0: One of the main or maybe one of the important mission of mathematics is to develop математикал modules that describe the nature.

1: And the world around us and one of such concepts was the notion of the vector space that we discuss the привес lecture бат ит ис сьюди, но for all purpose.

2: In particular, бикоз ин Ауэр ambient space we deal with поинтс раз than this векторс соу ви мэжэ дистанс с. Between поинтс энд ви синк оф а ambient space age of something that.

3: Consists of points and not of wheat thats why we some how нид ту ту формалай зис концепт со v need to give a definition of some аналог of vector space.

4: That consists of points of course when we work in three dimensions, we can apply the asian Грик про i mean, we can just formulate, axioms энд ворк виз поинтс.

5: Lines that that that consists of points and and and planes that consists of of points and lines as as people doing in in school.

6: But this year, but on the one hand, the approach is not convenient for our purpose because we want to use энерии метод and on the other hand.

7: Not that easy to develop this app in spaces of хай Демеш соу ви ту introduce the notion of the Сокол a find space that exactly describes the.

8: Love electro space that concert of point so секшен намбер севен э файн спейсес.

9: And so as always the going to start with the definition, and with its discussion.

10: Sell the definition.

11: Лет x b Эсет энд лэт ви би эвект спейс консид.

12: That will be denoted бай плас Фром зе кретизировать ооф x and we to x.

13: Да.

14: The per ex v is cold and a find space.

15: F. The following properties а. Сеафайт.

16: So the first проперти.

17: For anne p. From x p. Plus, the zero, вектор из p. S. I.

18: Put the air here in all the to nick is the zero вектор, Фром хау вектор спейс зен зе секонд проперти стейтс зет.

19: For anne p. From x and for any y and v. From the space ви. Ви.

20: Have пи plus y, and then плас ви ик вилс пи plus, y plus we so i will command on what is ритин хир БИК лейте энд the first проперти?

21: States that for any two points пи.

22: And q from xx there exists a unique вектор v from the space we кэппи.

23: Such that p plus the equal, кью соу иф зис проперти а tide we call this year and a find space so whats ритин хи лет ас лук at the second?

24: Проперти соу инфект ит из э бит контрел бикоз зе симпл плас из use here in two different meanings со one of the meanings is that is so one one of.

25: The uses of this simple is the operation that we just induce so here this plus, and this plus сорри, зис пласс энд зис пласс из exactly the plus that maps the картизон продукт оф экс.

26: And we to x. And this plus is the operation of addition in the vector space, we because here we add to different elements of the space we офкорс ИНН озёр ту би комплитли.

27: Reverse we should have do not yet this to пласес виз дифферент сайнс бат ит из нот convenient so we will not do this because there the difference is always clear from the contest Фром зе.

28: Context so this is what i should say about the second проперти энд and the first проперти из just that we.

29: Add that the act to any point we get this point and now let us all интревью, сам релейтед релейтед ноушен соу.

30: Deducto.

31: We from.

32: The property фри.

33: Age денат ед.

34: By p. Q. So this is according to this property сач вектор из unique соу ви кэн.

35: We can do these factors by some simple saw this factor is денид бай пи q and is called.

36: The вектор joining пи and q.

37: When elements of of the set x а.

38: Points.

39: The operation.

40: Plus from x by v to x. Y. И this operation is called the edition.

41: Vector to a point?

42: And the vector space v is called the вектор спей.

43: Ассошиэйтед ту the find space x.

44: So, виза.

45: Different notions релейтед ту the concept of and find space and let us look at this definition соу инфакт зис из what we do with this поинтс энд векторс Инна фри ин Ауэр фри dimension?

46: Space so what can we do we can pick a point and pick a vector and we can attach this vector to a point and other to get and other point, this is exactly the property намбер ту со.

47: This is the definition y vol толк эбаут зе проперти намбер ту лейте соу зен вен ви эт the zero, вектор, ту сам point, when we этэ зе Зиро вектор ту энни поинт, ви гет зе сейм поинт соу зис из what we have in our three dimensional space and.

48: Then the property фри стейтс зет, ви. Кэн джоин, эни ту поинтс, бай вектор, зис из экзакли, зе вектор, зе поинт пи and in the point q. And now i need to make.

