0: Значит, ну вот на прошлой лекции мы уже перешли к пределам функций. Ну давайте я вот.
1: Ещё раз этот заголовок напишу, что предел функции
2: Так, ну и вот мы дали определение предела, в смысле каши или по каши, значит, ну давайте все-таки ещё раз это напомню.
3: Значит, у нас так вот, у нас есть это множество е, которое содержится в поле-ка 0. Так, ну такая у нас была договорённость, что what ка 0 это может быть или вещественное, или комплексное поле.
4: Это 1 из них. Ну и точно также ещё будем писать-ка тоже может быть как вещественным, так и комплексным. Причём они, значит, произвольным образом там между собой никак не связаны. Так и вот у нас есть
5: Значит, вот функция определённая, вот на её, на множество е, а принимающие значения, вот числовые, но уже в поле, конно, ну, варианты, какие могут быть, например, это вот у нас вещественные числа принимают значения.
6: Комплекс да? Ну сразу давайте пример приведу эф от т равняется е в степени it. Вот вам пожалуйста, да, где т вещественно, вот, к примеру может быть.
7: Наоборот. Значит, да, вот, значит, тут, может быть, как раз это комплексное, а числовое значение вещественное. Ну уж я все там варианты не буду выписывать сейчас. Так, а может быть, и то, и другое одинаково. Так, так вот, у нас есть такое отображение, да?
8: У нас есть точка, а вот принадлежащая вот этому полю-ка 0. И вот эта точка, а является предельной предельной
9: Для вот этого множества е, вот это что это означает? Вот давайте, помогите мне. Значит, в прошлый раз я говорил, я ещё раз хочу, потому что к этому над
10: Так, кто это не привык? Значит, тут обычно возникают трудности. Что означает, что точка у нас предельная? Да, содержит? Да, да, да.
11: Да, совершенно верно. Значит, это вот, ну, другими словами, я сейчас это не буду выписывать, значит, вы берете вот эту самую точку. Ну, давайте будем считать, что мы находимся. Вот каноль это комплексная плоскость, значит, тут, соответственно, тогда будет вот мы берём
12: Значит, как было сказано, какое-то произвольная дельта берём эту точку, а берём вот соответствующий круг, и в этом круге должно быть бесконечное число точек е.
13: Бесконечное число точек там, ну, есть другие варианты. Вот, ну, или по другому есть последовательность здесь точек, которые сходятся к её, и они все точки различные. Это можно так сейчас.
14: Так, так вот она у нас предельная точка, ну или ещё говорят, точка сгущения. То есть вот там очень много точек в окрестностях.
15: Так вот, в этом случае как раз можно определить вот что а равняется пределу вот этой функции f от x, когда x стремится к точке, а маленькое значит.
16: Ну, 1, это, а большое, естественно, также должно быть вот там, где мы принимаем значение, то есть, из к, вот это должно быть is ка вот определение я тут напишу, и к этому надо привыкать.
17: Значит, кто к этой технике не привык. Это вот, значит, это означает следующее.
18: Что для любого эпсилон большего нуля существует такое дельта больше нуля, что какие бы мы точки x бы не взяли бы из вот множества её, то есть.
19: Из области определения. Так, так вот, какую бы мы точку из её не взяли бы с условием, что тут вот можно так написать. 1 x не должно равняться. А и ещё, значит, икс минус вот.
20: Это маленькая, по модулю меньше, чем вот эта дельта.
21: То в этом случае разность между значением функции ф и вот этим числом, а по модулю будет меньше эпсилон. Это вот определение по каши, вот это определение значит по
22: Так, ну это вот было в прошлый раз, я просто напоминаю, ну вот, значит, ну, к этому языку привыкайте, вот ничего не поделаешь, там как не пытались, ничего.
23: Нового так не придумали в анализе. Ну, вначале это, кажется, довольно длинное, но на самом деле смысл, когда вы привыкнете, уже довольно естественный.
24: То есть, что это означает, что вы хотите вот описать там все, значит, вот вы берете саму точку и берете вот ошибку вокруг неё. Так вот можно предъявить около самой вот точки, а
25: Вот такую, значит, опять же, окрестность небольшую, где значение вот это значит вот в этих точках будут мало отличаться. То есть, если вот эти, значит, x близко к точке, а то это означает, что значение ф от икс близко к точке, а
26: Большому. Вот и все. Так, ну так, на таком естественном языке. Причём это для всех вот этих близких точек вот как бы эта близость, она переносится с помощью отображения. Вот если так на
27: Естественный. Так, язык перевести, но вот строго сформулировать удаётся только вот таким образом. Так, так, теперь вот 2 это у нас определение покажи. Вот давайте дадим
28: Деление по гейне, определение по гейне, когда это вот, значит, эту науку
29: Значит, вводили то вот были разные подходы. И вот, значит, вот другой подход, значит, предложил гений. Значит, тут идея состоит в том, что мы знаем, что такое предел последовательности. Вот мы знаем, что такое предел.
30: Давайте вот этим воспользуемся. Значит, вот мы будем говорить, что вот, а равняется пределу, опять же, функции эф от икс, при икс, стремящемся к а, ну тут надо в скобках.
31: Написать по Гена это означает следующее, что для любой последовательности x энной, принадлежащей её.
32: С таким условием, что значит предел самих x энных равняется этому, а маленькому при стремящемся к бесконечности и в то же время сами точки вот какой бы номер н.
33: Не взяли бы сами икс энные не равны. А вот это вот очень важный момент. Вот это нельзя пропускать. Так, ну вот если вот это условие, значит, у нас такая после сдана, то из этого должно следовать, что предел
34: Значит, уже вот такой опять числовой последовательности, эф от икс энного при n, стремящемся к бесконечности, будет равняться. А большому вот это что это означает? Этот предел мы уже знаем. Помните? Да, мы знаем для последовательност.
35: Ну, тут очень важный момент, что это должно выполняться для любого, для любой такой последовательности, вот эти 2 определения, значит, ну вот, как выяснилось, вот, для, значит,
36: Если мы находимся вот рассматриваем именно вот такие функции, значит то есть они у нас сейчас определены вот на вещественном или комплексном поле, да, вот точнее на
37: Множествах. Ну, сейчас, чуть позже, я ещё скажу, более общая ситуация, то, значит, выясняется, что понятие, значит определение по гены и по каши будут совпадать. Вот сейчас я это, я теорему сформулирую, но
38: Тут надо сразу отметить, что вот когда вы будете работать с бесконечномерными объектами, а это вот как раз физике очень интересно, то в этом случае как раз, вообще говоря, вот эта сходимость и вот это совершенно разное
39: Так что вот, значит, точнее так, ситуация такая, что в прямую сторону это всегда следует. А вот в обратную, вообще говоря, не всегда. Так что вот это вы там учтите. Ну это сейчас, пока мы с такими объектами встре.
40: Встречаться не будем, но, вообще говоря, они вот разные. Ну и когда бесконечно мерный случай, а это вот очень часто как раз с этим приходится встречаться в разных задачах. Вот в частности, вот как раз, которые из физики возникают, то вот
41: Выясняется, что там многие привычные факты, которые в конечном мерном случае получаются, они могут быть неверны.
42: Так, так вот, давайте я эту теорему сформулирую.
43: Так, ну давайте даже что покажу и проведу доказательство, хотя оно, к сожалению, относительно длинное. Ну давайте все-таки эту теорему сейчас напишем. Теорема 1. Так, значит, у нас
44: На её принимает значение, значит, опять к, ну, е, содержится, как мы договорились, к 0, значит, точка, а значит, предельная точка.
