0: Так, я немного забыл то, что меня просили ещё несколько недель назад объяснить вам, что такое матрица для нужд курса по геометрии, поэтому давайте мы то, что сегодня планировалось, про многочлены немножко отложим.
1: Несколько занятий, но потом мы к ним вернёмся обязательно, а сегодня поговорим про то, что такое векторное пространство и с чем их едят. Так пусть ф какое-то поле. Напоминаю, это множество с 2
2: Операциями.
3: И целым большим набором аксиом. Давайте их перечислим коммутативность сложения, 2 ассоциативность сложения.
4: Скобки перекидывать можно. 3 существует элемент 0 такой, что
5: Не меняет никакой элемент при сложении 4 для любого элемента из нашего поля существует противоположный ему элемент минус, а такой, что а плюс минус, а равняется нулю.
6: Это аксиома сложения, теперь умножение а б равняется бэ а а на бэ цэ равняется а бэ на c7 существует единичный элемент.
7: Свойством, а на 1 это, a8 аксиома для любого ненулевого элемента существует. Обратной по умножению называется, а минус 1
8: Так, 9 аксиома дистрибутивности скобки можно раскрывать.
9: И 10 аксиома 0 не равняется единице. Вот, вот это вот дурацкое поле из 1 элемента мы выкидываем насильно, чтобы оно нам не мешалось. Так, ну примеры полей.
10: Мы уже знаем довольно много, но полями мы в самом конце курса ещё позанимаемся. Рациональные числа, вещественные числа образуют поле для тех, кто знает, что это такое. Комплексные числа, но мы вот, да, этими тоже.
11: Будем в конце курса заниматься так, 2 пример остатки по модулю простого числа p образуют поле, ну и, например, всевозможные функции, рациональные от 1, от 2.
12: Так далее переменных. Вот. Ну, это самые основные поля, которые нам надо знать. Только вот это вот that пэ, если оно рассматривается как поле, обычно обозначается. Эф.
13: Отношение многочленов. Да. Так, ну ладно, этих номеров нам более менее хватит. И вообще все, что будет дальше. Если вам не хочется думать про произвольные поля, можете думать, что мы работаем над веществ.
14: Или или даже рациональными. Там все абсолютно одинаково работает. Ну да, вопросы какие-то. А, нет. Так, ладно, поля мы сейчас обсуждать особо не будем. Давайте перейдём.
15: К тому, что нам реально нужно будет именно для модулей и тому подобных вещей определение векторного пространства, пусть ф какое-то поле, опять же можете считать, что вещественные числа это неважно.
16: Тогда в. Называется векторным пространством над полем ф. Е.
17: Если на в. Есть 2 бинарные операции сложения, которое по 2 векторам делает
18: 3 вектор и умножение, которое по элементу поля и вектору тоже делает вектор вот такие вот бинарные операции со следующими свойствами.
19: Ну, не зря сказал, что элементы этого пространства будем называть векторами, потому что свойства сложения и умножения Ровно такие, как мы ожидаем от векторов на плоскости, скажем, на плоскости мы умеем вектора складывать и умножать, ну, точнее.
20: По хорошему говоря, не вектора, а классы векторов. Ну да ладно, не будем уже настолько разводить тут строгость в этом примере операции, свойства, какие, во первых, в. Образует абелеву группу.
21: Положение. Ну давайте распишем это the плюс у равняется у плюс the 2, the плюс у плюс дубль вэ равняется вэ, плюс у плюс дубль вэ 3.
22: Существует 0 вектор, да, я буду 0 поле и 0 вектор обозначать одинаковым символом. Надеюсь, проблем особо не возникнет. В большинстве случаев из контекста явно понятно, это нулевое число или
23: 0 вектор существует 0 вектор такой, что в + 0 равняется в 4 для любого вектора в из нашего в большого существует вектор минус в такой
24: Что the плюс минус the равняется нулевому вектору, так это аксиомы сложения векторов, теперь аксиома умножения на число 1 аксиома, что умножение ассоциативно альфа на the.
25: Это в, то есть, если мы вектор в сначала умножаем на 1 число, потом на другое, это все равно что числа в поле перемножить, а уже потом вектор на это произведение умножить. 6 аксиома и 7, это 2 дистрибутивности, потому что у насест
26: Сложение в поле есть сложение в векторном пространстве.
27: И вот как это умножение с ними согласовано альфа на у плюс the это альфа, у плюс альфа, the 7 альфа плюс бета на the это.
28: Альфа в плюс так бета в. И 8 аксиома единица при умножении на вектор в даёт вектор в
29: Вот все, да, а то что? А это уже следствие из этих аксиом. Ну давайте напишем краткий спи.
30: Некоторых свойств, полезных доказывать мы их сейчас не будем, чтобы, ну, не сильно это все растягивать, они все довольно легко доказываются. 1, ну, естественно, - 1 при умножении
31: На the это тоже самое, что минус the. Заметим, что это совершенно разные вещи. Это - 1 на вектор, это минус именно для операции по сложению обратной по сложению, но свойство, тем не менее, выполняется 2 0 на the это
32: 0. И здесь нули имеют разный смысл. Тут 0 это число, тут 0 это вектор. Всем понятно да, может чёрточку.
33: Ну, можно, конечно, но обычно из контекста и так понятно. Ну да ладно, давайте тут поставим чёрточку, что это 0 вектор, 3, альфа на 0 вектор это 0 вектор, 4. Обратный, ой, противоположный, противоположный.
34: Vektor это исходный вектор в ну вот такие естественные свойства, они все выполняются, да, во всех вот этих аксиомах, конечно, везде нужны кванты для любых альфа бета в у a b и тому подобных вещей. Ну да.
35: Давайте не будем уже с этим загромождать. Так, надеюсь, понятно, что свойства, если написано, выполняется всегда, а не для каких-то элементов. Правильно? Вот там есть исключение. Я это явно написал, что вектор оо, число не нулевое. Вот, ну,
36: Давайте примеры того, что эти самые векторные пространства буквально вездесущи.
37: Ну, сейчас мы в основном будем вещественные примеры писать, но в большинстве случаев аналоги есть для произвольного поля, 1 поле над самим собой являя.
38: Является векторным пространством. Правильно? Элементы поля мы умеем складывать и умножать на элементы поля, да, в дальнейшем я буду стараться придерживаться такой, такого соглашения, что элементы поля мы будем обозначать греческими буквами.
39: Элементы пространства латинскими. Ну, чтобы было проще в этом ориентироваться и в большинстве случаев, ну, по хорошему надо писать коэффициент, на который мы умножаем слева, потому что вот он тут слева стоит, но, в принципе, если вы будете справа писать, ничего страшного, так
40: Поле над самим собой, конечно, является векторным пространством, правильно? Все аксиомы есть, они следуют моментально из аксиом поля. 2, более общий и самый. А, ну вообще нулевое пространство тоже над любым полем.
41: Существует из 1 элемента всего нулевого вектора. Ну там тоже все понятно, как все устроено. 3, самый важный пример f and над эф как он устроен.
42: Это энки элементов поля упорядоченные, и давайте мы их будем записывать в столбик. Чуть позже будет видно, почему это удобнее. Вот, допустим, альфа, 1, альфа and набор из n элементов.
43: В поле ф мы его хотим сложить с бета 1 бета энн с другим набором, как это естественно сделать, но покомпонентно 1 с 1, 2 со 2 и так далее.
44: Вот и умножить на какое-нибудь число альфа. Ой, давайте тогда гамма альфа 1, альфа and это гамма альфа 1.
45: Гамма, альфа and, ну, поскольку покомпонентное сложение, умножение, то все аксиомы тоже более менее очевидны. Надеюсь, с ними проблем нет. Ну ещё примерчики важные.
46: Многочлены.
47: Тоже над полем ф. Образует, естественно, векторное пространство многочлены, можно складывать, умножать на числа, правильно получается векторное пространство, все аксиомы тоже более менее очевидны 4.
48: Ряды тоже произвольным полем ф.
49: Ну, все тоже самое. Ряды формальные, беско это формальные, бесконечные суммы вот такого вида сумма и от нуля до бесконечности. А альфа и икс в степени, и где и
50: X. Это формальная переменная, нас не интересует вопрос сходимости какого-то ряда, просто вот такие бесконечные суммы написаны и все ну, сложение, умножение покомпонентное, ну в ту же степь, всевозможные бесконечные последовательности.
