0: Ну, давайте начнём. Вот у вас ставка такая, по теории вероятности сейчас будет, да, в течение месяца. Для чего это сделано? Ну, чтоб в следующем семестре вам полноценный курс тервера прочитать. Обычно курс.

1: Сервера начинается со слов там пусть там омега ф. П. Это вероятностное пространство омега это единица сигмал, и это вероятностная мера, ну и дальше часть аудитории выпадает если не из окна, то это уже хорошо.

2: В общем, чтобы вот такого не было. И чтобы для вас это было вообще естественное самое начало курса, мы с вами вот 4 недели будем заниматься, ну, таким как бы простеньким тервером, но мы постараемся сделать его интересным. Вот, а потом уже осенью вам

3: Прочитают семестровый курс и там будет там только хардкор, ну и все такое вот. Ну а у нас сейчас простая ситуация. Вот представьте, что вы проводите эксперимент, да, какой-то и

4: У вас есть омега большое это конечное, конечное или счётное множество?

5: Конечное счётное множество так называемых элементарных исходов.

6: Да, ну вот их обычно обозначают. Омега маленькими. Вот омега маленькая, это элементарный исход, да? Ну и вот вы много раз проводите этот эксперимент. Ну там у вас случаются какие-то исходы омега 1, омега 2, омега 3.

7: Вот, много, много раз поставили один и тот же эксперимент. Мы считаем, что это все независимо было, да? Ну вот, допустим, там омега n ras поставили омега n, большой раз поставили эксперимент, ну, скажем, подбрасывали монетку или там ещё что.

8: Такое, да? Ну, можно посчитать, сколько раз у вас каждый исход случился, да, не в смысле, вот, вот эти вот омеги, а вот у вас там какая-то вот там.

9: Скажем вот это вот все какая-то вот 1 омега, вот она сколько-то там раз случилась, сколько-то раз у вас случилась какая-то другая омега, ну и так далее, да? Ну вот в сумме, если вы все эти количества посчитаете,

10: Сумма по всем энкам, она даст н большое, да, общее количество проведённых экспериментов.

11: Ну вот, теперь, если мы это ещё поделим на and большое получим единицу, да? Ну то есть довольно естественная штука. Тут стоит сумма частот, да, вот с какой частотой у нас каждый эксперимент происходил. Сумма частот равна единице.

12: Ну и вот дальше возникает такой естественный вопрос. Если мы будем много, много раз проводить эксперимент, с какой частотой будет встречаться какая-то конкретная омега? Ну понятно, что вот примерно частота, да, примерно частота, ну вот если мы

13: Смотрим на такую вот частоту и устремляем к бесконечности число исходов, то вот мы получаем понятие вероятности, да, то есть, если вы много, много раз подбросите монетку, то че означает, что вот у неё вероятность, там единицы п,

14: Вероятность Орла пэ. Ну, это означает, что при большом числе бросков монетки доля единиц, доля Орлов, да, будет примерно п.

15: Ну вот вы получаете идеализированное такое понятие частоты это вероятность. То есть, ну давайте вот здесь где-нибудь напишу вероя.

16: Ятность это вот такая функция пэ большое и зомбики в 0 1.

17: Ну, почему такая из омеги в 0 1? Я думаю, понятно. Да, у нас частота не может быть отрицательной. Ну и больше единицы тоже не может быть. Вот сумма частот должна быть равна единице.

18: Да, вот, то есть мы считаем, что если мы просуммируем по всем омегам вероятности омег, то вот должна получиться в точности единица, да? Ну вот они все неотрицательные.

19: Ну, на самом деле, это ещё пока не вероятность. Мы задали это вот, вот так мы хотим задать, да, вот вероятность каждого исхода омега. Ну вот давайте представим себе ситуацию, что мы скажем, 2 раза подбросили монетку.

20: Мы 2 раза подбросили монетку и в качестве омега взяли количество Орлов или решек. То есть мы на эксперимент смотрим в целом как на бросок 2 монеток. То есть вот у нас есть 4 исхода. Там Орёл, Орёл, Орёл, решка.

21: Решка, Орёл и решка. Решка. Ну, скорее всего, нас будут интересовать не отдельные вот эти 4 события, а какие-то события. Ну, скажем, что у вас на 1 месте выпал Орёл, да, вот.

22: Что-нибудь такое. То есть вас будет интересовать не сам элементарный исход. Ну кому он сдался? Ну какой-то результат эксперимента. А вас интересует вот что-то, что вы можете сказать про эксперимент в целом? То есть вас интересует какое-то событие, а

23: Под множество омеги. То есть это множество элементарных исходов. Ну вот, например, я тут только что подчеркнул событие, что у вас 1 выпал Орёл, да, 1 выпал Орёл.

24: Ну, естественно, для событий тоже как-то задать вероятность, да, вот я хочу, чтобы у меня вероятность события чему-то, чему-то равнялась. Ну, как её задать? Ну вот если мы проводим эксперимент,

25: Независимо много раз, да, каждая омега там с какой-то частотой выпадает. Вот вероятность, это идеализированное понятие частоты. А с какой частотой тогда будет встречаться событие? А, ну, сумма частот, очевидно, да, ну, за

26: Значит, как задать вероятность события, а нужно просуммировать по всем омегам уже в а.

27: И просто сложить вероятности этих Омик, да, ну вот получится уже вероятность события. И на самом деле это вот то, что нас всегда интересует теория вероятностей не вероятности вот этих отдельных Омик, а вероятности событий. Понятно. То есть мы

28: Построили вероятность изначально просто на элементарных исходах, на омеге, но они нас не очень интересуют и мы продолжили вероятность на все события просто по odt ности.

29: Понятно, да. Так что, ну вот это вот определение, вот оно не совсем правильное, а правильное определение вот такое, что вероятность, ну, или функция вероятности.

30: Это отображение пэ не на омеге, а вот из 2 в степени омега в 0 1, то есть

31: Мы её задаём на самом деле не на элементарных исходах, а на всех событиях.

32: Понятно, да, но это не любая такая функция, понятное дело. А вот она должна удовлетворять вот этим вот всем условиям. То есть

33: Ну, что надо сказать? Скажем, пэ атомики должно быть обязательно равно единице, да, как бы вероятность того, что хоть что-то случится, единица вполне логично, да, и она должна удовлетворять свойству.

34: Ну, аддитивности, да, можно было бы его вот так и сформулировать, что вероятность события распадается в сумму вероятности его элементарных исходов, но обычно формулируют все-таки по другому.

35: Вводит вот такое вот понятие сигма аддитивности.

36: Ну и она формулируется следующим образом пусть у вас событие, а распадается в какое-то конечное или счётное дизъюнктные объединение аит ых.

37: Да, ну вот тогда вероятность этого события распадается. Ну точнее, равна сумме вероятности этих событий, а

38: Ну, это вот такое довольно естественное, на самом деле условие, по сути, оно выводится из вот этого равенства.

39: А если вы каждую ашку разобьёте на какие-то элементарные исходы и каждую аиту разобьёте, то вот вы когда во всех аидах просуммируете вероятности этих элементарных исходов, вы получите сумму по всем элементарным исходам вероятности, а

40: То есть вот это и вот это равенство, если бы мы его взяли за определение, они просто эквивалентны. Ну, вы можете спросить, а почему здесь счётная сумма? Ну, потому что мы же изначально сказали, что у нас омега может быть счётной, поэтому нам

41: Нужно разрешить брать здесь счётное объединение событий.

42: Да, понятно. Вот. Ну, поэтому разрешаем здесь счётные объединения.

43: Ряды должны сходиться абсолютно, это понятно. Да, у нас тут вероятности все неотрицательные.

44: Ну давайте какой-нибудь пример посмотрим. Самый простой, вот самый простой пример. Это классическая вероятность.

45: Ну или там классическая модель. Давайте скажем, вот в этой модели все просто. А вы хотите свет включить? Да, давайте, да, давайте включим.

46: Ну, в классической модели все просто. У нас омега обязательно конечная, и все исходы равновероятны.

47: То есть вот вы считаете, грубо говоря, что вы подкидываете какой-то кубик, у которого вот столько граней и все грани равновероятны. Ну давайте вот я сначала вероятность 1 элементарного исхода напишу. Ну чему?

48: Она равна у меня всего вот столько вот элементарных исходов, значит, вероятность каждого это 1 поделить на мощность омеги, да?

