0: Приветствую всех зрителей моего канала. Меня зовут Ирина. И в этом видео мы начнём с вами разбирать тему по алгебре 8 класса. Рациональные выражения, но поскольку рациональные выражения действия с ними основаны в принципе на

1: Тех законах и действиях, которые мы осуществляли с рациональными числами, то я предлагаю немножко вспомнить о том, что такое рациональные числа, какие действия и как мы с ними производили. И уже потом мы плавно с вами перейдём к ра.

2: Рациональным выражением, чтобы как бы вот эту преемственность для себя снова уяснить, чтобы не получалось, что рациональные числа где-то отдельно, а рациональные выражения это что-то отдельное на самом

3: Деле. Все это взаимосвязано в предыдущих классах. Мы с вами постепенно познакомились с рациональными числами. И сначала это были натуральные числа, числа, которые мы используем при

4: Счёте. То есть 1, что мы с вами узнали, это натуральные числа. Если их представить на числовой оси, то они будут расположены правее нуля, но 0 не входит в понятие натуральных чисел. 0 мы не используем при

5: Счёте, то есть это все числа от 1 до плюс бесконечности, которые мы используем, когда что-то хотим посчитать. Там 1, 1 ложка, 2 ложки, 3 ложки, там 1 яблоко, 2 яблока, 10 яблок, 15 яблок и так далее.

6: Или там 1 этаж, 2 этаж, 3 этаж. Далее мы с вами научились складывать, вычитать натуральные числа, умножать, делить. Познакомились с различными законами сложения, умножения. Значит, вспоминаем. Да, у нас

7: Там с вами был переместительный закон сложения, что от перемены мест слагаемых сумма не меняется. То есть, если 2 + 3 и 3 + 2, это 1 и тоже был сочетательный закон, был распределитель.

8: Закон, то есть много всяких законов, которые мы использовали при сложении, умножении, делении. Дальше у нас с вами добавились числа отрицательные и нуль. Значит, добавились отрицательные числа и нуль.

9: То есть расширилась наша с вами ось координатная в обе стороны, значит, появился нуль, появились числа справа от нуля все те же натуральные числа до плюс бесконечности, но

10: Появились и числа левее нуля, и эти числа мы стали наименовать целыми числами, то есть совокупность натуральных чисел нуля и отрицательных чисел составило множество целых.

11: Чисел мы с вами поняли, что любому положительному числу соответствует противоположное ему отрицательное число. Мы с вами учились складывать и вычитать целые числа, умножать и делить.

12: Давайте коротенечко вспомним. Значит, если у нас с вами складывается 2 положительных числа, например, + 2 + 3, результат у нас будет с плюсом и мы абсолютные значения чисел скла.

13: То есть 2 + 3 это 5. Мы можем это с вами показать на координатной оси, если мы возьмём 0 и что значит + 2, это значит, что выберем единичный отрезок. Пусть это будет 1.

14: + 2. Это значит, что мы должны от нуля перейти на 2 деления. То есть вот сюда + 2 и ещё от этого места перейти на + 3. Значит это будет 1, 2, 3.

15: + 3 и мы с вами оказываемся здесь будет 3, 4, 5. Оказываемся в точке с координатой + 5. Таким образом, действительно, когда мы складываем 2 положительных числа,

16: То мы все время двигаемся вправо от нуля. Сначала мы подвинулись на 2 деления, потом ещё на 3 деления, и в общей сложности мы оказались на 5 делений от нуля. Длина этого отрезка составляет 5. Значит, сумма

17: Равна 5 можно было поступить другим способом. Можно было сделать наоборот. + 3, а потом + 2. То есть мы могли сначала сделать прыжок на + 3, а уже от него сделать

18: Прыжок на + 2, и мы все равно оказываемся в точке + 5. Это просто лишний раз подтверждает верность переместительного закона сложения, что от перемены мест слагаемых сумма не меняется. Рассмотрим теперь.

19: Ситуацию, когда у нас 2 отрицательных числа. То есть мы хотим выполнить такое действие. -2 - 3. Произвести вычисление нужно. Мы с вами говорим о том, что это тоже сложение. То есть мы абсолютные

20: Величины складываем 2 + 3. Это 5, но только результат этого сложения будет с минусом, потому что оба числа отрицательные. Давайте теперь посмотрим, как это выглядит на координатной оси. На этот раз мы будем с вами, направляя

21: Влево от нуля. То есть у нас с вами есть нуль, и мы будем двигаться влево от него. Вот пусть будет наш нуль и мы от него двигаемся в минус бесконечность, потому что

22: Наша бесконечна, и она движется бесконечно, может быть продлена вправо и бесконечно продлена влево. Просто направление мы всегда указываем в положительную сторону. Значит, мы должны с вами от нуля сначала отправиться на - 2.

23: То есть вот это будет у нас - 1 единичный отрезок, - 1, - 2. Вот на 2 таких отрезка мы отправились, а потом ещё на - 3. То есть 1, 2, 3 в сторону минуса бесконечности минус.

24: 3, где мы окажемся? - 1, - 2, - 3, -4 - 5. Мы оказались с вами в точке - 5. Тоже самое, как и в случае сложения положительных чисел. У нас будет с вами де.

25: Переместительный закон, неважно. Если мы сделаем -3 - 2, мы все равно получим - 5, потому что неважно. Сначала мы сделаем прыжок в - 3.

26: И потом, - 2 мы все равно окажемся с вами в точке - 5. То есть обратите внимание, что и в этом, и в этом случае мы двигаемся все время в 1 направлении. Только если у нас 2 положительных числа складываются, то мы все время

27: Двигаемся в правую сторону в плюс бесконечность и поэтому сумма наша тоже с плюсом получается. А если мы с вами складываем 2 отрицательных числа, то мы все время двигаемся в левую сторону, в сторону минус бесконечности и поэтому результат

28: Сложение будет тоже с минусом. Фактически как можно записать это выражение по другому? Это - 2 плюс - 3. То есть это действительно сложение. Теперь давайте рассмотрим, когда у нас с вами складываются 2 числа

29: Разными знаками. Предположим, нам нужно с вами сложить -2 + 3. Давайте посмотрим, что здесь происходит. Значит, чертим снова ось координатную и смотрим, что произойдёт.

30: Значит, вот у нас с вами 0, здесь у нас плюс бесконечность, здесь минус бесконечность, единичный отрезок, 2 клеточки. И смотрите, 1, что мы должны сделать, что значит - 2, это значит, что мы должны влево от нуля отскочить.

31: На 2 деления - 1, - 2. То есть вот мы отскакиваем сюда - 2, а что значит + 3? Это значит, что от этой точки мы должны отскочить вправо на 3 таких деления. И где мы с вами окажемся

32: Мы окажемся в точке + 1. То есть результатом этого сложения будет + 1. Ну и действительно, обратите внимание, если мы с вами переставим местами эти 2 числа, только помните об 1.

33: Что в данном случае знак и число это 1 целое, и мы не можем с вами переставлять числа без их знаков. То есть вот - 2 и + 3 это как бы 2 таких меча бильярдных шара, которые мы можем, собственно, переставить.

34: Местами, но только вместе со знаком. То есть мы можем записать + 3 - 2, а это ничто иное, как обычное вычитание, которое мы привыкли делать с 1 класса. И действительно получается + 1. Теперь давайте сделаем тот же самый пример, только Немно

35: Немножко иначе. Давайте выполним вот такое действие. + 2 - 3. Снова начертим нашу ось, снова поставим 0 единичный отрезок и посмотрим, что у нас происходит. Теперь. Значит, 1 прыжок у нас.

36: С вами + 2, это значит прыжок вправо на 2 вот таких единичных отрезка мы оказываемся в точке 2, а дальше мы должны совершить прыжок в противоположную сторону, в сторону минус.

37: Бесконечности на величину 3 этих отрезков. То есть вот 1, 2. И вот будет 3 - 1. То есть вот на эти 3 отрезка мы совершаем прыжок влево, - 3. И в результате мы с вами ока,

38: Казались в точке - 1, в точке - 1. То есть результатом этого действия будет - 1. Значит, получается, что и в этом случае это тоже вычитание. То есть мы из 3 вычли

39: 2 и получили 1. Но поскольку число 3 больше, чем число 2, его знак побеждает, то есть за счёт того, что вот этот отрезок длиньше, чем вот этот, произошёл переход через 0, и мы оказались в отрица.

40: Части, поэтому результат с минусом это то, что касается сложения, вычитания вот целых чисел. Что касается умножения деления, там тоже были свои правила и их нужно вспомнить, потому что они обязательно нам с вами в дальнейшем

41: Понадобится, значит, если мы хотим с вами умножить числа, например, ну, если мы 2 умножаем на 3, то, соответственно, получаем 6. То есть результат такой, если мы плюс умножаем на плюс, мы в результате получаем плюс

42: Тоже самое произойдёт. Если мы - 2 умножим на - 3, мы тоже получим 6. То есть если мы минус умножаем на минус, мы все равно получаем плюс, если мы с вами умножаем - 2 на 3.

43: То мы получим - 6 или если мы 2 умножим на - 3, мы все равно получим - 6. То есть если 1 из множителей отрицательный плюс на минус даёт минус, то есть запоминаем, что при умножении плюс на

44: Минус или минус на плюс будет давать минус результат будет минус такая же ситуация возникает. Если нам нужно раскрывать скобки. Когда мы раскрывали с вами скобки, там тоже нужно было произвести умножение по

45: Поэтому закон срабатывает, и там, ну, например, у нас с вами есть число 2, которое мы умножаем на 3 - 5. Как мы здесь поступаем, мы раскрывали с вами скобки, мы умножали двойку на 1 слагаемое, причём помни,

46: Что здесь + 3. То есть у нас 2 умножалось на + 3, а дальше та же самая двойка со знаком плюс потому что у неё тут тоже плюс умножалась уже на - 5 и получалось здесь плюс на плюс даёт плюс

47: Будет + 6, а здесь плюс на минус, по правилу даёт минус, это будет - 10. И, соответственно, ответ какой будет это у нас вычитание 6 - 10. Это вычитание 10 - 6, 4 и

48: Поскольку 10 больше, чем 6, знак её побеждает, вспоминаем снова нашу ось мысленно да вот у нас 0 1 прыжок был на + 6, и оказались в точке 6, а потом прыжок на - 10.

49: Мы перешли через 0 и оказались в точке - 4. И смотрите, что происходит. Значит, если у нас с вами перед скобкой стоит знак плюс, а в скобке какие-то числа находятся со своими знаками, то мы фактически, мы же умножаем

50: Потому что плюс это единица, + 1, умноженное на 3 и получается плюс на плюс это плюс, плюс на минус, это минус. То есть знаки не меняются. Если у нас перед скобкой стоит знак плюс, мы можем их просто опустить и записать.

51: Без скобок 3 - 5. А вот если у нас с вами перед скобкой будет стоять минус, то если нам скобки нужно раскрыть, то мы должны помнить, что здесь -1 - 1 умножаем на + 3 минус на плюс даёт.

52: Минус это будет - 3, а - 1 на - 5 минус на минус даст плюс + 5. То есть происходит следующее. Если перед скобкой стоит знак минус, то знаки внутри скобки меняются при открытии этих скобок. Вот это тоже

53: Нужно помнить дальше. Это мы с вами выполняли действия с целыми числами. Далее мы с вами познакомились с таким понятием, как дробь, дробь. Это число, которое мы запи.

54: В виде отношения а. К бэ, то есть дальше возникают дроби это выражение, которое мы записываем в виде отношения, например, а. К бэ, где, а у нас с вами это числитель бэ.

55: У нас с вами знаменатель, вспомним, да, поскольку дробь, она всегда показывает часть от целого, то знаменатель у нас с вами показывает количество частей, на которое разделено целое, а числитель показывает то количество частей, которое мы взяли.

56: И вот когда мы с вами к целым числам добавили ещё и дроби, то мы получили с вами множество рациональных чисел. То есть вот давайте это обозначим на оси плюс бесконечность, минус бесконечность то есть у нас были с вами

57: Целые числа возьмём вот такой единичный отрезок, чтобы было удобно. Да, были целые числа - 1, - 2, - 3. И появились дроби, например, там 1, 2 или дробь, там 1 целая.