51: Элементов поля. Так, ну какой-нибудь более такой геометричный пример, это евклидова плоскость.
52: С фиксированным началом координат.
53: В этом случае точки плоско вот зафиксировали начало координат точки плоскости можно отождествить с векторами, торчащими из этой самой зафиксированной точки, со стандартными школьными законами сложения и умножения на число, если
54: Чтобы сложить 2 вектора, нужно вот такой параллелограмм построить. И тогда вот эта вот штука будет сумма этих векторов. Ну а чтобы умножить векторное число, нужно, ну, в случае, если оно положительно, то от точки в том же самом
55: Направлении отложить вектор, длина которого там во сколько-то раз больше, если отрицательно в противоположном направлении.
56: Ну, всем знаком, правильно, закон, как с векторами работать со школы. Ну и все свойства там-то, конечно, выполняются. Это пространство над вещественными числами. И ещё 1 супер важный пример в математике, это поле над своим
57: Под полем.
58: Пример обобщающий вот это вот.
59: Тоже вполне очевидные все аксиомы, ну и над вещественными числами можно ещё много всяких полей придумать именно непрерывные функции.
60: Ну, скажем, на r, или на отрезке, или на чем угодно ееще дифференцируемые функции, гладкие функции, голоморфные функции на ц, все это векторное пространство вот, ну хорошо, мы видим.
61: Что их тьма тьмущая во всей математике встречаются, что про них можно сказать, мы же не просто так их хотим абстрактно изучать, правильно?
62: Давайте дадим, определи, что, ну, объекты мы дали, если мы, у нас есть объекты, то логично определить и отображение между этими объектами, они в случае, ну, в общем случае, в алгебре называются гомоморфизмами, это некоторое отображение.
63: Уважающую структуру в случае векторных пространств есть отдельное их для них название это линейное отображение, пусть в и у векторные пространства.
64: Над 1 и тем же полем.
65: Давайте его снова ф обозначим тогда.
66: Отображение f из в в у называется линейным отображением, если ладно.
67: Напишем.
68: Если выполняются 2 таких закона 1 эф от суммы 2 векторов это эф от the 1, плюс эф от the 2 и 2.
69: Это означает, что операция сложения уважается сейчас. Ну, то есть тут написано, что эф это гомоморфизм абелевых групп векторов по сложению, a2, как оно уважает умножение на число эф от альфа, the это альфа эф от the вот это
70: Равенство не лишено смысла, потому что константы в обоих векторных константах одинаковые, умножать можно и там, и там, на одни и те же альфы ну, это, конечно, можно в виде 1 закона переформулировать, а именно эф альфа the 1 альфа, 1 в.
71: 1 плюс альфа 2 the 2 равно эф альфа 1 эф от the 1 плюс альфа 2 эф от the 2 ну да ладно, пусть так будет ну примеры линейных отображений а, да, давайте ещё.
72: Скажем, что если отображение линейное бьёт из в в в само себя пространство в исходное, тогда он называется линейным оператором.
73: Ну и в большинстве случаев слово линейный я буду опускать, потому что, по крайней мере, сейчас у нас все отображения векторных пространств будут линейными.
74: Так, ну примеры.
75: Линейных отображений. Ну, например, если у нас есть пространство многочленов, из него есть линейное отображение в исходное поле, а именно вычисление
76: Многочлена в данной точке вполне себе линейное отображение. 2 ну, есть отображение оо многочленов само себя.
77: Взятие производной.
78: Ну ладно.
79: В качестве домашнего задачи есть описать все линейные отображения, которые являются движениями в лидовой плоскости.
80: Там не сложное описание, благо мы знаем классификацию всех движений. Так, ну да ладно, каких-то других особо интересных сейчас не скажу, тем более что полным описанием для некоторых пространств мы сейчас и займёмся. Понятно определение.
81: Отображения просто морфин для пространств отображение, сохраняющее уважающее операции на этих пространствах.
82: Так, давайте теперь конкретно перейдём к описанию отображений.
83: Из вот этого векторного пространства, из эф эм в похожее пространство эф м.
84: Вот мы только что эти пространства определили пространство Столбиков высоты с покомпонентным сложением и умножением над основным полем давай, давайте, дадим определение матрицей.
85: Размера.
86: M. На n. Над полем ф. Ну или более общее можно рассматривать матрицы не только над полями, но и над коммутативными.
87: Кольцами с единицей тоже всегда матрицу можно рассматривать.
88: Это не особенно важно называется.
89: Элемент, ой, называется таблица.
90: Размера.
91: M на n. Сейчас я её нарисую, она вот так вот записывается открывающая скобка здесь элементы a1 1 a1 2 a1 and a2 1 a2 2 a2 and.
92: And r. M. 1 а. M. N. Вот таблица, в которой m. Строчек, эм. Столбцов, и она вся записана в таких больших круглых скобках с элементами.
93: Из нашего поля эф. Вот понятно определение вот эти вот числа, это, эти вот индексы, это место нашего элемента в этой таблице они обозначают
94: Правильно. 1 индекс, номер строчки, 2 индекс, номер столбца. Вот понятно. Определение матрицы просто вот такая вот. Да. А вот. Ну, and это уже декартово произведение. Раз.
95: Да, а вот матрица как бы как декартово произведение как-то определяется. Ну, именно декартово произведение. Пожалуй, нет, её именно в виде таблички всегда рисуют. Ну, понятное дело, что это пространство будет из аморов на decor.
96: Ведению эм and Копий этого поля. Эф. Вот, но если вы просто запишите элементы её в виде ряда, вам будет очень неудобно с ней работать. Поэтому, конечно, никто не запрещает эти кучу элементов в 1
97: Там ряд или в 1 столбик расставить и сказать, что вот я их так решил закодировать, но как будет видно дальше, законы их сложения и умножения вам будет сложно отслеживать в таком, в такой форме. А так да.
98: В целом как пространство оно unknown произведению эн эн копии ф. Так хорошо. Зачем они нам нужны? А дело в том, что эти матрицы очень хорошо кодируют линейное отображение.
99: Давайте наше пространство эф эн, пусть эф какое-то линейное отображение из эф эн в эф эм. Давайте с ним.
100: Вяжем некоторую матрицу. В этом фн есть некоторый набор из n векторов, которые выглядят гораздо лучше, чем все остальные, гораздо более простые векторы. Давайте их назовём её 1 e1 это 1:00 0 е.
101: 2 это 0 1:00 ну и так далее e and это 00:00 1. Давайте мы вот этот вот набор векторов в f and пространств.
102: Энок элементов нашего поля будем называть стандартным базисом. Почему такое название будет видно чуть позже, когда мы слово базис нормально определим. Но пока это просто вот набор слов, такой обозначение будем назна назы,
103: Набор e1 e. And именно в таком порядке стандартным базисом.
104: Ну, давайте возьмём и посмотрим, куда эти векторы отображаются с помощью нашего отображения. Эф, пусть эф от e1, ну, это какой-то элемент вот этого пространства, правильно? То есть какой-то столбик из м,
105: Элементов нашего поля. Ну давайте его назовём вот так вот так вот. А, 1, 1, а, 2, 1, a, m 1 и как раз m шту правильно? Эф от e2 это тоже какой-то 100.
106: Столбик его мы назовём а. 1, 2, a2, 2, a, m, 2, ну и так далее последний элемент эф от e and это тоже какой-то столбик a1 and a2 and a.
107: M. N. И вот у нас есть and разных Столбиков высоты. Эм, причём упорядоченный правильно, у нас есть 1 вектор, 2 и так далее. Значит, из них можно взять и составить матрицу так вот вот такая вот матрица ну вот.
108: Вот эта вот матрица, собственно, которая там написана.
109: Называется матрицей линейного отображения.
110: Выражение ф. Понятно, как строится. Просто смотрим, куда переходят наши стандартные базисные векторы, и расставляем эти векторович, точнее, их конкретную запись вот в этом вот пространстве в виде матрицы.
111: Вот. Ну давайте пример посмотрим, как это все работает.
112: Ну, некоторый конкретный пример. Давайте рассмотрим поворот плоскости на 90 градусов на пи пополам.
