0: Значит, ну вот на прошлых лекциях, ну, с начала курса, да, мы обсуждали конечномерные интегрируемые системы, то есть системы интегрируемые, полеили, у которых можно построить

1: Полное инволютивное семейство первых интегралов. Ну и мы разобрали, значит, несколько примеров таких систем, там таких как цепочка тоды.

2: Системы кадера мозера, рациональные, одевающая цепочка весёлого шабата, например, вот теперь мы перейдём ко 2 части курса, и здесь мы будем уже говорить про уравнения в частных

3: Производных, да, то у нас были обыкновенные дифференциальные уравнения, а это будут уравнения в частных производных. То есть это такая бесконечно мерная теория. Вот. Ну, на самом деле, как бы теория большая и, соответственно, некоторые вот её проявле,

4: Которые мы будем обсуждать, мы будем обсуждать на примере 1 конкретного уравнения, которое очень важное для теории интегрируемых систем и является в некотором Роде модельным примером. Вот для иллюстрации всего того, что бывает

5: В бесконечно мерном случае это так называемое уравнение кортевега де фриза. Вот, ну и мы будем его рассматривать в быстро убывающем случае то, что называется, значит, когда решения являются быстро убывающими на бесконечности. Итак, значит, глава

6: A2.

7: Теория кад эф уравнение карте вега де фриза значит стандартное соглашение быстро убывающий случай.

8: Ну, я сейчас чуть позже скажу, что это такое за уравнение. Так, ну и давайте 1, значит, 1 раздел подходы к интегрируемости.

9: Вот, ну и 1 подраздел, значит, давайте это у нас будет эволюционные уравнения.

10: Итак, значит, что ж такое эволюционное уравнение? Значит, давайте определение.

11: Значит, уравнение в частных производных.

12: Вида.

13: У по tess равно эф от x, t, y, y, x, y, x x, там и так далее значит, где?

14: У есть функция от x и т. Называется эволюционным.

15: Уравнение.

16: Значит, давайте то, что здесь написано. Значит, в скобках я отмечу, что здесь вот эти вот индексы стоят, индексы обозначают частные производные, то есть у по x это есть д у по дэ икс.

17: Соответственно, у по t, это есть дэ, у по дэ тэ, там, соответственно, ну, у x, x, да, это есть d2 у по дэ икс в квадрате, ну и так далее вот это.

18: Стандартные обозначения, которые мы будем использовать для краткости на протяжении всего курса. Вот, то есть что имеется ввиду, что в правой части этого уравнения стоит функция зависящая, значит, явно от 2 независимых переменных, от у и его иксовых производных. Значит, здесь нет производ.

19: Там по те и нет смешанных производных, то есть вся зависит, вся как бы. Ну, не зависимость по т, а производная по t. Вот вынесены вот сюда, соответственно, вот в левую часть этого уравнения, вот, ну и такие уравнения.

20: Соответственно, называются эволюционными уравнениями.

21: Вот, ну, значит, давайте несколько таких важных примеров сейчас, значит,

22: Примеры. Так, ну, 1 пример это значит, уравнение теплопроводности

23: Значит, у по tess равно, а у x x. Значит да, вот это как.

24: Уравнение такого вида, да, значит, а это какая-то константа. Вот.

25: Ну, это важное уравнение, которое возникает в самых разных задачах. Вот, значит, да, вот у нас правая часть зависит только от вот этой вот 2 производной. Так, ну, 2, 2.

26: Пример. Значит, давайте это у нас будет уравнение, уравнение бюргерса.

27: Значит, у te равно у x x плюс y y x.

28: Ну, тут, возможно, разные нормировки. Сейчас давайте я проверю, что так я его написал, да, вот. Ну, значит, это уравнение, которое там возникает в задачах гидродинамики, газовой динамики. Вот, уравнение, значит, 2 порядка.

29: Тоже эволюционное уравнение. Значит у нас вот правая часть это есть некоторая функция от у и её иксовых производных. Так значит, теперь вот 3 пример это как раз-таки уравнение карте

30: Freza.

31: Которая в русской традиции называется кдф, а в английском k division. Вот, потому что

32: Дефриз это голландская фамилия, соответственно, пишется через v. На английском ещё уравнение карте вега де фриза, соответственно, у патэ равно сейчас я посмотрю, какую, какую нормировку у меня.

33: Есть некоторая экономическая нормировка значит 6 у у x минус y x, x x. Ну что я подразумеваю под нормировкой да, вот это выбор этих коэффициентов на самом деле вот в таких уравнениях, в частных произ.

34: Здесь есть довольно большая свобода выбора коэффициентов, потому что если мы делаем замену там

35: X. Такую точечную замену, то есть x это какой-нибудь альфа умножить на xii там t это бета умножить на тау, а у это там какой-нибудь гамма умножить на на the то вот даже такими заменами мы можем добиваться того, что коэффициент

36: Становятся практически любыми. Поэтому вот уравнение карте де фриза, например, в частности, в разных источниках записывают совершенно по разному, с разными коэффициентами, кто-то с шестёркой, кто-то без шестёрки и так далее. Вот. Но, собственно, я вот буду пользоваться

37: Такой нормировкой на протяжении всего курса. Значит, мне она для некоторых целей будет более удобна. Уравнение карте де фриза. Ну, это уравнение, значит, оно описывает движе.