49: Макс concerning this definition соу ферст ли let us look at the second проперти соу.

50: P. Plus, y. B. Q and let кью плас, ви. Би.

51: A xen zen проперти ту.

52: Из эквивалент.

53: To the релейшн.

54: To the релейшен пи q plus q r икус пи a so in dead.

55: Since you is the вектор джонин зе поинтс, пи пи and q u иквел пи q, the equal кью.

56: A right? And what is written here? So?

57: Y plus, v is the вектор, joining поинтс, пи and a.

58: And you plus v is the вектор, joining поинтс.

59: Q and a.

60: And so what do we have what can we say about this релейшен соу лет ас лук эт зис релейшен Фром зе поинт оф оф geometry соу ви хэв фри.

61: Points, if we have three points on the plane so point, пи зен поинт кью энд then point are so we have.

62: We have the вектор y here, then we have the vector the here, and here we have the вектор y plus z so.

63: This is exactly the траинг рул фо эдин векторс.

64: So this релейшен из the траенгл ру фор эдин.

65: Реактос, а then the next ремарк из z.

66: P. Q из v when q p из minus we saw it follows from all this релейшенс.

67: Because пи бикоз пи plus v plus minus v экодин ту зе релейшен ту.

68: C just пи plus zero вич из p. Экодин ту the first релейшн райт.

69: So this is also the thing that we observe ин Ауэр, standard space of vectors and Ван моо ремарк.

70: Number three for convenience in форметин дифферент стейтмент ви Вил кол.

71: The empty set.

72: There are five спейс ассошиэйтед.

73: To the trivial вектор спейс эт консест онли оф Зиро соу зис.

74: Some important remarks that we need to make иное to clarify the definition of and find space and now let.

75: И дискасс кап. О example so.

76: The first example is just our geometric векторс э i have меншен.

77: Метрика векторс, он a plane?

78: Or in three d r n points.

79: Сети fi the definition of and a five.

80: In this case, x is the set of all points.

81: And we is the set of all geometric векторс.

82: By say метрика её айми векторс он a plane that join поинтс эз ви эс ви си зем ин elementary geometry, and another example.

83: So let v би эвект спейс.

84: And лет x b equal to we saw in this case v a sign поинтс энд векторс зен зе.

85: Operation класс as just the edition in.

86: The vector space, v and this also allow to to get find space so in this case, we интрес зе так of find space on v, lt self by identify вектор.

87: Points. And this example, we'll be especially important for our purpose с so what do we have here so?

88: Arthas, фикс, сам origin and so we have a vector and we have.

89: Point by hair and so fiixd, сам origin, хир зен ви айденту, Фай ви айденту, Фай.

90: Points and and the position векторс.

91: So this is another important example, and so the next thing that we will discuss из the notion of and find coordinate фрейм соу секшен севен поинт ту файн оо.

92: Nate фреймс.

93: So the definition.

94: Лет x. V b. N a five.

95: Space so let o b a point.

96: In ex and let y. Ван эцетера и n. B. E. Безис.

97: In the vector space we then the сет оо и one at сеттера и and is called an.

98: Five coordinate фрейм.

99: The point оо из call the origin.

100: And?

101: А for.

102: Ne p. From x. The coordinate of the вектор оо пиви.

103: The vector from our space the capital соу зе координат оф зис вектор.

104: With respect to the безис и and even i n. A hold the эфай.

105: Coordinates.

106: Of the point пи овер зе фрейм.

107: Oh, i. Van эт, сетра и and.

108: Sorry for trying to fit this here so the notion of a fine fine so here we into use the notion of a five координатс оф the point пи соу вот do we do here we fix.

109: Координат фрейм зен ви тейк, арбитр поинт, пи Фром, Ауэр, файн сет фо файн спейс x, and we consider the coordinate of the position vector of this point with respect to the.

110: Иван и and in our вектор спейс энд зис координатс а call that a fine координат офф p over the over this frame о, over the frame.

111: We интрес соу зис экзектли репидс зис энд констракшн зет ви хэв ин Ауэр geometric фри деменшина спейс соу и exactly the way how we релей зе координатс оф.

112: Point in our фри домен спейс оо он он он координат плейн виз зе coordinate of the position vector.

113: Let the fallen пропозишн.

