0: Итак, мы продолжаем доказывать теорему о классификации неприводимых представлений симметрической группы. Давайте я напомню обозначение, которое мы ввели в прошлый раз. Значит, лямбда у нас обозначала диаграмму юнга.
1: Или разбиение. Ну, лучше на языке диаграмм. Мне удобнее. Диаграмма юнга порядка м. Через т. Я обозначал некую таблицу юнга формы лямбда. Ну, если я её фиксирую, то вот я
2: Будет лямда, значит таблица юнга.
3: Формы лямбда. И мы вводили в симметрической группе 2 подгруппы. Это строчный стабилизатор таблицы юнга п т. Ну или п. П лямбда. Если та
4: Таблица фиксирована, то тогда я буду писать так пэ лямбда, вот и столбцовый стабилизатор у t, он же у лямбда 2 подгруппы в симметрической группе, которые состоят из всех подстановок.
5: Переставляющих числа либо внутри каждой строки таблицы, либо внутри каждого столбца. Вот. И, соответственно, с этими подгруппами связаны элементы групповой алгебры, которые мы обозначали буквами а б.
6: Ц. Значит, a t он же а лямбда это сумма всех элементов строчного стабилизатора.
7: Better. Он же бэ лямбда это альтернирования. Сумма всех элементов столбцового стабилизатора.
8: И их произведение c t, равное бэ тэ умножить на a t. Этот элемент мы называли симметризатор м. Юнга, он же цэ лямбда цэ лямбда, равная цэ тэ вот.
9: Это все элементы групповой алгебры, симметрической группы, которую мы для краткости обозначали буквой, а вот такие у нас были обозначения, и я напомню, что мы доказываем теорему.
10: Пусть это будет сегодня теорема 1. Вот которая говорит следующее. Во первых,
11: Симметризатор юнга пропорциональны.
12: Неразложимым.
13: Импотентом.
14: В групповой алгебре симметрической группы.
15: A2 утверждение, что соответствующие левые подмодули в регулярном а модуле вот, которые мы обозначали у от лямбда, это значит левый, а модуль пора.
16: Рождённый вот этим симметризатор м. Юнга, но поскольку он порождён, симметризатор м. Юнга, а симметризатор юнга пропорционален идемпотентно азложили у, то можно сказать, что это левый модуль, порождённый неразложимым идемпотентов, а такие модули, как мы знаем.
17: Собственно, им соответствует неприводимое представление симметрической группы, да, и вот утверждается, что вот эти вот у от лямбда, как подмодули в групповой алгебре, вот они образуют по всем лямбда, по всем различным диаграммам юнга, они образуют
18: Полный набор попарно неизоморфных, неприводимых представлений, то есть они все попарно неизоморфные.
19: Имеется ввиду при разных лямбда, при различных диаграммах юнга, потому что на самом деле, конечно, 1 и той же диаграмме юнга можно сопоставить разные таблицы этой формы и для разных
20: Таблиц будут формально разные симметризатор юнга, разные элементы групповой алгебры и, соответственно, разные подмодули в групповой алгебре, но если таблица юнга 1 и той же формы, то эти подмодули будут друг другу изоморфны, мы даже объясняли, как именно устроен изоморфизм.
21: Вот. Так что имеет смысл рассматривать только для разных форм, для разных диаграмм. И вот для разных диаграмм они все будут попарно неизоморфные, а отсюда уже следует, что они исчерпывают.
22: Все неприводимые представления.
23: Симметрической группы, потому что они попарно не изоморфны. Их количество столько, сколько надо их количество, равно количеству диаграмм юнга, количество диаграмм юнга порядка мм, равно количеству разбиений числа м, да.
24: Количество разбиений равно количеству цикловых структур, то есть количеству классов, сопряжённости в группе см, а количество классов сопряжённости равно количеству неприводимых представлений вот, то есть вот эту последнюю часть уже доказывать не надо, она следует из всего остального надо
25: Доказать. Вот 1 и 2, что эти симметризатор юнга пропорциональны неразложимым импотентам и для разных диаграмм. Соответствующие подмодули будут неизоморфны друг другу, что мы уже сделали в прошлый раз. Мы, значит, доказать
26: Этой теоремы, оно разбивается на серию лемм. Вот. И в прошлый раз мы доказали 1 лемму из этой серии. Давайте я напомню, мы доказали, что если у вас имеется произвольная подстанов,
27: Вот. И вот у нас есть какая-то фиксированная таблица юнга формы лямбда тогда
28: Подстановка сигма может быть разложена в произведение элементов из столбцового, из строчного стабилизаторов этой подстановки в произведение пси.
29: Is ku t i p из pet.
30: В том и только в том случае, когда не существует 2 таких номеров, которые живут в 1 столбце таблицы т. И в 1 строке, значит, тогда, и только тогда, когда не существует такой пары номеров и жи, которые живут.
31: В 1 столбце таблицы т. И в 1 строке.
32: Таблицы сигма т. То есть, если мы подействуем на таблицу т подстановкой сигма, заменим все номера в этой таблице на их образы под действием сигма, получим новую таблицу и вот нужно, чтобы не нашлось такой пары номеров.
33: Которые здесь живут в 1 столбце, а здесь, в 1 строке. Вот в том и только в том случае подстановку сигмы можно вот так разложить. И более того, если подстановку сигмы можно так разложить, то это разложение единственно
34: Вот это мы с вами доказали в прошлый раз. Вот, а теперь двинемся дальше.
35: Значит.
36: 2 лемма.
37: Значит, лемма 2.
38: Говорит следующее. Она характеризует симметризатор юнга, соответствующий таблицы д. Соответствующий таблице т. На языке его свойств как элемента групповой алгебры, то есть.
39: Пусть ц это какой-то элемент групповой алгебры.
40: Тогда верно следующее элемент ц пропорционален симметризатор юнга с каким-то коэффициентом числовым.
41: Что мы только в том случае, когда при умножении
42: Справа на элемент из строчного стабилизатора таблицы тэ элемент не меняется, а при умножении слева на элемент из столбцового стабилизатора таблицы тэ элемент умножается на знак этой подстановки, то есть ру.
43: Другими словами, выполнено следующее пси на цэ на pi равно знак пси умножить на цэ для любых пси из столбцового стабилизатора и p из строчного стабилиза.
44: Таблицы т. То есть это свойство характеризует симметризатор юнга, ну, с точной пропорциональности в терминах умножения в групповой алгебре, вот на некоторые элементы из этих вот подгрупп. Ну давайте в 1 сторону, значит,
45: Доказательства в 1 сторону совсем легко. То есть утверждается, что сам симметризатор юнга, ну и, естественно, любой элемент ему пропорциональный удовлетворяет вот этому свойству. Ну что такое симметризатор юнга, давайте я ещё раз напиш.
46: Цэ тэ это есть бэ тэ умножить на r t, где бэ тэ это есть альтернирования сумма всех элементов столбцового стабилизатора.
47: А атэ это есть просто сумма всех элементов строчного стабилизатора.
48: Теперь, если мы элемент бэ тэ слева умножим на какую-то подстановку из столбцового стабилизатора, то есть рассмотрим пси умножить на бэ тэ то, что произойдёт, ну просто вот, ну тут, конечно, конфликт.
49: Значение здесь суммирование по всем пси, а здесь берётся какое-то конкретное пси. Ну можно там было написать какой-нибудь пси 0, взять какой-нибудь, да, вот тогда все вот эти вот множители, все слагаемые пси умножатся на пси 0, да? А
50: Знак будет прежний. Ну и на самом деле он будет отличаться от знака этого, от знака этого произведения на знак пси 0. Правильно? То есть другими словами. А если мы здесь добавим этот знак пси 0, то получим ту же самую сумму, просто элементы будут сдвинуты.
51: То есть, другими словами, при умножении на слева, на элемент, ну и на самом деле справа тоже при умножении хоть слева, хоть справа на элемент из столбцового стабилизатора, вот этот самый bad, вот этот элемент групповой.
52: Б. Умножается на знак этой подстановки.
53: Вот, ну а что касается 2 элемента a t, то тут ещё проще тут очевидно, что при умножении на любой элемент из строчного стабилизатора в этой сумме просто слагаемые переставятся, сумма не изменится, то есть a t умножить на пи.
54: Равно a t, где по прежнему пси из q t r p из пэ тэ, то есть обозначение прежнее ну и понятно тогда, что c t, которое есть произведение бэ тэ на a t при умножении слева на пси, а справа на p умножится на знак пси вот это.
