0: Начинается 8 неделя 3 семестра. Именно на этой неделе Анастасия Владимировна решила провести 2 контрольную, она же контрольная по дифференциальным уравнениям. И поэтому по немногочисленным просьбам я провожу разбор тех задач, которые будут на
1: Этой контрольной, так как контрольная посвящена дифференциальным уравнениям, я сразу же вынес шпаргалку всего того, что нам пригодится, то есть правила дифференцирования, производные элементарных функций и таблица интегралов. Эту доску ссылку, вернее, на неё, я опять же оставлю в комментариях под видео.
2: Вернее, в описании, и вы сможете спокойно в неё зайти, все посмотреть. Но я предупреждаю с недавних пор, если быть точнее, то час назад, то есть 15 октября в 9 вечера мира, то ли мира были заблокированы на территории.
3: России, то ли мира заблокировали для себя территорию России. Это доска, на которой я все пишу, и поэтому без впн на неё не зайти. Я надеюсь, это временная мера, потому что доска очень удобная, но пока будем сидеть с 3 замечательными буквами. Что ж, перейдём сначала к тому,
4: Что будет на этой контрольной? На контрольной будет Ровно 3 уравнения. Все они взяты из Рябушка, из контрольной по дифференциальным уравнениям, но это не вся контрольная контрольная в учебнике рассчитана на 5 задач и на 2 часа Сницкая будет брать только 3 задачи, и только на 1 час.
5: Будет отсутствовать полностью 5 задача. Это самая громоздкая и трудоёмкая задача в данной контрольной, которая могла бы быть и будет представлено всего навсего 3 типа. 1 тип это линейные дифференциальные уравнения 1 порядка, самые быстрые и простые, которые мы разбирали в самом начал.
6: 2 это дифференциальное уравнение высших порядков, которые допускают понижение порядка, им будет посвящена именно отдельная задача, и 3 тип. Это линейные дифференциальные уравнения высших порядков, это те самые, при решении которых мы возвращаемся к тем самым коэффициентам а, б, ц и прочее дцп.
7: У каждого этого вида есть свои подвиды, и мы разберём их пошагово. Все. Опираясь на примеры в прошлом разборе, я разбирал уже готовые, решённые задачи, которые тут были написаны, здесь я прибегну к другому формату, я сразу для себя выписал несколько уравнений.
8: Которые мы будем разбирать. И я буду в прямом эфире, так сказать, онлайн их все решать. Это означает, что будет очень много киберспортивных кликов мышкой, которые я, к сожалению, не смогу никак убрать, потому что я не имею большого опыта редактирования видео, так что
9: Извините, придётся потерпеть, но тем не менее это позволит мне комментировать все свои действия шаг за шагом и подробно указывать, где, какие финты ушами я проворачиваю, чтобы пошагово объяснить все решение задачи. Что ж, начнём, во первых.
10: Уравнение с разделяющимися переменными, скажу сразу, уравнений с разделяющимися переменными на контрольной не будет. Почему? Потому что считает, что они самые простые, но я все же хотел бы уделить внимание их разбору по 1 простой причине. Все последующие
11: Уравнения, которые мы будем разбирать, они по своему решению будут сводиться к тому, что мы будем стараться сделать уравнение с разделяющимися переменными и его решить, потому что это действительно фундаментальное уравнение, которое нам будет встречаться, как его можем легко определить.
12: Во первых, у него будет Ровно 2 слагаемых во всем уравнении в этом уравнении конкретно слагаемых 3, то бишь игрек, штрих, игрек, икс и икс. Но оно приводится к виду с 2 слагаемыми, и я покажу, как это делается, но чаще всего оно узнается именно по 2 слагаемым.
13: Либо по возможности к 2 слагаемым привести для решения. Мы должны представить игрек штрих в виде д игрек на дэ икс и перенести все выражения с игреками и иксами по разные стороны от равно рассмотрим на этом примере. Во первых, мы приведём
14: K ввиду с 2 слагаемыми тогда мы переносим их сразу в левую часть и получаем игрек штрих плюс игрек икс минус икс равно нулю здесь мы сразу.
15: Вынесем икс за скобку. Тогда мы получаем игрек плюс икс игрек - 1 равно нулю. Теперь мы переносим, оставляем игрек штрих в левой части, а икс на игрек минус 1 минус.
16: Переносим в правую часть и получаем игрек штрих мы сразу представим в виде д игрек, на дэ икс, д игрек, по d икс.
17: Равно минус икс умножить на игрек - 1. И это как раз-таки базовый вид уравнения с разделяющимися переменными. Теперь все, что имеется в составе игрек, мы переносим в левую часть так, чтобы д игрек у нас был в числителе. А все
18: То, что имеет в своём составе икс, мы переносим в правую часть точно также, чтобы д. X у нас тоже был в числителе, и тогда мы уже получаем дэ игрек делить на игрек - 1.
19: Равно минус икс на д икс. И вот уже здесь мы можем ставить знак интеграла. Я воспользуюсь тем, что у меня все-таки доска. Поставлю знак интеграла. Верну минус на место. И уже эти 2 выражения
20: Мы будем интегрировать это и то, и другое. Это табличные интегралы, поэтому с ними проблем не будет. Здесь у нас сразу получается натуральный логарифм от игрек - 1.