58: 3/4 или дробь там - 1 целая, 1, 2 или дробь - 1 4 и так далее. То есть когда мы к целым числам добавили ещё с вами дроби мы получили

59: Множество рациональных чисел, множество рациональных чисел. Любое целое число мы можем представить в виде дроби. То есть, если у нас есть число, предположим, 12, то, чтобы его представить в виде дроби, достаточно

60: Добавить знаменатель единица, то есть 12/1, это уже дробь со знаменателем 1, поэтому целые числа, точно так же, как и дроби, называются рациональными, потому что любое целое число мы можем представить в виде дроби.

61: Что ещё нужно вспомнить касаемо целых и, ну, рациональных чисел. Значит, если у нас с вами имеется 2 числа, которые имеют одинаковое абсолютное значение, вот как, например, 1 и - 1 абсолютное значение.

62: Или модуль этих чисел равен единице, но у них разные знаки тут плюс тут минус такие числа называются противоположными, и сумма противоположных чисел всегда будет равна нулю, потому что они обну.

63: Друг друга. Вот такая вещь. Дальше давайте вспомним про дроби с дробями. Мы тоже выполняли различные действия. Сложение, вычитание, умножение, деление. Давайте это немножечко тоже вспомним, потому что это тоже нам с вами понадобится.

64: Значит, сложение и вычитание. Если нам нужно сложить 2 дроби, предположим, дробь 2/5 и дробь 1 5. Эти 2 дроби имеют одинаковый знаменатель, поэтому мы, знаменатель, оставляем тот же самый, а?

65: Числители складываем и получаем дробь 3/5, если нам нужно вычесть дробь 2/5 - 1 5, опять же дроби с одинаковыми знаменателями. Поэтому знаменатель остаётся прежним. А числители вы

66: Читаются и получается дробь 1, 5, другая ситуация. Если у нас с вами дроби имеют разные знаменатели, ну, например, тот же, та же дробь 2/5 и дробь, предположим, 1, 3, и нам нужно их сложить.

67: В этой ситуации 1, что нужно сделать, это найти общий знаменатель, самый простой способ это перемножить эти знаменатели, то есть 5 * 3. Причём такой способ, он, в принципе,

68: Будет использоваться в рациональных дробях. Но бывают и другие ситуации. Сейчас про них тоже вспомним. Тогда мы должны с вами вспомнить, что нужны дополнительные множители. Ведь у нас новый знаменатель образовался. Мы не можем с вами

69: Умножив знаменатель, не умножить на то же самое число и числитель. То есть мы с вами фактически что сделали? Мы 5 умножили на 3, верно? Но, значит, и 2 надо тоже умножить на 3. Обязательно по свойству дроби, чтобы дробь не потеряла своего.

70: Смысла. Если мы, знаменатель, умножаем на какое-то число, то и числитель должны умножить на точно такое же число. А в случае с этой дробью мы на пятёрку это умножаем, потому что мы добавляем пятёрку. Значит, что получается, в числителе у нас с вами будет 2 умножить

71: На 3 это 6 и + 1 * 5. Это 5. И в конце Концов мы получаем дробь 6 + 15 11. И здесь пятнадцатых вот такая будет дробь. Результат этого сложения. Точно также мы поступаем с

72: С вами, если нужно вычесть, находим общий знаменатель и только потом уже вычитаем. Есть ситуации немножко попроще, когда, например, у нас 1 из знаменателей уже является фактически общим знаменателем для

73: Них обоих. Ну, например, если мы хотим сложить дробь 2/5 и 1:15, то общий знаменатель это такое число, которое делится и на 1 знаменатель, и на 2 знаменатель без остатка. В данном случае число 15 делится

74: И на 5 без остатка. Это будет 3, и на 15 тоже делятся. Это будет 1. Значит, должны мы с вами записать, что здесь общий знаменатель будет 15. Чего не хватает здесь, на что надо умножить 5, чтобы получить 15.

75: На 3, верно? Значит, пишем 3 далее. И значит, числитель тоже надо умножить на 3:15. Чтобы получить 15, надо умножить на 1 и числитель на 1. То есть фактически эта дробь у нас не меняется.

76: Тогда, получается, здесь у нас будет 6 + 1, и результат такого сложения будет 7/15. Бывают, конечно, ситуации, когда так вот сразу не заметишь, какой там у них общий знаменатель. Тогда нужно искать наиме.

77: Общее кратное, но в рациональных дробях там как раз будут использоваться вот эти 2 основных способа приведения к общему знаменателю. Дальше что у нас ещё с вами умножение и деление дробей, если нам нужно с вами 2

78: 2 дроби перемножить. Ну, предположим, те же дроби. Возьмём, 2/5 умножим на 3/5, как мы поступаем. В этом случае мы должны с вами отдельно перемножить числители и отдельно.

79: Перемножить знаменатели. То есть картинка будет такая общий, общая черта. И в числителе будет 2 * 3, в знаменателе 5 * 5. Получается 6, 20/5, если

80: Нам нужно разделить, например, дробь 2/5. Нужно разделить на дробь 3/5, то здесь мы поступаем следующим образом. Во первых, деление должно превратиться в умножение. 1 дробь записываем без измене.

81: Деление превращаем в умножение, а вот этот делитель переворачиваем с ног на голову и с вами получаем дробь 5/3, а дальше выполняем такое же умножение, как в предыдущем при

82: То есть перемножаем числители, перемножаем знаменатели, а дальше с вами вспоминаем, что мы, дробь можем не только домножить на одинаковое число. И числитель, и знаменатель. И это никак не повлияет на дробь, но мы можем и разде.

83: Числитель и знаменатель на одинаковое число. То есть мы можем дробь сократить. Если у нас в числителе и в знаменателе есть одинаковое число, то мы его можем просто сократить 5, делить на 5. Это будет 1 и остаётся дробь 2/3. Вот та

84: Какие действия мы производили с вами, с дробями? Все, что мы сейчас с вами делали, мы производили с рациональными числами различные действия. Мы их складывали, вычитали, умножали, делили. Кроме того, мы ещё с вами проходили возведение в

85: Степень. То есть мы проходили с вами степень с натуральным показателем и производили что-то вроде такого. 2 возводили в куб, получали 8, там 4 возводили в квадрат, получали 16. Значит, это ещё 1 из

86: Действий, которые можно производить с рациональными числами. Вспоминаем, про что значит степень. Да, степень имеет основание и имеет показатель. Основание это то число, которое мы, собственно, в степень возводим.

87: Вот, а показатель степени, он показывает, сколько раз вот это число перемножено на само себя. То есть 2 в Кубе. Это на самом деле сокращённая запись вот такого выражения, когда мы число 2 умножили на само себя 3 раза и получили

88: 8, 4 в квадрате это на самом деле 4, умноженное на 4. То есть само на себя 2 раза. Значит, показатель степени показывает, сколько раз вот это число умножено на само себя. Мы с вами производили деление.

89: Умножение степеней. Там тоже были свои правила. Значит, если у нас были с вами числа вот такие 2 в 3 степени мы умножали на 2 в 4 степени, то чтобы это сделать.

90: Мы с вами показатели степеней складывали, то есть мы оставляли то же самое основание, а показатели складывали и получали 2 в 7 степени. То есть и было такое правило, что если мы, а в степени n умножа,

91: На а в степени k то мы получим на самом деле, а в степени n плюс k. Дальше мы с вами ещё делили, например, 2 в степени 4 делили на 2 в степени 2 и тогда для того.

92: Чтобы это сделать, мы с вами основание оставляли тем же самым, а показатель степени вычитали и получали 2 в квадрате, то есть если мы а в степени n делили на а в степени к, то мы с вами показатели степеней вычитали.

93: При этом вот это основание оставалось прежним как была двойка, так и есть, потому что это то число, которое перемножается на само себя, без него вообще никакого, никакой степени не будет, ещё 1 действие, которое мы совершали со степеня.

94: Мы возводили степень в степень, например, 2 в степени 4 мы возводили в квадрат и получали с вами, что нужно эти степени перемножить. То есть получается 2 в 8 степени. То есть, если мы, а в степени

95: Возводили в степень k то эти степени мы с вами показатели степеней должны были перемножить. Ну и действительно, мы с вами там разбирали, почему так, давайте посмотрим, что вот это значит, это значит, что вот это осно.

96: В данном случае 2 в степени 4 это основание, а показатель степени 2, что он показывает? Он показывает, что основание умножается само на себя 2 раза. То есть мы 2 в 4 степени умножали

97: На 2 в 4 степени, а это значит, что мы можем использовать вот это правило. То есть это получается 2 в степени 4 + 4, а это 8, 2 в 8 степени. А как ещё восьмёрку можно получить? Можно 4 умножить на

98: На 2. Вот мы с вами и показали это тоже самое. Мы с вами рассматривали возведение в степень дроби. То есть, если у нас какая-то дробь, например, 2/3 возводится в какую-то степень, например, в 4, да?

99: То, чтобы это сделать, нам необходимо отдельно числитель возвести в эту степень и отдельно знаменатель возвести в эту степень. И тогда получается здесь у нас будет 16, а здесь 81. То есть если мы какую-то

100: Дробь а бетах возводим в степень n, то нам нужно возвести в эту степень числитель и возвести в эту степень знаменатель. Было ещё 1 правило, что если мы какое-то число возводим в 1 степень, то это тоже самое число.

101: И действительно, если мы 2 возведём в 1 степень, что это значит? Это значит, что число 2 умножается на само себя 1 раз, то есть 2, и все. И ещё было 1 правило, что, а в степени 0, это всегда единица, то есть как

102: Какое бы число вы не взяли и не возвели в нулевую степень, у вас всегда получится 1. Какое бы число не было в 0 степени, это всегда будет 1. Почему? Потому что на самом деле здесь используется вот это правило.

103: Смотрите, как получить 0 это число мину, это 2 противоположных числа, например, 2 и - 2, 3 и - 3, 5 и - 5, 10 и - 10. Верно? То есть фактически, например, 2 в степени 0. Мы как можем записать это 2

104: А в степени, например, 2 - 2. Да, мы же не погрешим против истины, если так, запишем 2 - 2 это 0. А давайте воспользуемся теперь нашим правилом вот этим. Вот что это значит. А в степени 2 - 2 это зна.

105: Значит, что мы можем записать 2 в степени 2, делить на 2 в степени 2. То есть, получается, мы можем это записать как 2 в степени 2 / 2 в степени 2. А теперь вспоминайте, когда мы делим число на самое

106: 3 / 3, 1 5 / 5, 1 100 / 101000000 / 1000001. Значит 2 в квадрате делить на 2 в квадрате. Это тоже 1. И вот поэтому мы с вами так, мо,

107: Можем представить любое число 3 в 0 степени. Мы можем представить, как 3 в степени, например, 5 - 5. Это будет 3 в 5 / 3 в 5. Но когда мы число делим на само себя, мы получаем 1. Вот почему любое число в нуле.

108: Степени это единица. Вот это тоже нужно помнить. Значит, вот такие действия мы проводили с вами со степенями, то есть с рациональными числами мы можем ещё проводить возведение в степень. Так дальше. Значит, когда мы с вами

109: Проводим вот эти все сложения, вычитания, умножения, деления, возведение в степень. Мы всякий раз пользуемся с вами числовыми выражениями. Числовое выражение это такая математическая запись, которая состоит из ci.

110: Скобок и знаков действий, значит, числовые выражения. Ну, что-то типа такого. 2,3 - 1,8 возводим в квадрат или там 3/8 плюс.

111: + 2 умножаем на 3/8 - 2. То есть вот это все, это числовые выражения, и мы неоднократно искали их значение. Значит, числовое выражение это запись математическая, которая содержит числа и

112: Скобки и знаки действия, умножение, сложение, вычитание, возведение в степень. Каждое числовое выражение имеет 1 единственное значение или не имеет его совсем. Ну, например, вот такое выражение.

113: 2 - 1 * 5. Если мы выполним действие, вычислим это выражение 2 - 1 это 1 1 * 5 это 5, то мы получим число 5, которое является числовым значением.

