0: Приветствую всех тех, кто открывает данное видео 1 раз в своей жизни за 15 минут до контрольной. В этой 3 части мы разбираем 3 задачу самую кропотливую, большую, нудную, трудную и неприятную. Это линейное дифференциальное уравне.
1: С постоянными коэффициентами общий вид представлен сверху. Это пэ 0 на игрек в производной энного порядка плюс пэ 1 на игрек производной эм минус 1 порядка и так далее. До пэ энное умножить на игрек равно эф от икс, где
2: Игрек это некоторая функция от x а пэ эн - 1 и так далее. Это некоторые коэффициенты, которые представляют из себя обычные числа, и весь процесс нахождения этих, вернее, весь процесс решения данного уравнения будет заключаться в нахождении всех.
3: Коэффициент. Алгоритм. Я расписал. Он выглядит объёмным, но, по сути, я представил 3 шага в виде 7 Шагов, более подробно их раздробив, и начнём. Мы, разумеется, с 1 шага. Это найдём общее однородное решение игрек оо после.
4: Чего мы будем работать с игрек со звёздочкой? Это та часть, где у большинства возникает больше всего трудностей. И, наконец, мы воспользуемся найденными нами коэффициентами, дабы найти итоговый ответ, сразу скажу, что наиболее
5: Вероятный формат для этого уравнения будет из себя представлять уравнение с производными 2 порядка. То есть нам не придётся разбирать какие-то большие порядки по типу 3, 4 и так далее, при которых возникает очень много коэффициентов и очень много кропотливой работы.
6: Скажу вот этих вот коэффициентов, c1 c2 у нас будет Ровно столько же, каков максимальный порядок для уравнения. То есть, если у нас будет 5 порядок дифференциального уравнения, то у нас будет 5 коэффициентов, у нас 2 порядок, поэтому у нас будет 2 коэффициента.
7: Во всех задачах в Рябушка, которые были под пунктом 4, именно 2 порядок. Поэтому чаще всего, поэтому, в принципе, я буду разбирать именно вариант со 2 порядком. Скорее всего, Анастасия Владимировна также даст именно его, потому что любой
8: Другой порядок. Он будет слишком сильно растягивать данную контрольную и приведёт к большой, к потере большого количества времени, чего хотелось бы избежать. Соответственно, 1 шаг это мы находим общее однородное решение игрек оо.
9: Я его разберу отдельно, без полного решения сразу всего уравнения на 3 примерах, потому что здесь, как и раньше, как в 1 случае, когда мы решали линейное уравнение 1 порядка, как во 2 случае, когда мы решали уравнение с понижением коэффициента.
10: Вернее, понижением порядка. Так и в 3 случае у нас будет 3 подвида. Здесь мы получаем, рассмотрим на 1 примере игрек 2 штриха - 5 игрек штрих + 6 игрек. Каков общий алгоритм? Мы заменяем все игреки на некоторые коэффициент.
11: К и берём его в степени, которые соответствует порядку производной. То есть у меня игрек 2 штриха, я пишу к квадрат, далее - 5.
12: Тут подпишу, что это 1. Мы решаем - 5 игрек 1 штрих, 1 штрих. Вернее, значит это-ка в 1 степени минус-ка - 5 ка и + 6 игрек здесь игрек без производной. Значит это будет-ка в 0 степени. То есть просто число + 6 приравнива.
13: Это выражение к нулю, и ищу его корни по умному. Это называется решением характеристического уравнения. Решим мы его пока что по стандарту через дискриминант. Тогда дискриминант у нас будет равняться б квадрат это 25 минус.
14: 4 а цэ это 6 * 1 - 4 * 6, что нам даст 25 - 24.
15: Что даст просто единицу, тогда корни, корни этого уравнения к 1, к 2 будут нам давать минус б, то бишь 5.
16: Плюс - 1 и делить на 2, а то есть просто на 2, что в итоге нам даёт тройку и двойку.
17: После того, как мы нашли корни этого критического уравнения, мы запишем его в общем виде.
18: То есть игрек оо o равно так как здесь у нас получился дискриминант больше нуля, то общий вид будет иметь следующую форму c1 умножить.
19: На экспонента в степени, куда мы подставляем 1 найденное нами число в решении в степени 3 икс плюс c2 умножить на экспоненту и сюда мы подставляем уже 2 найденное.
20: Найденное нами число в степени 2 икс. На этом игрек оо заканчивается. Это его итоговый вид. Аналогично. Разберём 2 случай. 2 пример. Игрек 2 штриха - 4. Игрек штрих + 4 игрек мы опять
21: Вместо игрек 2 штриха пишем к квадрат.
22: Вместо игрек штрих мы пишем просто к
23: И вместо 4 игрек просто 4.
24: Приравниваем это к нулю и идём считать дискриминант. Дискриминант. В данном случае у нас равняется бэ квадрат это 16 - 4, а цэ это 4 * 4.
25: И в итоге мы получаем нулю. И так как дискриминант у нас равен нулю, это означает, что у нас будет Ровно 1 корень в данном выражении и другой вид для общего однородного решения. Корень мы этот сразу найдём.
26: Мы представим это уравнение уже как
27: Вернее, представим это уравнение в виде полного квадрата это будет k - 2.
28: В квадрате.
29: Из этого следует, что-ка у нас равно 2.
30: А общее решение будет иметь следующий вид.
31: C1 снова умножаем на экспоненту, ставим в эту экспоненту двойку, то бишь наш корень.
32: Плюс c2 и здесь мы должны дополнительно умножить на икс, мы умножаем на x, потому что мы один и тот же корень используем уже 2 раз, умножаем на 2 и степень экспоненты опять g2 икс это
33: Игрек оо, который мы в данном случае ищем, ну и, наконец, 3 пример, в котором у нас спойлер дискриминант получится меньше нуля, самый интересный и трудный, и неприятный, мы вместо игрек 2 track подставляем опять же-ка квадрат минус.
34: 8 к + 5. Тогда мы имеем 4K квадрат.
35: - 8 к.
36: + 5 приравниваем к нулю и считаем дискриминант б квадрат 64.
37: - 4, а c5 4 нам даст 20 умножить на - 4. Это будет - 80 равно - 16. Это 3 случай, когда у нас дискриминант меньше нуля, но мы такое ре.
38: Решаем посредством введения мнимой единицы. Тогда к 1 к 2 нам дадут следующее решение. Во первых, считаем минус б это будет 8 плюс.
39: Минус сразу же выносим за корень и
40: И корень из 16, и делить на 2, а то бишь делить на 8, что равняется единице плюс - 4/8 и, ну или просто 1, 2, и
41: Это число в комплексной форме. Отсюда мы опять же получаем для общего решения 2 слагаемых, которые будут иметь следующий вид.
42: Игрек оо равно, во первых, мы сразу же выносим экспоненту экспонента будет степени соответствующей действительной части мнимых корней, то есть просто 1 x.
43: И в скобках умножаем на c1 на косинус.
44: Коэффициента, который стоит перед и то есть 1 2 икс плюс c2, умножить на синус. И в синусе у нас снова будет число, которое стоит перед и то есть
45: 1, 2 икс это есть итоговый вид для 3 случая, когда дискриминант меньше нуля. На этом нахождение общего однородного решения заканчивается. И в теории мы после этого должны переходить уже к ко 2 части решения.
46: То бишь к анализу функции, которая стоит после знака равенства, приступим 2 часть нашего решения представляет собой шаги со 2 по 5, и мы будем заниматься определением частного.
