0: Начнём нашу лекцию, значит, я напомню, о чем шла речь. Значит, на прошлой лекции. Так, значит, мы говорили о признаках сходимости.
1: Значит, числовых рядов, там ещё разобрали теорему произведения, числовые ряды и ввели вот функцию экспоненту от z. Да. Так вот, сейчас давайте как раз разберём свойства вот этой функции, значит,
2: Свойства функции экспонента от z.
3: Так, ну начну, естественно, с напоминания. Значит, z мы берём комплексное, мы можем брать, и тогда вот с этой вот этим числом у нас связано, значит, вот экспонента от z.
4: Которая задаётся в виде ряда.
5: Значит это n от нуля до бесконечности зет в степени n делённое на n factorial ну и мы значит в прошлый раз как раз по признаку даламбера доказали, что вот какое бы число z не взять вот такое число?
6: Ряд. Вот при конкретном значении он сходится так, ну ещё такое, значит, замечание, на самом деле, опережая там события, это вот как так называемый степенной ряд я написал, потому что тут можно считать это за переменную и тогда
7: Это уже функциональный ряд получается, но об этом мы будем говорить несколько позже, но нам сейчас достаточно знать, что при каждом вот конкретном значении z, вот этом комплексном, этот ряд сходится. Так. Кроме того, мы в прошлый раз доказали ещё следующее свойство.
8: Значит, это вот практически основное свойство, что если мы берём зет 1 и z 2 из опять же поле комплексных чисел, то в этом случае вот экспонента от суммы.
9: Set 1 плюс z 2 будет равняться произведению этих экспонент, это у нас тоже было доказано.
10: Так, и ещё мы на самом деле 2 факта знаем. Если я возьму вместо set 0, это совершенно просто посчитать и, как известно, в нуле это будет единица. И ещё был такой приятный факт, что если я возьму
11: Нет, от единицы уже. Вот то на самом деле я получаю число е, помните, да? Ряд выписывается. Это будет единица на факториал. А это мы как раз ранее доказывали, что это и есть число е. Так, ну вот это вот.
12: Значит, базовые утверждения из этих на самом деле сейчас практически вот все остальные довольно легко будет вывести. Вот, вот давайте мы как раз этим увлекательным занятием и займёмся
13: Так вот, давайте опять берём какое-то произвольное зет и, значит, будем интересоваться следующим фактом что если я возьму, значит, экспоненту, значит, от n + 1 умножить на z. Ну?
14: Сейчас у меня and будет на самом деле, значит, значит, целое неотрицательное число 0 или натуральное. Так, ну вот это легко заметить, что это, что такое? Это экспонента от
15: Умножить на z плюс z. Да, то есть мы сразу получаем вот такое равенство, что экспонента так, извините.
16: Спишу и опускаю буквы да экспонента от and н зет умножить на экспоненту от z. Да так.
17: Вот это вот такое, значит, рекуррентное тут соотношение можно получить. Значит, из этого непосредственно получается следующее, что экспонента от and that это есть как раз x.
18: Компонента от z в степени n. Значит, and у нас, значит, это n целое большее или равное нуля. Ну если 0, то тут будет как значит.
19: Значит, тут, значит, будет единица по определению. Помните это? Мы договаривались, что да, вот любое, значит, число, значит, мы так вот будем считать. Значит, если and, значит, целое, то вот.
20: Пользуясь этим фактом, значит, н раз вы повторите, получите такое равенство, в частности, значит, мы сразу получаем такое ещё равенство, что просто экспонента от prosto н будет равна чему
21: Вопрос, да, е, в степени n, совершенно верно. То есть, ну, можно промежутки написать экспонента от единицы, а тут наверху было написано е в степени вот тут, значит, вот такое у нас равенство.
22: Получилось так. Теперь ещё такой факт, что если я возьму, значит, экспоненту от минус z, то это будет равняться еди.
23: Единица поделить на экспоненту от z. Так, ну опять контрольный вопрос, как это доказать? Вот, вот это выражение умножена экспоненту, да? Ну совершенно верно.
24: Значит, вот это будет эквивалентно. Ну, точнее нужно начинать, вот если все аккуратно действовать, то значит надо начинать с такого выражения. Значит, экспонента от нуля до это, как мы знаем.
25: Это что такое? Это единица, это мы хорошо знаем, это можно написать как экспоненту от, значит, минус z y plus z. Да, я в таком порядке напишу.
26: Ну а дальше это получается произведение экспоненты экспонента, вот от этого минус минус z и умножить на экспоненту от z.
27: Минус z. Так минус значит z и умножить на экспоненту от z. Да, вот уже довольно приятно все это так получили вот это произведение.
28: 2 этих чисел равно единице. Значит, отсюда вывод экспонента от z не может равняться нулю сразу получаем вот отсюда. Значит, какой бы вы сейчас z не взяли. Вот давайте напишем тут уголке такой приятный факт, что экспонен
29: От that i равняется нулю вот 0 вы никак не получите, вот я только что доказал ну а дальше, если вы поделите теперь вот на экспоненту, так как она не может равняться нулю, то вот получите.
30: Нужно равенство. В частности, следующий сразу факт. Я пишу экспонента, значит, от минус, м, ну, она, опять же, натуральное число. Или, значит, ну, 0 тоже можно взять, но это не интерес.
31: Это будет как раз е, в степени минус. Н, понятно, да. Ну, то есть это скобках будет напишем, это единица, делённая на е, в степени n.
32: Это определение. Вот, вот, значит, мы уже для всех, в итоге для всех целых мы нашли. Так, ну теперь мы и для рациональных можем найти тоже. Вот, значит, давайте для рациональных найдём.
33: Значит, вот это, ну, основное это свойство я сотру уже, давайте это все сотрём пока. А все-таки я в уголке тут слева напишу этот ряд, он всегда приятно, чтоб перед глазами был, он нам ещё пригодится.
34: Здесь я перепишу, чтобы он не мешался экспонента от z. Это основное определение, точнее, определение это сумма от нуля до бесконечности зет в степени эн делённое на n потриал так?
35: Вот у нас будет тут в уголке. Так, ну и вот теперь, значит, нас интересует вот такой факт, что экспонента мы хотим взять от
36: Не цена.
37: Так, ну я могу ещё раз умножить нано, да?
38: И это я получаю её, да, потому что это единица так, н, натурально, н, сейчас у нас натурально.
39: Так, а теперь вот я вот сюда смотрю, вот тут справа у меня как раз написана эта формула. Вот она, да?
40: Вот, ну и мы получаем отсюда, что экспонента от единицы поделить на это на самом деле, вот, значит, будет вот в степени, значит, вот это степень
41: Не даёт нам единицу, потому что это как раз вот верхнее выражение. Ой, то есть не единица, а её, извините, your, конечно.
42: Е экспонента от единицы.
43: Е. Так, так вот, ну, теперь вспоминаем определение, значит, Корня иного порядка. Да, это, кстати, число легко заметить, и давайте сразу отметим тут я тоже в уголке напишу, что если x у меня
44: Значит, 1 вещественное, это нам пригодится. Экспонента от x также будет из hr. Вот пока что из р. Так теперь, значит.
45: Это если x. У меня x. У меня больше нуля это тоже мы давайте отметим больше нуля, то экспонента от x также будет больше.
46: Больше единицы, больше единицы. Понятно почему. Значит, вот, вот это неравенство. Р, ну вот давайте на все эти вопросы.
47: Это очень хорошо, что вы задаёте эти вопросы сейчас? Нет, ну давайте, значит, на самом деле, по определению нет, ну вопрос очень хороший. Так, значит, это очень важная вещь. Значит, напишем. Давайте экспо.
48: Экспонента от x. Значит, это что такое? Это я пишу вот давайте теперь вот так я напишу 1 плюс дальше x идёт плюс икс квадрат на 2 факториал плюс ну и так далее плюс x.
