0: Здравствуйте. Тема нашей сегодняшней лекции по высшей математике. Это теория вероятностей. Давайте рассмотрим основные понятия, определения и примеры.

1: Так, основные понятия там при есть какое-то пространство событий случайных, событие может произойти, может не произойти.

2: Зайти. Ну, например, подбрасывается монета на Орёл решка может выпасть Орёл, а может выпасть решка, бросается игральный кубик, может выпасть любое число от 1 до 6 и так далее.

3: Событие называется достоверное.

4: Достоверное событие это то, которое обязательно произойдёт при испытании.

5: Ну, какое бы привести то, да, например, такое, что при бросании обязательно выпадет или Орёл, или решка при бросании монеты имеется ввиду.

6: Событие называется ещё невозможное бывает.

7: Невозможное событие, то, которое заведомо не произойдёт при испытании, например, то, что монета зависет в воздухе, такое будет.

8: Теперь тогда смотрите, как находится, будет находиться, в общем, вероятность какого-то события, ну тогда будет вот так находиться вероятность какого-то события. А, а, это со

9: То probability of event эй находится по такой формуле число благоприятных исходов.

10: Делить на число всех исходов.

11: Под всеми исходами понимается сумма благоприятных и неблагоприятных. Ну, например, вероятность выпадения Орла это 1, 2 вероятность выпадения шестёрки на игральном кубике.

12: 1, 6 и так далее.

13: Есть также противоположное событие, а с чертой как связано прямое событие и противоположное ну, их сумма их вероятностей равна единице.

14: Исходя из этого, вероятность тогда противоположного события равна единица минус вероятность прямого события.

15: Ну, проверим. Вероятность выпадения реки равна единице - 1, 2. Да, действительно, 1, 2 вероятность выпадения не шестёрки.

16: Не шестёрки, это будет единица - 1 6, то есть 5/6. Действительно так, на игральном кубике 6 граней, из них только 1 шестёрка.

17: Так вот, 1 формула у нас есть. Попробуем другие какие-то формулы.

18: Есть также, смотрите, как тут надо.

19: Тут точнее, если не вдаваться сильно уж так в подробности будет такое понятие, как число сочетаний.

20: Число сочетаний.

21: Из.

22: Из n по m по m штук, где m, понятное дело, будет тогда от нуля до n включительно, оно находится следующим образом это, допустим, цэ вот так нахо.

23: Лица.

24: И это будет н факториал м факториал н минус м факториал.

25: Что такое факториал это n factorial это

26: Произведение всех натуральных чисел от единицы до n и по условию ещё берётся 0 факториал по определению, точнее сказать, равным единице, например, 4 факториал, к примеру, это.

27: Будет произведение 1, 2, 3, 4, то есть равно 24 и так далее. И вот по такой формуле подсчитывается число сочетаний. Ну вот какой-то конкретный пример, допустим,

28: Вот, допустим, такой пример.

29: В неком ящике находится 5 апельсинов и 4 яблока.

30: Не глядя на удачу, не глядя, вытаскиваются 3 фрукта.

31: И найти вероятность, что все 3 фрукта апельсины, то будет 3 апельсина.

32: Ну как это подсчитать? Тогда? Вот тут и вступает в действие понятие число сочетаний. Значит, как оно находится? Смотрите, выбрать всего 3 фрукта из 9. Это число всех исходов.

33: Из них, из этих, но апельсинов там 5, значит это будет число благоприятных исходов выбрать 3 фрукта, 3 апельсина из 5. И вот так она будет подсчитана, эта вероятность.

34: Ну, посчитаем её 5 факториал 5 - 3 факториал 3 факториал дальше 9 факториал так, 3 факториал 6 факториал вот так как-то.

35: Считывается. Угу. И после очевидных сокращений, где-то примерно так. Ну, как-то примерно, примерно, где-то 0 12 будет надо.

36: Примерно где-то 1 8, чуть побольше, 0 12. Вот такая будет вероятность чуть чуть поменьше даже вот так находится. Есть ещё и такая интересная задача она называется

37: Урновая модель.

38: Что здесь имеется в виду? Ну, под словом урна это чисто условное понятие. Это не обязательно урна в том, вот в прямом смысле урна для голосования, как вот имеется в виду и так далее. Вот что.

39: Оно из себя представляет, допустим, урна это какой-то вот ящик.

40: Это урна.