21: А правая часть у нас получается минус икс квадрат пополам.
22: Плюс константа на этом, в принципе, решение и заканчивается. Можно оставить в таком виде. Можно попробовать преобразовать посредством потенциирование. То есть, когда мы подставляем, что здесь у нас е, в степени вот этого логарифма, она сразу превратится в игрек - 1, но это уже излишние заморо.
23: Такого вида будет вполне достаточно. Перейдём сразу к следующему решению. Опять же, повторюсь, уравнений с разделяющимися переменными в голом виде на контрольной не будет, потому что это слишком просто. Но именно такие уравнения мы будем постоянно встречать при дальнейших решения.
24: Для 2 пункта, то бишь для однородных дифференциальных уравнений, я решил сразу же взять 2 разных уравнения и сразу же оговорюсь по своей сути однородные дифференциальные уравнения это подтип для неоднородных дифференциальных уравнений, и когда мы будем решать
25: 3 тип, это будет сразу очевидно, как мы их решаем. Мы их опять же приводим к стандартному виду стандартный вид. Это то самое, когда у нас выделяется отдельно игрек штрих отдельно, игрек с какими-нибудь множителями и отдельно ещё какое-нибудь мракобесие.
26: Рассмотрим уже сразу на 1 уравнении, теперь приводим к стандартному виду, то есть сначала мы должны все поделить на x. Тогда мы получаем, потому что у нас перед игрек штрих стоит как раз-таки в множителе икс. Тогда мы получаем x.
27: На икс плюс игрек делить на икс.
28: Равно игрек штрих.
29: Сразу же здесь их сократим. И для удобства мы отобразим зеркально это уравнение, потому что гораздо привычнее, когда игрек штрих находится в левой части, тогда мы получаем игрек штрих равно 1 плюс игрек делить на икс. Теперь мы вводим стандартную для уравнения такого типа замену
30: Вида игрек равно y на x.
31: Она она же может встречаться в следующем виде, поставлю другое вот так вот, она же может встречаться в другом виде, как u равно игрек делить на икс, но это совершенно тождественное выражение.
32: Теперь как понять, что это именно однородные дифференциальные уравнения, что такое однородные однородные, означает, что все слагаемые, они будут иметь в своём составе 1 и ту же степень переменных. То есть здесь у нас степень равна.
33: Потому что это просто константа, здесь у нас игрек делить на икс. У игрека 1 степень и у x 1 степень, но так как они друг на друга делятся, то мы получаем игрек делить на икс. То есть 1 степень делить на 1 степень это нам в итоге даст тоже нулевую степень. Поэтому
34: Это однородное уравнение, здесь нулевая степень и здесь нулевая степень, это уравнение тоже однородное, потому что здесь у нас везде квадраты игрек в квадрате, икс в квадрате. Тут у нас x в 1 степени игрек в 1 степени, и так как они перемножаются, мы получаем 1 + 1, то есть 2 степень соответственно.
35: Раз это однородное дифференциальное уравнение, то такая замена приведёт нас к решению. Теперь, раз мы посчитали, вернее, ввели замену для игрека, мы сразу же посчитаем, чему у нас будет равняться в новой подстановке игрек.
36: Штрих по правилу дифференцирования произведения мы получаем игрек штрих, равное у штрих умножить на икс плюс производная от x даст нам просто единицу, плюс у мы подставляем.
37: Нашу замену в уравнение и имеем у штрих икс плюс u равно 1 плюс вместо игрека у нас уделить умножить на икс, при этом иксы у нас сокращаются получаем у икс делить на икс.
38: И сразу же сократим иксы по очень простому.
39: И теперь, если мы все сделали правильно, то лишние у у нас всегда исчезают. Тут справа стоит, у слева стоит у, поэтому при приведении подобных они просто сами себя исключают, и мы получаем у штрих.
40: Икс равно единице. И это уже стандартное уравнение с разделяющимися переменными, так как у это у нас на самом деле дду пд икс.
41: X мы сразу же кинем в правую часть для удобства дпд икс у нас равно 1 делить на икс.
42: Отсюда следует, что
43: Пожалуй, лучше дальше будет слово писать теперь мы разделяем снова переменные, то бишь все, все, что с иксом направо, все, что без x, то бишь у просто налево, и мы получаем d u равно дэ икс делить на икс сразу же здесь ставим знак интеграла, и после.
44: Интегрирование мы здесь получим, так как это du просто голое, то после интегрирования остаётся чисто у здесь у нас тоже табличный интеграл, который нам даст логарифм, и мы получаем элэн от x плюс ц. При этом тут ещё можно заметить, что стандартным
45: Скажем так, правилом хорошего тона в подобного рода интегралах является представлять ц не как ц, а как натуральный логарифм от ц.