47: Решение, то бишь игрек со звёздочкой, для начала нужно будет произвести анализ нашей функции эф от икс, которая будет стоять в правой части уравнения после знака равенства, что мы здесь должны определить в общем виде эф от икс представляет собой достаточно громоздк.
48: Сложную формулу, которая читается как экспонента степени, а икс умножить на многочлен энной степени от икс умножить на косинус бэ икс плюс многочлен степени м от икс умножить на синус бэ икс такого именно вида перед нами.
49: Скорее всего, не будет, даже не скорее всего, а 100% не будет, потому что в Рябушка есть 4 случая. 1 эф от икс выражается в обычный многочлен, например, в этот 2 слу.
50: Эф от икс выражается в одинокую тригонометрическую функцию, например, в косинус. 3 случай эф от икс выражается в экспоненту, и 4 случай эф от икс выражается в экспоненту, умноженную на какой-нибудь многочлен. Я, скорее всего, разберу.
51: Все 4 случая, но пока просто покажу, как проводить анализ ф от икс. В общем виде нам нужно будет определить Ровно 4 буквы a, b, l, e r. Каждая эта буква выражается именно через наше эф от икс, кроме.
52: Р р эр выражается через эф от икс в совокупности с числом, с корнями, которые мы получили. В общем однородном уравнении игрек оо, вернее, решений начнём. Во первых, мы должны опреде.
53: А, а, это просто цифра, которая стоит перед экспонентой, например, если у нас будет экспонента степени 2 икс, то у нас are равно 2. Если у нас просто экспонента икс, то у нас, а равно единице. И наконец, если у нас вообще нет
54: Экспоненты, то, а просто равно нулю. 2, что мы определяем, это бэ бэ, это цифра, которая стоит перед косинусом или синусом внутри его аргумента. Если, соответственно, у нас ничего нет, нет ни косинуса, ни синуса, то у нас б равно нулю. Если у нас есть ко
55: Синус или синус, то мы смотрим на то, что стоит перед иксом в аргументе косинуса или синуса. И 3 эль эль это самая большая степень икс, которую мы видим в функции эф от икс. Причём этот икс не должен стоять внутри.
56: Что-то ещё это именно должен быть отдельный многочлен, то есть x, не привязанный к косинусу или синусу, или к экспоненте в случае, если у нас, допустим, будет выражение, скажем, экспонента 2 икс.
57: То здесь al равно нулю.
58: Потому что чисто x тут нет вообще, если же у нас появляется x, то мы смотрим на максимальную степень, которая у него стоит, и по ней определяем эль.
59: И наконец, р. Р. Это число корней, совпадающих с числом z z, мы определяем следующим образом это комплексное число мы берём, а цифру экспоненты пишем плюс минус, пишем б цифру у косинуса или у синуса и умножаем на.
60: Мнимую единицу i и смотрим, какие корни из однородного общего решения, то есть отсюда, у нас совпадают с этим числом z.
61: И, наконец, для чего нам нужны? L l нам нужны для того, чтобы определить, какой у нас конкретно будет многочлен с неопределёнными коэффициентами я тут написал, как именно конкретно определяется многочлен в зависимости от эль это.
62: По сути, представление многочлена степени эль в уже конкретном более виде с коэффициентами. То есть, если у нас al равно нулю, то нам даст, то нам это даст многочлен пэ от эль, который представлен просто свободным членом. А если у нас эль равна
63: Единица то это нам даст многочлен p степени эль с 2 неопределёнными коэффициентами а и бэ вида x plus бэ и так далее. То есть чем меньше у нас получилось эль, тем проще у нас будет итог.
64: Система. Теперь перейдём от теории к практике и рассмотрим на конкретном примере, который мы полностью решим в задаче. У нас всегда будет дано, во первых, само уравнение, которое представляет из себя дифференциальное уравнении.
65: Равное какой-то функции от x. 2 это начальные условия начальных условий, в данном случае всегда будет 2 это просто функция от некоторого значения, x, равное чему-то, и 1 производная от этой же функции.
66: От некоторого значения x также равное чему-то в данном случае мы имеем игрек 2, штрих - 2, игрек штрих + 5 игрек равно 5 икс квадрат - 4, икс + 2 и начальное условие игрек от нуля равно нулю, игрек штрих от нуля, то есть 1 производная по игреку от null.
67: На равна 2 1 шаг, который мы делаем, это, разумеется, составляем характеристическое уравнение, то есть рассматриваем левую часть.
68: И подставляем вместо игрека-ка в соответствующей степени, тогда сразу подпишу, что это 1 шаг.
69: Тогда-ка квадрат - 2 k + 5 приравниваем к нулю и считаем корни.
70: Тут мы получаем, во первых, считаем дискриминант, тогда мы имеем the равно криво написал.
71: Бэ квадрат это 4 - 4, а цэ это 20.
72: Равно - 16 дискриминант меньше нуля. И поэтому в игрек оо у нас будет случай с косинусами и синусами. Представляем его в виде конкретного комплексного числа. Тогда мы имеем-ка 1 запятая 2 равно
73: 2 плюс минус сразу вносим и
74: Умножить на корень из 16.
75: И все это разделить на двойку.
76: Равно корень из 16 это 4. И тогда мы получаем 1 плюс - 2 и
77: И непосредственно общее решение. Общее однородное решение у нас будет иметь следующий вид игрек оо равно
78: Экспонента в степени икс умножить на c1, умножить на косинус 2 икс.
79: + 102.
80: Умножить на синус 2 икс.
81: На этом нахождение общего однородного решения заканчивается отсюда мы запомним и отдельно даже обведём полученное выражение для к 1 к. 2, потому что мы потом будем их сравнивать с числом z. И теперь мы приступим к анализу эф от икс.
82: Это уже как шаг 2, пожалуй, буду вниз продолжать.
83: Шаг 2 выпишем сначала само эф от XXUNASRAVNO5 икс квадрат - 4 икс + 2.
84: И теперь мы смотрим, во первых, определим число, а
85: Как мы видим, здесь отсутствует экспонента вообще раз нет экспоненты, значит, а равно нулю теперь определим число б. Мы опять же можем видеть, что здесь нет ни 1 синуса, ни 1 косинуса. То есть нет вообще тригонометрических функции.
86: Отсюда вывод, что б тоже равно нулю и 3 шаг мы определяем эль максимальная степень, которую мы тут видим у x это двойка, и отсюда эль тоже равняется 2 и осталось.
87: Определить эр, так как r мы сравниваем с числом z z u nas равно а то есть 0 плюс минус б умножить на и то есть 0 умножить на и равно просто нулю.
88: И раз оно равно просто нулю, то мы его сравниваем с корнями к 1, к 2, к 1, к 2. У нас равны единице, плюс - 2. И здесь мы видим, что совпадений у нас нет, то есть не равно к 1 2.
89: Из этого следует, что air равно нулю.
90: Теперь мы пишем общий вид частного решения, то бишь игрек со звёздочкой когда мы записываем общий вид, то мы должны сразу выписать икс в степени р. В данном случае это x в 0 умножить на.
91: Экспоненту в степени а. X в данном случае это 0 умножить на икс.
92: И умножить на многочлен p от эль.
93: 2 степень, то есть
94: Умножить на некоторую метрическую функцию косинус.
95: От б. Икс, то бишь в нашем случае 0 x, плюс некоторый многочлен q 2 степени от x.
96: И умножить на синус от нуля x.
97: Синус от нуля сразу же нам даёт 0, поэтому вот этой части не будет вообще. Давайте я её зачеркну чем-нибудь другим цветом, красным, например.