114: Числового выражения, то есть это значение числового выражения, и оно может быть единственным, а может и не иметь вообще никакого значения. Например, вот в таком выражении в числовом нет никакого значения, оно не имеет значе.

115: Потому что в знаменателе стоит числовое выражение 2 - 2, а это 0, а делить на 0 нельзя. Поэтому мы с вами получаем числовое выражение, которое не имеет значения или не имеет смысла. То есть

116: Если у нас с вами возникает ситуация деления на 0, а делить на 0 нельзя, то мы говорим о том, что это числовое выражение не имеет значения или не имеет смысла для того, чтобы найти значение выражений. Мы с вами выполняя

117: Определённый порядок действий. То есть мы с вами смотрели. Если в выражении присутствуют скобки, то мы сначала выполняем действия внутри скобок, затем, если присутствует возведение в степень, возводим в

118: Степень. Затем мы выполняем действия, умножения, деления и только потом сложение, вычитание, то есть порядок действий обязательно соблюдаем. Значит, 1, если есть скобки, то-то, что в скобках, потом, если есть сте,

119: Возводим в степень. Дальше мы уже тогда выполняем умножение, деление, если оно есть, и только потом сложение, вычитание. Ну, если у нас с вами, предположим, в каком-то выражении присутствует только сложение, вычитание, они Одина.

120: Одинаковые по рангу, да? Ну, например, там 2 - 8, + 3, - 12, - 5 и так далее. То здесь мы уже действуем просто по порядку. Выполняем действия по порядку. 2 - 8, потом прибавляем 3 потом

121: Вычитаем 12 и потом вычитаем 5. Давайте теперь с вами найдём значение числового выражения и заодно на нём вспомним с вами все, что мы проходили про дроби, про целые числа.

122: Отрицательные, положительные, как выполняются действия. То есть как бы соберём все в кучку в этом примере. Так, значит, давайте посмотрим вот такой пример большой. И давайте 1, с чем разберёмся, это с порядком действия. Значит, вспоминаем, что порядок

123: Действия сначала идут действия в скобках. То есть, если у нас есть скобки, а у нас они есть вот здесь вот они скобки, значит, 1, что мы будем делать, выполнять действия в скобках, в скобках. У нас с вами 2 вычитания минус.

124: 7/15, - 14/45 и - 2/9. То есть, получается здесь внутри у нас сконцентрировались 2 действия, оба вычитания, они одинаковые по рангу, поэтому просто идут по порядку. Значит, вот сделали то, что в скоб

125: Ещё у нас есть скобка, вот она, значит, это будет 3 действие. Нам нужно будет сложить 2 вот этих смешанных дроби. Значит, вспоминаем, да, у нас есть дробь обыкновенная вида, там 3/4, 1 8 и так далее. А

126: Есть дроби смешанные, у которых есть целая часть и есть дробная часть. 1 целая 1 2. То есть есть целое яблоко и ещё половинка этого яблока. Так, дальше. Значит, это у нас с вами 3 действие дальше.

127: Мы с вами должны по рангу смотреть, у нас с вами имеется умножение, вот оно и вот умножение, значит они одинаковые по рангу, значит, идут по порядку. Это будет 4, это будет 5 и остаётся здесь вычитание.

128: Это будет 6 действие. Вот этот минус, это не действие. Этот минус стоит перед скобкой, и мы можем либо сразу его завести в скобку, либо же после того, как вычислим наши

129: Действие внутри скобки. Далее у нас есть с вами вот эта большая черта дробная, это тоже действие деления. Но когда у нас есть такое большое выражение числовое и есть вот эта большая длинная дробная черта, это

130: Действие будет происходить в самом конце. То есть мы сначала считаем все, что у нас будет в числителе, потом считаем все, что будет в знаменателе, и уже потом числитель делим на знаменатель. То есть вот это действие будет самое последнее. Значит здесь смотрим опять

131: У нас с вами присутствуют скобки. Значит, 1 действие мы будем выполнять то, что в скобках, вот давайте и пометим. Значит, 1 действие здесь будет так, значит, 7, оно по счёту. Дальше идёт деление и вычитание, деление.

132: Выше по рангу, значит оно будет следующим и только потом будет вычитание. И уже только после этого наступит время нашего деления. То есть дробной черты. Это будет 10 действие. Вот так покажу таким

133: Образом, нам нужно будет выполнить 10 действий. Ну, некоторые из них я предлагаю выполнить, как бы, объединить в 1 действие. Вот смотрите, у нас есть с вами 1, 2 действие, они оба вычитания, в принципе, нет смысла их отдельно как-то вычи.

134: Числять и плюс есть ещё вот этот минус перед скобкой. Вот давайте 1 действие, оно как бы объединит в себе 1. И 2. Вот так вот я прям сделаю и запишу вот эту часть. Минус скобочка, - 7.

135: Пятнадцатых, - 14/45, - 2/9. И 1, с чего начну, я попытаюсь избавиться от скобки, потому что, ну, она мне мешает, да, и плюс минус вот этот, ну, как-то он висит.

136: В каком-то воздухе непонятном. И давайте вот здесь как раз вспомним правило. Если мы хотим раскрыть скобки, перед которой стоит знак минус, он раскрывает эти скобки, меняет все знаки внутри скобки на противоположные. Почему? Потому что под этим

137: Минусом скрывается на самом деле - 1, а здесь умножение просто в математике математики стремятся опускать все, что можно. То есть, если можно не писать знак умножения, давайте не будем писать, если можно не писать единицу. Давай.

138: Давайте не будем её писать. То есть вот под этим минусом на самом деле скрывается число - 1, которое умножается на вот эту скобку. А мы же с вами умеем умножать число на скобку, как мы это делали, мы это число должны умножить на

139: Каждое слагаемое этой скобки. А здесь у нас с вами 3 слагаемых. Причём вспоминайте, что я говорила. Числа сейчас со своим знаком. Это 1 целое. То есть знаки не болтаются в воздухе, они принадлежат числам.

140: Перед которыми стоят. Значит, здесь у нас с вами 3 числа. И каждое из этих чисел мы должны умножить на - 1. И что у нас получается, если мы с вами - 1 умножим на - 7/15, вспоминаем минус на минус.

141: При умножении даёт плюс, а когда мы умножаем число на единицу, остаётся тоже самое число, только оно будет теперь со знаком. Плюс за счёт того, что минус на минус даёт плюс точно также. И здесь - 1 на - 14/45, это будет + 14/45.

142: Потому что опять же, минус на минус даёт плюс. И здесь - 1 на - 2/9. Это будет + 2/9. Таким образом, благодаря тому, что мы раскрыли скобки, мы избавились от вычитания. Оказывается здесь сложение и нам нужно с вами сложить дроби с разными знамёна.

143: А чтобы это сделать, нам необходимо найти общий знаменатель, общий знаменатель это число, которое делится без остатка на каждый из 3 знаменателей. То есть надо найти число, которое делится на 15, делится на 45 и Дели.

144: На 9. И вот здесь та ситуация, про которую я говорила, что 1 из знаменателей уже является общим знаменателем, и этот знаменатель 45 45 делится на 15, это будет 3:45 делится.

145: На 45 это будет 1:45 делится на 9. Это будет 5. Значит, мы можем с вами записать, что общий знаменатель у этих 3 дробей, это 45. Ну а дальше мы с вами вспоминаем. Чтобы получить из 15:45, нужно обязательно умножить

146: На 3, причём не только знаменатель, но и числитель чтобы из девятки получить 45, надо её умножить на 5, причём не только знаменатель, но и числитель. И тогда мы с вами получаем в числителе 7 * 3. Это будет 21.

147: + 14, потому что 45 так и остаётся. Нам его нужно умножить на 1, чтобы получить 45, значит и 14 умножаем на 1. То есть дробь не меняется. Как была 14/45, так и остаётся. А вот дробь 2.

148: Девятых превращается в дробь 10/45. То есть здесь будет + 10. Теперь нам нужно сложить все, что здесь есть. 21 и 14. Это будет 35, 35 и 10. Это будет 45. То есть у нас получилась дробь 45.

149: 5/45 эта дробь неправильная, и если она имеет одинаковый числитель и одинаковый знаменатель, то такая дробь равна целому. То есть мы взяли 45 частей из 45 частей.

150: То есть, если мы взяли с вами пиццу, разделили её на 45 частей и вместо того, чтобы с кем-то поделиться, все 45 частей съели сами, то в результате мы съели целую пиццу, правильно? Поэтому, ну и плюс.

151: Ко всему, дробь это деление. А когда мы число делим на само себя, мы получаем единицу. Поэтому результат этого действия будет единица. Дальше. 3 действие. Нужно сложить 2 дроби. Давайте запишем, значит, дробь.

152: - 1, целая 3/4 + 2 целых 2/3. Значит, смотрите, можно поступить 2 способами. Когда мы с вами проходили смешанные дроби, у нас было 2 способа их сложения.

153: И вычитание 1 способ это сложить или вычесть отдельно целые части и отдельно дробные части, потому что вспоминайте между целой и дробной частью на самом деле скрывается знак плюс, опять же, уловки математиков, чтобы

154: Не писать лишние знаки, они их просто опускают, но на самом деле тут спрятано вот знак плюс. То есть, по идее эту дробь можно записать так минус и в скобочках 1 + 3/4. Вот так. А вот эту дробь

155: Можно записать как 2 + 2/3. То есть вот таким образом можно поступить по другому, можно превратить эти 2 смешанные дроби в неправильные дроби, а для этого пользуемся правилом, которое гласит

156: Как перевести дробь из смешанной в неправильную? Нам нужно числитель знаменатель, умножить на целое и прибавить числитель. То есть надо 4 * 1 и прибавить 3. Это получится 7. То есть на самом деле как

157: Получается дробь - 7/4. Значит, что мы сделали? Мы с вами. Давайте так, раз уж вспоминать, так вспоминать, значит, мы с вами берём минус, пока ставим перед дробью. Дробная черта. Знаменатель остаётся.

158: Тот же самый, потому что количество частей, на которое разделено целое, не меняется. Как разделили пиццу на 4 части, так оно и есть. И теперь перемножаем, значит, 1 умножаем на 4 и прибавляем 3. Точно также поступим и здесь.

159: + 2 * 3, 2, умножить на 3 и + 2. И в знаменателе, соответственно, тройка так и остаётся. И таким образом мы с вами получаем 2 неправильные дроби. Здесь получается 4 + 3. Это 7. То есть это будет

160: - 7/4. А здесь 2 * 3, 6, 6 + 2, 8, 8/3. И дальше нам нужно эти дроби с вами сложить. Дроби не имеют общего знаменателя. То есть у них разные знаменатели и общий знаменатель нужно найти

161: Обратите внимание. 4 и 3 маленькие числа, 3 на 4 не делятся, 4 на 3 тоже не поделишь. То есть ни четвёрка, ни тройка не могут являться общим знаменателем. Значит, давайте их перемножим. То есть это 2 способ найти общий знаменатель. Взять и перемно.

162: Умножить эти 2 числа. Тогда нам нужно найти дополнительный множитель для наших дробей. Значит, сюда нам нужно добавить тройку. Значит, и в числитель, и знаменатель. Добавляем тройку, а сюда четвёрку и в числитель, и знаменатель. И тогда у

163: У нас в числителе получается минус 7 * 3 21 и плюс 8 * 4 32. Дальше смотрите, у нас с вами -21 + 32. Мы можем эти 2 числа переставить места.

164: То есть мы можем записать 32 - 21 и 4 * 3, соответственно, 12, ну и вычтем 32 - 21. Это будет 11. То есть получилась дробь 11.

165: Двенадцатых. Это результат 3 действия. Теперь нам нужно выполнить 4 действие. 4 действие. У нас с вами нужно результат 1 и 2 действия умножить на дробь 10 целых. 1, 3 результат.

166: 1, 2 действия у нас с вами единица, то есть мы единицу умножаем на дробь 10 целых 1, 3. Но мы же с вами знаем, что когда мы число умножаем на единицу, это остаётся все тоже самое число значит результат 4 действия 10 целых.

167: 1, 3. Тогда давайте выполним 5 действие. 5 действие. Мы должны 1, целая, 1, 11 умножить на результат 3 действия. Результат 3 действия 11/12. Значит, 5 действие будет такое.