38: Больших масс воды, вот на, в каких-то, значит, ну, на мелкой воде, да, то есть движение больших таких вот, ну, движение, вот, то есть, когда у нас глубина небольшая, вот большие

39: Воды. Вот, соответственно, это уравнение описывает какие-то такие вещи. Вот. И, собственно, вот как бы мы будем на его примере разбирать разные вопросы, связанные разные вопросы, связанные с интегрируемостью этого

40: Уравнение. Ну и давайте ещё 1 пример 1 уравнения приведу, значит, уравнение

41: Капа купершмидта или высшее уравнение карте вега де фриза сейчас скажу чуть позже, почему?

42: Значит, это уравнение тоже эволюционное уравнение, но уже 5 порядка сейчас я перепишу коэффициенты, какие там, значит, тоже его можно записывать в самых разных формах значит, это вот у x, x, x, x, x, то есть 5.

43: Производная значит, + 10 у, у, x, x, x, + 25 у x, y x, x, + 20 у в qa.

44: В квадрате у x вот такое вот уравнение ну, коэффициенты тоже можно сделать здесь. То есть коэффициенты можно довольно существенным образом менять за счёт замен. Вот, ну, как бы на 1 взгляд кажется, что какое

45: Это очень такое громоздкое уравнение, че в нём замечательного? Вот. Но здесь дело в том, что вот как мы увидим выше и как мы увидим дальше, точнее, вот у нас эти самые интегрируемые уравнения, они на самом деле живут не по одиночке, они живут целыми так называ,

46: Иерархиями, что они задают там коммутирующие потоки друг для друга. Вот. И, соответственно, вот если мы возьмём иерархию уравнения кортевега де фриза, то вот это вот уравнение, оно следующее, оно является следующим членом в этой иерархии,

47: То есть они на самом деле связаны, эти уравнения, вот они задают там симметрии друг для друга. Вот. И, ну, поэтому иногда вот это вот уравнение называется уравнением высшим урав.

48: Кдв. Ну, 1 высшим уравнением это имеет 3 порядок. Это 5, там следующий в этой иерархии будет иметь 7 порядок. Но про это мы поговорим позже. Вот несколько таких примеров эволюционных уравнений, чтобы

49: Проиллюстрировать, значит, то, чтобы проиллюстрировать то, какими здесь, какими уравнениями мы будем здесь заниматься. Ну, собственно, в этом разделе мы будем говорить в главе 2, мы будем говорить только про уравнение карте дефриза, ну,

50: А в главе 3 мы там поговорим про разные другие уравнения, которые, так сказать, вот для которых тоже какие-то, значит, эти же вот подходы можно, можно применить. Так, ну хорошо, это значит, вот я так.

51: Описал, значит, некий класс уравнений и привёл какие-то примеры. Теперь давайте следующее. Значит, 1, 2, 1, точка 2. Это метод фурье.

52: Значит, это метод фурье. Так, ну давайте мы рассмотрим линейное эволюционное уравнение с постоянными коэффициентами.

53: Значит, у по tess равно, значит, какое-то у and на у, значит, энное, иксовая.

54: Производная. Ну, я не знаю, как это лучше обозначить. Вот я обозначу таким образом, то есть у нас здесь and производных. Ну, давайте снизу я напишу, что у нас их n штук, что у нас and дифференцирование здесь. Ну, соответственно, плюс аналогичным образом я буду обозначать дальше. А, and

55: - 1, значит у and минус 1 иксовая производная плюс там и так далее. Плюс a1 у x плюс а 0 у вот, значит, где соответственно, все, а,

56: Это константа, ну, значит, это уравнение вот рассматриваемого вида, да, уравнение это эволюционное уравнение. Вот. И, значит, сейчас мы обсудим некоторый метод, который

57: Позволяет, значит, выписать его общее решение. Значит, давайте предложение.

58: Давайте я это уравнение обозначу за звёздочку. Вот, значит, и, соответственно, давайте решение.

59: Задачи каши.

60: У значит x 0 равно у 0 от x. Ну где у 0 от x, там это достаточно хорошая функция, там из эль 2.

61: Вот имеет вид.

62: Следующий значит, давайте сейчас, чтобы ничего не наврать, я перепишу значит, у x t это есть единица делить на корень из 2 пи.

63: Интеграл от минус бесконечности до плюс бесконечности экспонента от минус и лямда икс значит плюс минус.

64: И лямбда в степени n на r n плюс минус и лямбда в степени n - 1 r n - 1 плюс там и так далее, так?

65: Плюс, значит, минус и лямбда на a1 плюс а 0 the. Так, сейчас ещё цэ, ещё мне надо цэ от лямбды цэ, от лям.

66: The лямбда значит, где, соответственно, цэ от лямбда это следующая величина единица делить на корень из 2 пи на интеграл от минус бесконечности.

67: До плюс бесконечности е в степени и лямбда икс у 0 от x.

68: The xx. Так вот, соответственно, такое, такое предложение нам нужно до

69: Да, то есть это задаёт нам вот решение задачи каши для такого уравнения. Ну, давайте доказательства.

70: Вот, соответственно, сделаем. Давайте мы возьмём вот это уравнение и применим к нему преобразование фурье, значит применим

71: Поэтому это называется метод фурье, да, то есть у нас будет функция the от лямбда т, которая есть фурье образ, значит, от у

72: От x т. Да, то есть это есть значит единица делить на корень из 2 пи, значит, интеграл от минус бесконечности до плюс бесконечно.