98: Тут косинус от нуля нам даст единицу, и поэтому у нас останется здесь только многочлен x от нуля, вернее, 0 степени нам даст снова единицу, как и экспонента в 0 степени нам даст просто единицу, и таким образом.
99: Игрек со звёздочкой выражается в небольшой и компактный многочлен 2 степени от x.
100: Который мы сразу же запишем в виде с неопределёнными коэффициентами. Это будет, а
101: Икс квадрат плюс б икс.
102: И плюс д, следующая порядку буква должна была быть ц, но мы ц уже зарезервировали, когда выписывали общее однородное решение. И так как по этикету, раз мы уже используем где-то ц, то мы его повторно использовать не должны, мы оставляем просто букву.
103: Теперь, когда мы нашли общий вид частного решения, то есть игрек со звёздочкой, мы должны получить производные игрек со звёздочкой 1 и 2 порядка мы берём Ровно столько производных, сколько у нас в изначальном уравнении в изначальном.
104: Уравнении у нас максимальный порядок производной это 2, то есть игрек 2 штриха. И поэтому мы также берём производные частного решения от игрек для игрека до 2 производной тогда
105: Игрек со звёздочкой штрих равно 2 а x.
106: Lucky написал.
107: 2 икс плюс б.
108: Игрек со звёздочкой 2 штриха.
109: Равно просто 2.
110: Теперь, когда мы нашли вид производных.
111: От частного решения мы должны сопоставить его с коэффициентами, которые нам были даны в изначальном уравнении, в изначальном уравнении. У нас игрек 2, штрих, - 2, игрек штрих + 5 игрек, соответственно, перед игрек со звёздочкой.
112: У нас коэффициент будет 5, соответственно, с нашим порядком перед игрек штрих у нас коэффициент будет - 2.
113: И перед игрек 2 штриха, у нас коэффициент будет единица.
114: Мы теперь берём все наши выражения, полученные нами, и выписываем их в 1 большое уравнение и приравниваем его к нашей изначальной функции от x. Тогда мы получаем во первых, у нас идёт игрек.
115: И 2 штрих умножить на единицу, то есть 2 а
116: Давайте я ещё допишу, что мы здесь умножаем на единицу, чтобы было понятно 1 * 2, а
117: Плюс игрек со звёздочкой штрих мы умножаем на - 2, тогда я сразу сотру тут плюс и напишу минус.
118: -2 * 2 а икс плюс б.
119: И для игрек со звёздочкой мы умножаем все на 5 + 5 умножить на а икс квадрат плюс бэ икс плюс д.
120: И мы приравниваем это выражение к нашей изначальной функции от x r f, от x y nas равно 5, икс квадрат - 4, икс + 2.
121: Теперь для определения наших коэффициентов a b d мы должны составить небольшую систему уравнений как мы её составляем, мы выписываем каждый x, который у нас встречается, каждую его степень, то есть икс квадрат.
122: X 1.
123: X 0 как обычное число и получаем смотрим, что стоит перед соответствующими иксами в правой части в данном случае это для икс в квадрате 5.
124: Для x в 1 степени это - 4 широкую слишком сделал.
125: И для x 0 это просто двойка.
126: И теперь мы смотрим, с какими конкретно коэффициентами встречается соответствующее выражение от x в нашей левой части икс квадрат нам даёт только 5 а?
127: Отсюда мы записываем 5 равно 5 а.
128: X в 1 степени нам даёт -2 * 2, а x и 5 умножить на бэ икс, отсюда мы их и записываем -2 * 2, а x. Давайте я его красным даже подчеркну.
129: И тогда мы получаем - 4 а.
130: + 5 б.
131: И двойку мы получаем.
132: То есть все, что не имеет x вообще x. В 0 степени даёт просто цифру 2, а - 2 умножить на б. Давайте двойной чертой подчеркну и 5 умножить на д. И мы.
133: Есн вписываем 2 а.
134: - 2 б.
135: И + 5 д.
136: Составили эту систему, и теперь мы должны её решить из 1 уравнения. Мы сразу же однозначно получаем, а отсюда у нас, а равно единице.
137: Из 2 уравнения мы в него подставляем найденное нами значение а и тогда мы получаем, почему я тут написал b5, если здесь правильно написать 5 б.
138: Чуть чуть писался.
139: Мы подставляем сюда найденное нами значение, а равное единице, тогда -4 - 4 сами собой сокращаются, и у нас остаётся 5 б равно нулю, ну или просто б равно нулю.
140: И снова подставляем найденные нами значения а. И б. У нас получается 2 равно 2 + 5 д. Двойки сокращаются, и отсюда мы однозначно находим д. Тоже равное нулю.
141: В данном случае получились хорошие, красивые, удобные значения для а б и д. Так получается не всегда нередко бывают какие-нибудь стрёмные дробные выражения, но их бояться не стоит, нужно просто аккуратнее считать теперь.
142: Когда мы выписали абд, мы можем составить конкретный вид для игрек со звёздочкой.
143: Тогда игрек со звёздочкой у нас равно.
144: В общем виде это а икс квадрат плюс бэ икс плюс the в нашем случае это будет просто икс квадрат.
145: И теперь мы можем получить общее решение для игрек. Игрек равно игрек оо.
146: Плюс игрек со звёздочкой.
147: И тогда игрек у нас равняется игрек оо. Я напомню это экспонента икс умножить на c1, умножить на косинус 2 икс плюс c2, умножить на синус 2 икс.
148: Экспонента икс умножить на скобках c1 косинус 2 икс.
149: Плюс c2 на синус 2 икс.
150: И плюс икс в квадрате.
151: Теперь наша задача заключается в том, что мы должны определить c1 и c2. Для того, чтобы определить c1 и c2, мы должны также посчитать игрек штрих и подставить в соответствии с нашими начальными условиями. Игрек штрих это производная от всего этого выражения. У нас
152: Тогда будет равен. Мы тут сразу видим довольно-таки неприятную ситуацию, когда у нас идёт умножение, экспоненты на тригонометрическую функцию, но делать нечего, придётся её считать. Тогда, во первых, константа как коэффициент просто выносится для
153: 1 слагаемого. Это будет c1 экспонента икс косинус 2 икс. Берём производную, производная от экспоненты даст нам её саму
154: Тут мы, напоминаю, действуем по правилу взятия производной от произведения 2 функций умножить на косинус 2 икс.
155: И теперь мы берём производную от 2 множителя, то есть от косинус 2 икс, производная от косинус 2 икс даст нам - 2 синус 2 икс.
156: Ну, сначала давайте мы запишем то, что не меняется у нас.
157: То есть это будет - 2 стёр. Написал молодец какой. - 2 ц, 1 экспонента икс и синус 2 икс.
158: И аналогично мы считаем для 2 слагаемого, то есть экспонента c2 синус 2 икс во первых, непосредственно множитель плюс c2 умножить на производная по экспоненте даст прос экспоненту умножить на экспоненту степен.
159: X. И умножить на синус 2 икс.
160: Некрасиво.
161: И теперь берём производную от синус 2 икс. Тогда мы получаем + 2 ц, 2 экспонента икс.
162: И умножить на косинус 2 икс.
163: И, наконец, производная от икс в квадрате даёт нам просто + 2 икс.
164: На этом мы закончили нахождение нашей производной, и нам осталось только подставить в полученное выражение наши начальные условия, начальные условия у нас где-то наверху.
165: Игрек от нуля равно нулю, игрек штрих от нуля равно 2. Теперь мы записываем все тоже самое, только уже подразумевая, что мы пишем игрек от нуля.