49: Ну вот, поскольку мы все-таки вероятность задаём на событиях, то тогда вероятность любого события, а это просто отношение мощности, события к мощности, омеги.

50: Да, ну, например, вы кидаете игральный кубик шестигранный, все грани равновероятны, да? Ну вот чему равна вероятность того, что выпадет шестёрка 1 6, да, вероятность того, что выпадет там чётное число, 1, 2, потому что их там 3 к 6.

51: Ну и так далее. Вот я думаю, это все понятно. Ещё со школы, наверное, вы это знаете. Ну, опять же, все это действует. Есть предположение, что сами события, они независимые и не влияют друг на друга.

52: Нет, нет, никакой независимости у нас пока нету. Ну, то есть формально. То есть, если вероятность там того, что выбудет 2, 1, там может отличаться, если ранее выбросили в 2, или это уже какая-то другая модель.

53: Ну да, конечно, мы строим модель, исходя из каких-то предположений. Вот я считаю, что у меня честный кубик, я подбрасываю 1 раз грань, и вот каждая грань выпадает с равной вероятностью. Равна вероятность. Это не тоже самое, что независимость д.

54: Ну вот мы ввели с вами эту вероятность. Ну давайте какие-нибудь основные свойства её посмотрим.

55: Ну, я перечислю, они все довольно очевидны, так что я не хочу их доказывать.

56: Основные свойства, ну, вероятность пустого множества, конечно, да, должна быть равна нулю. Ну, это следует, например, из свойства одитинг, да, если мы в качестве Аитова возьм

57: Пустое множество, мы обязаны прибавить к а его вероятность при этом с точки зрения самого, а ничего не меняется, так что вероятность пустого 0, то есть ничего произойти не может. 2 свойство монотонно.

58: Монотонность. Ну, если у нас имеются 2 события, да, я всегда буду вот такими буквами обозначать события, я не буду указывать, что это подмножество, омеги, все, у нас ничего другого не бывает.

59: События. Значит, если события, вложенные, тогда вероятность, а не превосходит вероятность б,

60: Понятно, да, включение здесь нестрогое. Ну вот вопрос на засыпку. Если я все-таки тут строгое напишу, тут будет строгое неравенство. Да, конечно, не обязательно бывают исходы 0 вероятности. Да, вот это надо понимать в диск.

61: Секретной вероятности вот в той модели, в которой мы сейчас работаем. Вот, вот такая вот модель называется дискретная.

62: Вот когда у вас омега конечная или счётная, событие 0 вероятности или там омеги 0 вероятности, это что-то странное, да? Ну зачем мы строили модель, в которой есть исходы 0 вероятности, но вообще, в теории вероятности такое потом может возникать.

63: Поэтому, да, вот надо помнить, что здесь всегда будет нестрогое неравенство. Ну, 3, какое-то очевидное свойство формула включений, исключений.

64: Ну, давайте я её для 2 запишу, ладно? Вы в на 1 семестре у ктч должны были её выписывать в общем случае. То есть, если мы возьмём 2 каких-то множества, а и б, 2 каких-то события, которые могут как-то пересекаться, да, но как найти?

65: Вероятность объединения. Нужно взять вероятность, а вероятность б. И вот мы вероятность пересечения 2 раза посчитали. Ну, давайте её вычтем.

66: То есть вот это свойство просто следует из одитинге, даже не из sigma аддиктивного да, понятно, ну хорошо, ну это вот совсем простые свойства ну давайте что-нибудь поинтереснее.

67: Посмотрим.

68: Вот.

69: Да, сигма, это иногда её называют счётная адити вностью. То есть, когда пишут сигмы, имеется ввиду, что разрешают счётные операции. Вот если бы я вот так написал просто адити ть, то у меня вот здесь было бы не счётное объединение, а конечное. Понятно?

70: Да, но мы потребовали счётной, потому что мы сразу разрешили в омеге счётное число исходов.

71: Да, понятно. Ну, представьте, что вы подбрасываете. Ладно, давайте раз вопрос такой возник.

72: Понятно, да. Ну ладно, хорошо. Да, счётная это иногда называют счётная детивоспитание торых учебниках. Так и пишут.

73: Да, значит, ещё раз, откуда у нас возникло понятие вероятности? Ну вот у нас есть какое-то пространство омега, из которого приходят исходы, да, а мы вот хотим найти вероятность какого-то события. А, да.

74: И говорим, что, ну, это просто идеализированное понятие частоты. Ну а теперь представьте, что случилось событие б, да, вот мы точно знаем, что оно произошло.

75: Ну давайте какой-нибудь скучный пример приведём. У нас кубик кубик шестигранный, все грани равновероятны. И вот нас интересовало событие. А что?

76: Выпала там единица или двойка, да? Ну вот мы кидаем кубик, и нас интересует, что выпадет 1 или двойка. Ну, понятно, что вероятность события, a1, 3.

77: А теперь вот кто-то другой провёл эксперимент, кинул кубик там, в соседней аудитории и ska позвонил нам по телефону и говорит слушай, я тут кинул кубик, так интересно получилось, значит, выпала чётная.

78: Представляешь, мы говорим, ничего себе. Вот. И теперь мы знаем, что точно 1, 3, 5 отметаются, да, вот 1, 3, 5 не произошли. Произошли только 2, 4 или 6. А нас все ещё интересует вероятность события, а

79: Да ещё 1, 3, каждое из 3 событий могло произойти равно вероятность события, вероятность 1, 3. То, что двойка это 1, 3, больше вариантов нет.

80: Ну да, конкретно тут я, конечно, не очень интересно сделал, но единица точно не произошла, да, то есть вот как будет считаться вот эта вот вероятность? А, ну, новая, давайте так, так скажу. Ну и теперь.

81: Будет отношение не не 2 к 6, да, а вот мы единицу учитываем, остаётся только двойка. Её нужно поделить на 3 чётных числа, да? Ну то есть снова здесь.

82: 1 треть получается.

83: Понятно, да, но если бы я тут, скажем, писал там 1, 2, 4, то вероятность бы поменялась.

84: Понятно, да, то есть вот мы хотим теперь пересчитать вероятность с учётом того, что у нас произошло событие б.

85: Ну, такая вероятность называется условная вероятность.

86: Ну, она обозначается пэ, а при условии бэ, вот то, что я тут пэ но а новое написал, а при условии бэ, ну и как её найти?

87: Ну, нам нужно теперь частоту событий, а поделить, ну, не на всю частоту для омеги, а только на частоту для события б, да, то есть, если бы это была классическая модель, то вместо омеги надо было бы нормировать нам

88: Бэ. Да. Ну вот поэтому эта условная вероятность, её так и определяют вероятность. А, ну вот в пересечении с б, поделить на вероятность бэ.

89: Да, то есть раньше мы смотрели вот отношение вот этих 2 кляксы и квадрата, а теперь меня интересует только вот такая клякса, но в отношении к вот этому квадрату

90: То есть, как бы просто перенормировать площади, да, понятно. Да, я вот тут использовал такое удобное обозначение. Если вы видите произведение событий, это означает пересечение. А, и б, да, да, да.

91: Вот я как раз про это и говорю знак пресечения между событиями опускают.

92: Ну да, что значит, что произошло? А, и бэ одновременно, ну, это надо, а, пересечь с б, да, вот получится пересечение.

93: Да, понятно. Ну, тут такой вот вопрос может возникнуть. А что, если вероятность события б была равна нулю? Вот что в таком случае?

94: Ну да, вот если исходить из нашей модели, то, ну че, ну делим мы на вероятность нулевого события. Ну, ну и ладно, оно все равно не могло произойти. Ну, вернее, могло с 0 вероятностью. То есть можно это никак не обрабатывать ситуацию, ну, это

95: С точки зрения физики, да, а если мы подойдём к этому как к математике, то у нас что получается? Условная вероятность?

96: Ну, она не, ну вот, нет, тут деление на 0, да, но у нас в числителе тоже 0, да, полно тонности. То есть, там делим 0 на 0, и поэтому здесь считается что угодно.

97: То есть, если вы там проверяете какое-то условие, что условная вероятность равна чему-то, то, когда у вас вероятность условия 0, вы считаете, что это автоматически выполнено? Понятно, да? То есть не то, что как-то раскрываете, а вот раскрывается как угодно, ну просто

98: Удобное соглашение это вот уже математический формализм, никак не связанный с нашей моделью.

