0: Так, ну давайте начнём в прошлый раз. Мы обсудили, что такое матрицы обсудили, как с ними, что с ними вообще можно делать, что они из себя представляют, но матрицы нужны не только для
1: Того, чтобы задавать ими линейные отображения, как мы позже увидим, ими ещё много разных вещей. Задаётся, например, всякие квадратичные белине ные формы и так далее. Ну а сегодня такой школьный пример ещё
2: 1 использования матриц, а именно решение системы линейных уравнений, какую-нибудь систему линейных уравнений запишем её в таком виде a1 1, x 1 плюс a1 2 икс, 2 плюс а.
3: 1, n. X, n равняется какому-то там бэ. 1, а, 2, 1, x 1 a2 2 икс 2 плюс так далее плюс a2, n. X, n.
4: Равняется b2, b2, ну и так далее, пусть у нас m уравнений, а. M 1, x 1 плюс r, m 2, икс 2 плюс r m n.
5: X and равняется бэ эм, где ашки? Это какие-то коэффициенты? Иксы это неизвестные бэшки, это тоже какие-то числа ну, давайте произвольным полем работать вот эти вот а, и житы, и
6: Бэ итые живут в каком-то поле. Эф, вот как решать такую систему? Ну самый стандартный метод взять из 1 уравнения какую-то переменную выразить, подставить во все остальные, получить систему из
7: На 1 меньшего количества уравнений и на 1 переменную меньше её решать. Таким же образом. Правильно? Ну, мы сейчас сделаем нечто подобное, но другим способом определения я не
8: Зря тут обозначал вот такими вот символами коэффициенты с индексами двойными, потому что по ним уже видно, что их хочется, что сделать в матрицу запихнуть. Правильно? Вот давайте возьмём такую вот эту систему уравнений. В таком случае матрица
9: A1 1, a1 2, a1, n r m 1, а m n называется матрицей.
10: Системы линейных уравнений.
11: Вот. Ну, конечно, не только ашками определяется система, но ещё и бэшками, поэтому давайте их тоже допишем сюда в виде ещё 1 столбика справа, например, м, 1.
12: M 2 а am н бэ эм, вот эту вот штуку мы будем называть расширенной матрицей.
13: Система линейных уравнений, но я не буду расписывать слова целиком. Вот так будем сокращать. Так хорошо.
14: Поскольку видно, что матрица расширенная полностью, нашу систему определяет, давайте мы будем теперь вместо систем линейных уравнений возиться с этими самыми матрицами. Что мы с ними будем делать? Мы хотим как-то нашу систему привести.
15: К Такому виду, который будет гораздо проще решать, а как мы это будем делать? Мы будем делать это так называемыми элементарными преобразованиями матрицы определения, они бывают 3 типов.
16: Давайте начнём с преобразований строк, они только нам сейчас и понадобятся. Но тоже самое можно, в принципе, для матрицы со столбцами делать. Хотя для матрицы уравнений это особого смысла не имеет. Что это такое? Они бывают 3 типов.
17: Преобразования 1 типа, которые обозначаются и и жи альфа с 3 индексами, и и жи, это какие-то 2 числа различных
18: От 1 до м.
19: А альфа просто какое-то число, элемент нашего поля. Что это такое? Это прибавление.
20: К этой строке.
21: Матрицы.
22: Житой строки с коэффициентом альфа.
23: Вот, то есть мы берём нашу эту строчку, которая была а и 1 а и 2 r i n.
24: Бэ и и превращаем её в а и 1 плюс альфа а жи 1 а и 2 плюс альфа а жи 2. Ну и так далее преобразование.
25: 2 типа обозначаются такой вот цифрой 2 римской с 2 индексами и и альфа, где снова и от 1 до м. А альфа теперь какое-то ненулевое число, не 0 элемент на
26: Поля, что это такое? Это умножение.
27: Этой строки.
28: На альфа.
29: Вот, ну, понятно, почему не нулевое число, потому что иначе строка обнулится и нулевое уравнение нам не интересно было. Какое-то осмысленное, стало нулевое. Так делать нехорошо. И 3 преобразование обозначается
30: 3 с 2 индексами и не равняется жи, и они тоже.
31: Единица до м. Это перестановка.
32: Этой, из этой строки.
33: Вот такие вот преобразования матрицы, чем они хороши, а тем, что если мы эти преобразования применяем к нашей матрице системы линных уравнений, к расширенной мат,
34: То множество решений при этом не меняется.
35: Будем называть эквивалентными системы иных уравнений, которые имеют одно и то же множество решений. Если мы хотим решить систему, мы, конечно, можем попытаться эквивалентно её решать. Если она выглядит проще. Так вот.
36: Простенькое.
37: При элементарных преобразованиях строк.
38: Система уравнений превращается в эквивалентную ей.
39: Точнее, не так. Давайте напишем.
40: Матрица сейчас. Ладно, не важно. В общем, система уравнений.
41: Меняется на эквивалентную
42: Ну давайте покажем, что вот если у нас была 1 матрица системы линейных уравнений расширенная, и мы что-то там с ней сделали, какое-то преобразование получили матрицу, а штрих ей соответствует тоже какая-то система линейных уравнений, то у этих систем одинаковые
43: Решение. Ну давайте проверим, что любое решение
44: Системы соответствующие, а штрих, точнее, наоборот, системы, соответствующий матрице, а
45: Является и решением вот этой вот системы новой.
46: Ну допустим какие-то там какой-то там набор x, 1, x and удовлетворял всем уравнениям исходной матрицы посмотрим что происходит после преобразования 1 типа там все строчки точно такие же, поэтому все уравнения, кроме одног.
47: Вообще не изменились никак, они, конечно, тоже удовлетворяются а как выглядит то уравнение, которое изменилось, оно выглядит так а и 1 плюс альфа а жи 1 на x 1 плюс а и.
48: 2 плюс альфа а жи 2 на x 2, так далее a i, n плюс альфа, а жи n на x and равняется бэ и plus.
49: Альфа бэ жи ну не сложно видеть, что это линейное уравнение, это просто сумма 2 линейных уравнений а и 1 x 1 плюс a i n x n равня.
50: Равняется бэ и ну и а жи 1 x 1 плюс а жи n x n равняется бэ жи, если у нас x вот этот вот набор чисел подходил сюда и с.
51: Да, то, умножив вот это равенство на альфа и сложив с этим, получим вот это вот равенство. Поэтому, конечно, ему оно тоже удовлетворяет. Ну, понятное дело, что если мы умножаем строчку на альфа, то уравнение тоже умножается на альфа, и, конечно же, оно тоже удовлетворяется. Ну,
52: Мы переставляем 2 строчки местами, но 2 уравнения переставляются. Понятное дело, что решение по прежнему подходит после этого. Вот, ну, так мы показываем, что решений, любое решение этой системы является её
53: Решением вот этой системы можно, в принципе, и обратно тоже самое сделать, показать, что любое решение вот этой является решением вот этой. Но это делать необязательно, потому что как не сложно видеть все преобразования обратимы, если вы к строке прибавляете другую умноженную
54: На альфа, то чтобы сделать, как было нужно вычесть её умноженную на альфа. Это тоже произведение 1 типа. Если вы умножаете строку на альфа, то нужно сделать умножить эту строку на альфа в минус 1, чтобы вернуть как было. Но если вы переставили строки местами нужно опять же
55: Снова их же переставить вернуть, как было. Поэтому решения не могут и пропасть. Если решения появиться не могут, то из за обратимости они и пропасть тоже не могут. Вот такое несложное утверждение. Хорошо? Ну.
56: Вот мы умеем, теперь знаем, что при преобразованиях множество решений не меняются. Значит, мы можем попытаться как-то с помощью этих преобразований привести матрицу к Такому виду, в котором и решить уже.
57: Будет гораздо проще. Этот вид называется ступенчатым деление матрица.
58: А называется ступенчатой, если в ней выполняются 2 условия. 1 все.
59: Нулевые строки.
60: Находятся ниже всех ненулевых.
61: Нулевая, где все элементы нулевые, не нулевые, где хотя бы 1 не 0, и 2 ведущие элементы.
62: Так, сейчас давайте так, номера.
63: Ведущих элементов.
64: В ненулевых строках.
65: Строго возрастают.
66: Что это означает? Ну вот у меня есть какая-то матрица, в ней есть ненулевая строка. Если строка не нулевая, ней есть хотя бы 1 ненулевой элемент. Вот самый левый из них самым меньшим номером называется ведущим. Вот у меня тут 0 0 1.