166: Это означает, что мы везде вместо x пишем 0, тогда мы имеем экспонента 0 степени даст нам единицу, косинус нуля даст нам единицу и умножить на c1 это будет просто c1.
167: Синус от нуля даст нам чистый 0. То есть этой скобки не будет вообще. И икс в квадрате от нуля даст нам снова 0. Тогда получаем, что игрек от нуля равно c1 + 0 равно нулю. И отсюда мы однозначно находим
168: C1 равное нулю аналогично считаем игрек штрих от нуля.
169: Экспонента от x в 0 степени это единица умножить на косинус 2 икс косинус нам даёт от нуля тоже единицу, и мы получаем c1 минус здесь синус от нуля даст нам 0, поэтому эту скобку, вернее, этот.
170: Можем сразу обнулить.
171: Plus снова идёт обнуление, потому что опять синус от 2 x.
172: + 0 дальше 4 множитель, 4 слагаемое. Вернее, тут нам косинус от нуля даст единицу экспонента от нуля даст тоже единицу, и мы получаем + 22.
173: И 2 икс икс равно нулю, поэтому 2 икс даёт нам просто 0.
174: Не то написал.
175: + 0.
176: И по начальным условиям игрек штрих от нуля равен 2 теперь мы все это приводим к более удобоваримому виду.
177: Систему ещё поставим, фигурную скобку c1 равно нулю подставляем. C1 сюда получаем 0000 и 22 и выражение 22 равно 2.
178: И отсюда однозначно определяется, что c2 равно единице, и все, что нам осталось, это подставить найденные значения c1 и c2 в наше итоговое общее решение, которое у нас получилось здесь тогда.
179: Мы имеем игрек равно.
180: C1 у нас получилось с нулём c2 это просто единица, то есть since
181: Так, экспоненту забыл экспонента от x умножить на синус от 2 икс плюс икс квадрат.
182: И на этом решение заканчивается.
183: Это и есть наш итоговый ответ. То есть, как видите, тут ничего страшного нет. Единственное, что может быть, это от случая к случаю могут разниться непосредственно функции эф от икс, и в зависимости от этого может получиться более
184: Менее некрасивая система уравнений с a, b и d теперь мы разберём ещё несколько примеров как я уже говорил, в Рябушка встречается Ровно 4 случая 1 случай это эф от икс представляет собой просто многочлен этот случай мы только что разобрали.
185: 2 случай это эф от икс представляет собой некоторую тригонометрическую функцию. 3 случай эф от икс представляет собой обычную экспоненту, и 4 случай эф от икс представляет собой экспоненту умноженную на какое-то выражение, то есть намного
186: 4 случай, он самый неприятный и громоздкий, потому что там получаются самые муторные производные. И поэтому мы разберём все 4 случая и особое внимание уделим 4 видео. Скорее всего, из этого получится достаточно большим, но тем не менее, математи
187: Вся складывается из разбора практики, так что мы лучше постараемся разобрать как можно больше случаев, чтобы посмотреть, как они решаются. Следующий пример, который мы рассмотрим. Это пример, в котором в правой части стоит функция в виде
188: Функции здесь у нас игрек 2 штриха это рядышка 4 точка 12 игрек 2 штриха плюс игрек штрих равен косинус от 3 x y. Начальное условие у нас игрек от пи пополам равно 4 игрек штрих от пи пополам равен единице как обычно.
189: Начнём мы сразу же с решения характеристического уравнения, то есть пишем-ка в квадрате плюс qa равно нулю здесь нам не придётся брать дискриминант, мы сразу можем вытащить корни.
190: Скобку получаем k + 1 равно нулю отсюда мы получаем к 1 равное нулю.
191: И к 2 равное минус единице.
192: Соответственно, мы записываем общее однородное решение игрек оо равно
193: Так как у нас и здесь, и здесь только действительная часть, то мы получаем c1 умножить на экспонента в степени 0 умножить на икс.
194: Плюс c2 умножить на экспоненту в степени минус икс и сразу же перейдём к более удобному ввиду, так как экспонента 0 степени даст просто единицу, то мы получаем c1 плюс.
195: C2 умножить на экспонента в степени минус икс.
196: Теперь мы перейдём к анализу функции от x косинус 3 икс.
197: Ф от икс.
198: Равно косинус 3 икс.
199: Как мы видим, экспоненты здесь нет и многочлена от x тоже нет, есть только тригонометрия, поэтому сразу выписываем, а равно нулю.
200: Б равно то, что стоит перед иксом в косинусе, это тройка.
201: Эль в силу отсутствия многочлена от x l будет равняться нулю.
202: И теперь посмотрим чему у нас будет равен z z. У нас равняется 0 плюс - 3 и.
203: И так как к 1 и к 2 у нас равны нулю и минус единице, то z у нас не равен ни к 1, ни к 2.
204: И отсюда вывод, что р. У нас равен нулю, тогда игрек со звёздочкой будет иметь следующий вид я здесь, как и всегда, запишу полное написание его общего вида.
205: Чтобы было понятнее, что и откуда берётся на контрольной, выписывать все полностью нет необходимости, можно сразу переходить к готовому ввиду тогда игрек со звёздочкой равно икс в степени эр умножить на экспоненту в степени а x.
206: Умножить на скобках п. Эль умножить на косинус b x.
207: Plus quelle?
208: Умножить на синус б. X.
209: Re равно нулю, поэтому эта часть превращается в единицу, а у нас тоже равно нулю, поэтому экспонента тоже превращается в единицу пэ от al равно нулю, поэтому они нам дадут только коэффициенты а и бэ для q. Соответственно а бэ у нас.
210: Но 3 поэтому и косинус, и синус у нас останутся. Тогда мы получаем, что игрек со звёздочкой имеет вид.
211: Пэ эль у нас превращается в букву а. То, что многочлен 0 степени, это просто константа, просто цифры умножить на косинус 3 икс.
212: Plus que el нам тоже даст, просто константу, запишем её, как б и умножить на синус 3 икс.
213: Теперь мы сразу, не отходя от кассы, посчитаем игрек со звёздочкой штрих.
214: Который нам даст. Берём дифференциал 1 слагаемого. Дифференциал от косинуса даст нам минус синус и выносим тройку за скобку. Получаем 3, а умножить на со знаком минус, умножить на синус 3 икс.
215: И дифференциал от синуса даст нам косинус, и не забудем про то, что у нас в аргументе стоит тройка + 3 б.
216: Умножить на косинус икс 3 x.
217: И аналогично сразу посчитаем игрек со звёздочкой 2 штриха.
218: Равно.
219: Берём производную от 1 слагаемого, производная от синуса нам снова даст 3 косинуса 3 x. Тогда мы получаем - 9 а.
220: Умножить на косинус 3 икс.
221: И производная косинуса даст нам - 3, косинус 3 икс синус 3 икс, и мы получаем - 9 б умножить на синус 3 икс.
222: При этом в нашем исходном уравнении коэффициент перед игреком у нас был 0 коэффициент перед игрек штрих у нас был единица и коэффициент перед игрек 2 штриха у нас был тоже единица, поэтому мы записываем
223: Данное уравнение подставляем соответствующее значение игрек звёздочка 2 штриха игрек звёздочка штрих в наше исходное уравнение. Тогда мы имеем
224: Сначала запишем игрек 2 штриха, вернее игрек звёздочка 2 штриха. Умножаем на коэффициент единицу получаем - 9, а умножить на косинус 3 икс.
225: - 9 б умножить на синус 3 икс.
226: И прибавляем игрек с дочкой. Штрих, умноженный тоже на единицу - 3 а.
227: Умножить на синус 3 икс.