46: И тогда данное уравнение можно привести к следующему виду u равно all and ц икс, и все, почему так можно было бы отдельно подробнее рассказать ну, это связано с тем, что в дальнейшем такие выражения
47: Всегда потенциируется, чтобы привести к более удобному ввиду, и тогда у нас здесь бы возникло просто её u равно ц икс. Эти выражения часто встречаются в физике. Весь математический аппарат дифференциальных уравнений создан практически полностью для физики, но.
48: Нам для решения будет достаточно такого вида, в принципе не будет ошибкой, если мы не будем вводить натуральный логарифм и оставим тут просто константу. Но Анастасия Владимировна оценит, если вы запишите именно в таком виде, на этом решение не заканчивается.
49: Потому что после этого нам ещё нужно вернуться к игреку и ввести нашу замену. Здесь мы также добавим ещё для ц индекс 1, потому что у нас будет вводиться ещё 1 константа и перейдём теперь к игреку, так как игрек у нас
50: Просто умножить на икс, то мы получаем, что игрек равно. Да, кстати, можно было индекс не вводить. Это нам в будущем может сыграть. Здесь это не реализуется, потому что больше интегрировать не будем. Тогда у нас игрек просто напросто равняется икс умножить на
51: Alan ц икс это готовый ответ. Больше здесь ничего делать не надо, потому что любая задача по решению дифференциального уравнения сводится к тому, что мы находим общий вид для игрека. Здесь я
52: Зелёным.
53: И здесь тоже обведу.
54: И теперь мы здесь сразу же, не отходя от кассы, ещё разберём 2 уравнение с 2 степенью в своих членах тогда мы получаем во первых, мы опять же должны его привести к станда.
55: Ввиду стандартный вид. Опять же напомню это когда мы отдельно выносим игрек штрих и все остальное рассматриваем отдельно от игрек штриха. То есть мы должны получить голый игрек штрих. Здесь у нас раз игрек штрих встречается и 2 игрек штрих встречается так быть не должно.
56: Небольшой заборчик.
57: И теперь сразу же перенесём игрек штрих в левую часть и вынесем его за скобку тогда мы имеем игрек штрих в скобках икс квадрат, минус, икс игрек.
58: Плюс игрек квадрат.
59: Равно нулю.
60: Итак, я уже сказал, что это уравнение дифференциальное, однородное, соответственно, мы будем вводить замену игрек равно у x. Но сначала мы все сократим на икс квадрат, минус, икс, игрек.
61: Тогда мы имеем игрек штрих и перенесём все в неё. Оставим пока в левой части, потому что все равно для нас и так и так будет удобно. Оставляем пока в левой части, сокращаем все на икс квадрат, минус, икс, игрек и получаем игрек штрих плюс.
62: Игрек, квадрат в числителе, в знаменателе, икс квадрат, минус, икс, игрек и все это равно нулю. Теперь мы вводим замену игрек равно у умножить на икс. Тогда сразу игрек штрих у нас равня.
63: Равняется у штрих икс плюс у по аналогии с предыдущим уравнением.
64: Теперь вводим вместо игрека нашу новую замену и получаем.
65: У штрих икс плюс у плюс вместо игрек в квадрате у нас будет у квадрат на икс квадрат.
66: В знаменателе мы получим икс квадрат без изменений и минус икс умножить на игрек. Игрек у нас это у на икс умножаем на икс, получаем у икс квадрат.
67: Мы можем заметить, что в данном, в данной дроби мы сразу же можем сократить икс квадрат, поэтому этим воспользуемся и получаем следующее выражение у штрих икс плюс у плюс у квадрат делить
68: Единица, минус u равно нулю, теперь мы у заносим в нашу дробь.
69: И тогда мы получаем у штрих икс плюс.
70: Plus нормально, плюс у сразу же умножаем на 1 минус, у делим на то же значение.
71: То есть приводим к общему знаменателю, плюс у квадрат делить на 1 минус, у все равняется нулю. И теперь отдельно считаем эту дробь. После раскрытия скобок мы получим следующее выражение у штрих икс плюс.
72: У минус, у квадрат плюс у квадрат и делить на 1 минус у. И мы сразу видим, что наше уравнение становится гораздо проще и компактнее, потому что лишние у у нас уходят. То есть у квадрат исчезает и остаётся просто
73: У делить на 1 минус у, то есть наша дробь становится гораздо более приятной теперь мы имеем у штрих икс плюс у делить на 1 минус u равно нулю.
74: И вот это уже как раз выражение, состоящее из Ровно 2 слагаемых, в котором мы можем разделить наши переменные. То есть мы свели задачу к снова самому 1 типу, то бишь кран с разделяющимися переменными.
75: Этим, то есть оставим, во первых, во первых, мы все поделим на x, перенесём все в правую часть, и уже после этого мы будем разделять, тогда мы имеем дду под x.
76: Равно.
77: Минус у делить на 1 минус у и умножить на икс все, что с иксом мы перенесём направо все, что без x, то бишь просто мы перенесём налево и мы будем иметь дэ у, умножить на 1 минус у.
78: Разделить на у.
79: Равно минус сразу поставим знак интеграла д икс. Делить на икс. Прошу прощения за небольшое прерывание. Вернёмся к нашим интегралам. Здесь мы получили интеграл в почти табличной.