55: Следует из этих 2 формул, да, если просто умножить вот это на это таким образом в 1 сторону, понятно, что симметризатор юнга нужными свойствами обладает теперь в другую сторону. Почему, если элемент обладает
56: Вот этими свойствами он пропорционален, симметризатор юнга соответствующему
57: Давайте рассмотрим вот этот элемент цэ и разложим его, ну как элемент групповой алгебры по элементам группы по базису групповой алгебры. То есть элемент цэ можно записать как сумма по всем, сигма из
58: Симметрической группы какой-то коэффициент альфа сигма числовой умножить на сигма.
59: Тот факт, что элемент ц обладает вот этим свойством, означает, что его координаты в базисе групповой алгебры, то есть координаты по элементам группы, если мы заменим элемент группы, заменим
60: Элемент сигма умножим его слева на пси, а справа на p. То соответствующая координата умножится на знак пси, правильно? То есть выполнено следующее свойство альфа с индексом пси сигма пи равно.
61: Но знак пси умножить на альфа сигма вот при умножении, значит, всей суммы вот этой, а значит, каждого элемента, каждого слагаемого слева на пси, справа на пи, ну, все умножится.
62: На знак, то есть координаты изменятся вот таким вот образом. Это понятно, да? Вот. Ну и давайте теперь мы сделаем вот что. Давайте мы эту сумму развалим на 2 части.
63: 1 группа слагаемых это будет суммирование по тем подстановкам сигма, которые представляются в виде произведения пси на p. Вот то, что у нас фигурировало в lemme 1 критерий того, когда сигма представляется в виде произведения пси на p. Вот да.
64: Давайте будем суммировать в начале только по таким подстановкам. Сигма равная пси умножить на пи. Спрашивается, как будут выглядеть коэффициенты в этой сумме? Ну, понятно, из этой формулы сразу следует. То есть все такие подстановки.
65: Sigma получается из единичной подстановки умножением слева на пси справа на p. Правильно, поэтому соответствующая координата будет равна координате при единичном элементе группы, умноженной на знак пси, то есть будет знак.
66: Умножить на альфа с индексом 1. Я напомню, что единичный элемент в группе я обозначаю цифрой 1. Мне так удобно, потому что он же будет единичным элементом в групповой алгебре и так далее. Вот, ну, умножить вот, на
67: Сигма на вот такое сигма вот, a2 сумма будет соответственно по всем остальным по sigma, которая не представляется в таком виде си умножить на пи, ну и тоже будут там какие-то коэффициенты альфа сигма.
68: Вот давайте разберёмся с тем, как устроена каждая из этих сумм. Что касается 1 суммы.
69: То это понятно, что такое, это просто напросто произведение вот этого на вот это
70: Ну, ещё с коэффициентом альфа 1, правильно? То есть, когда мы умножаем вот эту сумму на вот эту сумму, у нас как раз получается всевозможное произведение пси на пи, ну, ещё вот с таким вот знаком при
71: Каждое такое произведение пси на p будет встречаться Ровно 1 раз. То есть приведения подобных членов тут не будет это следует из леммы 1, что разложение подстановки в произведении чего-то из столбцового стабилизатора на что-то из строчного стабилизатора, если оно существует.
72: Оно единственное, то есть вот такое разложение для данной подстановки сигмы единственно полеми 1. Поэтому то, что здесь написано, 1 сумма, это просто альфа 1 умножить на симметризатор юнга ц т.
73: Ну, то, что мы хотели получить, то есть что-то пропорциональное, симметризатор юнга, a2 сумма, я утверждаю, что она равна нулю. И вот давайте это докажем.
74: Значит, докажем.
75: Вот это будем пользоваться леммой 1. Что нам говорит лемма 1, она нам говорит, что если подстановку сигмы нельзя таким образом,
76: Представить то это значит, что найдётся элемент, найдётся, вернее, пара элементов, которые живут в 1, в 1 столбце таблицы т. И в 1 строке таблицы сигма т. Правильно, значит.
77: Если сигма не равно си умножить на пи, то тогда существует, значит полеми 1 существует такая пара номеров и жи, которые живут в од.
78: Столбце таблицы т. И в 1 строке.
79: Таблица сигма т. Ну то есть другими словами транспозиция и жи давайте эту транспозицию обозначу буквой тао просто для краткости транспозиция и жи, она живёт в
80: В столбовом стабилизаторе таблицы т. И в строчном стабилизаторе таблицы сигма т.
81: Правильно, а раз транспозиция тау живёт в строчном стабилизаторе таблицы сигма тэ, то сопряжённая транспозиция сигма в минус 1 на тау, на sigma. Давайте обозначим тау штрих это сиг.
82: В минус 1 на тау, на sigma она будет жить уже в строчном стабилизаторе таблицы т. То есть вот в этой группе.
83: Вот давайте мы вот это равенство перепишем немножко по другому я домнож на sigma слева и тогда я могу да, на сигма я домнож слева, а на тау штрих, домнож справа тау штрих это транспозиция, она в квадрате равна единице. Мы получаем такое.
84: Равенство, что на sigma, домножаю слева, что sigma равно тау на sigma, на тау штрих. Правильно я могу переписать это равенство вот таким вот образом и теперь пользуясь вот этим, а?
85: Также, пользуясь тем, что тау лежит в столбцовой стабилизаторе, а тау штрих лежит в строчном стабилизаторе таблицы т. Я могу теперь записать, что координата альфа сигма.
86: Вот, согласно вот этой общей формуле координата альфа сигма, значит, при домножении справа на строчный стабилизатор она не меняется, да? Ну, во первых, это тоже самое, что альфа тао сигма тао штрих, поскольку
87: Это одно и то же. Так вот, при домножении справа на строчный стабилизатор координата не меняется, а при домножении слева на столбцовый стабилизатор она умножается на знак подстановки, но знак транспозиции это минус. То есть получается, что это равно минус альфа.
88: Sigma ну, значит, равно нулю, да число равно минус самому себе.
89: Вот, то есть мы доказали, что в этой сумме все координаты равны нулю. Значит, эта сумма нулевая. Ну и таким образом наш элемент действительно пропорционален. Симметризатор юнга, и мы доказали в обратную сторону
90: Вот, то есть мы охарактеризовали симметризатор юнга в терминах групповой алгебры.
91: Отлично.
92: Следующая лемма.
93: Lemma 3. А давайте я возьму групповую алгебру и умножу слева и справа на симметризатор юнга. То есть я рассмотрю цэ лямбда умножить на всю групповую алгебру, умножить на цэ лямбда справа.
94: Ну цэ лямбда это c t для фиксированной таблицы тэ формы лямбда то есть я обозначение сохраняю прежнее мне сейчас неважно, какая таблица, лишь бы формы лямбда вот это будет некое подпространство в групповой алгебре я утверждаю, что оно будет одномерно и порождено просто самим симметризатор м. Юнга, то есть.
95: Это будет комплексное число, комплексное поле умножить на ц целям.
96: Доказа да, это значит 1. A2 значит, раз это так, раз это так, то, в частности, это означает если здесь взять в качестве элемента групповой алгебры единицу, то мы здесь получим c лямбда в квадрате, значит, c лямбда в квадрате получается, в частности, пропорции.
97: С каким-то коэффициентом. Вот. И 2 утверждение в частности.
98: Цэ лямбда в квадрате равно цэ лямбда умножить на какой-то коэффициент давайте мы обозначим q лямбда вот это число q лямбда это натуральное число, то есть целое положительное число.
99: Это 2 утверждение.
100: Че, почём?
101: Кулянда это натуральное число.
102: Значит, доказательства. Ну, давайте заметим вот что. Что значит.
103: Если мы
104: Будем умножать. Вот мы здесь где-то писали, я правда уже стёр, но здесь это было записано. Если мы элемент бэ лямбда будем умножать слева на элементы столбцового стабилизатора, то
105: Элемент бэ лямбда умножится на знак этой подстановки. А если мы элемент а лямбда будем умножать справа на элементы строчного стабилизатора, то элемент, а лямбда не изменится. Отсюда, в частности, следует. А ну, собственно, даже действительно, зачем я это вспоминаю ещё раз?
106: У меня же есть вот это утверждение, да, которое я уже как раз с использованием этих соображений доказал. Если мы, симметризатор юнга, будем умножать справа на элементы строчного стабилизатора, а слева на элементы столбцового стабилизатора, то тогда элемент
107: Вот этот вот умножится на знак, правильно? В частности, если мы возьмём любой элемент отсюда, то есть цэ лямбда умножить на какое-то, а умножить на цэ лямбда и умножим его слева на элемент.