45: Множество её. Так, ну, в дальнейшем это я буду опускать, когда речь пойдёт о пределах, когда речь пойдёт о пределах, то это автоматически у нас предполагается так.
46: То тогда вот следующее утверждение эквивалентно, что a является пределом.
47: Эф от икс при икс, стремящемся к маленькому по каши.
48: Это тогда только тогда, когда, а также является пределом, значит, вот функции эф от икс при икс, стремящемся к маленькому гены, то есть они на самом деле
49: Эквивалентно. Так, кстати, вот эта теорема потом позволяет упрощать многие доказательства. Например, можно пользоваться тогда уже этими последовательностями, а для них мы много чего знаем. Так, ну,
50: Давайте сразу перейдём к доказательству. Так, надо прямую и обратную сторону. Так, ну прямую сторону тут на самом деле более менее очевидно и следует из просто определений. А вот в обратную сторону тут есть некая хитрость.
51: По этой причине я хочу вам это доказательство и привести этот приём тоже вам может пригодиться. Так, значит, доказательство прямую сторону. Так, ну здесь.
52: Нам известно, что вот предел в смысле каши есть, мы сейчас будем проверять в смысле её. Так вот, то есть начинаем с того, что мы берём произвольную последовательность, x энную из за
53: Значит, what is your с условием, что для любого n у нас x энное не равняется, а маленькому и предел x энной равняется вот а маленькому.
54: Это все вот это так называемая последовательность гейна берётся. Это сейчас говорят, что это последовательность гейна. Вот мы взяли, так нам число уже, а известно. И вот, а является вот этим пределом. В смысле каши нам известно.
55: Это нам известно. Вот так вот. Значит, нам надо сейчас проверить, что на самом деле будет выполнено вот это условие. Так, ну значит, что нам надо проверить. Нам всего лишь надо проверить, что предел вот этой, значит, вот.
56: Предел ф от икс энного при стремящемся к бесконечности равняется. А вот это как раз нам надо проверить. Ну давайте вот именно поймём. Вот смотрите, что тут сделано. Мы взяли ф.
57: От x энного. Вот это можно обозначить. Значит, давайте вот это игрек энное, это эф от икс энного, это последовательность.
58: Вот к этому надо привыкать. Значит, на самом деле, вот кто 1 раз с этим встречается, это трудно. И не пугайтесь. Ну постепенно вы освоитесь, потому что этот язык, он как раз вот отличается от того, что
59: Обычно вы сейчас работали с конечномерными объектами, тут вот все приходится вот такими более хитрыми объектами работать. Ну так вот, значит, у нас, казалось бы, вот тут, смотрите, x стремится к а, ну вот это у нас.
60: Именно обычный предел от записи одинаковые, как у каши, так у Гена только, значит, вот определения они разные. Вот определение по гейну. Вот я на самом деле его снова написал. Значит, в чем оно заключается. Вот берете любую
61: Последовательность, которая сходится Отт-ка. Маленького, это вот x. Это мы находимся в области определения, берём значение от ф от икс, но снова получается последовательность, и вот вы как раз надо проверить, что пределы
62: Вот этих игрок, н, можно так ещё написать, чтобы вас не сбивало, равняется. А вот если вот это выполняется вот любой после, это означает, что у вас предел поге, а пишите, естественно, вот таким образом. Так вот, за
63: Значит, наша задача ещё раз в чем заключается вот это вот проверить. Значит, а что нам известно, нам известно, вот левая часть, вот нам известно, вот, вот из этого я сейчас буду проверять. Ну, значит, проверяем.
64: Опять по определению так проверяем по определению. Ну давайте это я уже сотру. Значит, я буду писать эф от икс энного. Ну, можно просто написать было игрек, но чтобы вот это не смущало, но это последовательность.
65: Я ещё раз подчёркиваю, значит, мы проверяем, что это последовать стремится к, значит, ну как по определению опять, что означает, стремится к нужно проверить, что для любого эпсилон большего нуля.
66: Вот дальше нам нужно что найти без последовательности большое n большое вот теперь как искать n большое, а тут мы давайте воспользуемся, что мы знаем, а мы знаем вот это что x энн вот.
67: Иксы стремятся к маленькому. Давайте больше не, а вот тут нет, сейчас, сейчас, сейчас, да. А вот, значит, на самом деле.
68: Вот, давайте мы сейчас, вот я даже здесь специально буду писать, значит, я сейчас напишу, что означает, что у меня предел равняется. Вот, а большому вот я возьму то самое, эпсилон, который здесь, я
69: Я написал сейчас, да, вот я возьму то самое, эпсилон, которое я написал. И вот я беру вот это уже оно не произвольное, а то вот, которое мы там выбрали, вот беру это эпсилон и пишу теперь определение покажи.
70: Вот, ну, пишем это вот, вот для данного эпсона существует вот, вот то самое дельта, которое мне как раз подсказывали, надо бы взять. What существует дельта, с каким свойством? Со следующим, что любое
71: Я, если беру точку икс из её с условием, что значит x не равняется, а и в то же время икс минус, а будет по модулю меньше, чем дельта.
72: Вот как раз в этом случае эф от икс будет минус вот это, а будет по модулю меньше эксиго. Ну и теперь можно догадаться. Смотрите, вот эта дельта вот как раз появилась и вот эта дельта мы давай
73: Вот сюда как раз сейчас перенесём и вот воспользуемся тем, что вот этот предел я специально напишу ещё раз. Предел x энных при стремящемся к бесконечности равняется а маленькому, значит, вот для данного д.
74: А большего нуля watch существует это н большое.
75: Такое, что для любых n малых больших вот этого n большого, у нас выполнено икс энное минус икс энное минус, а по модулю будет меньше, чем дельта.
76: Так, да, вот, значит, давайте тут посмотрим. Вот, значит, для любого эпсилон, я после длинных таких рассуждений нашёл вот это and большое с таким условием, что если and малое больше эн большого,
77: Будет выполнено это условие. А теперь давайте ещё на что посмотрим, вот на посмотрим. Вот теперь здесь что было сказано. Если разность икс минус икс энное меньше дельта, ещё какое ограничение есть вот это. А давайте
78: Проверим сейчас вот для данного эксен это выполнено, но это будет выполнено, потому что с самого начала мы выбирали все эксен неравные, так ведь? Да? Ну вот учитывая вот эти, значит, здесь
79: Вот этого x я могу взять x энное и написать, что эф от икс энного минус, а большое по модулю меньше, чем вот это эпсилон.
80: В результате я получаю, ну теперь вот я подчеркну то, что мне нужно.
81: Вот ещё вот это надо подчеркнуть, но это как раз и есть определение вот этого предела. То есть на самом деле тут получится вот этот предел.
82: Вот. Ну, в общем, доказательство, оно основано практически на определениях вот этих, только правильно их надо расположить. Вот, вот тут это уже, вот это уже надо их правильно вот скомбинировать, значит,
83: Тогда у вас все получается, то есть в прямую сторону, все просто вот в обратную сторону это намного хитрее.
84: Вот это утверждение намного хитрее. Вот. Ну, давайте я его также проведу. Вот, значит, я также сейчас это в обратную сторону теперь докажу.