73: Е. В степени и лямда икс y от x t d x. Так вот, мы, значит, применяем как бы преобразование фурье к.

74: Обеим частям, значит, этого уравнения. Вот, ну, значит, при этом, так сказать, в соответствии с общими свойствами, значит, когда у нас здесь есть производные, значит, преобразование фурье.

75: От, значит, давайте д у нет д.

76: Катая у по дэ икс Катая, да, это есть минус и лямбда в степени k, значит, на, соответственно, the от лям.

77: Да, т. Так, значит, поэтому, когда мы применяем это уравне, когда мы применяем, значит, преобразование фурье, соответственно, что у нас получается у нас

78: Левой части, получается, в по т. Так, а в правой части у нас, соответственно, получается вот от, ну, от вот этой вот части.

79: Значит, что у нас получается минус и лямбда в степени n на r and, значит, плюс минус и лямбда в степени n - 1 r n - 1 плюс.

80: Там и так далее. Плюс, значит, минус и лямда, a1 плюс, а 0 умножить на the, да, вот мы получили вот такое вот уравнение. Ну значит это уравнение 1

81: Порядка по т. Значит. Ну и его решение можно в явном виде выписать, значит, его

82: Соответственно, общее решение имеет вид. Значит, в от

83: Лямбда t равно, значит цэ от лямбда на экспоненту от вот этой вот штуки минус и лямбда в степени n a.

84: And там, да, плюс, ну, я уж не буду переписывать все плюс, а 0, значит, вот, соответственно, а, 0. Так я ещё здесь не поставил. Значит, ещё мне нужно здесь.

85: Поставить. Вот, значит, вот его общее решение, соответственно, где вот

86: Значит, где цэ от лямбда? Ну, общее решение. Точнее, как бы, давайте лучше я напишу, что не общее решение, решение задачи каши, значит, решение, значит,

87: Значит, где, соответственно, цэ от лямбда задаётся формулой, давайте 2 звёздочки.

88: Так вот, ну и теперь, соответственно, имея вот это вот решение, да, делаем обратное преобразование фурье.

89: Значит, получаем.

90: Формулу для y. X t. Да, значит.

91: Вот. Так что, вот как, собственно, устроен, устроен, значит, метод фурье, да? Ну вот.

92: Вот что здесь я хочу сказать, что в некотором смысле это должно напомнить метод обратной задачи рассеяния, который мы, значит, уже обсудили. Ну, на самом деле, хронологически, конечно, здесь все развивалось в обратном порядке, да.

93: Сперва был, так сказать, придуман вот этот вот метод, метод фурье, а потом как бы появился метод обратной задачи, который в некотором смысле идеологически

94: Работает также, да, что мы здесь делали? Мы сперва, значит, вот метод фурье, да, мы сделали преобразование фурье, получили простое уравнение, его решили, а дальше сделали обратное преобразование фурье, да, примет при методе обратной задачи. Мы, в общем то делаем тоже самое

95: Да, мы находим, значит, некоторые данные рассеяния, соответственно, решаем прямую задачу, получаем некоторое вот линейное уравнение, простое, с которым мы можем, ну, относительно простое, с которым мы, которое мы можем решить, решаем его. А дальше, значит, де,

96: Обратное преобразование рассеяния для того, чтобы восстановить общее решение исходной задачи, да, то есть физиологически эти методы, значит, вот похожи, да, иногда метод обратной задачи рассеяния называют нелинейным аналогом.

97: Метода фурье вот именно по этой причине.

98: Вот так хорошо. Ну и давайте, значит, здесь, соответственно, пример.

99: Да, значит, рассмотрим так называемое линированности картагде фриза.

100: Реализовано.

101: Е уравнение.

102: Afruza.

103: Значит, это уравнение. Соответственно, у

104: Так, сейчас у по tess, значит, как я там писал, значит, у по tess равно минус у x, x x. Значит, ну и тогда.

105: Значит, для него, значит, применим.

106: Метод фурье и, значит, у нас получится у от x t. Да, значит, в данном случае это что у нас будет? Это будет единица делить на

107: Корень из 2 p. Значит, как там минус бесконечности до плюс бесконечности, значит, экспонента от минус и лямда икс так и здесь у нас. Значит, что будет здесь у нас этот коэффициент минус.

108: Единица. Значит, сколько, сколько у нас будет здесь минусов? У нас будет 4 минуса. И ещё и в Кубе, значит, и в Кубе это минус, и то есть будет me.

109: И лямбда в Кубе минус, и, значит, лямбда в Кубе t. Вот так получается, значит, на, соответственно, цэ от лямбда.

110: The лямбда. Вот. Соответственно, у нас получается такая формула для решения, значит, задачи каши для вот такого вот линеаризованного, это просто называетс.

111: Уравнение карте до фриза. Так, значит вот, ну вот я как бы, так сказать, кратко этот метод фурье описал. Значит, следующее давайте это значит у нас 1 точка.

112: 3 терминология кодера.