108: Из столбцового стабилизатора, а справа на элементы строчного стабилизатора значит пси из ку лямбда, а p из пэ лямбда.
109: То тогда, поскольку здесь мы умножаем симметризатор юнга, здесь произойдёт умножение на знак и справа мы тоже умножаем элемент пи на симметризатор юнга. Значит, останется сам этот симметризатор юнга. То есть получится знак пси.
110: Умножить на то, что было цэ лямбда, умножить на а умножить на цэ лямбда полеме 2.
111: Это означает, что такой элемент пропорционален симметризатор юнга цэ лямбда умножить на а умножить на цэ лямбда лежит в одномерном пространстве, порождённом симметризатор м. Юнга.
112: Ну, то есть, получается, что вся вот эта вот штука, она на самом деле содержится в одномерном пространстве, которое порождено. Симметризатор ом юнга. Ещё не факт. Может быть, это произведение тождественно равно нулю. Мы пока чт.
113: То это ещё не доказали. Это будет следовать из 2 части. Если мы докажем, что вот это коэффициент, это натуральное число, тогда это произведение не будет тождественно равно нулю. Например, здесь живёт лямбда в квадрате, который не 0. Да, и тогда получается все
114: Это одномерное пространство получится. Вот. Значит, пока что мы доказали здесь только включение. Ну а чтобы доказать равенство, надо посмотреть на вот этот коэффициент и понять, что он является натуральным числом.
115: А для этого?
116: Давайте заметим, во первых, что этот коэффициент заведомо является целым числом.
117: То есть, в частности, из того, что мы уже доказали, из того, что мы попадаем в это одномерное пространство, в любом случае уже следует, что c лямбда в квадрате пропорции.
118: C лямбда с каким-то коэффициентом и я утверждаю, что этот коэффициент на самом деле можно гарантировать, что это целое число целям Кулянда это целое число.
119: Почему целое число? Ну, смотрите, что такое вот этот симметризатор юнга цэ лямбда ещё раз напишу. Уже не раз писал, но просто, чтоб было перед глазами это бэ лямбда умножить на а лямбда, или, если развернуть, что такое бэ лямбда, что такое?
120: А лямбда это сумма по всем возможным пси из ку лямбда и по всем возможным пи из пэ лямбда из столбцового, из строчного стабилизаторов. Таких вот штук знак пси умно.
121: Умножить на пси, умножить на пи правильно причём здесь все произведения попарно различны. Вот здесь нет подобных членов. Это лемма 1. В частности, среди этих произведений есть единичка, то есть когда
122: Psi равно единице, и когда pi равно единице. И эта единичка входит с коэффициентом 1. То есть это выражение имеет вид симметризатор юнга единица плюс остальные элементы симметрической группы с какими-то коэффициентами. Ну?
123: Понятно, что эти коэффициенты будут плюс минус единица и 0, плюс минус единица будет там, где такие произведения берутся, а 0 по всем подстановкам, которые не имеют такого разложения. Да, вот. Но важно, что если мы разложим симметризатор юм,
124: По базису групповой алгебры, то у нас при единичном элементе группы будет коэффициент 1, да? Вот. Ну и теперь, если мы возведём в квадрат, да.
125: То есть умножим вот такую сумму ещё раз на себя. Вот, то тогда при единичке будет, ну, вообще говоря, какой-то целый коэффициент, правильно? Потому что когда мы умножаем вот такую сумму саму на себя, там уже подобные члены могут возни
126: То есть единица будет получаться как произведение какого-то sigma отсюда на сигма, в минус 1, которая тоже в этой сумме может встретиться с каким-то коэффициентом, и таких пар сигма сигма в минус 1 может быть много, а коэффициенты целые плюс минус единички и нули, да, поэтому вот.
127: В итоге получится, что c лямбда в квадрате туда входит единичный элемент группы с каким-то целым коэффициентом, вот обозначу его как раз Куляба, ну плюс остальные элементы группы с какими-то тоже.
128: Целыми коэффициентами. И поскольку мы знаем, что эта штука должна быть пропорциональна самому симметризатор юнга, то коэффициент пропорциональности отсюда виден. Это вот эта самая Кулянда. Причём эта Кулянда, как я сказал, это целое число.
129: Вот, то есть мы доказали с вами, что квадрат симметризатор юнга, пропорционален симметризатор юнга с целым коэффициентом. Осталось понять, что этот коэффициент положительный, правильно? И тогда мы все с вами здесь докажем.
130: Вот, то есть давайте я напишу. Остаётся доказать, что у лямда больше нуля. Тут уже не важно. Целое не целое, важно, что больше нуля. Как это доказать. Давай.
131: Я вот эту часть сотру.
132: Давайте мы рассмотрим оператор умножения справа на симметризатор юнга в групповой алгебре. То есть вот у нас есть оператор, который мы обозначали. Р. Ну, в данном случае с индексом c лямда, это оператор умножения справа на этот элемент целям.
133: То есть эндоморфизм групповой алгебры как левого, а модуля, да?
134: Спрашивается, какую матрицу имеет этот линейный оператор? Ну, смотря в каком базисе, значит, его матрица.
135: В стандартном базисе групповой алгебры, то есть в базисе, составленном из элементов группы.
136: Как она будет выглядеть. Ну вот давайте посмотрим, что такое матрица. Это надо взять базисные векторы, то есть сами элементы группы, подействовать на них этим оператором и посмотреть.
137: Какие будут координаты и записать их по столбцам матрицы, правильно? То есть мы берём какой-то элемент группы, какой-то сигма, умножаем справа на симметризатор юнга, то есть справа умножаем на такую штуку, да, и спрашиваем, какие будут координаты у полученного вектора.
138: То есть как полученный элемент сигма умножить на вот эту сумму, как он будет разлагаться по базису групповой алгебры, ну, как-то будет разлагаться, но важно, что координата при самом элементе сигма.
139: Будет равна единице, правильно? То есть матрица будет с единичками по диагонали.
140: Так что там будет дальше, в общем то.
141: Можно, конечно, посчитать, но не так уж важно, важно, что матрица будет с единичками по диагонали.
142: Вот это матрица этого оператора в базисе из групповой алгебры. С другой стороны, этот оператор обладает тем свойством, что его квадрат пропорционален самому себе вот с этим числовым коэффициентом.
143: Операция умножения на целяма справа, она обладает тем же самым тождеством, что и вот это равенство. Правильно? Вот в частности это означает, что если мы рассмотрим образ этого линейного оператора, то есть как раз
144: Левый, а модуль, порождённый элементом c лямбда а умножить на цэ лямбда, то на этом образе оператор умножения на цэ лямбда ещё раз справа умножить на c лямбда действует скалярно, действует вот с таким вот скалярным множителем, правильно и
145: Если мы теперь возьмём базис групповой алгебры, согласованный с этим образом, то есть в базисе.
146: Согласованным с образом оператора умножения справа на цэ лямбда, то есть с вот этим вот левым идеалом, а умножить на цэ лямбда, матрица будет выглядеть следующим образом. Ну, предположим, что 1 сколько-то the
147: Векторов это базис образа, там 1 не знаю там k столбцов соответствует координатам образов базисных векторов отсюда тогда, поскольку на образе оператор действует скалярно, то у нас здесь будет просто по диагонали стоять в нужном количестве.
148: Кулянда это вот в первых k столбцах, ну а в остальных местах будут стоять нули. Вот что будет стоять дальше, мне не всюду важно, но важно, что здесь будут нули и здесь будут нули, ну и здесь будут нули, потому
149: Потому что почему здесь будут нули? Потому что умножение на c лямбда все загоняет вот сюда, то есть в линейную оболочку первых-ка базисных векторов. Поэтому у образов всех базисных векторов, начиная с-ка плюс 1 координаты будут идти нули. Вот.
150: То есть матрица будет вот такая в 1 базисе матрица такая, а в другом базисе матрица такая. Ну а теперь давайте посмотрим на следы этих 2 матриц, сравним их. Это же будет след 1 и того же линейного оператора. Значит, получаем, что
151: Оператора умножения справа на симметризатор юнга, с 1 стороны, он равен сумме соответствующего количества единиц равного размерности групповой алгебры, то есть m факториал порядку группы.
152: А с другой стороны, это равно вот этому самому числу Кулянда.