80: Форме. Почему? Почти? Потому что нам нужно сделать ещё небольшое действие, чтобы вернуть их к непосредственно табличной форме. А именно мы разобьём этот интеграл по свойству суммы или разности интегралов. Тогда мы имеем д у делить на у минус
81: Интеграл. У делить на у, умножить на do. Равно минус интеграл д икс, делить на икс. И вот здесь мы уже видим 3 обычных табличных интеграла. Тут у сократятся. У нас останется просто 1 умножить на дэ у
82: И тогда мы имеем натуральный логарифм у минус, у
83: Равно минус натуральный логарифм индекса.
84: И не забудем про плюс константу.
85: Теперь здесь уже нам осталось вспомнить, что у на самом деле это наша замена, то есть вернёмся к ней, и если мы отсюда выразим у через игрек и икс, то мы получим, что u равно игрек делить на икс.
86: Подставляем вместо у и имеем натуральный логарифм игрек делить на икс минус игрек, делить на икс равно минус натуральный логарифм от x plus.
87: И здесь мы воспользуемся тем, что частное внутри логарифма раскладывается просто в разность 2 логарифмов тогда мы получим натуральный логарифм от игрек минус натуральный логарифм от икса и минус.
88: Делить на икс равно минус натуральный логарифм от икса.
89: Плюс с здесь мы видим 2 одинаковые части минус центральный логарифм икс и минус натуральный логарифм икс, поэтому они просто напросто сократятся и у нас останется выражение el н игрек, минус игрек делить на икс.
90: Равно ц. В целом можно оставить в таком виде, а можно ещё его записать относительно x. То есть оставить в 1 части чисто x и все остальное перенести в левую часть тогда мы получаем натуральный логарифм от игрек плюс константа.
91: Мы константу переносим в левую часть без изменения знака, потому что на самом деле плюс минус константа Роли не имеет, это, скажем так, выражение индифферентное совершенно к тому, какой знак перед ним стоит, потому что на месте константы может быть совершенно любое число равно игрек.
92: На x переносим игрек в левую часть, просто на него поделив, получаем натуральный логарифм игрек плюс цэ делить на игрек.
93: Равно 1 делить на икс и красоты ради мы можем все просто перевернуть, то бишь возвести в минус 1 степень и получить игрек делить на натуральный логарифм игрек плюс.
94: Равно просто иксу, как я уже сказал ранее, будет достаточно даже вот такого вида, но этот вид просто более компактный и записан относительно x, потому что записывает.
95: Его относительно игрека здесь будет крайне долго и громоздко, потому что здесь придётся ещее потенциировать и это будет немножко рекурсивная функция, потому что у нас игрек будет и как просто переменная, и в знаке экспоненты такие
96: Уравнения бывают, встречаются, но их обычно оставляют в таком виде, потому что дальнейшие преобразования слишком громоздкие и бесполезные. Этот вид гораздо проще. И теперь нам осталось только разобрать 3 случай. Это для 1 вида уравнений, это не
97: Однородные дифференциальные уравнения, в которых мы будем использовать замену игрек, равно у умножить на the. То есть раньше мы представляли у умножить на икс, а теперь у нас у умножить на the. Поэтому я и говорю, что 2 вид однородного дифференциального уравнения это просто частный случай, потому что замена
98: Нас сути 1 и та же, просто здесь мы подразумеваем, что вместо the у нас будет конкретная функция x. То есть the от x равное иксу, просто частный вид это уравнение чуть более.
99: Трудно и громоздкая. И, скорее всего, прям с вероятностью 99% на контрольной будет именно 3 тип. И здесь нам придётся уже брать 2 интеграла. То есть нам нужно будет сначала посчитать в потом посчитать у и все это
100: Вести под игрек. Ну что ж, перейдём к решению непосредственно. Тут у нас уже может, вернее, скорее то здесь у нас уже не будет наблюдаться равенство степеней. В принципе, на них можем даже не обращать внимание. Тут может возникнуть совершенно любая
101: Любое мракобесие, любое сочетание иксов, игреков и функций от них неизменным останется 1. У нас всегда производная от игрека будет 1 порядка, то бишь просто игрек штрих. Теперь перейдём к решению. Естественно, 1 же шагом мы приводим к стандартному
102: Ввиду пока рассмотрим игрек штрих на косинус, квадрат икс плюс игрек равно тангенс икс. То бишь 1 уравнение, которое я записал. Далее мы рассмотрим вот это уравнение. В 1 очередь мы приведём к стандартному виду, то есть оставим игрек штрих отдельно. Для этого мы поделим все на косинус ква.
103: X. Тогда мы получаем игрек штрих + 1 делить на косинус квадрат икс.
104: Умножить на игрек.
105: Равно тангенс икс.
106: Делить на косинус квадрат икс.
107: Так мы получили стандартный вид, то есть слева у нас игрек штрих, к нему прибавляем некоторую функцию от x умножить на игрек, и все это равняется ещё некоторой функции от x.
108: Теперь здесь мы уже вводим замен замену игрек равно у умножить на в.