99: Понятно, да.

100: Ну и вот оказывается, что эта условная вероятность очень удобна в расчётах.

101: Вот мы сейчас дальше выведем несколько, ну, тоже довольно простых свойств вероятности, но мы их будем сразу на примере выводить и попутно доказывать, потому что они все очень простые.

102: Ну вот представьте, что значит такая ситуация. Вот вы там однажды утром проснулись и поняли, что не знаете, вам вставать, идти на пары или не идти. Ну, вы как хотите, при

103: Кинуть вам нужно сделать или не нужно? Вот, ну вот вы знаете, что там понедельник, вторник, среда, четверг. Вам нужно идти на пары. Ну там с вероятностью

104: Скажем, 3/4. То есть вот каждый из этих дней недели, вы там 3 раза из 4 все-таки ходите на пары, ну там какие-то важные предметы, вот там в пятницу, там физра, ну, поэтому там можно, как бы ходить, не ходить, там 1, 2 будет вероятность, да, ну, а

105: А суббота, воскресенье. Ну, там понятно, что вероятность 0 выходной, да, вот мы на пары не ходим при этом вот изначально я считаю, что все дни недели равновероятны.

106: Ну, то есть мы проснулись, и это с равной вероятностью, может быть, и понедельник, и вторник, и среда, и так далее. До воскресенья. Вот 1, 7, да? Ну вот меня интересует событие. А что вам нужно на пары?

107: Да, понятно. Ну то есть можно считать, что у нас модель такая, она состоит из 14 исходов, и они у вас делятся по дням недели, потому что вам нужно пара или не нужно.

108: Понятно, да, пространство омега. Ну и вот я хочу найти, значит, вероятность события. А, ну здесь вот такой трюк можно сделать. Вот у меня есть омега, да, все пространство.

109: Давайте нарежем его на какие-нибудь куски бэ итые нарежем, что я имею ввиду. Вот омегу представим в виде дизъюнктов объединения битых. Н вот оно может быть конечным или счётным. Давайте здесь счётное напишу 1 раз дальше.

110: Уточнять не буду. Нарежем его на какие-нибудь полоски битые. И меня интересует вероятность события. А, да. Ну вот, иногда удобно найти вероятность события. А по

111: Тивности, сложив вероятность вот этих вот маленьких кусочков.

112: Ну вот как, например, в нашей ситуации, вот я хочу, что битое, это был итый день недели.

113: Вот такие события хочу рассмотреть.

114: Понятно, да, то есть у меня будет событие, что сейчас понедельник, что сейчас вторник, ну и так далее. Да, понятно.

115: Ну вот я говорю, что у меня вероятность события, а это вот такая сумма, пои, от 1 до 7 до 7. Ну чего вот вероятностей, а в пересечении с битым, да?

116: Что, что при условии не, нет, именно пересечение. То есть вот я взял, а нарезал на вот эти вот маленькие дольки и просто считаю вероятность всего события как вероятность, как сумму вероятности вот этих маленьких долек Доль.

117: Итак, печени сбытом.

118: Да, это просто аддиктивного тности, но вот дальше вы правы, что нужно вот эту вероятность как-то преобразовать, да, вот мы про вероятность пересечения ничего не знаем. Ну а что мы знаем? Мы знаем, что эта сумма

119: Все тоже самое сумма, но вероятность пересечения по формуле условной вероятности, чему равна вероятность, а при условии битое на вероятность битого.

120: Да я просто перенёс знаменатели из дроби, вынес ничего сложного, да?

121: Ну, а эту сумму мы знаем, вот тут осталось понять, что вот эти все числа нам уже сказали, вот, что такие вот эти вот 3, четвёртые, ну это как раз условные вероятности, да, то есть вот 3, четвёртые это вероятность, что нам нужно на пары.

122: При условии, что сейчас понедельник, это тоже самое, что вероятность того, что нам нужно на пары при условии вторника, ну, в общем, и так далее. Вот ещё среда и четверг, да, что такое 1, 2, это вероятность того, что нам нужно на пары. При условии, что сейчас пятница 0.

123: Условная вероятность при условии то, что сейчас суббота, да, а что такое вот вероятность битого? Ну, нам сказали, все дни равновероятны. То есть, вот вероятности всех битых 1 7

124: Чем отличается, что сегодня идти на пары? При том, что понедельник от того, что сегодня понедельник, ну, это совершенно разные вещи, когда мы говорим, что нам и то, и другое, это вероятность пересечения, да.

125: То есть надо найти меньшую вероятность меньшего события. А когда мы говорим условно вероятность, то это принципиально другой объект. То есть мы строим как бы новую вероятность, когда у нас б становится вот омегой,

126: То есть мы теперь выкидываем все остальные элементарные исходы, говорим, что у нас b это наша новая омега, и все вероятности пересчитываем.

127: Ну то есть мы как бы меняем модель, по сути, вообще модель меняем.

128: Это вот условная вероятность.

129: Да, понятно.

130: Ну, по формулам вот как они отличаются. То есть у нас вероятность пересечения всегда строго меньше, а условная, ну, тут непонятно, как могла поменяться.

131: Ну все. То есть здесь вот получается, что что

132: Да не строго меньше.

133: Ну, в общем, здесь что получается? 1 7. И тут дальше надо 4 раза взять 3/4 + 1 раз взять 1, 2, ещё 00. В общем, тут вот если все числа подставить, получится 1, 2. Ну то есть дальше вы просыпаетесь, понимаете, что вам все равно непонятно встават.

134: Не вставать на пары, как бы можно встать можно не встать. Ситуация особо не поменяется. Да, понятно. Вот, ну вот это вот то, что мы сейчас тут с вами вывели, вот это вот равенство, то есть равенство пэ, а и вот этой штуки называется формула по

135: Полной вероятности. Ну вот её обычно в фпв сокращают.

136: Понятно, да.

137: Да, ну тут вот ещё раз возник вопрос про условную вероятность, чем она отличается от вероятности пересечения? Ну, вероятность пересечения это просто вероятность вот 2 событий, там, она не особо интересная, а условная вероятность, она, по сути, тоже является вероятностью.

138: То есть, если вы бэ зафиксируете, и вот при фиксированном бэ рассмотрите вот такое вот, ну вот эту вот вероятность, как функцию от, а то она тоже будет вероятностью. То есть она тоже будет принимать значение от нуля до единицы тоже.

139: Будет сигма аитивные все эти основные свойства для неё тоже будут выполнены. Понятно, да, то есть мы как бы меняем модель, но вот фишка в том, что мы это делаем неявно. То есть на самом деле мы все ещё остаёмся в нашей старой омеге. Это упрощает все вычислении.

140: Ну вот, у меня было событие, а?

141: Вот, вот это вот мне событие. А это вот вся омега, вот я омегу, разбил на 2 события, да, омега разбилась на вот такое событие и на вот такое событие.

142: Не, ну вот просто вот факт, да, я возьму, а представлю его, как, а, в пересечении с бэ, 1, как, а, в пересечении с бэ, 2, ну и вот здесь вот поставлю дизъюнктные объединение, да, это просто теоретика множественная сейчас операция.

143: Вот. Дальше навешиваем на неё вероятность, получаем сумму. Вот вероятность а равна сумме вероятности пересечений. Это вот то, что тут написано. То есть это просто теоретико множественная штука, а условная вероятность это уже другой объект.

144: Ну хорошо, а давайте теперь представим другую ситуацию. Продолжим вот этот наш пример.

145: Вот представьте, что все-таки оказалось, что вам нужно было на пары. Ну вот вы не пошли, а там вам друзья в telegram, ну или там, чем вы сейчас пользуетесь. Пишут, что, ну все-таки ты зря не пришёл, там контрольную пропустил. Вот.

146: Вы понимаете, что, ну ладно, бывает, да, потом напишите, но вы все ещё не поняли, че сейчас за день недели, а вам нужно как бы это понять. Ну, там, например, для того, чтобы понять, нужно ли вам все-таки идти дальше на остальные пары, да, то есть вот мы, мы теперь

147: Знаем, что произошло, а?

148: То есть, вот нам надо было на пару, да, мы не пошли, но надо было, а хотим понять, че ещё за день недели. То есть вот я теперь хочу найти вероятность вот битого. Ну, при условии, что произошло. А, да.

149: Ну, например, давайте для определённости будем считать, что вот я зафиксировал и, б, и это четверг.

