0: Мы продолжаем говорить о свойствах такой физической величины, как работа.
1: И уже возник вопрос, а как вычислить работу, если сила меняется? Вот на этот вопрос мы сейчас ответим продолжение той же темы, работа переменной силы.
2: Работа переменной.
3: Силы.
4: Давайте формулу для работы запишем немножечко по другому, ещё раз изобразим тело. Вот вектор его перемещения с
5: А вот вектор силы, действующий на это тело ф. Это угол альфа.
6: И теперь запишем формулу для работы а равняется эф на c, на косинус альфа.
7: Теперь сделаем вот что опустим перпендикуляр.
8: С конца вектора силы на направление перемещения. Что такое вот этот отрезок? Это ф на косинус альфа ф на косинус.
9: Альфа, мы его обозначим буквой f с индексом с, то есть это ничто иное, как проекция силы на направление перемещения.
10: То есть мы вместо оси икс выбираем ось эс, если этот угол острый, проекция вектора силы на направление перемещения будет положительна, если угол тупой отрицательно, и мы можем записать с вами тогда что работа сил
11: Постоянной. Пока что, поскольку эта формула работает для постоянной силы, равняется эф эс умножить на с ещё 1 формула для вычисления работы.
12: Ещё 1 формула.
13: Для вычисления.
14: Работы.
15: А теперь представим себе, что у нас тело движется по криволинейной траектории.
16: И на него действует переменная и по направлению, и по модулю сила, например, вот в этой точке траектории сила была направлена как-то вот так я буду силу изображать.
17: Красным цветом.
18: Угол.
19: Между направлением силы и перемещением мы показывать не будем, а мы спроектируем силу на направление перемещения. Это будет ф с в дру.
20: Любой точке сила может быть другой по направлению, другой по модулю. Ну, например, она будет вот так направлена.
21: И будет больше по модулю.
22: Вот направление перемещения тела в той точке траектории, где тело движется, направление перемещения за небольшой промежуток времени, за небольшой промежуток времени вот проекция силы на направление.
23: Перемещение.
24: Вот этот отрезочек здесь, вот этот отрезочек, здесь эф с, ну я уже поставлю тут штрих, поскольку это другое значение. И теперь давайте сделаем
25: Вот что, рассмотрим. Перемещение очень небольшое.
26: Дельта с здесь и в другом месте очень небольшое перемещение дельта с штрих. И так всю траекторию разобьём на такие
27: Большие участочки.
28: Дельта с.
29: Что можно будет сказать о работе на всем участке траектории от и до?
30: Она будет складываться из работ на всех вот этих элементарных участках, то есть она будет складываться из элементарных работ, а равняется сумма дельта а и
31: Где дельта Аита, элементарное работы?
32: Элементарный работы.
33: Скажите, пожалуйста, если мы сложим маленькие перемещения, как векторы, что у нас получится в результате, если сложить
34: Перемещения у нас получится общее перемещение, то есть вектор, проведённый из точки от в точку до правильно, а что, если мы сложим не векторы перемещений дельта s, а их модуль?
35: Что у нас получится? Путь, путь. Вот это очень важно. Сумма модулей всех элементарных перемещений это путь, то есть длина траектории. И вот давайте мы сейчас с вами
36: Строим график по горизонтали, отложим путь, а по вертикали проекцию силы на направление движения тела, на направление элементарного пере.
37: Мещение.
38: Если сила переменная по направлению и переменная по модулю, то это будет какая-то кривая вот, допустим, вот такая вот точка от, а вот точка до
39: Это у нас уже пройдённый путь, я его по прежнему буду обозначать буквой с, но смысл величины, отложенной по горизонтали, это пройдённый путь, а по вертикали мы откладываем проекцию.
40: Силы на направление элементарного перемещения. Кстати, а как связано направление дельта с с направлением скорости тела?
41: С направлением мгновенной скорости они совпадают вспоминаем, что мгновенная скорость в равняется дельта s вектор делить на дельта т. То есть фактически эф эс это проекция силы на направление скорости.
42: То, что тут стоит с, это просто в память о том, что здесь записано. И вот рассмотрим небольшой участок траектории.