109: В таком случае мы получаем, что игрек штрих, то есть производная от игрека. Это будет у штрих умножить на в плюс у умножить на the штрих подставляем замену вместо игрека игрек.
110: Штриха и получаем у штрих в плюс y в штрих.
111: Плюс.
112: Единица делить на косинус квадрат икс.
113: Умножить на у.
114: Равно тангенс икс.
115: Делить на косинус квадрат икс.
116: И здесь мы следующим образом поступаем так, как мы ввели в качестве замены вместо игрека произведение 2 каких-то функций, то мы можем в качестве в взять совершенно любую функцию и уже после неё будет однозначно определяться у
117: Например, если у нас изначально в исконном понимании игрек имел вид, допустим, икс в Кубе, и мы его приводим к виду игрек, равно ув.
118: То мы можем сказать, что в это, например, икс в 5 степени
119: И тогда к нему будет однозначно определяться у равное.
120: Икс в минус 2 степени и так для любого, в которые мы бы не взяли, у нас всегда будет определяться однозначно ему у этим мы и будем пользоваться, потому что
121: Потому что именно это позволит нам выбрать удобное для нас в и какое же в будет для нас удобно здесь мы вынесем за скобку у
122: Тогда мы имеем у штрих умножить на в плюс вынесенное за скобку у в штрих + 1 делить на косинус квадрат икс.
123: Умножить на в равно тангенс икс.
124: Делить на косинус квадрат икс. И нам бы очень, очень сильно хотелось, чтобы вот это выражение обратилось в 0.
125: Потому что тогда мы получим достаточно простую конструкцию, которая приведёт нас к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными, потому что в левой части у нас останется только у штрих умножить на вэ вэ. В свою очередь, представляет собой функцию от x, только от x.
126: Которая потом плавно перетечёт сюда, и мы получим простейший дифференциал оу. И чтобы вот эта скобка обратилась в 0, нам подойдут 2 варианта. 1 вариант это уровно нулю, но такой вариант мы не рассматриваем, потому что он делает все решение.
127: Бессмысленно и 2 вариант, когда the штрих плюс the делить на косинус, квадрат икс обращается в 0, поэтому мы отдельно это выпишем как дополнительное уравнение и получаем the штрих + 1 делить на косинус квадрат икс.
128: Умножить на в равно нулю.
129: Здесь может быть совершенно любая функция от x. Главное, что её вид будет всегда один и тот же мы всегда должны вынести у за скобку, получить внутри выражение, содержащее в штрих и в. И функцию от x.
130: И превратить его в обычное уравнение с разделяющимися переменными в точности, как было в начале. То есть мы получили то самое базовое фундаментальное уравнение, которое мы всегда умеем решать. Теперь мы поступим по стандарту, то бишь представим
131: В виде dvd x.
132: Равно минус the делить на косинус квадрат икс.
133: Все, что содержит вэ, мы переносим в левую часть все, что содержит x, мы переносим в правую часть. Тогда мы получаем сразу знак интеграл, поставим дэ в делить на the равно.
134: D x со знаком минус я недостаточно компактно все записал.
135: Чуть перепишу, сразу вынесу минус за знак интеграла. Поставлю сам интеграл. Тогда я имею дэ икс делить на косинус квадрат икс.
136: И то и другое это табличные интегралы дэ в делить на the даст мне натуральный логарифм в
137: Знак равенства. А здесь я получу минус тангенс. Икс это тоже табличный интеграл, потому что косинус квадрат делить на икс это производная от тангенса. Мы получаем здесь минус тангенс икс.
138: И отсюда мы получаем уже выражение для в тут мы потенциирует. То есть представляем, что у нас здесь стоит экспонента, и тогда мы имеем экспонента в степени натурального логарифма вв, равно экспонента в степени минус.
139: Тангенс икс.
140: И, по свойству логарифма экспонента в степени натурального логарифма вэ даст нам просто the, потому, что натуральный логарифм это как раз логарифм по основанию е. Тогда мы имеем, что the равно е в степени минус тангенс икс.
141: Отсюда уже мы переходим к нашему изначальному выражению, да, кстати, ещё забыл упомянуть, здесь плюс константа возникать не будет по 1 простой причине, так как мы выбираем в удобное для нас, то мы просто говорим, что
142: Константа в данном выражении тоже равна нулю. К сожалению, это единственный раз, когда мы можем провернуть такой финт ушами, но тем не менее мы его запомним и в дальнейшем будем пользоваться далее.
143: Это я вынесу как отдельный блок решений. Мы отсюда получили значение для в. Я ещё, кстати, дополнительно здесь ответ обведу зелёным.
144: То, что забыл чуть чуть.
145: Мы получили конкретное выражение для the как функцию от x. И теперь повторяем тоже самое с у, так как мы подбирали в таким образом, чтобы эта скобка обратилась в 0, то все, что нам останется, это записать у штрих, умножить на the вместо в. Мы сразу подставляем.
146: Найденное нами значение, то бишь экспонента степени минус тангенс икс.
147: Равно просто тангенсу икс.
148: Делить на косинус квадрат икс.