150: Да, сегодня же четверг, че то я сам забыл. Ну, короче, вероятность битого будем искать. Вот я хочу её найти. А знаем мы все тоже самое. Вот вероятности битых знаем и вероятность, а при условии битого тоже знаем, да.

151: Понятно. Ну, даже вероятность. А мы уже нашли, ну, как здесь идти? Ну, здесь, на самом деле, только 1 путь. Мы знаем определение условной вероятности. Ну, давайте его запишем. Это вероятность пересечения поделить на вероя.

152: Вероятность, а?

153: Да, ну что делать с вероятностью пересечения? Мы же её не знаем, но мы с вами вот там все эти вероятности пересечения уже раскрыли, это вероятность, а при условии битое поделить. Ну точнее, извините, умножить на вероятность.

154: Правильно. Да, да, да. Умножение вероятности это как, как пересечение.

155: Ну, тут надо поделить на вероятность, а сейчас, ну, я вот для красоты напишу там формулу полной вероятности.

156: То здесь будет сумма, там по всем жи вероятности, а при условии бэ житое на вероятность бэ житого, да.

157: Ну вот такая штука получается.

158: Ну вот то, что мы сейчас вывели, это называется формула Байса.

159: Формула Байса. Ну в чем смысл? Ну давайте подставим тут конкретные там четверг, да, вот вероятность того, что у нас четверг при условии, а, ну что это получилось? Нужно подставить вот эту вероятность.

160: Да, конкретно для четверга. Че у нас там было у четверга? 3/4, да.

161: 3/4 на 1 7 и поделить на 1 2. Вот так получается, да? То есть 3/2 на 7. Вот 3/14 получилось правильно?

162: Да че, че то мне не нравится ответ.

163: Не, ну ладно, нормально. 3/14, да? Ну вот что это означает? Вот у нас вероятность изначально четверга была чему равна? Да, была 1 7, ну, то есть, как бы, 2/14, да, была 2 че.

164: 14, а стало 3/14. То есть вот у нас вероятность четверга возросла. Ну почему она возросла? Ну, потому что мы поняли, что нужно было идти на пары, а в четверг вероятность идти на пары высока, да? Ну вот она возросла. Ну, понятно, что

165: У нас вероятности понедельника, вторника и среды тоже вот так вот возрастут, да, будут 3/14. Вероятность пятницы, на самом деле, вроде бы так.

166: Останется 1, 2, если подставить все чиселки, посчитать, ну а чему будут равны вероятности выходных?

167: Ну, конечно, да. То есть нам сказали, что нужно было идти на пары. Ну, значит, час точно не выходной. Ну, вот если мы вот прям в эту формулу подставим, тут будет 0, поэтому условная вероятность станет 0.

168: То есть у каких-то дней вероятность увеличилась, у каких-то уменьшилась.

169: Что, что? Пятницы? 1 7. Ой, ой, ой, да, спасибо, спасибо. Это я, конечно. Да, она не поменялась. 1 7. Да, спасибо.

170: Ну, то есть в чем смысл? Формулы баеса? Смысл в следующем, вот у вас были известны вероятности битых, да, вот, вот они были известны до того, как все

171: Произошло. Вот они в этой теории называются априорные вероятности.

172: Ну, знаете, да, такое слово априори, как бы, до, до всего. Вот было известно вот это. А потом нам сказали, что теперь произошло событие, а

173: Вот оно произошло, и вы все ваши априорные вероятности можете пересчитать. Ну то есть уточнить с учётом новых полученных данных. Ну вот вы получите так называемые апостериорные вероятности.

174: Будь здоров, да, апостериори это вот как бы после, после всего вот этого.

175: Да, вот эта терминология понятна. То есть формула Байса, она вам позволяет переуточнить вот все ваши априорные вероятности, которые были известны.

176: Ну и здесь вот у неё вид такой хороший, ну почему это так? Да, вот, вот у нас вероятность каждого битого, это вот, по сути, вероятность, условия. А вот в знаменателе, что стоит общая нормировка, да, то есть когда мы все их снова сложим, мы получим

177: Снова единица. Ну это вот как раз то, о чем я говорил, что у вас при фиксированном событии, а условная вероятность это просто вероятность.

178: Да вот в этом смысле ничего не поменялось.

179: Ну, бейсовский подход, он очень популярен в статистике и там в машинном обучении, поэтому и про это вам расскажут. Ну, через год, наверное.

180: Ну вот в теории вероятности такой вот в дискретной есть ещё 1 довольно популярная формула, тоже довольно удобная.

181: Давайте другую модель рассмотрим. Хватит со днями недели. Вот представьте, что. Ну вот давайте 2.

182: Что вот в очереди стоит н человек.

183: Да, это не просто очередь, это студенты стоят тянуть билет, вот там and человек, and билетов на экзамен, и из них 1, ну там плохой билет. Ну, в общем то, можно считать, что экзамен.

184: Хороший, да, если у вас всего лишь 1 билет плохой из, но, ну да, конечно, смотря какой, н, 1 плохой из них, я имею ввиду. То есть у вас n человек and билетов, экзаменатор все так рассчитал идеально. То есть вот

185: Стоит 1, 2, 3 и так далее. Энный. И вот там вот. And, конечно, да, вот стол тут, значит, лежат билеты.

186: Там 1 плохой, а вы стоите в очереди к атом.

187: И вот, ну, наша цель понять, каким по номеру нужно вставать, чтобы минимизировать вероятность плохого, да, то есть вероятность того, что мы вытянем плохой билет.

188: Да, понятно. Ну, до того, как мы встали в очередь, какое бы место мы не встали, была вероятность 1. М, да, конечно, давайте сейчас это выведем. То есть, вот я хочу найти вероятность того, что мы вытянем плохой билет. Ну вот я считаю, что мы зафиксировал.

189: Что мы катом стоим в очереди, да? Ну вот как, как найти эту вероятность? Ну что значит, что мы вытянули плохой? Ну вот давайте все-таки обозначим вот какие-то события. Вот, а итое будет что итый.

190: Вытянул плохой.

191: Да, и ты вытянул плохой. Ну вот, значит, вероятность плохой. Я имею ввиду вероятность акатово, да, вот что катый человек вытянет плохой билет. Понятно, что эти события, они там как-то сложно друг с дружкой связаны.

192: Да, то есть если аито произошло, то все остальные не произошли.

193: Вот нас интересует вероятность Акатова. Ну, из чего складывается эта вероятность Акатова? Ну, сначала 1 не должен вытянуть плохой, да?

194: Да, поэтому вот тут вот дополнение, да, он не вытянул плохой, потом ещё вот 2 должен не вытянуть плохой, потом 3, ну и так далее, до ак минус 1. И вот потом только к

195: Вытягивает плохой. Да почему умножить, почему не при условии, почему я окапываю, что 1 не вычитул, что 2 не вычитал, что 3 не высчитал и так далее.

196: Ну а почему при условии? Ну, то есть я просто добавил дополнение аит ых, да, и это не поменяло всю мою вероятность. Ну, в смысле, это не поменяло само событие, это сумма невероятностей. Вот сейчас написано, это написано сумма.

197: Событий в смысле равенство событий.

198: Вот акато, оно вложено во все вот эти вот дополнения, да, поэтому, ну, можно с ними попересекать.

199: Все равно останется оката.

200: Понятно, да.

201: Ну а дальше, да, дальше мы, конечно, будем использовать условную вероятность.

202: Вот как мы будем использовать? Ну, мы скажем, что давайте напишем. Хорошо, что вот вероятность того, что, a1 не вытащил плохой билет, да.

203: 1, 1 вытащил хороший билет. Ну, теперь нам нужно посокращать вот эти все вероятности. То есть я скажу, а теперь давайте найдём вероятность того, что 2 вытянул хороший билет. Но вот при условии, что мы знаем, что 1 вытянул хороший

204: Билет, а дальше мы напишем вероятность того, что 3 вытянул плохой билет. Ну вот при условии, что мы знаем, что первые 2 уже вытянули хороший билет, ну и так далее. Вот, и так далее. Будет до какого события? Ну вот с

205: У aka минус 1 ещё все будет хорошо, да?

206: И вот последние, это вот мы, вот у нас все плохо. Вероятность Акатова при условии, что вот до него все предыдущие тянули хорошие билеты.

207: Вот это вот равенство. Понятно, как получается.