41: Которой имеется всего н. Шаров. Из них, допустим, для примера, можно взять м. Большое белых Шаров и н. Минус м. Чёрных.

42: Всего, н большое Шаров, ну, под словом Шаров шары тоже понимается все, что угодно. Это могут быть игральные карты. Пример я потом чуть позже приведу и так далее из них делается.

43: Выборка объёма н не глядя н малая Шаров или карт вытаскивается. Так вот, найти тогда.

44: Найти вероятность того, что в выборке будет Ровно м, малое белых Шаров. То есть в этой выборке должно быть, м, малое белых Шаров, и получается, н минус м, малое чёрных Шаров. Вот так.

45: Найти эту вероятность. И тогда давайте её посчитаем точно также согласно урновой модели она будет находиться

46: Вероятность этого события будет. Ну, во первых, нужно нам выбрать всего. Получается, н, малое Шаров из, из, из n Шаров большое это будет.

47: Вот так находиться.

48: А дальше получается из этих н малое Шаров должно быть выбрать м. Белых из м. Большое белых Шаров и выбрать.

49: Н минус м. Чёрных из н. Большое минус м большое оставшихся чёрных Шаров вот так она и подсчитывается, эта вероятность, может, кому-то формула сложная, но на самом деле не так уж и сложно.

50: Итак, пример следующий.

51: Вот, допустим, есть у нас колода, ну, простая колода, 36 карт.

52: При этих 36 карт, понятное дело. Ну вот давайте задачу упростим. Там в колоде имеется, допустим, понятное дело, 4 туза и получается 32. Не туза. Так.

53: Я напишу их, не туза.

54: Так вот, нужно опре найти вероятность такого события, чтобы из вытащенных на удачу 4. Ну, допустим, мы вытаскиваем из этой колоды, не глядя, вытаскиваем 4 карты.

55: Ну вот, к примеру, какая вероятность того, что будет из вытащенных 4 карт, будет 2 туза?

56: Вот такую вероятность посчитать.

57: Итак, смотрите, вытащить 4 карты составляется тогда вот с такими столькими способами можно сделать

58: Потом далее смотрим Тузов там 4 мы должны вытянуть только 2, не больше, не меньше из 4. И затем из оставшихся 32 карт мы должны вытянуть тоже любые 2.

59: Получается вот такое событие считаем это будет 4 факториал 2 факториал 2 факториал 32 факториал 2 факториал 30 факториал.

60: Знаменатель 36 факториал 4 факториал 32 факториал ну и тут можно сократить смотрите, как сокращается, если это из произведения чисел a4 факториал это произведение 1 2 3 4 2.

61: 1 на 2. То есть тут получается, смотрите, пока в виде четырехэтажной дроби будет 3 на 4 / 1, 2, 32 и 2 сократится и 30 сократится. Будет 31 * 3.

62: 32 потому что, ну, если непонятно, подсказываю 32 факториал это 30 произведение от 1 и так далее на 3 до 30, потом на 31 и на 32 от 1 до 30. Это произведение 30 факториал.

63: И делить на 1 и 2 дальше 36 и 32 сокращаются будет 33, 34, 35, 36 и 4 факториал 1, 2, 3, 4.

64: Теперь дальше четырехэтажную дробь запишем в нормальную двухэтажную. Вот эта пойдёт наверх, останется 3 * 4. Ну, 4 факториал вот это я запишу сразу, как 24 * 31 30.

65: 2. А знаменатель будет 2 факториал 2 факториал вот эти двойки, а также 33, 34, 35, 36. Ну и дальше уже идут чистые сокращения, например, вот четвёрку можно сократить.

66: И так далее. Это уже детали. И таким образом мы посчитаем эту вероятность, как она у нас может быть.

67: Может быть, это геометрическая вероятность, что здесь имеется в виду, ну, например, геометрическая вероятность. Очень просто. Это вероятность такого события, что

68: Благоприятная какая-то. Тут можно записать как мера площади. Теоретически это и объём может быть мерные объёмы областей. Ну как раз геометрическая вероятность.

69: Ну, тогда можно записать площадь благоприятного события, делить на общую площадь.

70: Что имеется в виду? Ну, например, в квадрат стороной, равной единице, вписана окружность.

71: Какова вероятность, что при случайном бросании какой-то точку квадрат мы попадём внутрь окружности?

72: Давайте подумаем. Значит, чему равна площадь круга? Она равна пи эр квадрат. Радиус здесь будет равен 1, 2, потому что единица это диаметр.