168: Нам нужно 1 целая, 1 11 умножить на дробь 11/12, прежде чем выполнять умножение 2 дробей смешанной и обыкновенной, нужно смешанную дробь перевести в обыкновенную

169: То есть правилом, значит, умножаем 1 на 11 и дальше прибавляем единичку. То есть, получается 12/11. Ну давайте подробно запишем 1, умножаем на 11 и прибавляем 1, получается 11 * 11 двена.

170: Получается у нас здесь с вами 12/11, мы умножаем на обратную ей дробь 11/12. Когда такое умножение производится, мы получаем в результате единицу. Значит, умножение, как мы производим, отдельно, умно.

171: Умножаем числители 12, умножаем на 11 и отдельно знаменатели. И мы видим с вами, что и в числителе, и в знаменателе есть 12. Значит, мы можем это сократить. Тут останется по единичке 12 делим на 12 и здесь 12, на 12, тоже самое с 1.

172: И результат у нас получается с вами единица. То есть, когда мы с вами умножаем 2 взаимообратные дроби, то есть 1 такая, другая перевёрнутая, то результат будет равен единице, дальше 6 действие.

173: Результат 4 действия. Мы должны вычесть результат 5 действия. То есть 6 действие будет состоять в том, что нам нужно от 10 целых 1, 3 - 1 целую. И вот здесь мы можем

174: С вами воспользоваться тем правилом, что между целым и дробным частями спрятался знак плюс. То есть мы можем так записать 10 + 1, 3 - 1 и отдельно посчитать целые части.

175: 10 - 1. Это будет 9 и + 1 3. А дальше снова убрать этот знак. И мы получим 9 целых 1, 3. Это будет результат 6 действия. Теперь давайте с вами выполним действие, которое у нас

176: В знаменателе это 7 действие. Так, 7 действие. Нам нужно с вами выполнить то, что в скобках. Значит, - 1 4 + 3/7 у нас с вами 2 дроби с разными знаменателями. Нам

177: Нужно найти общий знаменатель. По простому у нас не получится. То есть мы не можем 1 из знаменателей взять как общий, потому что 7 на 4 не делится и 4 на 7 тоже. Поэтому воспользуемся 2 способом или 1, когда мы перемножаем эти 2 знаменателя, и мы получаем

178: Число, которое делится и на 4, и на 7 раз, оно содержит в себе и 1, и другого. Значит, чтобы здесь у нас получить такую же конфигурацию, нужно домножить на 7 и числитель, и знаменатель. А здесь, соответственно, на 4 и у нас полу.

179: Получается, в числителе -1 * 7 минус на плюс минус. То есть это - 7, а здесь плюс 3 * 4 12. Давайте с вами переставим местами наши числа вместе со знаками. Значит, 12 - 7.

180: 7. 4 * 7. Это 28, 12 - 7. Это у нас с вами 5. То есть получилось 5, 20/8. Это будет результат 7 действия. Теперь нам нужно с вами выполнить 8 действие.

181: То есть результат 7 действия разделить на 3/28. Вот давайте это и сделаем. Значит, результат 7 действия, это 5/28. Мы должны разделить на 3/28. Что происходит, когда мы

182: С вами делим 2 дроби, деление у нас должно с вами превратиться в умножение, а дробь делителя перевернуться вверх тармашками. То есть вот таким образом и мы с вами получаем умножение и выполняем его по правилу. Умножаем числители.

183: И умножаем знаменатели, и мы видим и в числителе, и в знаменателе есть число 28, которое можно сократить. У нас остаётся с вами дробь 5/3. Эта дробь неправильная, потому что у неё числитель больше, чем знаменатель, то есть

184: Это дробь больше целого, но мы не будем выделять отсюда целую часть. Оставим вот в таком виде, в каком оно есть, и продолжим дальше. 9 действие. Надо результат 8 действия минус - 1. Давайте запишем, значит, девя

185: Действие нам нужно к дроби 5/3, минус - 1. Ну, 1, нужно избавиться от скобки. И здесь вспоминаем, что минус на минус даёт знак плюс, когда мы скобки раскрываем. То есть это будет 5

186: Третьих + 1. То есть это сложение и здесь нужно с вами это сложение выполнить, но для этого давайте посмотрим, во первых, как можно поступить. Я вам говорила, что когда у нас с вами есть дробь с Одина

187: Числителем и знаменателем, она всегда равна единице, какие бы цифры там не были 7/7, это единица, там 13/13, это единица. Тоже самое можно сделать и в обратном направлении. Если у нас с вами есть единица, и мы знаем, насколько

188: Частей разделено целое, то мы можем эту единицу представить как дробь неправильную с одинаковым числителем и знаменателем. Если знаменатель 3, то и числитель тоже должен быть 3. Тогда получается 5/3 + 3/3, 3/3. Это и есть

189: Единица, просто мы её записали, так как нам будет удобно, чтобы сложить эти 2 дроби. У нас получились одинаковые знаменатели, мы его пишем, а числители складываем. Это будет 5 + 3. Получается 8/3. Это результат 9.

190: Действия и теперь нам осталось выполнить последнее 10 действие. А для этого нам нужно с вами результат 6 действия. Вот этот вот разделить, потому что дробная черта это деление разделить на результат.

191: 9 действия на 8/3. Значит, давайте это запишем. Значит, получается, что 10 действие нам необходимо с вами 9 целых 1, 3 / 8/3, прежде чем выполнять деление.

192: Давайте вот эту смешанную дробь тоже превратим в неправильную дробь. По тому же правилу умножим знаменатель на целую часть и прибавим числитель. И у нас с вами получится 3 * 9 27 + 1 28, то здесь будет 3.

193: Умножить на 9 + 1 в знаменателе 3 / 8/3. Значит здесь будет 27 + 1 28/3 делим на 8/3 дальше.

194: Деление у нас с вами должно превратиться в умножение. Значит, 1 дробь делимое записываем как есть. Дальше умножение, а дробь делителя переворачиваем кверх тармашками и получаем с вами умножение. Нужно перемножить. Числи.

195: И знаменатели. 1, что мы видим в знаменателе, в числителе, есть тройка, которую мы можем благополучно убрать. А теперь смотрите, 28 и 8. Мы их тоже можем представить как произведение каких-то чисел, да, 8.

196: Это 4 * 2, например, 28 это 7 * 4. Да, давайте запишем, значит, 7 * 4, a8 это 2 * 4. То есть опять у нас появилась цифра, которую мы можем убрать и в числителе, и в знамён.

197: И осталась дробь 7/2. Эта дробь неправильная, как я уже и говорила, и мы можем её перевести в смешанную дробь, то есть вывести, выделить целую часть, как мы это с вами делаем. Мы должны разделить числитель на знаменатель.

198: Остатком, значит, 7 делим на 2. По сколько возьмём? По 3. Это будет 6, 7 - 6. Это будет 1. И мы с вами получили 3 целых и 1 2 по другому можем ещё записать как 3,5, потому что

199: Половинку в десятичных дробях мы обозначаем как 0,5. То есть ответ в этом примере будет либо 3 целых 1 2, либо 3,5, что одно и то же. Просто 1 вариант это запись с помощью обыкновенных дробей, a2 способ

200: Помощью десятичной дроби. Хорошо. Вот таким образом мы с вами сумели решить этот, это числовое выражение, то есть нашли значение числового выражения и значение его 3 целых. 1, 2. Значит, это все касалось

201: Числовых выражений, выражения, которые содержат только числа и знаки действий. Теперь давайте с вами перейдём к алгебраическим выражениям. Чем они отличаются? Что в них такого особенного по отношению к числовым выражениям мы с вами

202: Неоднократно уже сталкивались с ситуацией, когда в выражении вдруг появляются буквы, то есть то мы сталкивались с одними только числами, а потом вдруг стали появляться буквы в алгебре. Очень часто так происходит, когда числа обозна

203: Чатся не цифрами, а буквами, но под этими буквами подразумеваются именно числа. Ну, например, у нас с вами из арифметики известно, что сложение чисел обладает переместительным законом от перемены мест слагаемых сумма не меняется. То есть, если

204: Мы, например, возьмём с вами числа 5 + 7 и переставим их местами 7 + 5. Мы получим одно и то же значение 12. Точно также, если мы захотим сложить 11 + 20, это будет тоже самое, что 20 + 11.

205: Это будет 31 и так далее. То есть таких примеров мы можем привести с вами огромное количество, но не будет же писать для каждого числа, для каждой пары чисел. Вот это вот выражение, как записать этот закон так, чтобы показать

206: Что он верен не только для вот этих чисел, которые мы представили. А вообще для любых чисел. И вот тут на помощь нам приходят буквы. Мы обозначаем 1 из слагаемых буквой а, а другое слагаемое обозначаем буквой б. Ну а дальше записываем как обы.

207: Значит, что все равно, что б плюс а и таким образом наш переместительный закон записывается в виде вот такого выражения, где вместо чисел поставлены буквы, и это выражение нам говорит о том,

208: Что какие бы числа не скрывались под этими буквами, закон будет работать. Или ещё, предположим, у нас есть 3 исходные задачи. Пример 2. У нас есть мальчик брат, который старше сестры и на 3 года.

209: И нам нужно определить, сколько лет брату, если сестре. И тут 3 варианта 1 вариант 5 лет, 2 вариант 11 лет и 3 вариант 24 с половиной года, 24 целых 1 2 года.

210: Как мы решим эту задачу? Да, значит, в 1 случае, если сестре 5 лет, то, чтобы узнать, сколько брату нам необходимо прибавить 3, значит, в 1 случае мы с вами к 5 должны прибавить 3.

211: И мы поймём, что брату 8 лет во 2 случае мы должны к 11 годам сестры прибавить 3 года, и мы получим, что брату 14 лет, и в 3 случае мы должны к 24 c.

212: 1, 2 + 3. Здесь мы складываем целые части 24 и 3 27. То есть получается, что брату 27 целых 1, 2 года, то есть 27 с половиной лет. То есть получается, что сколько бы лет

213: Не было сестре, чтобы узнать, сколько лет брату нам все время приходится прибавлять число 3, потому что он на 3 года старше, а если мы теперь сформулируем эту задачу по другому брат старше сестры на 3.

214: Года. Сколько лет брату, если сестре м, лет, значит, если сестре вот здесь запишу. Просто если сестре м, лет, то есть мы буковкой м, с вами обозначаем возраст сестры, и тогда получается,

215: То возраст брата будет равен, будет равен м + 3 года в 1 нашей задаче, когда нам были даны конкретные значения возраста сестры, у нас в 1 случае под буквой м скрывалось число 5 во.

216: 2 случае 11 лет и в 3 случае 24 с половиной года. А в этой ситуации мы решили задачу в общем виде и благодаря тому, что мы ввели сюда букву м, под которой может скрываться любой возраст, ну,

217: Реально для человека, конечно, 500 лет мы сюда не подставим, потому что человек столько не живёт, но до 100 лет с натягом, конечно, можем подставить. Значит, любое число до 100 лет здесь может находиться и вот эта форму.

218: Вернее, вот это выражение, которое мы с вами сделали, эта запись, она даёт общую формулу для решения множества сходных задач, которые мы получим, если будем заменять вот эту букву м различными числами, то есть сестре может быть сколько угодно.

219: Let но, подставив это значение в это выражение, мы найдём сколько лет брату. Давайте ещё 1 задачку посмотрим. Предположим, у нас есть ученик, который купил н. Тетрадей, то есть какое-то количество тетрадей по 2

220: Рублей за тетрадь, то есть он купил н тетрадей по 20 ₽ за штуку. А ещё он купил учебник, учебник за 500 ₽. И нам с вами необходимо узнать, сколько он заплатил за покупку.

221: Чтобы узнать стоимость тетрадей, нам необходимо количество тетрадей умножить на стоимость 1 тетради, то есть получается, что за тетради он заплатит 20 умножить на n рублей, и тогда стоимость.

222: Те покупки будет составлять 20, умножить на n + 500 ₽ здесь стоит обратить внимание на такую вещь как я уже говорила, математики любят опускать те знаки, которые можно опустить.