49: Степени n на n, факториал плюс и так далее. Все слагаемые, вещественные, да? Ну, следовательно, значит тут находимся теперь, если x больше нуля, вот я могу вот эту часть просто сразу взять.
50: И получаю больше единицы, да? Так, ну на самом деле, теперь ещё такой следующий факт, что если мы берём, как мы помним, значит, экспоненту, значит, если мы экспоненту
51: Возьмём от минус икс, то это чему равняется? Это будет экспонента, единица, делённая на экспоненту от x. Да. Ну и отсюда получается, что экспонента от
52: Также будет меньше единицы уже, но больше нуля. То есть на самом деле вот эти все экспонента всегда будут больше нуля. Вот давайте теперь это в уголке тоже.
53: Напишем все экспоненты от вещественного числа будут больше нуля тоже вот это такой приятный факт. Значит они все больше нуля. Это вот, значит, и они принадлежат, естественно, экспонента.
54: X также принадлежит вот п. Р. Вот такое замечание так ну, теперь это я все сотру вот эти так. Ну, мы на самом деле сейчас найдём.
55: Я сейчас просто найду это, чему она равна. Так вот, значит, вернёмся теперь вот к этому месту, где мы сейчас остановились, значит, что получилось экспонента от единицы на н. У нас x.
56: Оппонента от единицы на н. Мы знаем, что это будет больше нуля. Это нам известно. Если я возвожу её в энную степень, получаю её. Это что означает?
57: Что сама экспонента, вот по определению, что такое корень энного порядка, это положительное число, да, вот арифметический корень ещё говорят, при этом это положительное число, которое если возводим в эту степень,
58: Даёт нам вот то число, из которого мы извлекаем корень. То есть это как раз по определению корень энного порядка из числа её. Ну а вас ещё учили там в школе, что по другому это можно.
59: Написать е в степени единица, поделить на н.
60: Вот это, е, в степени единица поделить на n. Так, теперь вот это все, собирая вместе вот эти все факты. И вот это, опять же, возвращаясь вот, вот к этим всем, я сразу могу любое рациональное число.
61: Найти. Ну вот сейчас я беру рациональное число из, значит, у, да, это рациональные числа.
62: То я могу, значит, его представить в виде, как, м, делить на м, да, где, м, у меня, значит, соответственно, натуральные
63: Н, н, у меня целое, да? Н, натуральное, н, целое, это вот рационально так представляю. Так, ну и я пишу экспонента, значит, от, значит, р, это полу.
64: Получается экспонента.
65: Экспонента, так это уже давайте тут сотрём вот это нам не нужно.
66: Так, экспонента от н умножить на единицу, поделить на м.
67: Ну это получается следующее значит это экспонента от единицы поделить на м это все в степени n tha н может быть и помните для всех.
68: Этих мы получили это равенство уже для всех целых. Вот учитывая нижнее равенство. Так, ну и продолжая, мы получаем, значит, корень энного порядка из
69: Е. В степени n. А это, как известно по определению, это е в степени н делить на м, то есть е в степени р.
70: Вот. Ну теперь вот я тут могу это все, давайте вот это, значит сотрём.
71: И тут следующий факт напишем.
72: Что значит экспонента от рационального числа, если это е в степени эр, если эр, это у нас рациональное число.
73: Вот это мы также получили вот такой, значит, приятный факт. Так, но это ещё не все. Так, теперь дальше нас интересует теперь все вещественные числа. Так, ну вот я, значит,
74: Если у нас это x вот принадлежит, значит, уже р, то, что означает е в степени икс, это контрольный вопрос вот для всех, ну вам вообще в школе что-то об этом говорили? Ну, правда, я могу
75: Могу сразу сказать, что это неаккуратно. Ну как я возвести в иксовую степень?
76: Ну, в школе вам говорили следующее сверху и снизу надо приблизить рациональными числами. И это то число, которое между ними находится. Ну а теперь вот давайте строгое.
77: Деление это на самом деле, ну, 1 из вариантов. Это вот это супремум, значит, всех вот берете вот hr, которые меньше либо равны, чем x а р. У нас рациональное. Обращаю внимание, что так
78: Рациональное, это мы вот как раз только что выясняли вот тут вот напоминание значит, если он представлен, корень извлекаете, возводите в энную степень. Вот это для рациональных мы знаем. И вот я как раз беру все возможные
79: Значит, е, в степени, это рациональные числа, и из них беру супремум. Ну, это вот, значит, такое увлекательное упражнение. Докажите, что они вот все ограничены сверху. Ну и поэтому этот супремум есть, и это как раз
80: Тот-то самое число.
81: Так это значит вы, значит, это в качестве упражнения все докажете?
82: Ну, а из акси, не, ну следует из аксиомы отделимости. Помните, я тогда приводил эта аксиома отделимости? Тут как раз она существенно работает, потому что из аксиомы отделимости
83: Следует существование верхнего супремума, да, вот верхней грани. Вот. Ну и отсюда можно, ну можно как нижнюю грань с другой оценкой, ну и сразу
84: Можете заметить, что их всегда можно вот, значит, приблизить. Так, значит, ещё такое замечание. Значит, вот.
85: Если у нас, давайте ещё такой можно факт, это вот в качестве задачи уже вы решите. Значит, что е в степени икс это можно получить как предел е, в степени р, энное, где
86: Значит, предел эр энных равняется иксу при n, стремящемся к бесконечности, а р энное это из ку.
87: Это есть, значит, да, все правильно написал. Значит, это вот, вот это мы знаем, предел к бесконечности. То есть берете любую последовательность. Н, ну да нет. Точнее, вот это определение, а это
88: Уже, вообще говоря, теорема, в принципе, тоже может как определение.
89: Ну, можно, да, дальше. Ну, тут как определение, это не очень хорошо. Сейчас объясню почему. А вы разные последовательности возьмите. А кто сказал, что они предел 1 дадут?
90: Ну вот это ещё там, ну, в общем, тут масса страданий у вас будет. А вот если вы так определили, это сразу из аксиомы получается. А дальше это вот теорема, что? Ну и все тогда в порядке и не зависит от последовательности. Так вот это
91: Докажите, это задача.
92: Очень хорошее упражнение. Кстати, ну 1, что вот это все ограниченное нужно, то есть корректность определения, a2 это так. Теперь вот давайте заметим следующий факт.
93: Давайте заметим следующий факт.
94: Ещё тут полезный, значит так что
95: Как раз если 1, если я беру опять же, вот давайте возьмём тут ещё такое замечание, напишем, что если икс 1 меньше, чем x 2, ну опять икс.
96: 1 и 2 раз неравенство я пишу сразу нахожусь в поле вещественных чисел, то, значит, вот эта экспонента от x 1 будет строго меньше, чем экспонента.
97: От x 2 ну на самом деле я тут сразу могу в комментарии это прояснить значит это как можно писать, это экспонента от x 1, умноженная на экспоненту от
98: X, 2. Минус икс 1 а вот эта величина больше единицы, да.
99: Это мы только что писали, потому что у меня разность будет больше нуля, значит это больше единицы. Ну и вот отсюда и получается. То есть это вот так называемая возрастающая функция x.
100: Любые вещественные, да? Ну, значит, возрастает. Так. Ну и вот теперь утверждение такое, что если я беру экспоненту от x,
101: Ну x. Опять же из р. Пока vr находится, то это будет как раз равняться супремум.
102: Значит, беру экспоненту от р и значит, r u menya меньше либо равно, чем x. Ну, то.
103: Я повторяю то, что написано справа. Тут у меня было определение
104: Так, вот это, да. Е, в степени икс. А я решил с экспонентой поэкспериментировать. Значит, и сразу могу сказать, что вот это что такое? Это е, в степени р. Так, задача, докажи.
105: Сейчас я только там комментарий приведу для доказательства. Значит, комментарий я приведу, значит, вот докажите, что это так. Ну, 1, понятно, что вот экспонента.