73: Ну, тогда эта вероятность подсчитывается, вероятность этого события.

74: Как получается, пи р квадрат то есть будет?

75: P. 1 2 в квадрате делить на площадь всего квадрата 1 квадрат и в результате получаем пи делить на 4 p это 3 целых 14:15 и так далее, такая бесконечная непериодическая дробь вот так.

76: Допустим, подсчитывается геометрическая вероятность ничего сложного тут абсолютно нет.

77: Рассмотрим некоторые другие, значит, какие-то формулы и связанные с этим вот понятием. Ну, например,

78: Следующая.

79: Ещё 2 таких понятия, как события, могут быть независимыми и несовместными.

80: Ну что ж, давайте тогда дадим кое-какие определения, события а и б.

81: Называются несовместными.

82: Если они не могут произойти одновременно, если они не могут.

83: Произойти одновременно.

84: Одновременно. Ну, например,

85: Бросается, допустим, монета и не может одновременно выпасть Орёл и решка. Такое, разумеется, не может быть и

86: При этом раз они несовместные, то тогда получается, что их пересечение, то есть, а в пересечении с. Б это пустое множество для несовместных событий есть такая формула.

87: Что вероятность их объединения?

88: Это объединение следует понимать, что это будет тогда произойдёт или а, или б вот это вот объединение.

89: Будет тогда находиться следующим образом для несовместных событий это п от а плюс p от b.

90: Или a или b произойдёт. То есть вероятность, ну, допустим, пример такой вероятность выпадения на игральном кубике единица или, или, скажем, пятёрки равна 1 6 это вероятность единицы + 1 6.

91: Для пятёрки, то есть 2/6.

92: Ну, в принципе, все логично, потому что это союз или также события a и b называются независимыми.

93: Если.

94: Вероятность каждого из них.

95: Вероятность.

96: Появления.

97: События.

98: А или б не зависит.

99: Вот.

100: От появления.

101: Или не появление.

102: Другого другого события.

103: Ну какой пример? Например, 2 биатлониста стреляют, независимо от того, что 1 попал в мишень или нет. На вероятность 2 это никоим образом не влияет. Раз не влияет. Ну, тогда мы можем записать. Для них будет характерна следующая формула, что

104: Вероятность тогда такого, а пересечение с б, это союз и то есть произойдёт и а, и б, ну, оба попадут, и 1 попадёт, и 2 попадёт, тогда это союз, и будет именно будет равно.

105: Произведению этих вероятностей.

106: Ну, действительно, если, скажем, 1 попадает с вероятностью 0 9, a2 с вероятностью 0 8, то тогда вероятность того, что и 1, и 2, то есть оба попадут, будет тогда 0 70.

107: И так далее. Что ещё тут нужно сказать, что будет ещё введено такое понятие, как пгс пгс, полная группа событий.

108: Так, полная группа событий. Ну, например, для 2 событий, а, и б, какие события могут представлять собой полную группу, может быть, а б. Пример, допустим, 2 лампочки в доме горят.

109: А. И б. Это обе исправны, обе горят а. Б. С чертой 1 горит, 2 неисправна перегорела, а с чертой б, может быть, и, наконец, что обе лампы неисправны.

110: А с чертой б, с чертой вот они и составляют полную группу событий.

111: Какая формула характерна для полной группы событий, так очень простая в любой момент времени обязательно с какой-то степенью вероятности. 1 из этих 4 событий, допустим, обязательно произойдёт. Ну, тогда вероят.

112: Сумма этих событий будет равна единице, то есть пэ от а бэ плюс пэ а, б, с чертой плюс п, а, с чертой бэ плюс, п, а с чертой б.

113: Чертой равна будет единица.

114: Это нам даёт возможность посчитать что-то вот 1 из 4 событий, не прибегая к вычислению 3 других.

115: Событий вероятности этих событий, например.

116: Да, пусть опять-таки с теми же биатлонистами вероятность того, что 1 биатлонист попадёт в мишень 0 9, а вероятность, что 2 попадёт в мишень, равна 0 8 найти вероятность, что оба промахнутся.

117: Ну, это событие, как я понимаю, независимое. Тогда посмотрите, что мы можем найти. Можем. Тогда можно вот так тогда найти. Смотрите, п, от, а с чертой это будет единица.

118: - 0 9 это 0 1.