149: У это тоже функция от x. Поэтому у штрих это дду поделить д у по d икс тогда мы имеем, представим сразу же в нужном виде, опять же напомню, что мы получили снова самый 1 фундаментальный тип уравнений, то бишь уравнение с разделяющимися переменными, и поэтому мы его.
150: Спокойно решаем. То есть мы перекидываем все, что с иксами, в 1 часть, все, что без иксов в левую часть, тогда у нас получается дупд икс равно
151: Здесь у нас экспонента в степени минус тангенс икс. Если мы её перекидываем в правую часть как множитель, то мы просто меняем знак у тангенса икс. Ну потому что экспонента в степени минус тангенс икс это все равно что 1 делить на экспоненту степени тангенс икс.
152: Reconnecting внезапно ну-ка, видимо, у миры произошли какие-то трудности, буквально на полминуты сайт был недоступен. Ну что, возвращаемся к нашему интегралу дду подикс, так как я уже говорил ранее.
153: Так как у нас экспонента в степени минус тангенс икс, то мы её можем представить просто в виде 1, делить на е в степени тангенс икс.
154: И, соответственно, при перенесении через знак, равно как множителя, она просто напросто поменяет свой знак на плюс и мы получим просто экспоненту степени тангенс икс.
155: Этим мы и воспользуемся.
156: И получим следующее выражение тангенс икс делить на косинус квадрат, икс.
157: Умножить на экспонента степени тангенс икс.
158: Здесь мы перенесём д икс в правую часть, так я слишком ленивый, я его просто сотру здесь и напишу здесь.
159: И добавим знаки интеграла.
160: Левый интеграл это очевидно, просто у, а с правым интегралом придётся чуть повозиться.
161: Во первых, здесь мы видим косинус, квадрат икс. Как я уже говорил ранее, косинус квадрат икс это просто производная от тангенса икс, поэтому мы её сразу занесём под знак дифференцирования. Тогда мы получим уу равно тангенс икс умножить на экспоненту степени тангенс икс.
162: И умножить на д. Тангенс икс.
163: Опять же, повторюсь, это мы проходили во 2 семестре. Мы так можем сделать, потому что дифференциал от тангенс икс, то есть производная тангенса икс
164: Это есть 1 делить на косинус квадрат икс.
165: Это даже записано в производных элементарных функций, то бишь вот наш тангенс икс штрих это единица делить на cos квадрат x. Соответственно, отсюда.
166: Мы уже можем в таком виде разбирать этот интеграл по частям. Это тоже стандартный интеграл по частям. То есть у нас есть какая-то функция дифференциала умножить на экспоненту в соответствующей степени. Мы тут можем просто заменить тангенс икс на т. Для более удобного восприятия.
167: Ественно я так и сделаю, тогда мы вводим замену ттт равно тангенс икс.
168: Соответственно, the оо тангенс икс у нас будет просто д т. Здесь у нас появится просто т. И здесь у нас будет просто t. Тогда мы имеем у равно интеграл т умножить на е в степени т и умножить на ддт.
169: Интегрируем по частям.
170: Обычно для интеграл по частям используют буквы у и the, но так совпало, что они у нас заняты, поэтому будем использовать букву пэ и q. Тогда за п мы возьмём.
171: Тем.
172: Тогда деко это будет.
173: E t на ддт.
174: И, соответственно, дп.
175: Это просто ддт.
176: А q это просто экспонента от потому, что экспонента при своём интегрировании и дифференцировании превращается в саму себя это данное выражение.
177: Нам даст следующая запись п умножаем на т это т и т.
178: И минус интеграл е т д т.
179: И отсюда мы уже получаем т умножить на е т минус е т и вот уже здесь мы константу добавим отсюда у равно для
180: Более удобного восприятия мы вынесем е т за скобку и сразу же вместо t подставим тангенс икс, возвращаясь к нашей замене у равно е в степени тангенс икс.
181: Умножить на тангенс икс.
182: Минус единица плюс константа.
183: Теперь мы вспоминаем, что наша изначальная замена это игрек равно у на в.
184: Для этого мы добавлю ещё красный свет.
185: Для этого мы вернёмся к нашей, к нашему значению для в. И умножим на значение для у.
186: Игрек у нас равно на в получаем е в степени минус тангенс, икс.
187: Умножить на е в степени тангенс икс.
188: Умножить на тангенс икс - 1.
189: Плюс с.
190: Раскрываем скобки и мы получаем, что для 1 множителя её степени минус тангенс, икс и её тангенс икс, они просто друг друга уничтожат, останется тангенс икс - 1.
191: Плюс ц умножить на экспонента в степени минус тангенс икс.
192: Это и есть конечный ответ.
193: Конкретно это уравнение получилось чуть более громоздким, потому что здесь у нас не тривиальный интеграл для нахождения у, а небольшое интегрирование по частям. Маловероятно, что на контрольной будет похожее выражение, потому что оно чуть
194: Удлиняет время требуемое решение. Анастасия Владимировна пытается подбирать такие интегралы, чтобы в конечном итоге получались, вернее, такие уравнения, чтобы в конечном итоге получались табличные интегралы и дифференциалы. Но тем не менее, это просто хороший пример, который позволяет
195: Понять, что и как проводится при решении. Далее мы также рассмотрим игрек штрих + 2, икс игрек равно 2 икс игрек ку. Переходим к последнему интегралу в этом разделе сразу оговорюсь. Я изначально планировал, что я все запишу 1 большим видео.