43: Вот это дельта с. То есть это элементарное перемещение, перемещение на небольшом участке траектории. Поскольку небольшой участок можно считать прямолинейным, то модуль перемещения совпадает с
44: Путём, пройдённым телом на этом небольшом участке, в этом месте траектории сила имела проекцию на направление скорости или на направление элементарного перемещения ф с
45: Если у нас дельта с маленькая величина, то силу можно считать постоянной, она не изменяется заметно. Видите? Поэтому мы можем вот эту трапецию заменить прямоугольничком площадь.
46: Этого прямоугольничка.
47: Представляет собой произведение проекции силы на направление, элементарного перемещения, на величину этого элементарного перемещения, то есть это элементарная работа, работа на этом небольшом участочке дельта а элементарная.
48: Работа, она же равна площади вот этой трапеции или площади прямоугольников, они
49: Практически совпадают. Если мы хотим найти всю работу, нам необходимо разбить всю траекторию на вот такие элементарные кусочки и посчитать работу на каждом кусочке, но работе, на каждом кусочке на таком
50: Графики будут соответствовать.
51: Площадь вот такого столбца. А если мы сложим все работы, то мы получим площадь вот этой криволинейной трапеции, значит, работа численно равна
52: Площади.
53: Площади под каким графиком под графиком зависимости проекции силы на направление скорости тела от пройдённого пути?
54: Нарисовали. Тогда давайте запишем работа переменной силы. Работа переменной силы численно равна работа пере.
55: Менно силы численно равна площади под графиком зависимости.
56: Работа переменной силы численно равна площади под графиком зависимости.
57: Проекции силы.
58: На направление скорости тела под графиком зависимости проекции силы.
59: На направление скорости тела.
60: От пройдённого пути площади под графиком зависимости, проекции силы на направление скорости тела, от пройдённого пути.
61: Именно численно равна, потому что площадь здесь мы измеряем не в квадратных метрах, а как произведение силы на длину. То есть опять-таки площадь получается у нас в джоулях. Вот так теперь мы можем считать работу любой силы на самом
62: На самом деле можно обойтись и без графика, но тогда нужно знать, что высшую математику нужно уметь считать вот такие суммы, когда слагаемых бесконечное множество, а каждое слагаемое бесконечно маленькое. Ну, на самом деле, действительно, что это означает?
63: Это означает, что мы устремляем к нулю, величину дельта s, и сумма переходит в объект, который в математике называется. Вы уже знаете, как. Да, Мигаль интеграл, правильно? Вот так. Теперь 2 слова о кинетической энергии.
64: По кинетической энергии.
65: Кинетическая энергия. Пусть эта формула будет у нас перед глазами, вычисляется вот таким образом. Значит, фундаментальное свойство.
66: Кинетической энергии, она никогда не бывает отрицательной. 1 е кинетическая больше либо равна нулю. Не бывает такого, чтобы кинетическая энергия была отрицательной. И 2
67: Давайте посмотрим, как она зависит от массы и как она зависит от скорости. Кинетическая энергия пропорциональна массе в 1 степени, то есть, если масса тела удваивает
68: То его кинетическая энергия удваивается, например, если 1 автомобиль едет со скоростью там 30 километров в час, автомобиль массой 1 тонна, а рядом с ним едет автомобиль массой 2 тонны с той же скоростью, то у 2 автомобиля.
69: Кинетическая энергия в 2 раза больше, а вот гораздо важнее то, что кинетическая энергия прямо пропорциональна квадрату скорости. Это значит, если автомобиль поменял свою скорость с 30 Кило,
70: Километров в час на 60 удвоил, то его кинетическая энергия увеличилась в 4 раза. Что такое энергия? Способность совершать работу. Значит, если скорость тела увеличилась вдвое, то рабо
71: Которую способно совершить. Это тело учетверяется, а это может быть не всегда работа по созиданию. Если автомобиль, например, сталкивается с деревом или с каким-то другим препятствием, то это работа по разрушению. Поэтому
72: Нужно обязательно соблюдать скоростной режим. Кстати, помните, мы с вами уже вычисляли когда-то тормозной путь автомобиля, когда мы рассматривали тему сила трения. Теперь мы это можем сделать в 1 строчку.