113: Ну, давайте против часовой стрелки. Вот у нас есть плоскость прямоугольной системы координат новые в домашнем задании. Покажет, что такие повороты это линейное отображение. Ну, давайте зададим его матрицей. У нас есть
114: Вектор вот этот 1 0 координата по иксу. У него 1 координата по игреку у него 0 есть вот такой вектор 0 1.
115: По иксу 0, по игреку 1 это стандартный базис, правильно? Если мы ввели систему координат прямоугольную, то мы отождествили векторы с парами чисел. То есть отождествили с р 2 наше пространство. Чтобы задать матрицу, нужно
116: Что сделать? Нужно посмотреть, куда переходит этот вектор и куда переходит вот этот вот вектор. Этот вектор поворачивается на 90, переходит в этот правильно? Поэтому в качестве 1 столбика пишем 0 1. Этот вектор берет, поворачивается сюда. Получается вектор какой
117: - 1 0. Правильно? Вот его сюда и выписываем. Вот матрица этого отображения. Вот хорошо. Чем так хороши матрицы, кроме того, что мы взя
118: Взяли и что-то там закодировали. Непонятно пока что, правда, они хороши тем, что в терминах матриц, когда вы, когда вы задали ваше отображение матрицы, то образ любого вектора ищется очень просто для того, чтобы
119: Сделать нужно научиться умножать матрицу на столбик, определение давайте какую-нибудь матрицу возьмём размера m на n.
120: Ну, стандартную матрицу нашего вида и рассмотрим столбик бэ из n элементов. Важно, чтобы элементов в столбике было столько же, сколько элементов в строчке этой матрицы b1 бэ.
121: And тогда произведение матрицы а на столбик бэ это столбик высоты эм из m. Элементов, которые вычисляется по следующему правилу, чтобы найти 1 элемент.
122: Мы берём 1 строчку нашей матрицы, в ней n элементов, берём вот этот вот столбик, в нём тоже n элементов, перемножаем соответствующие элементы 1 с 1, 2 со 2 значит a2 1.
123: B2 энный сентом и все вместе складываем, получается, какой-то элемент нашего поля. Правильно? Давайте напишем. A1, 1, b1 плюс, a2, 1, b2 плюс.
124: А, ой, сейчас.
125: 1, 2. Eu тут 1, 2, да, 1, 2, бэ, 2 плюс, a1 and бэ эн. 2 элемент в этом столбике вычисляется таким же образом. Тольк.
126: Для 2 строчки, а, 2, 1 б, 1 плюс, а, 2, 2, б, 2 плюс, а, 2 n, b, and ну и так далее. Последний элемент, а.
127: А m 1, b1 плюс r m 2, b2 плюс r m n бэ эн вот вычислили такой набор им элементов и составили из них столбик высоты.
128: Вот этот вот столбик называется произведением матрицы на столбец. Тут очень важно, чтобы в строчке в столбце было одинаковое количество элементов, иначе перемножать нельзя. Запрещено. Вот зачем мы ввели такое странное умно.
129: А потому, что через него теперь очень легко записывается это отображение.
130: Вот пусть у нас отображение эф из эф эн в эф эм какое-то задано и его матрица.
131: Мы обозначим через, а тогда
132: Образ столбика. Ну давайте также напишем b1 бэ н это в точности.
133: Произведение матрицы на этот самый столбик.
134: Вот.
135: Ну вот эта вот штука, это б, ну теперь понятно, почему мы записывали в столбик векторы, чтобы операция была корректно определена. Вот умножать матрицу так можно только на столбик. Потом мы увидим, что это в общем случае,
136: Похожее правило есть.
137: Вот так. Ну давайте это докажем. Вот это предложение.
138: Ну, давайте заметим, что вот этот вот вектор, b1 бэ эн очень легко записывается в виде линейной комбинации нашего стандартного базиса. Это b1 на е.
139: 1 плюс b2 на e2 плюс бэ эн на e and все понимают, да, очень простые векторы, у которых на этом месте стоит единичка остальные нолики, если мы домножаем.
140: На бэшку. У нас получается вектор, у которых на этом месте стоит бэ, ито остальные нолики. Ну, если мы их сложим, получится вот это правда же, вот мы знаем, что наше отображение линейное, это означает, что эф, ну, давайте.
141: Кто назовём в эф от the равняется эф от b1 e1 плюс b2 e2 плюс бэ эн е.
142: And вот, ну, не сложно понять, что закон линейности продолжается на случай произвольного количества слагаемых. Правильно? Если сумма 2, если эф от суммы 2
143: Это эф от the 1 плюс эф от the 2 то по индукции для and оно несложно доказывается, поэтому вот это вот равенство можно раскрыть и получить, что эф от the r.
144: Равняется b1 эф от e1 плюс b2 эф от e2 плюс плюс бэ эн эф от e and понятно, по линейности взяли и раскрыли.
145: А вот эти вот штуки, мы знаем, куда они переходят. Раз у нас матрица, а то её столбики, это в точности вот эти вот виктороч, и правда же, то есть это все равно b1 на 100.
146: Столбик a1 1 a2 1 а, м 1 плюс b2 на столбик, а, 1, 2, a2, 2, a, m.
147: 2 и так далее BNNASTOLBKA1 and a2 n r m n. Ну, теперь давайте возьмём, домножим и сложим, что у нас получится.
148: У нас получится на 1 месте b1, a1 1 плюс b2, a1, 2, плюс бэ н a1 and так далее. B1.
149: AM1PLUSB2AM2 плюс бэ эн а m n. Ну, не сложно видеть, что это в точности те числа, которые написали в произведении матрицы столбика.
150: Только там переставлены сомножители, а так тоже самое все понимают.
151: Ну, в данном случае, конечно, называется просто.
152: Когда мы писали определение умножения матрицы на столбик, там это никакой не вектор был, ничего, просто столбик из чисел и все только поэтому так его называем.
153: Понятно это все.
154: Вот, то есть наша матрица это не просто какой-то непонятный набор чисел. Он позволяет теперь довольно простым методом вычислять образы всевозможных векторов, а это означает, что он полностью кодирует наше. Эта матрица полностью кодирует наше отображение, правда?
155: Верно и обратное.
156: Пусть, а теперь какая-то матрица.
157: Размера m на n тогда отображение из эф эн в эф эм, построенное по правилу, что столбик.
158: Бэ отображается в а. Б. Это линейное отображение.
159: С матрицей.
160: А вот.
161: Ну, это тоже совсем легко доказывается, просто явные формулы выписываются, и понятно, что это линейное отображение и того вот эти вот 2 предложения в совокупности нам говорят, что линейное отображение взаимно однозначно соответствует матрицам размера m на n, точнее отобра.
162: Оражение из fm в fm однозначно задаются матрицами, взаимно, однозначно соответствует матрицам, да только только для линейных, конечно ну я сказал я слово линейное буду опускать, потому что у нас все отображения.
163: Линейные.
164: Понятно. Это вот, ну, это мы уже доказывать не будем. Это там простейшая проверка, абсолютно лобовая. Если кто не верит, пусть проверит это сам тоже полезно. Так.
165: Хорошо. Линейное отображение. Нет, в частности, есть пример линейного отображения. Все вектора отправляются в 0. Оно, конечно, удовлетворяет всем свойствам линейного отображения. Правильно? Сумма переходит в сумму. Число тоже все хорошо? Нет.
166: Лекциями совершенно не обязаны быть, что это как должен быть.
167: Ну да, некие отображения не обязаны быть биекциями. Биекция это изоморфизм есть понятие изоморфизм векторных пространств, это отображение, ну, можно сказать, отображение есть обратное, а можно сказать, линейное отображение, являющееся биекцией тогда
168: Обратное автоматически тоже является линейным отображением, но это тоже не сложная проверка. Ну, мы, в общем то, похожие и уже делали, когда говорили, для групп тоже самое отображение гомоморфизм групп ективен, значит, это изоморфизм групп. Вот.
169: Тоже самое для векторных пространств. Так, хорошо. Ну хорошо, вот мы научились кодировать отображение матрицами. Это все, для чего эти матрицы нужны. Ответ нет, матрицы с матрицами можно делать гораздо больше вещей, чем просто.
170: Их на столбики давайте научимся принимать любые матрицы подходящего размера, определение пусть а матрица m на n.
171: Как всегда, она состоит из каких-то там элементов а, 1, 1, а, 1 and а, 2, 1 a2, n r m 1 а m n и возьмём.