208: Нужно просто все условные вероятности раскрыть, да, просто по определению раскрываем. И у вас все слагаемые тут сокращаются, кроме последнего. То есть вот, a1 сократится вот здесь о 1 в знаменателе, да, потом

209: Здесь будет стоять в числителе, a1, a2, оно сократится вот с этим r 1 и 2 потом вот здесь, в числителе будет, a1, 2, 3, оно сократится, знаменатель вот следующей условной вероятности, ну и так далее. Вот они все сокращаются, но до какого?

210: Момента. Ну вот здесь вот в числителе будет стоять пересечение всех вот этих дополнений. Вот оно тут в знаменатель уйдёт и что останется вот здесь, в числителе останется вот то, что мы изначально написали. Понятно, да, то есть мы тут много, много, много дробей понаписали вот к этой

211: Вероятность. Они все посокращались.

212: Ну вот, оказывается, что

213: Вот эту штуку уже просто посчитать, да, вот если конкретно наши числа подставить, то чему равна вероятность того, что 1 вытащит хороший билет. Ну давайте вот отсюда начну писать. Ну, это and - 1 энная, да, у него перед ним

214: Столе лежит n билетов из них and - 1 хороший, чему равна вот эта условная вероятность, ну a2 должен вытянуть хороший билет, а мы знаем, что a1 вытянул тоже хороший, то есть хороших, хороших билет.

215: Осталось n - 1, но а нам нужно вытянуть эн - 2, а любой из этих вот and - 2 подходит, ну и так далее. То есть дальше тут будет and - 3 минус вторых и так далее.

216: Вот до последнего нашего товарища, да, а в конце в самом вероятность.

217: Акатов, при условии, что все предыдущие вытянули хороший билет. Вот как её найти? Ну сколько тут лежит билетов всего? Ну, н, минус-ка + 1, да.

218: And минус-ка + 1 built лежит и из них 1 плохой, ну и вот здесь вот ока последняя 1 единичка.

219: Да, ну и дальше вот так вот по диагональке они снова сокращаются. Остаётся 1 энная.

220: Как вы и говорили.

221: Да, то есть неважно, каким стоять в очереди. Экзамен всегда честный, но для всех по разному. Ну вот это вот то, что мы тут написали, это формула полной вероятности.

222: Ой, извините, извините, это формула, я оговорился, это формула умножения вероятности называется.

223: Ну, если её вот не в терминах вот этих вероятностей, там, событий, пересечений, дополнений, выписывать, то она очень просто выглядит. Вероятность пересечения событий 1 а, and равна вероятности, a1 на вероятность, a2 при условии, a1.

224: Вероятность, a3 при условии a1 a2.

225: И так далее, и в конце будет вероятность а. Энного при условии пересечения всех остальных.

226: Ну, по сути, мы с вами его уже доказали.

227: В общем виде она вот так выглядит. Очень удобная формула, когда у вас вот последовательность каких-то событий происходит как бы вот в вашей модели.

228: Да, понятно.

229: Ну, сейчас в этой формуле, именно если мы поменяем порядок вдруг переменных там не 1 и так далее, там and 1, или там по другому порядку, то там все ещё будет один и тот же результат, да? Ну, конечно, мы g1 и ту же вероятность считаем. Ну да, ну, поэтому, да, будет в правой части уравнения, будет что-то.

230: Ну да, это такая магия, тут можно переставить эти ашки. Результат не поменяется, если их правильно переставить.

231: Главное, нужно выбрать порядок, в котором мы их перечисляем. Ну то есть будет какое-то строгое доказательство факта или нет. Ну, сейчас строгое доказательство, вот такое, что вот это все всегда равно вот такой вероятности пересечения, а пересечение коммутатив

232: Ну да, ну вот с формулами дискретной теории вероятности, наверное, все. То есть вот это вот 3 основные, но

233: У событий есть ещё такое важное свойство.

234: Ну, это то, что отличает теорию вероятности от математического анализа. Вот, вы потом узнаете, что, ну, вероятность это, по сути, мера, ну, то есть, как бы, аналог, аналог площади, ну, и вот в математическом анализе это все тоже иссле.

235: Вводят вот эти вот меры, какие-то сложные, их исследуют. А в чем разница с дискретной теорией вероятности вообще с теорией вероятностей? Разница в том, что у вероятности есть ещё такое понятие, как независимость событий.

236: Ну, это вот то, что отличает теорию вероятности просто от математического анализа, от функционального анализа.

237: Ну, давайте тоже сначала неформально. Вот как понять, что событие, а не зависит от б.

238: Ну, наверное, логично так сказать, что вот у нас была вероятность события, а потом нам сказали, что произошло событие б, и это на событие, а никак не повлияло, да, получилось равенство.

239: Но такое определение не любят, потому что оно, во первых, несимметричное. Во вторых, там вот нужно раскрывать этот 0 на 0. Давайте вот тут вот вспомним, что такое условная вероятность, это вероятность пересечения, поделить на вероятность условия, да.

240: Ну вот мы вот это равенство написали, как бы хотели сделать его определением. Но давайте теперь вот вероятность б перенесём, перенесём в числитель. Ну, получится вот такое равенство, вероятность. А на вероятность бэ равна вероятности. А

241: Ну вот уже получилась симметричная формула, и вот её берут за определение. То есть вот это означает, что события, а, и бэ, независимы. Причём тут видно, что если, а от бэ не зависит, то и бэ, от а не зависит, да, то есть независимость это такая симметричная штука. Ну, иногда

242: Вот так обозначают такое двойное перпендикулярное

243: Ну почему так это мы на следующей лекции поймём.

244: Ну давайте какие-нибудь примеры, примеры независимых событий можете привести.

245: Да выпадает что-то кратно 3 или кратно 2 в смысле на кубики.

246: Да, значит событие, что делится на 3, да и событие, что

247: Делится на 2. Вероятность кратного 3. 1 3. Да, здесь 1, 2, в произведении 1, 6. И получается как раз только вероятность грани 6. Понятно? Да. Ну, ещё более простой пример. Это выброси.

248: 2 монетки и монетка у вас честная. И вы смотрите вероятность того, что у вас 1 раз выпал Орёл и что 2 раз выпал Орёл. Ну понятно, что эти 2 броска независимы. Да, хорошо. Ну вот я вообще такой люблю задавать вопросы. Представьт.

249: Что? Ну вот у нас омега, вот событие, а, и вот событие б, то есть они не пересекаются, они независимые необязательно.

250: Ну да, правильно. То есть они, скорее всего, даже зависимые. То есть, если событие а произошло, то б точно не произошло, да, то есть вероятность пересечения, она точно равна нулю.

251: Поэтому, когда эти события будут независимы, но только когда 1 из них в принципе имело нулевую вероятность. Да, понятно.

252: А это вот такое замечание, но довольно очевидное, что если у вас 1 из событий имеет вероятность 0 или 1, то оно со всеми остальными, независимо никак вероятность не повлияет, не поменяется.

253: Вот. Ну.

254: Представьте, что у вас событий теперь не 2, а много. Ну, обычно у нас все-таки несколько событий, да, редко, когда мы прям 2 рассматриваем, вот как бы обобщить понятие независимости на случай нескольких событий.

255: Ну, тут есть 2 пути.

256: 1 путь.

257: Давайте пока считать, что у нас конечное число событий 1 путь это попарная независимость.

258: Да, то есть просто берём любые 2 события, вот они оказываются независимы вместе. Ну, довольно естественная такая штука, но вот оказывается, что на практике нам этого может не хватить, потому что нам, например, будут интересовать какие-нибудь вероятности пересече.

259: Там 3 событий, да, и вот если мы знаем, что события, независимо попарно, а будет ли там оттуда следовать, что для 3 событий вероятности тоже распадутся в пересечении, ну, там произведён

260: Вероятности будут или не будут непонятно. Ну да, на самом деле не всегда.

261: Ну и вот такая вот 2 независимость называется независимость в совокупности. То есть они в совокупности друг от дружки не зависят.

262: Ну, формально она форму говорится так, что вам нужно взять любое семейство индексов там и 1 меньше, и 2 меньше, чем и kato.

263: Рассмотреть вероятность пересечения вот этих конкретных событий i 1 и так далее i cato и вот оно распадётся в произведение вероятности вот этих событий.

264: То есть какие бы события вы из совокупности не взяли, вероятность их пересечения равна произведению их вероятностей.