153: Умноженному на размерность образа, ну то есть на размерность вот этого левого идеала, который мы здесь обозначили. У от лямда, да?
154: Умножить на размерность у от лямбды ну и в частности отсюда видно конечно, что q лямбда это положительное число, потому что на что бы мы его не умножили, здесь мы должны получить эм факториал это положительное число, значит и эти множители положительны.
155: Вот, то есть, в частности, мы отсюда получаем такую формулу, которая нам пригодится. В дальнейшем мы доказали, что Кулянда это положительное число. Мы доказали большее, мы получили формулу для этого коэффициента пропорциональности, что это m факториал, делённое на раз.
156: Верность вот этого модуля.
157: У лямбда вот это нам пригодится.
158: Хорошо, что это нам даёт, это нам на самом деле даёт уже 1 часть теоремы, то есть следствием доказанного.
159: Давайте следствие 1. Ну просто следствие, пожалуй, потом будут какие-то дальше следствия, они будут уже не связаны с этим следствием доказанного является то, что элемент, давайте мы обозначим её с индексом лямбда.
160: Который получается, если симметризатор юнга поделить на вот этот коэффициент пропорциональности Кулянда.
161: Значит, ц лямбда делить на ку лямбда это неразложимый идемпотентов групповой алгебре?
162: Ну почему идём? Патент, понятно. Это сразу вытекает из этого тождества. То есть, что е лямбда в квадрате равен самому себе, это сразу вытекает отсюда. Правильно? Вот. А почему не разложил?
163: Потому что если бы его можно было разложить в сумму 2 ортогональных идемпотентов.
164: Значит, ортогональные. Это я напомню, что они в квадрате равны нулю. Они в квадрате равны сами себе. То есть это идемпотенты, и их произведение в любом порядке равно нулю, если бы можно было разложить наш.
165: Импатент её лямбда в произведении 2 ортогональных идемпотентов, то тогда мы бы получили, в частности, что если мы, еляна справа и слева, умножим на 1 из этих ееитак, не наоборот. Давайте так, если мы 1 из этих ееитак справа,
166: Или слева умножим на е и справа и слева умножим на е лямбда, то есть напишем так е лямбда умножить на её итое, умножить на е лямбда, то, с 1 стороны, по вот этим вот свойствам.
167: Мы получим что?
168: Если у нас е лямбда, это сумма e1 плюс e2, и мы берём её 1 плюс e2, умножаем на 1 из еити и ещё раз умножаем на e1 плюс e2, а еитон удовлетворяют вот таким вот условиям, че мы получим? А не почему 0 то, кстати,
169: E1 плюс e2, потом, допустим, e1, а потом ещё раз, e1 плюс e2.
170: Кто 1 скажет правильный ответ не хочу писать.
171: А елитой как раз получим. Совершенно верно. С 1 стороны, мы получим елитой, это напрямую следует из вот этих тождеств, ну, из вот этого разложения. А с другой стороны, по доказанному, ну, е, лямбда на что-то, на е, лямбда лежит тоже.
172: Здесь же правильно? Потому что е. Лямбда лямбда отличается числовым множителем.
173: То есть мы получим что-то пропорциональное цэ лямбда, ну а значит, что-то пропорциональное, е лямбда, то есть что-то лежащее в цэ, умножить на е лямбда, это по лемме.
174: 3 ну и, в частности, отсюда следует, что эти 2 импотента друг другу пропорциональны.
175: Вот что, конечно, невозможно, потому что они же в произведении 0 дают, а если бы они были пропорциональны, е. Лямбда, они бы в произведении давали что-то там е лямбда с каким-то ненулевым коэффициентом, то есть это противоречие, ортогональные друг другу и домпотом не могут быть.
176: Рациональные. Вот таким образом мы получаем, что симметризатор юнга порождают тоже самое, что и вот эти неразложимые демпо, то есть вот эти модули уля
177: Вот как следствие. Ну давайте следствие 1, действительно. А это пусть будет следствие 2, что вот эти модули у лямбда, которые порождены, симметризатор ми юнга, их можно по другому написать, как модули, порождённые вот этими неразложимыми
178: Это будут неприводимые.
179: Модуля это мы знаем из общей науки, что неприводимое представление полупростой алгебры реализуется как левые под ну, левые регулярные подмодули, которые подмодули в левом регулярном модуле, которые порождаются неразложимыми.
180: Вот, то есть мы доказали, значит, 1 пункт теоремы и то, что вот эти вот Улянды неприводимы. Осталось доказать, что они попарно неизоморфны.
181: Вот остаётся доказать, что у лямбда попарно неизоморфны 3 разных лямбда.
182: Следующая лемма. Ну, вернее, прежде чем формулировать следующую лемму, давайте введём ещё 1 понятие рассмотрим вот на разбиениях или по другому на диаграммах юнга можно ввести обычный лексикографический порядок.
183: Лексикографический порядок на разбиениях.
184: Или, что эквивалентно на диаграммах юнга 1 другое однозначно определяет.
185: Ну как, ну очень просто разбиение это что такое? Это упорядоченный набор чисел, да, которые там не строго убывают и в сумме дают m. Давайте эти 2 набора чисел сравнивать лексиграфически. То есть слева направо, до 1 различия, где число больше, то, соответственно, разбиение старше. Ну, а
186: А если на языке диаграмм юнга мы диаграммы юнга 2 сравниваем по длинам строк. Сначала сравниваем длины 1 строки у каждой, потом длины 2 строки, у каждой, да и так далее. До 1 различия. У кого строка длиннее, та диаграмма старше. Вот, ну.
187: Так, если формально написать, давайте я как-то это запишу. То, что я сказал, мы говорим, что
188: Диаграмма юнга лямбда младше диаграммы юнга мю, если существует такой номер и что итая строка диаграммы лямбда, короче итой строки диаграмм.
189: А все строки до итой у этих 2 диаграмм имеют 1 и ту же длину.
190: Для любого жии меньше и лямбда жии равно ню жи вот такой вот естественный лексиграфически порядок на диаграммах юнга вот Лемба 4.
191: Говорит, что если 1 диаграмма младше другой, то есть 2 диаграммы разные, значит, они все сравнимы между собой. Любые 2 диаграммы. Можно сравнить, какая из них старше, какая младше по этому порядку. Да, если у нас диаграмма лямбда младше диаграммы мю.
192: И мы возьмём, соответственно, 2 таблицы, 1 формы лямбда, другая формы мю, то есть таблица тэ имеет форму лямбда, а таблица т штрих имеет форму мю.
193: То тогда вот сравните с леммой 1, которая у нас была доказана в прошлый раз. И сегодня я её напомнил, то тогда существует пара номеров, которые живут в 1 столбце.
194: Таблицы т. И в разных столбцах таблицы т. Штрих.
195: Тогда существуют номера и жи.
196: В 1 столбце т и в 1 строке таблицы т штрих. Вот, то есть, если, да, если таблицу
197: У нас одинаковой формы, то такое бывает тогда и только тогда, когда подстановку, которая из 1 таблицы делает другую, нельзя представить в виде произведения чего-то там из столбцового стабилизатора на что-то из строчной, а вот если таблицы разной формы, то
198: Такая пара чисел всегда существует.
199: Вот, ну, точнее зависит от того, в каком порядке эти таблицы взяты там, откуда надо из столбца взять, откуда из строки. Это зависит от того, какая таблица, какая диаграмма старше, какая младше. Вот как это доказать. Ну, давайте я тоже вот как в доказательстве.
200: Я изображу это на картинках. Вот смотрите значит
201: Вот как и в lemme 1, мы там во 2 части леммы 1, если вы помните, как она доказывалась, мы там доказывали от противного. Вот предположим, что это неверно, да, то есть, если предположим, что вот у нас ди,
202: Лямбда младшей диаграммы мю тэ форме лямбда t штрих в форме мю, но не существует такой пары номеров, которые жили бы в 1 столбце t и в 1 строке т штрих.
203: Вот, ну то есть все, что лежит в 1 строке, т штрих, оно находится в разных столбцах. Т. Вот давайте рассмотрим таблицу т. Я её изображу как-то, какая-то вот таблица.
204: Вот и таблица т штрих.
205: Другой формы, да?
206: Вот, и посмотрю на 1 строчку таблицы т штрих. Вот какие числа тут стоят, ну вот какие-то стоят.
207: Ну, на картинке я тут как бы масштаб не соблюдаю, но, кстати, не случайно смотрите, что нам, я же от противного доказываю, значит, от противного.