67: И дальше что угодно. Тогда этот элемент 1 называется ведущим. Вот если матрица ступенчатая в следующей строке ненулевой ведущий элемент должен быть строго правее, чем вот эта единица, то есть до не до вот это.
68: Этого столбца нули и в этом столбце 0, а вот дальше что-нибудь там может стоять, пусть тоже какая-нибудь единица и так далее. То есть если вот так вот нарисовать
69: То матрица образует вот такие вот ступеньки, где до ступеньки стоят сплошные нули, здесь стоят какие-то ненулевые элементы. А б. Ну и под всей этой картинкой тоже сплош.
70: Нули нарисованы. Вот понятно, что такое ступенчатый вид. Правильно. Вот метод гаусса, который на самом деле sam гаусс н в другой ситуации применял. И мы на самом деле скоро перейдём, не знаю.
71: Сегодня или все-таки уже в следующий раз к тому, как именно сам гаусс применял этот самый метод, но вот классический называется и для решения систем хранения тоже его именем предложение
72: Любую матрицу можно элементарными преобразованиями привести к вот Такому вот ступенчатому ввиду.
73: Элементарными преобразованиями.
74: Строк привести.
75: Можно привести.
76: К ступенчатому виду.
77: И более того, можно привести к так называемому каноническому ввиду.
78: Который уже определён однозначно. Сейчас скажу, что это такое.
79: Что такое канонический вид или улучшенный ступенчатый?
80: Матрица имеет канонический вид.
81: Если она ступенчатая.
82: И кроме того, вот эти вот ведущие элементы единички, над ними стоят только нули все ведущие.
83: Равны единице.
84: А в столбцах над ведущими.
85: Стоят нули. То есть в нашем случае вот здесь стоит единичка, здесь стоит единичка над этой единичкой нули, здесь тоже нули, здесь вот 000 стоят, но все другие элементы в этом ступенчатом
86: И какие угодно. Вот, ну давайте это покажем.
87: Это совсем такое несложное, конструктивное. Ну вот у нас есть какая-то матрица, мы хотим сделать из неё что-то похожее на вот это, возможно, в ней стоят в первых столбцах какое-то количество нулевых столбцов, их мы
88: Вообще ищем 1 ненулевой столбец. В общем, алгоритм такой.
89: 1 шаг ищем.
90: Не 0 столбец. Вот нашли мы его, вот, допустим, 1 столбец оказался ненулевым. Вот здесь где-то есть
91: Ненулевое число, что мы сделаем? Нам нужно, чтобы в 1 строке ведущий элемент оказался самым левым. Значит, мы должны этот ведущий элемент на это место поставить. Переставим 2 строчки местами так, чтобы этот ведущий, этот ненулевой элемент оказался
92: 1 это преобразование 3 типа строки.
93: Так, чтобы не 0.
94: Элемент оказался наверху, на 1 месте. Вот, а потом нам что нужно для ступенчатого вида, нужно, чтоб под
95: Предыдущим элементом остались только нолики, но мы это можем реализовать с помощью 1 типа берём строчку и вычитаем из неё вот эту вот с нужным коэффициентом. Благо тут стоит ненулевое число, на которое можно делить преобразованиями.
96: 1 типа.
97: Можем обнулить все элементы под ним.
98: Вот так мы добились, чего есть какое количество нулевых столбцов. Вот тут стоит ненулевое число, под ним сплошные нолики. Что делаем дальше? Ну, если мы ищем просто канонический вид, нам уже без разницы, что будет происходить дальше в 1 строчке.
99: И мы на неё забиваем, остаётся матрица.
100: Вот такая где-то уже меньшего размера и мы будем теперь работать с ней. Вот тут мы уже добились того, что не нулевое число. Тут неважно что, и вот тут стоят сплошные нолики. Смотрим теперь на следующий столбец после нашего, может
101: Что вот тут стоят сплошные нули. Ну тогда мы переходим дальше, смотрим на следующий столбец. В общем, ищем в матрице из, ну вот в этой нарисованной матрице, в которой мы уже выкинули 1 строчку за ненадобностью и все столбцы
102: До вот этого ищем 1 ненулевой столбец.
103: Меньшей матрицы.
104: Вот когда нашли, переставляем строчки так, чтобы не 0 элемент в этом столбце оказался во 2 строчке 5 переставляем.
105: Строки так.
106: Чтобы не 0 элемент.
107: Оказался во 2 строке.
108: Ну и снова преобразованиями 1 типа.
109: Обнуляем все, что стоит под ним.
110: Ну, в общем, так далее. Понятен алгоритм. Каждый раз ищем ненулевой столбец, переставляем элемент так, чтоб строчки так, чтобы этот ненулевой элемент оказался в нужной нам строке, после чего все, что не нужно, ниже него обнуляем. Вот.
111: Ну, то, что получится, это будет ступенчатая матрица.
112: Вот итог этого алгоритма, это, конечно же, ступенчатая матрица. Почему? Ну, если бы так оказалось, что в какой-то строке есть, есть какая-то нулевая строка, вот эта вот, которая стоит над ненулевой
113: Такой, такой-то элемент. А, ну сейчас почему такого не должно быть, если строка нулевая, в ней никогда не появлялось никакого
114: Сейчас, как это проще сказать? Ну мы же поменяли просто.
115: Той, в которой есть хотя бы 1 0 5 шаг.
116: Ну вот, допустим, мы сделали наше преобразование с первыми и строками. Мы в 1 строке сначала что-то поставили ненулевое во 2, в 3 и так далее. В них по определению стоит что-то ненулевое, правильно, но по построению понятно, что все элементы строки
117: Ниже этих должны быть, конечно, нулевыми. Мы каждый раз обнуляли все элементы в ведущих строках, а все элементы, которые стоят не в ведущих строках, были нулевыми по вот этому предположению.
118: Вот, поэтому то, что стоит ниже, конечно, должно быть нулевое. Если бы была такая ситуация, мы бы на вот этом вот шаге переставили эти строки местами или даже более более высокой переставили. Местами такого быть не может. Ну и опять же, построение
119: Очевидно, что все ведущие элементы находятся, образуя их номера, точнее, образуют строго возрастающую последовательность. Вот, ну, если мы хотим, если мы уже сделали ступенчатую какую-то матрицу, как из неё сделать?
120: Каноническую матрицу, канонический вид ей придать. Ну, во первых, какие-то ненулевые элементы, a1, a2, a3, a4. Ну, сделать единицами, что мы сделаем? Мы просто поделим эти строки на, a1 на
121: На 2, на 3, на 4 преобразованием 2 типа. Вот, ну и чтобы обнулить элементы над ними, опять же, преобразование 1 типа, просто вычитаем из 1 строки вот эту на нужное число умноженное, ну и так далее. Вот это я уже не буду.
122: Записывать, тем более не особенно. Это так и нам и важно. Вот. И тут есть такой факт, что, как бы мы не делали наше преобразование. В принципе, конечно, алгоритм написан здесь, и можно было бы сказать, что именно по нему мы и
123: Обязаны строить, но нет, это далеко не всегда удобно, иногда удобно от него отходить, как-то по другому переставлять или по другому вычитать строки. Вот, ну вот, как бы мы не делали, какие бы преобразования мы не совершали, если мы получили каноническую матрицу, она определена.
124: Однозначно абсолютно, но я не буду сейчас это делать. Это задача из домашнего листочка. Вот. Поэтому она и каноническая, что определена абсолютно каноническим образом. Хорошо. Ну вот мы свели нашу систему.
125: Уравнений к такой, у которой матрица имеет ступенчатый вид. А чем хороша такая матрица? А тем, что у неё уже решения выписываются довольно легко и явно более менее. Так давайте определение сначала дадим. Вот если
126: Мы нашу систему решаем, привели матрицу к ступенчатому виду.
127: Стоят сплошные нули, тут стоит непонятно что, так вот, номера столбцов, соответствующих ведущим элементам, в каждой строке соответствуют, точнее, переменные им соответствуют.
128: Называются главными главные.
129: Переменные.
130: Это те, чьи номера?
131: Соответствуют ведущим элементам в строках.
132: А все остальные переменные называются свободными.
133: Вот, и как же решать систему уравнений, которая имеет ступенчатый вид? Ну очень просто предложение.
134: Предположим.
135: Так, не так, давайте начнём с того, когда система вообще имеет решение. Иногда вот мы приводим матрицу, расширенную к ступенчатому виду, и может получиться такая ситуация, что есть такая строчка, идут сплошные нули и только последний элемент соответствующий
136: Свободному члену тут какой-то битый, непонятный, тогда очевидно, что эта система решения не имеет правильно, потому что уравнение, соответствующее этой строчке, имеет какой вид 0 x 1 + 0 x 2 + 0.