113: Значит, ну, сейчас я сделаю несколько терминологических замечаний, потом там пару примеров, значит, это речь идёт о том, что вот некоторая терминология, связанная с которую сейчас я опишу, значит, это был, она была введе

114: Франческо калоджеро, тот самый колоджеро, который у нас уже фигурировал при рассмотрении рациональных систем калоджеро мозера. Вот. Ну это вот иногда эта терминология иногда используется, значит,

115: Давайте так, значит будем, будем называть уравнение. Ну это

116: Может быть, уравнение любого вида необязательно эволюционное цэ интегрируемым?

117: Значит, если

118: Оно интегрируется при помощи.

119: Замены переменных. Ну вот, ц, потому что чейнджер верил, а дальше, значит,

120: Уравнение с интегрируемо.

121: Если оно интегрируется методом обратной задачи рассеяния,

122: Вот, ну, с, потому что скатери, ну, соответственно, вот это, на самом деле, такая, основная вот эта вот терминология, ну, а по аналогии, можно сказать, значит, по аналогии, давайте уж тогда, значит,

123: Назовём уравнение эф интегрируемым.

124: Если оно интегрируемо методом фурье.

125: Значит, эль интегрируемым, если оно интегрируемо, половили.

126: И d. Интегрируемым.

127: Если оно интегрируемо по дарбу, но об этом мы будем говорить в 3 главе, значит, ну, как бы эти

128: Последние 3 вряд ли последние 3 названия вряд ли активно используются в литературе, но тем не менее давайте для полноты картины такую тем.

129: Аналогию введём, то есть я к тому, что вот мы можем, что, что бывают разные интегрируемые уравнения. То есть иногда под интегрируемым уравнением понимаются разные вещи. Вот. Ну и давайте, значит, пример

130: Так, значит, давайте рассмотрим, так называемая.

131: Уравнение томаса.

132: У икс игрек плюс, а у x плюс б у игрек плюс у x. Y, y.

133: Игрек равно нулю вот рассмотрим значит такое уравнение. Вот. И значит, ну это вот общее ну и давайте, значит, возьмём его частный случай.

134: Значит, частный случай, когда у нас бэ будет равно нулю. А, а, есть функция, зависящая только от игрек. Вот возьмём такой частный случай и, значит, сделаем замену.

135: U равно логарифм вэ. Значит тогда что у нас такое соответственно, будет у от икс, это будет the икс делить на the, значит у игрек это the игрек делить на the.

136: Соответственно, а смешанная производная у икс игрек, значит, это будет в икс игрек делить на the минус the икс, в игрек делить на the в квадрате. Да, значит, мы легко можем это посчи.

137: Так, теперь подставим это в наше уравнение. Значит, что у нас получится the икс игрек делить на the минус.

138: В икс, в игрек делить на the квадрат это 2 производная плюс, значит, а на в икс делить на the дальше следующего слагаемого у нас нет, потому что мы рассматриваем частный случа.

139: Ну и плюс, значит, в икс делить в икс, в игрек получится делить на the квадрат равно нулю, да, это произведение у икс, у игрек. Ну и теперь мы замечаем, что на самом деле у нас вот эти 2 слагаемых взаимо

140: Уничтожаются. Вот и мы получаем простое уравнение после умножения на у. Значит мы получаем в икс игрек плюс, а в x.

141: Равно нулю. Вот. Ну и теперь, значит, у у нас функция, зависящая только от игрек, по нашему предположению. Значит, проинтегрируем.

142: По x. Значит, у нас получается the игрек плюс, а от игрек вэ равно тета от игрек, значит, где theta это произвольная функция.

143: Значит, ну а дальше уже интегрируем это линейное уравнение.

144: Вот таким образом. Значит, вот это вот частный случай.

145: Уравнение томаса, которое мы рассматриваем, это значит, ц, интегрируемая

146: Уравнение, да, потому что его можно проинтегрировать заменой переменных. Так, ну теперь ещё 1 пример.

147: Значит, это мы рассмотрим уравнение бюргерса, которое у нас уже было. Вот давайте, значит, вот у нас уравнение бюргерса выписано, значит, вот я его назову бэ, потому что бюргерс, ну и мы приме,

148: Так называемое преобразование хопа Кола.

149: Значит, преобразование хоффа Кола. Так u равно 2 в икс делить на в.

150: К уравнению.

151: Бюргерса.

152: Значит, ну давайте я сюда это уравнение перепишу для удобства значит, у нас, у te равно у x x плюс y y x. Так, ну и тогда, значит, вот если у нас есть функция, у мы.

153: Должны все эти производные посчитать, значит, у x это будет 2 the xx, xx разделить на the - 2 в икс, в квадрате разделить на the в квадрате так, значит?

154: Теперь ещё нам нужно посчитать значит, у x x. Значит, надо ещё раз продифференцировать это будет 2 the xx, xx, xx разделить на the - 2, the xx, xx.

155: The x разделить на вэ в квадрате это я 1 часть продифференцировал минус ещё 4 будет такое же слагаемое вэ в квадрате, так и ещё будет плюс.

156: 4 the x в Кубе делить на the в Кубе когда я дифференцирую вэ. Вот здесь. Ну, тут можно привести подобные, значит, это будет дважды the xx, xx, xx разделить на the - 6 раз. The xx.

157: X в x разделить на вэ в квадрате и + 4 раза the x в Кубе разделить на the в Кубе так это я 2 производную подставил ну ещё мне нужна производная по t, значит у по t это.

158: У нас будет 2 в x t разделить на в.