114: Let оо и one, эта e and and оо прайм, Ван прайм, эцетера и and прайм.

115: Il a fine coordinate фреймс, ИНН nn, эфай спейс.

116: Axe d.

117: Лет x Ван тетра, экс эн n x Ван эта x and with primus би.

118: Set of coordinates of some point пи Фром зис файнс сет.

119: This фреймс.

120: Then the falling релейшн холдс зен зе колом оф координатс экс Ван эта x and икос.

121: See by the колом оф координат, a prime, x one, prime, x and прайм plus, the координат x, one, note, та x and not the.

122: Си из the change of бейзи бейзи, матрикс Фром, зе бейзи и one сеттера и.

123: And two и one prime air и en prime and.

124: X one with not цетра экс эн нот би би эфай координатс.

125: Of the point of prime over the first coordinate фрейм.

126: So we need to prove this релейшен зес релейшен лауз ас ту компьют файн, coordinates of any point over Ван координат фрейм иф ви no its coordinates овер эназе.

127: Rain so let us prove this релейшен.

128: So according to the definition.

129: We have the falling релейшенс соу оо the вектор ооо пи из x Ван бай и one plus эсета плас экс.

130: And by e. And and the вектор, оо прайм пи пи сорри ви донт, not have пи прайм, n the вектор, оо прайм пи из x. Ван прайм бай и one прайм plus, r. Plus, x and прайм.

131: By e. And prime so this follows, from the definition бикоз ин the definition ви река the the flights of the point are exactly the coordinate of the position vector of this point.

132: Respect to the безис ин Ауэр вектор спейс энд then we know that.

133: O prime see the вектор оу прайм пи ик волс оу прайм ооо plus o p right side, фо.

134: From the definition of the find space, and this vector is just so i can рерайт зис эс опи, майнес, оо прайм соу, зис фолос, Фром, зе ремарк, зет воз.

135: Beginning of the lecture and

136: Now we can rewrite this as x one и one plus, s plus x and y and so i just substitute the релейшен фо зе вектор ооо пи.

137: Minus, minus, the безис expansion of this vector and we knew that we know the coordinate of the point оо прайм.

138: Over the first other the first координат фрейм that's why this vector is exactly экс Ван нот бай и one minus сетра майнес экс эн?

139: Not by и and so this is what we get here and

140: And we can just рерайтит эс.

141: X one minus, экс Ван нот бай и one plus et cetera плас экс эн майнес экс эн нот.

142: By e. And so we have.

143: So we have this релейшен фор зе вектор оо прайм пи and now we can компе the реле.

144: We had before with this one so these are the coordinate, соо, x, Ван прайм, э x and прайм, the coordinate of this vector, with respect to the безис виз праймс энд зис, а the coordinate of the same.

145: With respect to the ан прайм безис соу кэмпер её координатс оф.

146: The вектор оо оо прайм пи вид респект to.

147: Безис и one тетра и and n. E Ван прайм эстера и en prime so we know the релейшен битвин зе координатс оф, the same вектор ви респект to different бейзи.

148: So we can write down the falling релейшен соу.

149: X Ван майнос, экс Ван нот цетера, экс эн майнос, экс эн нот иквел её the change of безис метрикс бай the colour of координатс.

150: With respect to the prime бейсес.

151: And this релейшен из эквивалент to the релейшен зэт ви вонт ту прув райт соу иис из the same as the falling релейшен.

152: So this proves а firm and a proposition сорри энд зис Элла ас ту ту компьют зе координат оф поинт виз.

153: One координат фрейм ноут, координат, овер эзе, координат, фрейм энд соу зе некст, subsection и by seven point three.

154: Five саб спейсес.

155: Сел.

156: The definition лет x v. B. N a find space.

157: And let y. B. A subset.

158: So let you be c up space.

159: In the vector space we then the per вай ю. Из call.

160: Anna файн сабспейс.

161: F. It s and афан спейс виз зе сейм.

162: With the same оперейшн плас эс ин the ambient space.

163: X y. So what does this mean we have we have this operation плас defined in this e find space and we have a subset вай ИНН экс энд ви хэв э сабспейс ю ин ви энд соу.

164: That this пёр из also saw saw the the the operation is also дефайнд он, the картезиан, продакт оф вай бай ю and we реква зэт зис пёр шуд би.

