0: И мы будем начинать наше 1 занятие, 1 занятие посвящено очень важной теме тригонометрии. Почему эта тема важна, в частности, на олимпиаде омо, как правило, именно непосред.

1: Соответственно, тригонометрическим задачам отводится всего 1 задача на олимпиаде омо. Казалось бы, тема не такая важная, но, как правило, это задача под номером 6, и это 1 из тех задач, которые средней сложности, если так можно сказать.

2: То есть первые, обычно 3, 4 задачи с более лёгкой стороны и потом задачи 5, ну, либо 4 тире 8, либо 5 тире 8. Это задачи средней сложности 9, 10. Обычно задачи повышенной сложности, соответственно, очень

3: Важно отработать вот эти задачи под, но под номерами 5, 8, чтоб вы могли их свободно решать. И даже если с какой-то 1 задачей у вас не получится из этих 5 тире 8, чтоб вы смогли решить остальные и с уче.

4: Там первых 4 набрать, ну как минимум 7 задач, чтобы уже почти гарантировать, почти точно гарантировать себе диплом победителя. Это во первых. Во вторых, психологический фактор если вы накопите вот это вот то есть, если вы успешно решите задачи 1 тире,

5: 5, то у вас будет некоторая такая положительный настрой и, скажем так, импульс инерция, если выражаться физическими терминами, который нужно сохранить, чтобы вы успешно смогли справиться с задачами дальше. И вот если вы на 6

6: Задаче остановитесь, то вы этот импульс потеряете, при том, что задачи, как правило, не сложные и требуют, просто не требуют каких-то гениальных идей. Задачи по тригонометрии обычно требуют просто хорошего понимания того, чем мы занимаемся, то

7: Вы сможете этот импульс сохранить и пойти дальше. Больше прелюдий не будет. Переходим непосредственно к тригонометрии. Что важно знать по тригонометрии, чтобы успешно решать задачи умо. Ну, собственно, мы сегодня обсудим всевозможные методы.

8: Которые встречаются, встречались и, наверное, встретятся на олимпиаде. Но прежде всего от вас требуется хорошее знание и не только знания, но ещё и понимание формул по тригонометрии. Вы, наверное, знаете, что этих формул достаточно.

9: Много. И кажется, что запомнить все формулы очень сложно. Можно их где-то перепутать, можно ошибиться. Вот на самом деле, по большому счёту, для запоминания нужны, ну буквально основное тригонометрическое тождество и

10: Формулы собственно синуса, суммы в косинуса суммы, а все остальные формулы из этих формул выводятся за достаточно короткое время. Поэтому, если вдруг вам кажется, что вы формулы запомнить не можете, постарайтесь запомнить, как выводятся

11: Эти формулы, я не знаю, рассказывали ли вам эти вещи в школе, может, кому-то, да кому-то нет. Часть формул мы доказывали в рамках курса выводили, к которому у вас должен быть доступ, насколько я понимаю.

12: И наконец, то есть, если какие-то сложные моменты будут у вас, так что вот вы прям совсем не понимаете, какую формулу мы применили по ходу занятия, вы остановите меня и задавайте вопрос, я вообще как-то гру

13: Начал. Я забыл представиться, но я надеюсь, что anton меня на вчерашнем открытом занятии представил меня зовут Алексей. Ко мне можно так и обращаться. Алексей, можно на ты, можно на вы, как вам удобнее. Меня оба варианта устраивают. Вот. То есть, если у вас есть какой-то во

14: Вопрос любой. По ходу занятия, откуда что-то взялось? Говорите, Алексей, остановитесь, пожалуйста. Я вот этот момент не понял. Объясните, и я постараюсь его как можно более явно объяснить, чтоб всем это было понятно. Обычно, как правило, если вам что-то непонятно, то

15: Это непонятно кому-то ещё. Ну скорее всего так работает. Просто кто-то ещё тоже стесняется об этом спросить. Вот разорвите этот порочный круг, задайте вопрос глупых вопросов. Не бывает. Глупые вопросы это те, которые вы не задали, если вы вопрос задали.

16: Получили на него ответ и разобрались, то это был хороший вопрос. Вот давайте быстренько пробежимся по формулам, которые у нас есть в тригонометрии. Это прежде всего основное тригонометрическое тождество и его, ну, прямые следствия это вот

17: 3 формулы, которые записаны на экране, их помнить совершенно обязательно и ни в коем случае нельзя забывать, но я думаю, что это у вас уже отложилось в голове формулы синуса, косинуса, тангенса, суммы разности прежде.

18: Всего синус суммы, косинус. Суммы. Эти формулы выводятся не очень быстро и не очень легко вспомнить, ну прям прямую идею вывода, поэтому их лучше запомнить. А все остальные вариации, в том числе Танге.

19: Суммы, формулы разности, они все выводятся уже непосредственно из вот этих 2 формул достаточно быстро, достаточно легко вот эта формулы опять же здесь записаны отсюда, из этих формул следуют так называемые формулы.

20: Двойного угла они берутся, если просто вместо бета подставить в формулу суммы подставить альфа, да, и тогда у нас получится формула двойного угла, тоже очень полезные формулы.

21: Формула синуса двойного угла и формула косинуса, двойного угла, которая, как вы знаете, записывается 3 разными способами.

22: 1 способ это через разность квадрата косинуса и квадрата синуса, но потом, используя основное тригонометрическое тождество, можно привести эту формулу к 1 из 2 последующих видов.

23: Ну и также формула тангенса двойного угла тоже бывает полезной.

24: Более того, из вот этих уже формул выводятся формулы понижения степени, да, если выразить отсюда, например, синус в квадрате альфа из 1 формулы, либо косинус в квадрате альфа из 2 формулы получится известные.

25: Вам формулы понижения степени, что ещё принципиально отличное? Есть формулы преобразования произведения в сумму или в разность, они опять же выводятся чисто из формул синуса и косинуса суммы вот записаны на экране.

26: И формулы преобразования, суммы произведения, обратные, по сути, формулы, тоже их можно вывести либо из предыдущего набора формул, либо опять же из синуса и косинуса суммы, то есть каких-то прям новшеств здесь не появляется.

27: Ну и в общем то основная масса формул есть различные следствия из этих формул, которые тоже применяются. Но я не хочу прям сильно много времени тратить на формулы, потому что у нас есть много интересных задачек.

28: Сегодня и хотелось бы с вами эти задачки прорешать, поэтому ещё раз, если какие-то моменты будут непонятны, вы останавливайте и мы будем эти моменты разбирать, мне кажется так будет гораздо полезнее, чем если я вам буду всю какую-то базу.

29: Пересказывать. Я думаю, что вы формулы и так сможете узнать самостоятельно, а вот решение задач это стоит обсудить. И давайте начнём с такой интересной, но более менее разминочной задачки.

30: Все задачи по тригонометрии. Ну, по крайней мере, за последние 10 лет олимпиады умо все идут под номером 6. Поэтому не удивляйтесь, что вы будете сегодня постоянно видеть. Задача 6. Все форму, все задачи на сегодняшнее занятие взяты с заключи.

31: Этапов олимпиады. И эта олимпиада. Тьфу. Эта задача взята с олимпиады 2017 года. Просят сравнить числа дробь синус 2016 градусов к синусу 2017 градусов и 2 дробь

32: Since 2018 градусов к синусу 2019 градусов. Давайте построим нашу коммуникацию. Так я 2 3, может, чуть больше минут буду выслушивать ваши идеи по поводу задач. Поэтому если вам кажется, что вы

33: Знаете, куда двигаться в задаче? Пожалуйста, говорите, мы будем эти идеи так или иначе.

34: Так или иначе, обрабатывать, скажем так. Вот. А далее, если там вдруг мы решение не придумали, я буду объяснять, как задача решается. Итак, есть ли у кого-нибудь какие-нибудь предложения, как можно решить вот так?

35: Задачу полные, полные обороты откинуть, да, на 360 остаток взять. Угу. Действительно, смотрите, у нас достаточно большие углы. Так, сейчас маленький вопрос. У меня тут высветилось, что у меня интернет соединее.

36: Менее неустойчиво. Если я пролагивания были такие, смотрите, если снова, ну, если будет регулярно замечаться, что есть какое-то торможение, скажите мне, пожалуйста, я быстренько попробую интернет переподключить. Обычно это по

37: Помогает. То есть вот практика с занятий с курса нашего показывает, что обычно перезапуск просто исправляет эту проблему. Поэтому, если будет наблюдаться, если будет наблюдаться, напишите в чат, пожалуйста, чтобы я это наверняка уви.

38: И мы просто вот быстро это исправили, вот чтобы это не влияло на качество нашего занятия. Так вот, нужно сравнить 2 таких дроби. И действительно, мы видим, что аргумент у синуса он достаточно большой, при том, что

39: Синус 2 p. Периодическая функция, то есть любой оборот в 360 градусов, да, 2 пи 360 градусов мы можем откинуть, ну и давайте посмотрим, сколько градусов мы в итоге можем откинуть 360

40: Мало будет 720 градусов тоже мало пока что это я пишу 360 * 1, на 2 360, умножить на 3 это 1080 градусов, потом 1440 градусов.

41: Уже ближе. Дальше идёт 1800. Что там на пятёрку надо умножить 360. И похоже, что если мы добавим ещё 360, это будет уже перебор, уже будет 2160 градусов, поэтому мы понимаем

42: Нужно откинуть 1080 градусов, то есть 360 градусов умножить на 5 по факту, что вы пишите, так как 1080 градусов это 360 градусов на 5 и since является ну либо 2 p. Периодической функцией, либо синус.

43: Имеет период 360 градусов, либо ещё любое аналогичное утверждение. Мы можем вот это выражение заменить. И пишите, на что вы заменяете это выражение. Это если бы вы такую задачу решали на олимпиаде. Итак, тогда давайте поймём.

44: Что, например, since 2016 градусов. Это на самом деле синус 1080 градусов и плюс ещё 216 градусов у нас осталось

45: То есть это получается просто синус 2 216 градусов. Ну а оставшиеся синусы, понятно, каждый будут на градус больше. Итак, теперь нам нужно сравнить вот такие числа.

46: Интересно получается, что мы как будто просто нолик из синуса вычеркнули, но сделали это абсолютно честно. И нам все ещё нужно 2 вот такие вот дроби сравнить. Ну.

47: Получается, наверное, дальше мы можем домножить эти дроби на произведение 200 синуса, 217 и 219. Мы домножим, и у нас как бы сократится нижняя часть, да, то есть мы можем, по сути, избавит

48: От знаменателя, но вопрос, а мы уверены, что мы можем это сделать? Потому что что мы, какой вопрос мы себе задаём, какое число больше? А мы знаем, что если мы домножаем, например, на отрицательное число, то знак неравенства поменяется. Так вот.

49: Вопрос, что нам сделать со знаком неравенства, понимаем ли мы это, какой знак? Надо, наверное, посмотреть, в какой части находится 217 и 219. Угу. Хорошо. Это правильная идея.

50: Это делаем, ну, самый простой способ. Это, наверное, нарисовать тригонометрическую окружность себе. Это хороший способ визуализировать ваши синусы и косинусы, когда есть картинка, думать как-то обычно проще.

51: Вот рисуем эту единичную окружность. И, как мы знаем, у нас вот здесь косинус, вот здесь синус и синус положителен для 1, 2 четверти. Давайте не так. Здесь знак плюса.

52: Отрицателен для 3 и 4 четверти, какой четверти принадлежит угол в 218 градусов, ну, 216, например, градусов любой из этих Углов. Ну понятно, правый нижний, который так правая нижняя

53: Вот это 4 или левая нижняя слышу 2 варианта нет нижняя, левая, нижняя, левая, нижняя значит, шили смотрите, конечно, лучше всего, чтобы убедиться вспомнить, что вот это у нас p a p есть 8.