137: X. And равняется бэ, и где б. И при этом не нулевое число. Ну явно решения нет, правильно? Ну это, конечно, критерий давайте запишем 1 ступенчатая матри.
138: Сейчас система линейных уравнений имеет решение.
139: В том и только в том случае, когда в ступенчатой форме
140: Нет вот такой вот братской строки.
141: Строки вида 00:00 б какое-то непонятное не 0. Вот. И 2. Вот если решение есть
142: То они имеют следующий вид.
143: Свободные переменные могут принимать любые значения.
144: На то они и свободные.
145: А вот главные через них уже однозначно выражаются, причём линейным образом.
146: Линейно.
147: Выражаются.
148: Ну, давайте мы это все докажем, но тут в 1 сторону. Очевидно, если у нас появилась вот такая вот строчка в вашей матрице, ей соответствует вот такое вот вырожденное уравнение, которое, конечно же, решений не имеет. А вот если таких строчек не появилось, давайте явно
149: Укажем эти самые решения, сделав пункт 2, поэтому в обратную сторону пункт 1 доказывать не надо.
150: Если решение есть, если решение есть, то есть вот такой вот строчки не появилось. В таком случае решения, как считаются свободные, переменные принимают вообще абсолютно любые значения, а главные через них однозначно выражаются линейной функцией.
151: То есть, если есть главная переменная x житая, то она через все последующие свободные переменные выражается как сумма, какие-то там коэффициенты на всевозможные икс каты, где-ка больше жи и
152: А свободная?
153: Вот, ну, довольно тоже такое лобовое утверждение. Если мы уж такую матрицу получили, давайте решать соответствующую систему. Ну, как это делается? А это делается просто решаем её последовательно снизу вверх.
154: Смотрим на последнюю ненулевую строку она имеет там какой-то вид а жи к a zhi ка + 1 и так далее какое-то бэ жи какое уравнение этой строке соответствует.
155: Ну уравнение a zhi ка, которое не равняется нулю на икс-ка плюс a zhi ка + 1 икс-ка + 1 плюс так далее плюс а жи n.
156: X and равняется бэ жи ну это уравнение легко решается переносим все вот это вот дело в правую часть и делим на этот коэффициент, правильно?
157: X катой равняется минус сумма ну ладно, давайте явно распишем минус а жии-ка + 1 икс-ка + 1 делить на а жэ-ка.
158: Минус а жи к + 2 делить на a zhi ка икс-ка + 2 и так далее минус а жи n делить на а жи k x and.
159: Плюс бэ жи делить на а жика.
160: Ну вот у нас главная переменная выразилась через свободные, которые имеют больший номер, правда, причём однозначно смотрим на предыдущую строчку вот стоит какой-то элемент а жи, ну там не k a l непонятный, ну и что-то там ещё дальше бэ.
161: Жи - 1. Выписываем соответствующее уравнение а жи - 1, - 1, эль икс эль плюс и так далее. Плюс а жи - 1.
162: And x and равняется бэ джи - 1 ну снова точно также переносим все, кроме 1, слагаемого вправо это не нулевое число, можно на него поделить, получить похожий вид для переменной икс эль.
163: Но там среди свободных переменных, затесалась 1 главная, ну, то, что мы с ней делаем, просто берём и подставляем, то, как мы её выразили через свободные, правильно приводим подобные слагаемые. Вот это вот все.
164: Или можно в канонической форме обнулить заранее, да, тогда не придётся ничего подставлять. Вот. Ну, в общем, так и так далее. Правильно? Мы каждый раз можем из канонического вида однозначно выразить переменную икс сколько-то
165: Там через все предыдущие и подставить все главные, которые мы уже вычислили на предыдущих шагах. Так мы получим выражение главной переменной через свободные, однозначные. Правильно? Вот, ну, в частности, решение
166: Есть свободных переменных может и не быть вообще, но главные уж как-нибудь выражаются через свобод. Ну так через свободные и вот эти вот свободные коэффициенты, правые части, правильно? Поэтому и обратная часть тоже доказана.
167: Ну вот такой вот метод, да, и как вы правильно заметили, если у нас улучшенный ступенчатый вид канонический, то все гораздо проще. У нас тут стоят единицы, над единицами стоят нули. Что будет, если, а жк это единица, ну,
168: Ничего вообще не придётся делить правильно? Просто перенести в левую часть. Итого мы видим, что вот эти вот коэффициенты кот здесь написаны. Это и есть коэффициенты разложения главной переменной по свободным. Вот. И поскольку тут над ними стоят нули,
169: То никаких других Шагов делать даже не придётся в выражении вот этой вот переменной не участвует вообще вот эта вот главная переменная, ничего подставлять не надо. Вот. Поэтому тут ещё все проще. Есть вопросы по вот этому вот всему.
170: Если нет, ну здесь да.
171: Ладно, показалось. Так, давайте ещё кое-что обсудим про матрицы.
172: Над полями, а потом будем потихоньку двигаться к тому, зачем на самом деле я это все рассказываю.
173: Так.
174: Ну хорошо, определение пусть, а это какая-то матрица на
175: Над полем ф.
176: Тогда.
177: Рангом этой матрицы.
178: Называется размерность образа отображения, заданного этой самой матрицей, если у нас матрица размера m на n.
179: Тогда она задаёт отобра, тогда, как мы обсуждали в прошлый раз. Оно задаёт нам отображение, некоторое из эф эн в эф эм. Правильно, это линейное отображение, у которого можно образ посмотреть, образ.
180: С линейного отображения является векторным подпространством. Так не сложно видеть, и у него есть размерность, она конечная, потому что оно подпространство в конечномерном пространстве эфэм, правильно, у этой размерности темы, образа, конечно, может быть поменьше в час.
181: Там все может в 0 отправиться тогда, но вообще нулевая считается. Вот понятно определение, но у ранга есть ещё 2 альтернативных определения, давайте их тоже дадим. Это определение 1.
182: Деление 2 ранга, что это такое, только давайте, пока мы не доказали, что это одно и то же будем их различать, сделав некоторый индекс здесь ранг столбцовый.
183: Матрица а.
184: Это.
185: Наибольшее количество линейно независимых столбцов.
186: Столбцы матрицы образуют, ну, столбцы высоты м образуют, конечно, векторное пространство, там можно складывать столбцы умножать на числа. Вот у нас есть в матрице м. Н. Каких-то там столбцов, выбираем, среди них те,
187: Независимо, причём в максимально возможном количестве. Вот это вот количество называется столбцовыми рангом и аналогично определяется строчный ранг, определение 3 ранг строчный матрицы, а
188: Это наибольшее количество независимых строк, аналогично строки матрица это строки из n элементов, их можно складывать, умножать на числа и можно определить лизависшие строки сколько их может быть максимум это.
189: Строчный ранг наибольшее количество линейно независимых строк.
190: Вот, но не зря эти определения дал под номерами, потому что на самом деле 3 определения 1 и того же. Давайте покажем, что это одно и то же число.
191: Теорема.
192: Ранг матрицы совпадает со столбцовыми рангом и совпадает со строчным рангом.
193: Этой самой матрицы. Ну поэтому слова столбцовые, строчные мы уже больше никогда после этого использовать не будем. После теоремы это просто ранг и все хорошо. Вот. Ну давайте это докажем и 1 из
194: Тут прям из определения, очевидно, какое нам очевидно.
195: 1 равенство, очевидно, ранг матрицы совпадает со столбцовыми рангом. А почему? Потому что столбцы порождают образ правильно, если мы рассмотрим отображение ф. А как оно устроено?
196: Умножение Столбиков на матрицу правильно и его образ.
197: Порождается столбцами матрицы.
198: Почему? Ну, по определению, что такое столбцы матрицы, а матрица линейного отображения это то, куда переходят стандартные базисные векторы, правильно? Эф. А от стандартного вектора 1 00:00, это
199: 1 столбец.
200: Ф. Ну и вообще ф. А от итого базисного вектора стандартного это итый столбец.
201: Ну, то есть столбцы, по крайней мере, сами точно в образе лежат, правильно? Ну а теперь заметим, что по этим базисным векторам все однозначно раскладывается. Отображение у нас линейное. Значит, и образ тоже будет также раскладываться по столбцам на
202: Матрицы. Правильно. Вот. Ну, то есть, если мы эф, а применим к вектору альфа 1 альфа and то это тоже самое, что матрицу, а умножить на этот столбец альфа 1 альфа and
203: А это ничто иное, как альфа 1 * 1 столбец.