159: Минус - 2 значит, the xx в. T. Разделить на the в квадрате вот, значит, все мы это получили, ну и теперь подставим.

160: В это самое наше уравнение бюргерса.

161: Так, значит, что у нас получается значит, слева у нас стоит у по т. То есть вот эта вот величина, значит, будет 2 the x t разделить на the - 2 в x в. Т. На the в qa.

162: В квадрате равно, значит, дальше у нас идёт 2 производная вот её выражение получается 2 в икс икс икс разделить на в - 6, в x x, в x на в в квадрате + 4.

163: The x в Кубе разделить на the в Кубе так и теперь мне нужно умножить у на у x. Вот мне нужно вот это вот умножить, у меня будет + 4 значит the xx, xx, the сейчас чуть компактно.

164: Я напишу, чтобы влезло, значит, 4.

165: The xx, xx, the xx разделить на вэ в квадрате и - 4 в x в Кубе, разделить на the в Кубе так вот, получается такая вещь ну?

166: И теперь здесь видно, что у нас вот эти 2 слагаемых взаимоуничтожаются, а вот эти на самом деле, они подобные, значит, ну и после деления на 2 мы получаем следующее. Значит,

167: Получаем такое уравнение в x t разделить на the минус the x в т. Разделить на the в квадрате равно the xx, xx, xx разделить на the ми.

168: Нус 2, the xx, xx в. X разделить на the в квадрате вот что, что мы получили нет, не 2, а уже будет просто с единичкой, потому что я на 2 разделил вот мы получили такое уравнение, ну а теперь его можно перепи.

169: Писать, очевидно, в следующем виде значит, вот это есть производная, значит, я возьму the t разделить на the, и это есть иксовая производная от логарифмической производ.

170: Nota, да? Вот, а то, что записано, значит, в правой части это есть ничто иное, как значит, в

171: X x. Разделить на the ещё раз по x. Так, значит, вот мы получили такое уравнение, значит, ну, после интегри.

172: По x значит, получаем уравнение теплопроводности.

173: Значит, the tt равно the xx xx ну, значит, если правда положить константу интегрирования.

174: Ну, не константу интегрирования, а в данном случае. Ну, так, в кавычках я возьму, потому что она зависит. Зависеть от игрек будет от т, точнее, равной нулю.

175: Ну, иногда это имеет смысл. Если мы рассматриваем решение в определённом классе функций, значит, тогда так, так сказать, такое, такое ограничение имеет смысл. Вот. Ну, значит, если мы

176: Делаем, ну, такое вот рассматриваем допущение, да, то мы получаем уравнение теплопроводности, которое линейное. И, стало быть, мы умеем его интегрировать методом фурье. Ну, поэтому можно сказать, что вот уравнение бюргерса, оно тоже является

177: Интегрируемым уравнением. Так, значит, следующий пункт 1 точка 4 симметрии.

178: Так, ну, значит, сейчас мы будем рассматривать вот это эволюционное уравнение. Давайте я его назову буквой е, как эволюшн ари, значит,

179: И определение на параметрическая группа.

180: Ефимов фазового пространства. Ну как бы пространство параметров. Давайте так.

181: X t, y, y x, y x x и так далее я не буду здесь излишним образом формализовать это все значит параметрическая группа, давайте.

182: Назову же с, да, где с этот самый параметр, значит, называется или задаёт.

183: Сказать задаёт симметрию.

184: Для эволюционного уравнения.

185: Который мы обозначили её. Значит, если для любого с, значит,

186: А вот, значит, мы x 1, значит кси тау вэ вэ давайте дубль вэ дубль вэ кси.

187: Double, the сикси и так далее, которые есть, значит, результат действия вот этой группы дефима на, значит, пространство параметров x t у u.

188: X, y, x, x и так далее значит, если для любого c значит, решение.

189: От исходного уравнения, значит, переводится.

190: В.

191: Решение. То есть вот эта вот новая функция, дубль вэ должна удовлетворять уравнению, соответственно, дубльвэ по tow равно эф от кси тау дубль.

192: The дубльвэ, к си дубльвэ, к c xii там и так далее. Вот, значит в этом случае мы будем говорить, что если это вот для любого решения так работает, мы будем говорить, что это симметрия. Ну на самом деле можно говорить, что это не для любого c, а для любог.

193: В окрестности нуля, как мы уже говорили, в аналогичной ситуации, но, значит, давайте я не буду здесь разводить излишнюю формализацию. Значит, вот если у нас есть такая

194: Группа, да, то мы можем, можем говорить о симметрии, да, потому что у нас решение переводится в решение. Мы, в общем, нечто похожее уже наблюдали при рассмотрении симметрии для лагранжевых систем. Значит, ну, здесь немножко другое уравнение, поэтому я это немножечко

195: Другому записал. Вот. Ну и давайте примеры. Сейчас, значит, 1 пример.

196: Значит, для линейного уравнения.

197: Значит, у по tess равно а and x а у and у, значит, энное иксовая.

198: Водная там плюс и так далее плюс a1 у x плюс а 0.

199: Значит.

200: Да вот для такого линейного уравнения, соответственно жэ эс от, значит, как я писал, в порядке x т у.

201: Значит, у x там и так далее равное, значит x т. Я не меняю, а соответственно, здесь я напишу е в степени с, на, у, е, в степени эс, на, у.