54: 50 градусов, а дальше идёт 3 пи пополам, и это 270 уже градусов ну вот здесь будет 2 p или 360 градусов, и тогда, естественно станет понятно, что наши уголки, они, ну где-то пример.

55: Примерно вот, вот, вот сюда относятся где-то примерно вот такие уголки примерно мы с ними работаем. И получается, что since для синус 217 градусов отрицательный синус 219 градусов тоже

56: Отрицательный. Значит, если мы домножаем на произведение этих чисел, то мы домножаем на произведение 2 отрицательных чисел, которые, естественно, положительно минус на минус даёт плюс, поэтому знак у нас не изменён. И мы

57: Можем спокойно продолжать решать задачу, не переживая о том, что нам нужно ещё помнить знак. Давайте это подвину немножко, чтобы писать.

58: Что мы делаем? А мы действительно домножим вот это неравенство на синус 217 умножить ещё на синус 219 градусов, естественно, и после этого

59: Нам теперь нужно сравнить по произведению синус 216 на синус 219 градусов или since 217 на синус 218.

60: Градусов.

61: Так, хорошо. Пришли к этому этапу. Что делать дальше? Какие дальше есть предложения? Ну, по формуле умножения, наверное, там как-то же можно разложить, там вроде 1, 2 косинус разности, что-то там ещё.

62: Да, все верно. Мы видим, что у нас есть 2 произведения синусов, когда есть произведение синусов хорошим тоном является. Ну ладно, не хорошим тоном, но хорошей идеей является попытаться произведение синусов преобразовать.

63: По формуле преобразования произведения в сумму. Давайте я вам эту формулу напомню. Она вот здесь записана. Произведение синусов есть косинус разности, минус косинус, суммы пополам.

64: Давайте используем эту формулу. У нас слева будет 1 2 косинус разности. Смотрите, так как косинус функция чётная. Нам без разницы какой аргумент из какого.

65: Вычитать. Поэтому мы, чтобы не возиться с минусами, запишем, что это косинус 219 градусов, - 216 градусов. Ну, дальше косинус суммы.

66: И мы это сравниваем с аналогичной конструкцией.

67: Да, подлагивает, подлагивает. Хорошо, давайте я буквально через минуту переподключусь и посмотрим, как будет соединение. Тогда спасибо, что предупредили. Я сейчас вернусь.

68: Ну, получается там в конце типа.

69: С 1 градуса сравнивается уже.

70: Так, снова здравствуйте. Меня видно? Слышно? Да, да, да. Видно, слышно. Ну так, давайте попробуем сейчас вот так позаниматься. Я надеюсь, что проблема должна была пропасть, извините за технические неполадки. И продолжаем действительно.

71: Я, когда там отключался, услышал, что, ну, вроде как уже кто-то приходит, подходит достаточно близко к ответу. Так у нас здесь будет опять же, косинус разности, минус косинус суммы.

72: И давайте, что мы сделаем? Сразу откинем 1, 1, 2. Она нам ни зачем не нужна. И посчитаем. Здесь у нас будет косинус 3 градусов, минус косинус, сумма это кажется.

73: 435 получа. Нет, верно? 435 435. Все хорошо. У меня пока с арифметикой. И это сравнивается с косинусом теперь 1 градуса.

74: Минус косинус 435. Ага. А теперь мы можем отбросить, то есть прибавить к обоим выражениям одно и то же выражение косинус 335 градусов. И, наконец, нам нужно сравнить косинус.

75: 3 градусов и косинус 1 градуса. Можем ли мы это сделать?

76: Да, да, что мы знаем? Ну, во первых, тут, конечно, нужно сказать, что 1 и 3 градуса это у нас углы, которые принадлежат 1 четверти, то есть от нуля до 90.

77: Градусов, то есть косинус положительный, косинус, прежде всего положительный. Но помимо этого, что мы можем сказать про косинус в 1 четверти вот от нуля до 90 градусов. Что с ним происходит? Чем больше градус, тем

78: Уменьшается, н тем сильнее уменьшится, да, при увеличении аргумента косинус уменьшается. Это опять же можно посмотреть на тригометрической окружности. То есть, если вы возьмёте 2 угла, то меньшему углу вот это же меньший угол. Вот он.

79: Поменьше, но ему соответствует большее значение косинуса, чем если взять угол больше.

80: И таким образом мы делаем вывод о том, что на самом то деле косинус 1 градуса больше, ну то есть косинус 3 градусов меньше, чем косинус 1 градуса. И так как здесь у нас все наши преобразования сохраняли знак неравенства.

81: Мы можем наконец сделать вывод, что на исходный вопрос правильный ответ 2 число больше.

82: Вот такая задачка, которая вроде как от нас потребовала только знания, формул, ну и умения работать с неравенствами. Кажется, у нас это все с вами есть.

83: И это уже дополнительный балл к вашему результату на олимпиаде аммо был бы в 2017 году, но опять же, 2017 год был не очень давно. Что это, может, эта задача, может слу.

84: Быть хорошим показателем того, что задачки на уму бывают и более простые бывают посложнее. По меркам 23 года будет Лёгкая задача, я думаю, ну, если смотреть, как

85: Оно идёт типа года становятся проще или сложнее, сложнее. Гораздо сложнее. Смотрите, в целом, я бы так сказал. Если смотреть в целом, то определённый рост сложности суммарно заданий олимпиады он есть, но

86: При этом всем нужно понимать, что, во первых, если растёт в целом сложность олимпиады, это не значит, что каждое задание становится сложнее. Например, я с уверенностью могу сказать, что задача 2000, например,

87: Ну, скажем, 2015 года, например, она посложнее по тригонометрии, чем вот эта вот задача 2017 года. То есть это не значит, что все задачи становятся сложнее. Это во первых, но, во вторых, вас не должно сильно пугать, что

88: Задачи становятся сложнее, потому что раз они становятся сложнее, то они становятся сложнее для всех, то есть не только для вас, и вы все ещё с участниками в равных условиях, а значит, вам все ещё просто нужно решить больше, чем ваши.

89: Ну, соперники, скажем так, в, нужно избавляться от конкурентов, ну, избавляться от конкурентов, смотря какими способами большинство из них запрещено согласно законам Российской Федерации. Поэтому я эти методы вам не рекомендую. Все-таки лучше, лучше.

90: Побеждать в честном бою. Ну и приятнее. Давайте. А, да, прошу прощения, есть ли вопросы у кого-нибудь к этой задаче? Если есть, стесняйтесь, задавайте. Вот я с радостью на все ваши вопросы отвечу.

91: Можете ещё раз сказать?

92: Подробно нужно расписывать все эти переходы. Ну, в плане, например, что

93: Какие-то теоретические факты, типа, ну, периодическая функция, что-то, ну, синус, периодическая функция, ну, и тому подобное. Угу. Смотрите, на самом деле, не нужно сильно как-то вот прям очень сильно, напря,

94: Напрягаться касаемо оформления на олимпиадах. Если если каждый ваш шаг хотя бы как-то обоснован, то, как правило, этого достаточно, например, вот если взять авторское решение олимпиады, да, то есть то, что авторы публикуют уже на

95: Сайте у себя то, что является эталоном. Например, 1 переход записан. Заметим, что 1800 градусов 5 * 360 градусов, поэтому нам достаточно сравнить числа. Ну и вот это сравнение.

96: Даже нет, как бы слова про периодичность подразумевается, что мы все с вами люди умные, и мы все с вами понимаем, что синус действительно периодическая функция. Дальше вот почему мы можем домножить без замены знака, нужно

97: Обосновать, но, например, авторы говорят так, поскольку числа синус 217 градусов и since 219 градусов 1 знака. То есть они даже, по сути, не говорят, что они оба отрицательные, они не проводят этого анализа, они

98: Просто говорят, что числа 1 знака это верно, они отличаются на 2 градуса, и это отличие не переходит за вот эту границу в 180 или в 270. Поэтому, так как они 1 знака, то умножим мы на 2 отрицательных или 2 положительных.

99: Это все равно будет положительное число и переходит вот к этому неравенству. Ну а дальше тут, по сути, уже каких-то прям теоретических сведений нет, мы просто применяем формулы, преобразовываем и переходим к финальному сравнению. Ну, финальное сравнение, например.

100: Записано так, поскольку на промежутке от нуля до 90 градусов косинус убывает, получаем вот это вот неравенство, вот, вот этот вот знак. И в конце Концов делаем вывод. То есть, я бы сказал, так, шаги нужно обосно.

101: Но не нужно сильно в подробности вдаваться. То есть, если вы участвуете на олимпиаде, скорее всего, ну, предполагается, что вы уже человек достаточно образованный и можете там. То есть каждый из вас может вычесть 300

102: Градусов у синуса и понять, что это все ещё тоже самое выражение или что вы все понимаете, что косинус убывает на отрезке от нуля до 90 градусов. Это нужно прописать, но прям доказывать это, естественно, не надо. Вот.

103: Спасибо большое. Да, отлично. Вот. Ну и давайте попробуем. Нам Антон сказал вчера, что

104: Так что ещё раз?

105: Нам Антон вчера сказал, что на умо сильно придираются к решениям. Ну, смотрите, я вам, Антон, с 1 стороны, может и прав. С другой стороны, я вам скажу так, мысль, если у вас написано все, что написано в

106: Решении, ну или больше то к вам не могут придраться. На мо, придираются, в каком плане, там очень серьёзно могут наказывать за ошибки или неточности. То есть, например, вы скажете, что вот тут вы, вот

107: Давайте вернёмся опять же к этой задаче. Например, вы скажете не что косинус убывает от нуля до 90 градусов, а скажете, что просто так, как косинус убывает вот такое вот неравенство. Ну, понятно, что косинус не везде убывает, и это неточность. Вот тут

108: Там проверяющие омо могут действительно серьёзно придраться и сказать так вот, ученик вообще ничего не понимает. Он думает, что косинус везде убывает и поставить, например, за задачу минус плюс. А это, соответственно, задача в 0 уходит. Такое возможно, поэтому

109: Я могу, вот, то есть, смотрите, нужно всегда балансировать, насколько много вы пишите, если вы будете писать очень много, вы попросту не успеете. И особенно это верно для умо, где у вас 10 задач и в идеале нужно постараться решить все.

110: Конечно, не, то есть нету необходимости в этом, но чем больше вы решите, хотя бы попробуйте решить, тем больше ваши шансы на успех. Поэтому будьте точны в своих утверждениях, чтобы там не было

111: Ошибок и тогда к вам будет действительно сложно придраться. Ну а в крайнем случае есть процесс апелляции. То есть в самом крайнем случае можно будет пойти и доказывать, что вы правы.

112: Считается, что на олимпиадах можно пользоваться всеми фактами, которые так или иначе представлены в учебниках, одобренных я забыл, как это формально называется, но, в общем то, все учебники по которым в школе учат.

113: Так или иначе, или которые одобрены для того, чтобы их использовали в школе. Всеми этими утверждениями можно пользоваться без доказательства. И, как вы можете догадаться, это включает достаточно большой спектр утверждений, если у вас, если вы чувствуете, что

114: У вас много времени, его достаточно.

115: И вы как бы хотите быть уверены в своём решении, пропишите чуть подробнее. Просто не нужно прям сильно уходить. Да, написали, что косинус убывает от нуля до 90. Не нужно.

116: Объяснять, почему это как бы и так. То есть это считается действительно, вот, ну, базовым знанием. И если вы уверены, что что-то является базовым знанием, то, ну, напишите, что это так, не доказывайте, в крайнем случае, можно будет подыс,

117: Искать учебник, в котором это доказывается, и сослаться на этот учебник.