228: + 3 бэ умножить на косинус 3 икс.
229: И все это равняется косинус 3 икс.
230: То есть функция нашего исходного уравнения. Теперь мы должны посмотреть, какие коэффициенты стоят перед косинусами и синусами, и посчитать, чему они равны. Как мы видим, коэффициент перед косинус 3 икс в правой части равен единице, а коэффициент перед синус 3 икс.
231: Равен нулю, потому что синус 3 икс полностью отсутствует. Поэтому мы по аналогии с тем, как мы в прошлой задаче выписывали икс квадрат икс 1 икс 0, выписываем косинус 3 икс и синус 3 икс.
232: Косинус 3 икс ставим двоеточие и пишем единица равно аналогично синус 3 икс.
233: Ставим двоеточие и пишем 0 равно перед косинусом, перед косинусом 3 икс у нас стоит - 9, а сразу же обведём его красным цветом, чтобы было понятно.
234: И 3 б.
235: А перед синусом тут мы просто подчеркнём - 9 б и - 3 а и записываем перед косинусом - 9 а.
236: + 3 в.
237: Перед синусом - 9 б.
238: И + 3, извиняюсь.
239: И - 3, а теперь мы решаем эту небольшую систему.
240: Для этого мы умножим верхнее уравнение на 3.
241: И сложим со 2 тем самым мы полностью исключим - 9 б и получим 3 равно.
242: -9 * 3 даст - 27 плюс - 3. Это будет - 30 а.
243: Отсюда следует, что а у нас равно - 1 10.
244: Теперь подставляем найденное значение, а в любое имеющееся выражение, например, в нижнее, потому что это удобнее всего, и тогда мы получаем, что 9 б равно - 3 а.
245: Отсюда бэ это минус, а разделить на 3.
246: Или 1:30.
247: Ну, потому что знаменатель просто я 3 раза и знак поменяли. Выписываем найденное значение. А и б.
248: А равно - 1 10.
249: Ibb, равно 1:30.
250: Тогда частное решение нашего уравнения, то бишь игрек со звёздочкой, принимает следующий вид.
251: - 1 10 умножить на косинус 3 икс.
252: И + 1:30 умножить на синус 3 икс.
253: И теперь можем записать.
254: Общий вид нашего решения с ещё не вычисленными коэффициентами c1, c2. Тогда игрек. Равно вспомним, что у нас было в общем однородном решении. Мы там записали игрек оо о, это будет c1 плюс c2 умножить на е в степени минус икс.
255: Игрек у нас равен игрек оо общее однородное плюс частное игрек со звёздочкой.
256: Это тоже в дальнейшем на самой контрольной можно будет не писать. Я пишу, чтобы просто напомнить сам алгоритм и показать, что откуда берётся равно c1 плюс c2 на е в степени минус икс.
257: - 1 10 на косинус 3 икс.
258: И + 1:30 умножить на синус 3 икс.
259: Теперь для полноты картины мы должны взять производную игрек штрих.
260: От этого выражения c1 при взятии производной просто обратится в 0, потому что это константа, но мы её все равно пропишем 0. Далее производная от экспоненты даст нам на ту же самую экспоненту и производную от самой функции.
261: В экспоненте. Так, у нас минус икс, то мы получим производную минус единицу, то есть мы получаем минус c2 умножить на экспонента минус икс.
262: Дальше у нас идёт производная от косинус 3 икс. Это будет минус.
263: Тогда уже плюс, потому, что производная косинуса даст нам синус со сменой знака + 3/10 умножить на синус икс 3 x y. Аналогично берём производную синуса.
264: Умножаем на 3. Это будет 1 10 и будет косинус 3 икс + 1 10.
265: И умножить на косинус 3 икс.
266: Теперь мы подставляем наши исходные значения.
267: В исходных значениях у нас было игрек от нуля вроде нет, ошибаюсь.
268: В исходных значениях у нас, у нас, у нас, у нас игрек от пи пополам равен 4 и игрек от пи пополам игрек штрих, вернее пи пополам равен единице.
269: Тогда.
270: Игрек от пи пополам.
271: Равен 4.
272: Игрек штрих от пи пополам.
273: Равен единице.
274: Дополняем этим нашу систему исходную.
275: И получаем.
276: Подставляем в 1 выражение игрек пи пополам, получаем c1 плюс c2 умножить на экспоненту в степени минус пи пополам.
277: Косинус от 3 пи пополам. Ну, вместо икса подставляем пи пополам и умножаем на 3. Тогда мы получаем. Это будет равняться нулю - 0, а синус от 3 пи пополам даст нам минус единицу - 1.
278: 30 и налогично внизу, а вседа равно 4.
279: + 1:30 нет, стоп, именно - 1:30, потому что да, since нам даёт минус единицу и аналогично считаем игрек штрих подставляем сюда вместо x p. По получаем все тот же самый 0 минус c2.
280: Умножить на экспонента от минус пи пополам.
281: Далее 3/10 от синуса 3 x, которые нам при постановке икса равной минус равной пи пополам, дадут минус единицу, тогда мы получаем - 3/10.
282: И косинус снова обратится в 0 + 0 все это равно единице.
283: Мы можем заметить, что если мы сложим 2 этих выражения, то c2 умножить на экспоненту в степени минус пи пополам уйдёт полностью, у нас останется только цифры и c1, поэтому мы все сразу складываем и получаем.
284: C1, - 1:30 и - 3/10. Я это сразу приведу к общему знаменателю и получу - 1:30 - 9/30. То есть, то есть - 10/30 или - 1 треть c1, - 1 треть.
285: Равно 4 + 1 равно 5.
286: И отсюда c1 равно 16/3.
287: Ну, то есть 5 + 1, 3 с приведения к общему знаменателю.
288: А c2 я могу сразу посчитать из нижнего выражения, что я, соответственно, сделаю.
289: Тогда я пишу минус c2 умножить на экспоненту степени минус пи по.
290: Равно единице + 3/10, ну или просто 13/10.
291: Теперь я обе части уравнения домножаю на экспоненту степени пи пополам, чтобы полностью от неё избавиться, тогда она у меня останется только в правой части. И меняю знак, и получаю c2 равно - 13/10.
292: Умножить на экспоненту в степени пополам.
293: Я здесь подпишу даже, чтобы понятнее было, что я умножаю на минус.
294: Экспонента степени пипо.
295: Теперь, когда у меня записано c1 c2, я их подставляю в итоговый вид нашего уравнения, то есть в игрек равно c1 + 2 умножить на экспоненту в степени минус икс и так далее с косинусами синусами и имеем готовый ответ.
296: Игрек равно c1, это 16/3.
297: Потом c2 умножить на экспоненту в степени минус икс, то есть - 13/10.
298: Умножить на экспонента минус икс плюс умножить на экспоненту в степени ппа. Я сразу заведу под общий знак экспоненты.
299: То есть у меня будет экспонента в степени минус икс плюс пи пополам.
300: Дальше у меня идёт - 1 10. Эту часть я переписываю без изменений. Это будет - 1 10 умножить на косинус 3 икс.
301: И + 1:30 умножить на синус 3 икс.
302: Вот и все, это и есть наш готовый ответ. Сразу введём его в зелёный прямоугольник. Я же сказал зелёный.
303: И на этом данная задача заканчивается. И сразу, без продолжительной паузы мы перейдём, к примеру, с экспонентой, опять же повторим весь наш алгоритм. То есть сейчас
304: Это мы записываем характеристическое уравнение. То есть мы вместо игрек 2 штриха снова пишем-ка квадрат - 6 к и + 9. Да, я условие не прочитал.