208: Пусть такой пары номеров не существует. Ну, такой, что я уж не буду продолжать, пусть не существует такой пары номеров.
209: Тогда что это, в частности, означает? Это означает, что все числа, которые стоят в 1 строке таблицы т. Штрих, они обязаны стоять в разных столбцах таблицы, т. То есть они где-то вот здесь вот разбросаны, но важно, что кто-то в
210: 1 строку попал кто-то в разные, но важно, что они все в разных столбцах таблицы т. Штрих.
211: Правильно.
212: Все в разных столбцах.
213: Че то я с перебор, да, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Давайте без этого.
214: Все в разных столбцах таблицы т. Штрих, в частности, это означает, поскольку все эти столбцы проходят через 1 строку таблицы т. Да, это означает, что длина 1 строки таблицы т. Не меньше, чем длина 1 строки таблицы т штрих, то есть
215: Лямбда 1 больше или равно чем мю 1.
216: Но поскольку у нас по условию дано, что диаграмма лямбда младше диаграммы мю, то обратное неравенство может быть, только если оно является равенством правильно, то есть отсюда следует, что на самом деле здесь равенство лямбда 1, равно мю 1.
217: То есть первые строки у t и t штрих имеют одинаковую длину и, значит, действуя столбцовыми стабилизатором таблицы, т.
218: Действия с помощью кутэ мы можем все вот эти числа, которые в разных столбцах здесь написаны, загнать в 1 строку можем. Причём, поскольку строка имеет ту же длину, эти числа просто будут подряд заполнять 1 строку таблицы.
219: То есть на самом деле она не длиннее, а Ровно такой же длины должна быть.
220: Теперь давайте посмотрим на 2 строку здесь.
221: Опять-таки все числа из этой строки должны находиться в разных столбцах таблицы т. По нашему предположению, правильно, ну а раз они должны находиться в разных столбцах этой таблицы, они будут находиться и в разных столбцах этой таблиц.
222: Тоже, потому что перестановка, которая из этой таблицы делает эту, мы внутри столбцов переставляем числа, мы между разными столбцами не бегаем. То есть эти числа здесь будут всюду находиться в разных столбцах.
223: И из этого опять-таки следует, что количество этих столбцов
224: А все эти столбцы, они обязаны проходить через 2 строку нашей таблицы, правильно? Вот количество этих столбцов, оно не меньше, чем длина этой строки. То есть опять-таки длина уже 2 строки.
225: Нашей таблицы тэ или вот этой таблицы. У них 1 и та же форма, то есть лямбда 2 должно быть больше или равно чем ю 2.
226: Ну и опять-таки, поскольку, по условию лямбда младше, чем мю, то больше или равно, может быть только в том случае, если равно отсюда следует, что лямбда 2 равно мю 2. Ну дальше мы смотрим на 3 строку и так далее, то есть и так далее.
227: В итоге.
228: Мы получаем, что просто эти диаграммы совпадают, что у них все строки имеют 1 и ту же длину, что противоречит условию, потому что 1 из диаграмм должна быть младше другой.
229: Вот такое доказательство. Итак, вот у нас есть 4 лемма, такая вспомогательная. Это, можно сказать, аналог леммы 1 для случая, когда таблицы разной формы, да, вот лемма 1 говорит нам что-то про числа в 1 строке, в 1 столбце 2 разных таблиц.
230: 1 и той же формы, а это аналог леммы 1 для таблиц разной формы следующая лемма лемма 5.
231: Это я сотру лемма 5, опять-таки, если у меня есть 2 диаграммы.
232: Разных, допустим, 1 младше другой лямбда меньше мю то тогда произведение бэ лямбда на а мю и в том, и в другом порядке равно нулю бэ лямбда.
233: Это, я напомню, сумма альтернирования, сумма элементов столбцового стабилизатора, таблицы, формы лямбда, ну, например, вот этой таблицы. Т, да, а, а мю, это просто сумма всех элементов строчного стабилизатора, таблицы, формы мю, например,
234: Таблица т штрих да, вот. И вот давайте мы, значит, используя, докажем это, используя обозначение предыдущей леммы, значит, доказательство, то есть бэ лямбда это тоже самое, что бэ тэ.
235: Где т это таблица формы лямбда.
236: А мю. Это тоже самое, что а. Т штрих, где т штрих таблица в форме мю, то есть в обозначениях.
237: Леммы 4 и опять-таки в обозначениях леммы 4 значит, мы говорим, что существует такая пара номеров и жи, которые живут в 1 таблице, в 1 столбце таблицы т. И в 1 строке таблицы.
238: Штрих соответствующая транспозиция тау, которая переставляет эти 2 номера.
239: И жи в 1 строке, в 1 столбце таблицы тэ, то есть эта транспозиция лежит в столбцов стабилизаторе таблицы т переставляет числа из 1 столбца и в 1 строке таблицы т штрих, то есть эта штука лежит в строчном стабилизаторе таблицы т штрих, правильно?
240: Вот, а тогда мы можем написать следующее. Мы можем написать, что, ну, допустим, вот это 1 произведение бэ тэ умножить на a t.
241: Бэ тэ сейчас умножить на a t штрих извините бэ тэ умножить на a t штрих, если мы умножим элемент a t штрих.
242: На эту транспозицию тау то ничего не изменится, правильно?
243: Сейчас ещё раз, что именно не так?
244: Равно нулю. Да, я сказал, но не написал, разумеется, сказал, но не написал. Спасибо. Вот, значит, вот это произведение, если мы умножим 2 множитель, ну, допустим, слева на тау, да, то есть вставим сюда посередине тау, то ничего не изменитс.
245: То есть это тоже самое, что better умножить на тау, умножить на a t штрих, поскольку тау умножить на a t штрих равно a t штрих это просто сумма всех элементов строчного стабилизатора, а это 1 из них сумма.
246: Переставится, но в целом не изменится. Но, с другой стороны, тау лежит в столбцовой стабилизаторе. И поэтому, если мы умножим тау, ну, справа на тау умножим бэтэ, то better умножится на знак этого самого тау, то есть на минус единицу
247: Ну то есть, получается, этот элемент групповой алгебры равен минус самому себе, значит 0.
248: То есть от того, что мы вклеили посередине эту транспозицию, тао у нас, с 1 стороны, ничего не изменилось, а с другой стороны, умножилось на знак, значит, значит, 0. Вот абсолютно аналогично, в другом порядке, тут уж я не буду повторять аналогичные рассуждения.
249: А тау a t штрих умножить на бэ тэ тоже равно нулю, потому что можно тоже вклеить посередине тау и провести тоже самое рассуждение, просто поменяв ролями со множителями вот, значит, это лемма 5 ну.
250: Завершающая лемма 6.
251: Lemma, 6.
252: Говорит нам, что если мы вот этот вот самый модуль у лямбда, у от лямбда, если мы подействуем на него слева симметризатор м. Юнга цэ лямбда, то мы получим одномерное
253: Пространство, порождённое. Симметризатор м. Юнга. Сейчас нет, извините, это не то, нет, лемма 6 про другое это, это будет как раз завершение доказательства теоремы лемма 6 про другое. Лемма 6 говорит, что если у нас
254: Лямбда не равно ню, то тогда, если мы возьмём групповую алгебру и слева умножим на 1 симметризатор юнга, а справа на другой симметризатор юнга, то мы получим 0.
255: Если мы слева и справа на один и тот же симметризатор юнга умножим, то наша лемма 3 говорит нам, что мы получим как раз одномерное подпространство, порождённое этим симметризатор м. Юнга, что-то одномерное, а вот если мы слева и справа умножим на симметризатор юнга отвечающие.
256: Диаграммам разной формы, то тогда мы получим 0. Вот эта лемма следует из предыдущей, значит, доказательства. Ну, давайте вначале рассмотрим случай, когда диаграмма лямбда младше диаграммы мю.
257: Тогда мы можем сказать вот что. Ну, для того, чтобы доказать, что это произведение равно нулю, достаточно доказать, что если мы возьмём любой элемент группы, то есть любую подстановку сигма и умножим слева и справа на симмет,
258: Yung то мы получим 0, то есть.
259: Давайте даже так скажу.
260: Чтобы свести к лемме 5, давайте я даже так скажу в начале вот что заметим, что вот это произведение цэ лямбда умножить на а умножить на цэ мю содержится в таком произведении. Бэ лямбда умножить на а умножить на а.