223: Тоже самое они делают, если между буквой и числом стоит знак умножения, обычно его опускают, и получается выражение 20 n + 500 подразумевается, что здесь знак умножения, но его не пишут и мы.

224: С вами получили ничто иное, как формулу решения этой задачи. Это формула решения задачи. Она показывает, что для решения задачи нужно цену тетради 1 умножить на число купленных тетрадей и

225: Произведению прибавить стоимость учебника вместо слова, формула для подобных записей. Там, где присутствуют буквы вместо чисел употребляют название алгебраическое выражение. То есть вот это у нас с вами алгебра.

226: Рическое выражение отсюда можно сформулировать определение значит, запись, составленная из букв и чисел с помощью арифметических действий и скобок, называется алгебраическим выражением, причём вот эти буквы

227: Которые входят в алгебраическое выражение, называются переменными. То есть буква н. В данном случае это переменная. Почему она переменная? Да, потому что мы вместо неё можем подставлять разные числа, которые будут удовле.

228: Удовлетворять нашему условию. Ну, например, что касается возраста, мы сюда можем подставить любое значение, там от 1 дня до, там, 100 лет, предположим, больше, конечно, не подставишь, потому что возраст человека ограничен. Вот, значит,

229: Например, если мы увидим с вами вот такую запись 2, а в квадрате - 3 бэ в Кубе + 5, то это будет алгебраическое выражение с переменными а и б, если запи.

230: Вот такое выражение. 3 икс - 2 умножить на игрек делить на икс плюс игрек то это будет алгебраическое выражение с переменными икс и игрек, если в алгебраическое выраже

231: Подставить вместо букв данные и произвести над числами указанные действия, то мы получим значение алгебраического выражения. Когда с вами рассматривали числовые выражения, то там было либо единственное значение

232: Какое-то либо это выражение вообще не имело значения, если там присутствовало деление на 0, потому что на 0 делить нельзя и все выражение теряет смысл. В случае с алгебраическим выражением. Числовое значение этого выражения будет зависеть от значения пере.

233: Переменных, которые в него входят. Вот какую переменную нам дадут, мы её подставим в это выражение, произведём вычисление, получим значение, и это будет значение для конкретной переменной. Если подставим другое значение переменной. То есть зна,

234: Значение алгебраического выражения тоже будет другое. Значит, здесь значение выражения может быть огромное количество. Ну, например, найдём значение алгебраического выражения 3, а + 2 бэ.

235: При а. Равное 4 и b, равное 2, чтобы это сделать, мы должны вместо а и б подставить их значение, то есть это будет 3 * 4, + 2, умножить на 2 трижды, 4, 12 дважды.

236: 2, 4, 12 + 4, 16. То есть мы с вами получили значение алгебраического выражения для данных значений переменных, а и б. Если эти значения будут другие, то и значение алгебраического выражения тоже будут

237: Другое. То есть, если, например, а будет равно 2, а б будет равно 4, то тогда мы с вами получим 3, надо умножить на 2 + 2, умножить на 4 и получается 3 * 2 6.

238: 2 * 4, 8, 6 и 8, 14. То есть 14 это значение алгебраического выражения для переменных, а равное 2 и в равное 4. И вот эти значения, которые могут принимать буквы в алгебраиче.

239: Выражении называются допустимыми значениями для этих букв. Ну, давайте посмотрим ещё примеры. Вот выражение. А под буковкой? А пусть у нас будет вот такое выражение. А в квадрате минус а б плюс бэ.

240: В Кубе, а под буковкой бэ возьмём с вами такое выражение а в квадрате минус а бэ плюс бэ в Кубе. И все это разделим ещё на а - 3 и посмотрим в 1 выражении переменным.

241: С переменными а. И бэ выполняются какие операции возведение в степень, умножение, вычитание и сложение. Все эти действия можно выполнять с любыми числами, то есть при любых значениях а и б. Значит, мы можем

242: Сказать, что это выражение будет иметь смысл при любых значениях а и бэ. Значит, здесь мы можем с вами записать, что это выражение имеет смысл при любых значениях переменных а и бэ, потому

243: Потому что с любыми числами мы можем выполнять сложение, вычитание, умножение и возведение в степень, то есть здесь допустимы любые значения переменных а и б. А вот выражении под буковкой б.

244: Кроме сложения, вычитания, умножения, возведения в степень присутствует ещё деление, деление на выражение. А - 3. Это можно сделать. Вот это деление осуществить только в том случае, если наш с вами Дели.

245: То есть знаменатель не равен нулю, если здесь будет стоять 0 на 0 делить нельзя, и тогда выражение алгебраическое теряет смысл в таких случаях обычно записывают, что вот этот знаменатель

246: А - 3 не должен быть равен нулю и решается уравнение обычное, линейное, значит, а должно быть, не равно 3 и действительно, если а. Переменная а будет равна 3 3 - 3 даст 0 и выражение теряя.

247: Смысл. Поэтому мы можем сказать, что это алгебраическое выражение будет иметь смысл при любых значениях, переменной б и при значениях, а не равных 3. Значит, вот так будет это

248: Выглядеть имеет смысл при любых значениях, переменной б и значениях, а не равных 3, а вот если a будет равно 3, то это выражение не будет иметь смысла, значит, можно сказать, что.

249: Допустимыми значениями переменных для этого алгебраического выражения будут любые значения а. И б, кроме а равное 3, значит, давайте так и запишем допустимые значения, любые значения, кроме a r.

250: 3. То есть получается, что в алгебраических выражениях не всегда переменные, которые в него входят, могут принимать абсолютно любые значения. Есть ограничения. Если у нас с вами при подстановке значения переменных возникает ситуа,

251: В частности, деление на 0. Значит, получается, что есть такие значения переменных, которые мы допустить не можем. При этих значениях переменной наше выражение алгебраическое теряет смысл. Значит, надеюсь, понятно отличие, да, числовое выражение.

252: И алгебраическое выражение значит числовое выражение, оно содержит в себе только числа, выраженные цифрами, и разные действия сложение, вычитание, умножение, деление там и так далее, возведение в степень, а вот в алгебраических выражениях часть цифр, чисел замен.

253: Но буквами это нужно для того, чтобы, например, обобщить какой-то закон алгебраический или вы получить формулу решения какой-то задачи с формулами. Мы очень часто с вами уже сейчас встречаемся и в геометрии мы используем формулы, и в физике мы

254: Используем формулы. Это все алгебраические выражения, в которых числа заменены буквами, но под этими буквами подразумеваются числа. Это не какие-то абстрактные явления, да, а именно числа, но они заменены буквами просто

255: Тем самым показывается нам, что этот закон работает для разного рода значений вот этих переменных, и вы их можете подставлять те, какие вам нравятся. Ну а теперь давайте с вами поговорим о

256: Рациональных алгебраических выражениях. Будем постепенно подкрадываться к алгебраическим дробям, с которыми вы как раз начинаете заниматься. И 1, с чего начнём с определения, значит, что же такое рациональные алгебраические выражения, это

257: Такие алгебраические выражения, которые составлены из чисел, обозначенных цифрами и буквами с помощью действий, сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в степень напри.

258: Алгебраическими, рациональными, алгебраическими выражениями будут такие а плюс б, или, а, квадрат б или м в квадрате плюс н в квадрате делить на м в квадрате минус м.

259: В квадрате или 0,25. Не удивляйтесь, это тоже рациональное алгебраическое выражение или а или икс плюс икс игрек, минус игрек в квадрате делить на а минус бэ это

260: Тоже алгебраическое выражение, или, а + 2, делённое на б. Все это алгебра. Рациональные алгебраические выражения. В них присутствуют буквы и цифры. Ну, не во всех, да, но вот здесь, например, только цифры.

261: Число, обозначенное цифрами, здесь все числа обозначены буквами, здесь часть чисел обозначена буквами, часть цифрами, все они соединены действиями сложения, вычитания, умножения, деления, возведения.

262: В степень. Вот это все называется рациональными алгебраическими выражениями. Ну а теперь давайте рассмотрим вот так вот такие выражения. А в квадрате - 0,3 а б плюс

263: 1 ещё 1 выражение 5, x, четвёртых и ещё 1 выражение, а + 2 беты 1 и 2 выражение совсем не содержат деления на числа, обозначенные буквами.

264: То есть здесь у нас только умножение, сложение, вычитание, возведение в степень. Здесь тоже с буквами мы только производим умножение в знаменателе у нас стоит не буква, а цифра, то есть на букву мы здесь с вами не делим. Вот такие рациональные

265: Алгебраические выражения называются целыми. То есть мы можем вот так их объединить и показать, что вот это все целые рациональные алгебраические выражения. Выражение вот такое, например, 3 икс квадрат минус.

266: 4 икс + 5, делённое на 2, тоже будет являться целым рациональным алгебраическим выражением, потому что в знаменателе стоит число, выраженное цифрой, а не буквой, и его можно представить.

267: Это выражение вот таким образом. То есть, поскольку у нас с вами, когда мы складываем дроби с одинаковыми знаменателями, то мы этот знаменатель записываем под общую черту, а можно произвести обратное действие, то есть мы можем их расставить.

268: По отдельным дробям. Вот таким образом. И таким образом у нас с вами получается, что нету деления никакого на букву. Здесь получится 1,5 икс квадрат - 2 икс. Если мы разделим на 2, да

269: И + 2,5 икс, + 2,5. То есть тут вообще нет никакого деления на букву. А вот в 3 выражении есть деление на число, выраженное буквой. И вот такие выражения называ.

270: Дробными, рациональными, алгебраическими выражениями. Значит, давайте запишем, что вот это у нас с вами дробное рациональное алгебраическое выражение. То есть если у нас с вами присутствует деление на число

271: Выраженное буквой. То есть если в знаменателе или мы делим на букву, то это значит, что перед нами дробное, рациональное, алгебраическое выражение, какие можно ещё привести примеры Дробных алгебраических выражений.

272: Ну например икс делённое на игрек + 1, а плюс c делённое на 4 а или м + 1 делить на м - 1 4 плюс.

273: 3 делённое на 5 б. Во всех этих 4 алгебраических выражениях производится деление на число, выраженное буквой вот здесь у нас число, выраженное буквой игрек, то есть переменная игрек.

274: Здесь число, выраженное буквой а переменная, а здесь число, выраженное буквой м, переменная м здесь, в знаменателе число, выраженное буквой b, переменная b. Поэтому все вот эти выражения рациональные алгебраические выражения явля.

275: Являются дробными. Введём 2 определения. Значит, рациональное алгебраическое выражение мы будем называть целым, если оно не содержит деление на буквенное выражение. А если рациональное алгебраическое выражение содержит

276: Деление на буквенное выражение, то оно будет называться дробным целые рациональные выражения вы подробно изучали в прошлом году в 7 классе к ним относятся, одночлены и многочлены, значит, целыми.

277: Рациональными выражениями. Алгебраические выражения. Это у нас с вами одночлены и многочлены. Очень много. Вы работали с ними в прошлом году, изучали, одночлены сначала

278: Различные действия с ними как их складывать, как их вычитать, как их перемножать, как возводить в степень, затем переходили к многочленам и умножали одночлен на многочлен, многочлен, на многочлен проходили формулы сокращённого умножения, расклад.

279: На множители, выносили за скобки и так далее. То есть делали очень много всяких операций. Если вам необходимо вспомнить эту информацию, то на моём канале есть видео по этим темам. Можете посмотреть и вспомнить.

280: Что такое одночлены, что такое многочлены и как мы с ними работали в прошлом году, но для себя просто сейчас вспомним определение, что мы называли одночленом, что называли многочленом, значит алгебраическое выражение, которое содержит только действие умножения.

281: Возведение в степень называется одночленом, например, а. Квадрат б здесь у нас с вами, а возводится в квадрат между ними знак умножения а квадрат и бэ. То есть здесь присутствует только умножение и возведение.

282: Степень. Дальше следующее. Например, 3/4 икс игрек здесь тоже у нас с вами есть числовой коэффициент 3/4 переменная x, переменная игрек и между ними всеми знак умножения простомате.