73: Теперь мы это можем сделать в 1 строчку, пользуясь теоремой о кинетической энергии. Вот смотрите по теореме о кинетической энергии.
74: Суммарная работа всех сил, действующих на тело, равна изменению его кинетической энергии. Вот автомобиль.
75: Едет со скоростью в
76: Он включил авто, аварийное торможение вот его конечное положение это тормозной путь.
77: С. Тормозит он под действием силы трения, скольжения, сила трения скольжения направлена вот сюда, ф трения по теореме о кинетической.
78: Энергии. Суммарная работа всех сил, действующих на тело, равна изменению кинетической энергии этого тела. На тело действуют 3 силы сила трения, сила тяжести и сила нормального давления, поскольку автомобиль движется горизонта.
79: А сила нормального давления и сила тяжести вертикально, то их работа равна нулю, остаётся только работа силы, трения, работа, силы, трения.
80: Равняется изменению кинетической энергии тела. Считаем, работа силы трения.
81: Равняется эта сила постоянна, она равна произведению коэффициента трения на силу нормального давления. Или мы с вами можем записать? Равняется мю эм жэ знакомая комбинация.
82: На косинус какого угла между направлением перемещения вправо и направлением силы влево, на косинус 180 градусов, на косинус 180 градусов, косинус 180 градусов равен минус единице.
83: Работа отрицательна изменение кинетической энергии.
84: Равняется конечная кинетическая энергия 0 минус начальная кинетическая энергия м. В квадрат пополам подставляем эти 2 величины.
85: В теорему кинетической энергии у нас получается, минус мю эм жэ равняется. Так ещё, да, на с домножить обязательно. Вот сюда модуль перемещения.
86: Минус мю эм жэ эс равняется минус эм вэ квадрат пополам минус эм вэ квадрат пополам. Минусы компенсируются, масса сокращается и получа.
87: Age равняется в квадрат на 2 мю жэ. Вот так, то есть.
88: Вы видите знакомую формулу тормозной путь прямо пропорционален квадрату скорости и обратно пропорционален коэффициенту трения. Это если мы тормозим так, что уже заблокировались колеса. А вот скажите, пожалуйста, если
89: Мы не хотим выходить на режим блокировки колёс, а хотим просто остановиться, пройдя минимальный тормозной путь, что будет более эффективным, если мы в 2 раза сильнее будем.
90: Давить на тормозную педаль или если мы будем просто ехать вдвое меньшей скоростью, какой, какое, в каком случае тормозной путь будет меньше, если мы будем ехать вдвое меньшей скоростью, потому что если
91: Если мы нажмём на тормозную педаль в 2 раза сильнее, то сила трения у нас удвоится. Сила трения, она у нас вот здесь 2 мж, но там будет просто сила трения, значит, у нас удвоится знаменатель тормозной путь уменьшится.
92: 2 раза. А если мы при той же силе давления на тормозную педаль просто будем ездить в 2 раза медленнее, то тормозной путь у нас уменьшится в 4 раза. Так что лучше всего соблюдайте скоростной режим. Ну вот, пожалуй, все, что я хотел вам рассказать.
93: О теореме кинетической энергии и о работе пора решать задачи. Доставайте тетради для решения задач.
94: Тема решения задачи.
95: Так, домашнее задание у вас уже записано. Начнём, будем сегодня работать по задачнику Баженовой. Начнём с задачи. 23 5.
96: Задача номер 23 5.
97: По Баженовой.
98: Послушайте условия задачи электровоз массой 2000 тонн на горизонтальном участке пути движется с ускорением 35/1000 метров в секунду в квадрате какую работу выполняя?
99: Сила тяги на пути 40 метров, если сила сопротивления движению составляет 0 80, составляет 85 килоньютонов, электровоз массой 2000 тонн.
100: Вообще для электровоза это многовато. Ну так написано в условии задачи на горизонтальном участке пути движется с ускорением 35/1000 метров в секунду, в квадрате ускорение а 0 0 35.
101: Метра в секунду в квадрате какую работу выполняет сила тяги на пути 40 метров?