118: Вот, давайте, давайте дальше, если что, всякие такие нюансы касаемо олимпиады, можно будет ещё обсудить занятия, ну то есть общие какие-то вещи, но действительно вопросы по оформлению индивидуальных задач можно задавать. То есть я постараюсь

119: На них ответить. Давайте теперь немножко забежим вперёд. Возьмём задачу из совсем близкого 2020 года, где нужно найти наибольший отрицательный корень. Вот такого вот уравнения. 4 синуса. 3, 3.

120: + 13 косинусов, 3 икс равно 8 синусов x + 11 косинусов x.

121: Какие здесь могут быть предложения касаемо того, как это решать не знаю, есть ли такая общедоступная формула синус 3 икс и косинус 3 икс, но, наверное, можно по сумме как 2 икс + 1 x.

122: Ну, ага, хочется избавиться от 3 x. Смотрите, идея достаточно Разумная. То есть мы знаем, что есть coin, что есть формула двойного угла, есть ли формула тройного угла? Да, они действительно есть, и

123: Более того, их можно даже использовать без доказательства, потому что они часто встречаются в учебниках. Давайте я их приведу здесь, чтобы они были. Синус тройного угла это 3 синуса одинарного угла, - 4 синуса.

124: В Кубе одинарного угла косинус тройного угла это, наоборот, 4 косинуса в Кубе обычного угла - 3 косинуса обычного угла. И давайте я по

125: Пытаюсь обосновать, почему мне кажется это здесь плохой идеей. Прежде всего, вот если мы распишем синус и косинус по вот таким формулам, у нас получится уравнение примерно, во первых,

126: Оно будет кубическое, да, относительно синуса и косинуса. А во вторых, у него не будет никакой полезной структуры, что я этим подразумеваю? То есть это была бы хорошая идея, если бы, например, мы раскрыли синус тройного

127: И у нас бы здесь получилось не, то есть, если мы раскроем, будет 4 * 3 синус икс, да, будет 12 синус икс. Вот если бы здесь было не 12, a8, вот это бы сократилось, да, это был бы уже

128: Хороший знак, что мы движемся в правильном направлении. А так, если раскрывать, получится примерно такая картина. Давайте прикинем, будет 12 синус икс - 16 синус в Кубе икс.

129: + 52 косинуса в Кубе, икс, - 39 косинусов икс, равно 8 синус икс + 11 косинус икс и даже после приведения.

130: Подобных уравнение получится не очень хорошее. Да, вы сможете перейти к чисто кубическому уравнению. Если поделите здесь на косинус в Кубе, например, и сделаете замену на тангенс. Вопрос лишь в том, что такое кубическое уравнение будет

131: Решаться. Ну, наверное, не очень легко все-таки. То есть у вас коэффициенты получаются 16, там, 4, 50 и 52. То есть вам нужно будет достаточно долго искать корень у такого

132: Уравнение не факт, что оно получится вот предложение расписать 3 x как x + 2 икс по сумме синусов и по сумме косинусов мне тут больше нравится так справа.

133: 19.

134: Это где это как бы сумма коэффициентов?

135: 8 + 11. Так, хорошо. А почему тут важна сумма коэффициентов? Или там я пропустил какой-то там, да, там сверху посчитали, будто бы слева и справа 17. Но ошиблись немного. А, ну да, действительно, сумма коэффициентов здесь, к сожалению, не

136: Вот смотрите, какое ещё было, если просто расписать синус, да, как since там 3 x, как синус икс плюс синус 2 икс.

137: У вас опять же получится в левой части такое достаточно серьёзное нагромождение. То есть у вас там будет синус икс синус, прошу прощения, косинус 2 икс плюс косинус.

138: X. Синус 2 икс это домножается ещё на 4, потом вы ещё такое также расписываете косинус вы, конечно сможете синус и косинус потом вынести за скобки, но вы не сможете сгруппировать уравнение.

139: Опять же, по коэффициентам просто это не получится сделать. И снова мы придём в тупик, что мы не знаем, что делать. Вот. Значит, задача какая-то идейная задача идейная, но она на идею, которую вам наверняка рассказ

140: В школе. Здесь нужно просто увидеть, что она работает. И Ксюша Агеева в чате увидела, что оно действительно работает. Здесь нужно применить идею введения вспомогательного угла, так называемого как

141: Она работает. Давайте вспомним, если у нас есть выражение, например, а косинус альфа плюс бэ синус альфа.

142: И мы видим так, нет, тут даже неправильно сказать, то мы можем поделить все это вот, например, там равно цэ, то мы можем поделить все это уравнение на такое выражение, а в квадрате плюс б.

143: В квадрате под корнем тогда что у нас получится? А делить на а в квадрате плюс бэ в квадрате под корнем косинус альфа плюс бэ делить на а в квадрате.

144: Плюс б в квадрате под корнем синус альфа равно цэ делить на а в квадрате плюс б в квадрате под корнем.

145: И тогда какая магия происходит? Квадрат вот этого коэффициента плюс квадрат вот этого коэффициента равно единице.

146: А раз сумма квадратов этих чисел равна единице, то мы можем сказать, что вот это косинус какого-то угла бета. Какого угла бета, ну какого арк косинус?

147: А делить на а в квадрате плюс б в квадрате.

148: И тогда вот это будет синус этого угла, бета.

149: В итоге получится косинус на косинус плюс синус на синус это будет просто формула косинуса разности получится вот уравнение косинус альфа минус бетта равно c.

150: А в квадрате плюс б в квадрате под корнем. Ну и дальше, если вот это выражение по модулю меньше либо равно единице, то мы просто берём от него арккосинус и записываем решение. Если оно по модулю больше единицы, то решения нет.

151: Вот и все. Это обычный, прямой, скажем, метод введения дополнительного угла. Но вы можете заметить, у нас здесь уравнение вот такое справа у нас не т, а какое-то другое выражение от синуса и косинус.

152: Почему же нам здесь выгодно применять формулу вспомогательного угла? Давайте вычислим вот это выражение для обоих частей. То есть посчитаем а в квадрате плюс бэ в квадрате под корнем слева и справа.

153: 4 в квадрате + 13 в квадрате 16 + 169 это 185.

154: A8 в квадрате + 11 в квадрате.

155: Это 64 + 121. Это тоже 185.

156: Что это означает? Это означает, что мы можем обе части поделить на одно и то же выражение. Собственно, на корень из 185, и тогда мы с обоих сторон введём формулу, сможем ввести какое-то

157: Свой вспомогательный угол и очень сильно упростить нашу с вами задачу. Давайте мы с вами это сделаем.

158: Итак, мы берём наше уравнение, напоминаю, вот так оно выглядит. И делим на корень из 185 у нас происходит 4 делить на корень из 185.

159: Что там у нас синус 3 икс?

160: + 13 делить на корень из 185, косинус 3 икс, равно 8 делить на корень из 185 синус икс.

161: + 11 делить на корень из 185 косинус икс теперь, так как мы уже знаем, что у нас такие коэффициент квадрат, сумма квадратов таких коэффициентов равна единице. Мы просто

162: Просто вводим следующие углы. Давайте мы их здесь для удобства введём. Так?

163: Альфа, это у нас будет арксинус 4 на корень из 185.

164: А бета будет арксинус 8 на корень из 185. Тогда мы можем, собственно, ввести замену. У нас здесь будет синус альфа синус 3 икс плюс.

165: Косинус, альфа косинус 3 икс равно синус, бета синус икс плюс косинус, бета косинус икс.

166: Наконец, если мы применим здесь формулу.

167: Если мы свернём это как косинус разности слева и справа получится следующее косинус 3 икс минус альфа равно косинус икс минус бета.

168: Ну, наверное, согласитесь, что такое выражение выглядит, ну, проще, чем-то выражение, которое у нас было изначально, и такое такое уравнение мы уже с вами можем решить.

169: Вопрос как решается уравнение косинус, а равно косинус б?

170: Ну там 2 способа вроде есть в левую часть переносим с минусом и как произведение, а может просто этот приравнять ну вот эти вот выражения и добавить в конце + 2 p. N. Угу.

171: Так, 1, смотрите, надо случай рассмотреть, когда, а равно б, и когда are равно, пи, минус б так. В общем, я слышал много идей, они почти, ну, либо

172: Правильные, либо почти правильный. Смотрите, какой есть метод, который железно сработает. Это самый 1 предложенный метод. Это когда вы косинус 2 переносите влево.

173: Преобразовываете разность косинусов в произведение. И потом вы говорите, что, ну, у вас будет просто произведение синусов. Либо 1 синус равен нулю, либо 2 синус равен нулю и получаете своё решение. Этот метод, который железно приведёт

174: К правильному ответу, естественно, можно переход сделать проще отсюда, но неправильным будет написать, что а равно б + 2 p. N. Это будет неправильно и.

175: Давайте проанализируем, почему? Давайте нарисуем тригонометрическую окружность снова она нам поможет в нашем вопросе.

176: Вот это у нас ось, ось косинусов.

177: И что означает, что косинус а равен косинусу? Бэ. Ну то есть косинус у нас от 2 разных аргументов принимает одно и то же значение. Давайте какое-нибудь значение выберем здесь.

178: И если мы проведём вот такую черту, которая соответствует, она покажет нам, какие аргументы соответствуют этому значению косинуса, мы увидим, что-либо are равно бэ + 2 p. N. Это вот эта вот точка.

179: То есть, если у нас 2 аргумента соответствуют 1 и той же точке на тригонометрической окружности, будет вот такое состояние. А ещё может быть, что у нас 2 аргумента 1 соответствует верхней точке, a2 соответствует нижней точке.

180: Тригонометрической окружности, но тогда смотрите, это очень просто записать, потому что если вот это

181: Аргумент а.

182: То вот это по свойствам косинуса, это аргумент минус а

183: И значит, но при этом этот же аргумент должен равняться б. И тогда у нас получится, что во 2 случае б равно минус а, но ещё не стоит забывать 2 p. N. Потому что ну, аргумент у нас может как угодно кру.

184: Соответственно, отсюда мы можем перейти к 2 совокупности 2 уравнений. Смотрите, 1, это 3 икс минус, а равно икс минус бета.

185: 3 икс минус альфа равно икс минус бета + 2 p n a2 это 3 икс минус альфа равно минус все икс минус бета, то есть бета минус икс.

186: + 2 пи 2 пи эн такой момент. Ну, принято здесь писать другую букву. Давайте напишем-ка, но когда у вас совокупность, можно писать 1

187: 1 и ту же букву. Если у вас система буквы обязательно должны быть разные. Но если совокупность можно писать 1 и ту же, но чтобы не ошибиться, пишите везде буквы разные. Так проще запомнить. Вот если

188: Время останется, ещё можем обсудить, почему для совокупности неважно разные буквы собственно, тут у нас все просто тут нам осталось выразить x. Если мы выразим из 1 выражения x, что нам нужно сделать, икс из правой части перенести?

189: Левую слева получится 2 икс справа перенести, слева направо перенести альфа и поделить пополам это получится xx равно альфа минус бета + 2 p n. Все пополам, а во.

190: 2 случае нужно ну, если мы проделаем все тоже самое, то у нас получится, что xx равно альфа плюс бета + 2 пи-ка, но так как мы переносим минус икс и получа

191: 4 x слева здесь будет делить на 4.

192: 2 таких выражения.

193: Ну и дальше какую логику нам нужно применить? Нужно вспомнить, что от нас просили. От нас же не просто просили решить уравнение, то вот, вот решение уравнения, где выписан нас просят найти наибольший отрицательный

194: Корень этого уравнения. Как же мы будем это делать? Ну, достаточно легко. Смотрите.

195: Что мы можем сказать про альфа и бета, того, как мы их определили?

196: Какие условия ограничения значения мы можем для них записать? Напоминаю альфа и бета. Вот они такими выражениями даются.

197: Ну, есть обозначений. Угу.