172: Другую матрицу, б матрица размера. Сейчас че там and скажем, на-ка, то есть у неё, у неё энн, чего Столбиков или столбцов будет?
173: Ой, столбик столбцов или строчек у неё n строк, а столбцов у неё к. Давайте их так назовём b1, 1 b1 к, ну и так далее. Бэ н 1 бэ.
174: And к вот матрицы с вот такими вот данными можно перемножать тогда.
175: Матрица, а на бэ, причём именно в таком порядке, никак иначе.
176: Их произведение такая матрица цэ размера че там у нас m na ка, где каждый элемент?
177: Цэ. И житый вычисляется следующим образом мы берём итую строчку в матрице а которая выглядит, как тут стоит а и 1 а и 2 r i n.
178: И житый столбец в матрице бэ, который выглядит b1 жи бэ эн жи снова в них одинаковое количество элементов. Для этого мы и считаем, что эти вот числа обязаны
179: Совпадать иначе произведение не определено. Мы берём вот эти вот элементы, перемножаем 1 с 1, 2 со 2, 3 с 3 и так далее. И опять складываем, получается, а и 1 на бэ.
180: 1 жи плюс а и 2 на бэ, чего там 2 жи плюс a1 and на бэ эн жи ну или?
181: Если свернуть, получается сумма че там, какое у нас число не занято и жи м н к. Ну давайте эс эс от единицы до n a i.
182: Age на бэ эс жи понятна формула? Ну давайте на примерчике посмотрим 1 раз поперемножать дности.
183: Какие-нибудь матрицы небольшого размера, ну скажем
184: 1, 2, 2, 3. A ha матрица б. Тогда в ней чего мы точно должны? Че мы знаем про неё, сколько не точек или столбцов? У неё 2 строчки, 2 столбца, значит.
185: Чтобы умножалось, если мы хотим, а на бэ посчитать 2 строки и какое угодно количество столбцов. Ну давайте там, 1, 2, 3, 2, 3, 4, вот так.
186: Такую возьмём 2 на 3. Вот тогда их можно перемножить 1, 2, 2, 3. Умножаем на 1, 2, 3, 2, 3, 4. Какого получится размера матрица 2.
187: 2 на 3 в ней столько же строчек, сколько и в матрице, а столько же столбцов, сколько в матрице б. 1 элемент мы берём 1 строчку отсюда 1 столбец, отсюда 1 на 1 + 2 на 2 получается 5 2 элемент строчки.
188: Он имеет, он находится в 1 строке, во 2 столбце. Значит, мы берём 1 строчку и 2 столбец. 1 на 2, + 2 на 3. Че то 8, кажется. Да. Так, ну 3 берём 1 строчку, 3 столбец, 1 на 3, 2, на 4, 1.
189: Теперь 2, 2 строчка. 1 столбец 2 на 1 3 на 2 8 2 на 2, + 3 на 3 13 вроде как 2 на 3, + 3 на че?
190: 4, 18. Вот перемножили. Понятен закон умножения. Вот возникает вопрос, а почему он такой? А он такой неспроста. Дело в том, что мы вот только что видели.
191: То матрицы у нас соответствуют линейным отображениям из пространства другое пространство, правильно? А у нас матрица m на n. То есть она соответствует отображению какому-то эф. Ну, давайте его эф, а назовём, чтоб.
192: Что это отображение с матрицей ah из пространства f and пространство эф эм а матрица бэ у нас соответствует отображению эф бэ, так только я зря.
193: Да, у нас она была and на qa, правильно, поэтому это какое-то отображение из f, k, v, f. And если есть 2 таких отображения их можно прокомпания правильно.
194: Посмотреть на композицию эф бэ и эф. А вот в таком порядке. Сначала мы из этого пространства отображаемся сюда, а потом из него же вот сюда. Правильно? Не сложно проверить, что композиция
195: Линейное отображение все понимают точно так же, как оморфи. Мы в композиции дают гомоморфизм. Вот если операции умножаются при 1 отображении, уважаются при 2, то они отображаются, уважаются при их композиции всегда.
196: Правда, вот это какое-то отображение из f k v f. M. Так вот, предложение.
197: Это линейное отображение.
198: Имеет матрицу.
199: В точности а на б.
200: Вот, то есть произведение матриц соответствует композиции отображения. Именно так его надо понимать. Это не просто абы какой-то там по непонятному закону посчитанная матричка, у неё глубокий геометрический смысл, она
201: Позиция отображений. Вот. Ну давайте это проверим.
202: Доказательства. Ну, чтобы показать, что вот эта вот матрица имеет нужный. Это отображение имеет нужную нам матрицу. Нужно просто по определению показать, что его от матри
203: Совпадает с этим, вот с этой, правда же? А это означает, нужно найти, куда вот эта вот матрица переводит стандартный базис. Правильно? Ну, возьмём вектор e1, как всегда 1.
204: Куча нулей. Е, 2 0 1 и куча нулей. И у нас отображение из ф к. Значит, последний вектор будет её к куча нулей и единичка в конце. Давайте посмотрим куда.
205: Наша композиция ф а на эф бэ переводит.
206: Vektor её 1 ну, сначала мы применяем ф бэ правильно, куда она переводит вектор e1.
207: Да, вот эта вот штука, это по определению 1 столбик матрицы бэ. Правильно? Потому что матрица бэ так строилась. Это матрица линейного отображения, это получается эф от, а от столбик.
208: Б, 1, 1, б, 2, 1 б. Так что у нас там and 1, если мы, ну и в общем случае, если мы нашу композицию применим к вектору её итому, это будет
209: Просто и столбик матрицы б. Значит, нужно посчитать че куда а переводит столбик b1 и b2 и b and i.
210: А куда отображение f a переводит этот столбик, что для этого нужно сделать чтобы посчитать, умножить на столбик, нужно матрицу умножить на столбик, правильно, это матрица, а помноженная на столбик b1 и бэ.
211: 2 и бэ эн и ну а это как не сложно видеть в точности столбик матрицы ц. Если вы аккуратно распишите вот это вот произведение, то
212: Видите, что там те, там, в этом произведении будут те же самые суммы, что были в определении произведения матриц. Ну давайте распишем это будет столбик высоты эм, где там 1 элемент, a1, 1 б, 1 и плюс.
213: А, 1, 2, б, 2 и так далее 1, n. B, n, i и так далее последнее а, 1, 1 ой, м, 1, бэ.
214: 1 e a m 2 b2 e a m n b n i. Ну вот такие же суммы как раз были в определении произведения матриц, то есть.
215: Это цэ че там у нас 1 и c2, и c m и вот такие же там суммы были, правильно то есть получилось.
216: Все у нас в точности эти столбик матрица цэ.
217: Ну, значит, ну, то есть, ты столбик ц, которое произведение, а, на б.
218: Ну а это и означает, что вот эта вот матрица произведения задаёт наше линейное отображение. Правильно? Если у неё 1 столбик, это то, куда перешёл вектор е, 1, 2, куда перешёл е, 2 и так далее. Но это по определению матрица линейного отображения. Вот.
219: Вот понятно это.
220: Важный закон, что матрицы неба перемножаются, это соответствует композиции ных отображений. Вот именно так это надо понимать.
221: Есть вопросы, почему-то довольно лобовое, лобовой подсчёт, и из этого моментально следуют некоторые свойства произведения матриц. Только давайте сначала ещё дадим операцию, дадим ещё 2 операции, которые можно делать.
222: Матрицами определение пусть a и b матрицы 1 размера.
223: Тогда их сумма.
224: Определяет следующим образом. Если это сумма матрицу цэ, то её изжитый элемент это сумма изжитого элемента матрицы, а и ижите матрицы бэ. Ну то есть просто элементы на одинаковых местах склад
225: Складываются и все. Получается сумма матриц. Вот. А если альфа это ещё какое-то число, элемент поля, тогда матрицу можно умножить на это самое число. Если в результате получается матрица д, то её Эле
226: Элементы the и житые это просто альфа, а и житые то есть просто все элементы матрицы а берём, умножаем на элементы этого
227: На альфа получается произведение числа и матрицы. Ну и из вот этих законов сложения и умножения сразу видно такое замечание очень простое матрицы размера m на
228: Вот так вот будем обозначать мат м and ну и можно в скобках написать поле эф, если это важно почему-то, если это не следует из контекста образует векторное пространство.