204: Плюс альфа 2 на 2.
205: Ну и так далее. Поэтому столбцы образуют порождающие систему образа, правильно? Через них все выражается и по определению размерность это на размер наибольшей или независимой.
206: Порождающий системы. Ну это получается столбцовый ранг, правильно? Вот. Поэтому вот это вот равенство довольно тривиальное, прям по определению. А вот это вот уже не очень тривиальное. Давайте мы его докажем.
207: Так, для этого мы давайте докажем 2 леммы, точнее, 3 леммы. 1, что при элементарных преобразованиях строк ни 1 из 2 рангов не меняется ни столбцовый, ни строчный. Ну, точнее, давай.
208: Сначала покажем, что столбцовый не меняется, потом что строчный не меняется, а потом посмотрим, как они себя ведут для ступенчатой матрицы Лема 1.
209: При элементарных преобразованиях строк не меняется строчный ранг.
210: Ну почему это так?
211: Ну, давайте мы возьмём строчки нашей нашей матрицы и посмотрим, а какое вообще векторное пространство они порождают? Вот пусть у это подпространство.
212: В пространстве всех строк.
213: Длины n.
214: Порождённая строками нашей матрицы, а
215: Вот утверждается.
216: Что это пространство не меняется при, ну, во первых, его размерность очевидным образом по тем же причинам это строчный ранг, правильно?
217: Ну, практически по определению.
218: Потому что строки нашей матрицы образуют там порождающую систему, а самая большая независимая порождающая система, ой, просто независимая. Самое большое количество независимых векторов, которые можно взять. Это, конечно, будет базис.
219: Этого пространства по определению это размерность получается так, размерность у это строчный ранг. А теперь давайте покажем, что это у неё меняется вообще при элементарных преобразованиях.
220: Почему? Ну, преобразование 3 типа, оно что делает? Переставляет 2 строки. Ну, порождающая система вообще при этом не меняется. Правильно? Просто переставляются 2 вектора. Понятное дело, что-то, что они порождают, не меняется вообще, если вы 1 строку умножите,
221: На число. Ну порождающая система, конечно, изменится, но то, что она порождает, нет, правильно, если вы через строки ну, давайте их обозначим. A1 а and m это строки, если вы
222: Какую-то там строку записали выделенной комбинации альфа 1 a1 плюс плюс альфа эм а эм. А потом какую-то строку изменили в, скажем, бету, раз умножили на бета.
223: Тогда это, ну, давайте 1 умножим на бета. Тоже самое, что альфа 1 делить на бета, умножить на бета, a1 плюс и так далее. Альфа, эм а эм. Ну конечно, по прежнему выражается через новые строки, правда.
224: Ну и обратно тоже очевидно. Ну и если вы к строке прибавили другую строку с коэффициентом, ну, каким-то там бета, скажем, взяли строку, a1 и заменили её на a1 плюс бета, a2.
225: Ну, это не важно, какие индексы и так все получится. Ну, тогда через новые строки, конечно же, тоже выражается. Надо написать, что это равно.
226: Альфа 1, a1 штрих вот это вот эту новую строку обозначим. A1 штрих плюс альфа, 2 минус альфа.
227: А, 1 бета, a2 плюс так далее. Альфа, эм, а, эм, ну, через новые строки тоже выражается. Вот, ну, и понятное дело, что если выражается через новые, то и через старые тоже выражается, ну и так далее. Ну, то,
228: То есть мы систему то, может, поменяли порождающую, но то, что она порождает, не поменялось вообще никак. Правильно. В частности, размерность у него не изменилась. Значит, значит, не изменился, получается.
229: Вот теперь давайте покажем, что не меняется столбцовый ранг, и тут уже метод другой, потому что столбцы то у нас поменялись довольно сильно, и то, что они порождают, тоже довольно сильно поменялось.
230: При преобразованиях строк элементарных, конечно же, сильно меняется образ того, что получается в ответе, так делать нельзя, но есть другой способ лемма 2 при элемен.
231: Тарных преобразованиях.
232: Столбцов.
233: Не меняется и столбцовый рамка.
234: А это мы докажем следующим образом. Давайте покажем, что при элементарных преобразованиях строк, ой, да не меняются эти самые, как они называются, то не меняются соотношения на
235: Столбцы. Вот.
236: Что я тут имею ввиду? Я имею ввиду, что если столбцы, матрицы какие-то, ну там первые пятые, десятые и так далее были независимы, то они
237: Останутся независимыми. А если у них была какая-то зависимость, то она и останется. Вот. А там, наверное, вверху, вы хотели написать строк, а не столбцов. Ой, да, да, да. Если б столбцы меняли, то да, было бы все проще, да.
238: Питание строк не меняется. Столбцовый ранг, да.
239: Ну, давайте покажем. Ну, давайте покажем, что если у нас было соотношение на столбце, оно и останется. Вот у нас. Давайте, a1 теперь а, and это столбцы нашей матрицы.
240: Вот пусть было какое-то, мы из них взяли какие-то и написали на них соотношение альфа 1 а и 1 плюс альфа 2 а и 2 плюс.
241: Alpha ка а e ка равняется нулю ну что такое соотношение на столбцы ну давайте распишем эти столбцы теперь все-таки альфа 1 на а жи 1 1.
242: Ой, не так на столбцы фиксируются, там 2 координата получается одинаковая a1 жэ и 1 a2 и 2 ой и 1 a, m, i, 1 плюс.
243: Альфа 2 на 2 столбец a1 и 2 а m и 2 и так далее альфа-ка на a1 и-ка.
244: А. М. И к. Равняется нулю. Ну, у нас что, умножение столбца на число и сложение покомпонентное, поэтому это, конечно, равносильно тому, что это соотношение выполняется для
245: Каждой координаты по отдельности.
246: Ну, давайте напишем итое соотношение альфа 1 на а и ой, житое соотношение жи и 1 плюс альфа 2 на а жи и.
247: 2 плюс alpha ка а жи и-ка равняется нулю ну а теперь давайте заметим, что если я сделал.
248: The strokes какое-то 1, 2 или 3 типа, то такое же соотношение будет и на новые столбцы почему ну вот я сделал преобразование допустим 1 типа к итой строке прибавил житую с коэффициентом как там будет выглядеть соответствующее?
249: Сумма, она будет выглядеть так. Альфа и умножается на новое число а и и 1 плюс бета а жи и 1 вот я прибавил житую строку к итой.
250: Коэффициентом бетта получился такой элемент плюс альфа 2 а и и 2 плюс бета а жи и 2 плюс последнее слагаемое альфа-ка.
251: На r e e ка плюс бета а жи и-ка почему это равняется нулю? Ну потому что я могу сгруппировать их по это вот эту вот всю сумму, записать её в виде альфа?
252: 1 а и и 1 плюс alpha ка а и e ка плюс бета на такую же сумму, но с жи вместо и альфа 1 а жи.
253: И 1, и так далее. Альфа-ка а жи и-ка, ну каждая была по отдельности 0, значит, эта сумма тоже будет 0. Вот моя меня итая строчка изменила.
254: Но соотношение в ней все равно осталось, там 0 получился правильно. Все остальные строчки не изменились, там и остались нули. Вот. Ну, ещё проще тоже самое сделать со 2 строчкой, ой, с преобразованием 2 типа или с 3.
255: Tip. Правильно. Вот. Поэтому если соотношение какое-то было на столбцы, то после преобразования строк 1 элементарного, оно по прежнему остаётся таким же соотношением с теми же самыми коэффициентами. Вот
256: А почему не появится новых соотношений?
257: Опять же потому, что преобразования строк обратимы, да, как мы уже сегодня 1 раз сделали, сказав, что решений у системы не появится новых после преобразования, потому что пропасть никуда не могут, а преобразования все обратимые.
258: Вот точно также и здесь, если бы появилось новое соотношение, то, сделав обратное преобразование строк, мы бы получили, что оно потерялось, а оно не может потеряться, потому что мы только что доказали вот, и того, что мы видим, если столбцы какие-то там были зависимы.
259: С какими-то коэффициентами, то они останутся зависимы с какими-то коэффициентами, а если были независимы, то они остались независимыми, правильно?
260: А поэтому максимальное количество линейно независимых столбцов осталось и более того, даже номера столбцов остались теми же самыми. Если какие-то столбцы были независимы, это было максимально возможное количество, то после преобразования строк те же самые столбцы измени.