102: Если сила сопротивления движению ф сопротивления равняется 85 килоньютонов.
103: Какую работу выполняет сила тяги, а тяги?
104: Не забывайте, когда речь идёт о работе, обязательно нужно говорить, какая сила выполняет эту работу. Работа без упоминания силы никакого смысла не имеет. В физике, по крайней мере.
105: Итак, какие же силы действуют на электровоз? Нарисуем электровоз.
106: На него действует сила тяжести.
107: М. Ж. На него действует сила нормального давления.
108: Н. На него действует сила сопротивления.
109: Я все силы буду показывать.
110: Выходящими из 1 точки сила сопротивления, и на него действует толкающая его вперёд сила тяги.
111: Ф тяги, именно работу этой силы нам нужно найти. Известно, что электровоз переместился на 40 метров. Вот его новое положение.
112: С известно. Ну вот покажем вот так.
113: Пройдённый путь с
114: Как найти работу силы тяги, чему равен угол между направлением перемещения и направлением силы тяги нулю значит, косинус нуля единица, поэтому работа силы тяги.
115: Равняется модулю перемещения просто пути на силу тяги на модуль силы тяги f тяги умножить на с с нам дали дали по условию задачи значит дальше надо просто посчитать.
116: Тяги. Что для этого делаем? Запишем 2 закон ньютона. Тем более что указано ускорение. Это подсказка. Итак, по 2 закону ньютона
117: Эм жэ векторно плюс and векторно плюс эф сопротивления векторно плюс f тяги векторно равняется.
118: М на а векторно теперь выбираем ось понятно, что её удобнее всего выбрать вдоль направления движения электровоза вправо записываем в проекции на ось x o x.
119: М жэ и and имеют нулевые проекции сила сопротивления направлена против оси иксов, поэтому пишем минус эф сопротивление.
120: Сила тяги направлена вперёд, плюс ф тяги равняется m на а x, но тепловоз или электровоз движется с ускорением.
121: 0 0 35. Ну, автор не упоминает, это ускорение направлено вперёд или назад. Будем считать для конкретности, что электровоз ускоряется, то есть увеличивает свою скорость. Тогда проекция ускорения на ось икс будет равна модулю ускорения. М.
122: А отсюда легко найти силу тяги f тяги.
123: Равняется эф сопротивления плюс m r e это модуль силы тяги, который можно подставить в формулу для работы.
124: Подставляем.
125: Работа силы тяги равняется произведению силы тяги. То есть вот этой скобки эф сопротивление плюс м а умножить
126: На пройдённый путь. Вот рабочая формула.
127: Из неё сразу видно, на что расходуется работа частично на преодоление сил сопротивления и частично на разгон электровоза остаётся посчитать.
128: Работа силы, тяги.
129: Равняется сила сопротивления 85 килоньютонов 85 на 10, в 3 ньютона плюс масса 2000 тонн это 2 на 10 в 3 тонн, а сколько это килограмм?
130: 2 на 10, в 6, 2 на 10, в 6 килограмм ускорение 35 на 10, в минус 3 35 на 10 в минус 3 метров в секунду.
131: В квадрате умножаем на пройдённый путь на 40 метров равняется.
132: Смотрим сюда ускорение метр в секунду в квадрате умножить на массу. Это будет сила. Значит, это ньютоны. И здесь ньютоны. Ньютон, умноженный на метр, даст нам джоули. Ответ, получается, в джоулях равняется 8
133: 55.
134: Плюс здесь у нас 2 на 35, это будет 70.
135: Здесь 10 в 3 и здесь 10, в 6 10 в минус 3 тоже 10, в 3 10, в 3 на 40 уже мы выяснили, что джоулей теперь остаётся сложить
136: И умножить на 40 равняется.
137: Равняется.
138: 85 и 70. Сколько? 155, 155 на 4. Это 3 150, 620, значит 620.
139: На 10, в 4 620 на 10, в 4 джоулей. Ну и теперь давайте переведём это в более удобные единицы. 620. Представим как 6 и 2 на 10.
140: Во 2 и ещё на 10, в 4 джоулей это будет 6,2, на 10, в 6 джоулей, или, как мы скажем, 6,2 мегаджоулей 6.