196: Но потом, когда увидел, что таймер уже подходит к 38 минуте, то я все-таки решил, что стоит записать в 3 отдельных вида для каждого типа уравнений. Поэтому мы рассмотрим сейчас последнее уравнение, то есть игрек штрих плюс.
197: Игрек равно 2 икс игрек куб. Найдём его решение, и на этом 1 видео закончится, потому что просматривать 3 видео по примерно 50 минут будет гораздо удобнее, чем просматривать 1 видео, на сколько, наверное,
198: В общей сложности 2 с половиной часа получится. Да, я понимаю, что эти видео получились гораздо больше, чем 1 разбор 1 контрольной. Это связано с тем, что, во первых, 1 контрольная была рассчитана синицкой минут на 10, а эта контрольная рассчитывается синицкой где-то на
199: Час, то есть само самих по себе задач самих по себе видов задач здесь гораздо больше. И, соответственно, разбирать надо больше. К тому же я стараюсь ещё подобрать как можно больше вариантов того, что можно встретить с контрольной и делать так, чтобы каждая задача, она
200: Имела какую-то свою особенность, свою изюминку. То есть, например, в 1 интеграле у нас встречается косинус квадрат, икс тангенс, икс, то бишь частные производные, вернее просто производные, которые нас отсылают к табличным функциям. Здесь у нас чуть другая
201: Ситуация тут у нас появляется игрек в 3 степени. Кого-то это может сразу насторожить, отпугнуть, оттолкнуть и так далее. Но в конечном итоге это тоже самое уравнение, где мы вводим замену игрек равно ув. И впоследствии этот игрек куб достаточно
202: Изящно сокращается. Так что перейдём к решению. Здесь это уравнение сразу приведено к стандартному виду. То бишь у нас игрек штрих отдельно вынесен и не имеет перед собой никаких коэффициентов, множителей и прочего недоразумения у нас есть.
203: Отдельно игрек, перед которым есть какая-то функция от x и в правой стороне болтается все остальное, что нас никак не трогает, не мешает, не задевает и так далее больше нам тут упрощать ничего не надо, сразу можем вводить замену замена на стандартная игрек.
204: Игрек равно у умножить на в.
205: Отсюда сразу производная игрека игрек штрих равно у штрих в плюс, y в штрих.
206: Записываем в наше основное уравнение, получаем y штрих в плюс, y, в штрих + 2 икс умножить на у в и плюс.
207: Равно 2 икс умножить на у куб.
208: В куб, то есть мы заместо игрек в Кубе не забываем поставить у куб в куб. Далее мы опять выносим у за скобку, получая выражение для в штрих + 2 икс в у штрих в мы оставляем без изменений. Плюс
209: Скобку в штрих + 2 икс умножить на в закрываем скобку знак равно 2 икс у куб в куб.
210: И, как обычно, мы приравниваем эту скобку к нулю.
211: Тогда получаем следующее уравнение.
212: В штрих равно - 2 икс в переходим к стандартному виду, то бишь д в на д икс.
213: Равно - 2 икс the как обычно, иксы оставляем в правой части, the закидываем в левую часть тогда the the на the сразу знаком интеграла равно минус.
214: 2 икс д икс.
215: Это табличный интеграл, который нам даёт натуральный логарифм от в.
216: А в правой части у нас тоже, по сути, табличный интеграл. Двойку мы вынесем как коэффициент. Тогда у нас под знаком интеграла остаётся икс д икс икс д икс. При интегрировании нам даёт икс квадрат пополам, и на этом моменте двойка сокращается. Остаётся просто минус икс квадрат.
217: Отсюда мы сразу же можем получить в посредством потенцирования данного выражения, то бишь добавляем сюда экспоненту, так как экспонента в степени логарифм от в даст нам просто в то мы получим выражение вв равно экспо.
218: Нет, в степени минус икс квадрат.
219: Теперь мы полученное выражение для в. Подставляем в наше основное уравнение. Тут мы сделаем небольшую табличку и отметим в красным, потому что нам впоследствии придётся к нему вернуться. Тогда мы
220: Нашем уравнении получаем у штрих умножить на экспонента степени минус икс квадрат.
221: Равно.
222: 2 икс, повторюсь, вот это мы приравняли к нулю, поэтому эта скобка полностью исчезает вместе с у и остаётся Ровно 2 слагаемых, равно 2 икс умножить на у в Кубе и умножить на в в Кубе, в в Кубе. Это экспонента уже
223: Будет в - 3 умножить на икс квадрат степени. Почему так? Потому что если мы экспоненту степени минус икс квадрат возведём в куб, то мы просто получим следующее выражение е минус икс квадрат.