265: Вот это определение, оно никак не упрощается. То есть недостаточно проверить, скажем, только для всех индексов взять. И 1, это 1 и энное, это and недостаточно.

266: Вот, ну и понятно, что справа налево есть такое следствие, да, то есть независимость совокупности, она сильнее.

267: Чем независимость попарная? Ну, потому что вы всегда здесь можете взять 2 индекса. Вот получится обычная попарная независимость. Да? Ну, давайте посмотрим, что бывает.

268: Что есть независимость попарная, а в совокупности нет.

269: Ну вот вы 1 пример на семинаре посмотрите, или, может быть, уже посмотрели?

270: Да, у кого-то был, да, сегодня семинар. Нет, не было. Ещё будет, было у половины только. Ну вот, да, у половины был. Ну, в общем, классический пример такой, это называется тетрайдер.

271: Тайны.

272: Ну, фамилию то, в общем то, можно не запоминать. Смысл в следующем. Вот представьте, что у вас такой четырехгранный кубик. Ну, кто в динди играл, те видели, да, и вот у нас

273: У нас вершины покрашены в 3 цвета. Вот тут главное не запутаться. У нас есть вершина красного цвета, зелёного цвета, синего цвета. А вот эта вершина, она трехцветная, то есть она всех 3 цветов сразу

274: В смысле, 3 красный, 3 зелёный или как белый. Просто мы считаем, что вот, да, вот она как бы белый спектр, вот когда она выпала, мы считаем, что можно сказать, что и красный выпал, что зелёный, что синий, и именно, и, а не, и да.

275: Это какие-то тонкости грамматики уже начались, только 1 из 2 вариантов. Как мы видим, так, квантовая вершина, что на, короче, вот, вот, если вот так вот выпал кубик, вот как я сейчас сказал, да, то если меня спросят, выпал красный, я скажу, да, если меня

276: Спросят, а выпал зелёный? Я тоже скажу, да, окей. Вот понятно. Да, и вот нас интересуют вот такие события, значит, ну, давайте я не буду абц писать событие, что выпала красная вершина, Зелёная и синяя. То есть вот событие, что выпала красная вершина, это

277: Вот событие, что выпала Зелёная вершина. Вот, ну, событие, что выпала синяя вершина. Вот понятно.

278: Я считаю, что все вершины равновероятны. Это честный тут райдер симметричный. Ну, давайте проверим, что они попарно действительно независимы. Ну, у меня ситуация симметричная, достаточно там для 2 проверить вероятность каждого.

279: Цвета 1, 2, правильно?

280: Ну, потому что 2 из 4 варианта должны произойти. Чему равна вероятность пересечения? Ну, 1, 4, да, вероятность того, что выпало одновременно красное и зелёное, это вот сразу вероятность только вот этой вершины.

281: У меня только 1 есть исход, когда выпадают 2 цвета сразу. Ну, отсюда видно, что вот 1, 2 на 1, 2, это 1 4, да, то есть все вершины, вот эти все события, они попарно независимы.

282: Мы делаем предположение, что просто проведение так получилось или нет. Вот мы посчитали, вот мы только что посчитали, вот вероятность того, что красная 1, 2 вероятность того, что Зелёная 1, 2 вероятность того, что и красный Зелёная 1 4.

283: Все, ну, 1 4, 1, 2, 1, 2, значит, красная, Зелёная. Независимы. Ну, погоди, ну, раз из чего, раз эта формула верна, следует из того, что они независимы. Разве там не наоборот? Не мы подтвердили, что это только когда вот 3 выпадае.

284: Фактически вот мы вот эту формулу проверили, это определение независимости, а если это определение, то окей. Да, да, да. Вот это определение независимости 2 событий. Красный и зелёный независимы, ну, аналогично зелёный и синий независимы, потому что ситуация тут симметричная, и kra.

285: Синий тоже независимы. То есть вот эти 3 события, они попарно независимы.

286: Попарно независимы, то есть любую пару событий берете, они независимы в совокупности, они, очевидно, зависимые, ну, точнее, правильно сказать, не независимые, потому что вероятность того, что выпало, и красный, зелёный, и синий, это снова 1 четвер.

287: 4. А должна была быть 1 8, если бы они были независимы в совокупности, да? Ну вот, вот это самый простой пример.

288: Аналогично. Можно построить кучу разных примеров, когда у вас, скажем, там для 3 событий вот это равенство выполнено, а при этом попарной независимости нет. То есть вот тут недостаточно чего-то другого требовать.

289: Ну, вообще, да, вообще, да, я имею ввиду, что представьте, что вот у вас есть 3 события и может так получиться, что, наоборот, для 3 событий вероятность пересечения распалась в произведении.

290: А для 2 не распадается, то есть что-то там нарушается.

291: Ну, эти примеры все строятся аналогично.

292: События независимы. Не, ну если не брать формулу, разве они независимы при условии, что их множество, множество пересечений, элементарных исходов нет, нет, наоборот, если у них, если они не пересекаются, то они зависимы как раз.

293: Ну вот это то, что вот я рисовал, вот тут вот 2 события не пересекаются, да?

294: Значит, они, скорее всего, зависимы, потому что вероятность пересечения это вероятность пустого множества, это 0.

295: Ты знаешь, что произошло? 1 то знает, что не произошло другое. Да, то есть для независимости нужно, чтобы вот 0 оказался равен произведению вероятностей пэ. А на пэ бэ. Ну, скорее всего, это не 0, если они у вас положительные вероятности.

296: Узнав, что произошло, да, вот как бы в формуле Байса, да, в формуле Байса перерасчёт ничего не даст, а постериора вероятность равна априорной. Значит, мы, независимо от того, что там произошло. Ну вот.

297: Мы считали вероятность, что сегодня четверг, да, ну, предскажем, там нам сказали, что, а сегодня в Сантьяго идёт дождь. Ну, вероятность того, что сегодня четверг не поменяется от этого, эти события независимы.

298: Понятно. Да. Вот додумаю это в субботу ночью, перед сном. Ну, в субботу. Так в субботу можно и в пятницу. А, в общем, самый классический.

299: Пример самый классический пример схемы независимых событий.

300: Это схема испытаний бернулли.

301: Ну, смысл неформальный в следующем очень простой. Вот есть монетка, но она несимметричная, у неё там Орёл выпадает с вероятностью пэ решка с вероятностью 1 минус пэ. То есть вот пэ это вероятность 1 из граней.

302: И вы её подбрасываете много, много, много раз.

303: Ну, допустим, n раз подбрасываем.

304: Значит, вот множество элементарных исходов у меня будет, что это множество последовательностей из нуля единиц, да, вот 0 1 в энной степени. То есть я подбрасывал монетку, у меня там выпадали орлы или решки, я записал.

305: Исходы экспериментов. Вот я ещё раз, я считаю, что у меня единица соответствует вероятности пэ 0 вероятности. 1 минус пэ.

306: Ну вот я хочу в этой модели теперь задать вероятность каждой омеги. Понятно, что если я задам вероятность каждой омеги, то я задам и вероятности всех исходов, да?

307: Ну вот если мы предположим, что наоборот, вот мы такую модель построили с независимыми монетками, с независимыми бросками, то как найти вероятность омеги? Ну, мне нужно сказать, что вот каждый

308: Нолик даёт вероятность 1 минус пэ, а каждая единичка даёт вероятность пэ, и я их все перемножаю, потому что они у меня независимые, эти броски, да?

309: Ну, то есть, получается, что я пэ, перемножу сколько раз. Ну, вот сколько у меня в омеге единиц? Ну, формально это просто вот сумма омега итых, да, омега, это у меня картёж. А сколько у меня будет раз встречаться? 1 минус пэ, ну вот сколь

310: Сколько тут нулей. Ну это вот все, что осталось n минус сумма мегабитах.

311: Да, понятно.

312: Ну вот это вот определение омики получается. То есть тут мы сначала построили формальную модель, вот такую вот так вот задали вероятность Омик.

313: Ну вот, теперь я утверждаю, что у меня все броски независимы в совокупности.

314: Ну то есть, если я посмотрю вот такие вот события,

315: Что омега 1 равно, a1 омега, 2 равно, a2, ну и так далее, омега энное.

316: Равно, а энное вот для любого конкретного зафиксированного, а из 0 1 в степени n, то вот эти вот события будут независимы в совокупности.