261: Правда, с теми же самыми номерами их будет максимальное количество, они будут независимы, вот и все.
262: Вот таким образом и эта лемма доказана, a3 лемма.
263: Какая тут должна быть? Ну вот мы доказали, что при преобразованиях строк элементарных ничего не меняется. А что мы должны? К чему можем прийти преобразованиями строк к ступенчатой матрице? Правильно? Даже давайте сразу к канонической матрице придём.
264: Матри оо матрицы.
265: Имеющий канонический вид.
266: Строчный.
267: И столбцов ранги совпадают.
268: И равны.
269: Число ненулевых строк. Ну давайте это все докажем, но
270: Вот наша замечательная матрица, вот её ступеньки, тут стоят единички, над ними стоят нолики, какие строки взять, чтобы они были независимы, их было.
271: Максимально возможное число. Ну, конечно, нужно взять все ненулевые строки, правильно, нулевые строки брать бессмысленно. Нулевая строка, она сама по себе независима, поэтому их брать не надо. А вот, вот эти вот все первые независимые строки, ой.
272: Не нулевые строки, они реально независимы. Ну почему? Ну, предположим, у них какая-то зависимость есть альфа 1 на a1 теперь, a1, a2 снова строки обозначаю плюс альфа 2 a2.
273: А плюс alpha ка а-ка равняется нулю. Ну, посмотрим на вот этот вот элементик, соответствующий номеру 1 ведущего элемента в этом столбце Ровно 1 единичка. Остальные нолики. Правильно? Поэтому мы
274: Тут единичку умножаем на альфа 1, а все остальные слагаемые в этом столбце будут нулевыми, то мы заключаем, что альфа 1 равняется нулю, конечно.
275: Теперь смотрим на вот этот вот столбик, на, на элементы в строках с этим вот самым номером тут есть 1 тоже 1 единица, а все остальные нули. Правильно? Из этого мы заключаем, что альфа 2 равняется нулю.
276: Ну и так далее. Таким образом, сравнив коэффициент вот этого вот выражения вот в этом вот месте, вот в этом, вот в этом, вот в этом мы получаем, что все они должны быть нулями, значит, коэффициенты соответствующие нули, ну, получается, независи.
277: Правильно, их, конечно, максимальное число, ничего другого, нулевого мы к ним добавить не можем. А теперь столбцы, какие столбцы нужно взять, чтобы они точно были независимы и их было максимальное количество.
278: Да, соответствующие ведущим элементам. Вот этот столбец, вот этот столбец, этот столбец, вот этот столбец, они, конечно, независимы, потому что образуют часть стандартного базиса, правильно? А все остальные через них выражаются потом
279: Потому что во всех остальных столбцах элементы ниже вот этого все нулевые. Правильно?
280: Вот, поэтому вот столько мы взять можем, они независимы, а ни 1, никакой другой добавить не можем, все будет выражаться через эти самые столбцы. Ну и получается, что вот это вот число, это
281: Количество ненулевых строк, а это число количество ведущих элементов строк, но это одно и то же, правильно?
282: Ну и теперь дока теорему совсем просто то теоремы о ранге.
283: Ну, как оно делается, возьмём нашу матрицу, приведём преобразованиями строк к каноническому виду.
284: При этом на-ка на каждом шаге сохраняются и столбцовый, и строчный ранг, но в конце у ступенчатой матрицы они равны, значит, они изначально равны, при приведём мат.
285: А каноническому ввиду?
286: При этом на каждом шаге.
287: Ранг строчный, а и ранг столбцовый.
288: А не изменялись.
289: А в итоге?
290: Для канонической матрицы они равны.
291: Значит, изначально были равны.
292: Вот понятно рассуждение.
293: Это задача из листочка, поэтому я доказывать её сейчас не буду, да? Ну, она тоже не очень то и важна, даже если бы этих видов было 2, в любом случае, мы
294: Заодно показали, что, по крайней мере, строк у них одинаковое количество, да, вот совпадающее с рангом матрицы. Так, ну хорошо, давайте ещё немножко обсудим эти самые ранги.
295: Так, давайте такую ситуацию рассмотрим. Пусть у нас эф, это линейное отображение из какого-то пространства в в какое-то пространство у
296: Почему? Давайте считать, что в конечномерно.
297: Равняется какому-то н и оно меньше бесконечности. Вот.
298: Сейчас.
299: Что хотел сказать? А, ну, у этого отображения, у ф. Есть ядро.
300: Живущее в в. Есть образ им. F. Живущий в у. Я забыл, мы обсуждали о том, что их сумма размерностей равняется n или нет в а в листочке был хорошо, тогда мы.
301: Знаем, что из листочка, что размерность в равняется размерности ядра этого отображения ф плюс размерность образа.
302: Ф. А что мы теперь ещё знаем про эти числа?
303: Мы что?
304: Что вот это вот число равняется рангу, соответствующее матрице, а матрице этого отображения
305: А, ну, для этого, чтобы писать, надо, конечно, считать, что размерность у тоже меньше бесконечности. Давайте это тоже считать. Тут уже неважно какая. Вот, а поэтому можем посчитать и размерность ядра после этого.
306: Это размерность в минус ранг матрицы. А, ну это, в принципе, вполне естественно, потому что, что это такое ядро отображения, ну, это множество векторов, которые перешли в 0. Правильно? То есть это, по сути, множество
307: Решение системы уравнений а икс равняется нулю.
308: Правильно, где x это столбик высоты n а 0 это столбик из нулей высоты эм, ну и мы только что обсудили как раз, что как выглядят все эти решения этого уравнения ну есть свободные какие-то переменные, а глав?
309: Через них выражаются. Но вот понятное дело, что размер решения равняется количеству свободных переменных, правильно, это количество степеней свободы, и оно как раз и написано здесь ранг матрицы.
310: А это количество главных переменных. А вот эта вот штука, это сколько переменных? У нас есть всего. Понятное дело, что все остальные это свободные по определению и все согласовано. Так?
311: Что-нибудь ещё я хочу про англии сказать.
312: Ну, наверное, не хочу. Так, ладно, давайте перейдём к ситуации, для которой на самом деле я это все сейчас рассказывал про элементарные преобразования. Только давайте ещё сейчас 1 небольшое отступле.
313: Точнее, вернёмся в самое начало, дадим такое определение так называемых элементарных матриц.
314: У нас сейчас будет матрица квадратная размера n на n.
315: Так вот, определим такие вот матрицы матрица у и жи альфа, где снова и не равняется жи 1 меньше, либо равно и и жии меньше, либо равно.
316: And i альфа какой-то элемент нашего поля эф, что это за матрица такая? Это матрица, имеющая следующий вид, но я не буду его подробно расписывать, просто нарисую.
317: Скажу, что тут происходит, в ней на диагонали стоят единицы.
318: А вне диагонали, на 1 единственном месте на итой, строчке и житом столбце стоит число альфа вот тут есть итая строчка где-то и житый столбец, вот тут на их пересечении стоит число альфа, а все остальные элементы.
319: Нулевые.
320: Вот матрица у и альфа будет выглядеть так снова у нас и от единицы до n альфа на сей раз.
321: Не нулевое число, она выглядит так. В ней на диагонали стоят сплошные единицы, за исключением 1 места, где стоит альфа.
322: Alfa, конечно, стоит на пересечении этой строки, этого столбца.
323: Вот такая вот матрица и последняя матрица элементарная у и жи. И вот тут давайте мы не будем ставить запятую, потому что если внезапно окажется, что альфа целое число, ну там 2, то будет не очень поня.
324: Понятно, какая матрица имеется в виду, вот эта матрица или вот эта матрица. Поэтому я запятую ставить не буду. Что это такое? Ну, самое интересное, в ней единицы стоят везде, кроме итого, на диагонали, кроме итого места и
325: Этого места.
326: Это вот стоит на и.
327: И и на жи жи вместо вот этих вот единичек, которые мы заменили на нули, стоят 2 единички в таких местах на пересечении итой строки и житого столбца, и житой строки.
328: И итого столбца есть вот такой вот квадратик на этой строке, на этой житой строке и этом житом столбце, в этих углах у него нули, в этих углах у него единички, а все остальные элементы снова нули.
329: Да, и вот тут вот все элементы вне диагонали, конечно, тоже нулями являются случае
330: А вот сейчас мы обсудим почему.
331: Такое вот несложное утверждение, которое я доказывать не буду. И вообще, я вставил его в качестве задачи в листочек. Сами уж проверьте, но это довольно простое вычисление. Простейшая проверка. Почему мы называем эти матрицы элементарными.