283: Тематике. Опять же они опускаются дальше. 8 x в Кубе игрек в 4 зет в квадрате тоже одночлен. Выражение, которое будет состоять только из 1 буквы, также считается одночленом. То есть если

284: Если мы возьмём вот такие выражения, например, а или минус игрек, это все тоже будут одночлены. Одночленом будет также считаться любое число, записанное цифрами, например, 12, это тоже

285: Одночлен - 8 тоже одночлен 3/4 тоже одночлен, только частные его виды, скажем так, обычный, стандартный одночлен, одночлен в стандартном виде они

286: Коэффициент, вот как здесь, например, есть коэффициент 3/4, здесь 8, здесь единичка. То есть, когда ничего нет, это не значит, что там совсем ничего нет, там коэффициент, единица. Здесь, например, коэффициент - 1, потому что минус

287: Просто так не болтается в воздухе. Он принадлежит единице, которую математики просто опускают. Чтобы не писать лишние цифры. Значит, а дальше идут переменные, которые находятся в какой-либо степени и

288: Между ними всеми знак умножения. То есть вот такая запись, в принципе, вот эта, вот эта, да, и все вот эти одночлены, которые я здесь сейчас записала, они все находятся в стандартном виде, идёт числовой коэффициент, а потом идут переменные.

289: По степеням обычно переменные записываются в алфавитном порядке. Если есть переменная а и б, то на 1 место мы ставим переменную, а в её степени потом идёт переменная b в её степени и так далее. Если у нас игрек икс,

290: Игрек зет, то, естественно, сначала икс, потом игрек, потом z. В своих степенях алгебраическая сумма нескольких одночленов называется многочленом. Ну, например, вот такая запись. 3 икс квадрат - 5.

291: Икс, игрек + 6 игрек, квадрат и - 8. Вот этот вот эта алгебраическая сумма нескольких одночленов называется многочленом. То есть, если мы возьмём каждый одночлен, вот 1 3 икс квадрат 2,

292: - 5 икс игрек 3 + 6 игрек квадрат и 4 - 8. То есть это все одночлены в стандартном виде, а вместе они составляют многочлен рациональные выражения, представляющие

293: Собой дробь, числитель и знаменатель которой многочлены, называется рациональной дробью. То есть, если у нас с вами есть рациональное выражение, которое представляет собой дробь, то есть есть дробное

294: Черта и у неё сверху находится в числителе многочлен, и в знаменателе многочлен в стандартном виде, то мы с вами получаем ничто иное, как рациональная дробь. То есть здесь у нас идёт

295: Конкретное определение. До этого мы с вами сказали, что рациональные выражения могут быть целыми и дробными. И мы с вами показывали, что дробные выражения могут выглядеть по разному, в том числе и вот таким образом, как сумма 4 + 3, делённое на 5 б. Так вот.

296: Это дробное выражение назвать рациональной дробью мы не можем, это дробное рациональное выражение, а вот рациональной дробью мы сможем назвать дробное рациональное выражение только тогда, когда у него и в числе

297: И в знаменателе находится многочлен в стандартном виде. То есть там приведены все подобные слагаемые, раскрыты все скобки и так далее. То есть многочлен в стандартном виде. Вот давайте приведу пример.

298: Вот такая дробь, например, 3 атых. Это будет рациональная дробь, потому что у неё в числителе находится многочлен, и в знаменателе здесь стоит вспомнить ещё 1 вещь, что одночлен является частным случаем многочлена.

299: То есть одночлен это частный случай многочлена. То есть мы просто говорим, что данный многочлен состоит из 1 члена тройки, а внизу расположен многочлен, состоящий из 1 члена числа, а вернее, числа, выраженного буквой. А дальше?

300: Ещё рациональные дроби 7 а делённое на 5 б в квадрате цэ в Кубе опять же у нас вверху 7, а это многочлен в виде одночлена как частного случая и 5 бэ квадрат цэ в ку.

301: Кубе это тоже многочлен или одночлен как частный случай многочлена. Ещё, например, вот так 5 икс квадрат плюс игрек в Кубе, а внизу, например, икс плюс игрек. Ну вот здесь уже как бы

302: Сразу выглядит и в числителе многочлен, потому что это сумма 2 одночленов, даже, можно сказать, это двучлен, и в знаменателе тоже многочлен двучлен, многочлен, состоящий из 2 членов икс игрек.

303: Или ещё вот так 3 делённое на 4 икс квадрат - 9 игрек в квадрате. Так ещё 1 пример 2, а -3 / 8 посмо.

304: Смотрите, вот это выражение, это рациональная дробь, но это не дробное выражение. То есть, когда мы с вами говорили про дробные выражения, мы с вами показывали, что в Дробных выражениях обязательно должна находиться буква.

305: В знаменателе, а вот в рациональной дроби это совсем не обязательно. Вот давайте для примера покажу рациональные выражения, в том числе дробные, например, 2 а плюс, a3

306: Дальше 7 икс плюс, а минус b3, а + 7 и ещё 3. А - 2 бэ в квадрате и делить на 4.

307: А - 3 б. Вот смотрите, разница, значит, когда мы с вами говорили о рациональных выражениях, мы сказали, они бывают целые и дробные целые выражения. Это те, у которых нету в знаменателе буквы, нет знамёна.

308: Буквы. И вот, например, вот это выражение, это будет целое выражение. Вот эти выражения содержат в знаменателе буквенное выражение. То есть эти выражения будут дробные рациональные выражения, дробные рациональные выражения.

309: Выражение, которое содержит в знаменателе буквенное выражение. Но вот эти дробные, рациональные выражения, которые здесь представлены, не являются рациональной дробью. Почему? Потому что, по определению рациональная

310: Дробь она должна иметь в числителе многочлен и в знаменателе многочлен все. То есть ничего больше быть не должно. Дробная черта над дробной чертой. Многочлен под дробной чертой многочлен все. А у нас здесь, смотрите, что с вами.

311: Происходит, есть вообще сложение. То есть вот тут возникает сложение значит никакого, никакой общей черты нету. При желании, конечно, можно это привести к виду рациональной дроби, но для этого ещё нужно выполнить действия час.

312: Сложить 7 x y. А минус бэ делённое на 3, а + 7 мы будем потом учиться это делать вот в этом случае это дробное рациональное выражение в знаменателе есть буквенное выражение, но это не рациональная дробь, потому что.

313: В знаменателе, да, многочлен. А вот в числителе, чтобы получить многочлен, нужно ещё сначала возвести в квадрат содержимое этой скобки, потом, да, мы сможем получить рациональную дробь. И ещё отличие, о чем я уже говорила. Вот если мы будем

314: Классифицировать это рациональное выражение, то мы скажем, что в принципе, это целое рациональное выражение, потому что если мы разделим на 8, у нас получится 2 числа, здесь нет буквенного выражения в знаменателе, но это является

315: Рациональной дробью, потому что она соответствует определению. В числителе есть многочлен, и в знаменателе есть многочлен, потому что одночлен, это частный случай многочлена. То есть вот такая вот есть, ну, такой нюанс, то есть она будет являться

316: Целым рациональным выражением, но при этом рациональной дробью. А вот это является дробным рациональным выражением, но рациональной дробью не является. Я надеюсь, это понятно, да, значит, самое главное смотрим на определение, если нас

317: Спрашивают, что это это рациональная дробь или нерациональная дробь, то мы вспоминаем определение если есть общая дробная черта, и над ней в числителе многочлен и в знаменателе многочлен или одночлен все это рациональная дробь.

318: Если перед нами сумма какая-то или в числителе, или в знаменателе многочлен не в стандартном виде, то есть не выполнены там все действия возведения в степень, там умножение и так далее, то это нерациональная дробь, это будет

319: Рациональное выражение, целое или дробное, но нерациональная дробь. Ну и напоследок давайте с вами схематически изобразим то, что мы с вами здесь разбирали. Значит, у нас с вами есть алгебраические выражения, которые содержат в себе

320: Числа, которые обозначены цифрами и буквами и соединены арифметическими действиями сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень значит, это все алгебраические выражения частных случаев этих алгебраических выражений.

321: Не являются рациональные выражения это выражения, которые содержат в себе числа, обозначенные буквами и цифрами и соединённые действиями сложения, вычитания, деления, умножения, возведения в степень.

322: То есть тут как бы вот возведение в степень, это обязательно присутствует, и эти рациональные выражения у нас с вами делятся на 2 категории целые, к которым относятся одночлен и многочлен, и есть

323: Дробные выражения, выражения, которые содержат в себе букву в знаменателе, дробные выражения, и если это дробное выражение имеет общую черту дробную и в числителе.

324: Знаменателе будет многочлен в стандартном виде, то у нас с вами получается рациональная дробь. То есть не всякое дробное выражение будет являться рациональной дробью. Рациональная дробь это, ну, так скажем, частный случай. Вот.

325: Таким образом, теперь мы будем с вами подробно рассматривать именно вот эту тему. Рациональная дробь, разбираться с её свойствами, выполнять различные примеры задания, учиться складывать такие дроби.

326: Вычитать, умножать, делить, сокращать и так далее. Ну а теперь давайте посмотрим, какие задания предлагаются в учебнике Макарычева по алгебре за 8 класс по этой теме теме рациональная дробь, целые дробные рациональные выражения.

327: И вот 1 упражнение спрашивает, какие из выражений являются целыми, а какие дробными. Значит, здесь нам сразу надо вспомнить 2 наших определения. Целым будут являться выражения, у которых нет в знаменателе буквенных выражений, а дробными будут те,

328: Те, у которых есть в знаменателе буквенные выражения, то есть выполняется деление на буквенное выражение. И вот давайте посмотрим. В 1 случае у нас с вами идёт одночлен 1 3. А в квадрате б в данной ситуации у нас

329: С вами выполняются только действия умножения и возведения в степень. Никакого деления на буквенное выражение. Нет, поэтому это будет целое выражение. Здесь у нас тоже самое присутствует возведение в квадрат, вычитание, умножение, но ни

330: Какого деления на буквенные выражения нет, значит, это будет целое выражение. Дальше следующее выражение м + 3 делить на м - 3. Значит, здесь у нас с вами в знаменателе, то есть в Роли делителя, выступает буквенное выражение.

331: То есть вот эта буква, поэтому это выражение будет являться дробным, точно также дробным будет являться выражение 8 делить на икс квадрат плюс игрек квадрат, потому что выполняется деление на буквенное выражение. По определению это дробное выражение.

332: Следующее выражение а в квадрате - 2 а бэ делить на 12, здесь не выполняется этого условия. Здесь есть деление, но на число, выраженное цифрами, а не буквами. Поэтому это целое выражение. Здесь обратите внимание.

333: Вот здесь слагаемое все в порядке, да c + 3 в квадрате, а дальше 2 делённое на ц. То есть деление осуществляется на букву, на буквенное выражение число, выраженное буквой, поэтому это будет дробное выражение.

334: Далее, опять же, выпишите те, которые являются целыми и дробными выражениями. То есть вы должны поступать точно так же, искать те выражения, где осуществляется деление на букву. Вот здесь есть деление.

335: На букву вот здесь есть деление на букву, вот здесь есть деление на букву. Значит, эти выражения по определению будут считаться рациональными дробными выражениями. А все остальные, которые здесь присутствуют, это уже будут целые рацио.

336: Выражение, потому что там деление на букву. Нет. Так, ну, найдите значение дроби. При. Здесь как раз мы с вами говорили о поиске значения алгебраического выражения при разных значениях переменных

337: То есть ваша задача просто подставить это число вместо игрек и посчитать значение выражения. Ну, возьмём, например, вот 1 игрек равный 3. Значит, если игрек равен 3, то игрек

338: - 1 будет у нас с вами выглядеть так, 3 - 1 / 4 3 - 1. Это будет 2. То есть получается дробь 2/4. А здесь мы должны с вами вспомнить, что дроби можно сокращать.

339: Делить числитель и знаменатель на одно и то же число. Либо можно вспомнить, что четвёрка это 2 * 2, и тогда у нас есть 22 в числителе и знаменателе, и остаётся дробь 1, 2 или

340: Если мы с вами вспомним десятичные дроби и разделим 1 на 2, получим 0,5. Не забыли, надеюсь, как это делается. Значит, любое целое число мы можем представить либо в виде дроби обыкновенной со знаменателем 1, либо

341: В виде дроби десятичной запятая 0. И тут этих нулей может быть бесконечное количество. Сколько нам надо. А дальше мы эту 1 целая 0/10 делим на 2. Сначала делим целую часть 1 пытаем.