202: X, там и так далее. Вот. Значит, то есть в данном случае вот это вот у меня получается, дубль вэ, новая, вот это, соответственно, дубль вэ, икс тогда и так далее. Вот, значит, вот.

203: Вот такая вот так, так, ну, ясно, что это 1 параметрическая группа в данном случае, потому что при с равном нулю я получаю тождественное отображение, да, и, значит, вот таким образом я могу деформировать решение, значит,

204: Вот переводит, да, значит, ясно, что линейное уравнение вот такое, такая вот группа.

205: Переводит.

206: Решение в

207: Решение, да, потому что у нас, значит, здесь, да, я ещё тут, на самом деле, на самом, по хорошему, мне надо вставить у по t тоже у по t, да, и здесь после, у, если

208: Я пишу, значит, здесь я должен вставить дубль вэ по тау вот здесь у меня тоже у, потому что, значит у по t я должен ставить, ну и здесь будет е в степени с на у по t. Вот.

209: Значит, переводит решение в решение. Так, ну то есть это вот пример, значит, 1 пример симметрии такой довольно тривиальный. Ну и теперь давайте ещё 1 пример для уравнения бюргерса.

210: Значит, для уравнения.

211: Бюргерса, значит, положим, следующее. Сейчас, значит,

212: Значит, пусть у нас

213: Xiii будет равно е в степени с на x тау будет равно е в степени 2 s на t и дубль вэ.

214: Будет равно е в степени минус с на, у, ну, соответственно, и, так сказать, там все производные можно пересчитать, да, значит, если мы знаем вот это вот если

215: Мы знаем вот такую вот замену, да, но тоже при с равном нулю мы получаем тождественное отображение. Значит, давайте посмотрим, что же у нас, значит, как у нас тогда все пересчитывается. Значит, что мне нужно для уравнения бюргерса. Значит, мне нужно дубль вэ.

216: По tow значит что же тогда будет дубль вэ по тау это есть значит е в степени минус с умножить на у по tow значит это есть.

217: Е в степени минус эс на у по t умножить на t производная по тау. Так значит соответственно, я получаю е в степени эс на

218: На у по t a t по тау это что такое t по тау это е в степени ой, значит е в степени - 2 c. Так минус эс я потерял, значит вот, потому что я т.

219: Выражаю, да, отсюда. То есть это получается у меня е в степени - 3 s на u по t. Так это я посчитал.

220: Double the по тау теперь мне нужно посчитать дубль вэ по xiii значит это есть е в степени минус эс на у по xiii то есть это есть е в степени минус эс на y по x.

221: На x по xii значит, что у нас получится, это будет е в степени минус эс на y x a x по xii это е в степени минус эс значит.

222: Получается е в степени - 2 c на у x. Так значит и ещё мне для уравнения бюргерса нужно 2 производная по.

223: Xiii значит, так. Это есть, значит, the дубльвэ к си ещё раз к ci, значит, дубльвэ к си. Это мы уже посчитали, это.

224: Е. В степени - 2 s на y по x. И значит, это мы должны продифференцировать по x, a x. В свою очередь, по xxi так и это получается е в степени ми.

225: - 2 c на у x, x a x по xii значит, отсюда это е в степени минус эс, итого мы имеем е в степени - 3 s на у x x. Так?

226: Ну и тогда что мы получаем? Значит, тогда давайте мы записываем все, перенесём в 1 сторону, значит, дубльвэ по тау минус дубльвэ.

227: Минус дубльвэ, кси, кси, минус дубльвэ, дубльвэ, к ci. Значит, что это такое получается, я подставляю е в степени - 3 s на.

228: У по t. Дальше у меня идёт 2 производная, значит, минус е в степени - 3 s на у x x. Так и дальше я должен умножить.

229: Значит, double the на double the xxii это вот это значит у меня получается минус е в степени минус эс на у на е в степени - 2 с на у x. Ну и не трудно.

230: Что я могу теперь вынести е в степени - 3 s за скобку здесь получается у т минус, у икс икс минус у на у x. И я получаю в точности 0 в силу того, что я взял решение.

231: Уравнение бюргерса, да, вот, значит, вот это потому что, потому что 0 для любого с таким образом вот это вот.

232: Значит, деформация переводит решение уравнения в решение, да, то есть я получаю симметрию для уравнения бюргерса. Вот. Ну, я говорю, это все так немножечко.

233: Не совсем аккуратно. Если хотеть, значит, аккуратное изложение. Здесь надо читать книжку олвера, приложение груп ли к дифференциальным уравнениям. Там это все, так сказать, сделано абсолютно аккуратно, но это, конечно, требует довольно большого вре.

234: Вот, ну, нам как бы достаточно вот такой вот подход без, ну, может быть, с некоторым недостаточным уровнем строгости, скажем так. Вот, хорошо, значит,

235: Вот привели несколько примеров, и теперь давайте, значит, я сформулирую предложение, значит,

236: Значит, пусть.

237: Дубль вэ, дубль вэ, дубль вэ, икс дубль вэ, икс икс и так далее, равно же s от у у x, y x, x там и так далее.

238: Значит, задаёт.