85: Значит, это уже этот приём, надо знать в обратную сторону. Ну, правда, не знаю. В общем, я другого доказательства не знаю. Может, кто-нибудь ещё придумает. Ну, практически все доказывают, только вот.
86: Следующим способом значит с помощью отрицания.
87: Значит, предполагает противоположное. Значит, что нам известно. Сейчас нам известно, что вот этот предел ф от икс при икс, стремящемся-ка равня.
88: А в смысле гены, гены, да?
89: А нам нужно доказать, что предел будет в смысле каши.
90: Вот. Ну и вот тут как раз основная трудность, вот по, как по эпсилон найти дельту очень непонятно. Вот в 1 сторону то было тут более менее все понятно, а в обратную нет. Так вот, есть другой приём. Предположим, что это неверно. Предположим, что наш
91: Это что предела по значит каши нет. Точнее, вот число, а не является пределом по каши. Значит, давайте напишем, значит, вот такое предположение. Значит, пред.
92: Можем, что число, а большое не является.
93: Пределом.
94: Значит, функции эф от икс, значит, при x, стремящемся вот к этому, а в смысле?
95: Каши. Вот теперь я вам продемонстрирую эту технику, которая вот это уже вот после этого уже доказательство упрощается. Заметно. Значит, наша задача сейчас что получить противоречие. Понятно? Да, это
96: Должно противоречить вот исходным предположениям. Ну, отсюда будет означать, что само предположение было неверно.
97: Так, значит, ну давайте напишем, что означает, что предел вот является. Давайте ещё раз. Я это повторю, это известно, что для любого эпсилон большего нуля существует такое дельта больше.
98: Нуля что для любых значит иксов из е икс неравных а и икс минус, а по маленькой по модулю меньше, чем дельта, выполнено.
99: Значит, вот выполнено неравенство эф от икс минус, а большое меньше, чем эксим. Это вот само, значит, вот.
100: Это значит, что предел покажи, а нам это нужно написать, что это неверно. Вот как написать? Неверное, существует. Да, да, совершенно верно.
101: Значит, приём такой вот простой кванторы все тут меняются местами. И потом само утверждение тоже на противоположное. Вот так, не задумываясь, прямо делаете. А потом выясняется, что все в порядке, значит,
102: Существует эксилон больше нуля, тут любое пишем дельта больше нуля. Тут существует x, принадлежащее вот со всеми этими свойствами x не.
103: Равное а и икс минус, а по модулю меньше вот того самого дельта. И при этом должно быть выполнено противоположное утверждение, что эф от икс минус, а будет
104: Строго больше, либо равно вот этого эпси. Вот теперь прочтите и давайте поймём, что это как раз и есть отрицание.
105: Вот такой вот этот приём, значит, вот позволяет сразу вот это и есть вот, вот если вот это неверно означает, что верно вот это утверждение. То есть, значит, тут было сказано, для любого находится вот эта дельта, а тут есть вот некая вы
106: Epsilon вот, вот это эпсилон у нас есть, да, значит и вот вы берете, значит окрестность вот этой точки, а вот это эпсилон.
107: И что сказано, что всегда, на какие бы вы сейчас близкие бы точки тут не брали. Вот, значит, тут есть точка, а и берете вот какой-то дельта произвольное, да, тут берете, есть, найдётся точка, которая здесь нахо.
108: Вот это x. А вот эф от икс будет находиться снаружи, то есть в эту окрестность не попадает, как бы вы не сужали бы сейчас около этой точки, а это значит вот это расстояние вы берете ещё меньше, опять ещё 1.
109: Точка найдётся, которая в эту окрестность не попадёт и так далее. Ну это вот означает как раз, что не может быть этот предел. Понятно? Да. Значит, вот мы берём, вот есть некая выделенная эпсилон, вот, и, значит,
110: Ну, уже какие бы вы не брали бы точки. Ну, давайте сразу я пример приведу совершенно тривиальный, но чтобы вы это могли проследить как раз.
111: Ну давайте в качестве примера возьмём такую последовательно сейчас это значит сейчас давайте вот возьмём.
112: Значит, функция, значит, верраса, да, вот это here там от x пусть равняется.
113: 2 значения принимает, значит, это единица, да, x. У нас сейчас вещественная, ну, для комплексных тоже её можно распространить, но сейчас давайте на вещественном, она определена. Вот она, единица, если x у нас рациональная.
114: И 0 когда x, значит, не является рациональной, то есть она принадлежит, значит, из р. Выбрасываем все рациональные точки, да, то есть иррациональны. Вот такая функция вот вам.
115: Пример. Вот давайте, смотрите, вот берём, например, точку, значит, ну вот давайте единицу, да, вот.
116: Вот у нас вот есть единица. Так, значит, вот мы можем взять, надо вот взять, значит, ну, с 1 стороны, это бесконечное число точек, да, значит, нас интересует. Ну,
117: Скажем, x стремится к нулю вот давайте заметим, что предела вот, например, единицы не будет почему?
118: Вот, вот почему, значит, ну вот давайте вот вопрос такой. Мы интересуемся сейчас пределом, значит, этой функции, при x, стремящемся к нулю.
119: Ну, давайте вот заметим, что вот это не является не равно ни единице, ни 0 и вообще не существует. Ну, в начале вот давайте докажем, что единица не является
120: Так, значит, надо вот что проверить, вот как раз вот это утверждение, да? Вот, то есть вы берете вот какой эпсилон тут надо предъявить сейчас, чтобы это было.
121: Ну давайте, вот контрольный вопрос. Давайте, если я возьму эпсилон, равное 2.
122: Получится у меня доказательств.
123: Вот я беру, значит, смотрите, вот у меня есть тут эта единица, да, сейчас эпсилон 2 я, значит, беру, значит, вот это, что получается, отрезок от минус единицы до 3 сюда все значения нашей функции.
124: Попадает и вроде все хорошо, да, вот половинки. Вот совершенно верно. Значит, тут у нас есть значение. Вот 0, да, и вот нужно их отделить. Вот.
125: Вот берете как раз вот, например, 1, 2, да, значит, то есть, получается, значит, единица - 1, 2 вот единица + 1 2. Ну вот как раз мы взяли вот это вот в качестве вот этого эпсилон и теперь
126: Заметьте, какое бы я сейчас маленькое дельта не взял бы около нуля, значит, вот я беру в нуле. Кстати, значение какое у меня само единицы, обратите внимание.
127: Вот, ну, какой бы я сейчас не взял бы вот это эпсилон. То есть дельта уже минус дельта и дельта обязательно сюда попадают, какие точки иррациональные, а тут значение 0. Так что вот всегда найдётся
128: Обязательно вот эта точка, вот как тут написано, вот найдётся такая иррациональная точка, вот для которой это уже вот выполнено противоположно. Вот это и есть как раз то самое утверждение. Понятно? Да, это вам как раз
129: Пример, как это звучит так, ну вот, значит, ещё раз давайте я повторю, теперь вернёмся. Значит, мы предположили, мы предположили, что число не является пределом нашей функции. В смысле
130: Значит, это вот означает вот выполнение вот этого утверждения, которое написано внизу. Так, теперь вот давайте я вот это все лишнее тут сотру, значит это я тоже стираю, да?
131: Вот, да, а теперь наша задача доказать, что вот это то, что я написал здесь, противоречит вот верхнему.