229: Сложение, умножение на число покомпонентной все аксиомы из этого моментально получаются. Вот, ну и более того, видно, что оно из за модов на эф в степени m на n. Но это нам не особенно сейчас интересно вот это.
230: Мы сделали 3 операции, которые можно делать с матрицами. Сложение очень простое умножение на число тоже очень простое и несколько более сложный закон умножения матриц разного размера, если у них совпадают там
231: Кое-какие параметры. Вот.
232: А теперь вопрос чему соответствует произведение матрицы, чему соответствует умножение матрицы на число в терминах линейных отображений композиция? Нет, композиция это произведение матриц, а у нас вот операция сложения матриц умножение на число.
233: Только не операторов иных отображений. Правильно? Оператор сам себя. У нас все-таки произвольное отображение, да, ещё 1 замечание.
234: Сумма матриц соответствует.
235: Сумме линейных отображений.
236: Если у нас есть 2 линейных отображения из 1 пространства в другое, то их можно сложить просто поточечно, тогда-то, что получилось, тоже будет линейным отображением, что несложно проверяется, а произведение матрицы на число соответствует.
237: Чему умножению отображения на число альфа эф. А если есть отображение из в в у какое-то, то можно просто все значения умножить на это самое альфа получится отображение альфа эф.
238: А оно тоже линейное, тоже не сложно проверяется. Вот очень, очень простой закон соответствия сумме отображений соответствует сумма матриц умножение и на число соответствует умножение матрицы на число. Так и из всего этого.
239: Следует несколько очень приятных законов.
240: Операции с матрицами, свойства этих операций. Давайте перечислим 1, ну, сложение матриц очевидным образом коммутативно и ассоциативно. Правильно? Ну и вообще, мы только что сказали.
241: Векторное пространство, поэтому давайте не будем это отдельно расписывать. Просто очевидные законы сложения. Очень хорошие, коммутативное, ассоциативное. Есть нулевая матрица размера m на n, которая имеет свойство нуля, ну и так далее. Все понятно, давайте с умноже.
242: А на бэ на цэ равняется, а на бэ цэ ассоциативность умножения есть, имеется ввиду, что если существует 1 из произведений, то
243: Существует и другое. Они равны. Ну потому что мы не всегда можем перемножать матрицы. Правда же? Там нужны ответ, чтобы соответствующие параметры у матриц совпадали. Ну вот если можно здесь перемножить, то можно и здесь и равны эти произведения, и наоборот.
244: Как это доказать в 2 счета, правильно? Потому что
245: Произвольные отображения.
246: Неважно, линейные или какие-то ещё подчиняются законам ассоциативности.
247: Удовлетворяют свойству.
248: Ассоциативности.
249: Для операции композиции.
250: Ну то есть если у вас здесь отображение из какого-то неважно множества m в множество н а из множества n в множество-ка а из-ка, ну в какое-то эль, тогда вы можете вот такую компо.
251: Позицию посчитать. А в композиции жэ, в композиции с эф можете посчитать такую композицию. Ой, ой, да я все перепутал. Спасибо. Так, 1 у нас эф в ком.
252: Позиции с жэ в композиции с аш. Это тоже самое, что жэ в композиции с аш и со всем этим композиция эф. Ну такой вот закон равенства компо.
253: Есть, правильно, все же знают, но он нам даёт моментальное равенство вот этих произведений, потому что композиция отображений в точности произведение матриц бесплатно получилось. Ну, это, конечно, не сложно доказать и через формулу, но давайте не будем настолько уж
254: Углубляться в эту, в эти подсчёты. Так, 2 закон, который стоит знать произведение матриц и сложение, подчиняется свойству дистрибутивы.
255: Ну и аналогично а плюс б a c равняется а c plus бэ цэ. Ну то есть надо понимать.
256: Как если вот здесь все операции определены и здесь, то они определены и здесь и равны отображения. Это моментально. Опять же следует из соответствия матриц линейных отображений. Давайте, например, 1 докажем. Так, сейчас у нас
257: 2 отображения из 1 пространства в. Ладно, давайте на матрица пока действует только на эф эн, вот есть пространство ф n.
258: Отображается в какое-то эф м с помощью отображения, заданного матрицей бэ, есть оттуда же, туда же с помощью эф CBECMATRECA1 размера, поэтому задают отображение из 1 пространства.
259: F and в 1 пространство. Эф эм а тут у нас есть матрица эф а которая бьёт в какое-то дальше эф катое. Вот ну давайте покажем, что если мы возьмём сумму эф,
260: Бэ плюс f c e прокомпания с эф, а то получим в точности эф бэ в композиции с эф а плюс f c в композиции с эф а как доказать, что отображение?
261: Совпадают. Нужно подставить какой-нибудь вектор произвольный, показать, что получится один и тот же образ. Правильно? Ну давайте посмотрим, куда переходит произвольный вектор в
262: Эту композицию применим к вектору в, ну, сначала мы применяем сумму отображений, но сумма отображений, применённая к в по определению, это 1 отображение, применённое к в плюс 2, применённое к в, то есть, это эф, а получается, приме,
263: Ённая к вектору эф бэ от the плюс f c от the но а линейное отображение правильно, поэтому оно сумму переводит в сумму получается, что это эф а от эф.
264: The от the плюс эф, а от эф, бэ ой, f c, от the. Ну вот эта вот штука, это в точности вот это эта штука, это вот это ну, получилось, что закон дистрибутивности
265: Отображение у нас выполняется, значит, выполняется и для матриц.
266: Всем понятно. Вот, ну и как между собой связаны умножения на матрицу и сложение, и умножение на число? Ну, ну опять же, если
267: Вы умножаете сумму 2 матриц на число альфа, то это все равно что альфа, а плюс альфа бэ. Но это простой закон. Мы его обсудили, когда сказали, что это векторное пространство. А что будет, если вы скажем, матрицу альфа, а умножаете на какую-то матрицу?
268: Б. Что можно в этом случае сказать? Альфа умножить на
269: Альфа умножить на a бэ правильно? И тоже самое. Если вы матрицу, а умножаете на альфа бэ, то это тоже самое, что альфа, а на бэ, ну это тоже можно либо расписать явно.
270: Формулы, которые там получается увидеть, что матрицы одинаковые получились, у них одинаковые элементы везде стоят. Либо, опять же, сделать тоже самое с отображениями, посмотреть, что все для отображений получается. Но в качестве упражнения очень простой закон, да, ну,
271: Ещё замечание.
272: Произведение матрицы альфа на а это все равно, это тоже самое.
273: Что произведение вот такой вот матрицы с элементами альфа на диагонали и всеми остальными элементами, равными нулю. Если я пишу вот так большущий нолик, это означает, что все элементы в этой области равняются нулю вот здесь
274: Матрица на диагонали, то есть на местах с одинаковыми строчкой столбцом стоят альфа, а вне диагонали стоят нолики, а тут матрица. А, ну, естественно, эта матрица должна быть правильного размера. Сами подумайте, какого что.
275: Вообще имело смысл. Вот, ну, не сложно это явно проверить, поэтому такие матрицы называются скалярными.
276: Потому что умножение на такие матрицы это тоже самое, что умножение на число вот. Ну или наоборот можно, а умножить на такую же матрицу только другого размера справа тоже самое будет. Вот, ну хорошо.
277: Понятно, что такое матрица и с чем их едят.
278: Это таблички из чисел, которые можно складывать, умножать на числа и умножать между собой при некоторых условиях, которые подчиняются очень простым свойствам сложения и умножения, и
279: И очень тесно связаны с линейными отображениями из пространства эф пространство фэм сумма это сумма отображения на число, это умножение отображения на число. А произведение матрицы это композиция отображений. Вот так это все надо и надо предста.
280: И сразу давайте 1 предостережение, ещё заодно скажем.
281: Важно.
282: Произведение матриц, некоммутативная операция.
283: Час по многим причинам. Ну, 1 причина, если даже этоне существует, да, тут скорее надо написать, что не для любых. А, ну да, я это имею ввиду.
284: Понятное дело, что иногда бывает коммутативная, а вот, но в общем случае нет. И если вы переставляете, надо прям быть уверенным и уметь объяснять, почему вы переставляете матрицу, что они коммутируют между собой. Причём вот это вот свойство.