165: Find space with the same оперейшн плас из s in the ambient space, but this формал дефинишен из нот вери convenience in practice соу лет ас мейк ремарк зет вот do we need to.

166: Check in practice when we want to verify that sam per вай ю из э сабспейс ИНН экс ви соу лет ас лук at the axioms оф.

167: And find space here at the definition соу, ви хэв фри, axioms энд.

168: The first one states that that if we add the zero вектор, ту ту сам point, then, we get this point right, and this аксиом.

169: Would be also c white in every for every сабсет вай райт, соу, иф v take not all points from x, but just the points from y. Зис, олсо, би, зис, олсо, вуд би, сети, Файт энд.

170: So the second экси вуд, би, олсо, сет и white, but with the only restriction зет.

171: If we take we should check that we should check that the operation plus the restriction of this operation плас ту ту вай энд ю, из well defined соу иф v take a point.

172: From y. N a vector from the then the sum пипла плас зис вектор олсо belongs to y, and then finally we need to check that if we Джой.

173: In two points of vi bi to this fact shut be long to the se so let me write this so инфект ви онли нид ту чек.

174: I need to verify that p plus y belongs to.

175: Il y for every p. From y. N.

176: Every you from you and that for any two points.

177: P. N q from our сабсет вай зе вектор.

178: P. Q z. Из uniquely defined by the definition of the ambient э. Файн спейс belongs to the sub space you so, if we check this to реквайрментс зен зен.

179: Would be автоматика ли fight because the find in the ledger файн спейс энд ин зис кейс зе пёр вай энд ю Вил би эн файн сап спейс ИНН.

180: In the find space x. V now i going to foreign прув пропозишн зет describes the structure of and find сап спейс соу лет.

181: X. V. B. And find space and let.

182: U b e sub space then for any point пи ИНН ИНН вай.

183: Sorry, in ex and for anne p in y in x. Sorry, we dont have y.

184: Вы.

185: Per вай ю вер.

186: Why is the set of all points? Set has a have the form пипла ю а ю из from the subspace из?

187: And find са спейс соу вич а стейк, э поинт, энд эд векторс Фром, сам вектор сабспейс энд зис.

188: Always, give us and find a space conversely.

189: For anne fine сабспейс вай ю.

190: Set a point пи Фром.

191: The exies a point пи Фром, Ауэр, спейс, вай сач зет вай.

192: Экволс пиплс ю о ю рейнджерс де сабспейс ю соу зис из what we need to prove?

193: Ok let us prove this пропозишн соу ферст ли let y b.

194: The set of all points of the form пиплс ю вер ю. Рейнджес, сам сабспейс, and so we need to prove that.

195: The per ю. The per вай энд ю формс энд э файн сабспейс соу.

196: Обвес ли for any for ne q from y n?

197: For any w, from you we have?

198: Q plus w ich wills пи plus y and then плас дабл ю соу бикоз because every point from this space кендер.

199: Presented like this and according to the second аксиом Фром зе дефинишен, зис из зе сейм эс пи plus, y plus дабл ю and things Бо векторс.

200: You and double you belong to the subspace ю the vector that we add here also belong to the subspace ю, and there for this this point belongs to.

201: Y. S. The collection of all points of this form соу энд then we need to check that if we take two points from y, then we can Доин зем, бай вектор, Фром, ю соу тейк.

202: Q are from y, then there exists you and double you from the.

203: Space you, such that p. Z. Q. Иквел, пиплс, ю. And and.

204: A экволс пи plus w write so this follows from from the definition and then how can we вот?

205: Can we say about these, vectors, so we can say that in this case you is the вектор p q n w is the вектор. P a?

206: Then we need to find the вектор, joining the point q, and a then кью ар из.

207: Q p. According to see trying рул из q p plus p. A witch из p. Q. Сорри вич из p. A minus пи q white.

208: And this is so p a из u, and and so its double you, so this is дабл ю and p q is you so дабл ю main c u and this factor олсо би лонгс ту.

209: The subspace ю соу аккординг, ту зе ремарк зет ви мэйд бифор вай ю из and find сабспейс.

210: And now we need to to prove the second part of this пропозишн соу консидер, энд э файн.

211: Subspace вай ю.

212: Take a point и from y.