132: Вот, вот надо. Сейчас наша задача заключается в том, что вот то, что мы сейчас написали здесь, давайте с, значит, вот это предположение, оно влечёт вот, вот это утверждение здесь вот это мы знаем, что
133: Перевыполняется. Так у нас вот это эпсилон задано. Обращаю внимание. А вот дельта можете как угодно менять. Вот этим мы сейчас и воспользуемся.
134: Да, ну тут совершенно верно. Только ещё проще можно поступить. Дельта единица поделить. На, давайте возьмём.
135: Вот возьмём вот такую, значит, последовательность.
136: Так, ну и теперь построим. Вот, значит, вот давайте мы, да, значит, вот из этой фразы следует, что как раз вот для каждого вот этого дел
137: Для каждого, значит, для каждого. Н, в итоге да.
138: Натурального. У нас найдётся вот такая точка икс энная, принадлежащая её со условием, что x энное в то же время не равно а и
139: Одновременно x энное минус, а маленькое по модулю будет меньше, чем вот эта дельта энная, то есть единица, поделить на n.
140: Так, да, вот получилась такая послесть, и при этом ещё одновременно должно обязательно выполняться это неравенство, что эф от икс энного минус вот это, а большое по модулю будет.
141: Больше либо равно, чем эпсилон.
142: Так, так, а теперь вот давайте заметим, что вот это, что такое? Вот единица на, н, это какая у нас последовательность бесконечно малая, да?
143: А это что означает? Раз она бесконечно малая, то означает, что если я обозначу вот это через альфа энное, вот как раз разность x энное минус, а это также будет бесконечно малая, помните, у нас была
144: Значит, ну, если вот эта, значит, последовательность альфа энная по модулю оценивается бесконечно малой, то она сама также бесконечно малая. Это у нас было доказано свойство бесконечно малых, а это означает, что предел
145: X anna равняется а. Маленькому да при n стремящемся бесконечности.
146: Да, это последовательность гения. Совершенно верно. Отсюда вывод отсюда следует вот по вот этому предположению. Значит, что предел.
147: Ф. От икс энных при n, стремящемся к бесконечности, равняется а большое вот теперь вот давайте вот к этому неравенству перейдём, мы пишем так давайте перейдём к этому неравенству, я переписываю ещё раз.
148: Давайте вот сюда, вниз, напишу эф от икс энное минус, а по модулю больше, либо равно, чем эксим, переходим к пределу, да, справа и слева. Тут это стремится к нулю. Значит, тут
149: Неравенство должно сохраниться, и тут получится эпсилон больше либо равно значит, точнее 0 у нас больше, либо равен, чем эпсилон.
150: Так, ну вот мы получили, значит, это по другому. Можно написать, что эпсилон меньше, либо равно нуля. Ну а теперь давайте вспомним, с чего мы начинали. Эпсилон был строго больше нуля. Ну.
151: Противоречие ничего не поделаешь.
152: Вот, получилось противоречие, вот, ну, в результате, значит, это утверждение, верно? Ну, вот такое вот любопытное доказательство, значит, ну вот, значит, вот этот приём, запомните, он иногда, во многих случаях спасает так очень
153: Полезный приём доказать, если доказать через там получится.
154: Вам нужно обязательно проверить условия каши. Ну подумайте дома, ну и поищите, если вы придумаете новые доказательства, любопытно. Так, ну пока вот я то, что вы говорите, пока все равно это нереализуемо. Тут же проблем.
155: В чем для данного эпсила нужно найти дельта. Как вы будете искать, непонятно.
156: Мы замыкаем последовательности какие, какие на пределе вот последовательность замыкаем. Ну и что она, она как-то, ну подождите.
157: Вы запишите и как вы получите эпсилон так так и непонятно, а epsilon это предел.
158: Это, это вам нужно, что для данного, точнее, для данного эпсилона найти дельта, вот если вы предъявите правило, как находить, ну вот это как будет некое новое доказательство, ну,
159: Из отрицания. Тут можно подумать, как это сделать, но все равно это, в общем, довольно сложно. Так, так, ну вот это определение. Так, теперь ещё тут серия, значит, определений уже потерпите, вот язык надо
160: Привыкать и ничего не поделаешь. А этим, этим вы будете все время пользоваться. Значит, смотрите, вот особые теперь вот, значит, ещё варианты есть. Вот, значит, у нас вот определение предела.
161: Эф от икс при икс, стремящемся просто к бесконечности.
162: Вот это равняется, а большой. Так, ну, чтобы об этом можно было говорить. Тут требуется следующее. Значит, у нас функция f определена на множестве е, да, принимает значение, к, как мы договаривались, вот теперь на множество её нужно, чтобы вот
163: При бесконечности это нужно, означает, что вот на множество её надо ограничение потребовать в каком-то смысле вот должна быть вот бесконечность также предельной точкой для множества её, ну это вот по другому.
164: Это будет означать следующее, что вот какой бы мы сейчас, ну, давайте вот я множество на плоскости изображаю, если я возьму ограниченно, это не подойдёт. Почему? Потому что начиная с некоторого момента, вот у нас же это мы m, бесконеч.
165: Вечности ни 1 точки не будет у этого множества это плохо, но по этой причине вот просто нужно потребовать, чтобы множество икс было не ограничено. То есть эф было бы неограничено. Вот в этом
166: Случае можно говорить об этом, значит, пределе. Так, ну, теперь определение само, значит, ну, я для послед давал, так что я думаю, что помогите мне сформулировать. Вот что это означает.
167: Любого эпсилон большего нуля. Вот. Дальше что надо написать?
168: Нууу, существует обычно, да, тоже. Ну, давайте вот существует вместо дельта напишем эр больше нуля, значит, ну, сейчас будет понятно, почему лучше другую букву писать. Так, дальше.
169: Да, совершенно верно. Любого элемента икс из её дальше ещё какое требование? Не равно. А, ну какие? А он, конечно, бесконечности не равен. Это не надо писать, да.
170: Совершенно верно. Дальше, значит, берём вот этот икс по модулю должен быть больше, чем вот это эр, вот в другую сторону неравенство. Поэтому лучше писать чем больше r, тем меньше этих точек и
171: Вот в этом случае выполнено вот неравенство эф от икс минус, а по модулю меньше, чем
172: Вот это эпсилон, вот такое определение. Так, теперь ещё, значит,
173: Отдельно случаи, когда у нас, мы работаем с вещественными уже, значит, когда у нас функции определены для вещественных
174: На вещественных множествах, то есть вещественные числа берутся, значит, вот отдельно случай, значит, мы сейчас рассматриваем, не содержится в же, но значения могут быть как и были, так и опять же, значит,
175: Другой стороны, у нас ограничений пока не будет. Значит, в поле к. И вот теперь можно опять взять точку, а
176: Значит, из р. И вот теперь можно определить ещё 2 таких такого вида предела. И вот я ещё напишу их, как пишут, значит, с 1 стороны, пишут ф от, а + 0.
177: Вот вот, это же обозначение, это предел при x стремящемся-ка + 0 здесь уже пишут и эф от икс ну вот смысл следующий.
178: Значит, давайте даже приведу, значит, пример сразу. Значит, вот давайте рассмотрим такую замечательную функцию, как сигма икс. Значит, икс берётся из р. Она устроена следующим образом, она принима
179: Значение единицы, когда икс больше нуля 0, когда икс равен нулю и минус единица, когда xx меньше нуля вот, ну вот можно нарисовать её график.
180: Значит, вот она выглядит таким образом.