342: Разделить на 2 двойка в единицу у нас с вами не влезет. Только если мы её не обнулим обнулить, мы её можем, умножив на 0. Значит берём по нулю 2 * 0 будет 0 1 - 0. Это будет 1. Целую часть мы делить закончили.

343: Поэтому вот эта запятая обязательно дублируется. Здесь и нолик сносим, получаем 10 / 2. Это будет 5, 10 - 10. Это будет 0. Таким образом получили дробь 0,5. Точно также поступаем.

344: Со всеми другими числами. Ну вот, например, - 1, целая 6/10. Значит, если игрек будет равен - 1,6, то вместо игрек подставляем это значение.

345: - 1, целая 6/10 - 1 и делим на 4. 1 действие мы должны выполнить в числителе. И здесь у нас с вами вспоминаем сложение 2 чисел с отрицательными знаками сми.

346: Это значит, это сложение, но в сторону минуса бесконечности вспоминайте, значит, вот у нас 0, и мы сначала делаем прыжок на - 1, целая 6/10, а потом ещё прыжок на - 1 и в результа.

347: Мы с вами окажемся - 2,6, потому что это сложение только в сторону минус бесконечности и поэтому результат будет с минусом. Поэтому у нас с вами в числителе будет - 2,6.

348: И делим на 4. Значит, теперь нам нужно разделить 2,6 на 4. Вспоминаем ещё, если у нас с вами в знаменателе стоит число, которое состоит из двоек, а четвёрка это 2 * 2 или состоит?

349: Пятёрок или из двоек и пятёрок, то мы можем с вами получить конечную десятичную дробь, то есть можем спокойно числитель разделить на такой знаменатель. Вот давайте это и сделаем. - 2,6 разделим с вами на 4 снова. Так, ну,

350: Минус пока уберём, он нам здесь ни к чему. Потом его вернём на место. Значит, деление минус на плюс даёт минус. То есть результат будет с минусом. А вот 2,6 нужно разделить на 4. Давайте делить 2, делить на 4.

351: Четвёрка в двойку просто так не влезет, пока её не обнулим. Значит, 4 * 0. Это будет 0 2 - 0. Это 2. Все целую часть разделили. Ставим запятую сносим 6, пытаемся разделить 26 на 4. По сколько возьме?

352: По 6, шестью, 4, 24. Так, 6 - 4 2. Вспоминаем, что после запятой мы можем пририсовывать столько нулей, сколько хотим, поэтому сносим сюда нолик 20, делить на 4 будет 5 2.

353: - 20 будет 0 и, соответственно, ответ будет - 0,65. Значит, если значение переменной игрек равно - 1,6, то значение этого алгебраического выражения

354: Этой рациональной дроби будет равна 0 - 0,65 аналогичным образом поступаем и в этих местах не буду повторяться. Давайте посмотрим вот такие ещё задания. Значит, смотрите, даны формулы

355: Из формулы скорости скорость равна путь, делённая на время выразите переменную с, то есть пути через скорость и время и переменную времени, т. Через путь и скорость точно тоже самое нужно проделать.

356: С формулой плотности, где ро это плотность вещества м это его масса, а в это её объём и нужно выразить объём через плотность и массу. Но мы эти формулы с вами проходили на физике в 7 классе, поэтому я на

357: Надеюсь, что сложности это не должно вызвать. Значит, если у нас с вами скорость, это отношение пути, пройдённого телом ко времени, которое на этот путь было затрачено, то чтобы найти путь, да, то есть выразить, что значит выразить переменную с через

358: Переменные в и т. Это значит, что переменная с должна остаться слева, а переменные в и т. Должны оказаться справа от знака равно, но только здесь нужно, естественно, не просто так их перекинуть, а пользоваться законами. Давайте с вами подумаем, что так.

359: Такое c. Можно так посчитать, что s это делимое т делитель в частное чтобы найти делимое, нужно частное умножить на делитель, значит с у нас с вами делимое т Дели.

360: The частное чтобы найти делимое, нам необходимо делитель и частное перемножить, то есть надо the умножить на т. Как ещё можно поступить, можно поступить следующим образом, вспомнить пропор.

361: Значит, если у нас в целое число его мы всегда можем представить в виде обыкновенной дроби со знаменателем 1 мы с вами это проходили, я это вам напоминала, значит, здесь будет с делённое на t. Ну а, да.

362: Дальше вспоминаем правило пропорции, что произведение внешних членов, равно произведению внутренних членов пропорции или так называемое в народе правило бабочки срабатывает, и мы можем с вами записать отсюда, что с умножить на 1 будет

363: Равно the умножить на te можно так сделать и вы выражаете эс через the y te. Теперь 2 задание выразить переменную t через c. Опять же, если t это делитель, как найти?

364: Делитель это ещё начальные классы надо делимое разделить на частное. То есть если мы должны найти t, то нужно s разделить на в как это понять вот из пропорции вот смотрите, мы

365: С вами получили вот такое выражение, а теперь как найти t по другому мы как можем записать это выражение вот таким образом да, the так, слеповатая какая-то получается так в умноженное на t бу.

366: Равно с. А теперь представьте, мы ищем неизвестную тэ, нам её нужно выразить. То есть нам надо сделать так, чтобы осталось здесь t, как это сделать? Надо разделить левую правую часть на в верно, чтобы её отсюда убрать. То есть у нас получается the умножить.

367: На te мы делим на the и, соответственно с тоже делим на the тут the у нас сократится и останется, что t это эс делённое на the вот мы с вами и выразили переменную t через переменную s и the аналоги.

368: Образом вы сможете поступить и с формулой плотности выразить объём через плотность и массу. Я не думаю, что это у вас вызовет какие-то затруднения. Дальше давайте рассмотрим задачку номер 8. Значит, из городов а и б, расстояние между которыми с килом

369: Метро вышли в одно и то же время навстречу друг другу 2 поезда 1 Шёл со скоростью в 1 километра в час, 2 со скоростью в 2 километра в час, через t часов они встретились выразите переменную т. Через с в 1 и в 2 найдите.

370: Значение t. Если известно, что с равно 250 в 1 60 40 или 310 75 80 ну, во первых, рисуем с вами всегда рисунок, я всегда вам говорю, что надо рисовать рисунок, чтобы понимать, о чем идёт речь в задаче, значит, у нас.

371: Есть пункт, а есть пункт б между этими пунктами городами, как хотите, называйте. Есть расстояние с километров. И вот из 1 пункта в одно и то же время это очень важно. Вышли 2 поезда, значит,

372: 1 поезд идёт со скоростью в 1 километр в час, 2 поезд выехал из пункта б и ехал со скоростью в 2 километра в час. Через какой-то момент времени они встретились момент времени т. Который у нас измеряется с вами в.

373: И вот нужно вот это все связать, причём нас просят выразить переменную т. Через с. The 1 и the 2, то есть фактически нас просят найти формулу для времени встречи этих 2 поездов для.

374: Этого нам нужно с вами вспомнить. Мы решали с вами похожие задачи на встречное движение, на встречу объектов, которые вышли из своих пунктов в одно и то же время, и у нас там с вами фигурировала скорость сближения, скорость.

375: Сближение или скорость разбегания, когда они одновременно двигаются в противоположных направлениях, но нас интересует сейчас именно встречное движение, и было такое понятие, как скорость сближения, скорость сближения, и она была равна сумме скоростей.

376: Объектов, которые сближаются. То есть это в 1 плюс в 2. И теперь, чтобы узнать время встречи, через которое они встретятся, да, время, т. Нам необходимо с вами расстояние, которое между ними

377: Ими было разделить на вот эту скорость сближения, потому что мы же с вами выразили вот в этом задании, в 7, зная скорость, что это отношение пройдённого пути ко времени, то, чтобы найти время, нам нужно с вами путь разделить на

378: На скорость, а чтобы найти время встречи, необходимо этот путь разделить на скорость сближения, а скорость сближения это сумма 2 скоростей в 1 и в 2. И вот таким образом мы с вами получаем формулу для этого

379: Для этой задачи формулу времени встречи выраженное время, выраженное через путь или расстояние между городами, скорость 1 поезда и скорость 2 поезда вот эта формула и теперь вы можете

380: Подставлять в эту формулу значения, которые вам даны по условию, и найти соответствующее время сближения, значит, если у нас с вами путь или расстояние между городами 250 километров, скорость 1 поезда 60

381: 50 километров в час, скорость 2 поезда 40 километров в час, то мы можем найти время их встречи. То есть через какое время они встретятся, подставляем вместо с 200 пятьде.

382: 50 вместо в 1 60 + 40 + 40 получается 250 нужно разделить 60 + 40 это 100. Ну а дальше нужно помнить сокра.

383: Щение дробей. Во первых, нули в конце мы можем с вами сократить. Если мы делим 2 числа, у которых в конце нули, то нули мы можем сократить здесь 1 и здесь 1 остаётся 25/10.

384: Это деление на 10 вспоминаем, как мы делим число на 10, если у нас есть 25, которые нужно разделить на 10, когда мы делим на 10, на 100, на 1000, запятая переносится влево, на столько знаков, сколько нулей в делителе запя.

385: Это о том, о чем я говорила. Целое число можно представить как десятичную дробь 25 целых 0/10. То есть вот она запятая, она проявилась, и теперь мы должны её перенести на 1 знак влево, потому что нулей у нас 1, и мы полу

386: Получаем с вами 2,5 часа, то есть через 2 с половиной часа эти 2 поезда встретятся дальше. Следующий тип заданий это как раз определение значения переменных, при которой рациональное выражение имеет

387: Смысл, значит, ну давайте посмотрим вот это выражение, например. Ну или давайте начнём с 1 выражение икс, делённое на икс - 2. Значит, как мы уже с вами говорили, когда у нас имеется деление на какое-то

388: Буквенное выражение, то мы никак не можем допустить, чтобы это деление выполнялось на 0. То есть вот это выражение, которое стоит в знаменателе, оно не может быть равно нулю, иначе будет деление на 0. И наш

389: Выражение потеряет смысл, а нам надо узнать, при каких переменных имеет смысл значит, мы должны с вами решить вот такое вот уравнение икс - 2 должно быть не равно нулю, чтобы найти x его оста.

390: Слева, а все числа переносим направо, меняя знак при переходе, то есть получается, что x не должен быть равен нулю ни в коем случае, если он будет равен 2, вернее, не должен быть равен 2 если он будет равен 2, то у нас в знаменателе получится 2 минус.

391: 2 а это 0, и деление на 0 запрещено. Выражение потеряет смысл, значит, допустимыми значениями переменной будут все значения x. Кроме 2. Значит, получается таким образом, при.

392: Каких значениях переменной имеет смысл при любых, при любых значениях x, кроме x, равное 2, то есть двойке, не может равняться теперь давайте здесь посмотрим следующее выражение 5 плюс четы.

393: 4. Ой, вернее, бэ + 4 делим на бэ в квадрате + 7. Давайте посмотрим. Здесь нас интересует знаменатель. Есть ли такие значения бэ, при которых знаменатель?

394: Становится равным нулю. Обратите внимание, у нас с вами бэ в квадрате и + 7 бэ в квадрате, какое бы бэ мы сюда не подставили положительное или отрицательное за счёт возведения в квадрат, оно будет положительным. То есть, чтобы мы сюда

395: Подставили будет - 1, - 1 в квадрате это единица. Подставим 2 2 в квадрате это 4, то есть положительное или отрицательное значение б. Все равно за счёт квадрата оно станет положительным и к нему

396: Ему прибавляется положительное число 7, то есть это выражение никогда не будет равно нулю.

397: Никогда не будет равно нулю. Это можно даже увидеть. Таким образом, если мы с вами просто попытаемся решить такое уравнение, возьмём, приравняем нулю, представим, что вот это выражение равно нулю. И теперь возьмём и подставим, выразим б в квадрате семе.