106: Отр будет меньше, чем экспонента от x. Ну если они не равны, но если равны, то тогда ничего интересного да ну задача сложнее там нет, подождите из нет.
107: Из задачи вот это не следуетесли верхняя строчка.
108: Какая вот экспонента. А кто сказал, что е в степени икс равняется экспонента? Я сейчас собираюсь это доказать. А вот если мы возьмём вот это наше определение из задачки, да, и
109: Попробуем рассмотреть экспоненту от р р в Преде, где r n стремится к да, ну и сумма будет стремиться, а это тоже надо, все равно надо будет так это довольно легко показать ну, в принципе, да ну, в общем.
110: Ну, там, значит, все тоже самое. Значит, на самом деле, это так. Ну, я чуть попроще скажу, если вы это аккуратно будете записывать там, ну,
111: Так как вы, так как вы физики, вам все это позволено и легко это правильно, но вот сейчас я вам показываю все-таки строгие доказательства. Значит, ещё раз я повторю, зачем это нужно сейчас, в этой части, где мы
112: Сейчас живём в этом, вот когда вещественные и комплексные числа, там все хорошо, но вот стоит вам сейчас поле поменять или ещё что-то, а вам придётся работать с разными хитрыми объектами, когда вот уже, скажем, ну, например,
113: Квантовую физику будете изучать там, как вы знаете, увидеть это нельзя, только можно вот так представить. А интуиция часто подводит она по этой причине. Тут вот единственный способ, как это все
114: Хотите все правильно получить, вот довольно внимательно все доказывать. Вот по этой причине я вам как раз демонстрирую эту технику на самом деле. Так вот, значит, как было сказано, через ряд, это совершенно верно. Можно доказать.
115: Ну, я хочу, не пользуюсь рядом, на самом деле, значит, ну, вот оценка снизу, это понятно, да, это из определения, получается. Вот, ну, из определения вот верхнего фактора, значит, это если меньше, то, соответственно,
116: Теперь сверху, сверху. Вот можно ещё такой приятный факт доказать. Давайте это я уже сотру. Значит вот такой приятный факт. А именно что значит предел?
117: Вот экспоненты от единицы поделить на n, значит, равняется единице.
118: При n. Стремящемся к бесконечности. Ну, значит, можно вот это написать, что это е в степени, значит, единица поделить на n, она же есть экспонента, да, вот единица поделить на n, это мы уже
119: А тут можно, например, из ряда даже вот написать такую оценку. Это меньше, либо равно чем единица, + 2 делить на, н, ну а это, естественно, больше единицы.
120: Нестрогий. Вот. И, значит, получается, по известной теореме, да, вот справа и слева пределы одинаковые. Обратите внимание, я 2 написал. То есть вообще тут я должен был написать ряд, значит, единица на, н, факториал.
121: Да, это только, ой, сейчас точнее так, ряд нужно было писать. Давайте аккуратно. Теперь n. Раз я взял, то тут надо писать ряд, значит, единица на н в степени.
122: К умножить на единицу, на-ка факториал-ка от единицы, от нуля до бесконечности 1 есть потом следующий член эти единица на н а вот все оставшиеся можно оценить сверху. Значит вот снова.
123: Вот по этой причине, ну это вот проверить вот из этой оценки все и получается вот. Ну, а это что даёт вот это как раз и нам даёт следующий факт, что если теперь вот
124: Давайте так, это я могу стереть.
125: Если мы теперь берём, смотрите эр энную, значит, ну, давайте лучше п энную напишем пэ энную больше либо равно чем x, но меньше, либо равно, чем x plus.
126: Единицу поделить на n. Ну и по энное берём из ку.
127: То у нас получится следующее. Вот, е в степени, значит, у нас получается, что экспонента от x, с 1 стороны, это меньше, либо равно, чем экспонента от
128: Это энного, да?
129: Так и с другой стороны, это меньше либо равно, чем значит снова экспонента от x умножить на экспоненту от единицы поделить на n. Вот.
130: А вот так как экспонента единица на н, она стремится к единице, то вот мы получаем как раз в пределе вот это сходится, да, вот как раз вот это и будет, значит, более короткое доказательство. Да, пожалуйста.
131: Мы взяли функцию от 3 частей неравенства. Почему у нас знаки неравенства сохраняются? А это у нас была такая же теорема, только это не функция последовательности. Помните, даже я там это называл, ну это очень полезная теорема тут тоже это же
132: Последовательности. Обратите внимание, пока у меня никаких пределов функции не было. Значит и будет такая теорема, которую вы сказали. А сейчас пока последовательность, я напомню эту, давайте это я, значит, тоже сотру.
133: Напомню эту теорему. Помните, у нас была, а энное меньше, либо равно бэ энное меньше, либо равно чем цэ энное. Это стремилось-ка это также стремилась к при
134: Стремящимся к бесконечности. Вот это условие. Тогда отсюда следует, что вот отсюда следует, что предел вот этих б ных также равняется
135: А вот эта теорема, понятно, да? А вот я все время это и пользуюсь. Вот смотрите, у нас вот это, вот это, а, энное, вот это у нас.
136: Что такое бэ? Это ценное? Да? А вот это как раз б энное.
137: Вот. Ну и никуда не денешься. Там и там единица, вот тоже самое. Значит, здесь, смотрите, это у меня постоянная, это вот такое. А тут вот, значит, опять же, тоже самое.
138: Так, ну вот, значит, то есть этот предел отсюда и получите вот это равенство. Так, ну теперь вот это все, если собрать вместе, значит, смотрите, вот это определение соответствует этому, да, потому что тут у нас
139: Одинаковый. Значит, мы получили вот вот основной факт, который я хотел получить, что экспонента от x, это на самом деле есть степени x.
140: Е в степени икс. Так, ну и кстати, значит вам просто говорили свойства вот этой экспоненты уже от вещественного числа. Мы теперь вот доказали, что там вот произведение переходит в произведение, и все там свойства, которые вы, значит, они легко получаются. Так
141: Следите, да? Или все понятно?
142: Вот, вот, значит, вот вам в школе просто так, на пальцах говорили, что это вот как-то мы там приблизили потом, значит, вот все равенства, которые писали, это уже никто там вам, естественно, аккуратно не объяснял, почему это так вот. Ну а теперь вот мы уже
143: Сразу для вещественных получили, да? Можно ещё раз, что там доказывать, когда пишем, is меньше или равно? Ага. Ну да. П, энная, да, вот это сейчас. Ну, давайте я ещё раз это повторю, просто, тем более.
144: Очень плохо написано. Значит, я беру, смотрите, икс меньше, либо равно, чем вот некая последовательность, п энная меньше, либо равно, чем x плюс единица поделить на, and, значит, пэ энное у меня это вот после.
145: Из рациональных чисел.
146: Вот, вот, я взял такую последовательность, значит, она больше. Так вот, я утверждаю следующее. Давайте нижнее, ещё раз перепишу, чтобы вы могли, значит, значит, я получаю следующее. Значит, вот экспонента от x.
147: Здесь, да, тут я пишу меньше, либо равно чем экспонента от энного, да, а тут я пишу, значит, вот сейчас это можно стереть уже даже
148: А вот это как раз не оставлю, это мне и нужно, значит, это меньше либо равно, чем экспонента от n x плюс единица поделить на n. Так?
149: Согласны, да, с этим? Так вот, теперь я утверждаю. Значит, я вот смотрите, это числовая последовательность также и это значит, ну, тут просто постоянная, это вот некая числовая последовательность. Я, кстати, сразу
150: Знает, что это е, в степени п, энное, да, вот, е, в степени пэ энное, я знаю. Ну, это так, значит, нам сейчас это не так важно. Значит, вот это у нас стремится к экспоненте от икс, как и было.
151: Я утверждаю, что это также будет стремиться к экспоненте от икс. Так понятно почему. Ну, потому что это как произведение, да. Ну давайте ещё раз напишем это экспонента.