305: По условию игрек 2 штриха - 6 игрек штрих + 9 игрек равно экспонента степени 3 x y начальное условие игрек от нуля даёт единицу игрек штрих от нуля даёт 0 тогда характеристическое уравнение мы приравниваем сразу к нулю здесь все раскладыва.
306: В полный квадрат, то есть дискриминант у нас равен нулю дискриминант, я считать, с вашего позволения, не буду, сразу разложу в qa - 3 в квадрате.
307: Равно нулю отсюда мы сразу видим корни к 1 равно к 2 равно 3. Теперь 2 шаг. Мы анализируем функцию эф от икс, то бишь экспонента, степени 3 икс.
308: Ф от икс.
309: Равно е в степени 3 икс, во первых, а мы отсюда сразу видим, а равно 3 экспонента есть. Поэтому мы смотрим на цифру перед иксом. Это тройка. Отсюда у нас are равно 3
310: Тригонометрии у нас здесь вообще нет, отсюда б сразу равно нулю.
311: Какого-то другого x. Кроме того, что стоит в экспоненте, у нас тоже нет, то бишь многочлен имеет нулевую степень, поэтому al равно нулю.
312: И теперь мы смотрим на то, какой вид у нас имеет число z z u nas равно, а то есть 3 плюс - 0 умножить на и.
313: Или равно просто 3. И тут мы видим, что это у нас и к 1, и к 2, потому что и к 1, и к 2 у нас тоже равны 3. Следовательно, у нас корни совпали 2 раза и раз.
314: Совпали 2 раза, то r у нас равняется 2, соответственно если бы совпали корни 1 раз, то r равнялась всего единице это ещё 1 важный момент, кстати говоря-ка 1 и-ка 2. Несмотря на то, что они равны друг другу, мы не
315: Можем их обозначить как некоторое единое-ка, потому что у уравнения 2 степени всегда должно быть 2 Корня, поэтому мы отдельно прописываем-ка 1 равное 3 и-ка 2, равное 3. И вот ещё забыл добавить сразу.
316: Общее однородное решение данной данного уравнения, то есть игрек оо, мы выписываем в следующем виде игрек оо равно c1 умножить на экспоненту в степени 3 x.
317: Плюс c2 умножить на икс, потому что мы записываем корень стройкой 2 раз. Поэтому у нас здесь появляется x и умножить на экспоненту в степени 3 x.
318: Про это мы не будем забывать больше и двигаемся дальше. Мы проанализировали функцию ф от икс. Теперь запишем её частное решение.
319: Как обычно, я запишу с общим видом игрек звёздочка, равно икс в степени эр.
320: Умножить на экспоненту в степени а. X.
321: И умножить на
322: Пэ эль умножить на косинус b x plus que эль умножить на синус бэ икс.
323: Бэ у нас равно нулю, поэтому тригонометрическое все уходит вместе с многочленом ку эль, и у нас остаётся только 1 многочлен пэ эль икс от р. У нас это икс в квадрате.
324: Экспонента аикс.
325: Это экспонента 3 x.
326: И отсюда мы получаем так как эль у нас равно нулю, то это будет многочлен 0 степени. То есть просто константа это будет, а
327: Умножить на икс квадрат и умножить на экспоненту в степени 3 x. Вот здесь, когда мы подставляем вместо бэ значение, равное нулю, то вот это полностью все уйдёт, потому что обратится в 0, потому что синус от нуля даст нам 0, а вот это
328: Вот часть обратится просто в пэ эль, потому что косинус от нуля равен единице, и мы получим пэ эль умножить на единицу. Теперь мы записали игрек со звёздочкой. Сразу запишем, записываем игрек со звёздочкой. Штрих.
329: То есть производную от данного выражения, так как это произведение 2 функций икс квадрат и экспонента в степени 3 икс, мы их записываем по правилу взятия производной от произведения, тогда у нас будет производная 1 функции. Ну, естественно,
330: Общий член, а как коэффициент, а умножить на 2 икс и умножить на экспоненту 3 x.
331: Теперь мы сохраняем без изменений икс квадрат и берём производную от экспоненты 3 x, производная от экспоненты 3 x 3 x даст нам просто 3 умножить на экспоненту 3 x plus.
332: 3 умножить на а икс квадрат и умножить на экспоненту 3 x. И в этой конструкции мы сразу за скобку вынесем общий множитель это а умножить на экспоненту 3 x, потому что.
333: В будущем нам так будет удобнее, а экспонента 3 x и в скобках 2 икс + 3 икс квадрат.
334: И теперь мы возьмём 2 производную игрек со звёздочкой 2 штрих.
335: Которая будет равна здесь у нас тоже стоит произведение 2 функций, поэтому мы опять же считаем по правилу произведения 2 функций там получаем, а в 1 части мы получим 3, а экспонента 3 x y, 2 без изменений, то есть
336: 3 а экспонента 3 x.
337: И умножить на 2 икс + 3 икс квадрат.
338: Теперь 1 часть без изменений, a2 части мы уже берём производную и там получаем
339: А на её 3 x.
340: + 6 икс + 2.
341: И теперь мы опять же вынесем за скобку общий множитель.
342: То есть а на её 3 x.
343: И сложим все, что у нас внутри. Тогда мы получим от 1 слагаемого мы имеем 6 икс + 9 икс квадрат.
344: 9 икс квадрат + 6 икс здесь у нас тоже будет 6 x y plus, 2 2 раза по 6 x нам даст 12 x y plus двойка мы посчитали все частные произво.
345: И теперь мы возвращаемся к нашему исходному выражению, чтобы взять оттуда конкретные значения для наших коэффициентов и, соответственно, сформировать итоговое уравнение. Тогда здесь у нас игрек 2 штриха минус.
346: Игрек штрих + 9 игрек. Мы эти все коэффициенты соответственно выпишем.
347: И получим для 1 выражения. У нас будет 9, для 2, для производной 1 порядка у нас будет - 6. И для производной 2 порядка у нас будет просто единица, поэтому мы все складываем.
348: С указанными коэффициентами и при этом мы видим, что у нас в каждом выражении есть общий множитель в виде а умножить на экспоненту 3 x. Поэтому мы при сложении сразу же выносим за скобку, а умножить на экспоненту 3 x.
349: Мы могли этого и не делать, но тогда нам бы пришлось это сочетание, а на экспоненту 3 x писать, наверное, раз 6 это достаточно муторно и зря чернила тратить и место на бумаге тогда мы получаем, а экспонента 3 x здесь.
350: Пожалуй, сразу откроем большие скобки. Да, прямоугольные скобки ничем не отличаются от круглых. Это просто для того, чтобы их между собой не путать. И начинаем все постепенно складывать, начиная со 2 порядка. 9 икс квадрат сначала, но
351: Единицу де икс квадрат.
352: Plus 12 x.
353: + 2, далее - 6 3 икс квадрат + 2 икс.
354: И наконец.
355: + 9 икс квадрат.
356: И все это равно экспонента степени 3 икс.
357: Здесь мы экспоненту степени 3 икс можем сразу же сократить.
358: Здесь у нас останется единица.
359: И мы получаем, а скобка здесь мы сразу раскроем скобки и приведём все подобные. Тогда мы имеем 9 икс квадрат.
360: Plus 12 x + 2 - 18 икс квадрат.
361: - 12 x + 9 икс квадрат.
362: Все это равно единице.
