.

10: Умножить на скобку 1 плюс игрек квадрат.

11: Д икс д игрек.

12: Далее константу ц можно вынести из под интеграла.

13: А двойной интеграл записать в виде повторного.

14: В 1 интеграле от минус бесконечности до бесконечности мы запишем д игрек разделить на скобку, зависящую от игрека, то есть на 1 плюс игрек квадрат, а во 2 интеграле

15: Который также от минус бесконечности до бесконечности мы запишем дэ икс разделить на скобку 1 плюс икс квадрат.

16: Итак, интегрируем.

17: Интеграл от единицы разделить на 1 плюс игрек квадрат по д игрек это будет арктангенс игрек в пределах от минус бесконечности до бесконечности. И 2 интеграл един.

18: Разделить на 1 плюс икс квадрат по дэ икс. Это тоже будет арктангенс.

19: X. Также в пределах от минус бесконечности до бесконечности итак, подставляем верхний предел минус нижний предел, арктангенс бесконечности равен пи пополам минус нижний.

20: Не предел арктангенс минус бесконечности минус пи пополам, минус на минус даёт плюс, то есть будет плюс пи пополам.

21: И 2 арктангенс нам даёт аналогичную ситуацию пи пополам, плюс пи пополам.

22: В 1 круглой скобке пи пополам, плюс пи пополам пи во 2 тоже пи получается ц умножить на пи квадрат.

23: Теперь воспользуемся условием, что интеграл от нашей плотности должен равняться единице. То есть запишем ц умножить на пи квадрат должно равняться единице и отсюда найдём ц цц равно.

24: 1 разделить на пи квадрат.

25: Таким образом, совместная плотность запишется в виде f xii это от икс игрек равно единица разделить на пи квадрат 1.

26: Плюс икс квадрат 1 плюс игрек квадрат мы в исходную плотность подставили вместо ц единица разделить на пи квадрат и записали знаменатель в преобразованном виде. Итак.

27: Перейдём к пункту 2 найти плотность эф к c от x. Для этого совместную плотность проинтегрируем по д. Игрек.

28: То есть f xii от x равна.

29: Интеграл от минус бесконечности до бесконечности от совместной плотности.

30: Под игрек.

31: Подставляем интеграл от минус бесконечности до бесконечности. Единица разделить на пи квадрат 1 плюс икс квадрат 1 плюс игрек квадрат д.

32: Игрек. Поскольку мы находим интеграл по д игрек, пи квадрат и скобка 1 плюс икс квадрат это константы, их можно вынести перед интегралом. Записываем единица разделить на пи квадрат 1.

33: Плюс икс квадрат под интегралом остаётся единица разделить на 1 плюс игрек квадрат по д игрек так константу переписываем.

34: Интеграл от единицы разделить на 1 плюс игрек квадрат это арктангенс.

35: Игрека в промежутке от минус бесконечности до бесконечности.

36: Арктангенс в бесконечности пи пополам, минус арктангенс минус бесконечности, то есть получаем пи пополам, плюс пи пополам.

37: Итого в скобке получаем пи пи и пи квадрат в знаменателе можно сократить, остаётся единица разделить на пи 1 плюс икс квадрат таким образом мы получили плотность стана.

38: Распределения каши по аналогии найдём плотность эф это от игрек итак эф это от игрек равно совместную плотность эф кси.

39: Это от икс игрек нужно проинтегрировать по переменной икс, то есть интегрируем по d x, подставляем минус бесконечности до бесконечности.

40: Совместная плотность это единица разделить на пи квадрат 1 плюс икс квадрат 1 плюс игрек квадрат d x. По аналогии вычисляем данный интеграл конста.

41: Выносим вперёд интеграл от минус бесконечности до бесконечности единица разделить на 1 плюс икс квадрат по d икс данный интеграл мы уже неоднократно считали, он равен p, поэтому.

42: Можно сразу записать единица разделить на пи квадрат 1 плюс игрек квадрат умножить на пи.

43: Пи пи квадрат сокращаем и записываем, что остаётся единица разделить на пи 1 плюс игрек квадрат и также получили плотность стандартного распределения каши. Переходим к пункту 3.

44: Проверим случайные величины кси, и это на независимость по определению, в случае независимости случайных величин должно выполняться следующее равенство f xii это от икс игрек.

45: То есть совместная плотность должна распадаться на произведение одномерных плотностей, то есть эф к си от икс, умножить на эф это от игрек.

46: Подставим плотности из нашей задачи и проверим, выполняется ли данное условие единица разделить на пи квадрат 1 плюс икс квадрат 1 плюс игрек квадрат это

47: Совместная плотность проверим, будет ли выполняться этот знак равенства f xii от икс равно единица разделить на пи 1 плюс икс квадрат, а f это от игрек, это единиц.

48: Разделить на пи 1 плюс игрек квадрат. Итак, видим, что равенство выполнено таким образом. Из этого равенства следует, что случайные величины кси и это это не

49: Независимые, случайные величины. Итак, задача решена. Подписывайтесь на наш канал. Спасибо за внимание.