198: У арксинуса действительно есть область значения от минус пи пополам до пи пополам. По моему, да, это так. И мы бы могли сказать, что, собственно, по тому, как мы определили альфа и бет, они у нас от минус.

199: Пи пополам, до пи пополам, но можно ещё улучшить вот эту оценку. Это делается очень просто. Смотрите, арксинус, положительного аргумента, положительный арксинус отрицательного аргумента, отрицательный, поэтому, так как у нас

200: Аргументы положительные 4 и 8 185 мы можем сказать, что не от минус пи пополам вообще от нуля не включительно понятно, что p тоже не включительно у нас. Ну по очевидным причинам тогда.

201: Смотрите, сумма альфа плюс бета.

202: От нуля до пи, от нуля до пи пополам, плюс пи пополам, то есть от нуля до пи.

203: Разность альфа минус бета откуда до куда?

204: Давайте поймём, какое наименьшее значение может принимать альфа минус бета. Ну, исходя из нашей вот этой вот оценки, естественно, наименьшее, оно будет тогда, когда альфа равно нулю, то есть альфа.

205: Наименьшее значение это наибольшее, чтобы мы из наибольшего, из наименьшего вычитали наибольшее, тогда будет наименьшее значение выражения минус пи пополам.

206: Наибольшее значение выражения альфа минус бета будет, если мы из наибольшего альфа вычтем наименьшее бета, то есть, если мы из пи пополам вычтем 0 и получим пи пополам вот такой спектр значений у нас принимают альфа минус бета.

207: Ну и дальше нужно провести такой анализ, что

208: Даже смотрите, какой ещё важный момент. Я его немножко упустил из головы. Значит, смотрите, а мы можем сказать, какое из чисел больше альфа или бета?

209: Конечно, как?

210: Через окружность можно через окружность. Смотрите, у нас вообще beta равно под аргументом 2. Ну как сказать.

211: В общем, можно двойку вынести из под арксинус бета, и получится как синус двойного угла с арксинусом двойного угла, как бы у нас каких-то тождеств нету, но смотрите, что можно.

212: Сказать, если вы разбираетесь в арксинуса, вы знаете, что арксинус монотонно возрастает. Если нет, мы ещё поговорим про обратные тригонометрические функции. Вот если вы пока плохо разбираетесь в арксинуса, используйте окружность. Я, с вашего позволения.

213: Вот на этой же окружности нарисую то, что мне нужно. Смотрите другим цветом просто.

214: Что такое альфа? Это угол, при котором синус равен 4 на корень из 185. Давайте я здесь как-то отмечу 4 на корень из 185.

215: Это такой угол, что синус этого угла равен 8.

216: На корень из 185 и оба угла принадлежат 1 четверти.

217: Тогда смотрите, проводим соответствующие прямые синусов и смотрим, какие у нас углы. Получается, что тот угол, который соответствует большему значению, он больше

218: Потому что синус от нуля до пи пополам возрастает, значит, араксину тоже возрастает.

219: Итого мы можем сказать, что 0 меньше, чем alpha, меньше, чем beta меньше, чем пи пополам, поэтому проводим анализ вот этого выражения. Берём альфа минус, бета + 2 пи.

220: Пополам.

221: Если and равно нолю.

222: То альфа минус бета меньше нуля, потому что alpha меньше, чем бета, то есть мы из меньшего вычитаем большее, ну и соответственно, если мы поделим пополам, то все ещё будет меньше нуля, а вот если and равно единице.

223: Это будет 2 пи плюс альфа минус бета пополам, но мы знаем, что альфа минус бета, оно больше либо равно минус пи пополам, поэтому это больше, либо равно чем 3 пи пополам на 2.

224: То есть 3 пи на 4, a3 пи на 4 это ну больше нуля, соответственно наибольший отрицательный корень будет при n равном нулю и это будет корень минус бета альфа, минус бета пополам, давайте его запишем.

225: Как x 1 это наш 1 претендент на наибольший отрицательный корень. Какой будет 2 претендент? Он будет взят вот отсюда.

226: Тут нужно понять следующее альфа плюс бета на 4, но больше нуля, поэтому мы сначала смотрим на такое выражение.

227: 2 пика на 4 pre ка равном минус единице. У нас что получается? Альфа плюс бета - 2 пи, но альфа плюс бета не больше чем пи. Вот у нас это вот здесь записано не больше, чем

228: Меньше чем пи даже и поэтому вот это меньше нуля. Ну и соответственно можем на 4 поделить. Все ещё будет меньше нуля. Если же car равно нулю альфа плюс бета больше нуля, а значит наимень наибольший отрицательный корень.

229: Будет pre ка равном - 1 и вот он у нас записан вот вот такой вот это корень и давайте его тоже выпишем. Альфа плюс бета - 2 пи на 4

230: Осталось понять, что-то есть какой у нас корень из этих 2 больше x 1 или x 2.

231: Ну, смотрите, тут не очень сложно это оценить, как это оценивается, оценивается, исходя вот этих, исходя из вот этих выражений, которые мы уже с вами записали, икс 2, это альфа плюс бета.

232: - 2 пи на 4 это заведомо меньше, чем пи - 2 пи на 4, то есть это меньше, чем минус пи на 4.

233: А x 1 это альфа минус бета пополам, альфа минус бета больше, чем минус пи пополам, то есть это больше, чем 1 2 минус пи пополам, то есть это больше, чем минус пи на 4.

234: А значит, x 1 больше, чем минус пи, на 4 больше, чем x 2, и у нас получается, что x 1 является наибольшим отрицательным корнем, и мы его пишем в ответ.

235: Ну вот это вообще неприятная задача.

236: Ну, Нане кажется сложной, но она, кажется, это нужно просто аккуратно посчитать. Да, я бы сказал, что эта задача не сложная, но в ней нужно производить аккуратные вычисления, причём, ну, в несколько этапов сначала правильно вести вспомога.

237: Угол, потом правильно решить получившееся уравнение, наконец, правильно определить, какой из этих корней наибольший отрицательный. И да, на каждом из этих этапов могут так или иначе возникнуть проблемы. Но в целом задача не то чтобы

238: Сложно это, ну, хорошо понимать.

239: Главное здесь, ну, осознавать, что вы делаете. И, конечно, важно придумать саму идею вот этого вспомогательного угла. Она неочевидная, но мы с вами эту идею найти смогли.

240: Есть ли какие-нибудь вопросы по этой задаче? Я отвечу на ваши вопросы и потом предлагаю сделать перерыв.

241: Хорошо, вопросов нет. Тогда давайте сделаем перерыв. Перерыв у нас традиционно будет 10 минут, поэтому перерыв у нас будет, получается, до

242: 20.

243: 0 8.

244: Да все, отдыхайте.

245: Это задача какого года?

246: Это задачка 2020 года. Угу.

247: Так, ну что, нам пора продолжать. И я как-то так и не спросил, исправилась ли проблема с затормаживанием. Все исправилась. Отлично. Это меня очень радует. Так, давайте ещё раз на всякий.

248: Случай. Если у кого-то созрели вопросы по этой задаче, то ещё можно задать. Я на них отвечу. Ну а мы пока планируем двигаться дальше и рассмотрим, чтоб немножко отвлечься. Рассмотрим. Аш.

249: Тему уравнений тонометрических, но систему нестандартную, и она нам поможет вспомнить ещё 1 очень важный момент, который мы применяем в задачах тригонометрии. Ну, задачи не сложные, а говорю,

250: Ну, давайте решать.

251: Вот такая задача, по моему, единственная задача, которая идёт не под номером 6, а под номером 5.

252: Это задача 2015 года.

253: Нужно решить вот такую систему уравнений тангенс в квадрате, икс плюс тангенс в квадрате икс равно 2 синус в квадрате, игрек, синус в квадрате игрек плюс косинус в квадрате зетт равно единице у нас аж 3 переменных, всего 2 уравне.

254: Это нам подсказывает, что в лоб мы эту систему решить не сможем. То есть обычно, чтобы решить в систему лоб, нам нужно столько же уравнений, сколько переменных, значит, придётся использовать какое-то свойство или какой-то нестандартный.

255: Подход в решении задач. Итак, у кого есть какие-нибудь предложения по поводу того, как можно решать такую задачу тангенс катангенсом по определению расписать

256: Угу. Оценкой сделать, так как по определению тангенс и котангенс это взаимно обратные функции, то по неравенству средних их сумма больше, либо равна 2. Угу. Смотрите, сразу можно преобразовать тангенс, квадрат, икс.

257: По формуле привести к косинусу икс котангенс к синусу. Ну, угу. Сразу 3 идеи. Вообще замечательно. Давайте я, ну, только не обижайтесь, я 1 из них сразу отброшу.

258: Если мы будем расписывать тангенс и котангенс по определению, у нас получится очень много всего сразу же в нашем уравнении.

259: И если мы, например, приведём к общему знаменателю такое выражение, у нас получится синус 4 икс плюс косинус в 4 икс делить на синус в квадрате икс коси.

260: В квадрате икс отсюда я немножко это да, это, это наверное все-таки не самый лучший подход к решению хотя я вот сейчас смотрю я почти уверен, что отсюда можно прийти к ответу, но это будет достаточно

261: Окольный путь решения все-таки.

262: Все-таки, мне кажется, лучше пойти другим путём. 2 вариант был применить неравенство средних, и это тот вариант, который я демонстрирую, мы к нему ещё вернёмся так и ещё был вариант расписать тангенс в квадрате и k. Тангенс в квадрате.

263: По формулам, ну, которые у нас относятся к основному тригонометрическому тождеству. Ну, если я правильно понял, то есть, используя вот такие вот формулы.

264: Только а, да, да, все.

265: Используя вот эти формулы, можем заменить наше выражение и у нас получится какая-то такая картина.

266: 1 на косинус в квадрате икс + 1 на синус в квадрате икс - 2.

267: Дальше, если мы распишем это у нас в числителе, здесь получится синус в квадрате икс плюс косинус в квадрате икс, то бишь единица. Давайте я сразу напишу единица на косинус.

268: В квадрате x синус в квадрате икс - 2.

269: Ну, здесь нужно будет так или иначе это выражение оценивать.

270: Скорее всего, отсюда тоже можно прийти к правильному решению, но как-то вот как это сделать напрямую все-таки не совсем понятно и идейно после вот этих 2 моментов, которые мы разобрали. То есть что в 1 случае, что

271: В этом случае все равно придётся так или иначе выражение оценить слева и справа, потому что, ну все-таки у нас 2 разные переменные, мы их не можем никак связать друг с другом. Судя по всему, поэтому придётся так или иначе использовать оценку и

272: Было действительно верно замечено. У тангенса и котангенса есть очень хорошее свойство, которое заключается в том, что тангенс по определению своему, это 1 делитель на котангенс, ну, точнее, из определения тангенса.

273: Тангенса следует вот такое тождество.

274: Ну или наоборот, что там катангенс равно 1 делить на тангенс.

275: И когда у вас есть вот выражение такого вида, то есть если мы этим воспользуемся в левой части, у нас будет стоять тангенс в квадрате икс + 1 делить на тангенс в квадрате икс это

276: Можно записать так, а + 1 делить на а причём? А это у нас квадрат тангенса, да, это значит число положительное. Ну, оно не равно нулю, потому что оно ещё и в знаменателе стоит, это бы смысла не имело.

277: Когда у вас есть вот такое выражение, очень полезно бывает его оценить, как его оценить по неравенству о средних, ну, самый простой подход. Неравенство. О средних для 2 переменных говорит нам следующее, что ес.

278: Если мы берём 2 положительных числа а плюс бэ точнее а и бэ, то их среднее арифметическое больше либо равно, чем их среднее геометрическое, то есть квадратный корень из i бэ.

279: Что нужно ещё здесь сказать, то есть важно, что числа a и b положительные, но помимо этого, когда достигается равенство, равенство достигается только в том случае, когда are равно бэ.