332: А потому, что именно такие матрицы и задают элементарные преобразования, простенькие утверждения, умножение.
333: На матрицу у и жи альфа слева это преобразование строк.
334: Типа 1 и жи альфа умножение на у и альфа слева это преобразо.
335: Строк типа.
336: 2 и альфа ну а умножение на у и жи слева это преобразование строк.
337: Типа 3 и жи, ну это такой очень простой подсчёт умножать на вот такие вот матрицы с кучей нулей. Вообще 1 удовольствие. Вот сами проверите, что происходит.
338: Как вы думаете, что будет, если матрицу справа умножать на такие матрицы? Преобразование столбцов, преобразование столбцов, да, но только там надо быть немножко аккуратным. Там есть 1 подводный камень небольшой, но вы с ним разберётесь, пожалуй, сами, когда эту задачу будете решать, там не
339: Всем все так же есть 1 небольшое отличие. И поэтому мы потребовали, что альфа это не 0 элемент, чтобы это было преобразование. Ну или вообще необратимая матрица была бы не очень приятная. Вот понятно.
340: Это все вот, ну то есть преобразование строк это по сути, умножение на вот такие вот маточки справа и для столбцов, ой, наоборот, для строк слева, для столбцов справа вот на этом в частности
341: Метод нахождения обратной матрицы, который я тоже решил сейчас не рассказывать, а вынес задачу из листочка. Ну, возможно, кто-то уже это все этим всем занимался в университете на линейной алгебре, но ничего страшного лишний раз не повредит повторить.
342: Так, ну хорошо. В целом понятна эта наука про ранги, всевозможные преобразования строк. Хорошо. Зачем нам вся эта линейная алгебра нужна? А нужна она нам затем, что.
343: До этого мы изучали кольца, правильно? Давайте определим понятие модуля над кольцом, пусть теперь r какое-нибудь кольцо.
344: Коммутативная.
345: Ассоциативная.
346: И с единицей.
347: Определение.
348: Модуль над кольцом. Р. Давайте мы его сейчас будем называть. М, это такое множество, м.
349: С операциями.
350: Сложение.
351: Которая берет 2 элемента модуля и делает из них 3 элемент и умножение, которое берет элемент нашего кольца и элемент модуля и тоже делает из них элемент модуля.
352: М, с какими-то свойствами, вот с какими подсказка, модуль это тоже самое, что векторное пространство, но над кольцом, что мы должны потребовать, да, 1, эм, это
353: Группа.
354: По сложению. Ну, больше ничего, конечно, и нет, но тем не менее, давайте уточним. А что ещё мы требуем? Дистрибутивность, дистрибутивность какую?
355: Ну, складывать мы и в кольце можем, и в модуле можем, нет.
356: Ну так же, как и в пространстве, тут 2 дистрибутивности эр 1 плюс r 2 на m, это r 1 м plus эр 2 am 3 эр на.
357: М. 1 плюс m 2 это r m 1 плюс r m 2 что у нас там ещё было?
358: Ассоциативность умножения да r 1 на r 2 am самое, что r 1 r 2 на m и последнее свойство какое же на единицу?
359: 1 на m. Это m. Ну то есть все аксиомы, в общем то, векторное пространство перечислили, сразу видно, что ничего тут не ломается, потому что в кольце нам, кроме сложения умножения, ничего делать не надо, никаких там.
360: Делений, которые есть в поле определениях нет, поэтому ничего выкидывать не пришлось. Вот. Ну и, казалось бы, значит, наверное, наука о модулях должна быть каким-то прям полным аналогом объектных пространства.
361: Да, какие-нибудь простенькие свойства про мы не пользовались тем, что можно обратно домножать. Какие, например, 0 на
362: Нет, там не пользовались.
363: Какой треугольный? А вы ступенчатый вид, хотите сказать? А я и не говорил, что мы сейчас его будем получать. Мы через некоторое время будем получать. Мы тоже будем работать с матрицами над кольцами некоторыми, но будем несколько другие вещи получать.
364: Преобразований. Я просто, у меня определение ничего вроде не ломается, все хорошо. И, казалось бы, да, значит, наука о модулях должна быть каким-то полным аналогом науки о пространства, правильно? Но нет, все-таки наличие деления очень сильно
365: Все упрощает. В частности, вот мы доказывали, что пространствах есть базисы, по которым векторы однозначно разлагаются в виде длинной комбинации. Координаты можно ввести в модулях. Это уже все, конечно, сильно ломается, потому что вот для всей науки о базисах нам
366: Деление было очень и очень нужно, а тут его нет. Ну хорошо, если наука наша ломается, давайте хотя бы посмотрим, какие вообще модули бывают для начала цели.
367: Нет, для определения не считаем, по крайней мере, потом там, когда теоремка будет про модули какая-то там, да, там будет целостное кольцо, но до этого ещё дожить надо.
368: Так давайте примеры.
369: Ну, снова 0 пример, это 0 модуль над произвольным кольцом. Р. Ну, конечно, там все точно также нулевое пространство, все отлично работает. 2 пример.
370: Точно так же, как для векторных пространств само кольцо является модулем над собой.
371: 3 пример ой, 2 пример ну опять же всевозможные р. В степени n тоже модули.
372: 3 пример. Ну, давайте сразу скажем, что понятие подмодуля в целом более менее очевидное, да, что это такое множество подмножество.
373: Подмножество м, само являющееся модулем и, что важно, с теми же самыми операциями, правильно части это Абелева подгруппа, которая замкнута относительно умножения на всевозможные элементы кольца.
374: Правильно, вот у нас есть модуль над кольцом. Давайте опишем просто все его возможные подмодули.
375: Все подмодули.
376: Р. Как модуля над собой.
377: Это в точности идеалы.
378: Почему? Ну что такое подмодуль? Это Абелева подгруппа, замкнутая относительно умножения на все элементы кольца. Но идеал по определению это тоже Абелева подгруппа.
379: Замкнуто относительно умножения на все элементы кольца. Правильно, от дословно одинаковые определения получаются вот в этом вот конкретном случае, правильно?
380: Вот. Ну давайте дадим сразу определение тоже полезное. Модуль.
381: Называется.
382: Циклическим.
383: Если он порождён 1 элементом.
384: Но здесь какой-то элемент модуля m. Такой, что все элементы выглядят как rem он умножен на какой-то элемент кольца давайте опишем все, что такое циклические модули, что это такое?
385: Главные это вы описываете главные, ой, циклические, подмодули вр. А я глобально про циклические модули над кольцом, как они устроены, они устроены следующим образом у нас
386: Не только кольцо является модулем над собой, но и фактор кольцо р по и является, конечно, модулем над р.
387: Вот.
388: Почему?
389: Ну, во первых, фактор кольцо автоматически, это Абелева группа, правильно? Это кольцо вообще в нашей ситуации по идеалам можно факторизовать в частности, это явля, это Абелева группа. А как умножать на
390: Элементы кольца р.
391: Ну вот у нас есть элемент фактора. Это что такое? Это какой-то класс вычетов по модулю и правильно, да, берём представителя, то есть, а плюс и и умножаем на элемент кольца.
392: Р на а плюс и это р а плюс и.
393: Ну и поскольку и ideal это все не зависит от выбора представителя, если вы выбираете другого представителя, они отличаются на элемент идеала, но этот элемент идеала при умножении на вот этот вот элемент кольца снова попадает в идеал, поэтому и р.
394: А с и с р а. Штрих, где штрих другой представитель тоже отличаются на элемент идеала, они лежат в 1 и том же классе. Вот, ну или вообще можно дать определение фактор идеала. Давайте его тоже дадим.
395: Ой, фактор модуля пусть у нас есть 2 есть m это р модуль.
396: А and в. М. Это подмодуль.
397: Тогда, ну, во первых, это Абелева группа, в которой есть Абелева подгруппа. Значит, мы в любом случае можем взять фактор, как в теории групп, правильно? Тогда m фактор по н тоже имеет Струк.
398: Р модуля естественную. Вот этот фактор с такой модуля называется фактор модулем р модуль. Это модуль на на р. Да.
399: Вот, ну опять же, тоже самое рассуждение. Давайте возьмём какой-нибудь элемент этого фактора, как он выглядит. Ну, это какое-то m плюс n. У нас группа Абелева с операцией сложения. Вот так вот выглядят смежные классы.
400: Правильно, вот как его умножить на r. Ну это r m плюс n. Ну и поскольку n это подмодуль, там все замкнуто на умножение, то это корректно определённая операция, и она даёт структуру р модуля.