363: Как мы видим, справа у нас нет никаких иксов, слева у нас иксы есть и их очень много, но они все при приведении подобных обратятся в 0. Проверим. Тут у нас 9 икс квадрат + 9 икс квадрат. Это 18 икс квадрат и вычитаем с
364: Из них 18 икс квадрат, то есть то, что при икс квадрат у нас обращается в 0 и аналогично здесь у нас 12 икс - 12 x тоже обратилось в 0, это небольшой способ самопроверки того, что мы все сделали правильно, потому что когда у нас при анализе
365: Эф от икс получается так, что р. Не равно нулю, то все полученные лишние иксы в результате преобразований должны самоуничтожиться, и тогда у нас остаётся 2 а.
366: Равно единице и отсюда закономерно, а равно 1 2. И тогда у нас игрек со звёздочкой имеет конечный вид. 1, 2 умножить на икс квадрат.
367: И умножить на экспоненту в степени 3 x.
368: Теперь мы напишем наше итоговое уравнение игрек равно игрек общее, однородное.
369: Плюс игрек со звёздочкой.
370: То есть у нас тут будет c1 умножить на экспоненту 3 x.
371: Плюс c2 умножить на икс, умножить на экспоненту 3 x y plus полученное выражение игрек со звёздочкой, то есть 1, 2 икс квадрат на x.
372: Экспоненту 3 x здесь мы также, чтобы упростить себе жизнь, вынесем за скобку общий множитель в виде экспоненты 3 x.
373: И получим, что игрек равно экспонента 3 x.
374: Выносим за скобку c1 плюс c2 икс.
375: И + 1, 2 икс квадрат.
376: И отсюда мы сразу посчитаем игрек штрих по правилу произведения 2 функций, производной от произведения 2 функций тогда мы имеем производная 1 функции нам даст просто экспоненту 3 x.
377: И выражение во 2 функции без изменений, то есть c1 плюс c2 икс.
378: + 1, 2 икс квадрат.
379: Далее мы берём производную от 2 функции.
380: И без изменений. 1 функцию, то есть снова экспонента 3 икс. В скобках мы записываем, и я забыл про тройку. Тут довольно грубая ошибка плюс экспонента 3 икс умножить на производная от c1 как
381: Число на нас 0 плюс c2, как производная от c2 икс и плюс от производной икс квадрат у нас относится двойка, двойка сокращается с половиной, и у нас остаётся просто x.
382: Теперь мы их сопоставляем с нашими начальными условиями, которые гласят, что игрек от нуля равно равно.
383: Единица игрек штрих от нуля.
384: Равно нулю.
385: И отсюда мы подставляем вместо икса 0. Тогда у нас экспонента автоматически превращается в единицу. Мы получаем 1 знак системы 1 равно c1.
386: Плюс c2 * 0, то есть 0.
387: И + 1, 2 на икс квадрат икс равен нулю, то есть снова + 0. Из этого следует, что c1 равно 1.
388: Теперь про игрек штрих, игрек штрих от нуля равен нулю мы имеем 0 равно 3.
389: Умножить на в скобках c1 здесь c2 снова обращается в 0.
390: X. Тоже обращается в 0.
391: То есть это нам даст ТРИЦ 1 плюс здесь у нас экспонента обратится в единицу + 1 умножить на тут будет 0, вместо c2 останется c2 и вместо x будет 0 + 1 умножить на c2.
392: И отсюда мы получаем, что 3 c1 плюс c2 равно нулю, а так как c1 это равно единице, отсюда мы сразу получаем, что c2 равняется - 3 и все, что нам записал, все, что нам осталос.
393: Это записать общее решение с полученными коэффициентами. Тогда у нас имеется игрек. Равно вместо игрек оо мы подставляем вместо c1 единицу, вместо ц, 2 - 3. Это будет, ну и давайте за
394: 1 для приличия сразу экспоненту за скобку вынесем тогда экспонента 3 x.
395: В скобках вместо c1 у нас единица - 3 икс и + 1 2 икс квадрат.
396: Это и есть наш готовый ответ.
397: Теперь я ещё бы хотел рассмотреть 4 пример. В 4 примере будет самая трудная конструкция, потому что там конструкция эф от икс будет представлять собой не отдельную экспоненту не отдель.
398: Тригонометрию, а совокупность, то есть произведение многочлена на экспоненту. Приступим к 4 и, соответственно, последнему примеру этот пример я решил отдельно разобрать просто по 1 простой причине, потому что он состоит из 2 функций.
399: В составе, то есть тут есть экспонента 3 x, и она уже умножается на многочлен 3 - 4 икс, поэтому приступим к пошаговому решению, надо будет ему ещё название дать.
400: Композиция из 2 функций.
401: Итак, поехали по стандарту с самого начала все по 1 и тому же алгоритму составляем характеристическое уравнение вместо игрек 2 штриха-ка квадрат - 3 к.
402: И + 2.
403: Приравниваем к нулю и решаем, можно пойти через дискриминант, можно просто увидеть, что здесь все раскладывается на к - 2.
404: Под скобку неаккуратно нарисовал.
405: На-ка - 2 и умножить на-ка - 1.
406: Если у нас есть 2 Корня к 1 равно единице.
407: К 2 равно 2.
408: Действуем дальше. Запишем общее однородное решение. Игрек оо будет равняться c1, умножить на экспоненту икс.
409: И плюс c2 умножить на экспоненту 2 x.
410: Теперь проведём анализ нашей функции эф от икс равно.
411: Экспонента 3 x.
412: Умножить на 3 - 4 икс.
413: И, соответственно, мы смотрим, чему у нас равняется, а так как у нас есть экспонента, то are равно 3.
414: Тригонометрия у нас отсутствует, поэтому сразу б равно нулю.
415: Старшая степень икса на данном многочлене это единица, потому что у нас 3 - 4 икс икс представлен в степени 1 al. Равно 1.
416: И теперь смотрим зет у нас будет равняться.
417: 3 плюс - 0 и то есть равняется просто 3, и он не равен ни к 1, ни к 2.
418: Отсюда следует, что air равно нулю.
419: Я, как обычно, запишу частное решение в общем виде, то есть игрек со звёздочкой равно.
420: X. В степени эр.
421: Умножить на экспоненту в степени а. X.
422: И умножить на п о т умножить на косинус b x.
423: Плюс ко отель.
424: Умножить на синус икс.
425: Теперь подставляем вместо них наши имеющиеся значения x от вырождается единицу экспонента степени, а икс нам даст экспоненту в степени 3 икс.
426: Экспонента 3 x.
427: И умножаем на имеющийся у нас многочлен тригонометрия обратилась в 0 именно со стороны синуса, со стороны косинуса она обратилась в единицу, и мы получаем просто многочлен p. L так у нас эль это единица, то мы получаем многочлен 1 степени, то есть экспонента.
428: Икс умножить на а x плюс б.
429: Теперь сразу же берём производную от игрек со звёздочкой.
430: Игрек со звёздочкой штрих будет равняться для начала мы берём производную от экспоненты это нам даст 3 е в степени 3 x.
431: A2 скобка остаётся без изменений.
432: И теперь мы берём производную от 2 функции, оставляя экспоненту без изменений плюс экспонента 3 x.
433: И производная от 1 скобки, вернее, 2 скобки нам даёт просто, а
434: Это, наверное, сразу скобку сотру.
435: Мы можем вынести экспоненту 3 x за скобку, как общий множитель, и получить следующее выражение 3 а x + 3 бэ.
436: Плюс а.
437: И теперь берём 2 производную.
438: И звёздочка 2 штриха равно опять же снова берём производную от экспоненты. Это нам даст 3 экспонента 3 икс умножить на скобка без изменений, то есть 3
439: А, x + 3 б.
440: И plus.