119: П от бэ с чертой единица - 0 8 вот это, это будет 0 2 и вероятность того, что оба промахнутся.

120: Будет тогда равно 0 1 * 0 2 2/100. Ну а можно было и вот так найти, допустим, пэ, а с чертой бэ, с чертой равно единица минус пэ, а бот.

121: Вот эти 3 слагаемых перенести в ту часть равенства, вот эти 3 минус пэ а, б, с чертой минус пэ, а с чертой бэ. И таким образом это все это дело посчитать вот таким вот образом.

122: Ещё хочется сказать, ну, допустим, это и будет вот то, что я сказал для произвольных событий, для произвольных событий.

123: Которые не являются, которые могут быть несовместные, независимые и или произвольные.

124: Будет всегда вот такая формула в а. Б. Их объединение это объединение.

125: Равно п от а плюс p от b минус вероятность их пересечения.

126: Это пересечение.

127: Пример.

128: Ну, допустим.

129: Допустим, есть следующее. Вот, п, от, а это количество человек, изучающих, допустим, английский язык. Ну, к примеру, их там пускай будет, я не знаю. Ну, пускай будет, допустим, 16.

130: А. П. От б. Это изучающих, допустим, французский язык. Ну, поменьше пускай будет 9. Так вот, нужно найти количество Языков.

131: Изучающих одновременно и английский, и английский, и французский язык, если изучающих или тот, или другой язык, вот этот союз или

132: Будет там уже, ну, к примеру, сколько будет, я не знаю, но давайте возьму, что ли, 20, подставляем тогда формулу и будет xx равно 16 - 9 + 9.

133: Минус п от их пересечения, это одновременно изучает и английский, и французский языки. И получается тогда, что вот это количество человек, изучающих оба языка, это

134: Будет тогда равно 5. Здесь же, конечно, можно и было и упомянуть про эту вот диаграмму эйлера венна.

135: Вот так будет. Это английский, это французский язык, это и тот, и другой язык, это их пересечение. Ну тогда чисто английский из

136: Получает 16 - 5 чисто французский 9 - 5. А если мы все это посчитаем? 11 + 5 + 4. Да, это действительно в сумме будет 20 человек, изучающее оба оба языка.

137: Какой-либо хотя бы 1 из этих Языков. Проще так сказать, вот таким образом это и будет такого образа диаграммы эйлера венна.

138: Так, теперь ещё что можно такое упомянуть? Вот, ну, допустим.

139: Слишком сложные мы пока не будем, но, пожалуй, заслуживает внимания. Формула бернулли. Давайте её рассмотрим. Так?

140: Испытание обернули и формула бернулли, так это

141: Формула бернулли.

142: Что она из себя представляет, а тут она достаточно такая интересная. Представьте следующее, что у нас производится.

143: Есть серия из n независимых независимых испытаний.

144: Зададимся вопросом а вот, ну, успех, успех в каждом 1 испытании вероятность, точнее, вероятность успеха равна п. Малая вероятность неуспеха. Что это?

145: В отдельном испытании не произойдёт равна q, которое равно, разумеется, 1 минус п. Так как это обратное событие так вот, вопрос такой нас интересует найти.

146: Вероятность такого события, что Ровно Ровно, подчёркиваю Ровно m раз, в n испытаниях.

147: Будет успех.

148: Чему, во первых, это число м может быть, равно исходя из здравого разумения, оно может быть от нуля включительно до n включительно, исходя из такого здравого разумения ну и тогда специальная есть формула бернулли.

149: Это п. Это так и запишем Ровно m раз is н.

150: Будет тогда число сочетаний из n по m.

151: Вероятность успеха п в степени м. И вероятность неуспеха.

152: В степени n минус n. Вот это и есть формула бернулли.

153: Формула бернулли приведём такой, приведу такой конкретный какой-то пример.

154: Ну, скажем, пусть бросается игральная кость, я бросаю её, ну, скажем, на сколько взять? Ну, давайте, допустим, 6 раз.

155: И найти вероятность такого события, что у нас из этих 6 раз выпадет Ровно Ровно м 1 шестёрка, 1 шестёрка. Так-то вообще то вероятность того,

156: То, что выпадение шестёрки и составляет 1 шестёрка. 1 6, я хотел сказать, а если мы посчитаем по формуле, то есть будет 1 шестёрка.

157: Из 6 случаев.