152: От x, умноженное на экспоненту от единицы на and и вот экспонента от единицы на and это и есть как раз в пределе единицы. Ну вот по этой причине тут, ну, следовательно, вот это
153: Последовательность, вот, которая в промежутке никуда не может деться, она также стремится к этому же числу, экспоненте от икс. Вот это как раз, значит, вот это утверждение доказывает, что это супремум.
154: Это доказывает, что это supreme, понятно, да?
155: Сейчас, ну, в принципе, это можно назвать теоремой. Нет, сейчас давайте вот тут очень, тоже 2 момента. Значит, вот эта вот теорема, вот я её на самом деле практически доказал.
156: Так, подробно вы напишите это вот теорема.
157: Я знаю, что такое экспонента от x, и я знаю, что такое экспонента от р.
158: Да, и вот утверждается, что вот супремо будет как раз совпадать вот, ну, по той причине, что как раз, смотрите, вот если я беру вот тут, тут просто вот давайте, ну, давайте я аккуратно.
159: Раз там вопросы возникают, я давайте это сделаю аккуратно. Значит, с 1 стороны, смотрите, что у нас получается. Вот давайте напишем 1, если у нас x, значит, если r u menya меньше, либо равно
160: Чем x, то у меня имеет место такая оценка экспонента от р. Будет, соответственно меньше либо равна, чем экспонента от x.
161: Понятно. Да, отсюда у меня получается, что супремум.
162: Вот этого экспоненты ат.
163: У меня будет, ну, если r u menya меньше, либо равно, чем x, это будет меньше, либо равно, чем экспонента от x. Это у меня число.
164: А теперь почему они должны быть равны?
165: Значит, вот давайте смотреть, значит, смотрите, вот как раз из правой части.
166: Вот у нас из правой части, потому что
167: Получается, что если я беру теперь
168: Вот я беру теперь вот, значит, вот эти п, энные, вот я беру, смотрите, вот эти п, энные, которые больше уже чем
169: Вот если они вот пенные, то у меня получается, что вот эта величина будет, вот эта величина у меня будет как раз экспонента от этого.
170: Будет вот такое неравенство, да, а теперь вот давайте перейдём к пределу, вот перейдём к пределу. Мы должны получить в пределе вот этот супремум, вот это мы должны
171: Получить вот это число.
172: Так это понятно.
173: Вот, значит, ну вот раз это значит, при переходе к пределу мы получаем, то вот, значит, тут единственный вариант, они равны, они равны.
174: Допустим, ну да. Ну можно так написать, да, совершенно верно, что именно так и можно. Ну, в общем, вот отсюда вы получаете, вот.
175: Значит так. Вот, значит, итог вот у нас вот это равенство получилось.
176: Так получилось вот это равенство. Ну, аккуратно запишите это в тетради, значит, вот это значит, получается, это равенство, потому что значит, вот это как раз есть е, в степени р, ну и это как раз это и есть.
177: Е в степени икс. Вот, вот это и есть просто е в степени икс.
178: А вот это как раз вот эта величина у нас стремится к е в степени икс. Опять же, из определения следует все правильно. Вот отсюда мы и получили это равенство. Так, ну теперь ещё, значит, некоторые необычные
179: Сразу эффекта, который, казалось бы,
180: Может быть, кто с этим не знаком, то, значит, это будет, значит, несколько неожиданно. Ну, кто знаком? Ну, значит, то, что я рассказываю, кстати, вот, значит, книжки Рудин.
181: Математический анализ, там относительно коротко это есть, ну, не так подробно, как я сейчас вот разъясняю, потому что это там считается очевидными фактами. Так, так вот, теперь вот.
182: Сразу на ещё такую задачу сейчас решим. Вот давайте я возьму экспоненту
183: Вот, и это, помните, мнимая единица есть, да, и умножу на зад. Ну z снова у нас комплексный, как было, так. А, и это обычная мнимая единица. Так, ну, по определению расписываем вот слева у меня.
184: Даже написано определение от нуля до бесконечности тут, значит, и отдельно напишу в степени n z в степени n. Деле на н. Факториал.
185: Так, теперь вот это увлекательное такое занятие, значит, и возводить в степень. Значит, вот давайте 2 серии возьмём. Н, равняется 2 к. Ну, тогда у меня си, значит, и я возвожу
186: Степень то это у меня, значит, и в квадрате, да, и ещё раз в 5 степени.
187: Ну, квадрат, я надеюсь, все помнят. Это что такое? - 1, да? Так. И вот это 1. Так, 2 серия, н, равняется 2 к + 1. Ну, тогда это могу написать так.
188: В степени n это равняется и а дальше умножить на e в степени 2 к да, ну то есть это опять же, минус единица в степени к умножить на и вот.
189: Все варианты я выписал значения, значит вот все варианты. Так, ну а теперь вот давайте мы как раз этим фактом воспользуемся ну и тут сразу разбивается на 2 серии, значит вот эта сумма
190: Чётным и сумма по нечётным, значит, слагаемым. Естественно, это так как абсолютная сходимость я могу писать в любом порядке. Помните, мы замечали, что вообще, если сходится, то, ну я не имею права там, как хочу, так и пишу.
191: Это, ну, это в случае условной сходимости, а в случае абсолютной все замечательно. Я могу записать как хочу, там в любом порядке. Поэтому я в начале давайте выпишу слагаемые чётные, а потом уже буду писать нечётные. Так, ну,
192: Вот, когда чётное, тут, значит, вот сразу у нас получается такой ряд, значит, сумма уже пока от нуля до бесконечности, и тут будут, и исчезает, получается, вот эта минус единица.
193: Степени, ка вот это, а дальше оставшееся будет that уже в степени снова 2 к и делённое на 2. А факториал так это я сотру. Дак кстати, вот этот факт давайте мы
194: Сюда припишем. Вот, значит, там это вот, значит, это значит, z из ц, давайте напишем, да, а тут вот весь итог нашей до этого, значит, если x у нас из р, то это
195: Экспонента от x это е в степени икс. Так это вот, значит, вот эту табличку будем сейчас заполнять постепенно.
196: Так, так, вот это я написал сейчас вот чётную часть, теперь нечётная плюс, ну вот это и общее я могу вынести за знак суммы, а потом писать сумму по но
197: Пока от нуля до бесконечности тут уже нечётные идут номера, и тут получается снова минус единица в степени k a z уже будет в степени 2 к + 1.
198: Делённое на 2 к + 1 факториал вот получил такие 2 ряда вот, ну вот они видно, что и хотелось бы. Значит, вот это как раз мы 1
199: Это будет у нас как раз косинус зет, а определение это вот давайте вот сюда я буду прям писать, значит возвращаюсь. Значит, снова set у нас из c и определение
200: Косинус зет это вот сумма такого ряда, сумма по, ну, давайте по н, я могу тут написать от нуля до бесконечности. Тут пишется минус единица в степени n на z, в степени 2 н деле.
201: Делённое на 2 н. Повторил так.
202: И аналогично пишем синус зет это будет сумма снова n от нуля до бесконечности минус единица в степени n умножить.
203: На z в степени 2 n + 1, делённое на 2 n + 1 факториал вот так эти 2 функции определяются через ряды.
204: Так, ну и значит, отсюда я могу написать как раз, что вот это е в степени y z. Это на самом деле есть косинус и косинус.
205: Z плюс и since that.
206: Так, ну из определения тут вот смотрите, тут все чётной степени тут нечётной, сразу мы получаем следующее ещё свойство. Значит, мы получаем, что давайте тут это напишем, что
207: Значит так, что косинус от минус z будет равняться соответственно косинусу зет да а c.
208: Минус z будет равняться минус синусу зет. Ну это так называемая, это функция 1 чётная, а другая нечётная. Так, причём это в комплексном случае. Вот.