317: Ну, обычно совокупность опускают по умолчанию, всегда совокупность подразумевается.

318: Вот это понятно вообще, что здесь написано, да, то есть вот что значит, что omega. 2 равно. A2, что это за событие? Ну это событие, которое состоит из всех Омик таких, что вот у них 2 координата равна. A2 давайте не буду писать черту. Это вот не условие никакое, а просто вот омеги.

319: Такие выбираются. Понятно, да.

320: Ну, как это утверждение проверять, я думаю, понятно, да, то есть нужно взять произвольные аиты, зафиксировать. И вот по определению проверить, что у вас вероятность распадётся в произведении. Нужно это проделывать или нет. Ну, там

321: Что верим, это очень простая комбинаторика. Суммы надо раскидать. Давайте проверим, давайте проверим.

322: Ну вот, давайте, значит, ашки у меня зафиксированные, да, вот я теперь беру, фиксирую любые индексы и 1, и так далее, и m, да, вот, и 1, и так далее, и m зафиксировали произвол.

323: Вот, что мне теперь нужно проверить. Мне нужно проверить, что вероятность вот такого события, что омега и 1 равно, а, и 1, и так далее. Омега и энное равно, а, и

324: Вот такая вот вероятность равна произведению вот этих вот вероятностей, что омега и житое равно, а, и житом вот жи от 1 до n, да.

325: Вот это нужно проверить. Ну, понятно, что мне здесь достаточно найти вот такую вот вероятность для произвольного. Эм, тогда я и вот такие найду вероятности. Это частный случай просто при, м, равной единице, да, вот, ну, давайте искать.

326: Вот эти вероятности, но как найти вероятность вот такого вот события? То есть у меня вот эти омеги и первые, и так далее, и энные, зафиксированные, да? Ну а все остальные могут быть любыми

327: Да, то есть, ну вот здесь давайте я вот 1 раз напишу такую сумму. То есть здесь вот стоит сумма по всем омегам вот таким, что у них омега и житые равны, а и житым для всех жи от 1

328: Оддо н да, то есть все омики, которые удовлетворяют вот этому условию. Вот тут я по ним суммирую просто их вероятности, да.

329: Вот. Ну а теперь надо понять, что это за вероятности. То есть вот здесь вот сумма по тем же самым омегам.

330: Давайте найдём их вероятности.

331: Tip 1, другое типа 2 в степени станет там не 2 в степени будет.

332: Ну вот, вот у меня есть эксперименты вот эти вот 1, 2, 3 и так далее. And да, вот мы какие-то зафиксировали это вот, и 1, и 2, и так далее, и энное, да, вот мы их зафиксировали, и тут мы зафиксировали, что вот тут стоит, скажем,

333: 0 1, 1. Ну вот и так далее, да, то есть это вот ашки я тут написал. Ну, значит.

334: Да, количество исходов действительно такое осталось, но тут то могут быть нули единицы, они у нас с равными, с разными вероятностями, да.

335: I от 1 до эм пэ в степени y на 1 минус пэ в степени m минус i и эта сумма будет вероятности ну вот, ну да, вот что-то похожее давайте вот введём такой.

336: Обозначение просто для удобства. Вот-ка я обозначу количество, количество единиц в моём наборе ашек, да, сумма по всем. А ижим

337: То есть у меня ашек всего м штук, и из них-ка единиц, соответственно, m минус-ка нулей, да? Ну вот теперь, когда я суммирую по всем вот таким омегам, у которых омега итое житое равно аитом, житом.

338: Ну что здесь вылезает, здесь вылезает вот пэ в степени k 1 минус пэ в степени n минус k для каждой пэшки вот отсюда, из фиксированных, да.

339: Ну и можно я вот сейчас так вот не совсем формально напишу? Нужно ещё домножить на вероятность вот того, что осталось.

340: Что осталось? Это вот я зафиксировал ломиги, вот тут у неё тоже какие-то нули единицы есть, да, и вот их тоже нужно учесть в этой сумме.

341: Ну вот понятно, что вот эту сумму, чтобы её нормально посчитать, нужно просто переписать по другому.

342: То есть вот давайте скажем, что мы здесь с вами вот, ну вот эти омики просто явно перечислим, да, у нас ашки фиксированные.

343: А мы теперь суммируем по, ну, каким-то бэшкам из 0 1 в степени, ну сколько у меня осталось координат нефиксированных, мы, м, зафиксировали, осталось н минус.

344: Да, вот мы фиксируем н минус m, правильно вот суммируем по всем таким бэшкам. Ну вот у меня там теперь получится п в степени к 1 минус п в степени.

345: М. Минус к на п в степени.

346: Сумма бэшек на 1 минус пэ в степени. Сколько здесь вот

347: Да and минус m минус сумма битых.

348: Ну вот такая замечательная штука получается, да?

349: Ну вот, вот это слагаемое оно.

350: Вот оно не зависит от б, его можно вынести наружу, да а?

351: А что внутри осталось? А внутри осталась сумма по всем вот таким вот кортежам длины n минус m. Да, и мы суммируем, какие слагаемые пэ в степени вот количество единиц 1 минус пэ в степени количество нулей.

352: Ну, то есть мы просто суммируем полную вероятность, но в схеме вернули с and минус m испытаниями, но это все суммируется в единицу. То есть, ну, здесь, по сути, стоит просто бином ньютона, да, вот здесь вот эта

353: Сумма, по сути, это пэ + 1 минус пэ в степени n минус м.

354: Все, вот получился вот такой ответ. П в степени к 1 минус п в степени м минус к.

355: Да.

356: Если мы с вами не обсчитались, это мы нашли вот эту вот вероятность.

357: Да, то есть мы зафиксировали вот какие-то координаты там к штук единиц и м минус к штук нулей вот её вероятность это пэ на 1 минус PPVSTEPENEK1 минус пэ в степени m минус-ка.

358: Ну а теперь чему равна вот эта вероятность? Ну а здесь мы каждый раз фиксируем только 1 координату. То есть вот у нас вот этот случай, когда, эмм, равно единице, а к это либо 0, либо 1.

359: Ну то есть вот здесь вот мы фиксируем каждый раз либо 0, либо 1, то есть у нас здесь вылезает либо пэ, либо 1 минус пэ каждый раз, сколько пэшек вылезет, ка штук, сколько 1 минус пэшек вылезет ну вот, все, что осталось 7 minutes ка, ну все.

360: Значит, мы доказали равенство. Это понятно, да?

361: Ну да, то есть вот эту сумму нужно перегруппировать. То есть мы здесь суммируем по кортежам, да, а тут давайте скажем, что мы суммируем по кортежам, где там и нули, и единиц, и там, and минус m, минус, и нули.

362: И там как раз вылезет цэ из эн по эм, вот, вот я хочу сказать, что вот такая сумма, по бэ, это 0 1 в степени, давайте я тут эль напишу.

363: Что, что, что коэффициент находится внутри суммы просто, да? Ну во первых, вот эта штука, это просто сумма вероятностей в схеме испытания бернулий, она в единицу суммируется просто как сумма вероятности.

364: Ну а почему она суммируется в единицу? Ну, потому что давайте тут скажем, что мы дополнительно фиксируем там and большое от нуля до эль, а здесь вот суммируем по всем бэшкам таким, что сумма битых равна конкретно n большому. Ну, тогда

365: Что здесь получится? Ну, здесь вот эти вот суммы все ещё останутся, и в итоге получится сумма по n, от нуля до эль ц, из эль по and большому пэ в степени n 1 минус пэ в степени эль минус n. Вот.

366: Получился бином ньютона. То есть просто вот эти суммы нужно разбить. Сначала суммируем все, у которых сумма координат 0, потом все, у которых сумма координат 1 и так далее. Ну вот у вас бином ньютона и получается

367: Ну ладно, да у нас же все это в рамках отч. Вот мы немножко тч. Позанимались, да, какие молодцы.

368: Понятно. Здесь. То есть это вот формальная модель, ну, на экзамене вот вас точно кто-нибудь спросит, как строится эта формальная модель, как это все доказывать? Математики любят формальную модель. Да, это будет в рамках ктч все эти билеты.

369: Не волнуйтесь, тут пока что все простое было, да, дальше будет ещё проще, а потом ещё сложнее.

370: Так, вот, здесь все понятно, да?