239: Симметрию для нашего эволюционного уравнения её, да, то есть я взял не общий случай. Я, значит, во первых, не меняю, я не меняю

240: Не меняю икс и т. Да, и значит вот это вот не затрагивает как бы то есть функция у меняется, но значит это меняется так что это изменение как бы не

241: Не затрагивает производные по t, да, значит, вот такое вот ограниченное как бы то есть некое сужение, да, частный случай. Вот, значит, пусть задаёт симметрию по tess, значит, тогда

242: Выполнено следующее соотношение, значит, дэ по дэ эс при с равном нулю от эф от

243: Значит, x t дубльвэ там, дубльвэ, икс, дубльвэ, икс икс там и так далее равно, значит.

244: Дэ по дэ тэ от жэ значит, от там x.

245: Значит.

246: У x там, у x x там и так далее значит, где же определяется?

247: Разложением в окрестности нуля по

248: С. Значит, что имеется в виду?

249: Что double the поскольку при с. Равно нулю мы получаем тождественное отображение это значит есть у да плюс дальше с будет на некоторый вот этот вот жэ от там x y.

250: У x, y x, x, там и так далее плюс s квадрат там на аш от x, y, y x, y x x, там и так далее да, вот, значит.

251: То есть мы берём как бы 1 член разложения вот такого вот по вот этому малому параметру, да, то есть мы взяли деформацию нашу, значит, это есть у плюс, значит, ну, с точностью, то есть, как бы, жэ, это вот там-то, что получается 1.

252: Член, да, если мы вот возьмём с точностью до малого, от, с, значит, вот имеет место такое равенство. Вот, ну, давайте мы докажем.

253: Это утверждение. Значит, представление нам будет будет полезно. Значит, дальше. Так, значит,

254: Тогда, значит, имеем дэ по дэ эс при с равном нулю от double the t. Да, я т и x не меняю, значит ну я считаю, что у меня все.

255: Все функции достаточно хорошие. Я могу переставлять, так сказать, пред переставлять порядок. Значит, у меня получается дэ по дэ тэ от значит дэ по дэ эс.

256: Значит при с равном нулю от double the да, значит где?

257: Double the это в точности вот это вот я подставляю разложение, да, значит, если я подставил это разложение, то это в точности вот я double the пишу, значит дпдс при с равно нулю у меня получается, вот остаётся эта функция жэ, значит просто будет дпд.

258: T от жэ, от x y y x там и так далее, с 1 стороны, а с другой стороны, значит, поскольку это симметрия, то the от tess, значит, это есть ничто иное, как?

259: Значит, дэ по дэ эс, при, с равном нулю от эф, от, соответственно, x, t, там, дубльвэ, дубль, вэ, икс, там и так далее. Вот. Ну вот, соответственно, я просто получаю, то есть, это как бы, некото

260: Такая переформулировка, которая нам нужна будет в дальнейшем, да, то есть мы получаем вот это вот соотношение, значит давайте такое замечание сделаем.

261: What is той формулы, которая у нас здесь была, значит, поскольку

262: В 0 момент времени, да, это тождественное отображение, значит, эф от вот этих вот

263: X t. Дубльвэ, там, дубльвэ, икс и так далее при с равном нулю это просто напросто значит эф от x t у u x.

264: Там и так далее, да? Вот, значит, тогда.

265: Вот что мы получаем, вот это вот давайте условие, я его 3 звёздочки обозначу.

266: Из 3 звёздочек, значит, следует так пишут, что эф по c от x t.

267: У, значит, у x, да, куда мы как бы подставили, там с равное нулю, да, значит, потом равно и так далее. Равно жэ по tess, значит.

268: X. T. Там нет же у нас, значит, x y x. Там и так далее да, то есть получается, в таком как бы симметричной записи мы записываем, то есть как бы потоки вот эти вот коммутируют, значит.

269: И поэтому это позволяет нам сформулировать определение чуть чуть в более удобном виде, которое нам нужно будет в дальнейшем. Значит, определение

270: Значит.

271: Пусть решение у эволюционного уравнения, значит.

272: Вот такого вида сейчас я только давайте его напишу чтобы ограничить количество производных значит решение у эволюционного уравнения y te равно эф от икс т у там у x и так далее.

273: И у до энной производной по икс мне просто нужен будет этот порядок дополнительно.

274: Зависит от параметра эс, причём у по c это есть значит некоторое

275: Жэ. От x, y, y x и так далее у and производная по x.

276: Значит, где m больше, чем and то есть здесь у нас как бы зависимость от более высокого порядка, чем чем вот в самом

277: Уравнении тогда.

278: Значит, вот это вот же задаёт.

279: Высшую симметрию для уравнения. Давай.

280: Я его обозначу. Ну, её у меня уже было здесь, я ограничил. Давайте я его e1 обозначу для уравнения. E1.

281: Значит.

282: Если.

283: Эф по as равно жэ по t. Да, то есть мы берём, значит, эф по c, да, мы берём вот эту вот штуку, дифференцируем по c. Да, все эти производные все.

284: Эти функции у нас зависит дополнительно от параметра. Значит поэтому мы дифференцируем и зависимость от параметра мы потом устраняем при помощи вот этого вот свойства, да? Ну и точно также, значит,

285: Да, мы дифференцируем это по t y, потом подставляем выражение для смешанных производных из уравнения значит, вот тогда говорят, что же задаёт высшую симметрию?

286: Вот, ну, это такой, как бы, формализация того, ну, не формализация, некое такое.