158: Давайте посчитаем. Итак, тогда подставляем это 6. Это 1 вероятность выпадения шестёрки. 1 6 вероятность невыпадения шестёрки составляет 5/6.

159: То есть 5 раз должна не выпасть шестёрка и 1 раз не, неважно какой по счёту. 1, 2, 3, 4, 5, 6. Выпасть шестёрка. Ну давайте посчитаем. Это 6 факториал, 1 факториал.

160: 5 факториал это единица делить на 6, это 5 в 5 степени, 6 в 5 степени. И тут важно сделать. Тут нам кое-какие сокращения. 6 факториал поделить на

161: 5 факториал это будет Ровно 6 6 * 1 6 и получается 5/6 в 5 степени. То есть эта вероятность после сокращений составляет 5/6 в 5 степени, но

162: Это достаточно такая, в общем то, неплохая вероятность. Ну, которая, ну, достаточно неплохая, скажем так, там надо будет уже считать и так далее. Вот так и будет эта формула использоваться.

163: Ну а дальше более такие сложные, тем более предельные теоремы это материал высшей математики, слишком уж такой вузовский, его мы рассматривать не будем, тем более там функцию распре.

164: Деление, допустим, дисперсию матожидания. Не будем это смотреть пока в этой лекции рассмотрим, пожалуй, тогда ещё. Ну вот такое скажем, что, что

165: Будет такой иметь интерес, к примеру, формула полной вероятности для, скажем, формула полной вероятности. Ну, скажем, да, для 2 событий мы практически её записали.

166: Так, постараюсь её как-то более в кратком, сжатом виде дать. Ну вот это сперва событие, если независимое, это мы формулу записали, попробуем вот такое. Итак, смотрите, все-таки теорема.

167: Она же формула полной вероятности.

168: Да, формула полной вероятности.

169: Пусть событие, а может быть реализовано при условии появления 1 из событий аш итое аш итое.

170: То есть событие, а есть событие.

171: Есть события.

172: Аш итые какие-то вот такие, где и от единицы до n.

173: События аш итые образуют пгс полную группу событий. То есть 1 из них обязательно сбудется, и вероятности их известны. То есть такие вот события, аш итые, они по другому называются гиппо.

174: Зам.

175: Тогда формула полной вероятности звучит так пэ от are равно сумма по и от единицы до до эн пэ аш итая пэ а plus.

176: Условии, что произошло аш, и то, может быть, для начала формула не очень понятна, но, тем не менее, сейчас на конкретном примере рассмотрим. Возможно, вопрос прояснится. Ну, давайте так.

177: Так, ну допустим, вот таким образом. Итак, смотрите.

178: Пусть есть группа студентов, их в сумме 30 человек, их в сумме будет 30 человек. Ну, давайте большое. Назовём их 30 человек. Они сдают её и

179: 3 преподавателям экзамен 1 преподаватель, он принимает 6 человек. 2, 2 он принимает пускай 3 человека. Ну a3 такой самый.

180: Борной, он оставшихся 21 человека принимает. Так вот, смотрите, отношения у них разные. То есть вероятность сдать вероятность тогда сдать у 1 преподава.

181: Составляет. Ну, сколько составляет вероятность сдать экзамен у 1? Давайте это п 1 просто запишем. У 1 составляет 40%. Это 0 4 вероятность сдать у 2 де.

182: 10% и вероятность сдать у 3 составляет 70%. Найти вероятность того, что слабо подготовленный студент сдаст экзамен, обозначим h1, h2 и h3 гипотезы.

183: Тому, что слабо подготовленный студент отвечает 1, 2 или 3 экзаменатестирования. Произойти вероятность того, что он попадёт к 1, составляет 6/30, всего 30 человек. 1 принимает 6, и так это будет.

184: 0 2 аналогично вероятность, что он будет сдавать 2 преподавателю 3/30, это 0 1, и вероятность того, что он будет сдавать 3 преподавателю, составляет 0 7.

185: По формуле полной вероятности мы находим тогда, что п от а.

186: Пэ от, а будет тогда равно. Ну, смотрите, п от аш ито 0 2 и вероятность, что он сдаст, a1 составляет 0 4. Плюс он сдаёт 2, это 0 1 * 0.

187: 1. Вот 0 1. И вот это 0 1. Теперь то, что 3 это получается сколько? + 0 7 * 0 7. Итого получается вероятность 0 58. Ну, побольше полови.

188: Видно, что вероятность слабо подготовленный студент все-таки сдаст.

