0: Здравствуйте, уважаемые студенты. Тема сегодняшней лекции. Лекция номер 3. Действительные числа на прошлом занятии. Мы с вами показали, что любое рациональное число можно записать в виде беско.
1: Конечной десятичной периодической дроби, то есть бесконечная десятичная периодическая дробь, дробь, где у нас после запятой числа повторяются
2: И каждая бесконечная десятичная периодическая дробь является рациональным числом. Если же бесконечная десятичная дробь не периодическая, то она не является рациональным числом.
3: Например, вот такое вот число.
4: Если вот после нуля у нас идут следующие цифры 1, 0 1 и 00, 1, 000.
5: 1, 0000, 1 и так далее. Вот если дробь, в которой после 1 цифры 1 стоит 1 0, после 2 цифры, 1, 00 и вообще после энной цифры стоит, ну,
6: Она у нас не является периодической, поэтому написанная дробь не представляет никакого рационального числа. В этом случае говорят, что данная дробь является иррациональным числом.
7: Иррациональным числом называется бесконечная десятичная непериодическая дробь непериодическая. Это получается после запятой у вас числа не повторяются, иррациональные числа, как иррациональные могут быть
8: Положительными и отрицательными. Например, число 0, целое 1, 2, 3, 4, 5, 6 и так далее, в котором после запятой записаны подряд все натуральные числа, явля.
9: Положительным иррациональным числом. Число - 5 целых 2, 4, 6, 8, 1 0 и так далее, в котором после запятой записаны подряд все чётные числа, является отрицательным
10: Иррациональным числом. Далее числа, допустим, под корнем 2, под корнем 7 минус корень 3 степени. Из 3. Число пи также является иррациональным.
11: Так как можно доказать, что они могут быть представлены в виде бесконечных десятичных непериодических дробей. Рациональные и иррациональные числа образуют множество действительных чисел. Значит,
12: Действительным числом называется бесконечная периодическая
13: Десятичная дробь, то есть дробь вида.
14: То есть, например, вот дробь такого вида плюс, а нулевое, a1, a2, a3 и так далее. Или минус а, нулевое, a1 а.
15: 2, a3 и так далее. Где у нас? А, нулевое это целое неотрицательное число. Значит, это у нас целое неотрицательное число, а
16: Каждая из букв, a1, a2 и так далее. Это 1 из 10 цифр. 0 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.
17: 7 9 1 из этих цифр.
18: Например?
19: В записи действительного числа пи равное 3 целых 14, 15 и так далее. Число, а нулевое равно 3. Вот это вот число, a1
20: 4 десятичных знака таковы, a1 равно 1.
21: A2 равно 4, a3 равно 1, a4 равно 5 или, допустим, в записи действительного числа минус под корнем 203.
22: 34 равное - 15 целых 29 70 58 число, а нулевое.
23: У нас, значит, получается 15, а десятичные знаки таковы, a1 равно 2, a2 равно 9.
24: A3 равно 7, a4 равно нулю и так далее. Или, допустим, записи действительного числа. 37,19.
25: Значит, 37. EUNASPOSLE19, если мы запишем нули число, а нулевое равно 37, а десятичные знаки таковы.
26: Odin равно 1, a2 равно 9, а энное равно нулю при n больше или равно 3.
27: Заметим, что у нас вот число 37 целых, и если вот так вот записывается 19 и девятки повторяются, это у нас число по другому 37 и 2. Мы можем превратить девятки.
28: Или вообще записать, как 37,2 действительное число может быть положительным, отрицательным или равным нулю бесконечная десятичная дробь равна нулю, если все цифры в её записи нули.
29: Положительное действительное число это десятичная дробь, не равная нулю со знаком плюс, а отрицательное со знаком минус знак плюс перед дробью обычно опускается, то есть мы просто его не пишем.