280: Вот только в этом случае у нас получается равенство, и как это нам применить в нашем случае? Ну, раз у нас сумма, то давайте скажем, что половина этой суммы, то есть средняя арифметическая, а, и 1 делить на а, понятно.

281: Числа положительные больше, либо равно чем корень квадратный из, а умножить на 1 делить на а.

282: Получается, под корнем у нас единица корень из единицы это единица, а значит, а + 1 делить на а больше либо равно 2.

283: Иными словами, давайте вернёмся к нашему уравнению.

284: У нас получается, что левая часть в нашем уравнении, она больше либо равна 2.

285: Тогда можем ли мы какое-то соответствующее неравенство записать для правой части? Ну конечно, у нас синус, как вы знаете, это ограниченная функция синус по модулю.

286: Не больше единицы. Значит, квадрат синуса тоже по модулю не больше единицы, а значит, 2 синуса в квадрате не больше меньше, либо равны двойке. Так у нас получилось собственно, стандартная

287: Ситуация, когда мы используем метод оценки, это то, что are равно бэ при этом, а больше либо равно цэ, а бэ меньше, либо равно ц.

288: Такая система выполняется только в 1 случае если а равно ц и б равно ц.

289: В нашем случае это выполняется, если тангенс в квадрате икс + 1 делить на тангенс в квадрате икс равно 2.

290: Ну, то есть, ц, в нашем случае равно двойке. И при этом 2 синус в квадрате игрек тоже равно 2. Вот так мы из 1 уравнения получили 2. И теперь у нас, по сути, 3 уравнения. 3 переменных, значит, все

291: Должно решиться.

292: Из 2 уравнения получается синус в квадрате игрек равно единице.

293: Ну, такие уравнения можно решать 2 способами. Можно говорить, ну, то есть раскрывать квадрат по определению, можно применять формулу двойного угла. То есть говорить, что 1 минус косинус, 2 игрек пополам.

294: Равно единице. То есть 1 минус косинус, 2 игрек равно 2, то есть косинус 2 игрек равно минус единице, тогда 2 игрек.

295: Равно минус единица это p. + 2, p. N. N. Целое.

296: Ну а само игрек тогда пи пополам плюс пи and н целое.

297: Что же делать с 1 уравнением в 1 уравнении можно умножить на тангенс в квадрате икс, ввести замену и решать его как квадратное или просто домножить на тангенс в квадрате икс, решать его как би квад.

298: Что, в общем то, одно и то же, но так как уже до этого применили неравенство средних, вы должны понимать, что, собственно, вот этот знак равенства вот в этом неравенстве, как мы уже сказали, он достигается только в случае are равно бэ.

299: A ha равно 1 делить на, а при условии, что a положительное только когда, а равно единице. То есть иными словами, у нас тангенс в квадрате икс равен единице, это можно сразу прописывать не

300: Ну здесь просто будет проще сказать, что это равносильно системе тангенс икс равно единице совокупности тангенс икс равно минус единице 1 из 2 выполняется и в 1 случае икс равно пи на 4 плюс.

301: Пика.

302: Во 2 случае икс равен минус пи на 4 плюс пи-ка.

303: Ну, давайте букву здесь другую тоже напишем, например, эль.

304: Ну а вообще, если вы очень хитры, вы можете эти 2 совокупности заменить 1, как это понять?

305: Нарисуйте опять же для удобства тригонометрическую окружность.

306: И отметьте те точки, которые соответствуют вашему решению.

307: P на 4 это вот здесь плюс пи-ка, это вот здесь минус пи на 4 это вот здесь плюс пи-ка это вот здесь и получается, что ваши все решения отличаются на пи пополам.

308: Здесь пи пополам, здесь пи пополам и так далее. То есть вместо вот этой вот этих совокупности 2 серий вы можете записать 1 серию икс равно пи пи на 4 плюс пи пополам.

309: Ну, ещё умножить на qa ка здесь опять же целое число.

310: Скажем так, это не обязательно, но это чуть более.

311: Короткая запись вашего ответа. Но у нас есть ещее недорешенное 2 уравнение в системе.

312: И вот давайте мы с ним тоже разберёмся. Синус в квадрате игрек плюс косинус в квадрате зетт равно единице.

313: Но значение для синус в квадрате игрек нам уже известно. Вот он, синус в квадрате игрек равен единице. И если мы это подставим сюда, мы полу.

314: Получим, что косинус в квадрате зет равен нулю, а если косинус в квадрате зет равен нулю, то сам косинус зет должен быть равен нулю. Отсюда мы получаем и значение для set это будет 2. Прошу.

315: Прощение это будет пи пополам. Плюс пи м.

316: М. Целое ну и нужно объединить запись для игрек, запись для x. Y. Запись для z и получить наш ответ.

317: Икс равно пи на 4 плюс пи-ка пополам.

318: Игрек равно пи пополам, плюс ПИН.

319: И that равно пи пополам плюс пи эм.

320: Car н и м. Это целые числа.

321: Вот такая задача. По факту мы решили систему уравнений. Ни 1 из ни 1 из этих уравнений напрямую не решив, ну, условно говоря, то есть 1, мы восполь,

322: Оценкой, а во 2 просто подставили то, что мы нашли из 1 уравнения.

323: Вот такая вот система.

324: Есть ли вопросы по этой задаче?

325: Ну вот, можно насчёт перехода, как мы перешли, мы из 1 сделали, как бы, как бы, 2. Вот, можете чуть чуть повыше слайд поднять. Угу. Вот. Получается, мы как бы доказали, что левая часть, где тангенс, квадрат, плюс вот это, что она всегда больше или равна 2, да? Угу.

326: 2 синус игрек. Мы доказали, что она всегда меньше или равна 2. Да. Угу. И, то есть она в 1 случае выполняется, когда они оба равны 2. Да, это можно. Все понятно. Да, это можно ещё как, ну, на всякий случай просто изображу быстренько. Можно так.

327: Претировать. То есть вот у вас есть числовая прямая, условно говоря, вот у вас есть какое-то значение ц, ну, в данном случае это число, и вы просто рисуете для себя, что выражение, а которое, например, слева стоит, ну, давайте вместо ц, даже двойку

328: Напишем и выражение ц, которое выражение, а которое стоит слева, оно больше либо равно 2. То есть оно идёт вот сюда, а выражение, которое справа, оно меньше, либо равно 2. То есть оно идёт вот сюда.

329: И вопрос, а где они могут быть равны друг другу? Ну только вот здесь, то есть какого-то места на числовой прямой, где они равны друг другу, не существует. Ну а из за того, что ц, это не какое-то выражение, а просто двойка, то вот такие уравнения нам как бы

330: Решать сильно проще, чем вот, вот это исходное уравнение, оно может по другому и не решается. А вот так решается и вполне хорошо. Ага. А вот ещё такой вопрос. А как мы доказали, что тангенс, вот эта вот левая часть больше или равна 2? То есть вот что

331: Ну, как бы, что она больше 2, это, как мы её доказали. Угу. Мы применили так называемое равенство средних, да? Ну, то есть мы домножили на двойку, потому что у нас слева 1 2 вот этих сумма 2 этих чисел мы домножили на двойку.

332: Получилось то, что оно больше или равно 2 да, да, все верно. То есть ещё раз мы применили неравенство средних, о чем, о чем оно нам говорит? Что если у нас есть 2 положительных числа a и b вот сюда смотрим, если 2 положительных числа

333: Мы возьмём то их так называемая среднее арифметическое, то есть а плюс бэ пополам больше либо равно, чем корень из a b.

334: Мы пользуемся этим фактом. Каким образом тангенс в квадрате икс у нас число положительное и 1 делить на тангенс в квадрате икс тоже число положительное, поэтому мы применяем для них вот это неравенство вот здесь на самом деле под буквой. А вот здесь вот

335: Открывается как раз тангенс в квадрате икс. И, соответственно, мы применяем для вот этих 2 чисел это неравенство. То есть вместо б записываем 1 делить на а и под корнем, то у нас будет, а умножить на 1 делить на а то есть единица, а зна,

336: Значит, если мы на двойку домножим, опять же, вот мы вот здесь у нас вместо буквы, а должен быть написан танген, мы получим как раз вот это неравенство, которое мы используем как оценку. Вот неравенство средних доказывается очень легко.

337: Могу предложить вам самим с этим справиться.

338: Но ещё раз это работает для положительных чисел. Да, да, неравенство средних работает исключительно для положительных чисел. Это важно.

339: Ну, часто вообще, в принципе, в задачах олимпиадных используется, ну, неравенство средних. И есть ли ещё что-то подобное. Вот я слышала про неравенство бернулли, оно, ну, тоже, возможно, где-то помогает. Так вот, я сразу признаюсь.

340: Честно, я, по моему, нигде не встречал неравенство бернулий, кроме, может, какой-нибудь ной задачи когда-то. Но неравенство бернулий на олимпиадах встречается достаточно редко. Почему на самом деле, потому что

341: Основной случай неравенства вернули. Можно заменить просто пониманием того, как работает беном ньютона. Давайте, наверное, я не буду сейчас на этом останавливаться. Я попрошу антона, чтобы он как-то в занятии по алгебре упомянул.

342: Этот момент, либо, может быть я как-то отдельно вам его презентую, потому что это немного не связано с тригонометрией. Вот неравенство средних, оно встречается с, ну такой достаточно регулярно, то есть как минимум в 1

343: Олимпиаде в каждый год неравенство о средних в том или Ином виде будет присутствовать. Ну хорошо, если это неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом, потому что на самом деле там есть ещё продолжение, можно ещё

344: Написать неравенство о среднем, квадратичном и среднем, господи, гармоническом. Так они называются. Опять же, я не очень хочу сейчас про это рассказывать вместо тригонометрии, но

345: Давайте я как минимум в конце занятия, напомните мне, я как минимум запишу, как формулирую, формулируются эти неравенства, чтобы у вас они хотя бы где-то были, то есть перед глазами. Ну, доказательство в целом очень сложное и

346: Его, как правило, не требуют на олимпиадах можно просто применять эти неравенства в своих целях, но могу с уверенностью сказать, что неравенство для 2 переменных именно между средним арифметическим и средним геометрическим.

347: Встречается очень часто и в особенности вот этот вот случай, когда у вас есть а и 1 делить на, а это прям вот стандартная ситуация если вы где-то видите такую конструкцию сразу у вас в голове.

348: Должно быть op неравенство средних, по крайней мере, попробовать применить его нужно, ну или просто помнить, что такое выражение оценивается снизу как двойка, но при этом только для положительных чисел это важно.

349: С другой стороны, я тоже опять же, здесь это скажу, раз уж заговорили, давайте я отдельно это помечу. Вот уже ниже задачи, что если

350: А у вас отрицательное ну так меньше нуля, то из того же неравенства средних очень легко доказать, что а + 1 делить на а это меньше, либо равно - 2.

351: Уже не то чтобы часто встречается, но может в принципе встретиться, то есть какой, что нужно понимать, даже если у вас число отрицательное, то вы все ещё можете оценить вот это выражение, это не то, что вы там, то есть обосновывать как

352: Если, а меньше нуля, то по неравенству средних или уже по чему-то другому смотрите, если, а меньше нуля, то лучше всего написать так-то для б.

353: Равного минус, а больше нуля по неравенству. О средних у вас будет следовать, что б + 1 делить на бэ больше, либо равно 2. То есть минус, а - 1 делить на а больше либо равно 2. То есть, а + 1 делить на

354: А меньше либо равно - 2. То есть если вы хотите конкретно вот это неравенство применять, лучше прописать все-таки, откуда оно берётся.

355: Вот, и оно вот, вот так вот просто выводится. Вы делаете замену, говорите, что б равное минус, а это положительное число для него, верно? Неравенство среди. Соответственно, вот так можно получить это неравенство очень быстро.