141: Целых 2/10 мега джоуле такую работу совершил электровоз. Кстати, а какую природу имеет сила тяги? Какая сила толкает?
142: Электровоз вперёд, сила трения, сила трения покоя, сила трения, покоя, колёс о рельсы.
143: Это должна быть сила трения покоя, потому что сила трения скольжения имеет постоянное значение, и оно тем больше, тем тяжелее электровоз. Поэтому обязательно электровоз должен быть тяжёлый на самом
144: Деле вряд ли он имеет массу 2000 тонн, скорее всего, так под сотню, но в любом случае иногда специально приходится утяжелять локомотив для того, чтобы он мог потянуть за собой вагоны, чтобы колеса не проскальзывали.
145: Я помню, был случай, когда мы ехали на поезде в карпатах, поезд пассажирский въехал в туннель, причём дорога там шла внутри туннеля, на Подъём в tunnel попало облако, зашло облако горы ж все-таки карпа.
146: Вода сконденсировалась на рельсах, в результате поверхность рельсов стала мокрая, покрытая плёнкой воды, и вот электровоз зашёл в туннель и начал проскальзывать колёсами по рельсам. Мало того что
147: Маленькая сила трения и электровоз не может потянуть за собой состав, ещё и водяная плёнка выполняла роль диэлектрика изолятора, а ведь электровоз то 1 контактом использует рельсы, а другим контактом подвеску провод.
148: И вот рельсы начали промежуток между колёсами и рельсами начал искрить, зрелище было довольно жуткое крутятся колеса электровоза, а там ещё и небольшой такой поворот, и можно увидеть, а мы ехали как раз в вагоне, из которого хорошо был виден.
149: Электровоз, колеса крутятся, из них валят искры, паровоз, тепловоз стоит, поезд остановился, и потом вдобавок ещё для чего-то выключили свет. В общем, довольно страшно было, так что сделал.
150: Мудрый машинист, как вы думаете? Нет? Он просто перестал ехать, подождал, пока туман пройдёт, и потом медленно, постепенно, чтобы сила тяги была не слишком большой. То есть что?
151: Хватило силы трения, покоя, медленно вывел состав на солнечную сторону из туннеля. Следующая задача.
152: 23 12.
153: 23 12.
154: Шар массой 250 грамм падает вниз с ускорением, 9,4 метра в секунду в квадрате, какую работу на пути 5 метров выполняет, а сила тяжести б.
155: Сила сопротивления, ускорение свободного падения считать 9 и 8/10 метра в секунду в квадрате шар массой 250 грамм.
156: Падает вниз с ускорением 9 и 4/10, а равняется 9,4 метра в секунду в квадрате работа выполняется на пути с равняется 5 метров ускорение
157: Свободного падения ж равняется 9,8 метра в секунду в квадрате. И видите, здесь спрашивается, не 1 работа, a2. Сколько сил, столько и работ можно рассчитывать, нужно на
158: Работу силы тяжести.
159: И работу силы сопротивления.
160: Ну, давайте сделаем рисунок. Вот шар это его верхнее положение, он движется вниз. Вот его нижнее положение, он
161: Проходит расстояние s.
162: Но лучше показывать не путь, пройдённый шаром, а его перемещение.
163: Вот вектор перемещения с
164: Возьмём какую-то промежуточную точку.
165: И посмотрим, какие силы действуют на шар, сила тяжести обязательно.
166: Мж.
167: Ну почему же шар не падает с ускорением свободного падения? Почему ускорение шара меньше? Потому что на него давит воздух? Потому что навстречу шару поток воздуха создаёт силу сопротивления. Вот эта сила сопротивления.
168: Она направлена против скорости ф сопротивление.
169: И нужно найти работу силы, тяжести и работу, силы сопротивления.
170: Используем стандартную формулу работа равняется эф на с на косинус альфа случай, а работа силы тяжести.
171: Работа силы тяжести, а тяжести равняется модуль силы тяжести эм жэ на
172: Модуль перемещения это просто путь на с и на косинус угла между направлением перемещения и направлением силы тяжести. Чему равен этот косинус?