213: When pupils ю.

214: Belongs to y for any you from the space you capital соу ит фолс Фром зе дефинишен оф.

215: And find сабспейс.

216: There for.

217: О, векторс оф зис. Форм be long to y. And thats why.

218: See thats why that the сет пипла ю the u r, from you capital is the subset in.

219: In vi rise and we need to prove that this to that these two sets are equal соу консидер.

220: Арбитор, поинт, кью Фром, вай зен.

221: The вектор p. Q, which i will do out by you belongs to the space you, and there for q из p.

222: И plus this вектор соу энни поинт Фром зис ей кэн represented лайк зис зетс вай вай, олсо, belongs to this set and.

223: Dos vi ик. Волс зе сет пипл ас y lower case, where you ловеркейс, belongs to the space you capital соу зис Прус Ауэр, стейтмент энд гив ас.

224: Э. Дискрипшен фор ол э файн сабспейсе ИНН ИНН a find space.

225: So we can just shift in some sense we can shift файн саф, спейсес бай, сам вект, мейк, зис ремарк, соу ремарк.

226: Consider.

227: And find space

228: X. We were.

229: Where xxx is just we we have this example before then what does this mean so, if we консид сам?

230: A fine сам вектор сабспейс, соу зис из зе вектор сабспейс, ю соу хир из the origin, хир из the vector and.

231: Take some point пи хир зен вот is that what is the five?

232: Subspace оф зис. Форм so we take the position vector of the point пи and we consider all векторс оф зис форм соу зис из джаст?

233: This is nothing but the plane that passes through the end point of this vector that is through the point пи про to you, so this is this is our сабспейс вай.

234: Any point q hi can be represented as p plus son векта ю from you so there.

235: So this is just and a temp ту visualize вот going on here so this дискрипшен из so this this пропозишн гив ас зе geometric дискрипшен оф вот из and find space.

236: In this and these terms and now im going to consider an example.

237: So let, экс би equal to v and by the space of ополном ИНН экс.

238: Of degree and m. And im going to consider.

239: The subspace ю вич и b the subspace офф о полиномиал Фром зис спейс сач зет пи оф Ван из zero обвисли.

240: Ю. Из and a fine сорри, олвейс ли ю. Из эвект сабспейс.

241: Inn in the then consider y. Вич.

242: By the set of all полиномиал пи сач зет пи оф Ван ик волс эй вер эй.

243: Non, so we consider оо полис off this kind than.

244: For.

245: Anny.

246: Learn for anne p from you and for every кью Фром вай.

247: We have the following релейшен so q plus p of Ван из so i just take the sum of two полиномиал эт the point one, so this из queue of.

248: One plus p of one so q ооф Ван кодинг ту the definition is a piss off Ван из zero соу ви гет эй соу зис минс зет кью пласс пи било?

249: Il y as well, so we take every полиномиал сач зэт ит belongs to this сабспейс энд ви тейк эври полиномиал Фром.

250: Y. And the some also be long to vi.

251: Consider two points from a why so консидер кью энд, а from y then.

252: Q майнос ар энд the point one equal, кью ооф Ван майнос ар оф Ван энд б of them are equal to ay so we get a minus a v get зироу энд зе.

253: For the polynomial, кью майнос ар belongs to the subspace ю соу ви абзор зет вен ви тейк эни ту полиномиал Фром вай зе дифференс belongs to the.

254: Space you there for

255: The пёр. Ю. And we из and a fine сабспейс, ИНН. Экс ви соу.

256: This example demonstrates us that we that we can play this construction ту спейсес энд саб спейсес оф арбитр нэйчес соу вен ви толк эбаут, э файн, а спейсес энд э файн.

257: And spaces and defiance of spaces ви шуд нот necessarily take only geometric векторс ви кэн ворк виз виз полиноми оо виз матрисс энд зис проч кэн би эплайд хир эс вёл соу зис экзампл.

258: Demonstrate ас.

259: Find space in the set in the vector in the find space of полиномиал соу ви хэв эн файн спейс оф сам форм эспейс оф сам форм.

260: In this space and now we need to prove to formulate, and prove сам пропозишн, зет дискрайб, зе релейшен битвин, дифферент, э файн, сабспейс, соу лет.