285: Некоммутативность умножения, оно нарушается по куче разных причин. Во первых, если это существует, то это не факт, что существует вообще. Правильно, у вас, матрица, должны совпадать количество строчек в 1 из столбцов в другой, но в другом порядке это может нарушиться резко. Во вторых,
286: Даже если вы можете и так перемножить, и так перемножить, могут получиться матрицы разного размера. Например, если перемножить 2 на 3 и 3 на 2, это в любом порядке можно сделать. Но в 1 будет матрица 2 на 2, в другом 3 на 3. Ну и в третьих, даже если они
287: Квадратные одинакового размера вы можете перемножать получается матрица одинакового размера все равно не коммутативная штука. Ну, в качестве примера можно посмотреть на такую вещь. 1 1 0 1, скажем, возьмём такую матрицу и 1:00 2.
288: Давайте перемножим в 1 порядке. 0 1 1, 0 0 1 на 1:00 2. Ну, не сложно показать, что это 1 0 2 2. А если мы в другом порядке перемножим 1.
289: 0, 0 2 на 1, 1 0 1. Это будет 1, 1, 0 2. Ну, разные матрицы. Ну или в целом понятно, что линейное отображение не коммутативная вещь.
290: Даже отображение из пространства в себя это не коммутативная штука, ну, движение плоскости не коммутативные.
291: Некоммутативный объект и матрица тоже, соответственно. Так, ну хорошо, всем понятно, что теперь, что такое матрицы, почему они так важны? Хорошо. Давай теперь, сколько у нас там времени?
292: Так, ладно, хорошо ну мы научились отображать из некоторого довольно узкого набора пространств из fn в fm поняли, что это матрица, а что делать для всех остальных пространств неуже.
293: Мы не можем отображение как-то нормально закодировать и ответ на самом деле во многих ситуациях можем. Для этого нужно понятие базиса.
294: Так.
295: Давайте дадим для этого 2 предварительных определения.
296: Пусть у нас в какое-то векторное пространство.
297: Над полем. Ну я вот так вот буду обозначать слово над. Так, тогда набор векторов.
298: Ну, давайте его назовём сигма.
299: И давайте скажем, что это какой-то набор векторов в итый, закодированный некоторым множеством индексов и, может конечный набор может бесконечный. Сейчас это не очень то важно, назы.
300: Называется порождающим.
301: Если любой вектор в из нашего пространства в можно представить.
302: В виде суммы.
303: В равняется сумма по нашему множеству индексов каких-то чисел альфа и элементов поля на в и. Но тут важное уточнение где только конеч?
304: Число альфа итых не равняется нулю. Зачем это нужно? Мы научили. У нас в пространстве есть операция сложения 2 векторов. Это означает, что по инду
305: Можем складывать любые n векторов, правильно? Бесконечные суммы у нас запрещены. Мы не можем посчитать бесконечную сумму. Это уже задача на стыке математического анализа и линейной алгебры, как к пределам переходить. Вот.
306: Векторное пространство, но не сигма, алгебра, а причём здесь сигма алгебра? Можно складывать счётные набор?
307: Не, не имеем права складывать счётные наборы векторов, да, вообще бесконечные, не имеем права складывать. Счётные тут не особенно выделяются. Вот сумма должна быть конечная, поэтому почти все коэффициенты должны быть нулями, чтобы прибавление нуля не
308: Не влияло. Правильно? Вот в принципе, можно считать, что мы выбираем из сигмы конечный набор векторов, который уже потом складываются с какими-то коэффициентами, но не хочу это все расписывать проще, по моему, вот так сказать, что сумма бесконечная, но на самом деле конечная из за вот этого вот
309: Условие всем понятно, почему оно важно.
310: Вот. Ну, примеры давайте сразу тут выписывать.
311: Можно взять вообще все векторы. Конечно, это порождающая система. Правда же, любой вектор равняется самому себе с коэффициентом 1 неинтересно. 2 пример берём многочлены над полем эф какой-нибудь.
312: Система порождающая, которая поменьше, чем все многочлены, можете сказать?
313: Общее тоже неинтересно. Мономы 1 икс, икс квадрат, ну и так далее. По определению многочлена это конечная сумма каких-то вот таких мономов с коэффициентами. Это, ну, получается порождающая система, правильно?
314: 3 пример из школьной геометрии. Мы знаем, что любые 2 неколлинеарных вектора на плоскости являются порождающей системой, любой вектор через них выражается. Ну там надо спроецировать на 1, на другую вот это вот все.
315: Ну, как в школе правильно? Вот, ну, хорошо. Теперь другое определение, в некотором смысле противоположное. Те же самые условия в какое-то векторное пространство над полем. Ф, набор.
316: Векторов.
317: Сигма называется.
318: Линейно независимым.
319: Если для любого представления нуля в виде суммы альфа итых витых, где и опять набегает наше множество индексов и
320: Где только конечное число.
321: Ишек альфа итых не равняются нулю. На самом деле все альфа иты равняются нулю. То есть не существует такой, если возьмёте какой-то коне.
322: Набор векторов из вашего сигма и сложите с какими-то ненулевыми коэффициентами, то вы 0 получить не можете. Вот, а в противном случае набор называется независимым.
323: В нём существует линейная зависимость, то есть нетривиальная комбинация, равная нулю. Ну давайте тут тоже примерчики напишем 1 пример, если 0 вектор принадлежит
324: Нашей системе векторов сигма, тогда она какая автоматически зависимая, потому что вы можете взять вектор 0 с коэффициентом 1 и получить 0. Это нетривиальная линейная комбинация, правильно?
325: Sigma линейно зависима.
326: Ну, в многочленах. Давайте посмотрим. У нас было пространство многочленов и сигма это набор мономов, 1 икс, икс квадрат и так далее. Эта система зависима или нет, а независима.
327: Просто по определению 0 многочлен. Это тот, у которого все коэффициенты 0. Правильно? Ну, значит только тривиальная комбинация нулевая.
328: Да, обращаю ваше внимание, что над конечными полями, конечно, бывает такое, что многочлен равен нулю как функция. То есть на всех точках он принимает значение 0, но при этом сам он нулевым может и не быть. 0 многочлен. Это именно у которого коэффициенты все нули. И только так это
329: Независимая система.
330: Так, теперь давайте на плоскость вернёмся. Вот у нас евклидова плоскость, на которой мы ввели векторное пространство, структуру, зафиксировав начало координат, тогда, если мы едем 2 не коллинеарной, они образуют независимую систему линейно линей.
331: Независимая система, если мы возьмём 2 вектора каленарных
332: То они, конечно, образуют, что они разве образуют на плоскости?
333: Там же половина плоскости, ничего не понял, что половина плоскости можно - 1.
334: Мы на любые элементы умножаем, на отрицательные тоже.
335: Нет, я про то, что половину вектора плоскости, если на плоскости, и то половину вектора плоскости такой штукой представить нельзя никак можно. Ну вы же можете и на - 1 умножать то, что туда смотрит. Никак нельзя представить, куда туда. Ну.
336: Если он смотрит, типа, если он какой-то и вот этот вот вектор какой-нибудь нет, в смысле вот этими 2 вторыми, вот этими, да? А я не говорю, что это пример плохой системы, вот это вот не
337: Это независимой про прошлое, про прошлое определение сейчас пока забываем, это разные определения для разных понятий.
338: Поэтому порождающая система сейчас не нужна вообще. Мне только, я только зависимость, независимость смотрю. Это, конечно, линейно зависимая система.
339: Ну или если я возьму 5, 3 вектора на плоскости, тогда тоже получаю независимую систему. Ну, потому что 1 выражается через 2 других, правильно? Там в 3, это альфа 1 в 1 плюс.
340: Альфа 2 в 2. Ну тогда перенесём правую часть. Я получаю линейную зависимость. Вот понятно определение, зачем они нам нужны для супер важного понятия базиса.
341: Давайте дадим сразу 4 определения и, наверное, не будем уже доказывать, что они эквивалентны. Это довольно лёгкое утверждение, в общем то, а у нас времени не очень много осталось.
342: Определение бази система.
343: Векторов или набор векторов, неважно, сигма в векторном пространстве в называется базисом.
344: Если выполняется 1 из следующих 4.
345: Эквивалентных
346: Свойств.
347: 1 свойство сигма это минимальная
348: По включению.
349: Порождающая система.
350: 2 свойство сигма это максимальная по включению
351: Линейно независимая.
352: Система.