181: Тут так, а здесь, значит эта точка, единица, это у нас x это, соответственно, игрек, давайте игрек равняется сигном у x. Так, а здесь будет соответственно,
182: Вот это - 1, а вот в этой точке 0.
183: Так, ну и вот, скажем, вас интересует как раз вот предел вот этого сигнума.
184: Икс при икс стремящемся + 0. Ну тогда вот если, а равняется нулю, его можно не писать, значит, ну, чему будет равен предел? Ну, единица, да. Вот, ну, давайте теперь дадим.
185: Определение. Так, ну точно также, значит, можно отдельно дать определение, когда
186: Будет у нас.
187: Все.
188: Значит, с левой стороны по аналогии, значит вот будет это обычно ещё пишут ф от а - 0 очень часто будет у вас там встречаться в различных текстах предел x стремится к минус.
189: Это эф от икс для функции сигнум, соответственно это будет вот если x тут стремится - 0, это будет соответственно - 1, да.
190: Да, это обозначение.
191: Ну, значит, это как бы, обозначение, оно сокращает следующее обозначение. Ф, берётся от, а значит, вот, например, - 0, то вы пишете минус т.
192: Т. Берётся больше нуля и при t, стремящемся к нулю.
193: Вот это вот обычно вот это вот так вот это упрощает эту запись. Так исторически так вот сложилось так, ну давайте это я все сотру. А теперь давайте вернёмся к определению. Вот так, ну.
194: Это тоже можно стереть, да, само определение. Давайте напишем. Ну, 1, чтобы говорить о пределе, тут нужно что потребовать. Если вы берете, значит, вот это её и пересекаете его с лучом от а до
195: Плюс бесконечности, да, вот это должно быть у этого множества. Значит, значит, точка. Давайте это тоже сотру, да, значит, вот точка, а будет, значит, предел.
196: А будет это, значит, предельной точкой вот этого множества. Понятно, да, чтобы справа было бесконечное число. А вот если вот этот предел вы рассматриваете аналогично, значит, а должна быть предельной
197: Точкой множество её, пересечённое с минус бесконечностью до а.
198: Вот, вот, вот это обязательное ограничение.
199: Так, ну а теперь давайте продиктуйте определение. Начало такое для любого эпсима большего нуля. Значит, помогайте.
200: Совершенно верно. Ну опять же, больше нуля только не забывайте. А вот теперь дальше. А теперь нам надо убрать. Да? Ну так вот. Ну хорошо, давайте я подскажу икс минус. А, ну давайте.
201: На рисунке это сразу понятно. Вот, значит, вот у нас есть точка. А, да, раз вот это нас интересует сейчас справа предел справа.
202: Del справа.
203: А тут, соответственно, предел ме, ну, соответствующие точки. Так вот, смотрите, вот точка, а нас интересует только
204: Значит, что нужно сделать? Значит, саму точку мы выбрасываем, а сюда сдвигаем на a plus de вот, получается, такой интервал, значит, x должно быть здесь, ну, то есть неравенства, какие получаются? Ну,
205: Проще вот так написать, значит, больше, чем а но а plus se апп ой, да, delta, конечно, а я там. Ладно, я там.
206: Правильно написал дельта. Вот. Ну, можно и, конечно, как по старому икс минус, а значит больше нуля, но меньше дельты, что одно и то же. Так. Ну а дальше вывод все тот же.
207: Самое ф от икс минус, а по модулю меньше, чем вот это exe.
208: А теперь вот здесь ну, начало тут одинаковое у них, а здесь будет отличие, в чем x.
209: Соответственно, x у нас будет меньше чем а, но больше чем, а минус понятно, да? Вот единственное, это вот слева получается.
210: Так, ну теперь такой приятный факт. Это уже вы самостоятельно проверьте, что давайте это мы уже сотрём.
211: Вот у нас предел, значит, ф от икс при икс стремящемся к а. Маленькому, равняется, а. Большому тогда и только тогда, когда оба предела при x.
212: Щимся-ка + 0 эф от икс равняется.
213: Тому же самому ф пределу при x стремящемся а - 0 эф от икс это равняется, а?
214: Вот. Ну, соответственно, ещё надо говорить, что область определения вот эти множества как справа и слева, а является предельной точкой. Вот это, естественно, ограничение.
215: Вот это вот довольно часто. Ну, кстати, такая ещё задача. Вот, например, давайте если мы рассмотрим такой предел и модуль икс, делённое на и
216: При x. Стремящемся к нулю что скажете?
217: Вот и рядом я ещё напишу предел модуль икс, делённый на икс, ну, естественно, x у меня вещественный сейчас + 0, и, соответственно, x стремится - 0.
218: Что можно сказать?
219: Да, значит тут будет как раз вот, значит, при x + 0. Там получается, что единица, а тут - 1 при икс - 0. Ну вот они не равны по этой причине. Вот это.
220: Предел не существует, вот этот предел не существует.
221: Вот тут так что вот функция может быть вот такая, значит так и ещё, значит, 2 случая. Значит также давайте запишем, значит, вот предел эф от икс при
222: Стремящимся к плюс бесконечности. Предел ф от икс при икс, стремящемся к минус бесконечности. Вот задача. Напишите определение.
223: Значит, ну естественно, x рассматривается, значит, x рассматривается, вещественные значения могут быть, соответственно, и комплексное, это не противоречит пока ничему так, и ещё. Ну вот ещё.
224: Комплекс нет, ещё раз я повторяю, значит, вот, ф, у нас определённо на её принимает значение в к. А вот её у нас как раз содержится в р, вот это значения могут комплекс
225: Пожалуйста, это не противоречит ничему так. Ну так, в определении не сказывается. Так и последняя задача. Значит, что означает, что значит ф от икс стремится просто к бесконечности.
226: При, ну тут вот все варианты переберите, вот когда x стремится просто-ка, ну и так далее. Вот давайте, значит, вот эти все варианты вы разберёте. Вот теперь, значит, давайте мы перейдём уже
227: Под утверждением.
228: Значит, ну, я их в виде лен сформулирую, потому что так, чтобы вы привыкали тоже к этой терминологии. Так, значит, это
229: Это будет Лема 1. Значит, пусть у нас, как обычно, вот её содержится в каноль, значит, соответственно, есть
230: Функция f, определённая на её со значениями у нас к
231: Ну и мы знаем, что существует, значит предел при x, стремящемся к маленькому, и он равняется, он вот, значит.
232: Существует предел ф от икс. Ну, соответственно, значит, тут все ограничения, которые мы обычно требовали, чтобы можно было о пределе. То есть, это значит, а должна быть предельной точкой множества е. Это, естественно, должно выполняться.
233: То тогда отсюда следует, что значит what существует такое дельта больше нуля? Что если мы возьмём теперь вот
234: Пересечение, значит, вот этого е с дельта окрестностью. Помните, да, у от внизу, а пишется дельта.
235: То здесь у нас, значит, функция эф от икс будет ограничена на этом множестве. Вот, которое я тут написал. Да нет, это там же значе.
236: В точке оно никак не влияет, оно же никак не скажется на ограниченность вот на этом множестве у так, ну или по другому это означает. Вот я тут расшифрую, что вот, значит, существует
237: Это значит константа ц больше нуля вещественная. Естественно, что для любых иксов
238: Из е с таким условием, что значит икс минус, а по модулю меньше, чем дельта эф от икс по модулю будет меньше либо
239: Ну вот это означает ограниченность. Вот то, что я написал, значит, то есть есть какая-то, какое-то число ц, которое оценивает сверху.