356: Ну, вроде бы все вроде бы с этой задачей разобрались, задачей разобрались, и нам нужно с вами поговорить про обратные тригонометрические функции, потому что на amore они встречаются и как то почему-то так происходит, что в

357: Мало рассказывают обратные тригонометрические функции. В самом лучшем случае научат считать какие-то нестандартные вещи по типу, там косинус от арксинуса 4. Ну ладно, арксинус, 4 я загнул от арксинуса 1, 2. То есть такое научат считать, а

358: Какие-то более общие задачи решать ну далеко не всегда приходится, поэтому давайте мы вспомним наши обратные тригонометрические функции и пару задачек. Я надеюсь мы успеем на них решить. Смотрите, давайте подзаголовок

359: Обратные.

360: Тригонометрические функции.

361: Самые важные это арксинус и арккосинус, арктангенс и арктангенс, они существуют, но встречаются именно в олимпиадах, ну почти не встречаются, в отличие от арксинуса и арккосинус, которые можно увидеть достаточно часто.

362: Давайте быстренько напомню, что это такое. Мы говорим, что число бэ равное арккосинусу. Ну, давайте арксинусу сначала числа, а?

363: Это по определению, да, опер, определение по определению, такое число б.

364: Причём взятое строго из отрезка минус пи пополам, до пи пополам.

365: Такое число б, что синус б равно, а из этого определения сразу следует, что а должно быть от минус единицы до единицы.

366: Потом, соответственно, у нас получается, что арксинус имеет и ограни, вот как функция имеет, и ограниченную область значений, и ограниченную область определений. Это достаточно интересная с точки зрения школьного

367: Математики функция арксинус, арккосинус, потому что, как правило, у ваших функций что-то 1. Либо ограниченная область определений, либо ограниченная область значений. То есть, например, синус аргумент любой, но ограниченная область значений, например,

368: Логарифм аргумент ограничен только положительный, но значение любое, а здесь у вас сразу 2 ограничения, которые накладываются друг на друга. И из за этого получается, что

369: Задачи можно сложнее сделать за счёт вот этих вот ограничений, которые существуют. Поэтому авторы любят так или иначе применять арксинус арккосинус в своих задачах арккосинус, опять же число бэ арккосинус.

370: А по определению это такое бэ из отрезка от нуля до пи.

371: Здесь отрезок другой, такой, что косинус бэ равно а а при этом опять же от минус единицы до единицы. Вот из ограничений на синус и на косинус вопрос, почему здесь

372: Берутся из разного отрезка. Это очень легко объяснить. Опять же, давайте нарисуем окружность. Она невероятно полезна. Когда мы вообще говорим о тригонометрии. Самая полезная, наверное, вещь это тригонометрическая окружность. Она отвечает.

373: На все вопросы.

374: Если мы нарисуем окружность, что мы вообще хотим от косинуса и от арксинуса, нам нужно, чтобы они в некотором смысле были обратными к синусу и косинусу. Функция, смотрите, они не являются обратными в общем смысле.

375: К синусу и косинусу функции, потому что обратная в общем смысле функция всегда. То есть вот ф минус 1, это обычно обозначается как обратная функция, то есть обратная функция от прямой функции.

376: Должна возвращать аргумент для любого x из области определения f с арккосинус, м и арксинусом так не происходит, и мы ещё посмотрим на этот момент он достаточно интересный, но хотя бы на каком-то отрезке было бы поле.

377: Чтобы арксинус арккосинус совпадали с обратными к синусу и косинусу функциями. И поэтому мы берём такой отрезок, на котором у нас синус принимает все свои возможные значения. Поэтому для синуса мы берём от

378: Минус пи пополам, до пи пополам, а для косинуса мы берём от нуля до пи.

379: Момент важный тем же самым успехом мы могли бы для арксинуса взять, например, значение от пи пополам до 3 пи пополам.

380: У нас, по сути, достигалась бы та же самая цель, арксинус. Ой, тьфу, синус все ещё пробегает на этом интервале, все свои значения. Просто мы бы получили немножко другую функцию, которая была бы нам, она бы даже не то что была бы

381: Менее удобно, она просто была бы другая, и все связанные с ней формулы были бы немного другие. Поэтому вот этот выбор отрезка области значения арксинуса, да, он достаточно произвольный и обоснован.

382: Только тем, что вот такие интервалы, они как бы нам наиболее удобны.

383: Вот надеюсь, что чуть чуть, что плюс минус. Понятно было то, что я только что объяснил. Давайте ещё вспомним арктангенс просто потому, что он существует.

384: По определению б. Арктангенс, а это такое число б оно берётся уже из интервала от минус пи пополам до пи пополам, потому что в точках пи пополам и минус пи пополам тангенс не определён, это так.

385: Какое число б из этого интервала, что тангенс б равно, а и заметьте, так как у тангенса нет ограничений по значениям, тангенс может равняться 1, 2 2 7 124 с половиной.

386: А тоже никаких ограничений не получает, арктангенс, не имеет ограничения области определения, и точно также арккотангенс не получает такого ограничения, получает только ограничение по области.

387: Значение.

388: Это такое число из интервала от нуля до пи, что котангенс п равно а?

389: Какие важные навыки.

390: Скажем так, какие навыки, связанные с обратными тригонометрическими функциями, нам важны? Ну, важно понимать график у этих функций, как выглядит

391: И давайте я нарисую 2 графика на 1 изображу арксинус и арккосинус, на другом изображу арктангенс котангенс. Не буду сейчас обосновывать, почему эти графики строятся именно так. Но график арксинуса выглядит вот

392: Так.

393: Здесь у нас, соответственно, минус пи пополам, до пи пополам.

394: Здесь единичка, здесь минус единичка. И я, конечно, как обычно, плохо нарисовал, потому что арккосинус совместить некуда, то давайте я вот ось сейчас.

395: График это у нас арксинус. Игрек равно арксинус икс.

396: А арккосинус очень похож, но только в другую сторону и начинается выше.

397: И вот здесь у нас точка равная, это будет

398: Про котинус.

399: Ну и дальше нарисуем ещё картинки.

400: Для арктангенса котангенса.

401: Арктангенс выглядит вот так.

402: И у него есть горизонтальные асимптоты минус пи пополам в минус бесконечности и плюс пи пополам в плюс бесконечности.

403: Ну здесь у нас пи пополам, минус пи пополам. Это график арктангенса.

404: График арктангенса выглядит также, но перевернут и начинается сверху.

405: У него есть асимптоты горизонтальные и в минус бесконечности и 0 бесконечности вот так и и это у нас график тангенс.

406: Что ещё важно понимать, и это очень хорошо видно из графиков. Это то, что арксинус является нечётной функцией арктангенс является нечётной функцией, арккосинус и арктангенс таких свойств не имеют, то есть они

407: Являются ни чётными, ни нечётными функция общего вида.

408: И давайте теперь уже на примерах посмотрим, какие навыки нам важны относительно обратных нометрических функций, например, полезно считать.

409: Выражения, связанные с обратными тригонометрическими функциями. Возьмём для примера вот такую задачку.

410: Это задача 2016 года.

411: Нужно вычислить значение выражения 2 арктангенс 2 плюс, арксинус 4/5.

412: Будем решать такие задачи.

413: Ну, можно рассмотреть тангенс число.

414: А ещё раз, а можно рассмотреть тангенс этого числа, расписать по тангенсу сумму там ещё двойной?

415: В принципе, да, смотрите, какую логику мы здесь будем использовать. Обрат. Можно смотреть на обратные тригонометрические функции в том свете, что их значение есть какой-то угол, то есть точно так же, как у си.

416: И косинуса аргумент это угол арксинус и арккосинус арктангенс как обратные функции, они этот угол возвращают. Иными словами, можно сказать следующее, что арктангенс 2 это

417: Какой-то угол альфа, в то же время арксинус 4/5 это какой-то угол пета.

418: Таким образом, нас просят найти 2 с альфа равняется альфа. Это двойка у меня такая, простите, пожалуйста, я здесь буду писать двойку как-нибудь иначе давай вот буду писать двойку, чтоб никого не запутать. Вот.

419: И, соответственно, нас просят тогда найти значение 2 альфа плюс бета. А какой у нас способ найти значение такого выражения? Ну, посчитать какую-нибудь тригонометрическую функцию от этого угла. То есть действительно можно попробовать вычислить тангенс.

420: От такого угла 2 альфа плюс бета.

421: 1 делом мы здесь применяем формулу тангенса суммы.

422: Yungen.

423: Сумма есть сумма тангенсов.

424: Делить на 1 минус произведение тангенса.

425: Ну и теперь нам по отдельности нужно вычислить тангенс 2 альфа тангенс бета.

426: Вычислить тангенс 2 альфа не сложно нужно применить формулу тангенса двойного угла, получив тангенс альфа 2 тангенса альфа в числителе 1 минус тангенс квадрат альфа.

427: Знаменатель. Ну а теперь сообразим, что такое тангенс альфа по определению, если альфа это тангенс 2, то это по определению такое число, что тангенс альфа равно 2.

428: Поэтому мы можем это сюда смело подставить и получить, что это 2 * 2, 1 - 2 в квадрате это 4, 1 - 4, это - 4/3.

429: Хорошо, а как же найти тангенс, бетт, что такое тангенс, бетт это у нас тангенс.

430: Арксинуса.

431: 4/5 как найти значение такого выражения?

432: Ну, если синус равен 4 5, то тангенс можно посчитать по основному тригонометрическому тождеству или вспомнить египетский треугольник со сторонами. 3, 4, 5. Ну и получается там ответ 4/3. Правильно, тангенс. Угу. Ну, в целом,

433: Как бы все правильно сказано, просто чуть медленнее это объясню. Как вообще искать такие выражения всегда. В любом случае, как найти значение такого выражения, например, синус от косинуса, тангенс от арксинуса.

434: От арктангенса опять же нужно. Вот мы уже сделали такую деталь, мы обозначили арксинус каким-то углом.

435: Более того, что нам ещё нужно, нам нужно какое-то ограничение на бета наложить, так как бета это арксинус, то, с 1 стороны, бета у нас от минус пи пополам до пи пополам.

436: С другой стороны, так как аргумент у арксинуса положительный, то это тоже число положительное, мы это уже с вами сегодня вспоминали.

437: Поэтому можно сказать, что бета от нуля до пи пополам, ну и вообще можно сами значения 0 пи пополам отбрасывать, потому что арксинус у вас здесь ни нуля и не единицы, поэтому эти значения можно смело откинуть. То есть мы

438: Точно понимаем, что угол бета у нас принадлежит 1 четверти, и дальше нужно как раз выражение тангенс бета то выразить через синус бета, потому что синус от арксинуса мы легко посчитаем без каких-либо проблем.

439: Ну, какие у нас формулы связывают тангенс бетта и синус бета. Ну, сходу на ум, может, ничего не приходит, но у нас есть формула, которая связывает котангенс в квадрате бета и.

440: 1 делить на синус в квадрате бета ну а если мы найдём котангенс бета, то мы найдём и тангенс бета немудрено тогда смотрите, тангенс в квадрате бета это равно.

441: 1 делить на синус в квадрате бета - 1 синус арксинуса 4/5 есть 4/5. То есть это 5/4 перевернули в квадрате - 1.

442: 25/16 - 1. Это 9/16.

443: То есть котангенс бета равен плюс - 3/4. А как понять плюс или минус? Да, очень легко. Вот у вас написано, что бета угол из 1 четверти раз, бета угол из 1 четверти.

444: Котангенс в 1 четверти положительный, а значит, знак вы берете исключительно плюс как раз котангенс равен 3/4, тангенс бета равен 4/3.