371: Ну вот смотрите, у нас вот здесь вот сейчас вылезло такое вот обозначение. Ну давайте для двоечки покажу. Омега 2 равно, a2, да? Вот, ну что это такое вообще?

372: Вот мы здесь, по сути, с вами построили.

373: Отображение, которое омегу переводит только вот во 2 координату, да, в омегу 2. Мы вот такое вот отображение построили и сказали, что, ну, нас вообще исход кортеж не интересует. Нас вот конкретно здесь интересует только

374: Чиселка омега 2, да, то есть мы каждому исходу сопоставили какую-то числовую интерпретацию.

375: Да, ну вот такая числовая интерпретация называется случайной величиной.

376: Вот случайная величина это любое отображение ионев, то есть, которое вот каждому кортежу сопоставляет число.

377: Ну вот они у нас там возникли уже, естественно, довольно. В чем суть вообще случайной величины. Ну, представьте, что у вас омега, это какое-то сложное множество, это не картёжи, а, ну, я не знаю, какие-нибудь там точки на каком-нибудь сложном

378: Кубики, не знаю, точки на торе, да, ну вот как работать с каким-то сложным, непонятным множеством. Ну как-то это, это сложно, оно же непонятное. Поэтому вместо того, чтобы работать вот с этой непонятной омегой там точки на торе мы работаем

379: С числовой интерпретацией. То есть мы 1 точке там сопоставляем единицу, следующей двойку, следующей, там тоже единицу, ну и так далее. И получаем всего лишь числа. И с числами работать гораздо проще. Понятно, да, то есть вот у нас есть эксперименты, мы просто

380: Его как-то интерпретируем какими-то действительными числами. Ну получается случайная величина.

381: Ну вот они обычно обозначаются греческими буквами там xxi это z и так далее.

382: Вот с ними удобно работать как со случайными числами ну, в английской литературе случайная величина, даже называется random wrabel, то есть случай.

383: Переменная. Ну, представьте, что вот у вас есть там 2 случайные величины кси. Это вот как, например, рассмотреть случайную величину, которая равна там, их сумме. Ну вот вы просто возьмёте и напишите там xxi плюс это, то есть вы не бу,

384: Писать, что это кси от омега, плюс это от омега. Вот, вот так обычно не пишут. Вот пишут кси плюс это если вас интересует вероятность события там

385: Что xiii от омига равно там какому-нибудь числу, а вот это то, что у нас там возникло, да?

386: Вот омега 2 равно, a2.

387: Это по сути, это вероятность прообраза точки. А, да, по сути, но это вот такая мотанская форма записи, это вот вероятность события, то, что нас интересует, а это вот то, как это все пишут, а пишут просто вероятность того,

388: Что xxi равно, а, то есть вот такое вот удобное сокращение, да, вы просто пишите вероятность того, что ваше случайное число равно, а

389: Вот надо понимать, что вот за такой вот понятной формальной записью стоит просто прообраз, по сути, вот так вот никогда не пишут.

390: Ну вот, со случайными величинами мы поработаем в основном в следующий раз.

391: Ну давайте сейчас вот 1 пример я все-таки приведу.

392: Вот представьте, что у нас наша схема испытания вернули энн равно 2, энн равно 2. То есть у меня есть 4 исхода. 0 0 0 1, 1, 0 1 1. Да? Ну, они имеют.

393: Какие вероятности? 1 минус пэ в квадрате пэ на 1 минус пэ пэ, на 1 минус пэ, и тут пэ в квадрате, да, вот 4 исхода имеют вот такие вот вероятности. Ну и давайте.

394: Случайную величину, к си, положим, количество единиц, да, то есть кси от омега равно омега 1 плюс омега 2. Если я на это как на картёже все ещё смотрю, да?

395: Ну вот какие значения здесь сейчас получатся у случайной величины кси.

396: Ну, понятно, да, тут 0 1, 1, 2.

397: Ну и вот эти вот единички, их обычно отождествляют. Ну в следующем смысле. То есть, когда вводят случайную величину, хотят уйти от омеги. А для чего вообще мы их вводим, чтобы не работать с омегой? Хотят работать только

398: Со случайными величинами, с её значениями. Ну вот какие значения. У нас случайная величина ксии принимает, ну, 3 значения. 0 1, 2, да, то есть вот то, что тут единица, 2 раза написано, это обычно игнорируется.

399: Ну, формально это следующим образом получается вот просто считают вероятности того, что xiii будет равно вот этим вот числам там вероятность того, что xxi равно 0 это 1 минус пэ в квадрате, да, вероятность того, что xxi равно 2.

400: Это пэ в квадрате вероятность того, что xxi равно 1 это пэ на 1 минус пэ, и вот надо на 2 умножить, да.

401: Ну вот у нас вот здесь вот сейчас, вот сейчас вот здесь мы вообще полностью ушли от омеги, видите, да? Никакой омеги сейчас нету вот в этой записи, но вот то, что мы тут выписали, это называется распре.

402: Определение случайной величины кси есть распределение, это её значение вместе с вероятностями, которые она принимает.

403: Вот. Ну тут давайте вот так скажем, значит, распределение.

404: Это вот такой вот набор x и вероятности того, что xxi равно икс.

405: Понятно. Да, вот по всем икс из образа случайной величины кси, то есть вы вот такую табличку заполняете, кси равно тому-то, с такой-то вероятностью, тому, то, с такой-то вероятностью. Вот вы полностью 0 1.

406: Ну да, можно про это так думать.

407: Ну, здесь обычно ещё вот так вот пишут, вот вводят такое вот понятие пэ кси от x. Это вероятность того, что xxi равно икс. Да, вот обратите внимание, я вот тут пишу фигурные скобочки, я подчёркиваю, что это вероятность события, а вот тут

408: Круглый это как бы функция от x. Ну вот это называется функция вероятности, функция вероятности. Ну, по-английски называется пмэф. Probability м.

409: Function math, потому что, ну точка, то есть это мы смотрим вероятности в точке, да? Ну вот, по сути, вот распределение, это как бы, вот эта функция, ну вот все-таки распределение, это набор значений с вероятностями, да? А, фу.

410: Функция, а функция это функция. А что такое образ, образ, область значений.

411: То есть, с математической точки зрения это одно и то же, но с физической это различают. Ну, также, как говорят, да, вот в матанализе есть функция, а есть график, функции, да? Ну вот график функции это вообще то тоже самое, что функция с математической, с точки зрения логики, да.

412: Ну вот их различают, ну вот здесь тоже мы их различаем. То есть распределение это вероятности и числа, а функция вероятности это вот буквально вероятность, построенная по функции кси, как бы вероятность уже на прямой.

413: Ну вот надо понимать, что распределение случайной величины, оно никак, ну, не даёт нам никакую информацию про омегу. То есть, если я вот здесь сейчас, скажем, введу какую-нибудь величину, это там количество нулей, да?

414: То, какие она у меня будет принимать значения. Ну вот будет 2, 1, 1, 0, да?

415: Ну вот если бы у меня ещё пэ было равно 1, 2 симметричная монетка, то распределения бы у xxi у еты, очевидно, совпадали, да везде была бы 1 4, ну, вернее, там была бы 1 4, 1, 2, 1 четвёрта.

416: Но при этом сами величины очень по разному себя ведут. То есть распределение вам как раз ничего не говорит про то, что там происходит на омеге. То есть мы вот полностью от этого ушли, не хотим с омегой работать, она сложная, плохая, хотим работать с числами.

417: Ну вот единственный случай, когда у вас распределение что-то говорит про омегу, это распределение константы, то есть, если вы знаете, что у вас там вероятность того, что xxi равно цэ, вот эта вот вероятность равна 1.

418: Для некоторого цэ, да, то есть у вас случайная величина имеет распределение константы, там ещё какие-то точки она может принимать, но с вероятностью 0. Ну вот тогда мы точно знаем, как она ведёт себя на омеге, она на всех омегах отображается в константу, но это очень ва

419: Такой факт, который в статистике, в теории вероятности потом очень много используется. То есть вот распределение констант, оно такое особенное. Вот константа, она 1 единственная, не бывает 2 констант разных.

420: А все остальные распределения, да, бывают, вот вероятности, там количество нулей, количество единиц, абсолютно разные случайные величины, но имеют одинаковое распределение для симметричной монетки.

421: Ну вот про это мы подробно в следующий раз поговорим. У нас там будет мат ожидания дисперсии и