209: Так, теперь, значит, теперь ещё следующее, что мы получим е в степени, значит, извините, экспонента от и z.
210: Со знаком минус, со знаком минус от минус. И that мы получим вот, воспользовавшись определением, получаем, значит, косинус от минус z, да, плюс и
211: Синус минус z. Ну отсюда можно писать это косинус зет минус и since that и вот отсюда, значит, из этих вот 2.
212: Равенств. Теперь вот, значит, вот этого верхнего и нижнего мы получаем формулы эйлера. Значит, формулы эйлера. Давайте уже я тут в уголке напишу их.
213: А вот давайте все, ну что, вот это тоже формула эйлера совершенно
214: Наверное, ну их там серия, значит, вот я их как раз хочу и написать.
215: Вот, значит, формула эйлера там.
216: Значит, ну вот это значит, е, в степени, то есть, извините, экспонента от и that пока никаких её мы не узнаем. Это у нас есть, соответственно, косинус.
217: Плюс и since that это 1. Так, теперь дальше косинус зет отсюда получается. Вот учитывая ещё вот этот факт, да, мы можем
218: Вот это сложить с этим, значит и получаем такое выражение. Значит, экспонента от и z, плюс экспонента от минус и z там since
219: Как раз сократятся и получается вот такое выражение а значит, для синуса зет получается другая формула экспонента от, значит и z.
220: Считается минус экспонента от
221: Минус и z. И все это делится на 2 ещё что я должен написать 2 и обязательно вот вот такие формулы там ну вот как раз.
222: 1 из основ определений косинусы и синусы вот такие, ну можно их, значит, написать в виде ряда. Вот я тут так их написал, значит это уже легко переводится. Так, вот так.
223: Но это ещё не все. Значит тут ещё дальше. Теперь сразу давайте отметим следующий факт. Тут я вот в уголке снова напишу, что если я теперь вернусь и в качестве
224: Значит, значит, вместо z возьму число, например, ну вот обычно удобно игрек писать игрек. И there то у меня что получится тут, смотрите, никаких мнимых единиц нету, значит.
225: У меня сразу получается, что косинус, игрек и синус игрек это уже будут вещественные числа.
226: Они будут вещественные числа. Так, ну вот мы получили вот эти формулы, Элера, давайте ещё параллельно, я ещё 2 функции сразу введу. Так, ну как вы знаете, что такое значит, ну,
227: Все-таки напишу я. В комплексном случае это тоже приятно, значит написать, что тут тангенс значит z. Это по определению это since that делённое на косинус зет, ну причём определённо, когда знаменатель не обращает
228: Да, ну и, соответственно, котангенс, наоборот, это надо писать косинус зет делённое на since that. Так. И ещё давайте 2 функции введём они
229: Естественно, тут возникают. Это значит гиперболический косинус и гиперболический синус, значит, гиперболический косинус зет, значит, это
230: Значит, получается по следующей формуле давайте вот, значит, тут вы берете вот эту экспоненту и тут вот было, и, а мы и стираем просто.
231: Значит, и пишем экспоненту от set, значит, плюс экспонента от минус z.
232: Делённое на 2. Ну, можно опять же, через ряд написать, значит, чем эти ряды будут отличаться? Тут вот знак меняется, а то здесь знак не будет меняться. Значит, это будет z в степени.
233: Значит, 2 2 н. Делённое на 2 н факториал.
234: Так, от нуля до бесконечности, да? Так, ну и сразу можно тут отметить, как связано. Это гиперболический, значит, косинус с обычным косинусом.
235: Значит, косинус зет равняется чему синус?
236: Да, вот гиперболический косинус, и тут буковка, и нужно дописать, вот и все.
237: Так, синус гиперболический зет ну аналогично все, значит, экспонента от зет минус, экспонента от минус z.
238: Делим все это на 2 и и тут не надо писать вот, ну опять же через ряд выписывается, значит, от нуля до бесконечности зет в степени 2 n + 1.
239: Делённое на 2 n + 1 факториал связь значит, как выписать синус теперь, значит, синус зет это что будет?
240: Да ну вот можно с этой стороны и написать, а тут будет гиперболический синус и z.
241: Вот так и выносится, и становится синусом. Вот, вот такие приятные факты. Значит, вот, значит, возникает так, ну и тут гиперболический косинус.
242: Значит, то есть тангенс и котангенс тоже напишите уже самостоятельно, я на это время тратить не буду. Так, а теперь вот, значит, давайте вот к вещественному случаю опять перейдём. Значит, смотрите.
243: Значит, косинус и синус обычные. Если игрек вещественный, то они также вещественные. Значит вот, вот сейчас мы вот это, значит нам нужно что получить. Теперь нас интересует осно.
244: Тригонометрическое тождество, да, чтоб дальше уже связать с тем, что у вас было так. Ну, у нас его можно получить, вообще говоря, для всех комплексных, значит, для всех комплексных чисел. Давайте для этого
245: Мы поступим следующим образом. Вот я беру сейчас вот, значит, я возьму, вот возьму вот этот косинус зет, да, и возведу в квадрат.
246: Что у меня произойдёт да. Угу. А не проще x y z умножить на x минус z. Тогда там будет разность квадратов, которая ну в принципе можно так, если хотите да ну давайте, да ну можно так.
247: Ну, я хотел ещё написать просто формулы двойного угла сразу.
248: Вот я хотел формулу двойного угла написать, а так, да, вот 1 из вариантов вот их перемножить. Так, а тут давайте, значит, формулу двойного угла получим. Это вот, значит, вот все тригонометрические формулы, сейчас они на самом
249: Деле выводится из этих 2 формул очень легко. Вот я продемонстрирую, как вот работает это вот для значит, вот, например, косинус квадрат через двойной угол. Сейчас попробуем выразить. Ну, нужно вот это выражение.
250: Ввести в квадрат, да, что у нас получится, значит, ну, 1, 1, 4 появляется, да, теперь квадратные скобки. Значит, вот эта экспонента и z в квадрате, это что такое? В двойку можно внести во внутрь.
251: Тогда экспонента, значит, и на 2 zz можно писать так.
252: Теперь следующее перемножаем вот эти 2 выражения экспонента от и z на экспонента от минус Изет. Это что такое? Единица и удваивается, получается + 2, дальше плюс.
253: Снова вот этот квадрат теперь этого выражения ну точно также экспонента будет от минус и 2 z.
254: Так, ну вот все, мы возвели в квадрат. Теперь дальше смотрите, вот, значит, двойку тут я напишу впереди. Так, 1, 2, значит, мы тут сохрани.
255: Перед скобкой тут тогда в скобке остаётся единица, а вот это как раз что такое? Это удвоенный косинус. Да? Ну вот как раз я поделю вот снова на 2, поэтому получится плюс косинус 2.
256: Вот вам как раз знакомая формула.
257: Да, аналогично. Значит, вот для синуса зет в квадрате. Вот, значит, это получается, значит, отличие в чем будет, значит тут
258: Вот как раз появится. Ну давайте.
259: Значит, знаменатель у нас было. И да, поэтому в квадрат возвожу, получается - 1 4. Теперь что остаётся в скобках?
260: А в скобках будет у меня следующее. Значит, смотрите, что у меня получается. Тут, тут должна быть разность, да, вот тут разность, значит, я возвожу это в квадрат, значит, опять же, тот же самый.
261: От и 2 zz теперь раз тут был минус, то произведение ну минус будет стоять и произведение снова даёт единичку, ну и ещё надо удвоить, поэтому - 2 будет.
262: И снова получается плюс вот эта экспонента от минус и 2 зет, и 2 zz так, ну это значит можно переписать.
263: Опять же, как это 1 2, дальше вот единичку вот сюда, тогда минус и минус дают 1 и минус синус 2 z.