401: Она называется фактор модулем. Ну и у нас есть модуль р, в нём есть подмодуль, и это просто фактор. Модуль тут написан правильно? Так вот, утверждение. Все циклические модули изоморфны. Вот таким
402: Циклические.
403: Модули.
404: Изоморфные. Ну давайте слово изоморфное уже объяснять не буду, что такое изоморфизм модулей после всех предыдущих изоморфизмов должно быть понятно, что это такое вот эти
405: Вот штукам р па и как р модули.
406: Вот, ну почему? Ну, во первых, фактор модуль рпи является циклическим каким элементом он порождён классом единиц. Правильно? Доказательство?
407: 1 плюс и это, конечно, порождающий.
408: Поэтому все модули изоморфные вот этим вот штукам они, конечно, циклические, раз уж это циклический модуль, ну а почему все циклические так выглядят? Ну, наш модуль порождён каким-то своим элементом. Эм, значит, все, Эле.
409: Менты его имеют вид р м.
410: Какой идеал можно естественным образом связать с этим элементом? Мы хотим, что доказать, что это фактор по какому-то идеалу, откуда этот идеал взять. Да, нужно взять те элементы, которые обнуляют наш, м, они имеют специальное название. Это аннулятор, значит,
411: Тоже зафиксируем это определение. Если есть элемент модуля м, то его аннулятор. Ой, это множество всех элементов кольца таких.
412: Что при умножении на это самое р элемент обнуляется.
413: Вот не сложно видеть, что это идеал. Если 2 элемента обнуляют, эм, то их сумма тоже обнуляет по дистрибутивности. Ну и если вы умножите обнуляющий элемент на любой элемент кольца, он, конечно, останется нулём. Правильно? Потому что, ну, опять же, у нас
414: Правило, что элемент кольца, но 0 элемент модуля это 0 нету, но оно тоже не сложно доказывает, ой, доказывается. Сами можете это сделать, если ещё не сделали для полей, ой, для поста над полями. Вот.
415: И давайте в качестве нашего и возьмём просто аннулятор нашего этого элемента m. Если m рождён элементом эм, то в качестве элемента и надо взять аннулятор этого самого элемента.
416: Вот утверждается после этого, что m канонический изоморфен рпи.
417: Как устроен этот изоморфизм? Нужно взять элемент, ну, скажем, из фактор.
418: Кольца, и он имеет вид р плюс и и отправить его в р м.
419: Ну, это, ну, это корректно определённое отображение, правильно? Потому что все элементы из вот этого вот класса смежности дают один и тот же элемент рм, потому что они отличаются на элемент идеала, и который аннулирует этот самый, эм, там,
420: Появляется 0. Все хорошо. Ну и понятно, что это гомори модулей. Правда же? Ну и селективность тоже, понятно. Ну и вообще, давайте напишем теорему о гомоморфизме, которая для модулей тоже есть, да?
421: Вот есть ли структура двойственного модуля на, ну, двойственное пространство, вот есть, ну, вы можете рассмотреть гомоморфизмы из модуля в hr, которые совершенно разумные? Нет, это
422: Это модуль, но у него не будет таких хороших свойств, но это вполне Разумный объект. И там тоже есть вот что. И там тоже есть другой оператор.
423: Не, ну там нет, там вот такого соответствия нету. Так, хорошо, давайте теорему сформулируем морфизме для модулей.
424: Заодно это гласит следующее если есть отображение р модулей эф из m ven, то образ этого отображения, который является, очевидно, под модулем в н.
425: Изоморфен фактору эм по ядру этого отображения эф, которое является подмодулем вм. Ну, доказательство абсолютно классическое, точно такое же, как и для теоремы.
426: Колец векторных пространств все без изменений переносится. Ну, в общем, можно отдельно показать, что это отображение селективно, точнее инъективно. После этого можно воспользоваться морфизме. В любом случае получаем изоморфизм модулей. Вот
427: Это циклические модули, теперь есть ещё понятие простого модуля.
428: Определение м. Простой.
429: Если в нём нет нетривиальных подмодулей.
430: Вот.
431: Давайте вот тут посмотрим, все подмодули в р. Это идеалы. А какие идеалы соответствуют простым модулям?
432: Какие идеалы являются простыми модулями? Вот.
433: Какие?
434: Не ща, ща, ща, сейчас. Ой, не так, давайте так, я про другое хотел спросить. Вот все циклические модули имеют вид фактора.
435: По идеалу. Правильно, вот какие из них простые, во
436: Вот они зайдут максимальным идеалам.
437: Р по и простой модуль.
438: В том и только в том случае, когда и максимален.
439: Тут как раз-таки наоборот минимальным каким-то идеалам это бы все соответствовало, но это не интересно.
440: Вот понятно почему.
441: Ну, давайте это проверим.
442: Ну вот, у нас есть р а и.
443: Это р модуль. Давайте возьмём его какой-нибудь подмодуль м и посмотрим его прообраз в hr относительно стандартной проекции. У нас отображение пи из кольца в.
444: Air по. И вот здесь у нас живёт эм, какой-то подмодуль. Рассмотрим его прообраз здесь и в минус 1 от m. Это, конечно, подмодуль. Вр. Правильно.
445: Почему? Да почему? Из за чего? Ну, у нас же.
446: В элементе н, перешло много каких, ну, пере, ну, скажем так, эта штука у нас является идеалом здесь.
447: Потому что идеал это идеал.
448: Ну, конкретно, ну, каждому элементу, то есть, КАСКО 1 элемент из р, или как, в каком смысле?
449: Мы ничего не сопоставляем.
450: Это множество элементов м, которые им дают. Ну, есть это просто прообраз множества
451: Ну и вообще, если у вас есть гомоморфизм модулей и в этом подмодуль взяли какой-нибудь то проба подмодуля, конечно, всегда подмодулем является как минимум это пробус является абелевой группой по сложению заведомо.
452: Ну, во вторых, при умножении на р, все согласованно, конечно же, это под модуль, то есть это какой-то идеал в получается, но этот идеал в заведомо содержит, и потому что и это проба, ну,
453: В этом m живёт заведомо 0, поэтому в p минус 1 эм живёт заведомо и получаем, что и содержится в пи в минус 1 от m. А это содержится в если m был нетривиальный или?
454: Здесь под модуль, здесь то это будет нетривиальный идеал между и и р. Значит, и не максимальный.
455: Правильно.
456: Ну это рассуждение можно и обратить, если у вас в r есть какой-то идеал промежуточный между и и р и живёт в жи, а он живёт в р. И это все не равно.
457: Тогда в hr паи есть подмодуль жи паи?
458: Поэтому максимальным идеалам соответствуют простые циклические модули. Вот
459: Так, че там? У нас ещё 10 минут. Хорошо. Ладно, это мы всякие примеры модулей над произвольными кольцами. Давайте немножко конкретнее про модули над довольно такими самыми классическими кольцами. Самые классические.
460: Кольцо это что? Ну это целые числа, правильно? Давайте опишем модуль над целыми числами.
461: Модули.
462: Над z утверждается, что это в точности абелевой группы.
463: Что я имею в виду? Я имею ввиду, что на любой абелевой группе имеется естественная и единственная структура модуля над целыми числами.
464: С 1 стороны, модули над кольцами это по определению абелевой группы. Правильно, нужно просто понять, а как умножать на элементы этого самого кольца? Так вот, умножение в произвольной абелевой группы на целые числа определено однозначно. Почему? Ну, умножение на единицу.
465: Определённо однозначно, по определению правда же, 1 на m это m. А после этого как умножать на двойку 2 на m, надо двойку представить как 1 + 1.
466: 1 + 1 на m. Но у нас есть закон дистрибутивности давайте раскроем 1 на m + 1 на m. Это m плюс m.
467: M плюс m в группе определено однозначно, поэтому умножение на двойку поделено однозначно правильно ну и также по индукции мы получаем, что умножение на n произвольное, где n это целое число, а m это элемент какого-то модуля какой-то абелевой группы, это просто.
468: Сумма.
469: Эм and копии нашей эмки. Но если мы хотим на отрицательные числа умножать, надо минус m складывать с собой столько раз, сколько нужно правильно, поэтому если умножение на z есть, то оно именно вот такое.
470: Написано, ну, такое умножение, конечно же, в группе определённо, если она Абелева, правильно осталось нам проверить только по сути, что выполняется закон дистрибутивности 2. Все остальное следует из определения того, как мы это все
471: Но он, конечно, следует, потому что Абелева, если вы сумму 2 элементов
472: Умножаете на какое-то число n. Это вы m 1 плюс m 2 складываете с собой and раз.