353: 3 свойство сигма это порождающая
354: Линейно независимая.
355: Система.
356: И 4 определение для любого вектора в из в. Существует и Ровно 1 набор.
357: Чисел альфа итой такой, что в равняется сумме, ну, по стандартному множеству альфа и в и
358: Вот, ну, опять же, тут, да, включение имеется ввиду. Сейчас я поясню, да, давайте поясню все, что написано здесь минимальное подключение, что это означает? Это означает, что мы из нашей системы не можем ни 1 вектор выкинуть, чтобы она
359: Стала зависимой, она не не минимальна по какому-то количеству элементов. Мы не можем там сравнивать 2 непонятные системы. В общем, минимально именно в этом смысле выкинуть из неё ничего нельзя, чтобы она осталась порождающей.
360: Точно также здесь максимальная по включению, значит, мы не можем ничего добавить, чтобы она осталась линейно независимой. Хоть что-нибудь добавим, появляется зависимость автоматически. Ну, 3, наверное, понятно, что такое. Ну и 4 вот тут опять в этой
361: И сумме, конечно, только конечное число альфа так не равняется. Нулю надо здесь добавить, иначе сумма не имеет смысла. Вот.
362: Из того, что порождающая система, мы знаем, что такое такие альфы существуют, но вот они Ровно 1 способом определяются.
363: Вот, понятно определение вот особенно важное. Тут, мне кажется, 4 свойство для любого вектора существует Ровно 1 набор альфа итых. Тогда вот эти вот альфа иты называются
364: Центами вектора в базисе. Ну вот в этом вот базисе сигма.
365: И таким образом мы каждому ветусу подставляем некоторый набор чисел. Возможно, конечный, возможно, бесконечный. И чем это хорошо тем, что теперь мы можем работать не с векторами непонятными, а с числами просто.
366: Если у вас есть конечный базис, вы каждому лес представляете конечный набор чисел, причём складываются числа, эти наборы чисел опять же покомпонентно. То есть вы с помощью 4 свойства отождествляете ваше пространство с fn. Давайте это зафикси.
367: CRM.
368: Если в в. Есть конечный базис.
369: В 1 в and to the после выбора базиса канонически изоморфно пространству эф эн каким образом? Ну, мы каждому вектору сопоставляем?
370: Его набор координат альфа 1 альфа and в этом базисе.
371: Сумме векторов соответствует сумма коэффициентов при умножении на число тоже все сохраняется.
372: Сейчас скажу теорема, а пока вот это вот понятно это супер важное утверждение, что выбор базиса, упорядоченный, позволяет нам отождествить любое пространство, если он конечный, конечно, с fan. А чем это хорошо тем, что в такой
373: Ситуации, вы отображение из в в у тоже можете задавать матрицей. Выбираете базис, здесь выбираете базис, здесь отождествляете это с fn, таким образом, это с fn эфэм.
374: Ну и все отображение н в fm кот задаётся матрицей, но конечно для этого нужно сначала зафиксировать базисы, которые вы выбрали здесь и здесь иначе не работает и конечно эта матрица сильно зависит от выбора базиса выбираете другой ба.
375: Здесь другой базис, здесь матрица меняется, поэтому для произвольных пространств нет понятия матрицы отображения однозначной, определённой. Есть понятие матрица отображения в таких-то базисах. Сначала базисы выбираем, потом записываем в этих базисах матрицу.
376: Все понятно, как это работает?
377: Ну хорошо, теорема баазис существует в любом пространстве, и опять мы докажем её неконструктивно. Скажем, в пространстве Гладких функций на отрезке. Мы базис построить не.
378: Когда не сможем, абсолютно явный.
379: Но можем доказать, что он есть какой-то очень большой и страшный, но есть теорема в любом векторном пространстве существует базис.
380: Давайте докажем, благо мы уже 1 раз похожее нечто доказывали. Давайте рассмотрим множество. Пусть м множество всех линей.
381: Независимых.
382: System векторов в. В. Так вот, м. Частично упорядочено.
383: Когда система сигма 1 меньше либо равна сигма 2, естественно, по включению, правильно? В том только случае, когда sigma 1 содержится в
384: Sigma 2 вот это частично упорядоченное множество. Давайте рассмотрим какую-нибудь цепь, возрастающую независимых систем сигма 1 меньше, либо равна сигма 2 меньше, либо равна
385: Ну и так далее. У этой системы есть верхняя грань. Какая это система? Объединение, объединение по сигма итых по всем и от 1 до бесконечности. Это верх.
386: Грань.
387: Ну, из построения понятно, что она больше всех, правильно вот этих вот систем, почему она независимая линейно, потому что если бы в ней была какая-то конечная зависимость, 0 равняется сумме, там, альфа житых в
388: И то в этой сумме есть только конечное число ненулевых коэффициентов, правильно? Значит, они все лежат, да, каждый выжитый в каком-то, какой-то своей сигме лежит. То есть у них есть самая большая по номеру, в ней лежат вообще все.
389: Правильно, поэтому уже в этой сигме, в какой-то сигма энной непонятной, лежат все эти векторы и там уже есть зависимость, а она независимая по выбору. Правильно? А мы противоречие.
390: Но.
391: А какая разница, можно и конечную взять можно.
392: Ну, можно и несчётную, в принципе, да, если она линейно упорядочена как-то, то можно. Ну да, не суть важно, извините ещё раз. Получается, объединение по всем и тоже линейно независимое будет, да?
393: Ну, мы это только что доказывали. Если если в ней зависимость есть, то зависимость появляется и в какой-то сигме из вот этой вот цепи, потому что тут только конечное число вэшек входит. Среди этих вэшек есть та, которая живёт в сигме.
394: Наибольшим номером. Вот её и возьмём, в ней все остальные автоматически лежат, потому что включение есть, да, там любая цепь может быть. Главное, чтобы она была упорядочена. Так, ну хорошо. И мы понимаем, что в этой множестве выполняются условия леммы цорна, значит, там есть
395: Максимальный элемент в m выполняется лемма торна, следовательно, есть максимальный элемент.
396: Ну, этот максимальный элемент просто по определению является базисом, потому что базис это независимая система, максимальная по включению, ну или можно показать, что она порождающая заодно, потому
397: Если есть вектор, который не выражается через её элементики, добавим его и получится независимая система. В общем, это часть рассуждения. Почему те 4 свойства эквивалентны, которые я ставил в качестве упражнения
398: Вот понятна эта штука.
399: Точно так же, как мы максимальный идеал строили, также строим максимальную независимую систему. Вот так. Ну хорошо. Доказательство того, что независимая система всегда есть.
400: Ну, понятно, есть. Ну, в смысле, это тоже не, ну да, тут, конечно, я зря сказал, что в любом, в любом не нулевом.
401: Ну хотя ладно, в любом тут, если пространство не нулевое, тогда, в ней, тогда м не пустое множество, любой вектор образует независимую систему 1 вектор.
402: А вот если оно нулевое, в нём просто пустой бас надо взять.
403: Пустое множество векторов. Ну там, конечно, что такое сумма пустого нуля векторов, это не очень понятно. Мы просто определяем это нулём, и все нулевое пространство поделено нулём векторов. Вот. А во всех остальных лемон работает. Вот.
404: Так, ну хорошо. Ну теперь из школьной геометрии мы знаем, что если есть евклидова плоскость, то вводить систему координат нужно только с 2 осями. Правильно? Нужен 1 вектор, другой.
405: Задают оси, после чего мы начинаем раскладывать вектор по этому базису. У любого вектора на плоскости только 2 координаты. Мы не можем ввести 3 координаты, то есть на плоскости не существует базиса.
406: Из 3 элементов и 1 дату ввести не можем. Базис из 1 элемента тоже не существует. Все базисы на иовой плоскости содержат Ровно 2 вектора. Нужно Ровно 2 вектора, чтобы координаты вводить. Правильно? Ровно 2 оси. Почему?
407: Вот так. Но это частный случай более общей теоремы. Ну давайте мы её докажем только в случае конечномерных пространств. В общем случае, в принципе тоже можно показать, что bois равномощны, но это сложнее в общем то, нам не нужно теорема.
408: Пусть.
409: В. В. Есть конечный базис.
410: Ну, давайте его назовём в 1 the н тогда все остальные базисы конечны и
411: Содержит.
412: Ровно n элементов.