261: Let y van y. Van and why to you to be to a five?

262: Spaces in and find space x we Ван.

263: Why, Ван ден intersection of why one and why to is also an a fine секс?

264: So let us prove this пропозишн энд хир ви нид ту consider two different кейсес соу иф зе intersection of y Ван.

265: And why to из the empty set then according to our конвеншен.

266: We get and a fine сабспейс.

267: To the trivial вектор сап спейс.

268: And consists only of zero and the second case if y. One, if the интерсек.

269: Of why, one and why to is not the empty space, then there exists.

270: Then there exists сам point пи z belongs to the intersection of why one and why to so.

271: Consider the subspace.

272: You, Ван intersection with u two.

273: So, it is that it is the subspace ИНН v in our вектор спейс ви райт бикоз ви интерсект ту вектор саб спейсес зен.

274: Ten for.

275: Ani u from you from the intersection ви хэв.

276: Peoples you belong to y one and peoples you belong to vi to sync.

277: P. Белонгс ту болт вай Ван энд пи белонгс ту вай ту and.

278: You belong to you one and you belong to you too so пип лас вай belongs to be why, one and why, to, and hence.

279: Peoples you belong to vi Ван intersection with y too so, if we take any point from the intersection of this.

280: Il a fine спейсес энд эд энни вектор Фром зе intersection of this вектор спейсес ви гет олсо э поинт Фром ау intersection энд, then we need to show that if we take two points from.

281: The intersection we can join them by a vector that belongs to the intersection of this to vector спейсес, нау тейк ту дифферент points from the intersection of y Ван.

282: Why to take пи and q from the intersection of y Ван энд вай ту, and we need to show that we need to show that we can join them by эвект from the intersection of the spaces, ю Ван энд ю ту.

283: When birth пи and q билонг ту вай Ван энд ф p n q билонг ту Ван ту ту ту вай ту.

284: For the вектор p. Q. Из unique экодин ту. The definition of and find space belongs to the space you one because Бо поинтс с to belong to vi Ван энд симули.

285: The вектор p q belongs to u two as well хэнс зе вектор pq belongs to the intersection.

286: Of you one and u two and so that so that вектор joining this, two points belongs to y one and you too, and the four.

287: Zeper вай Ван сори вай Ван Инте секшен виз вай ту and you Ван Инте секшен виз ю ту из and a fine сабспейс.

288: In the find space x i saw this is exactly what we were intended to prove.

289: And so the next the next subsection вид be seven point for a fine ха.

290: So the definition лет, x v b n эфай.

291: Space and let s be as upset.

292: The smallest файн сабспейс контей.

293: Age is called the a fine how of words.

294: Or sometimes that he find span of words.

295: So, let us consider some example лет.

296: X. The by anna файн.

297: Space so консидер сет оф поинтс, файна сет оф поинтс, пи нот, p, Ван сет, пи эн.

298: From this space x then.

299: The five.

300: How of x has the form.

301: P. Not plus the span of vectors пи нот p Ван p not пи ту эт сетера пи нот p n.

302: So, we are ready ноу зэт ви кэн дискрайб эни файн сабспейс эс э поинт плас сам вектор сабспейс ИНН v and.

303: So that claim here is that if we take some point from the set of points and sorry, i find how of not of ex, but of words, so as would be this.

304: Finite set of points and so, if we take some point from this set, and add the span of vectors.

305: Johnning these points with all the points we обвиесли Гетт энн файн сабспейс энд ит из морле обвис зен зис ис the small as possible.

306: Main сабспейс containing all these points бикоз энни вектор joining эни ту оф зис поинтс шуд билонг ту the corresponding вектор сабспейс соу ит из in of to include this the.

307: Because векторс, дженин азе поинтс ар джаст, линия, комбинейшен офф all these vectors райт соу зис из зе дискрипшен оф the fine, how of the finite.

308: Это points?

309: And now we will discuss another way to understand a fine аббесс энд.

310: This is the релейшен битвин, э файн саб спейсес энд солюшен, сетс фор нон хамаджи, линия системс соу, subsection севен севен поинт файв.

311: Solution, сетс фор нон хадженс.

312: Линия системс.

313: So we all ready, но that the solution сет ту энни хомажи линер систем из a линии сабспейс ин зе кор.