30: Вам известно, что когда мы выполняем действия над конечными десятичными дробями, арифметические операции над действительными числами, то есть бесконечными десятичными дробями, обычно заменяются операциями над их приближениями?
31: Например, давайте с вами вычислим приближённое значение Корня квадратного из 2 плюс Корня квадратного из 3. С помощью калькулятора мы можем выразить то, что у нас корень квадратный из
32: 2 это 1 целая. И у нас вот такие вот цифры там идут, а под корнем 3. Это у нас 1 73, 20 508 и так далее.
33: Значит, с точностью, если до единицы у нас под корнем 2, плюс, под корнем 3 будет примерно 1, целая 4/10, + 1,7.
34: То есть 3,1 или по другому примерно 3, если с точностью до 1 10, там получается под корнем 2, плюс под корнем 3 примерно 1,41.
35: 1 целая. 73/100, равно 3,14 или по другому 3 целых. 1 10 примерно.
36: С точностью до 1 100 получается под корнем 2, плюс, под корнем 3 это примерно 1,414, + 1,732.
37: Равно 3,146 или примерно 3,15 и так далее. Значит, здесь у нас числа 3 3 целых 1.
38: 10, 3,15 и так далее являются последовательными десятичными приближениями. Первые 2 с недостатком, 3 с избытком. Значение суммы под корнем 2 плюс под корнем 3 данного
39: Вот данной суммы. Итак, при отыскании суммы под корнем 2 плюс под корнем 3 числа корень из 2 и корень из 3 заменялись их приближениями, рациональными числами.
40: И выполнялось сложение чисел по известным правилам.
41: Аналогично вычисляя произведение под корнем 2, умноженное на под корнем 3, например, с точностью до 0,1, мы получаем, значит, под корнем 2, умножаем под корнем 3.
42: Это будет примерно 1,41, умножаем на 1,73. Получается 2 целых 4393 десятитысячных или если округлить 2 целых.
43: 4/10.
44: Вообще, пусть у нас вот x, 1, x, 2 и так далее x энное последовательное приближение действительного числа x с точностью до 1 до 0, целой 1 10 до 0.
45: Целой 1 100 и так далее. Тогда погрешность приближения икс минус икс энное как угодно близко приближается к нулю, то есть стремится к нулю. В этом случае пишут икс минус икс энное.
46: Стремится к нулю при n, стремящемся к бесконечности.
47: Или по другому так лимит при n, стремящемся к бесконечности икс минус икс энное равно нулю читается так?
48: Икс минус икс энное стремится к нулю при n стремящемся к бесконечности, или предел икс минус икс энное при n, стремящемся к бесконечности, равен нулю это у нас означает, что x энное как угодно.
49: Близко приближается к x, то есть x энное, оно у нас стремится к x, при n, стремящемся к бесконечности.
50: Или предел при n, стремящемся к бесконечности x энное равно икс.
51: Отметим, что все основные законы и правила действий над рациональными числами сохраняются и для действительных чисел переместительный, сочетательный, распределительный законы, правила сравнения и так далее. Далее определение у нас
52: Модуль действительного числа x обозначается модуль x y определяется также, как и модуль рационального числа модуль икс у нас равен икс, если у нас
53: X больше или равно нуля минус икс, если икс меньше нуля, например, если икс равно - 0 c.
54: 101 0 0 1, 0 0 0 1 и так далее.
55: То модуль икс у нас будет равен минус икс равное 0 101 0 0 1:00 0 1 и так далее.
56: Метрически действительные числа изображаются точками числовой прямой.
57: Так, множество действительных чисел, оно у нас заполняет всю числовую прямую каждому действительному числу соответствует единственная точка числовой, прямой и наоборот, каждой точке числовой прямой соответствует единственное действительное число точку.
58: Изображающий число, а также обозначают буквой а. Отметим, что если у нас, а меньше б, то точка а лежит левее точки b. Множество всех действительных чисел обозначается буквой р.
59: И записывается x принадлежит.