413: Так, и в этом случае, да, определение дадим, если во всех базисах, ну или хотя бы в 1, что говорит наша теорема, этого достаточно.
414: Н. Элементов.
415: То размерность.
416: Размерность.
417: В. Которая обозначается как Дим в. Равна n размерность это количество векторов в базисе обозначается словом Дим от слова даймен.
418: Вот, и теорема говорит, что размер определена корректно. Если хотя бы 1 базис из есть, то все базисы из элементов и корректное определение получается. Вот. Ну то есть это размер
419: Верность это сколько, с какими параметрами задаётся вектор в вашем векторном пространстве? Ну, скажем, пространство ф м.
420: Имеет размерность n, правильно? В нём есть стандартный базис. Вот теперь слово базис в этом определении понятно мы просто называли базис, не давая смысла этим словам. А теперь слово базис мы хотя бы определили стандартное. Ну просто потому, что
421: Такой стандартный, очень удобный базис, его размерность.
422: Равняется н. А. Скажем, размерность пространства многочленов.
423: Степени не выше n, чему равна n n + 1.
424: Потому что у вас 1 икс, икс квадрат и так далее. Икс в степени n n + 1 элемент получается вот, а все многочлены, это бесконечно мерное пространство, но чётное, мерное в данном случае. Вот, ну давайте теорему докажем. Н.
425: Хотя бы набросаем доказательства быстренько.
426: Так, доказательства. Ну, поскольку у нас базис состоит из n элементов, то другой базис из нуля элементов состоять не может, правда же, 0 элементов в базисе только у нулевого пространства.
427: Давайте возьмём какой-нибудь элемент, пусть сигма это какое-то множество всяких ушек, запараметр зованных каким-то непонятным множеством индексов. Давайте возьмём какой-нибудь элемент оттуда, назовём его у 1.
428: Вот, возможно, конечно, индексы у вас другие, там не натуральные числа. И вообще непонятно, что. Я просто возьму 1 элемент, так его назову и все имею право. Правда же? В общем, что говорит, что мы сделаем на 1 шаге.
429: Тогда можно.
430: Переставить.
431: Элементы базиса в. И таким образом.
432: Что набор элементов у 1, the 2 the and тоже базис. То есть я говорю здесь, что я могу в этом наборе вэшек 1 элемент.
433: Заменить на у 1, чтобы он остался базисом. Ну вот если я переставлю так, чтобы я именно 1 заменял, тогда вот так вот получится, откуда это берётся? Ну, у нас в 1, в энное базис это
434: Означает, что все вектора выражаются через них линейными комбинациями, в частности о 1, у 1 равняется альфа, 1 в 1 плюс альфа, 2 в 2 плюс альфа and the n. И поскольку это не 0 вектор, то.
435: 1 из коэффициентов, хотя бы не 0, правильно? Существует какой-то альфа итый, не равный нулю. Давайте переставим векторы и итый, и 1. Тогда он станет 1.
436: В. И когда можно считать?
437: Что альфа 1 не равен нулю. Вот теперь покажем, что вот этот набор векторов это базис. Для этого нужно показать, что что это порождающая система и что она линейно независима.
438: Ну, предположим, что она линейно зависима тогда какой-то там бета у 1 плюс сумма бета итых в итых, где и от двойки до and равняется нулю. Ну вот.
439: Эти виктороч и виты, они независимы. Это часть базиса, правильно? Весь базис независимый, значит, его часть тоже независимая. Поэтому бета, получается, должен быть не 0, если эта зависимость существует вообще ес.
440: Не все беты равняются нулю то заведомо бета без индекса нулю не равна, потому что иначе была бы зависимость на вёшке, а её нет.
441: Ну тогда перенесём все в правую часть и поделим на бета получается у 1 это сумма и от двойки до and бета итая минус здесь поставим делить на бета the.
442: И что мы видим, где противоречие получилось?
443: Вот на этом шаге получилось противоречие с чем-то более ранним, что
444: Правильно, у нас получилось. У, у, 1, 2 разных разложения в 1 коэффициент, при, в 1 не 0, во 2 0. Правильно?
445: Вот разложение у по базису, и вот разложение у по базису, и они разные в 1 участвует в 1, в другом не участвует противоречие.
446: С единственностью.
447: Так, независимость доказали. Теперь давайте докажем то, что она является порождающей. Ну, вектор вектора в 2 в. Н. Выражаются.
448: Через наш набор, о 1 в 2 в and по той простой причине, что они в нём содержатся. Правильно? А вектор в 1 тоже выражается из за вот этого соотношения в
449: 1 равняется минус у 1, делить на альфа 1.
450: Минус альфа 2, делить на альфа 1, the 2 минус альфа and делить на альфа 1, the and итого все the итые мы научились выражать линейной комбинацией.
451: Вот этих вот элементов, а любой вектор в выражается в виде линейной комбинации.
452: Нам гамма и в и исходных элементов базиса. Ну, подставляем сюда выражение в 1 через наши векторо и получаем выражение любого вектора через вот эти вот векторы. Поэтому это порождающая систе.
453: Тема, то мы проверили, что она независимая и
454: Порождающая, значит, это базис. Вот теперь что мы делаем дальше? Давайте заметим, что в сигме заведомо есть и ещё какие-нибудь векторы, правильно? Если бы в сигме был только вектор.
455: Ооо, 1, то мы бы получили, что у 1 образует базис, но эта штука тоже образует базис, и она больше не n элементов, а не 1. Это противоречие с минимальностью. Поэтому такого быть не может. Значит, там есть
456: Ещё какой-то элемент возьмём си у у 2.
457: Из sigma без у 1 у 1 мы уже перекинули в наш базис, возьмём другой элемент у 2, тогда можно переставить снова.
458: Элементы в 2 в н. Так.
459: Что у 1, у 2 the 3 the aan снова образуют базис, ну и в целом тут тоже самое рассуждение берём наш у 2, представляем его в виде.
460: Комбинации альфа о 1 плюс сумма альфа итых вэ итых и от двойки до and они все нулю быть равны не могут, потому что иначе бы у 2 выражался через ооо 1, а это базис, такого не
461: Бывает. Значит, 1 из альфа итых какой-то не равен нулю переставляем со 2 можем считать, что альфа 2 не равен нулю, ну а дальше все тоже самое. Если альфа 2 не равен нулю, то вот это вот
462: Штука независима, доказывается примерно так же и эта штука порождает все тоже доказывается примерно так же.
463: Вот, в общем, аналогично.
464: Прошлому шагу доказывается, что эта система линейно независима.
465: И порождающая.
466: Ну вот, мы теперь 2 элемент базиса заменили на ушку и снова. Если оказалось так, что and не равняется двойке. То есть есть ещё вёшки, то в сигме есть ещё 1 у, ну потому что эти 2 вектора не могут образовывать базис, раз он
467: Является частью большего базиса. Значит есть у 3, у 3 тоже можно замени на у three можно заменить какой-то следующий вектор и так далее. В итоге мы заменяем, заменяем, заменяем на каждом шаге это можем сделать и приходим к ситуации, когда у нас
468: Все векторы в заменены на векторы у у 1 у and и это базис. Каждый раз, заменяя 1 вектор, мы оставляли наш набор базисом. В конце тоже будет базис, но значит, он совпадает с сигмой, потому что в сигме не может быт.
469: Больше элементов это минимальный набор, возможный, значит это он, следовательно, совпадает.
470: Sigma и в сигме н. Элементов Ровно конечное число, столько же, сколько и вэшек, понятно в целом рассуждение.
471: Каждый раз 1 вектор чек в базисе заменяем на из другого базиса какой-то из за n Шагов мы заведомо добьёмся того, что все вэшки заменились на ушки, и это базис, значит, он совпадает с сигмой.
472: Потому что минимальность есть. Вот, вот получили, что есть понятие размерности. В конечном случае это вообще очень приятно, потому что если есть конечный базис, у вас есть отождествление.
473: С fan вы вводите координаты, а координаты зачем нужны, чтобы вычислять что-то правильно, метод координат именно на этом и работает, что в них можно все вычислить, все, что хотите, вот и если вы вводите базисы, то вы векторы выражаете.
474: Столбиков координат и записывать отображение матрицами все очень приятно и работает вся та же наука, что была для при отображении из фн в fm и так далее, с теми же законами всем понятно.
475: То на сегодня заканчи.