261: Ну, потому что, что такое цэ лямбда? Это бэ лямбда умножить на а лямбда. А что такое цэ мю, это бэ мю умножить на а мю, и вот эти множители посередине, их можно запихнуть в а за пределы, а мы все равно не выйдем. Поэтому это содержится в этом. Вот. А чтобы доказать, что вот это
262: Равно нулю, чтобы доказать, что вот это равно нулю достаточно доказать, что произведение
263: Бэ лямбда умножить на сигма, умножить на амю равно нулю для любой сигма, то есть для любого элемента из базиса групповой алгебры. Вот. Ну а вот это можно переписать таким образом. Это тоже самое, что бэ ля.
264: Умножить на сигма, а мю сигма в минус 1 умножить на сигма. Правильно? Теперь, если считать, что бля.
265: Вычисляется по таблице тэ формы лямбда а а мю вычисляется по таблице тэ штрих в форме мю, то тогда сигма на а мю на сигма в минус.
266: 1 сопряжённый элемент вычисляется по таблице сигма тэ штрих, правильно? То есть то, что здесь написано, это тоже самое, что бэ тэ умножить на а сигма т штрих, ну ещё потом умножить на сигма и это
267: Будет произведение элемента б для 1 таблицы на элемент, а для другой таблицы здесь форма лямбда, здесь форма по прежнему мю и лямбда младше мю. Поэтому, применяя лемму 5, мы сразу получаем, что это 0.
268: Значит, вот эта вот штука равна нулю по лемме 5.
269: Вот таким образом мы получаем, что вот такое произведение равно нулю. Ну а для произведения в другом порядке. В общем, примерно тоже самое. Можно так рассуждать.
270: Можно сказать, что если лямбда, наоборот, больше мю старше мю, то мы можем сказать, что цэ лямбда на а на цэ мю.
271: Значит, распишем. Давайте так. Это тоже самое, что бэ лямбда на а лямбда на а на бэ мю на а мю. И я утверждаю, что вот это произведение равно нулю.
272: Причём здесь рассуждение точно такое же, как здесь.
273: Только у нас буквы б и а поменяются ролями аналогично предыдущему.
274: То есть здесь у нас диаграмма лямбда старше, а диаграмма мю младшая. И в этой лемме 5 мы берём элемент бэ для более младшей диаграммы, а элемент, а для более старшей диаграммы, ну как, собственно, здесь и взято, да, вот просто буквы, а и б здесь в другом порядке.
275: Не в том, что здесь, а Роли между элементами а и б такие же, то есть бэ отвечает более младшей диаграмме а. А, отвечает более старшей диаграмме. Вот. И если здесь поменять местами порядок множителей, то, ну, все, рассуждение будет примерно такое.
276: Только надо сопрягать этот элемент бэ, но он тоже будет той же формы, и тут уже надо использовать, что вот это 2 произведение равно нулю.
277: Вот аналогично предыдущему, то есть с использованием, с использованием того, 2 равенства леммы 5. Вот, ну,
278: Вот этой леммы 6 уже достаточно для завершения доказательства теоремы значит завершение.
279: Доказательство теоремы 1 а именно мы хотим доказать, что все вот эти вот неприводимые модули попарно неизоморфные. Почему они попарно неизоморфные? Вернее, как доказать, что 2 а модуля попарно неизоморфные, не изоморфны друг другу надо
280: Доказать, что элементы групповой алгебры действуют в этих модулях по разному, да, тогда они не будут изомор. Вот какие элементы действуют по разному, по разному действуют симметризатор юнга. А именно если мы возьмём элемент у от лямбда, если мы возьмём модуль у от лям,
281: Вот этот модуль. И подействуем на него симметризатор м. Юнга, отвечающим той же самой диаграмме ну, тогда мы получим, мы знаем, что мы получим цэ лямбда умножить на а умножить на цэ лямбда. Мы получим одномерное подпространство, порождённое
282: Этим симметризатор м. Юнга, то есть что-то не нулевое. А если мы подействуем, симметризатор м. Юнга це лямбда на модуль, отвечающий другой диаграмме юнга мю, да, то тогда мы получим соответственно,
283: Цэ лямбда умножить на а умножить на цэ мю и это будет равно нулю полеме 6.
284: То есть это будет одномерное пространство, порождённое целям, да, полеме 3.
285: А это будет нулевое пространство по лемме 6. То есть получается, что один и тот же элемент групповой алгебры. Вот этот вот симметризатор юнга действует в этих 2, а модулях по разному. Значит, эти 2, а модуля не
286: Изоморфны друг другу, да, здесь надо написать при условии. То есть отсюда следует, что у от лямбда не изоморфна, у от мю. Но это, разумеется, все при условии, что лямбда не равно мю.
287: При лямда неравном. Ну вот мы с вами доказали, что при разных диаграммах получаются разные неизоморфные друг к другу неприводимые модули, потому что вот один и тот же элемент групповой алгебры действует в них по разному.
288: Вот, ну вот таким образом теорема полностью доказана. Значит, мы классифицировали на языке групповой алгебры симметрической группы все её неприводимые представления. Их вот так вот явно построили.
289: Давайте я сделаю ещё такое замечание к доказательству этой теоремы, но оно сейчас непосредственно нам не пригодится, но, возможно, пригодится позже.
290: Значит, замечание.
291: Вот у нас любая группа на ней есть такое взаимно однозначное отображение каждый элемент можно заменить на обратный это отображение, взятие обратного элемента.
292: Инверсия, оно не является автоморфизмом группы, но оно является антиавтомобильные, то есть произведение переходит в произведение в другом порядке. И вот это вот отображение инверсии, замены группового замены каждого элемента на обратный можно продолжить на всю групповую
293: Просто по линейности меня интересует случай симметрической группы, поэтому давайте я его и буду рассматривать. Вот у меня есть отображение инверсия, которое подстановку сигма отображает подстановку сигмы в минус 1. И это отображение можно продо.
294: Дожить до отображения из групповой алгебры симметрической группы себя. Давайте я его буду обозначать звёздочкой, то есть элемент, а маленькая переходит в элемент, а маленькая со звёздочкой, этот
295: Элемент, а маленькая со звёздочкой это вот что такое мы берём элемент, а маленькое, то есть линейную комбинацию элементов группы с какими-то коэффициентами числовыми и каждый элемент группы заменяем на обратный. Вот и все понятно, да, то есть если это сумма, а
296: Альфа сигма умножить на сигма по всем сигма, то это будет сумма альфа сигма умножить на сигма в минус 1 тоже по всем сигма. Вот. И это будет тоже, ну.
297: Взаимно однозначное отображение, такой изоморфизм векторных пространств. А что касается умножения, то это будет анти изоморфизм, да, то есть произведение переходит в произведение в обратном порядке. Вот как транспонирование матрицы, произведение транспонированных, транспонированных
298: Это произведение транспониро в другом порядке, то есть это будет анти автоморфизм групповой алгебры.
299: Более того, он будет инволютивным, то есть если его применить 2 раза, то мы получим тождественное отображение, то есть инвалюти ный анти автоморфизм.
300: Анти автоморфизм.
301: Вот, и заметим, что этот инволютивный анти автоморфизм, он, вот мы вводили там разные элементы в групповой алгебре, а лямбда, бэ, лямбда, цэ, лямбда, вот что с ними он делает.
302: Он элементы, а лямбда и бэ лямбда оставляет без изменения. То есть, а лямбда со звёздочкой равно, а лямбда, бэ лямбда со звёздочкой равно бэ лямбда, потому что эти элементы это там суммы или альтернирование суммы всех элементов некоторой подгруппы.
303: Но когда мы все эти элементы заменим на обратное, то сумма не изменится. Знак у обратной подстановки такой же. Поэтому альтернирования сумма тоже не изменится. Вот, значит, эти элементы выдерживают эту инвалютную, эту инволюцию. А симметризатор
304: Yung вот если применить операцию звёздочка что такое ц лямбда со звёздочкой это будет произведение, а лямбда на бэ лямбда в другом порядке.
305: Такие элементы называются двойственными симметризатор ми юнга, двойственный симметризатор юнга.
306: Вот, и на самом деле их можно использовать вместо обычных симметризатор в юнга, для построения всех неприводимых представлений. То есть вот в этой теореме.
307: И во всех там лемах, которые у нас были в доказательствах, можно, в принципе заменить симметризатор юнга на двойственные, и все останется верным. То есть
308: Для построения.