240: Так, ну доказательство тут такое более менее стандартное. Ну давайте проведём его, оно напоминает. Помните, для последовательности мы это доказывали. Для последовательности даже несколько сложнее.
241: Так, ну отметим, что тут значение в точке, а никак не влияет на ограниченность. Понятно? Да, оно никак не влияет. Если вы ограничены в остальных точках, то если вы 1 точку
242: Добавите опять ограниченность сохранится, только константа может увеличиться. Так, ну давайте вот, значит, докажем. Ну, 1, у нас есть предел, да, вот этот существует предел. Вот.
243: Давайте его обозначим через a Бо. Это у нас как раз предел эф от икс при икс, стремящемся к
244: Так, я могу взять в качестве эпсилон, например, единицу и написать, что означает, что этот предел у нас существует. Это больше нуля, да? Значит, существует такой дельта больше нуля, что для любых иксов из е.
245: Что x не равняется, а икс минус, а по модулю меньше, чем дельта, выполняется вот неравенство эф от икс минус.
246: По модулю меньше, чем вот это эпсилон, то есть единица.
247: Ну а теперь давайте вот давайте так запишем. Я пишу эф от икс по модулю, ну и дальше переписываю, значит я пишу модуль дальше, а дальше плюс эф от икс.
248: Минус. А, ну вот, а тут сократится и получится предыдущее выражение. Да? Так, теперь вот это я могу тут ещё скобки поставить и по свойству модуля это будет меньше, либо равно чем сумма модулей.
249: Этих 2 чисел плюс модуль эф от икс минус, а последнее оценивается через эпсилон. То есть получается это меньше, даже строго меньше.
250: Чем модуль? А + 1. Ну вот это как раз и годится в качестве ц, если, значит, не учитывать точку. А, ну если точку, а учитывать, то нужно взять значение. Вот это ц и ещё, значит, макси.
251: Значений. Ну, отсюда все получается так, это вот 1 утверждение, вот оно будет часто использоваться. Так, значит, ещё такое замечание, значит,
252: В случае, да, извините, я пока спешу. Значит, теперь вот ещё 2 Лема, а потом будет вот это замечание уже, значит, лемма 2.
253: Emma 2. Значит, снова у нас все те же самые условия. Определённо на-ка ну а е содержится-ка 0 и из.
254: Ясно, что существует также предел ф от икс при икс, стремящемся при x, стремящемся вот к этому, а. Маленькому и он.
255: Не равен нулю.
256: Тогда отсюда следует, что вот опять же существует такое дельта больше нуля, что вот функция будет вот на соответствующем пересечении. Ну давайте я уже
257: Это напишу опять вот на, значит, если мы берём теперь вот любое x, принадлежащее как раз вот этому е и.
258: Значит.
259: X. Значит, не равняется, естественно а и икс минус, а по модулю меньше, чем дельта, то вот значение эф от икс также будет не равно нулю, то есть оно.
260: Но тогда ни в 1 точке вот в этой, ну или по другому это опять я могу написать эту окрестность, значит, её пересечённая уже вот теперь уже важно, что проколотая окрестность
261: Точки, а дельта, ну то есть в самой точке она может значение быть равное нулю. Это никто никак там это не ограничивает. Пожалуйста. А если вы добавите
262: Я уже говорил, если вы добавите эту точку, ограниченность не изменится. Не факт, как это. Ну а если функция точки не существует, мы так определили, так опять же все выполняется.
263: Если не существует, также выполняется. Да? Нет, ну вот смотрите ещё раз, давайте пересекаем вот с этим, с этой окрестностью. В предыдущем случае тут 2 варианта, если у нас это в этой точке не
264: Значит, просто точка, а не входит в её. Так, о чем речь? А если она вошла, так это значение 1 точки никак не повлияет на ограниченность. Понятно? Да, то есть, а вот сейчас важно, потому что вот оно может оказаться равное нулю.
265: Там. Так вот, да? Ага. Она только для, ну, или любой константы сейчас ещё раз о, или для любой, где, где 0. А, в принципе, да.
266: Это нет, ну тогда это вот если предел не равняется этой константе. Нет, ну это же из этого уже будет следовать. Вы возьмёте ф от икс минус, вот это.
267: Рассматривайте вот эту функцию. Понятно, да. Ну, если, ну, нам сейчас я объясню, зачем это надо. Нас будут интересовать пределы ф, от икс, делить на жэ, от x вот таких функций. Я сразу так.
268: Разоблачение. Зачем мне эта лемма? Мне нужно будет определить, чтобы я мог делить на жэ от x. Понятно, да? Вот если предел у неё не равен нулю, значит, мы в окрестностях можем определить вот ради чего я сейчас тут все это произношу.
269: Так, а ограниченность тоже, помните, она у нас использовалась при определении бесконечно малых уже для последствии это было так, что это у меня технические такие леммы, но они часто используются.
270: Так, так вот, доказательства.
271: Значит, вначале давайте я докажу, а потом ещё вот тут как раз будет замечание в случае, вот, значит, вещественного случая тут ещё, ну, уже вещественный имеется ввиду, где значение принимает. Так, так, ну, давайте вот.
272: Ну, пишем, а равняется вот как раз этому пределу, при x стремящемся к а. Маленькому эф от икс, значит, вот, и он, естественно, не равен нулю, то есть.
273: Числа они равняются нулю а теперь я повторяю все, повторяю то что здесь написано только вот эпсилон я сейчас подходящим образом выберу а epsilon можно выбрать вот, а большое по модулю поделить пополам.
274: Вот это получится больше нуля для него найдётся вот эта дельта больше нуля, что какие бы мы опять иксы бы не брали бы из её, причём, значит, x не равняется, а и x.
275: А по модулю меньше, чем вот эта дельта. Вот как раз мы это вот повторили то, что здесь написано сейчас.
276: Ну а теперь пишем вот из определения предела мы получаем такое неравенство, что эф от икс минус, а маленькое по модулю, ой, большое, извините, а большое по модулю будет меньше, чем вот это.
277: Epsilon то есть это, а по модулю делённое на 2.
278: Так, ну и теперь давайте вот мы поступим следующим образом. Значит вот сейчас давайте напишем вот такие неравенства. Так вот я напишу модуль, а это
279: Равняется, значит, модуль.
280: Значит так. А минус эф от икс?
281: Так, x. Это мы берём вот то самое, которое здесь вот написано, и добавляю плюс ф от икс, да, так, по модулю, так это будет у нас больше.
282: LIBOR равно, да чем что получается, значит, а минус эф от икс по модулю, да и pl, значит, плюс модуль эф от.
283: От x. Так, согласны? Да, отсюда я получаю, значит, следующее. Значит, давайте напишем, значит, у нас получается, модуль эф от икс будет.
284: Меньше, либо равен, чем модуль. А, и из этого. А, ой, только сейчас, че то я не с той стороны это оценил, извините, а
285: Меня не поправили в другую сторону, естественно. Так вот так. То есть, значит так, так, так, да, извините, я че то наоборот. Все, значит тут.
286: Больше, либо равно, естественно, да, вот, вот то, что мне и надо, значит, вот больше, либо равно чем, а, а здесь вот как раз вот это я переношу влево, значит, минус вот это, а минус эф от икс.
287: Так, ну и вот эта величина, естественно, чем больше, тем это меньше. То есть это можно написать, что это даже строго больше, чем, а минус вот это, а пополам, да, по модулю, и здесь по модулю, ну то есть получается,
288: А по модулю пополам. Вот, вот эта оценка у меня получилась. Так проследили, да?