445: Ну и, наконец, объединяя все полученные нами знания, вот это вот знание, вот это вот знание, мы переходим дальше к нашей формуле тангенса суммы.

446: Тангенс 2 альфа это - 4/3, тангенс бета это 4/3. И тут уже на самом деле, независимо от того, что получится в числителе. Ну 0 там точно не получится, нас бы не попросили, но даже если мы

447: Досчитаем, то получится 0, то есть тангенс нашего угла равен нулю. А теперь вопрос какой вывод мы из этого делаем?

448: То есть нам же нужно найти 2 альфа плюс бета, чему тогда равно 2 альфа плюс бета.

449: Она, может быть, равно пика получается. Ну, там, с помощью оценки ещё уточним, какой именно угол. Да, смотрите, здесь самое главное, не допустить такую, ну, я бы сказал, наивную не в смысле.

450: Что глупую, а в смысле ошибку не подумав вот так скажем, отсюда ни в коем случае нельзя сказать, что 2 alpha плюс beta равно нулю ну, казалось бы, тангенс какого-то угла равен нулю, когда угол равен нулю, так ещё и угол у нас.

451: Вроде как такой должен быть, да, там арксинусы. Ну, что-то типа от минус пи пополам до пи пополам. Вот эта логика неправильная, её ни в коем случае нельзя применять здесь. Нам нужно сначала понять, где у нас лежит вот это выражение 2 альфа плюс бета. Как же нам

452: Это понять. Смотрите, мы уже каким-то образом оценили выражение для бета. Давайте для альфа тоже оценим выражение, причём, ну нам даже не обязательно его как-то тично оценивать. Смотрите, мы сказали

453: Альфа это арктангенс 2.

454: Раз альфа это арктангенс 2, что такое, где у нас? Ладно, как минимум альфа от минус пи пополам до пи пополам.

455: Но так как двойка положительная, тангенс положительный только при положительных аргументах, поэтому точно так же, как с арксинусом, мы здесь 0 можем смело отбросить. Итак, альфа у нас здесь лежит, эт у нас

456: Лежит в том же интервале, тогда 2 альфа плюс бета.

457: Наименьшее значение это 2 0 + 00 + 0 это 0, а наибольшее значение это 2 на пи пополам. Плюс пи пополам, это 3 пи пополам. Ну и дальше, чтоб гарантированно не ошибиться, я вам советую

458: Снова нарисовать тригонометрическую окружность.

459: Отметить здесь вот это вот ограничение от нуля. И я нолик рисую выколотым, потому что нолик быть не может до 3 пи пополам.

460: Это 0, здесь 3 пи пополам.

461: Ну и чтоб гарантировать успех, можно нарисовать ещё ось тангенс, вот так она проходит.

462: И тогда нулю, то есть тангенс равен нулю, мы проводим вот такую прямую и смотрим, где она пересекает наш, собственно, наш оборот, нашу окружность, тут она её не пересекает, потому что здесь точка выколотая, а она её пере.

463: Пресекает вот здесь, в единственной точке, эта точка равна p, и мы делаем итоговый вывод, что 2 alpha плюс beta равно пи.

464: О, как в ответ мы пишем число пи и маленький спойлер дам по поводу этой задачи.

465: Значит, как у нас получилось такое хорошее значение? Это должно намекнуть на то, что у этой задачи есть красивое геометрическое решение, то, иными словами, что можно нарисовать какие-нибудь треугольники, в которых

466: Будут углы, соответственно, так что вот сумма этих Углов будет равна пи, ну или какие-то углы у вас сформируют развёрнутый угол, который даст сумму p. Иными словами вы могли бы ещё геометрии.

467: Решение в этой задачи поискать, что было бы, конечно, интереснее, но менее практично, с моей точки зрения. Вот если вам это геометрическое решение интересно, то я предлагаю, приглашаю вас найти это решение самостоятельно.

468: Либо посмотреть авторское решение этой задачи. Напоминаю, задача 2016 года, вот вы сможете в решениях этой задачи найти стоп. А у нас, если вот тангенс от этого числа получился 0, это мы не можем сказать, что тогда

469: Да, в ответе у нас будет арктангенс от нуля.

470: Нет, потому что, как мы, я хотел бы с вами ещё разобрать 1 задачку, несмотря на то, что мы, наверное, по времени вылезем, но, тем не менее, я бы хотел её разобрать, потому что она нам как раз покажет, что значит

471: Арктангенс от тангенса икс это не всегда равно икс и более того, арктангенс нуля это у нас как раз гарантированно 0.

472: Ответ не 0, поэтому если написать арктангенс с нуля в ответ, то это будет неправильный ответ. А можно ещё раз, почему 0 не подходит?

473: Ну, как минимум, потому что вот если ты посмотришь на исходное выражение, вот это явно положительная какая-то штука. И вот это явно положительная какая-то штука. То есть у тебя получается, что 2 положительных штуки плюс положительные

474: Штука это не может быть нулём никак. А если более конкретно, вот мы написали неравенство, ну, ну, скажем, это в каком-то смысле неравенство, которые у нас описывают, какие могут быть альфа и бета.

475: Ну, которые мы, собственно, из тех же изображений вытащили, что альфа должна быть от нуля до пи пополам. По определению бета такая же. И, соответственно, 2 альфа плюс бета нулём быть не могут, могут быть от нуля до 3 пи пополам. Обе части не включительно.

476: Ответил на вопрос то есть можно было сказать так тангенс равен нулю в 2 точках. Вот, но так как у нас эта штука положительная, ответ точно не 0, и поэтому ответ p тангенс равен нулю не в 2 точках.

477: Равен нулю в бесконечном числе точек пика точках. То есть вот отсюда, отсюда, мы могли бы сказать, что 2 alpha плюс beta равно пика. Вот, вот. Ну да, да, я об этом же. Вот. No, ка то нам все равно нужно как-то

478: Определить это неправильный ответ. У альфа плюс бета есть какое-то конкретное значение и нам нужно это значение найти. Вот значение находится из собственно вот оценок на альфа и бета. То есть можно было не рисовать

479: Метрическую окружность. Можно было сказать, что 2 alpha плюс beta равно пи-ка, как будто мы решаем гонометрией уравнение потом уже с помощью вот этой оценки вот этого закона найти, что 2 альфа плюс бета в точности равно пи.

480: Понял. Вот, с вашего позволения, я начну решать ещё 1 задачу. Объясню вам её идею, а потом, скажем так, те. Захочет уйти.

481: Смогут уйти, я как бы не настаиваю, но все-таки это важная для понимания и для решения олимпиад идея, поэтому я бы хотел её вам рассказать.

482: Вот соответственно если вдруг кому-то нужно будет прямо уйти, я вас попрошу это посмотреть на записи, я извиняюсь, что я немножко задержу вас так или иначе, но скажем так, это можете считать, что это как bonus для вас, который можно

483: Смотреть можно не смотреть, но я рекомендую все-таки посмотреть его. Давайте решим вот такую задачку. Из 2019 года нужно найти все значения, которые может принимать выражение 3 арксинус, икс, - 2. Арккосинус, игрек при усло

484: Что икс в квадрате плюс игрек в квадрате равно единице.

485: Что же делать с такой задачей? Может предложить какую-нибудь идею сходу?

486: Ну x за можно синус, косинус да да, можно сказать, что косинус это синус, ой, икс это синус.

487: Ну это синус Бо игрек это косинус да, идея правильная, сейчас я её сформулирую по честному смотрите как правильно это описывать словами икс в квадрате ну опять же, что нужно написать на олимпиаде нужно написать, что x в qa.

488: В квадрате плюс игрек в квадрате равно единице, да и только тогда, когда существует некоторый угол, давайте его обозначим. Фи греческое. Значит, существует угол фи.

489: Такой, что косинус фи в квадрате плюс синус в квадрате фи равно единице. Иными словами, такой, что икс равно косинус фи, а игрек равно синус фи.

490: Как это объяснить самому себе? Икс в квадрате плюс игрек в квадрате равно единице это уравнение единичной окружности. А любую точку на единичной окружности мы можем задать с помощью угла и по определению у нас тогда у

491: Этой точки будет абсцисса косинус этого угла ордината, синус этого угла. То есть такая замена абсолютно оправдана, причём угол фи определяется однозначно, в зависимости от значения икс и игрек.

492: И здесь действительно удобно видеть, что у нас тут арксинус икс, поэтому лучше взять с как синус.

493: Арккосинус игрек здесь взять игрек косинус это будет просто банально удобнее, и тогда нас просят найти все значения выражения и арксинус синуса фи - 2 a.

494: Косинус, косинус, афи.

495: И самое худшее, что вы можете сделать в этой ситуации, это сказать, что арксинус синуса фи равен фи, а арккосинус косинуса фи тоже равен фи.

496: Несмотря на то, что-то since от арксинуса, это, ну, Рафи, а наоборот, оно не так работает, насколько я поняла, действительно, смотрите, то есть, ну, для ребят, которые там

497: На курсе у нас есть, это уже должно быть железным правилом, но я объясняю, в чем здесь конкретно проблема.

498: Действительно, как было сказано, если мы возьмём синус от арксинуса,

499: Давайте икс напишем, тут всегда вернётся икс всегда, но у нас есть здесь ограничение на x возникает так, как у нас xx под арксинусом находится.

500: То у нас есть ограничение икс должен быть от минус пи пополам x должен быть от минус единицы до единицы.

501: Это обязательное ограничение, оно здесь появляется, когда мы говорим про синус араксину.

502: Теперь смотрите, давайте мы напишем арксинус от синуса. Икс вопрос сюда есть какие-то ограничения на x, которые мы можем подставить?

503: Правильный ответ нет, потому что ix находится под синусом и since всегда съест любое число, которое мы в него запихнём и вернёт какое-то значение от минус единицы до единицы, то есть арксинус у нас будет от правильного.

504: Аргумент в since мы можем любое число впихнуть? Получается, здесь ограничений нет, но вот возникает проблема. Смотрите, а если я вас попрошу почитать, например, к синус от синуса, от 3 пи,

505: Полам, вы мне скажете. Ну, понятно, что аркси, что since 3 пи пополам это - 1 арксинус от минус единицы. Это минус пи пополам, это

506: Угол такой угол, по определению от минус пи пополам до пи пополам, и, как вы можете видеть, здесь не достигается того, что арксинус синуса икс равен x. Такого нет.

507: Но как нам бороться с этой проблемой? Смотрите.

508: Есть другой вариант. Вы точно можете сказать следующее, что арксинус точно так же, как и арккосинус. Ну ладно, давайте так, арксинус от синуса икс равно.

509: X при условии, что x от минус пи пополам до пи пополам.

510: На этом Вале, на этом отрезке. Точнее, вот это равенство достигается. Ну это просто следует из того, как мы арксинус определили.

511: Хорошо, теперь давайте предположим, что у нас x, например, находится в интервале от 5 пи пополам до ну давайте 7 пи пополам.

512: Вот что нам делать, что нам делать в такой ситуации x plus p.

513: X plus p. Нам не поможет, нам нужно ввести такую замену смотрите x. Ну давайте с волной равно икс плюс что-то такое, чтобы икс с волной был от минус пи до.

514: Минус пи пополам, до пи пополам в данном случае смотрите чтобы 5 пи пополам перешло в минус пи пополам, нужно из x вычесть 6 пи пополам, то есть вычесть 3 пи.

515: Вводите вот такую замену, да когда икс равно икс волной + 3 p. Дальше что получается начинаете расписывать арксинус синуса x. Вместо x пишем икс с волной + 3 пи.

516: Можем мы что-то сделать вот с икс волной + 3 пи.

517: У нас есть, кстати, я почему-то в начале забыл сказать, но я предположил, что вы все это хорошо понимаете. У нас есть замечательные формулы приведения с моторчиком, и они нам говорят, что синус икс волной + 3 пи.