287: Более удобный способ записи того, о чем мы говорили раньше, что значит вот в когда используют и такой симметрийный подход к теории уравнений, да, интегрируемых, то, значит, вот, так сказать, симметрией называют вот так.

288: Такой вот как бы поток, который в этом смысле коммутируется потоком, задаваемым исходным эволюционным уравнением. Ну и симметрия называется высшей, если порядок вот этого вот порядок производной, которая здесь фигурирует.

289: Выше, чем порядок самого уравнения. Вот, ну, симметрийный подход на самом деле, оказывается очень полезным там при

290: Всяких при различных классификационных, при, ну, при попытке классифицировать разные интегрируемые уравнения. То есть, на самом деле наличие высших симметрий у некоторого уравнения является довольно таким ограничительным свойством.

291: А это уравнение. Ну, как мы вот увидим дальше. У уравнения кортевега фриза есть бесконечная иерархия высших симметрий. Вот как я говорил в начале лекции, что интегрируемые уравнения, они не по 1 живут, а целыми иерархиями. Вот

292: Все члены этой иерархии, выше более высокие, являются высшими симметриями для тех, кто стоит внизу. Вот. То есть, в частности, вот это вот уравнение каупа, купершмидта, которое у нас тут где-то, но я его уже стёр где-то

293: Было оно вот является, значит, в частности, высшей симметрией для уравнения картеего дефриза, оно задаёт высшую симметрию, но если там заменить параметр, те. На с, для уравнения картеего дефриза, но мы про это поговорим ещё позже. Пока, значит, вот как

294: Давайте зафиксируем вот такую трактовку, что высшая симметрия это когда вот, так сказать, вот в этом смысле коммутируют потоки. Ну давайте сейчас я рассмотрю пример, значит, чтобы было понятно, о чем идёт речь.

295: Значит, рассмотрим линейные уравнения с постоянными коэффициентами.

296: Ну и давайте я даже возьму какое-нибудь, просто чтобы для простоты возьму какое-нибудь конкретное линейное уравнение значит, у по t, там равно, ну не знаю, у x, x, x плюс там у x.

297: Ну, например, вот что-нибудь такое я возьму. Вот, то есть это уравнение 3 порядка. Ну и давайте мы положим

298: У. S. Ну, пусть будет равно у x, x, x, x. Ну, это тривиальный случай, конечно, но тем не менее да, то есть вот я задаю вот такой вот поток, да, то есть это вот, вот у меня.

299: Функция жэ это вот в данном случае у 4 производная, да, то есть в данном случае порядок этой функции жэ выше, чем порядок самого уравнения. Значит, ну тогда

300: Значит, что такое эф по s. В данном случае я должен вот эту штуку продифференцировать по c plus u x. Я дифференцирую.

301: По с. Значит, это есть что такое? Так лишнюю производную написал, значит, дифференцирую по с, значит, это есть.

302: У по c3 производная по x плюс y, по age значит производная по x. Значит у по c я подставляю это у меня уже 4 производная значит получается 7 да, у x, x, x и так далее 7 производная.

303: Значит, а здесь получается 5 производная, вот, значит, эф по с, ну, а теперь, если я беру вот эту вот, как бы же.

304: По t да жэ по t это есть жэ это у нас вот это значит это у x x x x производная по t значит, что это такое, это значит у по t 4.

305: Производная по x y по tess значит, это у нас будет у x, x, x, плюс, y x и дальше 4 производная ну и ясно, что мы получаем тоже самое.

306: Значит, плюс у 5 производная вот здесь, да, так что значит вот эта вот штука задаёт высшую симметрию для этого линейного уравнения. Ну, это тривиальный случай. Здесь как бы я

307: Сейчас нетривиальные случаи рассматривать не буду, мы про них поговорим потом, но это просто для того, чтобы было понятно, как это вот чисто механически проверять. Ну и ясно, что аналогично ясно.

308: Что для любого?

309: Линейного уравнения с постоянными коэффициентами, значит, у по tess равно там, а, and у энная производная там.

310: И так далее у s. Равное, значит у мт производная, значит, где m больше, n задаёт высшую Сим.

311: Вот, задаёт высшую симметрию. Так, ну, аналогичным образом, да, если мы подставляем там, поскольку все коэффициенты постоянные, то, значит,

312: Ровно также это можно проверить. Вот, ну, значит, на самом деле наличие симметрии, как я уже сказал, есть некий такой атрибут, часто наличие высших симметрий это некий атрибут, часто указывающий на

313: Ну или указывающий на интегрируемость в некотором другом смысле. То есть, значит, вот мы будем говорить дальше про интегрирование уравнения фриза методом обратной задачи рассеяния.

314: Вот, то есть в этом смысле уравнение карте дефиза, в терминологии, в терминологии колоджеро является с интегрируемым уравнением. Вот, ну, на самом деле, значит, вот у него есть бесконечная иерархия симметрии, да, и вот

315: Значит, здесь все подходы как бы сходятся. Ну и вот на самом деле, вот опыт показывает, что, так сказать, наличие высшей симметрии, да, вот оно как бы соответствует, на самом деле, указывает на те,

316: Уравнения методом обратной задачи рассеяния.

317: Вот. Ну хорошо, тогда на этом сегодня закончим. И, значит, уже на следующей лекции будет обсуждение более подробное обсуждение уравнения кортевега де фриза.