309: Всех неприводимых представлений.
310: Симметрической группы можно использовать двойственные симметризатор юнга вместо обычных.
311: Вот, и тогда мы получаем как бы другой набор неприводимых представлений.
312: Другой полный набор неприводимых представлений.
313: А именно нужно брать циклические подмодули в левом регулярном модуле, порождённые двойственными симметризатор ми юнга вот, но на самом деле оказывается, что этот набор не другой, а тот же самый, что эти представления изоморфны друг другу, то есть на самом деле.
314: Модуль а целяма со звёздочкой и заморён модулю, а целям
315: И увидеть это можно вот каким образом.
316: Значит, во первых, ну что такое цэ лямбда со звёздочкой это а лямбда умножить на бэ лямбда. Поэтому модуль, им порождённый.
317: А умножить на цэ лямбда со звёздочкой содержится в модуле, порождённом блямбой, правильно?
318: Просто если мы умножаем сначала на а лямбда, а потом на все, что угодно. Ну, понятно, что все равно мы умножаем на что-то из алгебры, а то есть попадаем сюда справа, у нас все равно будет стоять бэ лямбда. Дальше у нас есть отображение из a бэ лямбда в
319: А цэ лямбда это отображение умножения справа на элемент, а лямбда.
320: То есть, эр а лямбда, потому что когда мы умножим справа на элемент, а лямбда, мы здесь получим обычный симметризатор юнга цэ лямбда. Правильно? Вот, и это гомоморфизм Левых, а модулей, правильно, он Переста.
321: С умножением слева на элементы. А, то есть это гомоморфизм модулей. Этот модуль по аналогичной причине содержится в модуле, а умножить на а лямбда в таком циклическом модуле, потому что цэ лямбда это бэ лямбда умножить на а лямбда, правильно?
322: Вот, а здесь у нас есть ещё 1 гомоморфизм, умножение справа на элемент бэ лямбда, эр бэ лямбда. И он отображает этот модуль в этот, правильно?
323: В частности, у нас получается такое вот 2 таких гаумо физма из этого модуля в этот, то есть композиция вот этого вложения и умножения справа на алямба, вот гомор изм, отсюда сюда и вопро.
324: Обратную сторону. Вот это вложение и умножение справа на блямба, гомоморфизм отсюда сюда.
325: Согласны? 2 гомоморфизма между 2 неприводимыми, а модулями и их композиция. Ну, давайте возьмём, например, композицию в таком порядке. Сначала пойдём отсюда.
326: Потом сюда вернёмся. Это что будет такое? Давайте посмотрим, что происходит. Мы сначала умножаем на бэ лямбда, а потом умножаем на а лямбда. Это значит, что мы умножаем на цэ лямбда, правильно? То есть это
327: Умножение справа на цэ лямбда. Причём кого мы умножаем на цэ лямбда справа вот этот вот модуль. То есть здесь у нас появляется цэ лямбда в квадрате, а цэ лямбда в квадрате, это Куляба умножить на цэ лямбда, то есть
328: Операция умножения справа на c лямбда на этом подмодуле это просто скалярный оператор, это оператор умножения на число Куляба, правильно? То есть это умножение на кулямай нас не нулевое число, то есть это не выраже.
329: Ненулевой скалярный оператор получается, значит, композиция этих 2 гомоморфизмов это ненулевой скалярный оператор. Что тогда про эти голоморфно можно сказать? Это гомоморфизмы между 2 неприводимыми модулями.
330: Полеме шура, какие они могут быть либо 0, либо изоморфизмы. Но если их композиция это не 0 скалярный оператор, значит, это изоморфизмы. То есть отсюда следует, что у нас есть 2 таких вот взаимно обратных изоморфизма.
331: Здесь, соответственно, умножение на а лямбда, а здесь умножение на бэ лямбда. Эти операции умножения справа на эти 2 элемента осуществ.
332: Изоморфизмы между этими 2 неприводимыми модулями. Вот, то есть это не другой набор.
333: То есть не в другом порядке эти неприводимые представления здесь получатся, а в том же самом те же самые модули. Ну, 100 морфизма, разумеется. Вот хорошо. Значит, мы с вами таким образом построили все неприводимые представления.
334: Симметрической группы, реализовав их внутри групповой алгебры, да, но, конечно, это как бы, ну, не очень удобная, может быть реализация, да, потому что групповая алгебра это такой громоздкий объект, там линейная комбинация элементов группы.
335: Ну, формально можно с такими вещами работать, но как-то непривычно и не очень удобно хочется реализовывать неприводимое представление данной группы, ну, в частности, симметрической группы, группы подстановок, в чем-то привычном, на чем это симметрич? В каком-то векторном пространстве, на котором
336: Эта симметрическая группа действует понятным нам естественным, привычным образом вот где умеет действовать группа подстановок, в каких векторных пространствах.
337: Ну, на n мерном векторном пространстве она умеет действовать перестановками базисных векторов. Ну, это как бы оно слишком маленькое представление, вот оно, n мерное. А группа подстановок большая, там м факториал и представления у неё бывает больших размерностей. Ну хорошо. А на чем ещё умеет действовать группа?
338: Подстановок, так сказать, на каком объекте, который нам из алгебры хорошо знаком и понятен. То есть, что мы ещё, а на многочленах, правильно? От n переменных. То есть рассмотрим пространство многочленов, алгебру, многочленов от and
339: Она даже бесконечно мерная, то есть туда все, что угодно влезет, любое конечномерное векторное пространство по размерности уж точно влезет, и на этой самой алгебре многочленов от м. Переменных группа с м. Действует перестановками переменных, правильно, вот так вот оказывается.
340: Что все неприводимые представления симметрической группы можно реализовать внутри алгебры многочленов от м. Переменных. И вот этим мы с вами давайте займёмся.
341: Значит, реализация.
342: Реализация неприводимых представлений.
343: Симметрической группы в алгебре многочленов от м. Переменных.
344: Для начала давайте введём некоторые обозначения.
345: Значит, возьмём какую-нибудь таблицу юнга порядка, м, ну, какой-нибудь формы, значит, пусть т, вот я изображу эту таблицу, ну, пока, так сказать, в виде Шабло.
346: Потом че-нибудь в клеточках напишем. Я правда клеточки не рисую, но понятно, что все это разделено на клеточки. Пусть т это таблица юнга.
347: Какой-то формы лямбда. Так что лямбда это диаграмма юнга порядка м м. Клеточек. В этих клеточках записаны числа от 1 до м без повторений.
348: Давайте рассмотрим такой, такой одночлен, обозначу его.
349: X. С индексом т. Это вот что такое у нас в каждой клеточке этой таблицы записано, как записан какой-то номер, возьмём переменную с этим номером и возведём её в степень, которая равна глубине этой строки давайте будем начинать.
350: С нуля, то есть переменные с номерами в 1 строке таблицы мы будем возводить в степень 0. Вообще не будем писать в этот одночлен переменные с номерами во 2 строке таблицы будем возводить в степень 1, в 3 строке, в степень 2 и так далее. И все это пере.
351: То есть формально это можно записать следующим образом. Вот если у нас на какой-то позиции в нашей таблице, вот у нас итая строка и житый столбец
352: И на изжитой позиции в этой таблице стоит номер t и житое 1 из чисел от 1 до n, то мы берём переменную с этим номером x с номером t. Ижите и возводим в степень и - 1.
353: И берём произведение по всем позициям, то есть по всем парам и жи я напишу. Так пара и жи принадлежит диаграмме лямбда. Имеется ввиду, что в диаграмме лямбда есть клетка с таким номером в этой строке и в житом столбце. Вот что означает этот символ. То есть
354: Возьмём вот такой вот сопоставим таблица т. Вот такой вот одночлен.
355: Вот, ну давайте какой-нибудь пример возьмём че-нибудь, чтобы это как-то визуализовать. Давайте возьмём таблицу т какую-нибудь там, я не знаю, тут уже надо разлиновать на клеточки. Давайте как?
356: Нибудь, давайте вот так вот скажем.
357: Вот. И какие-нибудь номера расставим там, я не знаю, сколько тут клеточек. 11, по моему. Да. Давайте. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
358: 8, 9, 10 и 11. Вот, вот таблица вот такая. Значит, какой одночлен ей будет соответствовать?
359: Продиктуйте мне прям вот по порядку. Икс 1 в какой степени и так далее.
360: X 1 в квадрате дальше x 2 в какой степени в 0 пропускаем икс 3 дальше x 4 в квадрате дальше 5.