314: Нет space and here we have the same situation, but first we need to define the analog of the coordinate спейс хир соу лет, ас гив зе фоловинг дефинишн.

315: So let эф би э филд зен.

316: The find space

317: F to the n f to see and the.

318: The edition is the edition in the vector space.

319: F to see and is called the coordinate the five coordinate.

320: Space of dimension and so we have already диска.

321: That we can take a copy of the вектор, селф ит, селф, эс эс the of the vector space, it self as the set x, and in this case, we can introduce the.

322: Edition of points and векторс эс the edition, in the vector space so we get such an example of and find space, and if we take the coordinate иф v, do this with the coordinate вектор, спейс, ви гет.

323: The thing that is called the a fine coordinate спейс.

324: And now let us формуле зе фоловинг ферен.

325: Салат.

326: F. B. A field and.

327: Let a b a matrix виз энн роуз, энд эм колом виз your elements from.

328: The field эф соу лет b b a, cologne векта Фром зис вектор спейс зен.

329: The solution сет оф. The following нон хадженс линия систем.

330: C. And find space in five сабспейс.

331: На.

332: In the five in the coordinate файн спейс.

333: Am f am because we have am here, so we have эм coordinates in the solution, вектор n. Conversely энни.

334: Five to say every five every five сабспейс.

335: In this корни спейс из a solution, сет, из the solution, сет.

336: Set for some non хамаджи.

337: Линия систем эй, экс и wheels be so this thing gives the дискрипшен оф файн саб спейсес.

338: As solution сет оф оф. Но хадженс systems so, we have a geometric дискрипшен эз эз.

339: Раптен бай эдин ооо вектор Фром сам вектор сабспейс ту э фикст поинт энд нау ви хэв э дискрипшен н. In terms со a prove this.

340: First ill consider систем.

341: Home, jeanny он хома дженис.

342: A ex it will be then, as we know its general solution can be represented.

343: S. A, x Ван эта x. M. Иквел, экс Ван.

344: Not цетера экс эм нот плас, альфа Ван бай, эф Ван плас, эцетера, плас, альфа, c, k, by f, k, the.

345: X one note эта x m not из particle солюшен.

346: Of a x иквел би энд эф Ван эт сетера эф кей из э безис ин зе.

347: Space.

348: Of the corresponding они линии систем.

349: Then take or maybe better to say then set by by the coordinate би зе поинт виз координат x.

350: One with the not x and not in the air файн координат спейс энд лет ю b, the pen of.

351: These vectors зен зе солюшен сет оф?

352: Our non хадженс линия систем хэз зе форм пиплс ю вер ю из a vector from the subspace.

353: And there for.

354: Из and a fine сабспейс ин the coordinate ин зе.

355: Five координат спейс эф эм соу, this proves the first part of our, and now we need to construct, an он хаджиние линии систем сач зэт итс.

356: Сет coincide with the given a fine сап спейс ин Ауэр, координат спейс соу консидер.

357: Consider and a fine сабспейс вай энд.

358: As we know we can represent this space.

359: Age.

360: People's ю сорри пипла Юлов кейс ве Юлов кейс.

361: Из ректор Фром зе.

362: From из vector from сам вектор сап спейс соу ви консидер векторс оф зис тайп вектор оф зис кайнд энд ви no that our five спейс кэн би represented in such форм соу.

363: F Ван сета эф кей.

364: B. A. Бейзи ин. Зис вектор space, and we need to construct a линии.

365: System a x ик волс, би сач зет.

366: Its солюшен спейс из you so this is first thing that we need to do.

367: Вот of the going to do so these vectors Фром Ауэр координат спейс соу лет ас intruder the coordinate of all this вектор соу лет.

368: Sub джей би лет, f sub gg by a colon вектор виз, coordinates си саб Ван джей си саб ту, джей, этсетера, си саб эм джей.

369: The g. Рейнджерс, фромм Ван ту ту кей.

370: And consider the matrix си.

371: With the elements си one one c to Ван эта c m one then си.

372: One two си ту ту c c сэб эм ту c c сэб Ван кей си сэб ту кей эс си сэб эм кей с this is.

373: Matrix виз кей роуз энд эм колом виз elements from this field and the rose of.

374: C a the, coordinates of the vectors эф Ван эт сетера эф.