518: Это тоже самое, что минус синус икс волной. Согласны здесь?

519: При этом синус функция нечётная, значит, минус нужно вынести за арксинус.

520: И у нас останется арксинус синуса икс с волной, а икс с волной вот он он принадлежит отрезку на этом отрезке арксинус синуса икс с волной будет равен просто икс с волной, ну и, наконец, нужно сделать обрат.

521: Замену и получить, что минус икс с волной это у нас 3 пи минус икс.

522: А изначально мы начали, собственно, с выражения арксинус синуса икс.

523: И вот таким способом вы можете посчитать, чему у вас равен синус синуса любого аргумента.

524: Что это понятно? И чтоб немножко времени сэкономить, я вам не буду до конца дорешивать эту задачу, потому что все идеи, которые здесь есть, я вам уже объяснил. Ну, точнее, вы мне их уже

525: Dali вот типа замены и как считать арксинус синус арккосинус косинус вот обратите внимание да, что когда вы будете считать там арккосинус косинуса, если у вас получается такое такая штука арккосинус ми.

526: Минус косинус икс волной, то здесь нельзя писать, что это минус арккосинус косинуса, икс с волной, потому что арккосинус не является чётной функцией, но здесь можно применить тождество для арккосинус, которое скажет вам, что это пи.

527: Минус аркосинус.

528: Косинус икс волной, ну и дальше посчитается.

529: Вот в этом моменте будьте аккуратны, собственно, как вот эту задачу то решать ой, прошу прощения, как её дорешать, то нужно сказать, что такая замена работает, если мы берём какое-то vi от нуля до 2 пи.

530: И дальше разбить вот этот полуинтервал на 4 области.

531: 1 область, это будет фи от нуля до пи пополам. В этой области у вас арксинус синуса равен фи арккосинус косинуса равен фи. И вы просто, ну смотрите.

532: Какие значения будут? Ну, давайте вот для этой области это проделаем, да, то есть в 1 области и принадлежит от нуля до пи пополам.

533: Тогда.

534: Ксинус синуса фи равно фи.

535: А косинус косинуса фи равно фи.

536: И тогда 3 фи - 2 фи равно фи.

537: Какие значения принимает фи от нуля до пи пополам, мы только что это написали.

538: Собственно, вы посчитали, какие значения принимает ваше выражение вот на этом отрезке. Дальше вы берете следующую область фи, там пи пополам, до пи.

539: Здесь арккосинус косинуса фи все ещё равен фи, да, потому что это у нас работает для косинуса. Это работает от нуля до пи. А вот арксинус синуса фи тут уже, ну,

540: Нужно делать замену.

541: И как будет здесь замена выглядеть чтобы пи пополам перешло в минус пи пополам нужно сказать, что у вас фи с волной это фи минус пи, то есть vi это vi с волной плюс p.

542: Такую замену нужно сделать, тогда у вас получится арксинус.

543: Синуса фи с волной плюс p.

544: Синус фи с волной плюс p это арксинус минус синуса фи с волной, это минус фи с волной иными словами это пи минус фи.

545: И тогда у вас получится следующее и и минус фи, потому что у нас выражение с арксинусом вот тут шло 1 и пи минус фи - 2 фи это будет и p минус.

546: 5 p. Дальше 5 vi принадлежит 5 пи пополам.

547: До 5 p. Используя вот это вот.

548: Соответственно, минус фи.

549: Это от - 5 пи пополам до - 5 ой от - 5 p до минус пи пополам, 5 пи пополам и, наконец, пи пи - 5 vi.

550: От - 2 пи до пи пополам получается.

551: Вот у вас получился ещё 1 отрезок. Ну и если вы проделаете это для 2 оставшихся четвертей, где может находиться фи, и потом все эти отрезки объедините. Есть вот этот отрезок, вот этот отрезок.

552: Ну, это полуинтервал, не отрезок. Прошу прощения, вот этот отрезок, вот этот полуинтервал, вы получите ваш итоговый ответ. Какие значения может принимать ваше выражение?

553: Так.

554: Есть ли вопросы по тому, какая идея решения у этой задачи?

555: Похоже, что нет. Последнее, что я хочу сказать, это совсем минутки займёт, потому что это все ещё важная информация. Но после этого уже точно все. Я вижу, что вы пока не отключаетесь. Спасибо вам большое, поэтому я все-таки мысль закончу, как

556: Построить график функции, например, ксинус.

557: Синуса икс

558: Как это знают. Ребята с курса уже знают, как это делать. А я вам тоже расскажу. Давайте 1, что мы проанализируем, есть ли область определения у этой функции, как мы уже сказали, нет, потому что в since можно скормить любое

559: Аргумент, то есть аргумент может быть любой область определения, все действительные числа. Есть ли ограничения на область значений, есть

560: Арксинус у нас принимает значение от минус пи пополам до пи пополам.

561: Ну что самое важное для нас, для нас самое важное то, что эта функция периодична. Почему? Потому что периодичен синус, то есть если вы аргумент будете изменять по p синус это изменение будет съедать, а соответственно ваша функция

562: Периодично.

563: Периодично.

564: С периодом 2 пи.

565: А ещё что мы знаем про эту функцию? Мы знаем, что на

566: X от минус единицы до единицы игрек, равно икс.

567: Я тут перепутал, да, все-таки здесь.

568: А нет, здесь от минус пи пополам, до пи пополам. Игрек равно икс. Ну и это нам позволяет картинку нарисовать. Смотрите.

569: Давайте я тут много пространства возьму и вот здесь я отмечу пи пополам, здесь я отмечу минус пи пополам и здесь тоже на отмечаю пи пополам. P 3 пи.

570: Пополам 2 пи и так далее. И здесь минус пи пополам, минус пи, - 3 пи пополам, - 2 пи.

571: Давайте рисовать на отрезке от минус пи пополам до пи пополам. Игрек равно икс рисуем прямую линию. Вот она.

572: Что мы делаем дальше? Дальше мы продолжаем эту функцию по периоду у нас период 2 p. Поэтому если мы от минус пи пополам шагнём на 2 пи, то есть вот сюда, в 3 пи пополам, здесь это снова будет вот такая.

573: Прямая линия и в обратную сторону это работает. То есть у нас как-то вот так ещё функция пойдёт.

574: А как нам закрыть оставшиеся отрезки? Мы уже знаем, как. Смотрите, у нас вот тут посчитано, да, арксинус синуса фи фи от пополам, если мы продолжим.

575: Ну, то есть если мы возьмём фи и пополам, и пополам.

576: То у нас замена будет та же самая фи с волной будет фи минус пи.

577: И будет fi волной плюс p. И в итоге мы придём к тому, что точно также, как вот здесь ксинус синуса фи равен минус фи, давайте я это запишу.

578: Ак синус синуса фи равен пи минус фи.

579: И тогда мы вот на этом отрезке рисуем эту картинку от пи пополам до 3 пи пополам это вот здесь а p минус фи, смотрите в точке пи пополам.

580: Это пи пополам в точке 3 пи пополам, это минус пи пополам, а во всем остальном месте это просто прямая.

581: Нарисовали. И теперь мы вот эту прямую продолжаем по периоду 2 пи.

582: То есть график.

583: Арксинус синус икс получается вот такой вот у вас косой линией, ой, не косой линией, таким зигзагом у вас получается.

584: И, ну, эта информация важна, если вдруг у вас где-то в задачах встретится опять конструкция вида арксинус синус икс, а она встречается достаточно часто, ну, когда речь идёт об обратных

585: Так, все, спасибо, что вы меня выслушали немножко. Я не уложился в 2 часа, но я надеюсь, что вы меня простите и примите вот этот красивый график в качестве моего извинения, есть ли у вас какие-нибудь

586: Вопросы, а вот домашняя работа, она, как бы, где её найти, она будет или нет? Смотрите, давайте мы сделаем так, прям домашней работы нет. Я предложу вам несколько задач для самостоятельного решения, чтоб вы так или ина.

587: Закрепили или может какие-то новые идеи нашли, так или иначе. И потом, собственно, ну я скину вам просто эти задачи в ближайшее время они у меня подобраны, я просто

588: Соберу их в 1 место и скину вам их с указанием года олимпиады, в котором была эта задача. И, соответственно, их не нужно будет никуда сдавать. То есть мне, мне это не

589: Нужно, но вы можете их решить и сверить решение. Либо если вы в каком-то моменте застряли, или у вас есть какие-то вопросы по задаче, или вам хочется какую-нибудь подсказку, или ещё что-то вы сможете написать?

590: Мне, и я постараюсь всем ответить по поводу всех ваших вопросов. Касаемо того, как каждую из задач решать. Вот. То есть это не совсем домашнее задание, это задачки для самостоятельного решения. Опять же, в них как бы нет обяза

591: Но они для вашей пользы. Я вам рекомендую, конечно, их решать, нарешивать, собственно, отрабатывать навык применения всех Приёмов, о которых мы с вами говорим на занятии и которых вы знали до этого. Вот такой ответ. А я ещё слышала насчёт

592: Степика, что там тоже есть какие-то задачи. Так, по поводу задач на степике. Это вопрос скорее к антону, потому что он занимается степиком, но я могу у него сам уточнить по поводу Степика, ну

593: На степике, там просто как бы сборник всех задач с омо по темам распределён. Ну, как я понимаю, да, то есть, по сути, там просто все задачи, которые вы можете смотреть, в частности, те, которые мы сегодня решали, они тоже, ну, само, поэтому вы их там встретите.

594: Вот, и ещё момент, я так понимаю, что вам в скором времени должны дать доступ к

595: Вот, да, собственно, как раз вопрос, ответ на вопрос в чате я спросил у антона доступ пока ещё не открыли, должны это сделать в ближайшее время. Собственно, мы там скинем ссылку, чтоб вы смогли его наблюдать и

596: И вы сможете посмотреть в записи какие-то занятия, которые мы проводили в течение курса. Там, в частности, по тригонометрии тоже была, было несколько занятий, там была тригонометрия не только само, но тем не менее, это может быть вам полезно.

597: Вот, если у вас будет желание и время тоже, можете это посмотреть. Но пока, вот пока, к сожалению, ещё не успели это настроить. Я надеюсь, что в ближайшее время это будет все.

598: Так, ещё какие-нибудь вопросы? Давайте всем отвечу.

599: Угу. Файл этот, который вы сегодня писали, вы смо скинете, да, конечно, если, если вам это нужно, то, конечно, да, да, да. Вышлю этот файл без проблем. Вот запись тоже, либо уже сегодня, либо завтра с утра посмотрим, насколько она быстро.

600: У меня скомпилируется запись тоже будет. Вот не стесняйтесь, если что, задавать вопросы в чат. Опять же, там вопросы по заданиям, вопросы по занятию, вопросы по каким-то организационным моментам.

601: Пишите это в чат, мы на все будем отвечать оперативно. Не стесняйтесь. У меня такой вопрос. Вы с антоном будете поочерёдно вести занятия? Ну почти не совсем поочерёдно. Мы там разбили, собственно.

602: На занятия там на несколько штук. Если я правильно помню, то понедельник, вторник и четверг занятия проведёт Антон, а оставшиеся среду, пятницу и субботу проведу я занятия. Вот вы.

603: Можете по расписанию посмотреть и свериться, какие это будут темы.

604: Вот. Все, спасибо. Угу.

605: Так, ну что ж, ладно, мы и так с вами немножко задержались. Спасибо большое всем, кто меня дослушал. Я это очень ценю. Надеюсь, что вам было интересно. Ну и полезно в том числе.

606: Приходите завтра обязательно на следующий день интенсива и решайте задачки, которые я в ближайшем времени вам скину. Спасибо вам за ваше внимание. Удачи вам в ближайшие 2 дня, потому что мы с вами увидимся только

607: В среду хорошей подготовки в этот период.