473: Ну группа Абелева можно переставлять слагаемое, это тоже самое, что m 1 сложить n ras, потом м 2 сложить n ras это все сложить, правда же, поэтому дистрибутивность выполняется итого на любой абелевой группе есть единственная естественная структура.
474: Умножение на целое число z модуля понятно вот ну хорошо, что такое теперь модули над, скажем, кольцами вычетов по модулю н.
475: Что такое?
476: Set по and that модули.
477: Ну, во первых, это Абелева группа для начала, правильно. Любой модуль, в 1 очередь Абелева группа по сложению в каких абелевых группах можно ещё умножение на элементы этой штуки ввести.
478: Нет.
479: Правильно, мы опять же из вот этих вот соотношений видим, что если у модуля есть, то она единственна умножение, у нас все элементы здесь имеют вид суммы единиц. Правильно? А умножение
480: На единицу однозначно определённо единственное, что нужно, чтобы согласовано было с тем, что в этом кольце сумма n единицы равняется нулю, здесь у нас and равно нулю, значит, мы хотим, чтобы n на m raw.
481: Менялась 0 на, м, правильно? Ну, это 0, конечно. А это сумма.
482: М. М. И так далее в количестве n штук.
483: Сумма n Копий элемента м должна быть нулём значит, rock am delete н ну и тоже самое это абелевы группы.
484: Жэ такие, что and жэ равняется нулю тут написано то, что если мы какой-то элемент группы сложим с собой n ras должны получить 0 вот это и есть как раз условие на то, что оно.
485: Согласовано структурой кольца z. P. N. Z.
486: Сумма n. And равно нет, порядок, порядок m. Делитель n. А вот 7 ещё пример давайте над, ладно.
487: Не так, не кольцо многочленов от 1 переменной. Что такое модуль над этим кольцом?
488: А забыл сказать ещё 1 пример. Самый, самый ранний должен быть, что если кольцо является полем, то модуль над ним это в точности векторное пространство. Ну, это понятно, потому что определение одно и то же, по сут.
489: Правильно, а что такое модули над кольцом многочленов, над полем вещественных чисел?
490: Ну, во первых, поскольку в кольце многочленов есть поле вещественных чисел, то это, в частности, модули над этим полем, правильно? То есть это векторные пространства должны быть, это векторные пространства.
491: Над р. Но это, конечно, слабое условие, потому что наличие пространства означает только то, что мы на константу умеем умножать, а у нас там ещё куча всего.
492: Но утверждается, что задать такого модуля это все равно что задать всего 1 линейный оператор с фиксированным.
493: Линейным оператором.
494: Каким-то, ну, давайте его ф назовём эф из в в. Вот у нас есть векторное пространство над вещественными числами в и 1 оператор f is the в линейный линейное отображение. Вот этого достаточно.
495: Чтобы ввести структуру модуля каноническую, как это сделать?
496: Правильно, у нас наше пространство в имеет, ещё на нём действует икс умножением правильно значит умножение на x x в.
497: Так и так. Изображение из в в в это умножение на x. Это, конечно, линейный оператор должен быть, он коммутирует умножением на константы и коммутируется взятием суммы из за того, что это линейное отображение, из за того, что, ну, из.
498: Из за дистрибутивности умножения на x. Правильно, это линейный оператор.
499: Ну то есть если у нас есть модуль на тот x, мы научились строить по нему векторное пространство и оператор обратно, как это восстанавливается ну, если у нас есть умножение на x, то у нас автоматически есть умножение на x.
500: Квадрат на икс куб и так далее нужно просто этот оператор поменять несколько раз. Правильно, если умножение на x это эф, то умножение на икс квадрат по дистрибутивности должно быть линейным оператором эф в квадрате умно.
501: Умножение на x в степени n должно быть этим оператором в энной степени, ну а умножение на альфа икс в степени n это альфа в степени n, конечно же, автоматически, потому что.
502: Умножение на константу это самое обычное. Умноженная константа в векторном пространстве, правильно? Ну а после того, как мы научились умножать на всевозможные мономы, то мы и на их сумму можем умножать по дистрибутивности. Правильно? Ну, не сложно проверить, что там все соглас.
503: И все хорошо это векторное пространство, и вообще, если есть произвольное поле, то модуль над кольцом многочленов над этим полем от 1 переменной это просто пространство векторное с 1 линейным оператором и все.
504: Который соответствует умножению на x. А вот если я над 2 переменными возьму многочлены, вот, например, 8, скажем, ку, а не так, f, где f поле от
505: Переменных. Что такое модуль над таким кольцом?
506: Не, ну конечно же, многочлены. А, ну тогда, видимо.
507: 3 этих оператора, которые правильно, во первых, это векторное пространство над эф, потому что там эф живёт в качестве подкольца, а во вторых, умножение на икс, на игрек и на z, точно также дают нам линейные операторы в этом пространстве.
508: Но они должны ещё не просто быть абы какими они ещё по коммутировать, потому что в кольце многочленов икс игрек это игрек икс. Правильно? Значит, если этому оператор эф, а этому же, то эф жэ должно быть тоже самое.
509: Что же на эф коммутируют операторы, ну и z. Понятное дело, что тоже должны коммутировать, итого модули над кольцом от 3 переменных это тоже самое, что векторное пространство с 3 попарно коммутирующими операторами.
510: Ну опять же, если мы зададим умножение на икс игрек на z как 3 оператора, то умножение на любой моном мы зададим как композицию вот этих вот операторов, ну и поскольку они коммутируют там все однозначно переведено, все хорошо, ну и по линейности умно.
511: Умножение тогда на любой многочлен задаётся. Вот, ну вот много всяких примеров модулей мы дали, ну и давайте закончим это тем, что дадим базовый
512: Понятие операций с модулями, какие можно рассматривать, но они более менее такие же, как и для векторных пространств определения.
513: Если m и n модули.
514: То а над кольцом р то их прямая сумма м plus н это множество все.
515: Возможных.
516: Пар. Элементов m. N. Где m. Живёт в м. Большом, n. Живёт в and большом, ну и складываются, умножаются они покомпонентно ну, внутри модуля можно и просто.
517: Сумму брать множество всевозможных сумм, ну и так далее. Аналогично можно определить прямую сумму произвольного семейства модулей альфа принадлежит какому-то там
518: Множеству, а аналогично можно определить прямое произведение всевозможных семейств модулей м. Альфа прямое произведение это множество всевозможных после, ну, наборов элементов этих множеств с покомпонентным сложением.
519: Умножением. Прямая сумма это множество всевозможных наборов, где только конечное число ненулевых. Вот можно определить хом.
520: Из m в n, как р модулей, это множество всевозможных гомоморфизмов, модулей из m в n. Вот это вот множество тоже имеет естественную структуру р. Модуля.
521: Эти гомофилы можно складывать просто поточечно, точно так же как mafia абелевых групп и их можно умножать на элементы кольца р. Несложно оо показывает, что это тоже модуль.
522: Это все модули, это все пока модули, да?
523: Вот, ну то есть у нас появился довольно обширный запас примеров кольца над собой, идеалы, факторы, прямые суммы.
524: Можно брать, можно морфизм брать тоже модуль получается. И вот мы в некоторых конкретных примерах для некоторых конкретных колец поняли, что такое вообще структура модуля над этими кольцами. Какое минимальное количество данных нужно, чтобы их задать?
525: Ну самые важные примеры для нас будут это для модулей на z. У нас вообще какая сейчас задача то была, мы изучали группы, а потом сказали хотим научиться их классифицировать, начать классификацию.
526: Логично, с абелевых групп, как более простых, правильно? Ну так вот, мы теперь свели задачу классификации просто абелевых групп каких-нибудь к задаче классификации модулей над кольцом целых чисел. С 1 стороны, может показаться, что это какое-то странное
527: Усложнение. Но на самом деле нет, потому что после этого мы задачу теорему классификации, конечно, порождённых оо групп докажем гораздо быстрее. Частный случай гораздо более общей теоремы классификации модулей, конечно, порождённых н.
528: Кольцами. И кроме того, нам будет очень важен пример с модулями над кольцами многочленов от 1 переменной. Почему? Ну, мы только что увидели, что это тоже самое, что задать какое-то пространство с линейным оператором, но есть
529: Такая задача, вот есть у вас какое-то непонятное пространство, какой-то оператор, к какому самому простому ввиду вы можете его привести вот этот подходящий базис. Вот мы эту задачу тоже решим моментально, как частный случай теоремы о строении, конечно, порождённых модулей над некоторым