398: Уйдёт направо со знаком минус. И что у нас с вами получается противоречие? Мы весь 7 класс с вами доказывали, что возведение в чётную степень даёт всегда положительное число. То есть если мы какое-то число возводим в квадрат, должно получиться

399: Положительное число, а у нас с вами отрицательное. То есть такого быть не может. Поэтому вот это выражение никогда не будет равно нулю. А значит, это выражение будет иметь смысл при любых значениях. Бэ. Так что ещё?

400: Здесь есть вот такое выражение. Здесь у нас с вами сумма идёт игрек в квадрате - 1. Делённое на игрек и плюс игрек делённое на игрек - 3. Значит здесь у нас с вами с

401: Сумма 2 дробей, 2 рациональных дробей в 1 дроби, знаменатель игрек, во 2 игрек - 3 в 1 дроби. Если игрек будет равен нулю, то тогда наш

402: Дробь теряет смысл, а значит потеряет смысл и все вот это дробное выражение. Поэтому 1, что мы можем записать, что вот игрек не должен быть равен нулю, иначе вот здесь образуется 0, дробь теряет смысл и теряет смысл.

403: Все дробное выражение. Дальше в этой дроби у нас с вами знаменатель вот этот не должен тоже равняться нулю. То есть игрек - 3 никак не должен равняться нулю. То есть получается, что игрек никак не должен быть равен 3 тройку.

404: Переносим сюда, меняя знак. Таким образом. Получается у нас с вами вот это дробное выражение будет терять смысл в 2 случаях, когда игрек равен нулю или когда игрек равен 3. Поэтому иметь смысл это выражение будет

405: При любых значениях игрека, кроме нуля и 3, значит, запишем при любых игрек, кроме игрек, равное нулю и игрек, равное 3.

406: То есть вот этим 2 числам игрек никак не должен равняться при всех остальных значениях. Игрек это выражение будет иметь смысл. Так, дальше. Вот это давайте выражение под буквой г, под буквой г. Выражение такое, а + 10.

407: Делим на а умноженное на а - 1 и - 1. То есть перед нами дробное выражение. И 1 1 из слагаемых это рациональное, это дробь, но она нерациональная, потому что здесь у нас нерации.

408: Дробь это тоже дробное выражение, потому что здесь не многочлен. Нужно сначала скобки раскрыть, чтобы получить многочлен. Значит, это просто дробное выражение в знаменателе. У нас с вами вот такое выражение находится, а умножить на а - 1. И вот это все.

409: Вместе ни в коем случае не должно быть равно нулю. В противном случае все выражение теряет всякий смысл. Поэтому наша задача вот это уравнение с вами решить. И теперь только вот смотрите, не равно нулю, но когда мы

410: Будем с вами решать это уравнение, чтобы найти те числа, которым, а не должно равняться. Давайте воспользуемся знаком равенства. Нам нужно решить уравнение. Потом мы с вами уже укажем, чему, а не равно. А теперь давайте вспоминать. В прошлом году мы с вами

411: Очень много таких уравнений решали. Давайте посмотрим, у нас с вами здесь умножение есть множитель, а и есть множитель, а - 1. При каких условиях произведение будет равно нулю? Когда-либо 1 множитель равен.

412: Нулю, либо 2 множитель равен нулю. Значит, получается, что 1 значение, а это 0, a2 значение, а это 1. И вот теперь мы с вами возвращаемся. Если при а равном нулю здесь получается 0, то, а

413: А должно быть не равно нулю, чтобы наше выражение имело смысл. Если при а равном единице 1 - 1 это 0. Знаменатель становится равным нулю, значит, а не должно быть равно единице, чтобы не потеряло смысл. Наше выражение, значит, полу.

414: Получается, что имеет смысл это выражение будет при любых, а при любых, а кроме а равного нулю и а равного 1, то есть а не должно быть равно нулю и а не должно быть равно единице в protea.

415: Случае выражение потеряет смысл, так что тут ещё интересного. Так, ну вот в этом выражении, я надеюсь, вы теперь понимаете, что здесь знаменатель не будет никогда равен нулю, потому что тут сложение 2 положительных числа.

416: Складываются, они никак не могут равняться нулю, поэтому здесь любые x могут быть любые допустимые значения. X. Так, ну, в принципе, вот давайте ещё вот это найдите допустимые значения переменной. Это вот давайте номер 12 под буквой в просто

417: Знаменатель здесь как раз такой, немножко другой. И здесь нужно будет вспомнить, как мы такие уравнения решали. Значит, игрек в квадрате + 1 делим на игрек в квадрате - 2 игрек. Значит, нас интересуют допустимые знач.

418: Значения, то есть только те значения, при которых наше выражение, наша вот эта дробь, кстати, это именно рациональная дробь, потому что у неё и в числителе, и в знаменателе стоит многочлен. Значит, чтобы эта рациональная дробь имела смысл, нужно

419: Чтобы знаменатель не равнялся нулю, то есть игрек в квадрате - 2. Игрек не должно равняться нулю. Давайте тогда решим такое уравнение. Игрек квадрат - 2. Игрек равно нулю и определим те значения игрек, при которых они обнуляют.

420: Значит, вот такое выражение, вот такое уравнение мы тоже с вами решали в прошлом году и решали его при помощи вынесения общего множителя. Вспоминайте, значит, смотрите, здесь у нас с вами игрек в квадрате, а здесь просто игре.

421: Значит, мы можем вынести за скобки игрек и всегда выносим игрек в меньшей степени. Здесь он во 2 степени, а здесь в 1 степени, значит, мы выносим игрек за скобки, а в скобке остаётся игрек в квадрате делить на игрек минус.

422: 2 игрек делить на игрек и все это равно нулю теперь вспоминаем правило степеней, когда мы с вами делим степени. С одинаковым основанием показатели степеней вычитаются тут на самом деле единичка значит, получается здесь у нас.

423: С вами в скобках игрек в степени 2 - 1. То есть 1. Здесь игрек и игрек сокращаются, остаётся 2 равно нулю. То есть мы с вами получили в принципе, похожую картину вот на эту

424: Единичку. Вот здесь мы можем убрать, потому что игрек в 1 степени это просто игрек, а дальше произведение равно нулю. Когда-либо 1 множитель равен нулю или 2 множитель равен нулю игрек - 2 и от

425: Отсюда находим игрек, двойку переносим направо, меняя знак. То есть получается, что допустимые значения здесь все, кроме нуля и двойки, значит, допустимые значения переменной. Все, кроме нуля и двой.

426: Так и записываем допустимы любые значения игрек, переменной игрек, кроме игрека, равного нулю и игрека, равного 2.

427: Вот такой будет ответ. Так, следующее задание найдите область определения функции. Здесь нужно вспомнить, что это такое. Значит, область определения функции это допустимые значения переменной x. Это и есть область определения функции.

428: То есть это допустимое значение переменной икс. Поэтому точно также поступаем. Если нам нужно найти область определения функции игрек, равно, например, 1 делить на икс - 2, то здесь мы должны точно также

429: Икс - 2 не должно равняться нулю, значит, x не должен быть равен 2 таким образом, область определения функции это любые значения x. Кроме x, равного 2 функция может принимать.

430: Любые значения x, кроме 2, то есть, в принципе, это точно такие же задания, просто разные формулировки дальше, при каком значении переменной значение дроби икс -3 / 5 равно единице? Ну, здесь у нас с вами просто пытаются.

431: Попросить решить уравнение. То есть нам говорят, что вот эта дробь рациональная дробь икс - 3 равно 5 равна единице. И это фактически линейное уравнение с 1 неизвестной. И нужно просто вспомнить, как мы

432: Это решали, избавлялись от знаменателя путём умножения левой и правой части на этот знаменатель. И тогда у нас получается икс - 3 мы умножаем на 5 и делим на 5, а здесь у нас будет 1 * 5.

433: Здесь у нас пятёрки с вами сократятся, останется 3 икс - 3, а справа 5. Ну а теперь отсюда находим x, который будет равен 5 + 3. То есть икс будет равен 8. Вот мы с вами.

434: Нашли, при каком значении переменной x значение дробь будет равно 1 при восьмёрке точно также и все остальное приравнивайте к нулю, приравнивайте к - 1, к 3 и решайте соответствующее уравнение, а вот 15 здесь.

435: Говорится о том, что равно нулю. Вот давайте посмотрим, например, при каких значениях переменной равно нулю значение дроби. Так значит, вот смотрите, если мы возьмём дробь под буквой, а это игрек - 5

436: Делить на 8, в каком случае будет равно нулю значение дроби. У нас есть числитель и есть знаменатель в случае с дробью, например, если это дробь, а беты она будет равна нулю только

437: В том случае, если, а равно нулю а b не равно нулю, то есть если знаменатель, если числитель этой дроби будет равен нулю, а знаменатель ни в коем случае не равен, поэтому, чтобы определить, при каких значениях переменной будет.

438: Равно нулю значение дроби нам достаточно только числитель приравнять к нулю и найти отсюда значение переменной. В данном случае игрек равно 5. Получается, что вот эта дробь при игрек равном 5 будет равна нулю. А теперь давайте посмотрим ещё.

439: Выражение. Вот смотрите, вот это значит, если у нас с вами икс икс - 1 делить на икс + 4, значит эта дробь будет равна нулю если числитель икс умножить на икс минус

440: 1 будет равна нулю, а x + 4 будет не равна нулю, и тогда мы с вами ищем вот здесь решаем уравнение 2 множителя нулю будет равно.

441: Изведение когда-либо 1 множитель равен нулю, то есть икс равен нулю или 2 множитель будет равен нулю икс - 1, то есть икс будет равен единице, но при этом x должен быть не равен 4.

442: Поэтому смотрите, нас интересуют те значения перемены, при которых равно нулю вот rt корни, которые мы с вами получили 0 и 1 не совпадают с тем, что мы получили для знаменателя по.

443: Поэтому мы можем сказать, что и при икс равном нулю, и при икс равном 1. Эта дробь будет равна нулю, потому что и при нуле, и при единице знаменатель не будет равен нулю. Если тут 0, то в знаменателе 4. Если 1, то в знаменателе 5. Поэтому

444: Ответ будет 0 и 1. При этих значениях эта дробь будет равна нулю. А вот давайте теперь посмотрим вот это выражение под буквой г. Оно немножко другое здесь. Смотрите, значит, опять же дробь равна нулю только в том случае

445: Если его числитель равен нулю, а его знаменатель не равен нулю. И вот давайте решим с вами сначала вот это уравнение. Значит, получается 2 икс. Оставляем с левой стороны шестёрку переносим направо, меняя знак. Значит, те

446: Разделим левую правую часть на 2 и получим 2 икс делить на 2 и - 6, делить на 22 здесь сокращаются, и получается, что x не должен быть равен - 6, делить на 2 минус на плюс даёт минус.

447: 6 / 2 это 3, то есть x. Не равно - 3 ни в коем случае x не должен равняться - 3, а вот теперь давайте решим с вами то уравнение, которое мы взяли из числителя при каком условии произведение равно нулю, если 1.

448: 1 множитель равен нулю или 2 множитель равен нулю x + 3, отсюда x получается равен - 3, то есть нам говорят из этого уравнения, что ура дробь будет равна нулю, если икс равен минус.

449: 3, а вот наша наш знаменатель говорит, что x не должен быть равен - 3, поэтому мы доверяем вот этому охраннику, он главнее не вот это, а вот это главнее поэ.

450: Поэтому, когда нас спрашивают в этой ситуации, при каком значении x дробь равна нулю, при вот этом нет, а вот при вот этом да, потому что если икс равный нулю знаменатель не обнуляется, он будет равен 6, значит, ответом здесь будет x равное нулю.

451: А вот этот ответ забраковал наш охранник, наш знаменатель, который нам показывает, не может x равняться - 3 при этом значении знаменатель будет равен нулю, деление на нуль запрещено, и дробь потеряет всякий смысл вот такие вот.

452: Интересные вещи начинают происходить в вашей жизни, и на это нужно обращать пристальное внимание. Ну вот это все, о чем я хотела рассказать в этом видео. Видео получилось длинным, но я оставлю в нём тайм коды, поэтому вы можете по нему передвигаться. Ка

453: Как вам удобно. Я очень надеюсь, что информация, которая здесь изложена, вам принесёт пользу на этом.