264: Вот известная вам формула я получил, да, только там косинус, а вы только, да, спасибо, конечно, косинус. Я че то тут увлёкся, конечно. Косинус. Косинус это же
265: У меня 2 zz, так, известные вам хорошо формулы так, ну вот, если это все подытожить, так теперь вот давайте я тут это сотру для гиперболических по аналогии можете получить все формулы, я сейчас уже этим.
266: Увлекательным занятием не буду заниматься. Значит так. А тут, значит, давайте напишем, значит, в результате, значит, косинус квадрат z.
267: Плюс синус квадрат z равняется единице. Ну, как мне правильно подсказывали, тут можно было ещё вот поступить, значит, взять вот это экспоненту, значит, и
268: Взять минус экспоненту, да, если перемножим, это будет единица, а тут плюс минус, да? Ну, это как раз тоже самое получится, да, вот это как разность квадратов.
269: Сейчас, ну подождите, это вы не спешите, пока вы ещё спешите. Так, значит, вот, да, тут ещё такое замечание, когда я писал, вот это гиперболический.
270: Значит, я вот в вещественном случае давайте напишу, если x тут у нас вещественное.
271: Это тоже известная формула сразу вот это давайте тут напишем в уголке, значит, это получается е в степени икс плюс е в степени минус икс, потому что в вещественном случае это мы доказывали уже, да. А, и since гиперболически.
272: Он по такой же формуле е в степени икс минус е в степени минус икс, как обычно все и пишут, не пользуясь там таким длинным записью через экспоненту. Вот, значит, в комплексном варианте пока формально вы должны экспоненту
273: Писать. Так, значит, вот мы получили вот такое равенство. Так, теперь вот здесь давайте вот вернёмся. Так вот это я все сотру уже. Да, кстати, значит, остальные тригонометрические формулы. Вот потренируйтесь.
274: Получить, что они годятся на комплексном случае, и все они пишутся точно так же, как в обычных ситуациях было только для вещественных чисел. Теперь вот пусть у нас игрек из р то у нас
275: У нас получается, что значит косинус? Квадрат, игрек плюс синус. Квадрат игрек это равно единице. Эти функции вещественные. Отсюда вы сразу полу.
276: Получается, что синус игрек по модулю меньше либо равен единице и косинус игрек также по модулю меньше, либо равен единице.
277: Вот, вот это вы сразу получите. Понятно, да? Ну и, соответственно, вот эти формулы, как 1, 1 функция выражается через другую. Так это вот такой
278: Замечание, то есть все эти точки вот находятся на единичной окружности в комплексной плоскости. Вот, если, значит, возьмёте вот, значит так ну вот я сейчас, собственно говоря, это и напишу значит, вот теперь я беру е в степени
279: И игрек. То есть это у меня получается косинус игрек плюс и синус игрек.
280: Вот, в частности, вот теперь давайте мы получаем, вот я беру, значит, единичную окружность здесь.
281: Вот единичная окружность, это у нас. Ну вот это давайте традиционно. Ну, давайте вот я переменную, чтобы не путать с этим игреком. Значит, это у меня будет, значит, у, а это будет в, и вот, е, в степени, и игрек.
282: Это как раз будет точка на этой единичной окружности. Вот это будет точка на единичной окружности. Так, ну вот утверждается, что она как раз будет. Значит смотрите.
283: Как будет происходить? Значит у нас будет тут меняться. Значит, когда игрек растёт, то вот это будет все расти вот до некой точки, которая соответствует игроку равной и пополам.
284: Значит, ну давайте это мы сейчас поймём, откуда это следует. Значит, это можно.
285: Значит, убедиться следующим образом. Значит, синус игрек, значит можно оценить значит, сверху это будет просто игреком. Вот помните, да? Так.
286: Только давайте лучше я буду т тут писать, как-то это будет привычнее, а то для вас будет это тяжело. Значит, вот давайте возьмём вот это since
287: Значит, т.
288: И сразу можно из ряда получаем вот такую оценку, что значит значит это будет меньше, чем это т. Так понятно почему.
289: Ну, там, значит, можете объяснить, вот, вот это неравенство. Да, давайте я сейчас прокомментирую. Смотрите, значит, на самом деле, чему равняется синус.
290: Это равняется, значит тэ. Значит да. Ну только t. Сейчас мы рассматриваем, конечно, очень правильный вопрос был, значит, t рассматриваем больше нуля, а то, конечно, это все неверно. Значит, t.
291: Дальше пишется минус т в Кубе делённое на 3 факториал. Дальше идёт плюс т в 4 делённое. Ой, извините, 5, да.
292: Делённое на 5 факториал там дальше будет снова минус т. Значит значит у нас будет, значит, т.
293: 7, делённое на 7 факториал, ну и так далее. Вот. Значит, ну, в начале это можно доказать, что не для всех это потом значит, да. Ну, в принципе.
294: 1, что мы знаем, синус, не больше единицы.
295: Понятно, да. Так что если t у меня больше единицы, тут доказывать нечего. Согласны? Да, если t больше единицы уже там все автоматически получили. А теперь, если t у меня, значит, мы рассматриваем только участок.
296: T больше нуля, но меньше либо равно единице, тогда можно заметить, что вот если вот эти пары я возьму.
297: Вот так. И тут я поставлю тогда знак минус тут тоже я беру пару и тут ставлю тоже минус.
298: Вот они, эти все пары будут больше нуля. Ну, по этой причине, значит, вот это since меньше, чем т, потому что я из него вычитаю какое-то положительное число.
299: Понятно, да. Ну, вот это, ну, лёгкое упражнение. Значит, смотрите, тут число, значит, значит, если я могу заменить вместо 5 3 степень, да, это только становится больше, да, чем
300: Большей степени у меня тоже меньше единицы, тем число меньше. Так что вот можно заменить. Ну, в общем, на вот эту степень, соответственно, на 3 это выносится. Ну и тут очевидно, что они все положительные. Так, ну,
301: Вот из этого получается вот такая оценка. Ну, точно такая же оценка снизу. Значит, получается, т минус т в Кубе, значит, т, в Кубе.
302: Т. В Кубе будет на соответственно, 3 факториал вот это доказательство значит можете, можно доказать тоже следующим образом. Ну в общем, тут давайте
303: Мы так поступим сейчас тут, ну, схема примерно та же самая, значит, вот в начале вы берете это since у нас т, значит,
304: Минус единицы больше либо равен. Ну вот по этой причине. Значит, что тут надо взять, если у нас
305: Ну, ну, проверьте по аналогии вот эту часть. Я сейчас это на это время не хотел бы тратить много. Значит, вот можно получить, значит, вот такие оценки, что это нам даёт вот это.
306: Даёт, значит, следующее. Давайте это сейчас, что тут можно будет стереть? Ну вот эту часть давайте я сотру.
307: Значит, отсюда мы получаем, значит так вот мы получим следующее. Вот это график нашей функции. Синус, давайте, значит, мы берём от нуля, ну вот нас enter
308: Ису где-нибудь. Вот давайте. Какое там сейчас число, значит это так. Ну давайте вот сколько? 2, например, я возьму двойку.
309: Да, да. Ну вот где-то я хочу, чтобы больше единицы получилось. Вот, значит, вот у нас, значит, вот эта оценка снизу вот показывает, что он как-то так. Сейчас я аккуратно
310: Рисую так как-то растёт.
311: Вот сейчас, подождите. Да нет, сейчас так, мне нужно. А, нет, это все так, нет, это нехорошо. Я сейчас поступил так.
312: Ладно, сейчас, извините, это как раз нас не спасёт. Я хотел там единичку получить. Конечно, я не получу её таким образом. Так, ну вот 1, давайте, что эта функция растёт. Заметим. Так, ну вот, давайте, значит, да.
313: Значит, да, вот до пи на 4, вот, значит, если пи на 4, то все в порядке будет. Вот давайте мы возьмём тут пи на 4, ну и тут давайте до, значит, в точке p на 4 у нас.