441: И к этому выражению прибавляем производную от скобки умножить на экспоненту без изменений e3 икс.
442: Тут в результате взятия производной у нас останется только 3, а так что мы, наверное, скобку записывать не будем, потому что 3 б это константа при взятии производной она обращается в 0, а это тоже константа, а вот 3 а x это уже уравнение от x. И мы остаем и у нас.
443: Остаётся 3 а и здесь мы тоже вынесем экспоненту 3 x как общий множитель за скобку, и тогда мы получим в скобке выражение следующее 3 * 3, а x это 9 а x.
444: + 9 б.
445: С 1 слагаемого нам получи нам даётся 3, a3 умножить на а равно 3 а и со 2 слагаемого тоже 3 a3, а + 3, а это будет 6 а.
446: Теперь мы вспоминаем, как у нас представлены все коэффициенты в исходном уравнении. Мы тут имеем игрек 2 штриха, - 3, игрек штрих + 2 игрек. То есть, соответственно, коэффициент у нас 1 - 3, 2 и записываем их отдельно сюда.
447: 1 - 3 и 2.
448: И теперь мы все приводим к 1 единому уравнению с соответствующими коэффициентами. Тогда мы получаем сначала мы запишем игрек, штрих игрек и звёздочка 2 штриха, тогда это будет экспонента 3
449: X. Да, мы здесь опять же видим, что у нас в каждой производной присутствует экспонента от 3 x. Поэтому мы её сразу выносим за скобку, как общий множитель большая скобка тут у нас будет единица умножить на.
450: 9 x + 9 б + 6 а.
451: - 3.
452: Умножить на 3 а x + 3 бэ плюс а.
453: И + 2 умножить на а икс плюс бэ.
454: Закрываем большую скобку, и все это равняется экспонента 3 x.
455: Умножить на 3 - 4 икс.
456: Здесь мы сразу же можем сократить экспоненту, которая и в левой, и в правой части представлена как множитель.
457: И тогда у нас останется только выражение в скобках для этого выражения мы сразу же все скобки раскроем, тогда мы получаем
458: 9 а x.
459: + 9 б.
460: + 6 а.
461: - 9 икс.
462: - 9 б.
463: - 3 а.
464: + 2 аикс.
465: И + 2 б.
466: Все это равно 3 - 4 икс.
467: Здесь мы сразу проведём подобное мы видим одинаковое 9, а икс - 9, а x 9 б - 9 б. Здесь у нас 6, а - 3, а это нам в совокупности оставит просто 3 а.
468: И тогда мы получаем 2 икс.
469: + 3 а.
470: И + 2 б.
471: Равно 3 - 4 икс.
472: И, как обычно, мы расписываем небольшую стенку для нахождения неопределённых коэффициентов перед иксом у нас - 4, это x. В 1 степени x в 0 степени ставим черту и выписываем - 4 равно 2 а.
473: Здесь 3 равно 3 а + 2 бэ.
474: Отсюда мы сразу же получаем, что а равно.
475: - 2.
476: И подставляем найденное значение для, а сюда и получаем, что 3, а это будет - 6. Переносим в левую часть. Это будет 3 + 6, равно 9.
477: Получаем, что 9 равно 2 б.
478: И тогда бы у нас.
479: Равняется 9 пополам.
480: Далее мы это все запишем для нашего выражения игрек со звёздочкой, то есть частное решение игрек со звёздочкой у нас равняется тогда экспонента в степени 3 x.
481: Умножить на а икс плюс бэ, то есть - 2 икс + 9/2.
482: Теперь мы все скомпонуем в единое общее решение игрек равно игрек общее однородное, игрек оо плюс игрек со звёздочкой.
483: Тогда мы получаем
484: C1 умножить на экспоненту икс плюс c2 умножить на экспоненту 2 икс.
485: Плюс экспонента 3 x.
486: Умноженное на - 2 икс делить 3.
487: И для всего этого счастья мы также сразу возьмём производную игрек штрих. Равно для 1 слагаемого производного производная будет иметь тот же самый вид, то есть c1 умножить на е икс. Для 2 у нас появится двойка, как
488: Производная от экспоненты 2 x 22 экспонента 2 x.
489: И 3 выражение у нас уже представляет произвеление 2 функций 1 производная нам даст
490: 3 экспонента 3 x на - 2 икс + 9/2.
491: A2 производная нам даёт.
492: Плюс экспонента 3 x.
493: Умноженное на - 2.
494: Теперь подставляем наше начальное условие игрек от нуля равно нулю и игрек штрих от нуля тоже равно нулю.
495: И получаем следующую систему.
496: 0 равно подставляем вместо икса нули получаем c1 умножить на экспоненту от 0 степени. Это будет просто c1.
497: Тут будет c2 на экспоненту 0 степени это будет просто c2, здесь тоже экспонента превратится в единицу получим + 1 умножить на - 2 икс превратится в 0, потому что x подставляем равный нулю + 10/2.
498: Аналогично поступаем со 2 выражением подставляем вместо иксов нули, получаем 0 равно c1 + 22.
499: + 3.
500: Умножить на 9/2, это будет 27/2.
501: И - 2.
502: Потому что экспонента 3 x при установке x равная нулю превращается в просто единицу, ну а единица умножить на - 2 это - 2, далее мы из 2 вычитаем 1.
503: Нарисовал не нравится.
504: Мы читаем из 02.01.
505: И получаем.
506: При вычитании c1 сокращается полностью 22, минус c2 это будет просто c2.
507: 27/2 - 9/2 останется 18/2 18/2 мы сокращаем, получаем 9 9 - 2 равно 7 и получаем, что c2 + 7.
508: Равно нулю, и отсюда следует, что c2 равно - 7. Теперь мы найденное значение c2 подставляем в 1 выражение и получаем.
509: C1 равно 9/2.
510: - 9/2, извиняюсь, то, что я перенёс сразу в левую часть c1 равно - 9, вторых + 7, то есть равно 14/2, - 9/2 это будет 5/2.
511: И теперь нам осталось только подставить в исходное уравнение найденные нами коэффициенты c1 c2 тогда мы получаем вместо c1 5/2.
512: Плюс, вернее, минус, потому что 2 равно -7 - 7, а я забыл про экспоненту.
513: 5/2 x.
514: - 7.
515: Е, 2, икс.
516: И плюс экспонента 3 x.
517: Умножить на - 2 икс + 9/2.
518: И на этом решение уравнения заканчивается, как видите, почему-то синий
519: Как видите, на практике в 3 задаче нет ничего трудного на полное решение с подробным разбором уходит по 17 тире 18 минут, когда я решал на бума.
520: Для себя я замерил, у меня получилось для 1 задачи 8 минут 50 секунд, то бишь уложиться за час вполне реально.
521: Такие дела, какие знания нужно будет подтянуть для данной контрольной, именно для 3 задачи, это просто взятие производных, потому что все, чем мы занимаемся, как можно заметить, это берём производные почти вся.
522: 2 часть решения уравнения посвящена взятию производных, и потом, в конце, когда мы уже готовим систему для нахождения констант c1 c2, мы снова берём производные, то есть важно помнить, как их правильно брать для успешной сдачи 3 задачи.
523: А для 1 и 2, для 1 и 2 уравнений, как мы помним, там приходилось, наоборот, очень много интегрировать. Так что вот опять же, я со своей стороны могу сказать, что
524: Эта контрольная абсолютно полностью алгоритмизирована и, банально заучив данный алгоритм, эту контрольную сможет сдать буквально любой. Так что я желаю всем удачи. Особенно я желаю удачи тем, кто смотрит разбор за