361: Пропускаем икс 6 в квадрате, дальше 7 пропускаем че там дальше? X 8 в Кубе.
362: X, 9 в 1 степени, x, 10 в 1, x, 11 в 1 ну вот, согласно определению, вот такой вот одночлен, соответствует этой таблице. Согласны, вот хорошо, а теперь?
363: Давайте сделаем вот что. У нас же вот в алгебре многочленов от м. Переменных, симметрическая группа умеет действовать и, значит, там умеет действовать её групповая алгебра, то есть алгебра многочленов, является представлением
364: Групповой алгебры симметрической группы, то есть можно взять вот этот вот одночлен и подействовать на него любым элементом групповой алгебры. Давайте подействуем элементом бт, то есть альтернирование нированной суммой элементов столбцового стабилизатора таблицы, т.
365: Обозначим соответствующий многочлен дельта t, то есть дельта t. По определению это бэ тэ подействовать на x t. Ну, если вспомнить, что такое бэ тэ, это можно развернуть, это есть сумма по всем подстановками.
366: Из столбцового стабилизатора да, нашей таблицы знак подстановки пси умножить на что надо пси подействовать на x т. То есть все номера, которые здесь у переменных, есть, замени.
367: На их образы под действием подстановки пси правильно, то есть произведение по всем парам и жи x пси от t и жита в степени и - 1 согласны?
368: Вот давайте поймём, а что это за многочлен такой будет? Ну, во первых, заметим, что подстановка из столбцового стабилизатора, то есть та подстановка, которая переставляет элементы внутри каждого столбца таблицы, её можно разложить в произведение подстановок, которые
369: Переставляют элементы только в 1 столбце, а в остальных столбцах вообще не двигают. То есть ппси можно представить в виде произведения пси 1 умножить на и так далее. Умножить на пси эль, где пси житая двигает только
370: Элементы внутри житого столбца нашей таблицы. Ну давайте, как мы столбцы матрицы обозначаем, так и столбцы таблицы будем обозначать. Т с верхним индексом жи вверху это житый столбец, столбец таблицы.
371: Вот, значит, а остальные, соответственно, не двигает эль, это, ну, общее количество столбцов, ширина нашей таблицы. То есть, это длина 1 строки в на
372: Обозначениях. Это лямбда 1. Правильно? Длина 1 строки вот знак подстановки пси равен произведению знаков вот этих штук. Правильно? И тогда легко видеть, что эту сумму можно записать как произведение
373: По всем жи, от 1 до эль произведение каких множителей мы фиксируем номер столбца и рассматриваем только перестановки, которые переставляют внутри житого столбца. То есть это будет
374: Значит, произведение по всем жи сумма по всем подстановкам пси житая.
375: Знак подстановки пси, житая умножить на соответственно, вот такое произведение.
376: Давайте я вот сюда вот залезу немножко умножить на произведение по всем и которые бегают, ну вот по житом столбцу от 1 строки до последней.
377: Вот, ну давайте я просто напишу произведение по всем и так, чтобы пара и жи лежала в нашей диаграмме, то есть и пробегает от единицы до высоты житого столбца, да, произведение по всем. И, ну вот таких вот.
378: Штук x номером си житая от t, житая в степени и - 1 вот такое вот произведение вот таких вот сумм а теперь скажите мне, а что из себя представляет каждая из этих сумм?
379: Вот смотрите, что здесь происходит. Мы здесь смотрим только на то, что у нас находится в житом столбце, только на эти номера, да, то есть номер жи у нас фиксирован, бегает номер и смотрим только на эти номера мы смотрим всевозможные перестановки этих номеров. Как
380: Одних переставляем, да и берём произведение вот таких вот степеней, умноженных на знак соответствующей перестановки, сумма всех таких произведений, что это из себя представляет вот это выражение.
381: Определитель. Совершенно верно. Какой матрицы?
382: Вандермонда абсолютно верно, это определитель вандермонда. Сейчас я напишу, что это за определитель вандермонда. Ну давайте я по строчкам буду его писать значит единица, потом x с номером t 1 жи, потом x.
383: Номером t 1 жи в квадрате и так далее x номером t 1 жи ну я не буду писать до какой степени понятно вот до той степени на единицу меньше, чем высота столбца, да вот только до этих степеней.
384: Разрешается брать вот эти вот показатели, да так что я не хочу вводить новое обозначение, 2 строка будет тоже самое, только номер будет т 2 жи, потом x с номером t 2 жи в квадрате и так далее.
385: Ну и так далее до конца. Значит, последний номер будет x. А, ну вот все равно мне понадобится этот да? Ну давайте, хорошо, давайте я введу этот номер, допустим, k x с номером t ка жи.
386: X с номером t ка жи в квадрате и так далее, ну а здесь будет соответственно do ка минус 1 степени, тогда x с номером t 1 жи в степени k - 1 x с номером t 2 жи в степени k - 1 и так.
387: Далее x с номером t ка жи в степени k - 1 то есть мы берём определитель вандермонда, построенный по переменным, которые находятся в житом столбце таблицы т-ка это.
388: Высота, значит, ка высота житого столбца, таблицы тэ. Берём такой вот определитель вандермонда. Понятно, что вот как раз вот переменная с этими номерами в разных степенях от
389: 0 до-ка минус 1 фигурирует в этих произведениях. Это в точности развёрнутая формула для вот такого определителя вандермонда. Вот, ну давайте его как-нибудь обозначим для краткости дельта с индексом t житая, то есть это
390: На самом деле частный случай дельта с индексом t в том случае, когда t состоит из 1 столбца, это будет вот Ровно 1 такой множитель и будет да, вот, то есть дельта с индексом t жита это вот такой определитель вандермонда, ну а соответственно, дельта с индексом t.
391: Это произведение таких определителей вандермонда по 1 столбцу, по 2 столбцу и так далее, вплоть до того, сколько их там эль штук.
392: Вот вот ввели такие многочлены.
393: Сижит она бегает по симметрической группе размера столбца, получается, пси житая. Да, я не написал, где она бегает, она бегает по группе перестановок тех номеров, которые стоят в житом столбце. Совершенно верно. Ну а произвольн?
394: Перестановка столбцового стабилизатора разлагается в произведении таких, причём единственным способом внутри каждого столбца перестановки происходят независимо от остальных столбцов.
395: Так вот, значит.
396: Пожалуй, что у меня есть время только сформулировать, но уже не доказать следующую теорему.
397: Чтобы не задерживать вас, теорема.
398: Теорема 2.
399: Давайте мы рассмотрим линейную оболочку всех таких многочленов дельта t по всем таблицам тэ данной формы лямбда.
400: Значит, линейную оболочку дельта t по всем таблицам тэ формы лямбда.
401: Ну, понятно, что это будет инвариантное подпространство, да, потому что когда мы действуем подстановкой сигмы на переменные, вот, то соответствующие многочлены, ну, просто переходят в аналогичные многочлены, которые будут отвечать преобразованной таблице, то есть на
402: На эту таблицу, на все номера в этой таблице надо подействовать этой подстановкой сигма, правильно? Вот, потому что переменные, они ж как раз из этих номеров и берутся там, в каких степенях они возводятся и так далее. То есть понятно, что это будет инвариантное подпространство. Так вот, оказывается,
403: Что это инвариантное подпространство, как модуль над симметрической группой и заможно вот этому неприводимому модулю уляма?
404: Вот, то есть мы получаем реализацию всех неприводимых представлений симметрической группы в виде подпространств в пространстве многочленов. Вот это пространство, этот модуль, давайте мы его обозначим с от лямда.
405: Он называется модулем шпехта, и он даёт на самом деле более удобную реализацию неприводимых представлений симметрической группы, чем вот внутри групповой алгебры для конкрет.
406: Вычислений, то есть полезно уметь и в групповой алгебре эти представления реализовывать. Более того, мы, собственно говоря, классификацию получили именно из этого. Но на самом деле для изучения их структуры удобнее работать на практике с модулями шпехта.
407: Ну что мы с вами увидим, в частности, на следующей лекции. То есть тогда я, наверное, сегодня закончу, чтобы, значит, не затягивать, как обычно бывает. Вот в следующий раз мы тогда начнём с того, что докажем эту теорему. Она на самом деле не сложная по модулю того, чт
408: Мы сегодня доказали доказательство довольно короткое, но тем не менее, чтобы не затягивать время, давайте сегодня на этом остановимся.