314: Ой, ладно, это значит, это вы дома там проверите, что больше Корня, значит мы можем получить, что где-то. Вот значит есть точка. Ну давайте так отметим, что есть какая-то у нас точка тут на этом участке, где будет
315: Корень из 2 на 2. Вот это можно добиться. Вот, да, вот этой точки. Так, ну и вот что она будет, она все время будет расти до какой-то точки. Это тоже можно проверить. Так, ну.
316: По другому. Так, ещё я давайте это объясню. Сейчас. Значит, вот лучше для косинуса написать. Вот для косинуса у нас ещё лучше оценка, значит, это меньше, либо равно чем единица.
317: Ну, соответственно, будет вот, да, соответственно, она будет больше, либо равна, чем единица минус т. В квадрате на 2, вот по тем же соображениям. Так вот.
318: Вот из этой формулы мы как раз давайте получим то, что нам нужно. Так, ну давайте это я части сотру уже мы это запомнили. Так, это тоже так вот давайте тут нарисуем, значит, смотрите, что получится тогда.
319: Вот, значит, у нас косинус. Так, да, сейчас. А тут надо ещё тоже написать т квадрат, делённое на 2. И ещё плюс т в 4. Вот это обязательно надо написать делённое на
320: 4 факториал. Вот, то есть вот график близок вот к этой функции по этой причине. Значит, вот эта функция как раз она устроена. Так вот, значит, у нас это я рисую график, единица минус т, квадрат пополам.
321: Значит, она будет вот убывать, вот, ну, с этой стороны симметрично, она чётная, и в какой-то момент она должна пересечь вот эту точку 0 там, значит, да, вот это у нас вот это.
322: Это функция вот т квадрат пополам, значит, даже можно сказать, когда она пересекает, это есть корень из 2, да, где-то тут
323: Тут будет вот число корень из 2, вот она пересекает теперь вот, вот эта функция, t квадрат, 2 функция, вот которая здесь нарисована, она тоже будет близка, она вот где-то пересечёт здесь.
324: Следовательно, вот сам косинус пересекает вот точки, как раз это и будет у нас пи пополам.
325: Вот будет точка пи пополам, да? Ой, извините, только наоборот. Да, я все неправильно нарисовал. Спасибо. Скорее всего, я все неправильно нарисовал. Вот так она, значит, вот где-то вот здесь пересечётся, вот из
326: Соображения, значит, ну вот верхняя, на самом деле, оценка нужна, значит, тут это пересечёт. Раньше она будет убывать, это мы чуть позже докажем. Сейчас. Значит, ну, это значит, из определения. Вы, в принципе, можете уже доказать, что она убывает.
327: В начале. Так вот она пересекает эту точку. Вот это есть как раз пи пополам, значит, в этой точке вот мы получаем, что значит косинус равняется единице, а синус равняется, значит, нулю и полу.
328: Получается, вот как раз вот эта точка пи пополам, вот до этого у нас все время будет расти. Вот. Потом, значит, она дальше в точке пи пополам как раз у нас будет какое значение, откуда мы знаем.
329: Это мы как раз ту точку, которую мы получили, это и есть пи пополам.
330: Не, ну есть такая точка. А почему? Значит, почему он именно это, по определению, по определению числа пи, да, совершенно верно. Числа это как раз и есть определение числа пи, вот это.
331: Это и есть определение. Значит, это 1 точка, когда косинус обращается в 0. Значит, это вот определение этого числа просто, значит, косинус пи пополам это равняется нулю. Вот. Значит, вот из этого, значит, вот это 1 точка.
332: Когда у нас это уравнение обращается в 0. Так, так вот, значит, почему тут все промежуточные значения. Значит, это у нас будет доказано несколько позже, потому что тут нужно использовать. Я сейчас то, что я говорю, это следует из непре.
333: И так далее. Это мы чуть позже определим оттуда, из этих теорем, получим вот так вот вы находите эту точку? Ну и дальше отсюда получается, что её значит экспонента от этой точки пи пополам чему равняется
334: Нет, почему? А, да. Ой, да, спасибо, конечно. Значит, экспонента от, и, да, совершенно верно. Я описался. Экспонента от. И, да. Так.
335: Вот, давайте это напишем, значит, экспонента и как раз вот это будет так.
336: Значит, что промежуточные все значения она принимает, это надо доказывать, но сейчас это вы. Пока вот, значит, у нас будет понятие, мы все это докажем, даже мы на самом деле получим вот производную, найдём потом, и что?
337: Там монотонность это, ну, монотонность можно доказать и непосредственно. Ну, вот важно, что есть такая точка пи пополам, где вот это косинус обращается в 0, тогда since будет в этом случае равен единице. Вот как раз мне вот это надо было так.
338: Ну и вот отсюда вы получаете, что это Ровно и будет.
339: Так, ну и тогда из этой формулы вы сразу получаете такой приятный факт, скажем, экспонента от 2 пи, и я в таком порядке напишу, чему будет равно.
340: И в какой степени 4? Это сколько? 1? Да, вот вы как раз получаете 1.
341: 1 получается экспонента кстати, опять же от и p. Чему равняется?
342: - 1 совершенно верно, а дальше вот такой ещё приятный факт, что экспонента значит, и z плюс и 2 пи равня.
343: Экспонента от z и z.
344: То есть периодичность, вот, которая как раз меня спрашивали, ну вот отсюда уже вот результат следующий, что е в степени и игрек это как раз вот бегает по этой окружности. Вот как вас и учили. Вот, значит,
345: И в обратную сторону также там, если отрицательные, то есть вот получается накрутку на окружности. Так, ну вот это теперь, если мы все это соберём вместе,
346: То, что я сказал, мы как раз и получим нужную формулу. Так, ну вот ещё раз я повторю, значит, тут я чуть опережал события. Так, если, значит, строго по логике тут строить, то мне надо было в начале ещё ввести.
347: Понятие непрерывности, вот, и доказать там все эти факты доказать, вот там соответствующие на участках, где возрастают, убывают. Желательно при этом ещё вообще производную ввести, но это мы чуть позже это все сдела.
348: Значит, решим это и докажем. То есть, что эта функция ведёт себя вот в нужном виде. Значит, нужно, что вот на самом деле у ней появляется вот эта точка, где вот косинус обращается в 0, ну вот отсюда уже
349: Мы получаем вот эти все нужные формулы. Так, ну вот теперь, если это все подытожить, то давайте теперь что такое z, если мы представим как x плюс y игрек?
350: Значит, вот это комплексное число, где икс и игрек у нас вещественные, мы получаем, что экспонента от вот этого x плюс y игрек, ну, по формуле как
351: Это будет экспонента от x умножить на экспоненту от и игрека. Так вот, теперь это я расшифровываю это е в степени икс. Как
352: Мы знаем, да, а что такое экспонента? Т и игрек, это мы тоже написали. Это косинус, игрек плюс и синус игрек. Ну вот вам хорошо знакомая формула, которую вам
353: Писали на алгебре, да, вот. И вот эти синусы и косинусы это те самые синусы и косинусы, потому что они связаны с единичной окружностью. Вот и все. Вот дальше уже все возвращается вот в свои, значит,
354: Вот эти все функции, вот, ну, это опять же, вот осталось только что число пи равно тому самому числу. Так это определение тогда нет. Значит, это определение тут
355: Единственное, что надо доказать, вот на самом деле, ключевой момент, это мы тоже докажем. Это нужно доказать следующее, что вот длина вот этой дуги, длина дуги, вот как раз если мы тут пишем, е в степени
356: И игрек это просто игрек. Вот что надо доказать. Длина дуги. Вот, ну, отсюда получается четверть круга это пи, значит, по определению, счита.
357: Длина единичной окружности это 2 пи, это определение. Вот, ну вот как раз, что вот это число совпадает с длиной дуги. Это надо доказывать, но надо ввести понятие, что такое длина дуги. Это все у нас там будет несколько позже. Ну, кстати,
358: Не так там относительно скоро мы к этому перейдём. Так, ну сейчас давайте, значит, ну вот все там факты я вам привёл. Так что, значит, в результате?