189: И теперь рассмотрим какие-то конкретные примеры в оставшееся время. Ну давайте рассмотрим.

190: Скажем, вот такое.

191: Ну, по той же самой схеме вернули или что-то попроще можем там сделать.

192: Так.

193: Вот такой пример, скажем.

194: Пускай будет пример вот такой, что

195: 2 каких-то 2 шарикоподшипниковых завода выпускают подшипники. Значит, вероятность брака у 1 составляет, ну, скажем, сколько допускаю, 2%.

196: Вероятность брака, это я такие взял, чтобы было проще считать. Вероятность брака у 2 составляет 1%. Допустим, так имеется. Ну и на рынок поставляют они следующее количество.

197: То есть, допустим, берётся партия 1000 штук.

198: Но распределено не пополам, скажем, вот 400 штук это от 1 завода поставляется и 600 штук от 2 завода.

199: Найти вероятность того, что случайно выбранный подшипник будет

200: Будет исправным, исправен. Ну, смотрите, как делается. Значит, этот подшипник, он может быть или с 1 завода, или из 2 вероятность того, что он с 1 завода.

201: Составляет 400/1000, всего 400 из 1 завода, а подшипников всего 1000 штук. Значит, вероятность выбрать из 1 завода составляет 4/10. И вероятность того, что он исправный.

202: 2% это брак, стало быть, 98%, что подшипник будет исправен. Но ведь этот подшипник, он, может быть и со 2 завода вероятность выбрать со 2 завода.

203: Составляет 600/1000, то есть 6/10. То есть и вероятность того, что подшипник исправен, составляет уже 99%. Это 99/100. Ну задача теперь стоит все это только лишь посчитать.

204: Ну, давайте посчитаем, что ли. Так, 98, это 98, это 100 - 2. Значит, на 4. Это будет 392 каких? Ну, конечно, Тысячных 3 знака после запятой отделяет.

205: Будет 100 - 1 и получается тогда 100 - 1. Угу. Это 600 - 6 594. Итого считаем и получим тогда следующее. Но

206: 0 целых 6 8 9 986/1000, что подшипник купленный будет на удачу купленный будет исправен. То есть ничего сложного тут, в этих задачах, как я вижу, и не

207: Нет. И ещё вот такая задача мне показалась интересной. Такой пример ещё приведу.

208: Пускай в какой-то урне лежит, допустим, 5 белых и 4 чёрных шара, из урны наугад вынимаются 2 шара.

209: 2 шара найти вероятность, что это будет 2 белых, 2 чёрных, 1 белый и 1 чёрный, то есть вероятность того, что это будет 2 белых.

210: 1 шар должен быть белых. Вероятность вытянуть. 1 шар белый составляет сперва там 5 белых из 9, и потом 2 должен быть вытянут белый. Это там уже будет 4 белых из 8. Вот.

211: Какая будет вероятность? 4 и 8 сократится. Получается, будет 5/18. Вероятность того, что оба чёрные. 1 шар чёрный, это 4/9, там 4 чёрных всего Шаров, там 9.

212: Это там 9 штук Шаров и потом уже чёрных останется 3, а Шаров будет 8. После сокращения мы видим, что это будет равно уже 3/18.

213: Теперь вероятность того, что 1 белый и чёрный. Ну вот эта вероятность, что белый, чёрный, она будет тогда, ну, понятно, что мы можем 1 вытащить белый, a2 чёрный. Можно вот так записать, что это равна будет

214: Вероятностью, что 1 чёрный, a2 белый это все 1 и тоже практически. Мы можем посчитать вот это. Давайте 2 способами посчитаем. Они составляют полную группу событий, тогда из единицы можно вычесть 5

215: Восемнадцатых, что 2 белых и 3/18, что оба чёрные. Сколько это будет? 8/18? Теперь 2 способ, как это посчитать? Ну, допустим, опять-таки, 2, 1, 2, 1.

216: Одинаковых вероятностей таких, допустим, что 1 белый, a2 чёрный. Ну, считаем, 1 белый это 5/9, a2 чёрный, это уже 4/8 составляет

217: После сокращения. Ну да, после сокращения. Ну, тут я, да, извиняюсь, тут это, конечно, 10/18, 18 - 10 - 8. Угу. И тут оно действительно будет 4 и 8 сократится.

218: 2 будет там будет 5, девятна, 5/9 или что тоже самое, что 10/18. Вот как-то так.