375: Ok and now consider.

376: The линии систем c x эквал, зира соу синс зе ринг оф зе матрикс си из key so we have key.

377: Independence yes because the form a бейдже ин Ауэр сабспейс ю. Since the rank of this матрикс из key that dimension of the solution.

378: Space of this system as am майнос.

379: Rise and minus the rank of the матрикс so let джи Ван, эта джи эм майнос кей би э бейсис, ИНН.

380: The solution, спейс.

381: So let us consider the кордис оф зис векторс, соу лет джи сад джей би зе вектор z консист оф.

382: I better to take i as an index here so.

383: Asap аййй Ван эйсэп, ай ту эт сетера эйсэп, ай эм вер y рейнджес, фромм Ван ту ту эм майнас кей ви хэв.

384: Maya vector in this basis соу консидер зе код соу соу интруд зе к of these vectors and consider the matrix?

385: A that has the coordinates.

386: A one, one, a one, two at a one sorry, a one m a to Ван эй ту ту.

387: A to m. And a m. Майнес кей, Ван цетера, эй, эм, майнес.

388: Ckay эм соу ви консер, её this матрикс зис из matrix виз эм Майно кей роуз энд эм Колос энд виз зе элементс Фром.

389: Our field эф соу ви.

390: The rose of a консист оф the coordinates.

391: Of vectors, джи Ван э сетера, джи, эм, майнос, кей энд.

392: Note that the rank of the matrix a из m main эс кей, because we have am main s k линииили индепендент векторс Фром.

393: Our space

394: Sins оо.

395: Rose.

396: Of.

397: A r line ли депендент?

398: Solutions of the system. C. X иквел зироу ви хэв зе релейшен си мультиплай бай эй.

399: Zero, because when we play c by a. V. Матипа си бай the colon of a из by the rose of a, and this релейшен из эквивалент to the.

400: Set a мультиплай бай six ико Зиро хэнс

401: Oh коланс оф си транспоз вич а rose of the matrix c. A солюшенс.

402: Of the system a x, эквол zero and we knew that all rows н. Линии индепендент.

403: Rose of c a линииили индепендент.

404: So we get a system of the form a.

405: X эквал Зиро сач зет векторс эф Ван эта эф кей спен итс солюшен.

406: Сет со рико зет векторс, эф Ван эт сетра, эф кей, вер экзектли, зе коломск, си ай сорри зе роуз the where were the rose of the matrixx си?

407: And thats why the colors of the matrix c. So we констрактед её the matrix a such that the sub space x.

408: Hans you is the solution, сет зе солюшен, сет оф эй экс экволс Зиро энд нау.

409: We need to construct the right hand side and other to get the find space x so take a point пи ин ауэ.

410: На find space and so since this is coordinate апп спейс пи хэз, coordinate экс Ван нот, эта x m not.

411: Then let би би э вектор z из pain bye мультилайн, зе марикс, зет Вил реди, эптед бай зе колом, оф координатс.

412: X not x one note сеттера экс эм нот хэнс.

413: If we multiply ау. Матрикс бай соу пи сорри, хэндс.

414: Эй, мультиплай, бай энни поинт, Фром, эйн сабспейс, Фром аэр файн сабспейс, вич хэз, её coordinates x one note, эта x m.

415: Not plus you so this is the general form of any point in our a fine сабспейс соу зис из a мультиплай бай экс Ван нот та x m not.

416: Plus a of you so this is not a very good notation бат окей, i will better to say, i will better write you, you lower case.

417: Were you lower case из эвект Фром зе спейс ю кэпитал, соу лет ми indicate this so?

418: This is a vector from this space so for any vector you from this сабспейс ви гет эй multiplied by you and so this is b, and this is zero соу ви гет би.

419: So we see that this is exactly the solution, сет оф, а non хамаджи линия систем n. This proves ауэ фирм.

420: So now we have the дискрипшен оф ол э файн сабспейсе ин the coordinate a find space as solution сет оф нон хамадинов, стем энд ви хэв.

421: Дискрипшен зет ви дискасс before and at the next lecture регоин ту дискасс зи.

422: Lines and planes соу э файн плейнс ИНН a fine, coordinate спейс энд зе релейшенс энд зетс ит фо тудей.