289: Значит, у нас сейчас кто вот тут, извините, безобразие сотрём. Вот давайте ещё раз. Я взял модуль, а значит тут я добавил, вычел вот это.
290: Fortix. Естественно, что вот это 1 скобка, 2, значит, они по неравенству треугольника, да, у нас получается, значит, модуль суммы равен меньше, либо равен суммы модулей. Вот мы переписали так теперь
291: Значит, отсюда эф от икс мы оставляем, а вот это переносим в левую часть. Так вот перенесли. Теперь это оцениваем. Вот если сверху, то естественно получается, так как знак минус оценка снизу, да, так, проследили тут.
292: Да, ну вот получается так. Ну вот это означает, что так как это больше нуля уже, да, то отсюда получается, что на самом деле нулю никак не равняется. Так, ну и теперь ещё такое замечание, если у нас qa было вещественно,
293: То есть у нас отображение из вот этой е значит соответственно vr то можно тут вместо вот этого неравенства написать, соответственно значит эф от икс будет больше нуля или наоборот.
294: От ф, от икс будет меньше нуля, в зависимости от знака вот этого. А если, а у нас, соответственно, больше нуля, то вот это получится при меньше нуля получится. Вот, соответственно, вот это, ну, лёгкое упражнение вы можете проверить.
295: Вот это уже самостоятельно это проверить. Так, ну вот, вот такие 2 леммы. Ну а теперь давайте запишем вот арифметические свойства предела.
296: То, что вам хорошо знакомо.
297: Значит, непосредственно тут тоже самое значит тические свойства предела.
298: Так это у нас будет теорема до.
299: Так, пусть у нас даны 2 функции ф и ж определены, на её принимают значение опять же в к, но её содержится в-ка 0.
300: Вот е содержится в-ка 0, ну и существуют вот эти пределы при x, стремящемся к маленькому, значит, ф от икс это обозначим, а?
301: Большое и также what существует предел функции ж от икс при икс стремящемся к а. Маленькому, и он равняется б. Большому.
302: То отсюда следует, что существует предел эф от икс плюс, ну или, соответственно, минус ж от x вот берётся, значит, 2 варианта. Ну и
303: Эти пределы будут равны сумме или разности пределов.
304: Кроме того, также верно, что существует предел для произведения эф от икс умножить на ж от икс при икс, стремящемся к а. Маленькому он равняется, а умножить на б так.
305: Ну и последнее, вот давайте уже вот здесь напишем.
306: Вот напишем здесь.
307: Вот теперь если
308: Если вот это число б не равняется нулю, то также существует предел частного эф от икс поделить на ж.
309: От икс при икс, стремящемся к а. Маленькому это будет, а большое делить на б большое.
310: Теперь доказательства.
311: Вот на самом деле доказательства проводятся вот в этой части практически в 1 строчку. Вот попробуйте мне помочь.
312: Практически в 1 строчку. Ну, 2 там, если так подробнее писать, а значит, ну, если вы сейчас по каши будете доказывать, то это
313: Получится. А там, помните, ещё 1 определение было по гейне, а по гейны мы уже для последствий знаем. Вот, и автоматически это практически следствие. Вот определение поге.
314: И вот свойства для последователь. Ну давайте все-таки я это начну. Ну а покажи тогда надо проверять по определению. Вот. И проверьте его. Ну, увлекательное занятие, очень полезное. Кстати, ну уже я на это время тратить не буду.
315: А так, для, для каждого, ну, надо повторить все доказательства практически, которые были непоследовательности.
316: Вот, там или другой вариант, это значит, я сейчас другой вариант будет. У нас будут бесконечно малые для них там это, ну, все равно это потребует усилий. Помните, для последовательности мы время потратили. Так, ну вот мы берём просто произвольную сейчас последовательность. X.
317: Из е. С условием, что x энное не равняется, а и в то же время, значит, предел x энных равняется а маленькому при, то есть после.
318: Другими словами, у нас нет, у нас нет сейчас, пока, ну я сейчас, вот до этого, сейчас это вот про последнее мы сейчас, я скажу, мне как раз понадобится.
319: Да, понятно. Да. Вот, значит, тут ограничение какое тут тогда вот этот знаменатель не должен равен быть нулю, но там лемма 2 сразу ситуацию спасает. Вот о чем идёт речь. Так, ну давайте мы пока вот все.
320: Вот эти 3 сразу получим. Значит, это нам известно. Точнее, это нам дано. Тогда нам известно следующее, что предел вот эф от икс энного. Помните, что n стремится к бесконечности. Вот.
321: Здесь равняется а. Большому и точно также предел, значит, предел эф ж там да вот жэ от x энного стремящийся бесконечност равн.
322: Имеется бэ, большом это вот определение по гейне оо Гене. Ну а теперь сразу мы получаем вот эти все 3 предела, значит,
323: Как мы получаем, очень просто берём, значит предел, вот пишем эр от x энного плюс или минус жэ от x энного. Ну это значит для последовательности, это мы знаем, чт.
324: Это должен равняться, а плюс минус бэ вывод отсюда следует, что вот это я то, что написал, верно? Да? Ну и точно такая ситуация для вот нижней, опять же, пишите.
325: Предел при n, стремящемся к бесконечности эф от икс энного, умножить на жэ от x энное опять же это последовательности для них можно переходить к пределу по отдельности и получ.
326: Произведение. Ну вот, значит, вот эти 3 утверждения мы получили, как теперь быть вот здесь, вот здесь как раз надо воспользоваться лемой 2 и взять там существу.
327: Такое дельта больше нуля, что для любых иксов из её, значит, напоминаю, икс не равняется а и икс минус, а по модулю.
328: Опять тут очень плохо видно. Сейчас давайте попробую я стереть и
329: Значит, икс минус, а по модулю.
330: Меньше чем delta же от икс не равняется нулю. То есть мы делить можем. Вот мы давайте возьмём теперь только вот вот такие, то есть мы берём иксы из пересечения.
331: Вот её пересечённая с у с точкой а дельта да, вот только мы вот отсюда, ну, имеем право и теперь берём последовательности вот отсюда x энные пусть принадлежат вот этому пересе.
332: Значит, тут дельта тут пишем. А, ну, в этом случае.
333: Как раз мы снова можем воспользоваться. Вот мы можем снова воспользоваться.
334: Вот что предел значит эф от икс эн делённое на жэ от x and 1 делом знаменатель не обращается в 0 и при n, стремящемся к бесконечности это получается, а делить на б ну?
335: Опять же, значит и этот предел также верен. Вот. То есть вот этот предел, который вот это также верно все мы доказали. Так, ну вот отсюда мы получили все это арифметические свойства. Так, теперь дальше
336: Ещё, значит, 1, да, ещё такое замечание я тут писал икс, а икс стремится вот к маленькому, ну, все тоже самое годится. И когда тут бесконечности, это уже вы самостоятельно.
337: Там проверьте опять можно воспользоваться последовательностями гении. Все тоже самое можно повторить вот. Так что это уже самостоятельно напишите. Так, а теперь вот ещё.
338: Теорема это предел композиции 2 функций или замена переменных в пределе можно так ещё это формулировать, значит предел композиции.
339: Значит, 2 функций. Так вот, это те.