224: Умножить на е минус икс квадрат и умножить на е минус икс квадрат. То есть наши степени просто сложатся. Мы получим минус икс квадрат, минус икс квадрат, минус икс квадрат, то бишь - 3 икс квадрат. Это я.
225: Я сразу уберу и вернёмся к записи.
226: Тут мы сразу можем экспоненту минус икс квадрат 1 сократить и у нас останется - 2 экспонента икс квадрат. И тогда конечный вид для нашего выражения, когда мы уже, во первых, давайте у превратим в дду пд икс дду пд икс равно
227: 2 икс у куб экспонента - 2 икс квадрат. Здесь мы как обычно, разделяем переменные, то бишь иксы оставляем в правой части у в куб переносим в левую часть. Тогда мы
228: Получаем сразу знак интеграла поставим д у делить на у в Кубе. Равно 2 икс умножить на экспонента степени. Здесь я, наверное, запишу чуть в другом порядке. Во первых, знак интеграла.
229: Оппонента в степени - 2 икс квадрат умножить на 2 икс д икс. И теперь объясняю, почему я записываю в таком порядке. Во первых, мы сразу посчитаем слева интеграл, так как тут у в минус 3 степени, то при интегрировании мы получи
230: - 2 умножить на у в минус 2 степени. Давайте его знаменатель оставлю у квадрат.
231: А в правой части мы проведём следующие махинации. Во первых, мы 2 икс занесём под знак дифференциала, и тогда мы здесь получим, что вот это выражение
232: Нам даёт д вот икс в квадрате.
233: То есть справа у нас будет экспонента - 2 икс квадрат.
234: Умножить на д от икс квадрат. Когда мы интегрируем экспоненту, то мы хотим, чтобы у нас под знаком дифференциала стояло то же самое выражение, которое у нас стоит в степени экспоненты. Чтобы его получить, нам ещё нужно умножить наш дифференциал.
235: На - 2, поэтому мы домножаем его на - 2.
236: И поэтому мы сразу же делим вот эту часть на те же самые - 2.
237: Чтобы было понятнее. Вот так запишу. То есть мы и умножили на - 2 и поделили на - 2. И поэтому формально для нас ничего не изменилось. Теперь теперь эти - 2.
238: Коэффициенты мы сразу можем перенести в левую часть. У нас здесь получится - 2 умножить на мину 2, у нас просто 4 4 делить на квадрат равно интеграл экспонента - 2 икс квадрат и под знаком дифференциала.
239: Благодаря нашим страданиям получились те же самые - 2 икс квадрат, а экспонента при таком интегрировании даст саму себя, и там получим 4 делить на квадрат.
240: Равно экспонента от - 2 икс квадрат. Ну и плюс константа, разумеется. Дальше, когда мы наконец-таки выразили, у нам осталось
241: Только извлечь квадратный корень из этого выражения. То есть мы переносим все в левую часть и оставляем в правой, ну или просто обращаем, возводим в минус 1 степень, тогда мы получаем
242: У квадрат делить на 4.
243: Даже четвёрку сразу перенёс в правую часть у квадрат, равно 4 делить на экспонента в степени - 2 икс квадрат.
244: Плюс с.
245: И чтобы получить непосредственно выражение для y, мы извлекаем из всего этого счастья квадратный корень, и осталось только умножить на в которое равно экспонента минус икс квадрат домножаем.
246: И получаем наше значение для игрек игрек равно у умножить на the равно экспонента в степени минус икс квадрат.
247: Умножить на корень из 4, делить на экспоненту в степени минус икс квадрат плюс ц и такой запись. Вот только ту двойку я потерял, прошу прощения.
248: - 2 икс минус экспонента - 2 r, экспонента в степени - 2 икс квадрат все язык уже начинает сплетаться плюс константа на этом решение конкретно этого уравнения опять же заканчивается да, получилось.
249: Тоже громоздко, и при конечном интегрировании пришлось опять проводить некоторые махинации, потому что сразу не получился табличный интеграл, но опять же, повторюсь, это, вероятно, самые трудоёмкие и сложные уравнения, которые только были
250: Контрольная Рябушка в 1 2 пунктах. Все остальные, которые я посмотрел, они были гораздо проще. Там чаще всего возникают обычные табличные интегралы и не приходится вот так вот мучиться с тем, чтобы подводит
251: Под знак дифференциала получать определённые выражения и так далее. То есть здесь разобраны именно самые трудные номера, которые я нашёл.
252: Соответственно, если на них тренироваться, то все остальные интегралы, они будут достаточно простыми, не вызовут никаких трудностей, и вы увидите, что-то, что встречается, например, в этом примере, когда у нас получается
253: Простенькое выражение из исключительно табличных функций табличных интегралов, которые легко берутся. К тому же, зная анастасию владимировну, она постарается взять что-то, что даст как раз-таки простой вывод, и не
254: Не будет слишком сильно перегружать контроллер. Следующие типы, то бишь тип 2, тип, 3. Дифференциальное уравнение высших порядков я уже разберу в другом видео. Опять же, повторюсь банально, потому что мне будет так удобнее загружать
255: Вам будет, скорее всего, так удобнее смотреть, так что увидимся.