173: Единица. Значит, на косинус нуля, и получается, что работа силы тяжести просто равняется m жэ эс вот 1 рабочая формула 2.
174: Ситуация б работа силы сопротивления.
175: Работа, силы, сопротивление.
176: Работа силы сопротивления равняется силе сопротивления, модулю силы сопротивления на модуль перемещения, то есть на наш
177: В случае пройдённый путь на косинус угла между направлением силы сопротивления и направлением перемещения чему равен косинус минус единица это косинус 180 градусов запишем на косинус.
178: 180 градусов равняется минус ф сопротивления на с.
179: Но мы не знаем силу сопротивления, как её найти из 2 закона ньютона, воспользуемся 2 законом ньютона.
180: М. Ж векторно плюс эф сопротивление векторно равняется м а. Векторно проводим ось икс вертикально вниз, в проекции.
181: На ось икс пишем эм жэ минус эф сопротивление равняется эм а откуда сила сопротивления?
182: Равняется эм на жэ минус, а вот промежуточный результат используем его для подстановки вот в эту формулу. Тогда у нас получится, я уже сотру.
183: Картинку?
184: Работа силы сопротивления.
185: Равняется. Не забудем этот минус. Хотя, конечно, можно было бы тут написать же минуса, но не будем этого делать. М на жэ.
186: Минус а. С. Вот 2 рабочая формула.
187: Остаётся вычислить ответ.
188: Работа силы тяжести равняется m 0 25 килограмм не забываем, что тут в граммах у нас масса умножить.
189: На 5 метров.
190: И умножить на 10 ньютонов на килограмм. Так удобнее. Тогда килограммы у нас сократятся, получается, метр, умноженный на ньютон. А, да, привычка, привычка.
191: Придётся 9 и 8 писать, 9 и 8 ньютонов на килограмм так килограммы сократятся, равняется ну надо посчитать 1, 1,25 * 9 и 8 1.
192: 25 * 9 и 8, получается 12 и 25/100, 12 и 25/100 джоуля. Ну вообще то, поскольку тут у нас 2 значащих цифры везде, то.
193: Мы должны, чтобы все было по честному округлить. Примерно равняется 12 джоулей. Вот 12 и 3. Если мы берём, а здесь 2 значащих цифры, значит,
194: Неприлично указывать больше. Ну хотя вообще, Женя, где-то ты прав. Знаешь почему? Потому что 1 цифра единица, то есть можно и 3 указать. Это не будет ошибка. Если 1 цифра, единица, можно больше, но уже что написано пером, то не выру.
195: Топором вычисляем работу силы сопротивления.
196: Работа силы сопротивления равняется - 0 25 килограмм.
197: Эта разность у нас равняется сразу можем написать 4/10 на 0,4 сразу пишем ньютона на килограмм и на 5 метров.
198: Равняется килограммы, килограммы сократятся, равняется минус.
199: 0 25 на 5. Это 1,25 * 0 4 0 5 - 0,5 джоуля. Обратите внимание.
200: Не на знак отрицательный сила сопротивления совершает отрицательную работу. Если бы не было силы тяжести, то кинетическая энергия этого шарика уменьшалась бы. Вот, например, представьте себе.
201: Что у вас медуза? Она в воде находится во взвешенном состоянии. Значит, сила тяжести скомпенсирована архимедовой силой. Если вы этой медузе попытаетесь сообщить какую-то
202: Кинетическую энергию, то она её очень быстро растеряет, потому что сила архимеда и сила тяжести друг друга компенсируют. Остаётся только 1 сила сопротивления, сила сопротивления направлена против скорости, работа её отрицательна, значит кинетическая энергия.
203: Уменьшается медуза, останавливается здесь у нас шарик движется с ускорением, направленным вниз. Это значит, что равнодействующая всех сил, которые действуют на шар, направлена вниз. Поэтому работа
204: Силы тяжести положительно и по модулю больше, чем работа силы трения. Сумма этих работ положительная 12. Прибавить - 0 5 будет 11 с половиной и
205: Эта работа идёт на изменение кинетической энергии шара. Шар ускоряется. Ну что, сейчас уже будет скоро большая перемена, пора пить чай.