340: 3 так пусть у нас даны 2 функции теперь так, значит, ф отображает её же большое, а функция
341: Же маленькое отображает ж большое поле к. Так теперь вот тут у нас множество е содержится, как обычно, в поле к 0, а вот множество же будет.
342: Содержаться в поле к 1 значит, к 1, точно так же, как к и к 0, может быть как вещественное, так и комплексное, ничему это не противоречит.
343: Так и нам известно, что значит what существует предел эф от икс при икс стремящемся к а. Маленькому.
344: Он равняется бэ маленькому. Обращаю внимание, что бэ маленькое будет лежать уже в к 1.
345: Также существует предел функции ж. Я специально пишу от игрок при игрек, стремящемся к б. Маленькому, и он
346: Равняется, он равняется как раз вот, а большому
347: Так, ну это ещё не все. Тут вот приходится ещё 1 ограничение вводить, это ограничения естественные. А ещё вот 1 ограничение, оно вот, значит, без него тут вообще эта теорема будет не
348: Верно. Значит, ограничение такое, что для любого, точнее, она может быть неверно для любого, значит, игрека из ж такого, что
349: Игрек не равняется вот этому б, б, может входить же, это ничему не противоречит. Вот само, значит, сейчас, да, на сейчас, ой, извините, вот так.
350: Не то написал сейчас, значит, для любого x, принадлежащего вот этому е, вот этому её, да и такой, что икс не равняет.
351: Вот это, а которое, а маленькое было, да, у нас вот это эф от икс не должно равняться б, то есть самому пределу не должно равняться. Вот такое ещё ограничение. Вот эти
352: Все ограничения вы, значит, эти условия выполнены, то отсюда следует. Сейчас тут плохо видно. Да, давайте я тут уже результат здесь напишу.
353: Вот тогда мы получаем такую
354: Значит, мы отсюда получаем, что предел значит, я беру жэ от ф от икс. То есть вот композиция 2 функций и x устремляю, а маленькому он совпадёт просто.
355: С пределом ж от игрек, когда игрек стремится вот к б.
356: Ну то есть, другими словами, мы произвели замену, значит, вот это у нас игрек равняется эф от икс.
357: Вот так. Ну.
358: Значит, у нас, давайте я ещё это изображу. Так, значит, вот у нас есть, значит, её есть множество ж, вот стрелочка сюда, это у нас ф отображает, а отсюда мы попадаем вот, в поле к это с помощью ж.
359: Вот тут у нас, значит, x стремилось-ка здесь при образе игрек стремится к б. Ну а здесь вот в пределе, мы получим вот это а?
360: Мы получим. Вот можно было тут написать, это равняется просто, а
361: Вот так это утверждается. Так вот почему нужно вот это ограничение, контрольный вопрос.
362: Противном случае. Ну да, у нас игрек должна быть определяя. Да, да, совершенно верно. Да. Вот смотрите, а тут у нас
363: Значит, вот неприятность может заключаться в следующем. Вот тут, когда мы вот этот предел рассматриваем, игрек, не должно равняться вот этому б, да.
364: А вот условие, что если x не равняется эф от икс, может равняться бы.
365: И вот тогда у нас вот тут как раз получится, он равняется в некоторых точках, а здесь нет, вот из за этого начинаются неприятности, поэтому это надо исключить и запретить, чтобы, значит, если x не равняется, то и ф. От икс не равно.
366: Значит, это ограничение снимается, когда у нас вот эта функция хорошая, то есть она непрерывная, тогда это ограничение можно снять, но это у нас будет теорема попозже. А вот если функция, она плохая, то есть, значит, причи,
367: Ну, в том, что ж, может быть, в точке б не равняться вот этому. А, и тогда вот начинаются неприятности. Вот, поэтому, значит, приходится это ограничение вводить. Так, теперь доказательства.
368: Случае в 2 строчки ну, помогайте.
369: Как нужно, как надо понимать предел?
370: Пока это опять требует неких усилий, а по гены все просто.
371: Значит, вот давайте падение, значит, вот мы пишем, значит, 1, что мы знаем. Вот давайте мы знаем, что вот это у нас, значит, вот это давайте напишем, значит, мы берём произвольную последовательность x энную из её с условием
372: Что x энные не равны, значит, а маленькому и предел да, предел, значит, x энных равняется бэ маленькому, да?
373: Все бесконечность.
374: Так, теперь, значит, предел x энных равняется, да? А маленькому, извините, спасибо, спасибо. Видите, я спешу опять, и, значит.
375: То букву пишу. Так теперь вот пишем игрек у нас это будет что? Ф от икс н.
376: Мы можем сразу их определить. Так, значит, вот из того, что у нас предел ф от икс равняется б, мы получаем отсюда, что предел при
377: Стремящимся бесконечности игрек энных. А это что такое? Это предел эф от икс n. Да при стремящемся к бесконечности он равняется бэ маленькому, так ведь?
378: В то же время у нас игрек энные не равны б это как раз вот я вот это условие использую, которое здесь написано, потому что у меня x энное не равнялось, а значит, игрек энный не равняется бэ.
379: Ну опять же, теперь вот, вот этим пределом я воспользуюсь, я получаю, что предел.
380: Же от игрек энных при стремящимся к бесконечности должен равняться а большому
381: Вот это мы получили, да, это опять из определения по ген уже 2 предела. Так, ну а теперь давайте все это соберём и заметим следующее. Вот я взял произвольную последовательность. Вот Гена, да.
382: И дальше я тут вот пишу как раз предел жэ от эф, от икс энного, при n, стремящемся к бесконечности. То есть меня интересует вот этот предел, который наверху.
383: Так, замечаю, что эф от икс энного это что такое игрек энное, да, то есть я переписываю это предел при n, стремящемся к бесконечности жэ от игрек энного.
384: А последнее я знаю, вот только что было написано, тут это будет как раз, а вот только что мы получили, ну, следовательно, вот это верно. То, что написано, заметь, так все.
385: Просто получается это воспользоваться, значит, в смысле пределов поге. Так, ну вот эти мы
386: Значит, свойства определили и они позволяют, они как раз вот позволяют переходить к значит пределам. Ну тут ещё давайте 1 замечание сделаю теперь, значит,
387: В связи вот с этими пределами. Теперь вот случай комплексный.
388: Вот это нам в дальнейшем всегда часто будет встречаться. Вот давайте теперь у нас, нас интересует. Вот, значит, такое, значит, замечание, значит,
389: Нас интересует ф. Определённое на её со значениями в ц, именно в ц.
390: Тогда вот, значит, ф от икс можно представить, как у от x плюс y на в от x. Понятно, да, я беру, это вещественная часть, это.
391: Понятно, да, то, что я написал.
392: Так, то есть она, соответственно, у, и в уже отображает вот это евр, соответственно, ну, вот такое замечание, что значит предел.
393: Значит, эф от икс при икс, стремящемся к а и кстати, может быть как вещественное, так комплексное будет равняться, а большое плюс и умножить на бэ большое, ну, где а и б, у нас это уже вещественное, то есть это
394: Вещественная часть это мнимая часть, но сами значения вещественные это тогда и только тогда, когда, соответственно, предел у от икс при икс, стремящемся к равняется.
395: А большому, а предел в от икс при икс стремящемся снова к а а маленькому, значит, равняется бэ большому.
396: Ну вот это в качестве упражнения проверьте, мне кажется, это вам уже по силам, да, вот это вот довольно часто вы будете как раз с этой ситуацией встречаться и вот по отдельности эти пределы находятся.