359: Все это получается так, ну, аккуратно там все вы самостоятельно там запишите, потому что я в некоторых местах, я вот конспективно делал и, значит, в виде задач сформулировали, да, значит, дальше мы
360: Все уже переходим значит, к понятию предела функции давайте вот ну я на самом деле, видно даже часть утверждения успею определён, значит написать. Вот давайте вы теперь вот напишите новый заголовок.
361: Предел функции. Только тут че то я смотрю, куда-то мел подевался, а есть где-то ещё мел то в природе или тут уже только последний кусочек. Ну ладно.
362: Че то я не вижу больше Кусков мела. Ну ладно. Так ладно, надеюсь хватит этот кусочек. Значит запишите заголовок предел функции.
363: Функции. Так опять же мы сейчас будем рассматривать не только вещественные функции, но и комплекснозначные. И вообще от комплексного аргумента. Значит вот мы давайте теперь будем 2 поля рассматривать значит,
364: Ка 0 e ка они в отдельности пока, значит, совершенно произвольным образом они могут быть, значит, как вот это р так и ц, и пока формально они никак не связаны между собой, например.
365: 1, может быть, это вещественное, 2 будет комплексное, или наоборот, вот, или одновременно там, или вещественное, или комплексное. Все варианты тут сейчас допустимы. Так, ну и вот мы рассматриваем
366: У нас вот это некое подмножество, её есть в к 0 и рассматриваем функции f, отображающие вот это е соответственно вот значит в это к просто
367: Ну, вариантов тут много. Вот я тут, в частности, уже функции писал, так что таких функций много. Так, теперь наша задача. Сейчас мы хотим определить понятие предела, значит, вот
368: Значит вот мы хотим вот определить, что означает, что предел при значит иксе, стремящемся вот к некой точке, а функции эф от икс так значит вот ix естественно будут.
369: Браться из е. А у нас снова будет принадлежать полю-ка 0 и вот мы сейчас хотим определить это вот будет некое число, а большое, но а большое будет, естественно, находиться, значит, в qa уже.
370: Так, где функция принимает значение? Так, ну значит 1, что нам нужно ещё значит, потребовать, что означает, что вот иксы можем приближать
371: Вот об этом давайте мы сейчас скажем, значит, то есть у меня сейчас множество её, значит, я про него, значит, особо у меня никаких ограничений нету. Но вот когда мы, значит, рассматриваем пределы, там уже надо, чтобы около
372: Точке, а было довольно много точек из множества её. Если там, например, будет в окрестности, будет практически пусто, то ничего тут говорить нельзя будет о пределе. Поэтому 1, что вводится понятие, это вот
373: Значит, понятие предельной точки значит предельная.
374: Точка.
375: Множество е.
376: Вот, значит, вот точка, а будет называться предельной, вот, значит, вот эта точка, а будет как раз вот предельной точкой множества е. Это означает следующее, что если мы берём вот произвольное
377: Дельта больше нуля и берём такую дельта. Окрестность у берётся, значит, дальше.
378: Значит, вот мы пишем тут буковку, а, а тут дельта. Так я напоминаю, вот эта запись означает следующее. Это берётся множество всех иксов из
379: Соответственно, вот этого поля к 0 такие, что икс минус, а по модулю меньше, чем дельта. Это соответственно, значит, 2 случая тут. Помните, да, если у нас вещественный случай, то это у нас
380: Получается, интервал, а минус дельта, а плюс дельта, да, вот, вот этот интервал с центром в точке. А, а в случае это вот в вещественном случае, а в
381: В комплексном случае это будет, соответственно, круг с центром в точке а радиуса вот этого дельта, да, естественно, граница не берётся, вот это множество. И вот требуется, чтобы вот пересечение этого множества с множеством е, это было бесконечно.
382: Конечно.
383: То есть в этом множестве было бесконечное число точек. Понятно? Вот это тогда мы говорим, что точка, а является предельной.
384: Вот, и нас, значит, будет интересовать теперь. Вот, значит, если мы будем говорить о пределе в точке, а то требуется, чтобы область определения было вот это, значит, а было бы предельно так. Ну и теперь вот определение самого предела, вот, опре,
385: Ение предела.
386: Так, может быть, вы даже мне подскажете?
387: Ну, давайте, значит, значит, число, а большое называется.
388: Нравится?
389: Пределом, значит, вот функции эф от икс, значит, при x, стремящемся вот к точке вот.
390: Маленькая, если, да, да, совершенно верно. Да. Вот. Da существует.
391: Значение ф от икс. Ну это вы не совсем правы, вы не совсем правы, значит, вы почти правильно сказали. Есть такой
392: Определение, вообще говоря, как вы сказали, но тогда у нас ситуация будет немного печальнее. Значит, вот это было правильно сказано. Значит, берётся проколотая окрестность точки. А дельта, да?
393: Ну, дальше то у нас где функция определена была. Вот давайте, вот у нас была функция определена, вот тут наверху все-таки напишем на е, а кто сказал, что целиком эта окрестность там, в е попадает, это не
394: Никто не говорил.
395: Вот, значит, у нас вот функция, напоминаю, функция сейчас определена на её принимает значение к
396: Про её мы знаем следующее, что вот как раз вот это требовал, я по этой причине требовал, значит, вот точка, а маленькая является предельной для её, ну то есть вот в любой окрестности, вот мы всегда найдём бесконе.
397: Конечное число точек. Так вот, точки именно такие надо брать. То есть это что я должен написать пересечение с её
398: Вот я беру все точки, которые туда попадают одновременно в её, эту окрестность, их вот как тут сказано, было бесконечное число.
399: Ну да, совершенно верно. Вот там есть такой красивый термин индуцированная топология. Ну, давайте мы сейчас не будем увлекаться этой, значит, такие уже там более тонкие понятия, потому что, а то мы там сейчас за
400: Путаемся. Ну вот пользуясь стандартной, значит, вот этими обозначениями мы получаем вот это должно быть меньше эпсилон.
401: Да, тут совершенно верно. Должен быть значок любое. Так, ну вот, всем понятно, да, вот, значит, уже с этим встречались. Значит, вот обычно в литературе, как мне вот правильно подсказывали, чаще всего тут требуется вся окрестность, но это означает
402: Что вся вот эта проколотая окрестность должна попасть в её вот тогда, но это не обязательно, потому что это очень сильно ограничивает. Тогда функции бывают разные. Нам нужно чтобы вот именно это выполнялось это вот мы как раз расширяя
403: Но обращаю внимание, что все равно тут должно быть бесконечное число, то есть точка, а должна быть предельной у множества её, значит, проколотая окрестность. Помните, да, что это такое? Это мы, значит, берём вот эту окрестность, а из неё выбрасываем саму.
404: Точку, ну или по другому. Тут вместо вот этого выражения ещё пишут так для любого x значит такого, что икс минус вот это, а по модулю меньше, чем da x из
405: В начале как раз это надо написать.
406: Любого x, принадлежащий вот этому множеству её вот дальше вот это ограничение, что меньше дельта и причём ещё x не равняется это обязательно самому, а вот потом.
407: Потому что значение в может быть какое-то там другое, и оно на предел никак не влияет. Вот это называется пределом. Так это ещё определение не просто предел, а предел в смысле такой каши, вот это
408: Вот определение каши, вот это, пожалуйста. Да, я сейчас тоже про него скажу, но сегодня уже, как я понимаю, у меня времени нету, да? Ну, самая беда, что у меня имела. Нет, да? Так.
409: Так что вот, значит, это определение каши, значит, определение пагена. Значит, мы в следующий раз тогда введём и заметим, что на самом деле они дают одно и то же. Так, ну хорошо, тогда сегодня мы на этом остановимся.